Exercices corrigés : transformation de l'énergie (physique, secondaire 5)

$W=F\,\Delta x\cos 0^{\circ}=200\times 15\times 1=3000$ J.

$P=\dfrac{W}{\Delta t}=\dfrac{3000}{5}=600$ W.

$W=F\,\Delta x\cos 40^{\circ}=200\times 15\times\cos 40^{\circ}\approx 2298$ J.

Seule la composante de la force parallèle au déplacement ($F\cos\theta$) fait du travail. À 40°, une partie de la force tire vers le haut et ne contribue pas au déplacement horizontal, donc le travail est plus petit.

$E_{k}=\frac{1}{2}m v^{2}=\frac{1}{2}\times 2\times 10^{2}=100$ J.

$E_{p}=m g\,\Delta y=2\times 9{,}8\times 5=98$ J.

$200=\frac{1}{2}\times 2\times v^{2}\Rightarrow v^{2}=200\Rightarrow v=\sqrt{200}\approx 14{,}1$ m/s.

$200=2\times 9{,}8\times h\Rightarrow h=\dfrac{200}{19{,}6}\approx 10{,}2$ m.

$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}(1200)(20)^{2}=2{,}4\times 10^{5}$ J, soit 240 kJ. Le théorème de l'énergie cinétique affirme que le travail TOTAL de toutes les forces agissant sur un corps est égal à la variation de son énergie cinétique : $W_{total}=\Delta E_{k}$. C'est la deuxième loi de Newton intégrée le long du déplacement, et son intérêt est qu'elle relie directement une force à une DISTANCE, sans jamais faire intervenir le temps.

La seule force qui travaille est le frottement, dirigé contre le mouvement : $W_{f}=-\mu mg\,d=-(0{,}70)(1200)(9{,}8)d=-8232\,d$. La voiture s'arrête, donc $\Delta E_{k}=0-2{,}4\times 10^{5}$ J. En égalant : $8232\,d=240\ 000$, d'où $d\approx 29{,}2$ m.

$E_{k}=\frac{1}{2}(1200)(40)^{2}=9{,}6\times 10^{5}$ J, soit QUATRE fois plus, puisque l'énergie cinétique va comme le carré de la vitesse. La force de frottement, elle, n'a pas changé : il faut donc quatre fois plus de distance pour dissiper quatre fois plus d'énergie, soit $d\approx 117$ m. Règle générale : la distance d'arrêt est proportionnelle au CARRÉ de la vitesse. Doubler sa vitesse quadruple la distance d'arrêt, et rouler 20 % plus vite l'allonge de 44 %. C'est le chiffre que la plupart des conducteurs sous-estiment, parce qu'ils raisonnent instinctivement en proportion simple.

En descente, le poids possède une composante le long de la route qui TRAVAILLE positivement et fournit de l'énergie supplémentaire à dissiper. Par ailleurs la normale diminue, donc le frottement aussi : $F_{f}=\mu mg\cos 5{,}0°=(8232)(0{,}9962)\approx 8200$ N, tandis que la composante motrice du poids vaut $mg\sin 5{,}0°=(11760)(0{,}0872)\approx 1025$ N. Force nette de freinage : $8200-1025\approx 7176$ N. Distance : $d=\frac{240\ 000}{7176}\approx 33{,}5$ m, soit environ 15 % de plus qu'à plat, pour une pente que l'œil remarque à peine.

Cinématique : la deuxième loi donne $a=\frac{-\mu mg}{m}=-\mu g=-(0{,}70)(9{,}8)=-6{,}86$ m/s², puis $v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\,\Delta x$ avec $v_{f}=0$ : $\Delta x=\frac{400}{2(6{,}86)}\approx 29{,}2$ m. Résultat identique, ce qui n'a rien d'étonnant puisque le théorème de l'énergie cinétique n'est que cette équation multipliée par $\frac{m}{2}$. La méthode énergétique devient nettement supérieure dès que la force n'est PAS constante, comme celle d'un ressort, ou dès que la trajectoire est courbe et compliquée : elle ne réclame alors que les états de départ et d'arrivée, alors que la cinématique exigerait de suivre le mouvement point par point. Elle est en revanche muette sur la DURÉE, que seule la cinématique fournit.

$k=\dfrac{F}{x}=\dfrac{25}{0{,}10}=250$ N/m.

$F=k x=250\times 0{,}30=75$ N.

$E_{e}=\frac{1}{2}k x^{2}=\frac{1}{2}\times 250\times 0{,}30^{2}=\frac{1}{2}\times 250\times 0{,}09=11{,}25$ J.

La pente de la droite $F=k x$ est la constante de rappel k (250 N/m).

Conservation : $m g h=\frac{1}{2}m v^{2}\Rightarrow v=\sqrt{2 g h}=\sqrt{2\times 9{,}8\times 20}=\sqrt{392}\approx 19{,}8$ m/s.

L'énergie cinétique correspond à la hauteur perdue $(20-8=12$ m$)$ : $v=\sqrt{2 g\times 12}=\sqrt{235{,}2}\approx 15{,}3$ m/s.

Sans frottement, l'énergie mécanique se conserve : le chariot peut remonter à la même hauteur qu'au départ, soit 20 m (toute l'énergie cinétique redevient potentielle).

$E_{m}=m g h=500\times 9{,}8\times 20=98\,000$ J (98 kJ).

$E_{e}=\frac{1}{2}k x^{2}=\frac{1}{2}\times 800\times 0{,}25^{2}=\frac{1}{2}\times 800\times 0{,}0625=25$ J.

Toute l'énergie élastique devient cinétique : $\frac{1}{2}m v^{2}=25\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2\times 25}{2}}=\sqrt{25}=5$ m/s.

Le bloc s'arrête : toute son énergie cinétique (25 J) est dissipée par le frottement.

$W_{f}=F_{f}\times d\Rightarrow F_{f}=\dfrac{25}{5}=5$ N. Puis $F_{f}=\mu m g\Rightarrow\mu=\dfrac{5}{2\times 9{,}8}\approx 0{,}26$.

$k=\dfrac{\Delta F}{\Delta x}=\dfrac{60}{0{,}30}=200$ N/m.

Aire du triangle : $\dfrac{0{,}30\times 60}{2}=9{,}0$ J. Formule : $E_{e}=\frac{1}{2}\times 200\times(0{,}30)^{2}=9{,}0$ J. Les deux méthodes coïncident : l'énergie élastique EST l'aire sous la droite force-allongement.

Trapèze entre $x=0{,}10$ (où $F=20$ N) et $x=0{,}30$ (où $F=60$ N) : $W=\dfrac{(20+60)}{2}\times 0{,}20=8{,}0$ J. Vérification : $\frac{1}{2}k(0{,}30^{2}-0{,}10^{2})=100\times 0{,}08=8{,}0$ J.

La force n'est PAS constante pendant l'étirement : elle passe de 20 N à 60 N. Utiliser $F_{max}$ surestime le travail. Avec la force MOYENNE (la droite est linéaire) : $F_{moy}=\dfrac{20+60}{2}=40$ N, et $W=40\times 0{,}20=8{,}0$ J : on retrouve l'aire du trapèze.

$E_{p}=mg\Delta y=200\times 9{,}8\times 12=23\ 520$ J par minute. Puissance utile : $P=\dfrac{23\ 520}{60}=392$ W.

$\eta=\dfrac{P_{utile}}{P_{consomm\acute{e}e}}=\dfrac{392}{560}=0{,}70$, soit 70 %.

Les 30 % restants sont dissipés en chaleur : frottements mécaniques dans la pompe et pertes par effet Joule dans le moteur, plus les turbulences de l'eau dans les tuyaux.

$E=P\,\Delta t=560\times 3\times 3600=6\ 048\ 000$ J $\approx 6{,}0$ MJ. En kilowattheures : $0{,}560$ kW $\times$ 3 h $=1{,}68$ kWh.

$W_{utile}=mgh=(80)(9{,}8)(1{,}50)=1176$ J. Cette énergie est celle que la caisse POSSÈDE en plus une fois en haut : aucune machine ne peut la réduire, quel que soit le chemin suivi, puisque la force de pesanteur est conservative et que son travail ne dépend que de la dénivellation.

L'angle de la rampe vérifie $\sin\theta=\frac{1{,}50}{6{,}00}=0{,}250$. Sans frottement, la force à exercer équilibre la composante du poids : $F=mg\sin\theta=(784)(0{,}250)=196$ N. Avantage mécanique : $\frac{mg}{F}=\frac{784}{196}=4{,}00$, soit exactement $\frac{L}{h}=\frac{6{,}00}{1{,}50}$. Travail fourni : $W=Fd=(196)(6{,}00)=1176$ J, rigoureusement le même qu'au a). On a divisé la force par quatre, mais en la déplaçant sur quatre fois plus de distance : la machine a converti un gros effort bref en un petit effort prolongé, sans jamais toucher au produit des deux.

Le frottement s'oppose à la montée : $F=mg\sin\theta+\mu mg\cos\theta$. Avec $\cos\theta=0{,}9682$ : $F=196+(0{,}25)(784)(0{,}9682)=196+189{,}8\approx 386$ N. Travail fourni : $W=(385{,}8)(6{,}00)\approx 2315$ J. Rendement : $\eta=\frac{1176}{2315}\approx 0{,}508$, soit environ 51 %. La moitié de l'effort part en chaleur dans la rampe, et l'avantage mécanique réel tombe de 4,00 à $\frac{784}{386}\approx 2{,}0$.

Avec une poulie mobile, la caisse est soutenue par DEUX brins de corde, donc la force n'est que $\frac{mg}{2}=392$ N. Mais pour que la poulie monte de 1,50 m, chacun des deux brins doit raccourcir de 1,50 m : il faut donc tirer $2\times 1{,}50=3{,}00$ m de corde. Travail : $W=(392)(3{,}00)=1176$ J, encore une fois la même valeur. Le facteur deux gagné en force est exactement payé par un facteur deux perdu en distance.

Le principe est celui de la conservation de l'énergie : une machine simple ne CRÉE jamais de travail, elle ne fait que le redistribuer entre force et distance. L'avantage mécanique se paie toujours en longueur de déplacement, et jamais autrement. Une machine idéale conserve le produit $F\times d$; une machine réelle en perd une partie en frottement, si bien que le travail fourni est toujours SUPÉRIEUR au travail utile. Et c'est précisément là que se trouve la limite pratique : plus on cherche un grand avantage mécanique, plus il faut multiplier les poulies, les dents d'engrenage ou la longueur de rampe, donc plus il y a de surfaces qui frottent. Le rendement chute, et à partir d'un certain point l'énergie gaspillée dépasse le confort gagné. On ne monte pas un piano au dixième étage avec une rampe de deux cents mètres.

Chute libre sur 20 m : $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9{,}8\times 20}\approx 19{,}8$ m/s.

Entre le pont ($v=0$) et le point le plus bas ($v=0$), la descente vaut 45 m et l'allongement de l'élastique $x=45-20=25$ m : $mg\times 45=\frac{1}{2}k\,(25)^{2}$, donc $k=\dfrac{2\times m\times 9{,}8\times 45}{625}$.

$k=\dfrac{2\times 60\times 9{,}8\times 45}{625}=\dfrac{52\ 920}{625}\approx 84{,}7$ N/m.

Non. À 20 m, l'élastique commence à peine à tirer : la force de rappel est plus petite que le poids, la sauteuse ACCÉLÈRE encore. La vitesse est maximale quand la force résultante s'annule, c'est-à-dire quand $kx=mg$ : $x=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{588}{84{,}67}\approx 6{,}9$ m d'allongement (environ 27 m sous le pont). Au-delà, la tension dépasse le poids et la freine.