Exercices corrigés : calculs algébriques (math SN5)

a) C'est le carré d'une différence : $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=2x$ et $b=3$. Le carré du premier terme donne $a^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}$, et on élève au carré le coefficient EN MÊME TEMPS que la variable. Le double produit donne $2ab=2\times 2x\times 3=12x$, précédé du signe moins. Le carré du second donne $b^{2}=9$. Résultat : $4x^{2}-12x+9$. Deux erreurs coûtent la moitié des points ici : oublier complètement le double produit et écrire $4x^{2}+9$, ou oublier de le doubler et écrire $-6x$. Vérification en $x=1$ : $(2-3)^{2}=1$ et $4-12+9=1$ ✓.

b) $(x+5)(x-5)$ est le produit de la somme par la différence : $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$, donc $x^{2}-25$. C'est le seul produit de deux binômes dont le développement ne compte que DEUX termes, et la raison se voit en développant à la main : $x^{2}-5x+5x-25$, les deux termes croisés sont opposés et s'annulent. Retenez le sens de lecture : ici on part d'un produit pour aller vers une différence de carrés, à l'exercice 2 on fera le trajet inverse. Vérification en $x=3$ : $8\times(-2)=-16$ et $9-25=-16$ ✓.

c) Aucune identité ne s'applique : on distribue chaque terme du premier facteur sur chaque terme du second. $(3x)(2x)=6x^{2}$, $(3x)(4)=12x$, $(-1)(2x)=-2x$, $(-1)(4)=-4$. On réduit les termes semblables, $12x-2x=10x$, puis on ordonne selon les puissances décroissantes : $6x^{2}+10x-4$. Un raccourci mérite d'être vu : le second facteur contient un 2 en évidence, $2x+4=2(x+2)$, donc l'expression vaut aussi $2(3x-1)(x+2)$, ce qui donne le même développement et fournit gratuitement sa factorisation. Vérification en $x=1$ : $2\times 6=12$ et $6+10-4=12$ ✓.

d) Le cube ne s'apprend pas par cœur, il s'obtient en deux étapes : $(x+1)^{3}=(x+1)^{2}(x+1)=(x^{2}+2x+1)(x+1)$. En distribuant : $x^{3}+x^{2}+2x^{2}+2x+x+1$, puis en réduisant : $x^{3}+3x^{2}+3x+1$. Les coefficients $1,\ 3,\ 3,\ 1$ sont ceux d'une ligne du triangle de Pascal, ce qui donne un contrôle immédiat de la réponse. Le piège classique consiste à écrire $(x+1)^{3}=x^{3}+1$ : c'est faux dès $x=1$, où le membre de gauche vaut $8$ et celui de droite $2$. Vérification en $x=2$ : $3^{3}=27$ et $8+12+6+1=27$ ✓.

a) $9x^{2}-16$ est une différence de deux carrés : $9x^{2}=(3x)^{2}$ et $16=4^{2}$, donc $(3x-4)(3x+4)$. Chacun des deux facteurs est de degré 1, on ne peut pas aller plus loin. Notez bien ce qui n'est PAS vrai : la SOMME de deux carrés, $9x^{2}+16$, ne se factorise pas sur les réels, parce qu'elle ne s'annule jamais. Vérification en $x=1$ : $9-16=-7$ et $(-1)(7)=-7$ ✓.

b) $x^{2}-6x+9$ est un trinôme carré parfait. On le reconnaît en trois contrôles : le premier terme est un carré ($x^{2}$), le dernier aussi ($9=3^{2}$), et le terme du milieu est bien le double produit, $2\times x\times 3=6x$. Comme ce terme du milieu est négatif, c'est le carré d'une différence : $(x-3)^{2}$. Si le terme du milieu avait été $-5x$, aucun des trois contrôles n'aurait tenu et il aurait fallu passer par produit-somme. Vérification en $x=0$ : $9$ et $(-3)^{2}=9$ ✓.

c) $2x^{2}+8x$ n'est pas une identité remarquable, c'est une mise en évidence simple. Coefficients $2$ et $8$ : le PGCD vaut $2$. Variable $x$ : elle apparaît dans les deux termes, avec les exposants $2$ et $1$, on prend le plus petit, $x$. Le facteur commun est donc $2x$, et $2x^{2}+8x=2x(x+4)$. Le facteur $x+4$ est de degré 1 : c'est fini. L'erreur fréquente est de s'arrêter à $2(x^{2}+4x)$, qui est bien une factorisation mais pas la plus complète.

d) $x^{2}+5x+6$ se factorise par produit-somme : on cherche deux nombres dont le PRODUIT vaut $6$ (le terme constant) et dont la SOMME vaut $5$ (le coefficient de $x$). Comme le produit est positif et la somme aussi, les deux nombres sont positifs : $2$ et $3$ conviennent. Donc $(x+2)(x+3)$. Le contrôle se fait en redéveloppant le terme du milieu : $3x+2x=5x$ ✓.

e) $3x^{3}-12x$ est l'exercice qui justifie la consigne « le plus complètement possible », car il demande DEUX étapes. On ne peut pas y appliquer directement une identité, puisque $3x^{3}$ n'est pas un carré. On commence donc toujours par la mise en évidence : facteur commun $3x$, ce qui donne $3x(x^{2}-4)$. Le second facteur est maintenant une différence de carrés : $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$. Réponse finale : $3x(x-2)(x+2)$. Réflexe à garder pour tout l'examen : mise en évidence d'abord, identité ensuite, puis on relit chaque facteur obtenu pour vérifier qu'aucun ne se factorise encore.

a) Quatre termes et aucun facteur commun aux quatre : c'est la signature du groupement. On groupe deux à deux, $(x^{3}+4x^{2})+(2x+8)$, puis on met en évidence dans chaque groupe : $x^{2}(x+4)+2(x+4)$. Les deux groupes laissent le MÊME binôme $(x+4)$, ce qui est la condition de réussite du procédé. On met alors ce binôme en évidence : $(x+4)(x^{2}+2)$. Le facteur $x^{2}+2$ est strictement positif pour tout $x$, il n'a donc aucun zéro réel et la factorisation est terminée.

b) $(6x^{2}+3x)+(8x+4)$ donne $3x(2x+1)+4(2x+1)=(2x+1)(3x+4)$. Cet exercice cache une méthode importante : l'expression de départ est en réalité le trinôme $6x^{2}+11x+4$ dont on a déjà décomposé le terme du milieu. Pour factoriser un trinôme $ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 1$, on cherche deux nombres de produit $a\times c=24$ et de somme $b=11$, on trouve $3$ et $8$, on réécrit $11x=3x+8x$, et on retombe exactement sur l'énoncé. C'est la méthode produit-somme généralisée, et elle sert dans tout le reste du cours.

c) $(x^{3}-x^{2})+(3x-3)$ donne $x^{2}(x-1)+3(x-1)=(x-1)(x^{2}+3)$. Le facteur $x^{2}+3$ ne s'annule jamais sur les réels : c'est fini. Attention au signe dans le second groupe, $3x-3=3(x-1)$ et non $3(x+1)$.

Deux remarques valables pour tout le chapitre. Si les deux groupes ne laissent pas le même binôme, il ne faut pas conclure trop vite que l'expression n'est pas factorisable : il faut d'abord essayer un autre appariement des termes, par exemple grouper le premier avec le troisième. Et si le troisième terme est négatif, on met en évidence un facteur NÉGATIF dans le second groupe pour forcer les deux binômes à coïncider. C'est la seule difficulté réelle du groupement.

Règle qui gouverne les quatre questions : les valeurs interdites se lisent sur l'expression DE DÉPART, avant toute simplification, et elles restent interdites après. Simplifier ne fait pas apparaître un point qui n'existait pas.

a) Le dénominateur $x-3$ s'annule en $x=3$ : valeur interdite $x=3$. On factorise le numérateur, $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$, puis on élimine le facteur commun : $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$, pour $x\neq 3$. L'expression simplifiée $x+3$ vaudrait $6$ en $x=3$, mais l'expression de départ n'y est pas définie : la courbe présente un TROU au point $(3\,;6)$. C'est exactement pourquoi on écrit la restriction à côté du résultat.

b) Le dénominateur $x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$ s'annule en $x=-2$ : valeur interdite $x=-2$. Le numérateur se factorise en $(x-2)(x+2)$, d'où $\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^{2}}=\frac{x-2}{x+2}$, pour $x\neq -2$. On n'a éliminé qu'UN facteur $(x+2)$ sur les deux du dénominateur : il en reste un, et c'est lui qui maintient l'interdiction.

c) Le dénominateur $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ s'annule en $x=3$ et en $x=-3$ : deux valeurs interdites. Le numérateur donne $2x^{2}+6x=2x(x+3)$, d'où $\frac{2x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x}{x-3}$, pour $x\neq 3$ et $x\neq -3$. La forme simplifiée n'affiche plus que l'interdiction $x=3$ : si on oublie de reporter $x=-3$, on décrit une fonction différente de celle de l'énoncé. C'est la faute la plus sanctionnée du chapitre.

d) Ici on additionne au lieu de simplifier. Les deux dénominateurs donnent les valeurs interdites $x=0$ et $x=-1$. Le dénominateur commun est leur produit $x(x+1)$, car $x$ et $x+1$ n'ont aucun facteur commun. On complète chaque fraction : $\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x(x+1)}$ et $\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x(x+1)}$, d'où la somme $\frac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$. Le numérateur $2x+1$ et le dénominateur n'ont aucun facteur commun : la fraction est irréductible. Piège à ne jamais commettre : « simplifier » le $x$ du numérateur avec celui du dénominateur. On ne simplifie que des FACTEURS d'un produit, jamais un terme d'une somme. Vérification en $x=1$ : $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ et $\frac{3}{1\times 2}=\frac{3}{2}$ ✓.

a) La longueur $L(x)=\frac{x}{x-4}$ exige $x\neq 4$ et la largeur $\ell(x)=\frac{3}{x}$ exige $x\neq 0$. Mais un problème de dimensions impose davantage que les valeurs interdites algébriques : une longueur et une largeur doivent être STRICTEMENT POSITIVES. Pour $0<x<4$ le dénominateur $x-4$ est négatif et $L(x)$ le serait aussi, ce qui n'a pas de sens. La condition $x>4$ donnée par l'énoncé est donc exactement celle qui rend les deux dimensions positives, et elle contient déjà les deux valeurs interdites.

b) L'aire est le produit des deux dimensions : $A(x)=\frac{x}{x-4}\cdot\frac{3}{x}$. On multiplie deux fractions en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, mais on simplifie AVANT de multiplier : le facteur $x$ du premier numérateur s'élimine avec le $x$ du second dénominateur, ce qui est licite puisque $x>4$ donc $x\neq 0$. Il reste $A(x)=\frac{3}{x-4}$ mètres carrés. Ce résultat est instructif : l'aire ne dépend plus que de l'écart entre $x$ et $4$, et elle DÉCROÎT quand $x$ augmente.

c) Le périmètre additionne, et une addition ne se simplifie pas comme un produit : il faut un dénominateur commun. $P(x)=2\left(\frac{x}{x-4}+\frac{3}{x}\right)$. Les dénominateurs $x-4$ et $x$ n'ont pas de facteur commun, le dénominateur commun est $x(x-4)$. On obtient $\frac{x\cdot x}{x(x-4)}+\frac{3(x-4)}{x(x-4)}=\frac{x^{2}+3x-12}{x(x-4)}$, d'où $P(x)=\frac{2(x^{2}+3x-12)}{x(x-4)}$ mètres. Le trinôme $x^{2}+3x-12$ ne se factorise pas simplement, on le laisse tel quel.

d) $A(6)=\frac{3}{6-4}=\frac{3}{2}=1{,}5$ m$^{2}$. Contrôle par l'expression de départ, qui est le seul vrai contrôle : $L(6)=\frac{6}{2}=3$ m et $\ell(6)=\frac{3}{6}=0{,}5$ m, donc $A=3\times 0{,}5=1{,}5$ m$^{2}$ ✓. Au passage, ce rectangle mesure $3$ m sur $0{,}5$ m : son périmètre vaut $2(3+0{,}5)=7$ m, ce que confirme la formule de c) : $\frac{2(36+18-12)}{6\times 2}=\frac{84}{12}=7$ ✓. Vérifier une formule littérale sur un cas numérique connu prend trente secondes et rattrape la plupart des erreurs de calcul.

a) Le membre de droite doit être le carré du membre de gauche. Le double produit vaut $12x$, et par définition il s'écrit $2\times(2x)\times b$, soit $4bx$. De $4b=12$ on tire $b=3$ : le premier pointillé est $3$. Le second pointillé est alors le carré de $b$, c'est-à-dire $9$. On vérifie l'ensemble : $(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$ ✓. La méthode est toujours la même : c'est le TERME DU MILIEU qui livre la valeur cherchée, jamais le terme constant, parce que le terme constant ne donnerait que $b^{2}$ et donc deux signes possibles.

b) Ici on part du milieu aussi : $14x=2\times x\times b$ donne $b=7$, donc le second pointillé est $7$, et le terme constant vaut $b^{2}=49$. L'identité complète est $(x-7)^{2}=x^{2}-14x+49$. Le signe moins du milieu impose la forme $(x-7)^{2}$ et non $(x+7)^{2}$ ; le terme constant, lui, reste positif dans les deux cas, ce qui explique qu'il ne puisse pas servir de point de départ.

c) Le membre de droite $9x^{2}-25$ est une différence de deux carrés, $(3x)^{2}-5^{2}$, et la forme du membre de gauche annonce déjà $(a-b)(a+b)$. Donc les deux pointillés valent $5$ : $(3x-5)(3x+5)=9x^{2}-25$. Notez qu'ils sont nécessairement ÉGAUX : si on mettait $5$ d'un côté et $-5$ de l'autre, les termes croisés ne s'annuleraient plus.

d) $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$ : le pointillé vaut $8$. On peut le retrouver sans développer, par le double produit $2\times x\times 4=8x$.

e) Une identité est une égalité vraie pour TOUTES les valeurs de la variable : les deux membres sont deux écritures du même objet, et on peut remplacer l'un par l'autre partout. Une équation n'est vraie que pour certaines valeurs, ses solutions, et la résoudre consiste précisément à trouver lesquelles. L'égalité $x^{2}-4=0$ n'est vraie que pour $x=2$ et $x=-2$ : c'est une équation, pas une identité, et il suffit d'UN contre-exemple pour le prouver, par exemple $x=0$ qui donne $-4\neq 0$. Retenez l'asymétrie logique : pour réfuter une identité, un seul contre-exemple suffit ; pour l'établir, aucun nombre d'exemples ne suffit, il faut développer les deux membres et constater qu'ils coïncident terme à terme.

a) $P_{2}$ ne contient qu'un facteur : $P_{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Puis $P_{3}=P_{2}\times\left(1-\frac{1}{9}\right)=\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}$. On simplifie AVANT de multiplier, $3$ avec $9$ et $8$ avec $4$ : $\frac{1}{1}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$. Enfin $P_{4}=\frac{2}{3}\times\left(1-\frac{1}{16}\right)=\frac{2}{3}\times\frac{15}{16}=\frac{5}{8}$, en simplifiant $15$ avec $3$ et $2$ avec $16$.

b) Trois fractions ne se comparent que sous une forme commune. En écrivant chaque résultat avec un dénominateur égal au double de l'indice : $P_{2}=\frac{3}{4}$, $P_{3}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, $P_{4}=\frac{5}{8}$. Les dénominateurs sont $4,\ 6,\ 8$, c'est-à-dire $2n$, et les numérateurs $3,\ 4,\ 5$, c'est-à-dire $n+1$. On conjecture donc $P_{n}=\frac{n+1}{2n}$. Ce travail de mise en forme est la vraie difficulté de la question : sous forme irréductible, aucune régularité n'apparaît.

c) Chaque facteur se factorise par différence de carrés : $1-\frac{1}{k^{2}}=\frac{k^{2}-1}{k^{2}}=\frac{(k-1)(k+1)}{k\cdot k}$. Le produit s'écrit alors $\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\times\frac{2\cdot 4}{3\cdot 3}\times\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\times\cdots\times\frac{(n-1)(n+1)}{n\cdot n}$. Séparons les deux familles de numérateurs. Les facteurs de gauche $1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ n-1$ se simplifient chacun avec le premier $k$ du dénominateur correspondant décalé d'un rang, et il ne survit que le $1$ initial contre le dernier $n$... plus précisément, le produit des $(k-1)$ pour $k$ de $2$ à $n$ vaut $1\times 2\times\cdots\times(n-1)$, celui des $(k+1)$ vaut $3\times 4\times\cdots\times(n+1)$, et celui des $k^{2}$ vaut $(2\times 3\times\cdots\times n)^{2}$. En regroupant, le premier produit vaut $\frac{1}{n}$ fois $2\times\cdots\times n$ et le second vaut $\frac{n+1}{2}$ fois $2\times\cdots\times n$ : tout se compense sauf $\frac{1}{n}\times\frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2n}$. La conjecture est démontrée.

d) $P_{100}=\frac{101}{200}$. Deux contrôles de bon sens : chaque facteur du produit est strictement compris entre $0$ et $1$, donc $P_{n}$ doit être positif et inférieur à $\frac{3}{4}$, ce qui est le cas ; et $\frac{n+1}{2n}$ tend vers $\frac{1}{2}$ quand $n$ grandit en restant au-dessus, ce que $\frac{101}{200}=0{,}505$ illustre bien.

a) Une fraction complexe cache TROIS sources d'interdiction, et c'est là que se joue la question. D'abord les dénominateurs du dividende : $x\neq 0$ et $x+2\neq 0$, donc $x\neq -2$. Ensuite le dénominateur du diviseur, qui contient lui aussi un $x$ : même condition $x\neq 0$. Enfin, et c'est celle qu'on oublie, on ne divise pas par zéro : le diviseur $\frac{x+1}{x}$ doit être non nul, or une fraction est nulle exactement quand son numérateur l'est, d'où $x+1\neq 0$ et $x\neq -1$. Valeurs interdites : $x\in\{-2,\ -1,\ 0\}$.

b) On traite d'abord la parenthèse. Dénominateur commun $x(x+2)$ : $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{(x+2)+x}{x(x+2)}=\frac{2x+2}{x(x+2)}=\frac{2(x+1)}{x(x+2)}$. Cette mise en évidence du $2$ n'est pas cosmétique : elle fait apparaître le facteur $x+1$ qui va se simplifier à l'étape suivante. Diviser, c'est multiplier par l'inverse : $F(x)=\frac{2(x+1)}{x(x+2)}\times\frac{x}{x+1}$. On élimine $x+1$ et $x$, licite puisque ni l'un ni l'autre n'est nul d'après a). Il reste $F(x)=\frac{2}{x+2}$.

c) En $x=3$, expression de départ : $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5+3}{15}=\frac{8}{15}$, et le diviseur vaut $\frac{4}{3}$, d'où $\frac{8}{15}\div\frac{4}{3}=\frac{8}{15}\times\frac{3}{4}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}$. Expression simplifiée : $\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}$ ✓. Les deux coïncident. Une vérification numérique ne prouve pas l'identité, mais elle détecte presque toujours une erreur de signe ou d'inversion, et elle ne coûte qu'une minute en examen.

d) $\frac{2}{x+2}=\frac{1}{2}$. Le produit en croix donne $2\times 2=1\times(x+2)$, donc $x+2=4$ et $x=2$. Cette valeur n'appartient pas à $\{-2,\ -1,\ 0\}$ : elle est admissible. Contrôle sur l'expression de départ : $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\div\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$ ✓. Il faut prendre l'habitude de confronter systématiquement la solution trouvée à la liste des valeurs interdites : c'est en résolvant sur la forme SIMPLIFIÉE, qui a perdu la mémoire de deux interdictions sur trois, qu'on accepte des solutions inadmissibles.

a) $P(-1)=(-1)^{3}-4(-1)^{2}+(-1)+6$. Attention aux puissances d'un nombre négatif : $(-1)^{3}=-1$ car l'exposant est impair, mais $(-1)^{2}=+1$ car il est pair, si bien que $-4(-1)^{2}=-4$ et non $+4$. On obtient $-1-4-1+6=0$. Comme $P(-1)=0$, le théorème du facteur donne que $\bigl(x-(-1)\bigr)=(x+1)$ divise $P(x)$. Pour trouver une racine à essayer, on ne tâtonne pas au hasard : les racines entières d'un polynôme à coefficients entiers dont le coefficient dominant vaut $1$ sont à chercher parmi les DIVISEURS du terme constant, ici les diviseurs de $6$, soit $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$. Cela ramène l'essai à huit candidats au plus.

b) On divise $x^{3}-4x^{2}+x+6$ par $x+1$. Le premier quotient partiel est $x^{2}$, car $x^{2}\times(x+1)=x^{3}+x^{2}$ ; en soustrayant il reste $-5x^{2}+x+6$. Le deuxième est $-5x$, car $-5x\times(x+1)=-5x^{2}-5x$ ; il reste $6x+6$. Le troisième est $6$, et le reste est nul, comme annoncé par a). Le quotient est donc $x^{2}-5x+6$, qui se factorise par produit-somme : deux nombres de produit $6$ et de somme $-5$, tous deux négatifs, ce sont $-2$ et $-3$. Conclusion : $P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$. Contrôle rapide sur le terme constant, qui doit être le produit des constantes : $1\times(-2)\times(-3)=6$ ✓.

c) Le théorème du reste dit que le reste de la division par $(x-a)$ vaut $P(a)$, sans aucun calcul de division. Ici $P(2)=8-16+2+6=0$ : le reste est nul, ce qui signifie que $(x-2)$ est lui aussi un facteur. C'est cohérent avec la factorisation obtenue en b), et cela illustre le lien entre les deux théorèmes : le théorème du facteur est simplement le cas particulier du théorème du reste où le reste est nul.

d) $P(x)=0$ équivaut à $(x+1)(x-2)(x-3)=0$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est, d'où $x=-1$, $x=2$ ou $x=3$. Un polynôme de degré $3$ possède au plus trois racines réelles : on les a donc toutes, et la factorisation est complète. Remarquez enfin que la somme des racines, $-1+2+3=4$, est l'opposé du coefficient de $x^{2}$ : c'est une relation générale, et elle fournit un dernier contrôle gratuit.

a) Le dénominateur $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ a pour conjugué $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ : c'est la même expression avec le signe du milieu inversé. On multiplie le numérateur ET le dénominateur par ce conjugué, ce qui ne change pas la valeur puisqu'on multiplie par $1$ : $\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$. Contrôle numérique : $\sqrt{5}\approx 2{,}236$ et $\sqrt{2}\approx 1{,}414$, donc le départ vaut $\frac{1}{0{,}822}\approx 1{,}22$ et l'arrivée $\frac{3{,}650}{3}\approx 1{,}22$ ✓.

b) Le conjugué de $\sqrt{3}+1$ est $\sqrt{3}-1$ : le conjugué ne concerne que le SIGNE du milieu, peu importe que l'un des deux termes soit un entier. $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}-\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3-1}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$. On ne simplifie pas le $3$ du numérateur avec le $2$, et surtout pas le $\sqrt{3}$ avec le $3$ : le numérateur est une SOMME, il faudrait mettre $\sqrt{3}$ en évidence pour pouvoir simplifier quoi que ce soit, et il ne divise pas $2$.

c) On extrait les carrés parfaits cachés dans chaque radicande : $50=25\times 2$ donc $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ ; $18=9\times 2$ donc $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ ; $8=4\times 2$ donc $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Les trois radicaux ont maintenant la même partie irrationnelle $\sqrt{2}$, ce sont des termes semblables et on additionne leurs coefficients comme on le ferait avec des $x$ : $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$. Vérification : $4\sqrt{2}\approx 5{,}657$, et $7{,}071-4{,}243+2{,}828\approx 5{,}657$ ✓. Ce qu'il ne faut jamais faire : additionner sous le radical. $\sqrt{50}-\sqrt{18}$ ne vaut pas $\sqrt{32}$, qui vaudrait $5{,}657$ alors que la différence vaut $2{,}828$.