Exercices corrigés : les propriétés des gaz (chimie, secondaire 5)

a) Les particules du gaz sont en mouvement constant et désordonné ; chaque collision d'une particule contre la paroi exerce une petite force. La pression est l'effet combiné de ces milliards de collisions par seconde sur chaque unité de surface.

b) $T(K)=T(^{\circ}C)+273$ : 25 °C donne $25+273=298$ K ; −73 °C donne $-73+273=200$ K.

c) $\dfrac{380}{760}=0{,}5$ atm, puis $0{,}5\times 101{,}3=50{,}65$ kPa, soit environ 50,7 kPa.

d) Dans un gaz, les particules sont très éloignées les unes des autres : l'essentiel du volume est du vide, qu'on peut réduire en rapprochant les particules. Dans un liquide, les particules se touchent déjà, il n'y a presque pas d'espace vide à éliminer.

a) Ce n'est pas le vide au sommet du tube qui « aspire » le mercure : c'est l'atmosphère qui, appuyant sur la surface libre de la cuve, pousse le mercure dans le tube. La colonne s'élève jusqu'à ce que son propre poids équilibre exactement cette poussée, ce qui se produit à 760 mm au niveau de la mer. La hauteur mesure donc directement la pression atmosphérique. Avec de l'eau, 13,6 fois moins dense, il faudrait une colonne 13,6 fois plus haute pour peser autant : $760\times 13{,}6=10\,336$ mm, soit 10,3 mètres. Un baromètre à eau devrait dépasser la hauteur d'un immeuble de trois étages, ce qui est évidemment impraticable : c'est la densité exceptionnelle du mercure qui permet de tenir un baromètre dans une main. C'est aussi la raison physique pour laquelle une pompe aspirante ne peut jamais remonter de l'eau au-delà d'une dizaine de mètres, quel que soit son moteur.

b) En atmosphères : $\dfrac{640}{760}=0{,}842$ atm. En kilopascals : $0{,}842\times 101{,}3=85{,}3$ kPa. On peut aussi enchaîner les deux facteurs en une seule ligne, $640\times\dfrac{101{,}3}{760}=85{,}3$ kPa. Une pression de 640 mm Hg est nettement inférieure à la normale : elle correspond soit à une dépression météorologique marquée, soit à une altitude d'environ 1500 m.

c) Si le mercure est plus haut du côté OUVERT, c'est que le gaz pousse plus fort que l'atmosphère : il faut ajouter la dénivellation. $P_{gaz}=750+45=795$ mm Hg, soit $795\times\dfrac{101{,}3}{760}=106{,}0$ kPa. Dans le cas contraire, mercure plus haut du côté du GAZ, c'est l'atmosphère qui l'emporte et il faut retrancher : $P_{gaz}=750-45=705$ mm Hg, soit $94{,}0$ kPa. La règle à retenir se lit sans formule : le mercure fuit le côté où l'on pousse le plus fort, donc il est toujours plus haut du côté de la pression la plus FAIBLE.

d) Un manomètre de station-service mesure une pression RELATIVE, c'est-à-dire l'excès de pression du pneu par rapport à l'atmosphère qui l'entoure : c'est cet excès qui gonfle le pneu, et un pneu à plat lit zéro alors qu'il contient de l'air à la pression atmosphérique. La pression absolue vaut donc $220+101{,}3=321{,}3$ kPa, soit près de 50 % de plus que la valeur affichée. C'est la pression ABSOLUE qu'il faut utiliser dans la loi des gaz parfaits comme dans la loi combinée, puisque ces lois décrivent le gaz lui-même et non sa comparaison avec le milieu extérieur. Utiliser 220 kPa dans un calcul de $PV=nRT$ sous-estimerait la quantité d'air d'un tiers. C'est une source d'erreur classique dès qu'un problème mêle un relevé technique et un calcul de chimie.

a) Boyle-Mariotte : $P_{2}=\dfrac{P_{1}V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{150\times 2{,}0}{0{,}60}=500$ kPa.

b) Charles, avec les températures en kelvins : $T_{1}=300$ K, $T_{2}=400$ K. $V_{2}=V_{1}\times\dfrac{T_{2}}{T_{1}}=3{,}0\times\dfrac{400}{300}=4{,}0$ L.

c) Gay-Lussac : $T_{1}=280$ K, $T_{2}=320$ K. $P_{2}=P_{1}\times\dfrac{T_{2}}{T_{1}}=220\times\dfrac{320}{280}\approx 251{,}4$ kPa.

d) $3{,}0\times\dfrac{127}{27}\approx 14{,}1$ L : l'élève a fait le rapport des températures en Celsius. C'est faux parce que l'échelle Celsius n'est pas proportionnelle à l'énergie des particules (son zéro est arbitraire) ; seule l'échelle Kelvin, qui part du zéro absolu, rend le volume proportionnel à la température.

a) À température constante, la vitesse moyenne des molécules ne change pas : chaque choc a donc exactement la même violence qu'avant. En revanche, en divisant le volume par deux, on force le même nombre de molécules à se partager deux fois moins d'espace : chacune atteint les parois deux fois plus souvent, et la surface disponible est plus petite. La fréquence des chocs par unité de surface double, donc la pression double. Seule la FRÉQUENCE est en cause, et c'est précisément pourquoi la loi est une proportionnalité inverse exacte, $PV$ restant constant.

b) Ici, les DEUX facteurs interviennent, et ils jouent dans le même sens. Chauffer augmente la vitesse moyenne des molécules : chaque choc devient plus violent, donc pousse plus fort sur la paroi. Mais des molécules plus rapides traversent aussi le récipient plus vite et reviennent frapper plus souvent : la fréquence augmente également. C'est le cumul de ces deux effets qui fait monter la pression, et c'est aussi ce qui explique qu'une bouteille fermée laissée au soleil devienne dangereuse. Le volume, lui, ne change pas puisque le récipient est rigide.

c) Chauffer produit exactement les mêmes deux effets qu'en b), qui tendent tous deux à augmenter la pression. Si l'on veut que la pression reste constante, il faut donc les compenser, et le seul moyen disponible est d'augmenter le volume : les molécules ont alors plus de distance à parcourir entre deux chocs et une plus grande surface à se partager, ce qui fait baisser la fréquence des chocs par unité de surface. L'augmentation de volume vient exactement annuler l'augmentation de vitesse, d'où la proportionnalité entre volume et température absolue. C'est ce qui se passe dans un ballon souple ou dans un piston libre.

d) Le rapport des vitesses vaut $\dfrac{v(He)}{v(O_{2})}=\sqrt{\dfrac{M(O_{2})}{M(He)}}=\sqrt{\dfrac{32{,}0}{4{,}00}}=\sqrt{8{,}00}=2{,}83$ : à la même température, un atome d'hélium se déplace près de trois fois plus vite qu'une molécule de dioxygène. Le paradoxe se lève alors de lui-même. La molécule de dioxygène est bien plus lourde, donc chacun de ses chocs est plus violent, mais elle est aussi bien plus lente, donc elle frappe beaucoup moins souvent. Les deux effets se compensent EXACTEMENT, parce qu'à une température donnée toutes les molécules ont la même énergie cinétique moyenne, quelle que soit leur masse. La pression exercée ne dépend donc que du nombre de molécules et de la température, jamais de leur nature : à même volume, même température et même pression, il y a nécessairement le même nombre de molécules. C'est ce résultat, invisible à l'échelle macroscopique, qui rend la loi d'Avogadro compréhensible plutôt que magique.

a) À TPN, $T=0+273=273$ K et $P=101{,}3$ kPa, donc pour $n=1{,}00$ mol : $V=\dfrac{nRT}{P}=\dfrac{1{,}00\times 8{,}314\times 273}{101{,}3}=22{,}4$ L. À TAPN, $T=25+273=298$ K : $V=\dfrac{1{,}00\times 8{,}314\times 298}{101{,}3}=24{,}5$ L. Le volume molaire ne dépend pas de la nature du gaz parce que la loi des gaz parfaits ne contient aucune grandeur qui la caractérise : ni masse molaire, ni taille des molécules, ni forces entre elles. C'est la traduction mathématique du fait que les molécules d'un gaz sont considérées comme ponctuelles et sans interaction, donc interchangeables.

b) Puisque 22,4 L contiennent exactement une mole à TPN, la masse cherchée est simplement la masse molaire : 2,02 g de dihydrogène, 4,00 g d'hélium, 16,04 g de méthane, 32,00 g de dioxygène, 44,01 g de dioxyde de carbone. Les masses varient donc dans un rapport de plus de 20 entre le plus léger et le plus lourd, alors que le volume est rigoureusement le même. Ce qui reste identique d'un gaz à l'autre, c'est le NOMBRE de molécules, $6{,}022\times 10^{23}$ dans chaque ballon. On tient là toute la difficulté conceptuelle du chapitre : un volume de gaz renseigne sur un nombre de molécules, jamais sur une masse.

c) $n=\dfrac{V}{V_{m}}=\dfrac{5{,}00}{24{,}5}=0{,}204$ mol. Le nombre de molécules vaut $N=n\times N_{A}=0{,}204\times 6{,}022\times 10^{23}=1{,}23\times 10^{23}$ molécules. Un ballon de baudruche ordinaire contient donc environ cent mille milliards de milliards de molécules, ce qui donne une idée de l'échelle sur laquelle repose toute la théorie cinétique.

d) À 100 °C, soit 373 K : $V=\dfrac{1{,}00\times 8{,}314\times 373}{101{,}3}=30{,}6$ L, c'est-à-dire 37 % de plus que 22,4 L. La phrase de l'élève est donc incomplète au point d'être fausse : le volume molaire n'a de valeur que pour des conditions de température et de pression PRÉCISÉES. La formulation correcte est « une mole de gaz occupe 22,4 L aux conditions TPN », ou 24,5 L aux conditions TAPN. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est redoutable parce qu'elle donne des résultats plausibles : appliquer 22,4 L/mol à un gaz mesuré dans une salle de classe à 25 °C fausse le résultat de 9 %, sans jamais produire de valeur absurde qui alerterait.

a) $n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{101{,}3\times 4{,}89}{8{,}314\times 298}\approx\dfrac{495{,}4}{2477{,}6}\approx 0{,}200$ mol. (Attention : $T=25+273=298$ K.)

b) $M=\dfrac{m}{n}=\dfrac{8{,}8}{0{,}200}\approx 44{,}0$ g/mol.

c) La masse molaire correspond à celle du dioxyde de carbone : le gaz est le $CO_{2}$.

d) À TPN, une mole occupe 22,4 L : $V=0{,}200\times 22{,}4\approx 4{,}48$ L.

a) $\rho=\dfrac{M}{V_{m}}$. Air : $\dfrac{29{,}0}{24{,}5}=1{,}18$ g/L. Hélium : $\dfrac{4{,}00}{24{,}5}=0{,}163$ g/L. Dioxyde de carbone : $\dfrac{44{,}01}{24{,}5}=1{,}80$ g/L. Il faut noter l'ordre de grandeur : un litre d'air pèse à peine plus d'un gramme, alors qu'un litre d'eau pèse mille grammes. Un gaz est environ mille fois moins dense qu'un liquide, ce qui reflète directement l'espacement des molécules.

b) La densité est le rapport de la masse volumique du gaz à celle de l'air : hélium $\dfrac{0{,}163}{1{,}18}=0{,}138$ ; méthane $\dfrac{16{,}04/24{,}5}{1{,}18}=0{,}553$ ; dioxyde de carbone $\dfrac{1{,}80}{1{,}18}=1{,}52$. Mais on peut aller bien plus vite : dans le rapport $\dfrac{M_{gaz}/V_{m}}{M_{air}/V_{m}}$, le volume molaire se simplifie puisqu'il est le même pour les deux gaz aux mêmes conditions. Il reste $d=\dfrac{M_{gaz}}{29{,}0}$, ce qui donne directement 0,138, 0,553 et 1,52. C'est une simplification à connaître : comparer deux gaz dans les mêmes conditions revient toujours à comparer leurs masses molaires.

c) Le ballon déplace 3,0 L d'air, dont la masse vaut $1{,}18\times 3{,}0=3{,}55$ g : c'est la poussée d'Archimède exprimée en masse. Il contient lui-même $0{,}163\times 3{,}0=0{,}49$ g d'hélium. La charge utile maximale est la différence : $3{,}55-0{,}49=3{,}1$ g. Trois grammes seulement, soit le poids d'une pièce de monnaie : c'est très peu, et cela explique qu'un ballon de fête ne puisse emporter qu'un fil et une petite étiquette. Soulever un kilogramme exigerait un ballon de près de 1000 L.

d) Le dioxyde de carbone a une densité de 1,52, donc il est une fois et demie plus lourd que l'air : dans un espace confiné et sans courant d'air, il s'accumule par le bas et chasse l'air respirable vers le haut. Une personne qui descend dans un puits ou une cuve de fermentation entre dans une couche sans oxygène, perd connaissance en quelques secondes, et le danger est d'autant plus grand que le gaz est incolore et inodore. Le méthane, avec une densité de 0,553, est presque deux fois plus léger que l'air : il monte et s'accumule sous les plafonds, d'où les explosions au sommet des galeries de mine et le risque au-dessus d'une cuisinière défectueuse. Les détecteurs doivent donc être placés en fonction de la densité du gaz surveillé : un détecteur de dioxyde de carbone ou de propane, tous deux plus lourds que l'air, se pose PRÈS DU SOL ; un détecteur de méthane ou de gaz naturel se pose AU PLAFOND. Un détecteur bien conçu mais mal placé ne détecte rien, et c'est un cas où un simple rapport de masses molaires sauve des vies.

a) Première hypothèse : les molécules sont ponctuelles, donc le volume qu'elles occupent elles-mêmes est négligeable devant celui du récipient. C'est faux : une molécule a une taille, et le volume réellement disponible pour se déplacer est un peu plus petit que le volume mesuré. Seconde hypothèse : les molécules n'exercent aucune force les unes sur les autres entre deux chocs. C'est faux également, puisque toutes les molécules s'attirent au moins par des forces de dispersion, et davantage encore si elles sont polaires ou capables de liaisons hydrogène.

b) Écart relatif $=\dfrac{V_{mesure}-V_{theorique}}{V_{theorique}}\times 100$. Dihydrogène : $\dfrac{22{,}43-22{,}40}{22{,}40}\times 100=+0{,}13\,\%$. Dioxyde de carbone : $\dfrac{22{,}26-22{,}40}{22{,}40}\times 100=-0{,}63\,\%$. Ammoniac : $\dfrac{22{,}09-22{,}40}{22{,}40}\times 100=-1{,}38\,\%$. L'ammoniac s'écarte le plus, et vers le BAS : son volume molaire réel est inférieur au volume théorique. Le dioxyde de carbone fait de même, moins fortement. Le dihydrogène et l'hélium, eux, s'écartent vers le HAUT, mais de façon minime.

c) Un écart vers le bas signifie que le gaz occupe MOINS de place que prévu : les molécules se rapprochent davantage que le modèle ne l'autorise, ce qui est la signature de forces ATTRACTIVES. L'ammoniac est une molécule polaire capable de liaisons hydrogène, les plus fortes des forces intermoléculaires : ses molécules se retiennent nettement, d'où l'écart le plus grand. Le dioxyde de carbone n'est pas polaire, mais il est gros et facilement polarisable, donc ses forces de dispersion sont notables. À l'inverse, l'hélium et le dihydrogène sont minuscules et pratiquement dépourvus d'attractions : chez eux, c'est l'autre défaut du modèle qui l'emporte, celui du volume propre des molécules, qui fait occuper un peu PLUS de place que prévu, d'où l'écart positif. Les deux imperfections jouent donc en sens contraire, et c'est celle qui domine qui donne le signe de l'écart.

d) Le modèle est d'autant meilleur que la pression est BASSE et la température ÉLEVÉE. À basse pression, les molécules sont très éloignées : leur volume propre est négligeable devant l'espace vide et elles se croisent trop rarement pour s'attirer. À haute température, elles vont si vite que les attractions n'ont pas le temps d'agir. Il devient inutilisable dans le cas inverse, forte pression et basse température, c'est-à-dire précisément au voisinage de la liquéfaction. Le fait d'observation qui prouve à lui seul l'existence d'attractions est justement celui-là : TOUS les gaz finissent par se liquéfier si on les refroidit assez, et un gaz parfait, dont les molécules ne s'attirent pas, ne le pourrait jamais. La bouteille de propane que l'on secoue et qui contient du liquide en est la démonstration quotidienne. Enfin, les écarts calculés en b) restent inférieurs à 1,4 % dans les conditions ordinaires : tous les calculs de ce chapitre conservent une exactitude bien supérieure à la précision des mesures de laboratoire. Le modèle du gaz parfait n'est pas faux, il est APPROCHÉ, et il faut savoir de combien.

a) $T_{1}=17+273=290$ K et $T_{2}=-43+273=230$ K. $V_{2}=V_{1}\times\dfrac{P_{1}}{P_{2}}\times\dfrac{T_{2}}{T_{1}}=1200\times\dfrac{101{,}3}{25{,}0}\times\dfrac{230}{290}\approx 3856$ L.

b) En montant, la pression extérieure chute beaucoup plus que la température : le gaz se détend et le volume est multiplié par plus de 3. Si le ballon était plein au sol, il éclaterait en altitude ; on le gonfle donc partiellement pour lui laisser la place de se détendre.

c) Au sol : $n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{101{,}3\times 1200}{8{,}314\times 290}\approx\dfrac{121560}{2411}\approx 50{,}4$ mol.

d) $m=n\times M=50{,}4\times 4{,}00\approx 202$ g d'hélium.

a) $n=\dfrac{m}{M}=\dfrac{130}{65{,}0}=2{,}00$ mol de $NaN_{3}$.

b) L'équation donne 3 mol de $N_{2}$ pour 2 mol de $NaN_{3}$ : $n(N_{2})=2{,}00\times\dfrac{3}{2}=3{,}00$ mol.

c) $V=\dfrac{nRT}{P}=\dfrac{3{,}00\times 8{,}314\times 298}{101{,}3}\approx\dfrac{7433}{101{,}3}\approx 73{,}4$ L.

d) À TAPN (25 °C et 101,3 kPa), une mole de gaz occupe 24,5 L : $V=3{,}00\times 24{,}5=73{,}5$ L. Les deux méthodes concordent (l'écart vient de l'arrondi du volume molaire) : le coussin reçoit environ 73 L de diazote.