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Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois

Exercices corrigés : calculs trigonométriques (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur les calculs trigonométriques, calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal. Ils conviennent aux élèves du secondaire québécois comme aux élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui préparent le complément québécois SN5.

Faites chaque exercice au complet avant d'ouvrir la correction : c'est en cherchant qu'on apprend, pas en lisant la solution.

Rappel de cours

  • • Rapports : sec⁡x=1cos⁡x\sec x=\frac{1}{\cos x}, csc⁡x=1sin⁡x\csc x=\frac{1}{\sin x}, cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
  • • Identités fondamentales : sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1 ; tan⁡2x+1=sec⁡2x\tan^2 x+1=\sec^2 x ; 1+cot⁡2x=csc⁡2x1+\cot^2 x=\csc^2 x.
  • • Formules d'addition : cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B ; sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B.
  • • Formules du double : sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x)=2\sin x\cos x ; cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x.

Exercice 1 : Simplifier avec les identités de base

Simplifiez chaque expression à l'aide des identités de base.

  • a) sec⁡x⋅cos⁡x\sec x\cdot\cos x
  • b) tan⁡x⋅cot⁡x\tan x\cdot\cot x
  • c) sin⁡x⋅cot⁡x\sin x\cdot\cot x
  • d) tan⁡x⋅cos⁡x\tan x\cdot\cos x
Voir la correction

a) sec⁡x⋅cos⁡x=1cos⁡x⋅cos⁡x=1\sec x\cdot\cos x=\frac{1}{\cos x}\cdot\cos x=1.

b) tan⁡x⋅cot⁡x=sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=1\tan x\cdot\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=1.

c) sin⁡x⋅cot⁡x=sin⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=cos⁡x\sin x\cdot\cot x=\sin x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\cos x.

d) tan⁡x⋅cos⁡x=sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x=sin⁡x\tan x\cdot\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x.

Exercice 2 : Simplifier des expressions

Simplifiez chaque expression.

  • a) (1−sin⁡2x)sec⁡2x\left(1-\sin^2 x\right)\sec^2 x
  • b) cos⁡2x(tan⁡2x+1)\cos^2 x\left(\tan^2 x+1\right)
  • c) (1−sin⁡x)(1+sin⁡x)\left(1-\sin x\right)\left(1+\sin x\right)
  • d) (sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x−cos⁡x)2\left(\sin x+\cos x\right)^2+\left(\sin x-\cos x\right)^2
Voir la correction

a) cos⁡2x⋅1cos⁡2x=1\cos^2 x\cdot\frac{1}{\cos^2 x}=1.

b) cos⁡2x⋅sec⁡2x=1\cos^2 x\cdot\sec^2 x=1.

c) 1−sin⁡2x=cos⁡2x1-\sin^2 x=\cos^2 x.

d) 2(sin⁡2x+cos⁡2x)=22\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)=2.

Exercice 3 : Calculer un rapport à partir d'un autre

Utilisez l'identité sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1 et le quadrant pour déterminer le signe.

  • a) cos⁡x=35\cos x=\frac{3}{5} et x est dans le quadrant IV. Calculez sin⁡x\sin x.
  • b) sin⁡x=−1213\sin x=-\frac{12}{13} et x est dans le quadrant III. Calculez cos⁡x\cos x.
  • c) cos⁡x=−2029\cos x=-\frac{20}{29} et x est dans le quadrant II. Calculez tan⁡x\tan x.
Voir la correction

a) sin⁡2x=1−925=1625\sin^2 x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}, donc sin⁡x=±45\sin x=\pm\frac{4}{5}. Quadrant IV : sin⁡x=−45\sin x=-\frac{4}{5}.

b) cos⁡2x=1−144169=25169\cos^2 x=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}, donc cos⁡x=±513\cos x=\pm\frac{5}{13}. Quadrant III : cos⁡x=−513\cos x=-\frac{5}{13}.

c) sin⁡2x=1−400841=441841\sin^2 x=1-\frac{400}{841}=\frac{441}{841}, sin⁡x=2129\sin x=\frac{21}{29} (quadrant II). tan⁡x=21/29−20/29=−2120\tan x=\frac{21/29}{-20/29}=-\frac{21}{20}.

Exercice 4 : Démontrer des identités

Démontrez chaque identité (pour tout x où les expressions sont définies).

  • a) sec⁡x−sin⁡xtan⁡x=cos⁡x\sec x-\sin x\tan x=\cos x
  • b) (1−cos⁡2x)csc⁡x=sin⁡x\left(1-\cos^2 x\right)\csc x=\sin x
  • c) tan⁡xcsc⁡x=sec⁡x\tan x\csc x=\sec x
Voir la correction

a) sec⁡x−sin⁡xtan⁡x=1cos⁡x−sin⁡2xcos⁡x=1−sin⁡2xcos⁡x=cos⁡2xcos⁡x=cos⁡x\sec x-\sin x\tan x=\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos x}=\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x}{\cos x}=\cos x.

b) (1−cos⁡2x)csc⁡x=sin⁡2x⋅1sin⁡x=sin⁡x\left(1-\cos^2 x\right)\csc x=\sin^2 x\cdot\frac{1}{\sin x}=\sin x.

c) tan⁡xcsc⁡x=sin⁡xcos⁡x⋅1sin⁡x=1cos⁡x=sec⁡x\tan x\csc x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin x}=\frac{1}{\cos x}=\sec x.

Exercice 5 : Formules d'addition et du double

Utilisez les formules d'addition et du double.

  • a) Calculez la valeur exacte de sin⁡(75°)\sin(75°) à l'aide de 75°=45°+30°75°=45°+30°.
  • b) Calculez la valeur exacte de cos⁡(15°)\cos(15°) à l'aide de 15°=45°−30°15°=45°-30°.
  • c) Sachant que sin⁡t=−13\sin t=-\frac{1}{3} et que tt est dans le quadrant III, calculez sin⁡(2t)\sin(2t).
Voir la correction

a) sin⁡75°=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°=22⋅32+22⋅12=6+24\sin 75°=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

b) cos⁡15°=cos⁡45°cos⁡30°+sin⁡45°sin⁡30°=6+24\cos 15°=\cos 45°\cos 30°+\sin 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

c) cos⁡t=−223\cos t=-\frac{2\sqrt{2}}{3} (quadrant III). sin⁡(2t)=2sin⁡tcos⁡t=2(−13)(−223)=429\sin(2t)=2\sin t\cos t=2\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{4\sqrt{2}}{9}.

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

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