Exercices corrigés : les lentilles divergentes (physique, secondaire 5)

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{-20}-\dfrac{1}{40}=\dfrac{-2-1}{40}=-\dfrac{3}{40}$, donc $d_{i}\approx -13{,}3$ cm.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=-\dfrac{-13{,}3}{40}\approx 0{,}33$.

$d_{i}<0$ : virtuelle ; $G>0$ : droite ; $|G|<1$ : réduite.

$h_{i}=G\,h_{o}\approx 0{,}33\times 6=2$ cm : l'image mesure 2 cm et elle est droite.

Le rayon parallèle à l'axe ressort en s'écartant, dans le prolongement de la droite qui part de $F'$ ; le rayon dirigé vers $F$ ressort parallèle à l'axe ; le rayon qui passe par $O$ n'est pas dévié. Les trois rayons émergents s'écartent : on les prolonge en pointillé vers l'arrière, et les prolongements se croisent en un même point, à $13{,}3$ cm devant la lentille. L'image se forme donc entre $F'$ et la lentille, du même côté que l'objet, comme pour toute lentille divergente.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-15}-\dfrac{1}{15}=-\dfrac{2}{15}$, donc $d_{i}=-7{,}5$ cm ; $G=-\dfrac{-7{,}5}{15}=0{,}5$.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-15}-\dfrac{1}{30}=-\dfrac{3}{30}=-\dfrac{1}{10}$, donc $d_{i}=-10$ cm ; $G=-\dfrac{-10}{30}\approx 0{,}33$.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-15}-\dfrac{1}{60}=-\dfrac{5}{60}$, donc $d_{i}=-12$ cm ; $G=-\dfrac{-12}{60}=0{,}2$.

Dans les trois cas, l'image est virtuelle, droite et réduite. Quand l'objet s'éloigne, la position de l'image se rapproche du foyer : $|d_{i}|$ tend vers 15 cm (la distance focale) sans jamais l'atteindre. Les trois images tiennent donc toutes entre la lentille et son foyer $F'$.

$P=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{-0{,}25}=-4$ δ.

$f=\dfrac{1}{P}=\dfrac{1}{-2}=-0{,}5$ m $=-50$ cm.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-50}-\dfrac{1}{50}=-\dfrac{2}{50}$, donc $d_{i}=-25$ cm ; $G=-\dfrac{-25}{50}=0{,}5$.

Virtuelle ($d_{i}<0$), droite ($G>0$) et réduite ($|G|<1$), comme toujours pour une lentille divergente.

$P_{1}=\frac{1}{0{,}250}=+4{,}00$ δ et $P_{2}=\frac{1}{-0{,}400}=-2{,}50$ δ. Le doublet : $P=P_{1}+P_{2}=+1{,}50$ δ, POSITIF, donc le système reste convergent, mais bien moins que la seule lentille convergente. Sa distance focale vaut $f=\frac{1}{1{,}50}\approx 0{,}667$ m, soit environ 66,7 cm. La divergente n'a pas annulé la convergente, elle l'a affaiblie.

$\frac{1}{d_{i}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_{o}}=1{,}50-\frac{1}{1{,}00}=0{,}500$ m$^{-1}$, donc $d_{i}=2{,}00$ m. Grandissement : $G=-\frac{d_{i}}{d_{o}}=-\frac{2{,}00}{1{,}00}=-2{,}00$. L'image est donc RÉELLE (elle se forme de l'autre côté, à deux mètres), RENVERSÉE et deux fois plus grande. Remarquez qu'on a traité le doublet comme une lentille unique : c'est tout l'intérêt de la règle.

Il faut annuler la puissance totale : $P_{2}=-P_{1}=-4{,}00$ δ, soit $f=\frac{1}{-4{,}00}=-0{,}250$ m, une divergente de $-25{,}0$ cm. Le système est alors AFOCAL : il ne fait ni converger ni diverger, et un faisceau parallèle en ressort parallèle. Une lame de verre à faces parallèles produirait le même effet optique, ce qui montre bien que deux lentilles de puissances opposées accolées équivalent à ne rien mettre du tout.

Pour $+2{,}00$ δ : $+2{,}75-0{,}50-0{,}25=+2{,}00$ δ. Pour $+3{,}00$ δ : $+2{,}75+0{,}50-0{,}25=+3{,}00$ δ. Le principe est que l'addition des puissances transforme la boîte de verres en un jeu de nombres qu'on additionne librement : avec quelques valeurs bien choisies, dont les petites permettent l'ajustement fin, on couvre par combinaison toute la gamme des corrections par pas de 0,25 δ. C'est exactement la raison pour laquelle l'optométrie a adopté la dioptrie plutôt que la distance focale : les distances focales, elles, ne s'additionnent pas du tout, et une boîte de verres graduée en centimètres serait inutilisable.

Non, la règle tombe dès que les lentilles sont séparées : l'image donnée par la première devient l'objet de la seconde, et sa position dépend alors de l'écartement. Il faut traiter les deux lentilles l'une après l'autre, ce qui est plus long mais aussi bien plus riche. C'est précisément sur cet écartement que reposent tous les instruments à deux lentilles : la lunette astronomique, le microscope, les jumelles. Une lunette dont on collerait l'objectif et l'oculaire ne grossirait plus rien du tout, alors que la même paire, séparée de la bonne distance, grossit cinquante fois. L'écartement n'est pas un détail de montage, c'est le cœur de l'instrument.

Les foyers sont à 3 unités : $f=-3{,}0$ cm (négative pour une lentille divergente). Objet : $d_{o}=4{,}5$ cm.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{o}}=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4{,}5}=-\dfrac{3+2}{9}=-\dfrac{5}{9}$, donc $d_{i}=-1{,}8$ cm : l'image est bien à 1,8 cm du même côté que l'objet, comme sur le schéma.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=-\dfrac{-1{,}8}{4{,}5}=+0{,}4$ : image virtuelle, droite et réduite (0,4 cm pour un objet de 1 cm) : la signature d'une lentille divergente.

Les rayons émergents DIVERGENT : ils ne se croisent jamais réellement. Seuls leurs prolongements vers l'arrière se croisent, au point d'où la lumière SEMBLE provenir : l'image est virtuelle, on la construit donc avec des pointillés. Avec la lentille convergente (objet au-delà du foyer), les rayons réels se croisaient vraiment.

Pour un objet à l'infini, $\dfrac{1}{d_{o}}\to 0$, donc $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{d_{i}}$ et $f=d_{i}=-50$ cm.

$P=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{-0{,}50}=-2$ δ.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-50}-\dfrac{1}{200}=\dfrac{-4-1}{200}=-\dfrac{5}{200}$, donc $d_{i}=-40$ cm. L'image virtuelle est à 40 cm, donc à moins de 50 cm : elle est bien dans le domaine de vision nette.

L'œil myope fait converger la lumière trop tôt (avant la rétine). Une lentille divergente écarte d'abord un peu les rayons, ce qui déplace l'image plus loin, sur la rétine. Une lentille convergente ferait l'inverse et aggraverait le problème.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-10}-\dfrac{1}{30}=-\dfrac{4}{30}$, donc $d_{i}=-7{,}5$ cm ; $G=-\dfrac{-7{,}5}{30}=0{,}25$ ; $h_{i}=0{,}25\times 8=2$ cm (virtuelle, droite, réduite).

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{2}{30}$, donc $d_{i}=15$ cm ; $G=-\dfrac{15}{30}=-0{,}5$ ; $h_{i}=-0{,}5\times 8=-4$ cm (réelle, inversée, réduite).

La lentille divergente donne une image virtuelle, droite, réduite (2 cm). La lentille convergente donne ici une image réelle, inversée, réduite (4 cm). L'image convergente peut se projeter sur un écran, pas l'image divergente.

La lentille divergente : elle donne une image droite et un champ de vision large, ce qui est exactement ce qu'on veut pour voir qui est devant la porte.

Avec la divergente, les trois rayons émergents s'écartent ; leurs prolongements en pointillé se croisent à $7{,}5$ cm DEVANT la lentille, entre $F'$ et la lentille, du côté de l'objet. Avec la convergente, l'objet est au-delà de $2F$ ($30$ cm pour $2F=20$ cm) : les rayons réels se croisent à $15$ cm DERRIÈRE la lentille, entre $F'$ et $2F'$. Le tracé redonne les deux résultats du a) et du b) sans calcul.

$\dfrac{1}{d_{i}}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{60}=-\dfrac{30+1}{60}=-\dfrac{31}{60}$, donc $d_{i}=-\dfrac{60}{31}\approx -1{,}94$ cm : image virtuelle, à environ 1,9 cm derrière la lentille (du côté du visiteur).

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=\dfrac{1{,}935}{60}\approx 0{,}032$ : hauteur $170\times 0{,}0323\approx 5{,}5$ cm. Image virtuelle, droite et fortement réduite.

En comprimant toute la silhouette (et le palier autour) dans une petite image proche, la lentille divergente offre un champ de vision très large à travers un trou minuscule : on voit le visiteur en entier, dans le bon sens, sans ouvrir la porte.

Avec $f=+2$ cm : $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{60}=\dfrac{29}{60}$, donc $d_{i}\approx +2{,}07$ cm : une image RÉELLE et INVERSÉE qui se forme dans l'air, du côté intérieur. Sans écran pour la recueillir ni oculaire pour l'observer, l'œil collé au trou ne verrait qu'une tache floue et à l'envers.

Un objet à l'infini envoie un faisceau parallèle. L'objectif le fait converger en son foyer image, donc à 50,0 cm derrière lui. C'est là que se formerait l'image, réelle et renversée, si l'on plaçait un écran.

Pour que l'oculaire renvoie un faisceau parallèle, il faut que les rayons qui le traversent semblent provenir de son propre foyer OBJET. Or pour une lentille divergente de $-5{,}00$ cm, ce foyer se trouve 5,00 cm APRÈS elle, c'est-à-dire du côté de l'observateur. L'oculaire doit donc être placé de façon que l'image de l'objectif tombe 5,00 cm derrière lui : il faut le glisser 5,00 cm AVANT le foyer de l'objectif. Longueur du tube : $50{,}0-5{,}00=45{,}0$ cm.

$G=\frac{50{,}0}{|-5{,}00|}=10{,}0$, soit un grossissement de dix fois. Le même facteur dix se lit sur le faisceau : celui qui ressort de l'oculaire est dix fois plus étroit que celui qui entre dans l'objectif.

Avec un oculaire convergent de $+5{,}00$ cm, son foyer objet est situé 5,00 cm AVANT lui : il faut donc le placer 5,00 cm après le foyer de l'objectif, et le tube mesure $50{,}0+5{,}00=55{,}0$ cm. Le grossissement est le même, mais la lunette de Galilée est 10 cm plus courte, un avantage réel pour un instrument tenu à la main. Surtout, l'image diffère : l'objectif renverse toujours l'image, et l'oculaire convergent, qui se contente de la grossir comme une loupe, la laisse renversée. La lunette astronomique donne donc une image à l'envers, sans importance pour une étoile mais insupportable pour un paysage. L'oculaire DIVERGENT de Galilée, lui, intercepte les rayons AVANT qu'ils ne convergent : l'image finale reste DROITE. C'est pour cela que les jumelles de théâtre sont galiléennes, et que les jumelles de terrain, plus puissantes, doivent recourir à des prismes redresseurs pour corriger l'inversion.

Premièrement, le CHAMP de vision est très étroit : comme les rayons ne convergent jamais réellement, seuls ceux qui restent proches de l'axe parviennent à traverser le petit oculaire, si bien qu'on ne voit qu'une portion minuscule du ciel, avec des bords flous. C'est le défaut rédhibitoire pour repérer un objet céleste, et Galilée lui-même se plaignait de ne voir qu'une fraction de la Lune à la fois. Deuxièmement, l'absence d'image réelle intermédiaire interdit d'y placer un RÉTICULE, c'est-à-dire un fil croisé ou une échelle graduée : or c'est exactement ce qu'il faut pour pointer avec précision, mesurer un diamètre apparent ou une séparation angulaire. Sans mesure possible, l'instrument reste un objet de contemplation. Dès que Kepler propose l'oculaire convergent, en 1611, l'astronomie l'adopte définitivement et accepte de voir le ciel à l'envers.

$\dfrac{1}{f}<0$ (lentille divergente) et $-\dfrac{1}{d_{o}}<0$ (objet réel). La somme de deux nombres négatifs est négative : $\dfrac{1}{d_{i}}<0$, donc $d_{i}<0$ pour TOUT objet réel. L'image est toujours virtuelle (et droite).

$\dfrac{1}{|d_{i}|}=\dfrac{1}{|f|}+\dfrac{1}{d_{o}}>\dfrac{1}{d_{o}}$, donc $|d_{i}|<d_{o}$ : l'image est plus proche de la lentille que l'objet, et $G=\dfrac{|d_{i}|}{d_{o}}<1$ : toujours réduite.

Image virtuelle du même côté que l'objet : $d_{i}=-6{,}0$ cm. $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{-6}=\dfrac{1-4}{24}=-\dfrac{1}{8}$, donc $f=-8{,}0$ cm : la lentille est bien divergente.

$P=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{-0{,}080}=-12{,}5$ dioptries. Grandissement : $G=-\dfrac{-6}{24}=+0{,}25$ : l'image observée est droite et quatre fois plus petite, ce qui confirme les démonstrations du a) et du b).