Exercices corrigés : calculs trigonométriques (math SN5)

Réflexe unique qui résout tout l'exercice, et une bonne partie de la série : dès qu'une expression contient $\sec$, $\csc$, $\cot$ ou $\tan$, on la RÉÉCRIT en sinus et cosinus. Ces quatre rapports ne sont que des abréviations, ils n'apportent aucune information nouvelle, et une fois traduits la simplification devient une simple manipulation de fractions.

a) $\sec x\cdot\cos x=\frac{1}{\cos x}\cdot\cos x=1$. Le $\cos x$ se simplifie entre numérateur et dénominateur. Une précision de rigueur : le résultat vaut $1$ partout où l'expression EXISTE, c'est-à-dire pour $\cos x\neq 0$, donc en excluant $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$. Écrire simplement $1$ est accepté, mais savoir que la sécante n'est pas définie partout évite des erreurs plus loin.

b) $\tan x\cdot\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=1$. Les deux facteurs sont INVERSES l'un de l'autre, ce qui est exactement la définition de la cotangente : $\cot x=\frac{1}{\tan x}$. On aurait pu conclure sans écrire les fractions.

c) $\sin x\cdot\cot x=\sin x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\cos x$. Le sinus se simplifie. Retenez la structure : multiplier par $\cot$ échange un sinus contre un cosinus.

d) $\tan x\cdot\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x$. Symétriquement, multiplier par $\tan$ échange un cosinus contre un sinus. Les questions c) et d) sont donc l'une l'inverse de l'autre, ce qui donne un moyen de contrôler les deux d'un coup.

a) On reconnaît d'abord $1-\sin^{2}x=\cos^{2}x$, qui est l'identité fondamentale réarrangée, puis on traduit la sécante : $\left(1-\sin^{2}x\right)\sec^{2}x=\cos^{2}x\cdot\frac{1}{\cos^{2}x}=1$. La clé est de VOIR $1-\sin^{2}x$ comme un bloc plutôt que de développer.

b) $\tan^{2}x+1=\sec^{2}x$ est la deuxième identité fondamentale, celle qu'on obtient en divisant $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ par $\cos^{2}x$. Donc $\cos^{2}x\left(\tan^{2}x+1\right)=\cos^{2}x\cdot\sec^{2}x=\cos^{2}x\cdot\frac{1}{\cos^{2}x}=1$. Si on ne reconnaît pas l'identité, on peut toujours tout traduire à la main : $\cos^{2}x\left(\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+1\right)=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ ✓, ce qui est même plus rapide et redémontre l'identité au passage.

c) $\left(1-\sin x\right)\left(1+\sin x\right)$ est une DIFFÉRENCE DE CARRÉS déguisée : c'est $(a-b)(a+b)$ avec $a=1$ et $b=\sin x$, donc $1-\sin^{2}x=\cos^{2}x$. Cette reconnaissance est le vrai contenu de la question : les identités algébriques du chapitre sur la factorisation s'appliquent telles quelles aux expressions trigonométriques, où $\sin x$ joue simplement le rôle d'une variable.

d) On développe les deux carrés séparément. $\left(\sin x+\cos x\right)^{2}=\sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x$ et $\left(\sin x-\cos x\right)^{2}=\sin^{2}x-2\sin x\cos x+\cos^{2}x$. En les additionnant, les deux doubles produits sont OPPOSÉS et s'annulent, ce qui est tout l'intérêt de la question : il reste $2\sin^{2}x+2\cos^{2}x=2\left(\sin^{2}x+\cos^{2}x\right)=2\times 1=2$. Le résultat est une CONSTANTE, indépendante de $x$, ce qu'on peut contrôler sur un cas : pour $x=0$, $(0+1)^{2}+(0-1)^{2}=1+1=2$ ✓.

Méthode commune, en deux temps qu'il ne faut jamais confondre. L'identité $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ donne la VALEUR ABSOLUE du rapport cherché, puisqu'elle passe par un carré. Le QUADRANT donne ensuite le SIGNE. Le calcul ne décide jamais du signe, seule la position du point image le fait.

a) $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, donc $\sin x=\pm\frac{4}{5}$. Au quadrant IV, l'ordonnée est négative, donc $\sin x=-\frac{4}{5}$. Le triplet $3$-$4$-$5$ apparaît ici, et c'est volontaire : les énoncés choisissent des triplets pythagoriciens pour que les valeurs restent rationnelles. Le reconnaître fait gagner du temps, car on sait d'avance que le résultat sera $\frac{4}{5}$ sans même faire la soustraction de fractions.

b) $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$, donc $\cos x=\pm\frac{5}{13}$. Au quadrant III, l'abscisse est négative, donc $\cos x=-\frac{5}{13}$. Autre triplet classique, $5$-$12$-$13$. Contrôle de cohérence : au quadrant III le sinus doit aussi être négatif, ce qu'affirme bien l'énoncé avec $-\frac{12}{13}$ ✓. Si l'énoncé avait donné un sinus positif au quadrant III, il aurait été contradictoire, et le signaler vaut des points.

c) $\sin^{2}x=1-\left(-\frac{20}{29}\right)^{2}=1-\frac{400}{841}=\frac{441}{841}$, donc $\sin x=\pm\frac{21}{29}$, puisque $441=21^{2}$ et $841=29^{2}$. Au quadrant II, le sinus est POSITIF : $\sin x=\frac{21}{29}$. Puis $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{21/29}{-20/29}=-\frac{21}{20}$, les dénominateurs $29$ se simplifiant. Le résultat est négatif, ce qui est cohérent avec le quadrant II où sinus et cosinus sont de signes contraires ✓. Le triplet est ici $20$-$21$-$29$, moins connu mais tout aussi pythagoricien : $400+441=841$ ✓.

a) La formule d'addition du sinus est $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$. Avec $A=45°$ et $B=30°$ : $\sin 75°=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Contrôle numérique, indispensable sur ce genre de calcul : $\frac{2{,}449+1{,}414}{4}\approx 0{,}966$, et $75°$ étant proche de $90°$, son sinus doit être proche de $1$ ✓. Erreur à ne jamais commettre : écrire $\sin 75°=\sin 45°+\sin 30°$, qui donnerait $1{,}207$, une valeur impossible pour un sinus.

b) La formule pour une différence de cosinus est $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$, avec un PLUS au milieu alors que l'énoncé porte un moins : les signes du cosinus sont inversés par rapport à ceux de l'argument, c'est la particularité à mémoriser. Donc $\cos 15°=\cos 45°\cos 30°+\sin 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Le résultat est identique à celui de a), et ce n'est pas un hasard : $75°$ et $15°$ sont complémentaires, or le cosinus d'un angle égale le sinus de son complémentaire ✓.

c) On a besoin de $\cos t$ avant de pouvoir appliquer la formule du double. $\cos^{2}t=1-\sin^{2}t=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, donc $\cos t=\pm\frac{\sqrt{8}}{3}=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$, en extrayant le carré parfait $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Au quadrant III le cosinus est négatif : $\cos t=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. On applique enfin $\sin(2t)=2\sin t\cos t=2\times\left(-\frac{1}{3}\right)\times\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{4\sqrt{2}}{9}$, le produit de deux négatifs étant positif. Interprétation du signe, qui vaut contrôle : $t$ étant au quadrant III, il est compris entre $\pi$ et $\frac{3\pi}{2}$, donc $2t$ est entre $2\pi$ et $3\pi$, c'est-à-dire entre $0$ et $\pi$ après retrait d'un tour : le sinus y est bien positif ✓.

a) La cosécante est l'inverse du sinus, donc $\sin x=\frac{1}{\csc x}=\frac{1}{-3/2}=-\frac{2}{3}$. Pour le quadrant, il faut ramener l'intervalle dans un tour. On retranche $2\pi$ aux deux bornes : $3\pi-2\pi=\pi$ et $\frac{7\pi}{2}-2\pi=\frac{7\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$. L'intervalle équivaut donc à $\left[\pi\,;\frac{3\pi}{2}\right]$, qui est exactement le quadrant III. Contrôle de cohérence : au quadrant III le sinus doit être négatif, et l'on a bien trouvé $-\frac{2}{3}$ ✓. Cette double confirmation, par l'intervalle et par le signe, est ce qui sécurise toute la suite.

b) $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, donc $\cos x=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$. Au quadrant III le cosinus est NÉGATIF : $\cos x=-\frac{\sqrt{5}}{3}$. La valeur n'est pas rationnelle ici, contrairement à l'exercice 3, et il faut la laisser sous forme de radical : écrire $-0{,}745$ perdrait l'exactitude demandée.

c) $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{-\sqrt{5}/3}{-2/3}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, les dénominateurs $3$ se simplifiant et les deux signes moins s'annulant. Puis $\tan x=\frac{1}{\cot x}=\frac{2}{\sqrt{5}}$, qu'il faut RATIONALISER : $\frac{2}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Un dénominateur irrationnel est considéré comme une forme non achevée. Contrôle de signe : au quadrant III, tangente et cotangente sont positives, puisque sinus et cosinus y sont tous deux négatifs ✓.

d) L'identité $1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$ s'obtient en divisant $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ par $\sin^{2}x$. Vérification : $1+\cot^{2}x=1+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}$, et $\csc^{2}x=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$. Les deux coïncident ✓. Cette vérification finale est ce qui distingue une copie sûre d'une copie approximative : elle recoupe les trois résultats précédents d'un seul coup, et elle aurait détecté une erreur de signe sur $\cos x$ comme une erreur de calcul sur $\cot x$. Notez toutefois sa limite : les carrés effacent les signes, donc elle ne détecte pas une erreur de signe sur $\cot x$ lui-même, pour laquelle seul le quadrant fait foi.

a) On applique $\tan(A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$ avec $A=\frac{\pi}{4}$ et $B=\frac{\pi}{6}$. Les deux tangentes de référence sont $\tan\frac{\pi}{4}=1$, puisque sinus et cosinus y sont égaux, et $\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. D'où $\tan\frac{\pi}{12}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}$. On élimine les fractions étagées en multipliant haut et bas par $3$ : $\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$. Il reste à rationaliser en multipliant par le conjugué $3-\sqrt{3}$ : $\frac{(3-\sqrt{3})^{2}}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{9-6\sqrt{3}+3}{9-3}=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}=2-\sqrt{3}$. Contrôle numérique : $2-1{,}732=0{,}268$, et $\frac{\pi}{12}=15°$ est un petit angle dont la tangente doit être petite ✓.

b) $\sin 105°=\sin(60°+45°)=\sin 60°\cos 45°+\cos 60°\sin 45°=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Contrôle : environ $0{,}966$, valeur plausible pour un angle un peu au-delà de $90°$ ✓.

c) On ne peut pas parler ici d'angles complémentaires, car $105°+15°=120°$ et non $90°$ : la relation est d'une autre nature. L'identité à invoquer est $\sin(90°+\theta)=\cos\theta$, qui traduit le décalage d'un quart de tour entre les deux courbes. Avec $\theta=15°$ : $\sin 105°=\sin(90°+15°)=\cos 15°$, ce qui explique que le résultat de b) coïncide exactement avec celui de l'exercice 5 b), tous deux valant $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ ✓. Une seconde lecture est possible et tout aussi utile : $105°$ et $75°$ sont SUPPLÉMENTAIRES, puisque leur somme vaut $180°$, et deux angles supplémentaires ont le même sinus, donc $\sin 105°=\sin 75°$, ce qui recoupe l'exercice 5 a). Trois calculs menés par des chemins différents donnent la même valeur, ce qui les valide mutuellement.

a) $\cos^{2}t=1-\sin^{2}t=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, donc $\cos t=\pm\frac{4}{5}$. Au quadrant II, l'abscisse est négative : $\cos t=-\frac{4}{5}$. On reconnaît le triplet $3$-$4$-$5$, qui garantit des valeurs rationnelles dans tout ce qui suit.

b) $\sin(2t)=2\sin t\cos t=2\times\frac{3}{5}\times\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$. Le résultat est négatif, alors que $\sin t$ était positif : c'est un bon rappel que $\sin(2t)$ n'a rien à voir avec $2\sin t$, qui vaudrait $\frac{6}{5}$, une valeur impossible pour un sinus. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et le contrôle par l'intervalle $[-1\,;1]$ la détecte immédiatement.

c) La formule du double angle pour le cosinus a trois formes équivalentes, et l'énoncé en demande deux. Première forme : $\cos(2t)=1-2\sin^{2}t=1-2\times\frac{9}{25}=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$. Seconde forme : $\cos(2t)=2\cos^{2}t-1=2\times\frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-\frac{25}{25}=\frac{7}{25}$. Les deux donnent $\frac{7}{25}$ ✓. La cohérence n'est pas un hasard, les trois formes se déduisent l'une de l'autre par l'identité fondamentale, mais les calculer toutes deux est un excellent contrôle en examen. Choisissez en pratique celle dont vous connaissez déjà le rapport : ici les deux étaient disponibles, mais quand on ne connaît que le sinus, la première évite un calcul.

d) On lit les signes : $\sin(2t)=-\frac{24}{25}<0$ et $\cos(2t)=\frac{7}{25}>0$. Ordonnée négative et abscisse positive désignent le quadrant IV. Contrôle par l'intervalle, qui est la vraie justification : $t$ étant au quadrant II, on a $\frac{\pi}{2}<t<\pi$, donc en doublant, $\pi<2t<2\pi$. Cet intervalle couvre les quadrants III ET IV, il ne suffit donc pas à conclure seul, et c'est le signe du cosinus, positif, qui tranche pour le IV ✓. Retenez ce point de méthode : doubler un angle ne double pas son numéro de quadrant, et l'intervalle obtenu chevauche souvent deux quadrants, si bien qu'un calcul de signe reste nécessaire.

a) La formule du double angle sous la forme $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$ se réarrange directement : en ajoutant $1$ des deux côtés puis en divisant par $2$, on obtient $\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$. Cette identité s'appelle une LINÉARISATION, parce qu'elle remplace un carré par une expression du premier degré en cosinus : c'est ce qui la rend utile. Application avec $x=\frac{\pi}{12}$, soit $15°$ : alors $2x=\frac{\pi}{6}$, dont le cosinus vaut $\frac{\sqrt{3}}{2}$, une valeur remarquable. D'où $\cos^{2}\frac{\pi}{12}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$. Tout l'intérêt du procédé est là : on a obtenu une valeur exacte pour un angle qui n'est PAS sur le cercle remarquable, en la ramenant à un angle qui l'est.

b) $\sin 15°=\sin(45°-30°)=\sin 45°\cos 30°-\cos 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Le signe moins de la formule suit celui de l'argument, contrairement au cosinus. Contrôle : $\frac{2{,}449-1{,}414}{4}\approx 0{,}259$, une petite valeur cohérente avec un angle de $15°$ ✓.

c) $\cos 75°=\cos(45°+30°)=\cos 45°\cos 30°-\sin 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Ici le signe de la formule est l'INVERSE de celui de l'argument, ce qui est la règle propre au cosinus et la source d'erreur numéro un de ce chapitre. Moyen mnémotechnique : pour le cosinus, les signes s'opposent ; pour le sinus, ils se suivent.

d) Les deux valeurs sont ÉGALES, toutes deux valant $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. La justification est l'identité de cofonction $\cos\theta=\sin(90°-\theta)$ : avec $\theta=75°$, on obtient $\cos 75°=\sin 15°$. Deux angles COMPLÉMENTAIRES, c'est-à-dire de somme $90°$, échangent leur sinus et leur cosinus, et c'est bien le cas ici puisque $15°+75°=90°$. L'origine de cette identité est purement géométrique : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires, et le côté opposé à l'un est le côté adjacent à l'autre, si bien que le sinus de l'un est le cosinus de l'autre. Contrôle supplémentaire avec a) : $\cos^{2}\frac{\pi}{12}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$, or $\frac{\pi}{12}=15°$, donc $\cos 15°$ devrait valoir $\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\approx 0{,}966$, ce qui coïncide bien avec la valeur trouvée à l'exercice 5 b) ✓.

a) On développe la forme visée avec la formule d'addition : $R\sin(x+\varphi)=R\left(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi\right)=\left(R\cos\varphi\right)\sin x+\left(R\sin\varphi\right)\cos x$. On identifie terme à terme avec $3\sin x+4\cos x$ : $R\cos\varphi=3$ et $R\sin\varphi=4$. En élevant au carré et en additionnant, l'angle disparaît grâce à l'identité fondamentale : $R^{2}\cos^{2}\varphi+R^{2}\sin^{2}\varphi=R^{2}=9+16=25$, donc $R=5$, la valeur positive étant choisie par convention. Puis $\cos\varphi=\frac{3}{5}$ et $\sin\varphi=\frac{4}{5}$, tous deux positifs, ce qui place $\varphi$ au premier quadrant : $\varphi=\arctan\frac{4}{3}\approx 0{,}927$ rad, soit environ $53{,}1°$. Conclusion : $3\sin x+4\cos x=5\sin(x+0{,}927)$. Le triplet $3$-$4$-$5$ réapparaît, et ce n'est pas un hasard : $R$ est toujours l'hypoténuse du triangle de côtés $a$ et $b$.

b) Sous la forme réduite, la fonction n'est plus qu'un sinus étiré : comme $\sin$ varie entre $-1$ et $1$, la fonction $5\sin(x+\varphi)$ varie entre $-5$ et $5$. Le maximum de $f$ est donc $5$ et son minimum $-5$. C'est tout l'intérêt de la réduction : lire l'amplitude d'une somme de deux sinusoïdes est impossible sur la forme de départ, alors qu'elle devient immédiate après regroupement, et sans aucune dérivée. Contrôle de plausibilité : le maximum doit être inférieur à $3+4=7$, la somme des deux amplitudes, puisque les deux termes n'atteignent pas leur maximum au même instant, et supérieur à chacune prise seule ✓.

c) $R=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$, puis $\cos\varphi=\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ce qui donne exactement $\varphi=\frac{\pi}{4}$, le seul angle du premier quadrant où sinus et cosinus coïncident. Donc $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$. Cette égalité est à connaître, elle revient constamment. Contrôle en $x=0$ : le membre de gauche vaut $0+1=1$, et le membre de droite $\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=1$ ✓.

d) L'équation $3\sin x+4\cos x=5$ devient, après réduction, $5\sin(x+\varphi)=5$, soit $\sin(x+\varphi)=1$. Cette équation n'a qu'une famille de solutions, puisque $1$ est le maximum du sinus : $x+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$, d'où $x=\frac{\pi}{2}-\varphi+2k\pi$. Avec $\varphi\approx 0{,}927$ : $x\approx 1{,}571-0{,}927\approx 0{,}644$ rad, seule valeur tombant dans $[0\,;2\pi[$. Vérification directe sur l'équation de départ : $\sin(0{,}644)\approx 0{,}6$ et $\cos(0{,}644)\approx 0{,}8$, donc $3\times 0{,}6+4\times 0{,}8=1{,}8+3{,}2=5$ ✓. Lecture qui explique l'unicité : $5$ est exactement le MAXIMUM de $f$ trouvé en b), et une fonction n'atteint son maximum qu'une fois par période. Si l'énoncé avait demandé $f(x)=4$, il y aurait eu deux solutions par période ; s'il avait demandé $f(x)=6$, il n'y en aurait eu aucune.

On part des définitions : $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ et $\csc x=\frac{1}{\sin x}$. Aucune autre formule n'est nécessaire pour ces cinq simplifications.