Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois

Exercices corrigés : calculs algébriques (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur les calculs algébriques, calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal : ni les exercices trop poussés du programme français, ni ceux trop avancés du cégep. Ils conviennent aux élèves du secondaire québécois comme aux élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui préparent le complément québécois SN5.

Faites chaque exercice au complet avant d'ouvrir la correction : c'est en cherchant qu'on apprend, pas en lisant la solution.

Rappel de cours

• Identités remarquables : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ , $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ .
• Factoriser, c'est écrire une somme sous la forme d'un produit : mise en évidence simple, identités remarquables, ou mise en évidence double (groupement).
• Une fraction rationnelle n'est définie que si son dénominateur est non nul : ce sont les valeurs interdites.
• Avant de simplifier une fraction, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on élimine les facteurs communs.

Exercice 1 : Développer, réduire et ordonner

Développez, réduisez et ordonnez chaque expression.

a) $(2x-3)^2$
b) $(x+5)(x-5)$
c) $(3x-1)(2x+4)$
d) $(x+1)^3$

Voir la correction

a) $4x^2-12x+9$ .

b) $x^2-25$ .

c) $6x^2+12x-2x-4=6x^2+10x-4$ .

d) $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$ .

Exercice 2 : Factoriser le plus complètement possible

Factorisez chaque expression le plus complètement possible.

a) $9x^2-16$
b) $x^2-6x+9$
c) $2x^2+8x$
d) $x^2+5x+6$
e) $3x^3-12x$

Voir la correction

a) $(3x-4)(3x+4)$ .

b) $(x-3)^2$ .

c) $2x(x+4)$ .

d) $(x+2)(x+3)$ .

e) $3x(x^2-4)=3x(x-2)(x+2)$ .

Exercice 3 : Factoriser par groupement

Factorisez chaque expression par mise en évidence double (groupement).

a) $x^3+4x^2+2x+8$
b) $6x^2+3x+8x+4$
c) $x^3-x^2+3x-3$

Voir la correction

a) $x^2(x+4)+2(x+4)=(x+4)(x^2+2)$ .

b) $3x(2x+1)+4(2x+1)=(2x+1)(3x+4)$ .

c) $x^2(x-1)+3(x-1)=(x-1)(x^2+3)$ .

Exercice 4 : Valeurs interdites et simplification

Pour chaque expression, donnez les valeurs interdites, puis simplifiez au mieux.

a) $\frac{x^2-9}{x-3}$
b) $\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}$
c) $\frac{2x^2+6x}{x^2-9}$
d) $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$ (réduire au même dénominateur)

Voir la correction

a) Valeur interdite : $x=3$ . $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ .

b) Valeur interdite : $x=-2$ . $\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}=\frac{x-2}{x+2}$ .

c) Valeurs interdites : $x=3$ et $x=-3$ . $\frac{2x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x}{x-3}$ .

d) Valeurs interdites : $x=0$ et $x=-1$ . $\frac{x+1+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$ .

Exercice 5 : Problème : dimensions rationnelles d'un rectangle

Un rectangle a pour longueur $L(x)=\frac{x}{x-4}$ mètres et pour largeur $\ell(x)=\frac{3}{x}$ mètres, où $x>4$ .

a) Pour quelles valeurs de x ces deux expressions ont-elles un sens dans le contexte ?
b) Exprimez l'aire $A(x)$ du rectangle sous forme d'une seule fraction rationnelle simplifiée.
c) Exprimez le périmètre $P(x)$ sous forme d'une seule fraction rationnelle.
d) Calculez l'aire du rectangle lorsque $x=6$ .

Voir la correction

a) $L$ exige $x\neq 4$ et $\ell$ exige $x\neq 0$ ; dans le contexte, $x>4$ .

b) $A(x)=\frac{x}{x-4}\cdot\frac{3}{x}=\frac{3}{x-4}$ .

c) $P(x)=2\left(\frac{x}{x-4}+\frac{3}{x}\right)=2\cdot\frac{x^2+3(x-4)}{x(x-4)}=\frac{2(x^2+3x-12)}{x(x-4)}$ .

d) $A(6)=\frac{3}{6-4}=\frac{3}{2}=1{,}5$ m $^2$ .

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

Voir aussi

📝 Tous les exercices 📐 Tuteur math SN5 📐 Mathématiques 🏫 Secondaire québécois 🎓 Tutorat cégep

Exercices corrigés : calculs algébriques (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Développer, réduire et ordonner

Exercice 2 : Factoriser le plus complètement possible

Exercice 3 : Factoriser par groupement

Exercice 4 : Valeurs interdites et simplification

Exercice 5 : Problème : dimensions rationnelles d'un rectangle

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