Exercices corrigés : les lentilles convergentes (physique, secondaire 5)

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{25}=\dfrac{5-2}{50}=\dfrac{3}{50}$, donc $d_{i}=\dfrac{50}{3}\approx 16{,}7$ cm.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=-\dfrac{16{,}7}{25}\approx -0{,}67$.

$d_{i}>0$ : réelle ; $G<0$ : inversée ; $|G|<1$ : réduite.

$h_{i}=G\,h_{o}\approx -0{,}67\times 3=-2$ cm : l'image mesure 2 cm et elle est inversée.

On trace depuis la pointe de l'objet le rayon parallèle à l'axe, qui ressort par $F'$, le rayon qui passe par $F$, qui ressort parallèle, et le rayon qui passe par $O$, non dévié (figure ci-dessous). Ils se croisent à $16{,}7$ cm derrière la lentille et $2$ cm sous l'axe, ce qui confirme a) et d). Comme $f=10$ cm et $2f=20$ cm, l'image se forme entre $F'$ et $2F'$ : c'est toujours le cas pour un objet placé au-delà de $2F$, qui donne une image réelle, inversée et réduite.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{24}$, donc $d_{i}=24$ cm ; $G=-\dfrac{24}{24}=-1$ : réelle, inversée, de même taille (l'image est aussi à 2F).

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{1}{36}$, donc $d_{i}=36$ cm ; $G=-\dfrac{36}{18}=-2$ : réelle, inversée, agrandie.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{2}{36}$, donc $d_{i}=18$ cm ; $G=-\dfrac{18}{36}=-0{,}5$ : réelle, inversée, réduite.

Plus l'objet s'approche du foyer (sans y entrer), plus l'image réelle s'éloigne de la lentille et grossit : réduite au-delà de 2F, de même taille à 2F, agrandie entre F et 2F.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}=0$ : $d_{i}$ tend vers l'infini. Les rayons ressortent parallèles et aucune image nette ne se forme (l'image est "à l'infini").

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5-8}{40}=-\dfrac{3}{40}$, donc $d_{i}=-\dfrac{40}{3}\approx -13{,}3$ cm.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=-\dfrac{-13{,}3}{5}\approx 2{,}67$ : image virtuelle, droite, agrandie.

C'est le principe de la loupe : un objet placé à l'intérieur du foyer d'une lentille convergente donne une image virtuelle droite et agrandie.

Après la lentille, le rayon parallèle à l'axe ressort par $F'$, le rayon aligné sur $F$ et la pointe de l'objet ressort parallèle à l'axe, et le rayon qui passe par $O$ n'est pas dévié : les trois s'écartent les uns des autres et ne se croisent jamais. On les prolonge en pointillé vers l'arrière, et ce sont ces PROLONGEMENTS qui se croisent, à $13{,}3$ cm devant la lentille, du côté de l'objet (deuxième figure) : l'image est virtuelle, c'est elle que l'œil voit à travers la loupe. Avec l'objet sur $F$ (première figure), même les prolongements sont parallèles : aucune image, ni réelle ni virtuelle.

Les foyers sont à 3 unités de la lentille : $f=3{,}0$ cm. L'objet est à $d_{o}=4{,}5$ cm (entre $F$ et $2F$).

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4{,}5}=\dfrac{3-2}{9}=\dfrac{1}{9}$, donc $d_{i}=9{,}0$ cm : c'est bien la position de la flèche image sur le schéma, au-delà de $2F'$.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=-\dfrac{9}{4{,}5}=-2$ : image deux fois plus grande, le signe négatif indique qu'elle est inversée. Hauteur : $-2\times 1{,}0=-2{,}0$ cm. Elle est réelle ($d_{i}>0$, les rayons s'y croisent vraiment) et inversée : configuration typique du projecteur.

Rayon 1 (bleu) : parallèle à l'axe, il émerge en passant par $F'$. Rayon 2 (vert) : il passe par $F$ avant la lentille et émerge PARALLÈLE à l'axe. Rayon 3 (violet) : il passe par le CENTRE optique $O$ et n'est pas dévié. Les trois se croisent au même point : la pointe de l'image.

$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{d_{o}}+\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{500}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1+250}{500}=\dfrac{251}{500}$, donc $f=\dfrac{500}{251}\approx 1{,}99$ cm.

$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2+25}{50}=\dfrac{27}{50}$, donc $f=\dfrac{50}{27}\approx 1{,}85$ cm.

La distance focale diminue (de 1,99 cm à 1,85 cm) : le cristallin devient plus convergent pour voir de près (il se bombe davantage).

L'objet proche n'est plus vu net : c'est la presbytie (le punctum proximum s'éloigne). On la corrige avec des lentilles convergentes (lunettes de lecture).

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{2{,}1}-\dfrac{1}{500}\approx 0{,}4742$, donc $d_{i}\approx 2{,}11$ cm. C'est plus que les $2{,}0$ cm de la rétine : les rayons se croiseraient environ un millimètre DERRIÈRE elle, et la rétine reçoit une tache floue au lieu d'un point (deuxième figure). Il faut aider le cristallin à converger : on place devant l'œil une lentille CONVERGENTE, qui commence à rapprocher les rayons et ramène leur croisement sur la rétine. En accommodant, un œil hypermétrope jeune peut rattraper ce défaut de loin, mais il entame alors sa réserve d'accommodation : c'est de près qu'il voit flou en premier.

$\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{300}=\dfrac{20-1}{300}=\dfrac{19}{300}$, donc $d_{o}=\dfrac{300}{19}\approx 15{,}8$ cm.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=-\dfrac{300}{15{,}8}\approx -19$.

$h_{i}=G\,h_{o}\approx -19\times 3{,}5=-66{,}5$ cm.

L'image est réelle (elle se forme sur un écran) et inversée ($G<0$). On doit donc placer la diapositive à l'envers pour que l'image projetée soit à l'endroit.

L'équation des opticiens s'écrit $\frac{1}{d_{o}}+\frac{1}{d_{i}}=\frac{1}{f}$. Avec $d_{i}=D-d_{o}$ : $\frac{1}{d_{o}}+\frac{1}{D-d_{o}}=\frac{1}{f}$. En réduisant au même dénominateur : $\frac{D}{d_{o}(D-d_{o})}=\frac{1}{f}$, donc $Df=d_{o}(D-d_{o})=D d_{o}-d_{o}^{2}$, ce qui se réarrange en $d_{o}^{2}-D\,d_{o}+Df=0$.

$d_{o}^{2}-100\,d_{o}+2100=0$. Discriminant : $\Delta=10000-4(2100)=1600$, de racine 40. Les solutions sont $d_{o}=\frac{100\pm 40}{2}$, soit $d_{o}=70{,}0$ cm et $d_{o}=30{,}0$ cm. Il y a donc DEUX positions de la lentille qui donnent une image nette sur le même écran, sans rien déplacer d'autre. C'est un résultat expérimentalement frappant : on croit toujours qu'il n'y a qu'une mise au point possible.

Position 1 ($d_{o}=70{,}0$ cm, $d_{i}=30{,}0$ cm) : $G=-\frac{30}{70}\approx -0{,}429$, image réelle, renversée et RÉDUITE. Position 2 ($d_{o}=30{,}0$ cm, $d_{i}=70{,}0$ cm) : $G=-\frac{70}{30}\approx -2{,}33$, image réelle, renversée et AGRANDIE. Produit : $(-0{,}429)(-2{,}33)=1{,}00$ exactement. Ce n'est pas un hasard : les deux positions échangent simplement les rôles de $d_{o}$ et $d_{i}$, ce que permet la symétrie de l'équation des opticiens. On dit que les deux positions sont CONJUGUÉES, et c'est cette symétrie qui garantit que le produit des grandissements vaut 1.

Une solution réelle exige $\Delta=D^{2}-4Df\geq 0$, soit $D\geq 4f=84{,}0$ cm. En dessous de quatre fois la distance focale, aucune position de la lentille ne donne d'image nette : on peut la promener d'un bout à l'autre sans jamais rien voir de net, ce qui déroute quand on ne connaît pas ce résultat. À la limite $D=4f$, le discriminant s'annule et les deux positions se confondent en une seule : $d_{o}=d_{i}=\frac{D}{2}=2f=42{,}0$ cm, avec $G=-1$, c'est-à-dire une image de même taille que l'objet. C'est la configuration la plus compacte possible pour un montage de projection à grandeur nature.

Les deux racines valent $d_{o}=\frac{D\pm\sqrt{D^{2}-4Df}}{2}$, donc leur écart est $e=\sqrt{D^{2}-4Df}$. En élevant au carré : $e^{2}=D^{2}-4Df$, d'où $f=\frac{D^{2}-e^{2}}{4D}$. Vérification : $e=70{,}0-30{,}0=40{,}0$ cm, donc $f=\frac{10000-1600}{400}=\frac{8400}{400}=21{,}0$ cm, la valeur annoncée. L'intérêt pratique est décisif : cette méthode ne demande que deux mesures de POSITION de la lentille, et jamais la position de son centre optique, qui est enfoui dans le verre et impossible à localiser à la règle. Sur une lentille épaisse, une mesure directe de $f$ est entachée d'une erreur systématique de plusieurs millimètres; la méthode de Bessel l'élimine complètement, puisque le centre optique se simplifie dans la différence $e$.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=+3$ donne $d_{i}=-3d_{o}$. Équation : $\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{d_{o}}+\dfrac{1}{-3d_{o}}=\dfrac{3-1}{3d_{o}}=\dfrac{2}{3d_{o}}$, donc $d_{o}=\dfrac{2\times 6}{3}=4{,}0$ cm.

$d_{i}=-3\times 4=-12$ cm (virtuelle, du même côté que l'objet). Vérification : $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{-12}=\dfrac{3-1}{12}=\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{f}$.

Il faut RAPPROCHER l'objet du foyer (l'éloigner de la lentille, de 4 cm vers 6 cm) : le grandissement virtuel croît. Quand l'objet atteint exactement le foyer, les rayons émergent parallèles : l'image part à l'infini, c'est la limite de la loupe.

Au-delà du foyer ($d_{o}>f$), une lentille convergente forme une image RÉELLE et INVERSÉE ($d_{i}>0$, donc $G<0$) : un grandissement positif y est impossible. La loupe ne fonctionne que dans la zone $d_{o}<f$.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{300}=\dfrac{60-1}{300}=\dfrac{59}{300}$, donc $d_{i}=\dfrac{300}{59}\approx 5{,}08$ cm.

$G=-\dfrac{5{,}085}{300}\approx -0{,}017$ : l'image de la personne mesure $180\times 0{,}01695\approx 3{,}05$ cm, inversée. Oui, elle tient sur les 3,6 cm du capteur (l'appareil retourne l'image électroniquement).

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{20-1}{100}=\dfrac{19}{100}$, donc $d_{i}=\dfrac{100}{19}\approx 5{,}26$ cm. Déplacement : $5{,}263-5{,}085\approx 0{,}18$ cm, soit environ 1,8 mm.

Quand le sujet s'approche, $d_{i}$ augmente : la lentille s'ÉLOIGNE du capteur. Pour un sujet à l'infini, les rayons arrivent parallèles et convergent au foyer : $d_{i}=f=5{,}0$ cm exactement, la position la plus proche du capteur. C'est pourquoi l'objectif « sort » quand on photographie de près.

L'astre est si loin que les rayons issus d'un même point ont divergé de façon négligeable en arrivant : ils sont pratiquement parallèles entre eux. L'objectif fait converger un faisceau parallèle en un point de son PLAN FOCAL image, à $f_{obj}=80$ cm derrière lui. L'image intermédiaire est réelle et inversée (elle se forme dans l'air, au foyer).

Réglage à l'infini : le foyer image de l'objectif et le foyer objet de l'oculaire sont au même endroit. La distance entre les lentilles est donc $f_{obj}+f_{oc}=80+4{,}0=84$ cm. L'image intermédiaire, placée exactement au foyer objet de l'oculaire, est renvoyée à l'infini : l'oculaire en ressort un faisceau parallèle, confortable pour l'œil au repos (accommodation relâchée).

$G=\dfrac{f_{obj}}{f_{oc}}=\dfrac{80}{4{,}0}=20$. La Lune apparaît sous $\alpha'=G\times\alpha=20\times 0{,}5^{\circ}=10^{\circ}$. Taille de l'image intermédiaire : $h=f_{obj}\tan(0{,}5^{\circ})=80\times 0{,}00873\approx 0{,}70$ cm, soit environ 7 mm.

L'objectif est à $d_{o}=84$ cm devant l'oculaire ($f_{oc}=4{,}0$ cm). Équation des lentilles : $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f_{oc}}-\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{84}=\dfrac{21-1}{84}=\dfrac{20}{84}$, donc $d_{i}=\dfrac{84}{20}=4{,}2$ cm : l'œil doit se placer à 4,2 cm derrière l'oculaire.

$d=D\times\dfrac{f_{oc}}{f_{obj}}=60\times\dfrac{4{,}0}{80}=3{,}0$ mm (c'est aussi $\dfrac{D}{G}=\dfrac{60}{20}=3{,}0$ mm). C'est au cercle oculaire que TOUS les rayons sortis de l'oculaire se resserrent : en y plaçant la pupille, l'œil capte toute la lumière et voit le champ entier, sans zones sombres. Un diamètre d'environ 3 mm correspond à la pupille de l'œil en pleine lumière : toute la lumière de la lunette entre dans l'œil, l'image est aussi brillante que possible sans perte.