Exercices corrigés : la réflexion et les miroirs (physique, secondaire 5)

1) Le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale sont dans un même plan. 2) L'angle de réflexion égale l'angle d'incidence ($\theta_{r}=\theta_{i}$).

$\theta_{r}=\theta_{i}=35^{\circ}$.

L'angle par rapport à la normale vaut $90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$, donc l'angle d'incidence est de 70° et l'angle de réflexion aussi ($\theta_{r}=70^{\circ}$).

Image virtuelle, droite, de même taille que l'objet, située derrière le miroir à la même distance que l'objet devant.

La loi de la réflexion donne $\theta_{r}=\theta_{i}=35°$. Le rayon incident et le rayon réfléchi font chacun 35° avec la normale, de part et d'autre : l'angle entre eux vaut donc $180°-2(35°)=110°$. Attention au piège classique : ce n'est pas 70°, qui serait l'angle entre le rayon réfléchi et le PROLONGEMENT du rayon incident.

Le papier obéit à la loi de la réflexion, mais localement, sur chacune de ses innombrables aspérités, dont les orientations sont réparties au hasard. Chaque petit élément de surface possède sa propre normale, donc renvoie le rayon dans sa propre direction : la lumière repart dans toutes les directions à la fois. C'est la réflexion DIFFUSE. Rien n'est violé : c'est la géométrie de la surface, et non la loi, qui change. La preuve en est qu'un papier vu au microscope à force atomique est un paysage montagneux, alors qu'un miroir est un plan.

$\frac{\lambda}{8}=\frac{550}{8}\approx 69$ nm. Ce critère est une règle pratique, pas une frontière nette : le passage du spéculaire au diffus se fait progressivement, et dépend aussi de l'angle d'incidence. Ici, les deux surfaces sont loin de la limite. Un verre poli à 5 nm est donc quatorze fois plus lisse que nécessaire : il réfléchit spéculairement, c'est un miroir. Le papier, avec ses 10 μm d'aspérités, est 145 fois plus rugueux que la limite, et près de vingt fois plus rugueux que la longueur d'onde elle-même : il diffuse totalement. Remarquez que le critère dépend de la longueur d'onde : une surface trop rugueuse pour la lumière visible peut parfaitement se comporter comme un miroir pour des ondes radio, dont la longueur d'onde se compte en mètres. C'est pourquoi un simple grillage suffit à faire une antenne parabolique.

L'eau remplit en partie les creux du revêtement et forme par-dessus un film plus lisse : la route, qui diffusait, réfléchit davantage de façon spéculaire. Une plus grande part de la lumière des phares venant en face est alors renvoyée vers les yeux du conducteur, d'où l'éblouissement. En sens inverse, la lumière de vos propres phares, au lieu de revenir vers vous par diffusion, repart vers l'avant : les marquages blancs vous renvoient moins de lumière. Les peintures routières incorporent pourtant des microbilles de verre, qui renvoient la lumière VERS SA SOURCE ; mais le film d'eau qui les recouvre nuit à leur fonctionnement, et les marquages deviennent très peu visibles.

Prenons un rayon arrivant sur le premier miroir sous l'angle $\theta$ par rapport à sa normale. Il en repart sous $\theta$, ce qui le fait arriver sur le second miroir, perpendiculaire au premier, sous l'angle $90°-\theta$; il en repart donc sous $90°-\theta$. Le rayon a subi deux déviations, de $180°-2\theta$ puis de $180°-2(90°-\theta)=2\theta$, soit une déviation totale de exactement 180°, indépendante de $\theta$ : il repart parallèle à sa direction d'arrivée, en sens inverse. Ce résultat vaut dans le plan du schéma ; pour renvoyer un rayon arrivant de n'importe quelle direction de l'espace, il faut trois miroirs perpendiculaires deux à deux, un coin de cube. C'est ce qu'utilisent les catadioptres de vélos et de voitures, faits de petits coins de cube qui renvoient la lumière des phares vers le conducteur ; et les réflecteurs déposés sur la Lune par les missions Apollo, qui renvoient un faisceau laser tiré depuis la Terre vers son point de départ, ce qui permet de mesurer la distance Terre-Lune au centimètre près.

La hauteur minimale est la moitié de la taille : $\dfrac{1{,}70}{2}=0{,}85$ m (résultat indépendant de la distance au miroir).

L'image est à 3 m derrière le miroir. La distance objet-image est $3+3=6$ m.

Pour deux miroirs à 90°, le nombre d'images est $\dfrac{360^{\circ}}{90^{\circ}}-1=3$ images.

Le miroir plan ne change pas la taille : $G=1$, donc $h_{i}=1\times 12=12$ cm.

Les rayons utiles semblent venir de l'image de l'œil, à $1{,}0$ m DERRIÈRE le miroir. Le cône qui part de cette image et passe par les bords du miroir s'élargit jusqu'au mur, situé à $1{,}0+3{,}0=4{,}0$ m de l'image : par triangles semblables, la largeur vue vaut $0{,}50\times\dfrac{4{,}0}{1{,}0}=2{,}0$ m. En reculant, le cône se resserre : on voit moins de mur.

$f=\dfrac{R}{2}=\dfrac{30}{2}=15$ cm.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{45}=\dfrac{3-1}{45}=\dfrac{2}{45}$, donc $d_{i}=22{,}5$ cm.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=-\dfrac{22{,}5}{45}=-0{,}5$ : image réelle ($d_{i}>0$), inversée ($G<0$), réduite ($|G|<1$).

$h_{i}=G\,h_{o}=-0{,}5\times 6=-3$ cm : l'image mesure 3 cm et elle est inversée.

Le rayon parallèle à l'axe repart par $F$, le rayon qui passe par $F$ repart parallèle, et le rayon qui passe par $C$ revient sur lui-même. Les trois se croisent à $22{,}5$ cm de $S$, entre $F$ ($15$ cm) et $C$ ($30$ cm), $3$ cm sous l'axe : le tracé confirme une image réelle, inversée et réduite.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{60}=\dfrac{2}{60}$, donc $d_{i}=30$ cm ; $G=-\dfrac{30}{60}=-0{,}5$ : réelle, inversée, réduite.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{60}$, donc $d_{i}=60$ cm ; $G=-\dfrac{60}{30}=-2$ : réelle, inversée, agrandie.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{10}=-\dfrac{1}{20}$, donc $d_{i}=-20$ cm ; $G=-\dfrac{-20}{10}=2$ : virtuelle, droite, agrandie (miroir grossissant).

Tant que l'objet est au-delà du foyer, l'image est réelle et inversée, et elle grandit à mesure que l'objet s'approche du foyer. Exactement au foyer, les rayons réfléchis ressortent parallèles : l'image est rejetée à l'infini. Dès que l'objet passe à l'intérieur du foyer, l'image devient virtuelle, droite et agrandie.

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40}=\dfrac{1}{40}$, donc $d_{i}=40$ cm, et $G=-\dfrac{40}{40}=-1$ : l'image se forme sur $C$ elle aussi, réelle, inversée et de même taille. Sur le tracé, le rayon parallèle repart par $F$, le rayon qui passe par $F$ repart parallèle, et ils se croisent à la verticale de $C$, à la même distance sous l'axe que la pointe de l'objet au-dessus.

$f=-\dfrac{R}{2}=-\dfrac{40}{2}=-20$ cm (négative, car le miroir est divergent).

$\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{-20}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{-3-2}{60}=-\dfrac{5}{60}$, donc $d_{i}=-12$ cm.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=-\dfrac{-12}{30}=0{,}4$ : image virtuelle ($d_{i}<0$), droite ($G>0$), réduite ($|G|<1$).

Un miroir convexe donne toujours une image droite et réduite, et il offre un champ de vision beaucoup plus large qu'un miroir plan. On voit donc plus de la route, ce qui est utile pour surveiller les angles morts (les objets paraissent toutefois plus loin qu'ils ne le sont réellement).

Le rayon parallèle à l'axe repart comme s'il venait de $F$, le rayon dirigé vers $F$ repart parallèle, et le rayon dirigé vers $C$ revient sur lui-même. Leurs prolongements en pointillé se croisent derrière le miroir, à $12$ cm de $S$, donc entre $S$ et $F$ ($20$ cm). La hauteur vaut $h_{i}=G\,h_{o}=0{,}4\times 8=3{,}2$ cm : image droite et réduite, comme le dit le calcul.

Entre $(6;\ 4)$ et $(3;\ 0)$, le rayon parcourt 3 unités horizontalement et 4 verticalement. La normale au miroir horizontal est verticale : l'angle d'incidence vérifie $\tan\theta_{1}=\dfrac{3}{4}$, donc $\theta_{1}\approx 36{,}9^{\circ}$.

Le rayon réfléchi fait $90^{\circ}-36{,}9^{\circ}=53{,}1^{\circ}$ avec le miroir horizontal. Dans le triangle rectangle (coin des miroirs à 90°), l'angle du rayon avec le miroir vertical vaut donc $36{,}9^{\circ}$, et l'angle avec la NORMALE du miroir vertical (perpendiculaire à celui-ci) vaut $90^{\circ}-36{,}9^{\circ}=53{,}1^{\circ}$.

Chaque réflexion dévie le rayon de $180^{\circ}-2\theta$. Déviation totale : $(180^{\circ}-2\theta_{1})+(180^{\circ}-2\theta_{2})=360^{\circ}-2(\theta_{1}+\theta_{2})=360^{\circ}-2\times 90^{\circ}=180^{\circ}$, car $\theta_{1}+\theta_{2}=90^{\circ}$. Une déviation de 180° signifie que le rayon repart exactement dans la direction d'où il venait, quel que soit $\theta_{1}$ : sur le schéma, le rayon sortant (pente $\frac{4}{3}$) est bien parallèle au rayon incident.

Les réflecteurs (catadioptres) de vélos et de voitures, les coins réfléchissants des balises routières, et les rétroréflecteurs déposés sur la Lune pour mesurer sa distance au laser. Tous utilisent trois miroirs perpendiculaires deux à deux, ce qui renvoie la lumière vers sa source quelle que soit sa direction dans l'espace ; deux miroirs ne le garantissent que dans leur plan.

$N=\dfrac{360}{90}-1=3$ images : une dans chaque miroir (réflexions simples) et une troisième, au fond, produite par une réflexion DOUBLE (l'image d'une image).

À 60° : $N=\dfrac{360}{60}-1=5$ images. À 45° : $N=\dfrac{360}{45}-1=7$ images.

Plus l'angle est petit, plus les réflexions successives restent possibles avant de « sortir » du secteur, donc plus il y a d'images. Pour des miroirs parallèles, $\dfrac{360}{\alpha}$ tend vers l'infini : une infinité d'images de plus en plus lointaines. On le voit entre deux miroirs face à face (ascenseurs, salons de coiffure).

À 60°, l'objet et ses 5 images occupent 6 secteurs égaux de 60° autour du sommet : l'ensemble forme un motif à symétrie d'ordre 6, d'où les rosaces hexagonales du kaléidoscope.

La normale au miroir est solidaire du miroir : si celui-ci tourne de $\alpha$, la normale tourne de $\alpha$ elle aussi. Le rayon incident, lui, ne bouge pas, donc l'angle d'incidence mesuré par rapport à la nouvelle normale a augmenté de $\alpha$ : il vaut maintenant $\theta+\alpha$. Le rayon réfléchi repart symétriquement, donc à $\theta+\alpha$ de l'autre côté de la nouvelle normale. Or celle-ci a elle-même tourné de $\alpha$ : par rapport à sa direction initiale, le rayon réfléchi a donc tourné de $\alpha$ à cause de la normale, plus $\alpha$ à cause de l'angle, soit $2\alpha$ au total. Le miroir DOUBLE l'angle : c'est ce qu'on appelle le levier optique.

Le rayon tourne de $2(3{,}0°)=6{,}0°$. Sur un mur à 1,50 m : $d=(1{,}50)\tan 6{,}0°=(1{,}50)(0{,}1051)\approx 0{,}158$ m, soit environ 16 cm. Une rotation de trois degrés, à peine perceptible sur le miroir lui-même, déplace le point lumineux de la largeur d'une main.

Le rayon tourne de $0{,}20°$ : $d=(1{,}50)\tan 0{,}20°=(1{,}50)(0{,}003491)\approx 5{,}2\times 10^{-3}$ m, soit 5,2 mm, parfaitement lisible sur une règle graduée. Le dispositif transforme donc une rotation minuscule, invisible et impossible à mesurer directement, en un déplacement de plusieurs millimètres. C'est un AMPLIFICATEUR mécanique sans pièce mobile, sans frottement et sans inertie ajoutée, puisque le seul objet qui bouge est le petit miroir.

$d=(5{,}00)\tan 0{,}20°\approx 1{,}75\times 10^{-2}$ m, soit 17,5 mm : le déplacement est proportionnel à la distance, donc la sensibilité a été multipliée par 3,3. On pourrait poursuivre indéfiniment, et c'est bien la tentation. La contrepartie est double : le point lumineux, en s'éloignant, s'élargit par diffraction et par les défauts du faisceau, si bien qu'il devient de plus en plus flou et que le gain de sensibilité finit par plafonner ; et l'éclairement diminue, rendant la lecture difficile. Au-delà d'une certaine distance, reculer le mur n'apporte donc presque plus rien : la sensibilité n'est pas illimitée.

Le galvanomètre à miroir, d'abord : un minuscule miroir est collé sur la bobine mobile, et sa rotation, bien trop faible pour une aiguille, se lit sur une règle éloignée. C'est ce dispositif, imaginé par Kelvin, qui a permis de détecter les signaux extraordinairement affaiblis du premier câble télégraphique transatlantique, en 1866. Le microscope à force atomique ensuite : la pointe qui balaie la surface est portée par un minuscule levier, dont la flexion, de l'ordre du nanomètre, est mesurée par la déviation d'un laser réfléchi sur son dos. Sans levier optique, aucune de ces deux mesures ne serait possible. On peut y ajouter les scanners laser des lecteurs de codes-barres et des lidars, où un miroir tournant balaie l'espace deux fois plus vite qu'il ne tourne lui-même.

$G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=+2$ donne $d_{i}=-2d_{o}$. Équation des miroirs : $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{d_{o}}+\dfrac{1}{-2d_{o}}=\dfrac{1}{2d_{o}}$, donc $d_{o}=\dfrac{f}{2}=10$ cm.

$d_{i}=-2\times 10=-20$ cm. Vérification : $\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{-20}=\dfrac{2-1}{20}=\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{f}$. Le signe négatif de $d_{i}$ indique une image derrière le miroir : virtuelle et droite, exactement ce qu'on veut pour se maquiller.

$G=-2$ donne $d_{i}=+2d_{o}$ : $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{d_{o}}+\dfrac{1}{2d_{o}}=\dfrac{3}{2d_{o}}$, donc $d_{o}=\dfrac{3f}{2}=30$ cm et $d_{i}=60$ cm : image réelle, inversée, formée à 60 cm DEVANT le miroir.

Les deux positions (10 cm et 30 cm) encadrent la distance focale $f=20$ cm. Un objet placé exactement au foyer donne des rayons réfléchis parallèles : l'image est rejetée à l'infini, et le grandissement n'est pas défini. En passant le foyer, l'image bascule de virtuelle-droite à réelle-inversée.