Exercices corrigés : la réfraction de la lumière (physique, secondaire 5)

$v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3\times 10^{8}}{1{,}50}=2\times 10^{8}$ m/s.

$n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{3\times 10^{8}}{2{,}25\times 10^{8}}\approx 1{,}33$.

Parce que la lumière ne peut jamais aller plus vite que dans le vide : $v\leq c$, donc $n=\dfrac{c}{v}\geq 1$.

Le milieu du b) a un indice plus petit (1,33 < 1,50), donc la lumière y va plus vite ($2{,}25\times 10^{8} > 2\times 10^{8}$ m/s).

$\sin\theta_{2}=\dfrac{n_{1}\sin\theta_{1}}{n_{2}}=\dfrac{1{,}00\times\sin 50^{\circ}}{1{,}50}\approx 0{,}511$, donc $\theta_{2}\approx 30{,}7^{\circ}$.

Il se rapproche de la normale (30,7° < 50°), car il entre dans un milieu plus réfringent (indice plus grand).

$\sin\theta_{2}=\dfrac{1{,}50\times\sin 25^{\circ}}{1{,}00}\approx 0{,}634$, donc $\theta_{2}\approx 39{,}3^{\circ}$.

Au c) : le rayon passe vers un milieu moins réfringent (verre vers air), donc il s'éloigne de la normale (39,3° > 25°).

$\sin\theta_{c}=\dfrac{n_{air}}{n_{verre}}=\dfrac{1{,}00}{1{,}50}\approx 0{,}667$, donc $\theta_{c}\approx 41{,}8^{\circ}$.

30° < 41,8° : il y a bien un rayon réfracté. $\sin\theta_{2}=\dfrac{1{,}50\times\sin 30^{\circ}}{1{,}00}=0{,}75$, donc $\theta_{2}\approx 48{,}6^{\circ}$.

50° > 41,8° : l'angle dépasse l'angle critique, il n'y a plus de rayon réfracté. Toute la lumière est renvoyée dans le verre : c'est la réflexion totale interne.

La fibre optique (transmission de la lumière et des données), les prismes à réflexion totale dans les jumelles, ou l'effet de mirage.

$d_{app}=\dfrac{2{,}0}{1{,}33}\approx 1{,}5$ m.

Elle paraît moins profonde (1,5 m < 2,0 m).

$d_{app}=\dfrac{1{,}2}{1{,}33}\approx 0{,}90$ m.

Les rayons qui partent de l'objet s'éloignent de la normale en sortant de l'eau (milieu moins réfringent). Prolongés en ligne droite par l'œil, ils semblent provenir d'un point plus haut : l'image se forme donc plus près de la surface que l'objet réel.

$d_{app}=\dfrac{6{,}0}{1{,}33}\approx 4{,}5$ cm : le bout paraît $1{,}5$ cm plus haut qu'il n'est. Chaque point immergé de la paille remonte de la même façon, d'environ un quart de sa profondeur, alors que le point où elle traverse la surface ne bouge pas : la partie immergée paraît relevée vers la surface, moins inclinée, et la paille semble brisée exactement à la surface. Pour le tracé, on part du bout avec deux rayons proches de la verticale : chacun s'éloigne de la normale en sortant ($8°$ dans l'eau donnent $10{,}7°$ dans l'air), et leurs prolongements se croisent à $4{,}5$ cm de profondeur (figure ci-dessous).

$\sin\theta_{c}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}=\dfrac{1{,}40}{1{,}50}\approx 0{,}933$, donc $\theta_{c}\approx 69{,}0^{\circ}$.

75° > 69,0° : l'angle dépasse l'angle critique, il y a réflexion totale interne. Le rayon reste dans le cœur de la fibre.

60° < 69,0° : l'angle est inférieur à l'angle critique, une partie de la lumière est réfractée et sort du cœur vers la gaine : le rayon quitte (en partie) la fibre.

Tant que la lumière frappe la paroi au-delà de l'angle critique, elle subit une réflexion totale interne, sans perte d'énergie par réfraction. Elle rebondit ainsi des milliers de fois et se propage sur de très longues distances avec très peu d'atténuation.

La normale est perpendiculaire à la surface. Le rayon fait 32° avec la surface, donc il fait $\theta_{1}=90^{\circ}-32^{\circ}=58^{\circ}$ avec la normale : les deux angles sont complémentaires dans la figure.

$\sin\theta_{2}=\dfrac{n_{1}\sin\theta_{1}}{n_{2}}=\dfrac{1{,}00\times\sin 58^{\circ}}{1{,}33}\approx 0{,}638$, donc $\theta_{2}\approx 39{,}6^{\circ}$.

L'angle avec la surface est le complémentaire de l'angle avec la normale : $90^{\circ}-39{,}6^{\circ}=50{,}4^{\circ}$.

Le prolongement du rayon incident fait 58° avec la normale, le rayon réfracté en fait 39,6° du même côté : la déviation vaut $\delta=\theta_{1}-\theta_{2}=58^{\circ}-39{,}6^{\circ}=18{,}4^{\circ}$.

$\sin\theta_{2}=\dfrac{1{,}00\times\sin 50^{\circ}}{1{,}50}\approx 0{,}511$, donc $\theta_{2}\approx 30{,}7^{\circ}$.

Le rayon intérieur coupe deux normales parallèles : les angles qu'il fait avec chacune sont alternes-internes, donc égaux. L'angle d'incidence sur la deuxième face vaut $\theta_{2}$. Snell-Descartes à la sortie : $1{,}50\times\sin\theta_{2}=1{,}00\times\sin\theta_{3}$, donc $\sin\theta_{3}=\sin 50^{\circ}$ et $\theta_{3}=50^{\circ}=\theta_{1}$. Sur le schéma, le rayon émergent est bien parallèle au rayon incident, simplement décalé.

Dans le triangle rectangle, l'épaisseur $e=6{,}0$ cm est le côté adjacent à $\theta_{2}$ et $L$ est l'hypoténuse : $\cos\theta_{2}=\dfrac{e}{L}$, donc $L=\dfrac{6{,}0}{\cos 30{,}7^{\circ}}\approx 7{,}0$ cm.

$d=L\sin(\theta_{1}-\theta_{2})=6{,}98\times\sin(50^{\circ}-30{,}7^{\circ})\approx 6{,}98\times 0{,}330\approx 2{,}3$ cm.

Chaque normale est perpendiculaire à sa face. Dans le triangle formé par le rayon intérieur et les deux normales, les angles à la base valent $90^{\circ}-r$ et $90^{\circ}-r'$, et l'angle au troisième sommet vaut $180^{\circ}-A$ (les normales se coupent sous cet angle, car les faces se coupent sous l'angle $A$). Somme des angles : $(90^{\circ}-r)+(90^{\circ}-r')+(180^{\circ}-A)=180^{\circ}$, d'où $r+r'=A$.

$\sin r=\dfrac{\sin 45^{\circ}}{1{,}50}\approx 0{,}471$, donc $r\approx 28{,}1^{\circ}$.

$r'=A-r=60^{\circ}-28{,}1^{\circ}=31{,}9^{\circ}$. Angle critique du verre : $\sin\theta_{c}=\dfrac{1}{1{,}50}$, donc $\theta_{c}\approx 41{,}8^{\circ}$. Comme $r'=31{,}9^{\circ}<41{,}8^{\circ}$, le rayon sort. À la sortie : $\sin\theta_{2}=1{,}50\times\sin 31{,}9^{\circ}\approx 0{,}792$, donc $\theta_{2}\approx 52{,}4^{\circ}$.

$D=\theta_{1}+\theta_{2}-A=45^{\circ}+52{,}4^{\circ}-60^{\circ}=37{,}4^{\circ}$. Sur le schéma, le rayon incident monte légèrement (environ 15° au-dessus de l'horizontale) et le rayon émergent descend nettement (environ 22° sous l'horizontale) : l'écart entre les deux directions est bien d'environ 37°, toujours vers la base du prisme.

Pour le violet : $\sin r=\dfrac{\sin 45^{\circ}}{1{,}53}\approx 0{,}462$, donc $r\approx 27{,}5^{\circ}$ ; $r'=60^{\circ}-27{,}5^{\circ}=32{,}5^{\circ}$, sous l'angle critique $\arcsin\dfrac{1}{1{,}53}=40{,}8^{\circ}$, donc le rayon sort ; $\sin\theta_{2}=1{,}53\times\sin 32{,}5^{\circ}\approx 0{,}821$, donc $\theta_{2}\approx 55{,}2^{\circ}$, et $D=45^{\circ}+55{,}2^{\circ}-60^{\circ}=40{,}2^{\circ}$. Le violet est dévié de $2{,}8^{\circ}$ de plus que le rouge ($37{,}4^{\circ}$) : un plus grand indice donne une plus grande déviation. Dans la lumière blanche, chaque couleur a son propre indice, donc sa propre déviation : le prisme les sépare en éventail, du rouge, le moins dévié, au violet, le plus dévié. C'est la dispersion, et c'est ainsi qu'un prisme fait apparaître le spectre.

$\sin\theta_{c}=\dfrac{1{,}00}{1{,}33}\approx 0{,}752$, donc $\theta_{c}\approx 48{,}8^{\circ}$.

La normale à la surface est verticale. Un rayon qui arrive à moins de $\theta_{c}$ de la verticale se réfracte et sort (comme le rayon de gauche du schéma) ; au-delà de $\theta_{c}$, il subit la réflexion totale interne et repart vers le fond (rayon de droite). Les rayons limites forment un cône de demi-angle $\theta_{c}$ autour de la verticale passant par la lampe : ce cône coupe la surface selon un cercle, marqué par les deux points du schéma.

Dans le triangle rectangle, la profondeur $d=2{,}0$ m est le côté adjacent à $\theta_{c}$ et $R$ le côté opposé : $\tan\theta_{c}=\dfrac{R}{d}$, donc $R=d\tan\theta_{c}=2{,}0\times\tan 48{,}8^{\circ}\approx 2{,}28$ m. Diamètre $\approx 4{,}56$ m.

$R=d\tan\theta_{c}$ est proportionnel à la profondeur ($\theta_{c}$ ne dépend que des indices, pas de la profondeur). Si $d$ double, $R$ double : le rayon passerait à environ 4,56 m.

$\sin\theta_{c}=\dfrac{1{,}00}{1{,}52}\approx 0{,}658$, donc $\theta_{c}\approx 41{,}1^{\circ}$.

À l'entrée, l'angle d'incidence est de 0° (rayon le long de la normale) : le rayon n'est pas dévié, il continue tout droit, parallèle à l'autre petite face. L'hypoténuse fait 45° avec la face d'entrée, donc le rayon frappe l'hypoténuse sous 45° ; la normale à l'hypoténuse étant perpendiculaire à celle-ci, l'angle d'incidence par rapport à la normale vaut $90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$, comme on le voit sur le schéma (le rayon horizontal et la normale oblique).

L'angle d'incidence sur l'hypoténuse (45°) dépasse l'angle critique (41,1°) : il y a réflexion totale interne. Par la loi de la réflexion, le rayon repart à 45° de l'autre côté de la normale, soit une déviation de 90° : il descend maintenant verticalement, ressort perpendiculairement par la face horizontale (sans déviation à la sortie). Déviation totale : 90°.

Il faut $\theta_{c}\leq 45^{\circ}$, c'est-à-dire $\sin 45^{\circ}\geq\dfrac{1}{n}$, donc $n\geq\dfrac{1}{\sin 45^{\circ}}=\sqrt{2}\approx 1{,}41$. Tout verre d'indice supérieur à $\sqrt{2}$ convient, ce qui est le cas de presque tous les verres courants.