Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois

Exercices corrigés : calculs exponentiels et logarithmiques (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur les calculs exponentiels et logarithmiques, calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal. Ils conviennent aux élèves du secondaire québécois comme aux élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui préparent le complément québécois SN5.

Faites chaque exercice au complet avant d'ouvrir la correction : c'est en cherchant qu'on apprend, pas en lisant la solution.

Rappel de cours

• Définition : $\log_a(x)=y \Leftrightarrow a^y=x$ (avec $a>0,\ a\neq 1,\ x>0$ ).
• Lois : $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ , $\log_a(x^n)=n\log_a x$ .
• Changement de base : $\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}$ ; cas particuliers $\log=\log_{10}$ et $\ln=\log_e$ .
• Pour une équation logarithmique : d'abord le domaine d'existence, puis on résout, puis on VÉRIFIE chaque solution dans le domaine (les solutions hors domaine sont rejetées).

Exercice 1 : Conversion exponentielle / logarithmique

Écrivez les égalités a) à d) sous forme logarithmique, et les égalités e) et f) sous forme exponentielle.

a) $2^5=32$
b) $10^3=1000$
c) $3^{-2}=\frac{1}{9}$
d) $e^0=1$
e) $\log_5(25)=2$
f) $\ln(x)=3$

Voir la correction

a) $\log_2(32)=5$ .

b) $\log(1000)=3$ .

c) $\log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2$ .

d) $\ln(1)=0$ .

e) $5^2=25$ .

f) $e^3=x$ .

Exercice 2 : Écrire comme un seul logarithme

Écrivez chaque expression sous la forme d'un seul logarithme, puis simplifiez si possible.

a) $\log(3)+\log(4)$
b) $\log_2(24)-\log_2(3)$
c) $3\log(2)$
d) $\frac{1}{2}\log(9)+\log(2)$

Voir la correction

a) $\log(3)+\log(4)=\log(12)$ .

b) $\log_2(24)-\log_2(3)=\log_2(8)=3$ .

c) $3\log(2)=\log(2^3)=\log(8)$ .

d) $\frac{1}{2}\log(9)+\log(2)=\log(3)+\log(2)=\log(6)$ .

Exercice 3 : Valeurs exactes et propriétés

Calculez sans calculatrice.

a) $\log_2(16)$
b) $\log(0{,}001)$
c) $\ln(e^5)$
d) $\log_3(1)$
e) $\log_5\left(\sqrt{5}\right)$
f) $2^{\log_2(7)}$

Voir la correction

a) $\log_2(16)=4$ .

b) $\log(0{,}001)=-3$ .

c) $\ln(e^5)=5$ .

d) $\log_3(1)=0$ .

e) $\log_5\left(\sqrt{5}\right)=\frac{1}{2}$ .

f) $2^{\log_2(7)}=7$ .

Exercice 4 : Équations logarithmiques et exponentielles

Déterminez le domaine d'existence, puis résolvez. Vérifiez vos solutions.

a) $\log(x)+\log(4)=2$
b) $\log(x+3)+\log(x)=1$
c) $2^x=32$
d) $3^{2x-1}=27$

Voir la correction

a) Domaine $x>0$ . $\log(4x)=2\Rightarrow 4x=100\Rightarrow x=25$ (valide).

b) Domaine $x>0$ . $\log(x(x+3))=1\Rightarrow x^2+3x=10\Rightarrow x^2+3x-10=0\Rightarrow (x+5)(x-2)=0$ . $x=2$ (valide) ; $x=-5$ rejeté (hors domaine).

c) $2^x=32=2^5\Rightarrow x=5$ .

d) $3^{2x-1}=27=3^3\Rightarrow 2x-1=3\Rightarrow x=2$ .

Exercice 5 : Problèmes : intérêts composés et désintégration

Partie 1 : un capital de 5000 $ est placé à un taux de 6 % composé annuellement. Sa valeur après n années est $C(n)=5000\cdot 1{,}06^{n}$ .

Partie 2 : une substance radioactive de demi-vie 8 jours a une masse $M(t)=M_0\cdot(0{,}5)^{t/8}$ .

a) Quelle est la valeur du capital après 3 ans ?
b) Après combien d'années entières le capital dépasse-t-il 8000 $ ?
c) Quelle fraction de la masse initiale reste-t-il après 24 jours ?
d) Après combien de jours reste-t-il 10 % de la masse initiale ?

Voir la correction

a) $C(3)=5000\cdot 1{,}06^{3}\approx 5955{,}08$ $.

b) $1{,}06^{n}>1{,}6\Rightarrow n>\frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}06}\approx 8{,}07$ . Le capital dépasse 8000 $ après 9 ans.

c) 24 jours $=3$ demi-vies, donc $(0{,}5)^3=\frac{1}{8}$ de la masse initiale.

d) $(0{,}5)^{t/8}=0{,}1\Rightarrow \frac{t}{8}=\frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}5}\Rightarrow t\approx 26{,}58$ jours.

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

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Exercices corrigés : calculs exponentiels et logarithmiques (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Conversion exponentielle / logarithmique

Exercice 2 : Écrire comme un seul logarithme

Exercice 3 : Valeurs exactes et propriétés

Exercice 4 : Équations logarithmiques et exponentielles

Exercice 5 : Problèmes : intérêts composés et désintégration

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