Exercices corrigés : calculs exponentiels et logarithmiques (math SN5)

Dans $2^{5}=32$, la base est $2$, l'exposant $5$, le résultat $32$. Forme logarithmique : $\log_{2}(32)=5$.

Dans $10^{3}=1000$, la base est $10$. Comme la base $10$ est celle du logarithme décimal, on l'écrit sans indice par convention : $\log(1000)=3$. Écrire $\log_{10}(1000)=3$ n'est pas faux, seulement redondant.

Dans $3^{-2}=\frac{1}{9}$, l'exposant est $-2$ : $\log_{3}\left(\frac{1}{9}\right)=-2$. Notez que l'argument $\frac{1}{9}$ est bien strictement positif, comme tout résultat d'une puissance de base positive, et que c'est l'exposant, non l'argument, qui porte le signe négatif.

Dans $e^{0}=1$, la base est le nombre $e\approx 2{,}718$, dont le logarithme s'écrit $\ln$ par convention : $\ln(1)=0$. Cette égalité est un cas particulier de la règle universelle $\log_{a}(1)=0$, valable dans toute base.

Dans $\log_{5}(25)=2$, la base est $5$, le résultat du logarithme est l'exposant $2$, et l'argument $25$ est le résultat de la puissance : $5^{2}=25$.

Dans $\ln(x)=3$, la base sous-entendue est $e$ et l'exposant est $3$ : $e^{3}=x$, c'est-à-dire $x=e^{3}\approx 20{,}09$. C'est exactement la manipulation qui sert à RÉSOUDRE une équation logarithmique, comme on le fera à l'exercice 4 : convertir en forme exponentielle isole l'inconnue d'un seul geste.

Loi du produit, lue à l'envers : $\log(3)+\log(4)=\log(3\times 4)=\log(12)$. On additionne les logarithmes, mais on MULTIPLIE les arguments ; écrire $\log(7)$ serait l'erreur la plus grave du chapitre. Contrôle numérique : $\log 3\approx 0{,}477$ et $\log 4\approx 0{,}602$, dont la somme vaut $1{,}079$, alors que $\log 12\approx 1{,}079$ ✓ et $\log 7\approx 0{,}845$ ✗.

Loi du quotient : $\log_{2}(24)-\log_{2}(3)=\log_{2}\left(\frac{24}{3}\right)=\log_{2}(8)$. Et ce résultat se SIMPLIFIE, car $8=2^{3}$ : la réponse finale est $3$. C'est le second temps de la consigne, et l'oublier coûte des points : une fois l'expression réduite à un seul logarithme, il faut toujours regarder si l'argument est une puissance de la base.

Loi de la puissance : $3\log(2)=\log\left(2^{3}\right)=\log(8)$. Le coefficient placé DEVANT le logarithme remonte en exposant DANS le logarithme. Ici $8$ n'est pas une puissance de $10$, la base du logarithme décimal, donc on ne peut pas simplifier davantage et l'on s'arrête à $\log(8)$.

Deux lois s'enchaînent, et l'ordre compte. On traite d'abord le coefficient $\frac{1}{2}$ avec la loi de la puissance : $\frac{1}{2}\log(9)=\log\left(9^{1/2}\right)=\log\left(\sqrt{9}\right)=\log(3)$. Un coefficient fractionnaire correspond donc à une RACINE, ce qui est le cas le plus utile de cette loi. On applique ensuite la loi du produit : $\log(3)+\log(2)=\log(6)$. Contrôle numérique : $\frac{1}{2}\times 0{,}954+0{,}301=0{,}477+0{,}301=0{,}778$, et $\log 6\approx 0{,}778$ ✓.

$16=2^{4}$, donc $\log_{2}(16)=4$.

$0{,}001=\frac{1}{1000}=10^{-3}$, donc $\log(0{,}001)=-3$. Une valeur négative est normale ici : l'argument est inférieur à $1$, il faut donc un exposant négatif pour l'atteindre. Retenez la lecture directe pour la base $10$ : le logarithme décimal d'une puissance de dix est son exposant, ce qui se lit au nombre de zéros.

$\ln\left(e^{5}\right)=5$, par la propriété fondamentale $\ln\left(e^{x}\right)=x$ : le logarithme et l'exponentielle de même base s'annulent l'un l'autre. C'est immédiat et il ne faut surtout pas chercher à évaluer $e^{5}\approx 148{,}4$ d'abord.

$\log_{3}(1)=0$, car $3^{0}=1$. Cette valeur ne dépend pas de la base : $\log_{a}(1)=0$ toujours.

$\sqrt{5}=5^{1/2}$, donc $\log_{5}\left(\sqrt{5}\right)=\frac{1}{2}$. Une racine carrée donne un logarithme fractionnaire, exactement comme à l'exercice 2 d), et il faut savoir passer de la notation radicale à la notation exposant pour le voir.

$2^{\log_{2}(7)}=7$, par la propriété réciproque de celle de c) : élever la base à la puissance de son propre logarithme redonne l'argument. Le logarithme $\log_{2}(7)$ n'est pas un nombre simple, il vaut environ $2{,}807$, mais on n'a AUCUN besoin de le calculer : les deux opérations se défont mutuellement. Ces deux identités, $\log_{a}\left(a^{x}\right)=x$ et $a^{\log_{a}(x)}=x$, sont les deux faces d'un même fait, à savoir que $\log_{a}$ et $x\mapsto a^{x}$ sont réciproques l'une de l'autre. La première vaut pour tout réel $x$, la seconde uniquement pour $x>0$, où le logarithme existe.

Domaine : $x>0$. On regroupe par la loi du produit : $\log(x)+\log(4)=\log(4x)$, donc $\log(4x)=2$. On passe à la forme exponentielle : $4x=10^{2}=100$, d'où $x=25$. Comme $25>0$, la solution est admissible ✓. Vérification : $\log 25+\log 4=\log 100=2$ ✓.

Domaine : il faut $x+3>0$ ET $x>0$, ce qui se résume à $x>0$, la seconde condition étant la plus restrictive. Ce domaine est la clé de la question. On regroupe : $\log\left(x(x+3)\right)=1$, donc $x^{2}+3x=10^{1}=10$, soit $x^{2}+3x-10=0$. On factorise par produit-somme, deux nombres de produit $-10$ et de somme $3$, ce sont $5$ et $-2$ : $(x+5)(x-2)=0$, d'où les candidats $x=2$ et $x=-5$. Confrontation au domaine : $2>0$ est ACCEPTÉ, tandis que $-5$ n'est pas positif et est REJETÉ. Solution unique : $x=2$. Vérification : $\log 5+\log 2=\log 10=1$ ✓. Le candidat $-5$ est une racine étrangère, produite par le regroupement en un seul logarithme : le produit $x(x+3)$ vaut bien $10$ en $x=-5$, car les deux facteurs y sont négatifs, mais aucun des deux logarithmes de départ n'existe.

Aucun domaine à poser, une exponentielle est définie partout. $32=2^{5}$, donc $2^{x}=2^{5}$ et $x=5$.

$27=3^{3}$, donc $3^{2x-1}=3^{3}$ et l'on identifie les exposants : $2x-1=3$, d'où $2x=4$ et $x=2$. Vérification : $3^{2\times 2-1}=3^{3}=27$ ✓. Notez le contraste entre les deux moitiés de l'exercice : dans une équation logarithmique, l'inconnue est dans l'ARGUMENT et il faut surveiller le domaine ; dans une équation exponentielle, elle est dans l'EXPOSANT et il n'y a aucune restriction, donc aucune solution à rejeter.

$C(3)=5000\cdot 1{,}06^{3}$. On calcule la puissance : $1{,}06^{3}=1{,}191016$, donc $C(3)=5000\times 1{,}191016\approx 5955{,}08$ dollars. Comprenez le facteur $1{,}06$ : un taux de $6$ % signifie que le capital est MULTIPLIÉ par $1+0{,}06$ chaque année, et non augmenté d'un montant fixe. C'est ce qui distingue les intérêts composés des intérêts simples, lesquels auraient donné $5000+3\times 300=5900$ dollars. L'écart de $55$ dollars sur trois ans est le rendement des intérêts sur les intérêts.

On veut $5000\cdot 1{,}06^{n}>8000$, soit $1{,}06^{n}>1{,}6$. La base $1{,}06$ ne donne pas $1{,}6$ comme puissance simple, il faut le logarithme : $n\ln 1{,}06>\ln 1{,}6$. Cette fois $\ln 1{,}06>0$, puisque $1{,}06>1$, donc la division CONSERVE le sens : $n>\frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}06}\approx\frac{0{,}470}{0{,}0583}\approx 8{,}07$. Les intérêts n'étant versés qu'en fin d'année, $n$ doit être un entier, et il faut le premier entier strictement supérieur : $n=9$ ans. Contrôle : $C(8)\approx 7969{,}24$ dollars, insuffisant ✓, et $C(9)\approx 8447{,}39$ dollars, au-delà ✓.

$24$ jours représentent exactement $\frac{24}{8}=3$ demi-vies. À chaque demi-vie la masse est divisée par deux, donc il reste $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$ de la masse initiale, c'est-à-dire $12{,}5$ %. Ce raisonnement par comptage de demi-vies évite tout logarithme et doit être le premier réflexe quand la durée est un multiple entier de la demi-vie.

$(0{,}5)^{t/8}=0{,}1$. Ici $0{,}1$ n'est pas une puissance entière de $\frac{1}{2}$, le comptage ne suffit plus. En appliquant $\ln$ : $\frac{t}{8}\ln 0{,}5=\ln 0{,}1$, donc $\frac{t}{8}=\frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}5}\approx\frac{-2{,}303}{-0{,}693}\approx 3{,}322$, d'où $t\approx 26{,}58$ jours. Le résultat est cohérent : il faut un peu plus de trois demi-vies, ce qui est logique puisqu'il reste $10$ %, soit un peu moins que les $12{,}5$ % obtenus à trois demi-vies ✓. Notez au passage que le nombre $3{,}322$ est $\log_{2}10$, la même constante qu'on rencontre partout dès qu'on convertit entre puissances de $2$ et de $10$.

Domaine : il faut $x>0$ ET $x-6>0$, donc la condition la plus forte l'emporte : $x>6$. C'est cette borne qui décidera de tout à la fin. On regroupe par la loi du produit : $\log_{2}\left(x(x-6)\right)=4$, puis on passe à la forme exponentielle : $x(x-6)=2^{4}=16$, soit $x^{2}-6x-16=0$. Factorisation par produit-somme, deux nombres de produit $-16$ et de somme $-6$, ce sont $-8$ et $2$ : $(x-8)(x+2)=0$, d'où les candidats $x=8$ et $x=-2$. Confrontation au domaine : $8>6$ est ACCEPTÉ, tandis que $-2$ ne vérifie pas $x>6$ et est REJETÉ comme racine étrangère. Solution : $x=8$. Vérification dans l'équation de départ : $\log_{2}8+\log_{2}(8-6)=\log_{2}8+\log_{2}2=3+1=4$ ✓.

Domaine : il faut $x+6>0$ et $x-2>0$, donc $x>-6$ et $x>2$, ce qui donne $x>2$. On regroupe par la loi du quotient : $\log_{3}\frac{x+6}{x-2}=2$, puis $\frac{x+6}{x-2}=3^{2}=9$. On chasse le dénominateur, licite puisque $x\neq 2$ : $x+6=9(x-2)=9x-18$, donc $24=8x$ et $x=3$. Comme $3>2$, la solution est admissible ✓. Vérification : $\log_{3}(3+6)-\log_{3}(3-2)=\log_{3}9-\log_{3}1=2-0=2$ ✓.

La racine étrangère apparaît au moment précis où l'on regroupe $\log_{2}(x)+\log_{2}(x-6)$ en $\log_{2}\left(x(x-6)\right)$. Cette transformation ÉLARGIT le domaine sans qu'on s'en aperçoive. À gauche, il faut que $x$ et $x-6$ soient tous deux positifs. À droite, il suffit que leur PRODUIT le soit, ce qui est également vrai lorsque les deux facteurs sont négatifs ensemble. Pour $x=-2$, on a bien $x(x-6)=(-2)(-8)=16>0$, donc l'équation regroupée est satisfaite, alors qu'aucun des deux logarithmes de départ n'existe. La nouvelle équation possède donc des solutions que l'ancienne n'a pas. C'est exactement pour cela qu'on pose le domaine AVANT toute manipulation : posé après, il ne servirait à rien, puisqu'on aurait déjà perdu la trace de l'expression initiale. La parenté avec les racines étrangères de l'équation avec radical est complète, seul le mécanisme diffère : là c'était l'élévation au carré qui perdait le signe, ici c'est le regroupement qui perd les domaines séparés.

Chaque placement suit une croissance exponentielle, le capital étant multiplié chaque année par $1$ plus le taux. Amina : $A(t)=1000\,(1{,}08)^{t}$. Karim : $K(t)=1200\,(1{,}06)^{t}$. La situation initiale est claire : Karim a plus de capital, mais Amina a un meilleur taux, donc il existe forcément un moment où elle le rattrape.

L'égalité des deux valeurs s'écrit $1000\,(1{,}08)^{t}=1200\,(1{,}06)^{t}$.

On rassemble les puissances d'un côté et les constantes de l'autre, ce qui est le geste décisif : en divisant par $1000$ et par $(1{,}06)^{t}$, on obtient $\frac{(1{,}08)^{t}}{(1{,}06)^{t}}=\frac{1200}{1000}=1{,}2$. Or un quotient de puissances de même exposant se regroupe : $\left(\frac{1{,}08}{1{,}06}\right)^{t}=1{,}2$. On applique alors $\ln$ : $t\ln\frac{1{,}08}{1{,}06}=\ln 1{,}2$, d'où $t=\frac{\ln 1{,}2}{\ln(1{,}08/1{,}06)}\approx\frac{0{,}1823}{0{,}01869}\approx 9{,}75$ ans. Comme les intérêts sont composés annuellement, on interprète : le placement d'Amina rattrape celui de Karim au cours de la dixième année. Notez que le quotient $\frac{1{,}08}{1{,}06}\approx 1{,}0189$ est à peine supérieur à $1$, donc son logarithme est très petit, ce qui explique la valeur élevée du quotient final : un faible écart de taux met longtemps à combler un écart de capital.

$A(9{,}75)=1000\times(1{,}08)^{9{,}75}\approx 1000\times 2{,}118\approx 2118$ dollars. $K(9{,}75)=1200\times(1{,}06)^{9{,}75}\approx 1200\times 1{,}765\approx 2118$ dollars. Les deux valeurs coïncident ✓, ce qui confirme la résolution. Contrôle supplémentaire de part et d'autre, plus probant qu'une simple égalité : à $t=9$, $A\approx 1999$ et $K\approx 2027$, donc Karim est encore devant ✓ ; à $t=10$, $A\approx 2159$ et $K\approx 2149$, Amina est passée devant ✓. La bascule a bien lieu entre la neuvième et la dixième année.

$12=4\times 3=2^{2}\times 3$. Loi du produit puis loi de la puissance : $\log_{a}12=\log_{a}\left(2^{2}\right)+\log_{a}3=2\log_{a}2+\log_{a}3=2\times 0{,}36+0{,}56=0{,}72+0{,}56=1{,}28$.

$\frac{9}{8}=\frac{3^{2}}{2^{3}}$. Loi du quotient puis loi de la puissance : $\log_{a}\frac{9}{8}=2\log_{a}3-3\log_{a}2=2\times 0{,}56-3\times 0{,}36=1{,}12-1{,}08=0{,}04$. Le résultat est très petit, et c'est cohérent : $\frac{9}{8}=1{,}125$ est proche de $1$, or le logarithme de $1$ vaut $0$ dans toute base. Ce contrôle de plausibilité est précieux, une erreur de signe aurait donné $2{,}20$, une valeur manifestement trop grande pour un argument aussi proche de $1$.

$54=2\times 27=2\times 3^{3}$, et la racine correspond à l'exposant $\frac{1}{2}$. Donc $\log_{a}\sqrt{54}=\frac{1}{2}\log_{a}54=\frac{1}{2}\left(\log_{a}2+3\log_{a}3\right)=\frac{1}{2}(0{,}36+3\times 0{,}56)=\frac{1}{2}(0{,}36+1{,}68)=\frac{1}{2}\times 2{,}04=1{,}02$. On traite la racine EN PREMIER en la sortant comme facteur $\frac{1}{2}$, ce qui évite de manipuler des exposants fractionnaires à l'intérieur.

$\log_{a}\left(8a^{2}\right)=\log_{a}8+\log_{a}\left(a^{2}\right)=3\log_{a}2+2\log_{a}a$. La subtilité est le second terme : $\log_{a}a=1$ pour toute base, puisqu'il faut l'exposant $1$ pour obtenir $a$ à partir de $a$. Donc $\log_{a}\left(8a^{2}\right)=3\times 0{,}36+2\times 1=1{,}08+2=3{,}08$. Cette question teste précisément la reconnaissance de $\log_{a}a=1$, une valeur qu'on oublie parce qu'elle ne figure pas dans les données de l'énoncé. Pour information, les valeurs proposées correspondent à $a=7$ environ, puisque $\log_{7}2\approx 0{,}356$, mais il aurait été absurde de commencer par là.

$\log_{8}32=\frac{\ln 32}{\ln 8}$. Plutôt que d'évaluer ces deux logarithmes, on écrit les deux nombres comme des puissances de $2$ : $32=2^{5}$ et $8=2^{3}$. Donc $\frac{\ln 2^{5}}{\ln 2^{3}}=\frac{5\ln 2}{3\ln 2}=\frac{5}{3}$, le facteur $\ln 2$ se simplifiant. Valeur exacte : $\frac{5}{3}$. Contrôle : $8^{5/3}=\left(8^{1/3}\right)^{5}=2^{5}=32$ ✓. Cette technique fonctionne chaque fois que la base et l'argument sont des puissances d'un même nombre, et elle donne toujours un résultat RATIONNEL, le quotient des deux exposants.

$\log_{9}27=\frac{\ln 27}{\ln 9}=\frac{\ln 3^{3}}{\ln 3^{2}}=\frac{3\ln 3}{2\ln 3}=\frac{3}{2}$. Contrôle : $9^{3/2}=\left(\sqrt{9}\right)^{3}=3^{3}=27$ ✓. Remarquez que le résultat dépasse $1$, ce qui est normal puisque $27>9$.

On exprime $\log_{4}x$ à l'aide de $\log_{2}x$, qui est la donnée : $\log_{4}x=\frac{\ln x}{\ln 4}$. Comme $4=2^{2}$, on a $\ln 4=2\ln 2$, donc $\log_{4}x=\frac{\ln x}{2\ln 2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\ln x}{\ln 2}=\frac{1}{2}\log_{2}x=\frac{1}{2}\times 3{,}2=1{,}6$. Le principe est général et vaut d'être retenu : passer de la base $2$ à la base $4$, c'est diviser par $2$, parce que $4$ est le CARRÉ de $2$. Autrement dit, élever la base à une puissance divise le logarithme par cette puissance. Contrôle de plausibilité : la base $4$ étant plus grande, il faut un exposant plus petit pour atteindre le même $x$, et l'on trouve bien $1{,}6<3{,}2$ ✓.

$\log_{2}3\cdot\log_{3}8=\frac{\ln 3}{\ln 2}\cdot\frac{\ln 8}{\ln 3}$. Les deux $\ln 3$ se simplifient, l'un au numérateur et l'autre au dénominateur, et il reste $\frac{\ln 8}{\ln 2}=\log_{2}8=3$. Ce mécanisme porte un nom, la chaîne de changement de base : $\log_{a}b\cdot\log_{b}c=\log_{a}c$, la base intermédiaire $b$ disparaissant comme dans une simplification de fractions. Un cas particulier utile en découle : avec $c=a$, on obtient $\log_{a}b\cdot\log_{b}a=\log_{a}a=1$, donc deux logarithmes de bases échangées sont INVERSES l'un de l'autre. Par exemple $\log_{2}3\approx 1{,}585$ et $\log_{3}2\approx 0{,}631$, dont le produit vaut bien $1$ ✓.

Les bases $5$ et $20$ n'ont aucune puissance commune, la méthode des bases échoue et il faut le logarithme. On l'applique aux deux membres, ce qui est légitime puisqu'il s'agit de deux nombres strictement positifs égaux : $\ln\left(5^{x}\right)=\ln 20$. La loi de la puissance fait DESCENDRE l'exposant : $x\ln 5=\ln 20$, donc $x=\frac{\ln 20}{\ln 5}\approx\frac{2{,}996}{1{,}609}\approx 1{,}86$. Contrôle de plausibilité, à faire systématiquement : $5^{1}=5$ et $5^{2}=25$, or $20$ est entre les deux et plus près de $25$, donc $x$ doit être entre $1$ et $2$ et plus près de $2$ ✓. On peut aussi écrire la réponse $\log_{5}20$, qui est la même chose.

$\ln$ des deux côtés : $(2x-1)\ln 3=\ln 7$. Attention à la parenthèse, c'est l'exposant TOUT ENTIER qui descend, et non le seul $x$. On isole : $2x-1=\frac{\ln 7}{\ln 3}$, puis $2x=1+\frac{\ln 7}{\ln 3}$, donc $x=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\ln 7}{\ln 3}\right)$. C'est la valeur exacte. Numériquement, $\frac{\ln 7}{\ln 3}\approx\frac{1{,}946}{1{,}099}\approx 1{,}771$, donc $x\approx\frac{1}{2}(2{,}771)\approx 1{,}39$. Contrôle : $3^{2\times 1{,}39-1}=3^{1{,}77}\approx 6{,}99$, soit bien $7$ aux arrondis près ✓.

Ici l'inconnue figure dans les DEUX exposants, avec des bases différentes : c'est le cas le plus complet. On applique $\ln$ : $x\ln 2=(x-1)\ln 3$. On développe le membre de droite, sans oublier de distribuer : $x\ln 2=x\ln 3-\ln 3$. On rassemble ensuite tous les termes contenant $x$ d'un même côté, exactement comme dans une équation du premier degré : $x\ln 2-x\ln 3=-\ln 3$, puis on met $x$ en évidence, $x(\ln 2-\ln 3)=-\ln 3$, et enfin $x=\frac{-\ln 3}{\ln 2-\ln 3}=\frac{\ln 3}{\ln 3-\ln 2}$, la dernière écriture évitant les signes négatifs en multipliant haut et bas par $-1$. Numériquement, $x\approx\frac{1{,}099}{1{,}099-0{,}693}=\frac{1{,}099}{0{,}406}\approx 2{,}71$. Contrôle : $2^{2{,}71}\approx 6{,}55$ et $3^{2{,}71-1}=3^{1{,}71}\approx 6{,}55$ ✓. Le point de méthode à retenir est que, une fois le logarithme appliqué, $\ln 2$ et $\ln 3$ ne sont plus que des NOMBRES : l'équation est devenue une banale équation du premier degré en $x$.