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Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal

Exercices corrigés : le cercle trigonométrique (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur le cercle trigonométrique, calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal. Ils conviennent aux élèves du secondaire québécois comme aux élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui préparent le complément québécois SN5.

Quinze exercices en trois parties couvrent la conversion entre degrés et radians, la mesure principale d'un angle, les valeurs remarquables du sinus, du cosinus et de la tangente, le point trigonométrique $P(\theta)=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ et son quadrant, les angles coterminaux, l'angle de référence, la parité du sinus et du cosinus, ainsi que la longueur d'un arc et l'aire d'un secteur.

À la fin de la série, vous savez convertir un angle d'une unité à l'autre et le ramener à sa mesure principale (exercices 1 et 2), donner sans calculatrice les valeurs exactes du tableau complet (exercices 3 et 11), placer un point trigonométrique et retrouver ses coordonnées par un triangle 45-45-90 (exercices 4 et 6), trouver un angle coterminal (exercice 5), passer par l'angle de référence hors du premier quadrant (exercice 10), lire le signe des trois rapports selon le quadrant (exercice 13), retrouver TOUS les angles qui ont un cosinus donné (exercice 7), et calculer un arc $s=r\theta$ et un secteur (exercice 9).

Les problèmes font tourner le cercle : la nacelle d'une grande roue (exercice 8), la roue d'un vélo (exercice 14) et les aiguilles d'une horloge (exercice 15). Les corrigés traitent les erreurs fréquentes : le cosinus et le sinus intervertis (exercices 4 et 11), une tangente « nulle » là où elle n'existe pas (exercice 11), les formules d'arc appliquées en degrés (exercice 9), la mesure principale confondue avec l'angle total parcouru (exercice 14) et les deux aiguilles qu'on croit superposées à 4 h 20 (exercice 15). Faites chaque exercice au complet avant d'ouvrir la correction : c'est en cherchant qu'on apprend, pas en lisant la solution.

Mis à jour le 16 octobre 2026

Série autocorrigée Tape tes réponses et vérifie-les question par question : la page te dit juste ou faux avant d'ouvrir la correction. Avec un compte, chaque bonne réponse du premier coup rapporte des points, et tes réponses justes restent remplies quand tu reviens.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant de commencer Fiche de révision : les pièges et la méthode de ce chapitre

Avant ce chapitre

Ces notions sont supposées acquises ici. Si le premier exercice résiste, le blocage vient presque toujours de l'une d'elles, pas du chapitre lui-même.

Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle Secondaire 4 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Nombres réels, racines et ensembles Secondaire 3
2 Théorème de Pythagore et réciproque Secondaire 3
3 Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle Secondaire 4

Rappel de cours

• Le cercle trigonométrique a un rayon 1. Un tour complet vaut $360°=2\pi$ radians.
• Conversion : $\text{rad}=\text{deg}\times\frac{\pi}{180}$ et $\text{deg}=\text{rad}\times\frac{180}{\pi}$ .
• Le point image d'un réel $x$ a pour coordonnées $(\cos x,\ \sin x)$ .
• Deux angles sont coterminaux s'ils diffèrent d'un multiple de $2\pi$ (même point image).
• Au Québec, le point image se nomme POINT TRIGONOMÉTRIQUE et se note $P(\theta)=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ .

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Convertir des degrés en radians

Exprimez chaque angle en radians (valeur exacte).

a) $60°$
b) $90°$
c) $180°$
d) $45°$
e) $270°$
f) $30°$

Voir la correction

Réponses

a) $\dfrac{\pi}{3}$
b) $\dfrac{\pi}{2}$
c) $\pi$
d) $\dfrac{\pi}{4}$
e) $\dfrac{3\pi}{2}$
f) $\dfrac{\pi}{6}$

La conversion repose sur une seule égalité : un demi-tour vaut $180°$ et vaut aussi $\pi$ radians. La formule $\text{rad}=\text{deg}\times\frac{\pi}{180}$ n'en est que la traduction. Mais il existe une méthode mentale bien plus rapide, qu'il faut adopter : on exprime l'angle comme une FRACTION de $180°$ , et cette même fraction s'applique à $\pi$ .

a)

$60°=\frac{180°}{3}$ , donc l'angle vaut $\frac{\pi}{3}$ . Par la formule : $60\times\frac{\pi}{180}=\frac{60\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$ ✓, mais il fallait simplifier la fraction, ce que la méthode mentale évite.

b)

$90°$ est la moitié de $180°$ , donc $\frac{\pi}{2}$ .

c)

$180°$ est exactement le demi-tour, donc $\pi$ . C'est l'angle de référence de tout le chapitre, celui à partir duquel on reconstruit les autres.

d)

$45°=\frac{180°}{4}$ , donc $\frac{\pi}{4}$ .

e)

$270°=180°+90°$ , donc $\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$ . On peut aussi voir $270°$ comme les trois quarts d'un tour complet : $\frac{3}{4}\times 2\pi=\frac{3\pi}{2}$ ✓, les deux lectures se confirment.

f)

$30°=\frac{180°}{6}$ , donc $\frac{\pi}{6}$ .

Deux consignes de rédaction qui valent des points. Une valeur EXACTE se garde sous forme de fraction de $\pi$ : écrire $\frac{\pi}{3}\approx 1{,}05$ à la place de $\frac{\pi}{3}$ perd la précision demandée. Et l'unité radian s'omet le plus souvent, un angle écrit sans symbole de degré étant par convention en radians : $\sin(2)$ désigne le sinus de $2$ radians, pas de $2$ degrés.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 2 : Convertir des radians en degrés, puis réduire

Les questions a) à j) demandent la mesure en degrés.

Les questions k) à o) demandent la MESURE PRINCIPALE de l'angle, c'est-à-dire l'unique mesure du point image qui appartient à l'intervalle $]-\pi\,;\pi]$ .

a) $2\pi$
b) $\frac{\pi}{6}$
c) $\frac{5\pi}{6}$
d) $\frac{3\pi}{4}$
e) $\frac{\pi}{2}$
f) $\frac{38\pi}{36}$
g) $\frac{56\pi}{36}$
h) $\frac{50\pi}{45}$
i) $\frac{22\pi}{15}$
j) $\frac{24\pi}{15}$
k) Mesure principale de $\frac{39\pi}{23}$
l) Mesure principale de $\frac{43\pi}{27}$
m) Mesure principale de $\frac{120\pi}{15}$
n) Mesure principale de $\frac{97\pi}{8}$
o) Mesure principale de $\frac{-16\pi}{10}$

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a)

Degrés

b)

Degrés

c)

Degrés

d)

Degrés

e)

Degrés

f)

Degrés

g)

Degrés

h)

Degrés

i)

Degrés

j)

Degrés

k)

Mesure principale (en multiples de

\pi

)

l)

Mesure principale (en multiples de

\pi

)

m)

Mesure principale (en multiples de

\pi

)

n)

Mesure principale (en multiples de

\pi

)

o)

Mesure principale (en multiples de

\pi

)

Voir la correction

Réponses

a) $360°$
b) $30°$
c) $150°$
d) $135°$
e) $90°$
f) $190°$
g) $280°$
h) $200°$
i) $264°$
j) $288°$
k) $-\dfrac{7\pi}{23}$
l) $-\dfrac{11\pi}{27}$
m) $0$
n) $\dfrac{\pi}{8}$
o) $\dfrac{2\pi}{5}$

On fait le trajet inverse, $\text{deg}=\text{rad}\times\frac{180}{\pi}$ , mais là encore une lecture directe est plus sûre : il suffit de REMPLACER le symbole $\pi$ par le nombre $180$ et de calculer la fraction obtenue. Le $\pi$ du dénominateur de la formule s'annule alors automatiquement avec celui de l'angle.

a)

$2\pi\to 2\times 180°=360°$ . C'est le tour complet, l'autre égalité fondamentale du chapitre.

b)

$\frac{\pi}{6}\to\frac{180°}{6}=30°$ .

c)

$\frac{5\pi}{6}\to\frac{5\times 180°}{6}=\frac{900°}{6}=150°$ . On peut contrôler autrement : $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$ , donc $180°-30°=150°$ ✓. Cette écriture $\pi-\alpha$ sera très utile plus loin pour les angles de référence.

d)

$\frac{3\pi}{4}\to\frac{3\times 180°}{4}=\frac{540°}{4}=135°$ . Contrôle : $\pi-\frac{\pi}{4}$ donne $180°-45°=135°$ ✓.

e)

$\frac{\pi}{2}\to\frac{180°}{2}=90°$ .

Les questions f) à j) ne changent pas la méthode, elles ajoutent une étape : SIMPLIFIER la fraction avant de remplacer $\pi$ par $180$ . Simplifier d'abord, c'est diviser de petits nombres de tête ; simplifier après, c'est diviser $6840$ par $36$ à la main.

f)

$\frac{38\pi}{36}=\frac{19\pi}{18}$ en divisant par $2$ , donc $\frac{19\times 180°}{18}=19\times 10°=190°$ . Sans simplifier on trouve $\frac{38\times 180}{36}=\frac{6840}{36}=190$ ✓, le même résultat pour beaucoup plus de travail. Contrôle de bon sens : $\frac{19}{18}$ dépasse à peine $1$ , l'angle doit donc dépasser à peine $180°$ .

g)

$\frac{56\pi}{36}=\frac{14\pi}{9}$ en divisant par $4$ , donc $\frac{14\times 180°}{9}=14\times 20°=280°$ . Contrôle : $\frac{14}{9}\approx 1{,}56$ est entre $1$ et $2$ , l'angle est donc entre $180°$ et $360°$ , dans la moitié basse du cercle.

h)

$\frac{50\pi}{45}=\frac{10\pi}{9}$ en divisant par $5$ , donc $10\times 20°=200°$ .

i)

$\frac{22\pi}{15}$ est déjà irréductible, $22$ et $15$ n'ayant aucun diviseur commun. Donc $\frac{22\times 180°}{15}=22\times 12°=264°$ .

j)

$\frac{24\pi}{15}=\frac{8\pi}{5}$ en divisant par $3$ , donc $8\times 36°=288°$ .

Les questions k) à o) changent de nature. Un point du cercle porte une INFINITÉ de mesures, qui diffèrent toutes d'un nombre entier de tours, donc d'un multiple de $2\pi$ . La mesure principale est le représentant officiel de cette famille : la seule mesure qui tombe dans $]-\pi\,;\pi]$ , soit entre un demi-tour vers le bas, exclu, et un demi-tour vers le haut, inclus.

La méthode qui ne rate jamais, pour un angle écrit $\frac{p\pi}{q}$ : un tour complet vaut $2\pi=\frac{2q\pi}{q}$ , donc retirer $k$ tours revient à remplacer le numérateur $p$ par $p-2kq$ . On veut ce nouveau numérateur entre $-q$ et $q$ , il suffit donc de prendre pour $k$ l'ENTIER LE PLUS PROCHE de $\frac{p}{2q}$ , qui compte justement le nombre de tours contenus dans l'angle. Aucune soustraction répétée, un seul calcul.

k)

Ici $p=39$ et $q=23$ , donc $\frac{p}{2q}=\frac{39}{46}\approx 0{,}85$ : l'entier le plus proche est $k=1$ , on retire un tour. Il reste $39-46=-7$ , la mesure principale est $-\frac{7\pi}{23}$ . Deux contrôles : $-7$ est bien entre $-23$ et $23$ ✓, et en degrés $\frac{39\times 180}{23}\approx 305{,}2°$ , donc $305{,}2-360\approx -54{,}8°$ , ce qui est bien $-\frac{7\times 180}{23}$ ✓.

l)

$\frac{43}{54}\approx 0{,}80$ , donc $k=1$ : il reste $43-54=-11$ et la mesure principale est $-\frac{11\pi}{27}$ .

m)

$\frac{120\pi}{15}=8\pi$ , soit exactement QUATRE tours complets. Le point image est le point $(1\,;0)$ et la mesure principale vaut $0$ . C'est le piège de l'exercice : quand la fraction se simplifie en un multiple entier de $\pi$ , il n'y a plus de fraction à réduire mais des tours à compter. Répondre $8\pi$ coûte tous les points, car $8\pi$ n'appartient pas à $]-\pi\,;\pi]$ .

n)

$\frac{97}{16}\approx 6{,}06$ , donc $k=6$ : il reste $97-2\times 6\times 8=97-96=1$ , la mesure principale est $\frac{\pi}{8}$ . Six tours retirés d'un seul coup : c'est exactement là que la méthode par soustractions successives de $2\pi$ fait perdre du temps et provoque des erreurs de comptage.

o)

$\frac{-16\pi}{10}=-\frac{8\pi}{5}$ après simplification par $2$ . Avec $p=-8$ et $q=5$ : $\frac{-8}{10}=-0{,}8$ , l'entier le plus proche est $k=-1$ , on AJOUTE donc un tour. Il reste $-8+10=2$ et la mesure principale est $\frac{2\pi}{5}$ . Un angle négatif peut donc avoir une mesure principale positive : le signe de départ ne dit rien du signe d'arrivée.

Deux fautes coûtent régulièrement des points ici. La première est de réduire dans le mauvais intervalle : $[0\,;2\pi[$ et $]-\pi\,;\pi]$ nomment les mêmes points du cercle, mais la mesure principale est par convention celle de $]-\pi\,;\pi]$ , si bien que $\frac{6\pi}{5}$ se réduit en $-\frac{4\pi}{5}$ et non en lui-même. La seconde est d'oublier que l'intervalle n'est ouvert que d'un côté : $\pi$ est une mesure principale, $-\pi$ n'en est pas une, alors que les deux désignent le même point $(-1\,;0)$ .

Exercice 3 : Valeurs remarquables et lecture du cercle

Donnez la valeur exacte de chaque expression des questions a) à f).

Le cercle ci-dessous porte trois familles de repères : en vert les multiples de $\frac{\pi}{3}$ , en gris les multiples de $\frac{\pi}{4}$ , en bleu les multiples de $\frac{\pi}{5}$ , les deux axes appartenant aux trois familles. Quatre points $M_0$ , $M_1$ , $M_2$ et $M_3$ y sont marqués en rouge.

a) $\cos(0)$
b) $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$
c) $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$
d) $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$
e) $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$
f) $\sin(\pi)$
g) Chacun des points $M_0$ , $M_1$ , $M_2$ et $M_3$ est le point image d'un angle. Donnez, pour chacun, la MESURE PRINCIPALE de cet angle en radians, c'est-à-dire celle qui appartient à $]-\pi\,;\pi]$ . On compte les parts à partir du point $(1\,;0)$ , dans le sens antihoraire pour une mesure positive, horaire pour une mesure négative.
h) Toujours sur ce cercle, où se placent les points image de $\frac{\pi}{6}$ , de $\pi$ , de $-\frac{\pi}{5}$ et de $\frac{6\pi}{5}$ ? Donnez pour chacun sa mesure en degrés et son quadrant.

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a)

Valeur

b)

Valeur

c)

Valeur

\approx

d)

Valeur

\approx

e)

Valeur

f)

Valeur

g)

M_{0}

(en multiples de

\pi

)

M_{1}

(en multiples de

\pi

)

M_{2}

(en multiples de

\pi

)

M_{3}

(en multiples de

\pi

)

h)

\frac{\pi}{6}

en degrés

Quadrant de

\pi

Quadrant de

-\frac{\pi}{5}

\frac{6\pi}{5}

en degrés

Quadrant de

\frac{6\pi}{5}

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Réponses

a) $1$
b) $\dfrac{1}{2}$
c) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
d) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
e) $0$
f) $0$
g) $M_{0}$ : $\dfrac{3\pi}{5}$ ; $M_{1}$ : $\dfrac{3\pi}{4}$ ; $M_{2}$ : $-\dfrac{\pi}{3}$ ; $M_{3}$ : $\dfrac{2\pi}{5}$
h) $30°$ (I) ; $180°$ (sur l'axe) ; $-36°$ (IV) ; $216°$ (III)

a)

$\cos(0)=1$ . Le point image de $0$ est le point $(1\,;0)$ , à droite du cercle : son abscisse, donc son cosinus, vaut $1$ .

b)

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$ .

c)

$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . À $45°$ , le point image est sur la bissectrice, donc son abscisse et son ordonnée sont ÉGALES : c'est le seul angle du premier quadrant pour lequel $\cos=\sin$ .

d)

$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

e)

$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ . Le point image est $(0\,;1)$ , en haut du cercle : abscisse nulle.

f)

$\sin(\pi)=0$ . Le point image est $(-1\,;0)$ , à gauche : ordonnée nulle.

Le moyen mnémotechnique qui remplace toute la table, et qu'il faut connaître pour l'examen : écrivez les cinq angles du premier quadrant dans l'ordre, $0$ , $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{\pi}{2}$ , puis les sinus correspondants sous la forme $\frac{\sqrt{n}}{2}$ avec $n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$ . On obtient $\frac{\sqrt{0}}{2}=0$ , $\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{4}}{2}=1$ . Les cosinus sont la même liste LUE À L'ENVERS, puisque le cosinus décroît quand le sinus croît sur ce quadrant. Cette astuce donne les dix valeurs remarquables sans rien apprendre par cœur, et le contrôle est immédiat : la somme des carrés doit toujours faire $1$ , par exemple $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓.

g)

Lire un point du cercle, c'est COMPTER des parts, jamais estimer à l'œil. On repère d'abord la famille de traits qui passe par le point, ce qui donne le dénominateur, puis on compte les parts depuis le point $(1\,;0)$ , ce qui donne le numérateur.

$M_0$ est sur un trait bleu, donc un multiple de $\frac{\pi}{5}$ : trois parts dans le sens positif, soit $\frac{3\pi}{5}$ , c'est-à-dire $108°$ , dans le deuxième quadrant. $M_1$ est sur un trait gris, donc un multiple de $\frac{\pi}{4}$ : trois parts également, soit $\frac{3\pi}{4}$ , c'est-à-dire $135°$ , dans le deuxième quadrant lui aussi. Ces deux points sont voisins et c'est là qu'on se trompe : $108°$ et $135°$ ne se lisent pas sur la même famille de traits, et compter trois parts ne veut rien dire tant qu'on n'a pas dit trois parts de quoi.

$M_2$ est sur un trait vert, donc un multiple de $\frac{\pi}{3}$ . En tournant dans le sens positif on trouve cinq parts, soit $\frac{5\pi}{3}$ , c'est-à-dire $300°$ . Mais $\frac{5\pi}{3}$ n'appartient pas à $]-\pi\,;\pi]$ : la mesure PRINCIPALE s'obtient en comptant dans l'autre sens, une seule part sous l'axe des abscisses, donc $-\frac{\pi}{3}$ . Les deux écritures désignent exactement le même point, une seule répond à la question posée. $M_3$ est bleu à nouveau : deux parts, soit $\frac{2\pi}{5}$ , c'est-à-dire $72°$ , dans le premier quadrant.

h)

$\frac{\pi}{6}=30°$ , premier quadrant. Attention, cet angle n'appartient à AUCUNE des trois familles tracées : il tombe entre l'axe des abscisses et le premier trait bleu, qui est à $36°$ . Un point image n'a pas besoin d'un trait pour exister, le cercle est continu et les traits ne sont qu'une aide au comptage.

$\pi=180°$ : le point image est $(-1\,;0)$ , sur l'axe des abscisses, à gauche. Il n'appartient à aucun quadrant, et répondre « deuxième quadrant » est faux, car les quadrants sont ouverts et les points des axes n'en font partie d'aucun. $-\frac{\pi}{5}=-36°$ : une part bleue, mais dans le sens NÉGATIF, donc sous l'axe, dans le quatrième quadrant ; c'est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses du premier trait bleu situé au-dessus. Enfin $\frac{6\pi}{5}=216°$ : six parts bleues, donc un peu plus d'un demi-tour, dans le troisième quadrant ; sa mesure principale est $-\frac{4\pi}{5}$ , mais la position du point, elle, ne change évidemment pas.

Le fil de ces deux questions, et de tout le chapitre : un point du cercle et une mesure d'angle ne sont pas la même chose. Un point porte une infinité de mesures, et l'énoncé précise toujours laquelle il veut, la principale, la plus petite mesure positive, ou celle d'un intervalle imposé. Écrire $\frac{5\pi}{3}$ quand on demande la mesure principale n'est pas une erreur de lecture du cercle, c'est une erreur de lecture de la consigne, et elle coûte le même nombre de points.

Exercice 4 : Point image et quadrant

Le point image d'un réel $x$ sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées $(\cos x,\ \sin x)$ .

Sur la figure, les quadrants sont numérotés I à IV dans le sens antihoraire. L'abscisse d'un point image est son cosinus, son ordonnée est son sinus.

Au Québec, ce point s'appelle le POINT TRIGONOMÉTRIQUE et se note $P(\theta)=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ : c'est exactement le point image, sous un autre nom.

a) Donnez les coordonnées exactes du point image de $\frac{\pi}{3}$ .
b) Dans quel quadrant se trouve le point image de $\frac{2\pi}{3}$ ? de $\frac{5\pi}{4}$ ? de $\frac{7\pi}{6}$ ?
c) Placez ces points sur le cercle du corrigé.
d) Sans table de valeurs, retrouvez les coordonnées exactes de $P\left(\frac{\pi}{4}\right)$ à l'aide d'un triangle rectangle isocèle (45-45-90) et du théorème de Pythagore, puis celles de $P\left(\frac{\pi}{6}\right)$ à l'aide d'un triangle 30-60-90. Déduisez-en, par une réflexion par rapport à un axe que vous nommerez, les coordonnées de $P\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ et de $P\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ .

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a)

Abscisse

Ordonnée

\approx

b)

\frac{2\pi}{3}

\frac{5\pi}{4}

\frac{7\pi}{6}

d)

Abscisse de

P\left(\frac{\pi}{4}\right)\approx

Ordonnée de

P\left(\frac{\pi}{6}\right)

P\left(\frac{5\pi}{6}\right)

: réflexion de

P\left(\frac{\pi}{6}\right)

Abscisse de

P\left(\frac{5\pi}{6}\right)\approx

Ordonnée de

P\left(\frac{11\pi}{6}\right)

Voir la correction

Réponses

a) $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
b) II ; III ; III
c) Signes : I $(+,+)$ , II $(-,+)$ , III $(-,-)$ , IV $(+,-)$
d) $P\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , $P\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$ ; $P\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$ (axe des $y$ ), $P\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;-\dfrac{1}{2}\right)$ (axe des $x$ )

a)

Le point image d'un réel $x$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ : l'ABSCISSE est le cosinus, l'ORDONNÉE est le sinus. Pour $\frac{\pi}{3}$ , soit $60°$ , on lit $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , donc le point image est $\left(\frac{1}{2}\,;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ . Contrôle de plausibilité : $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$ est nettement plus grand que $0{,}5$ , ce qui est cohérent avec un angle de $60°$ , proche de la verticale. Inverser les deux coordonnées est l'erreur la plus fréquente, et ce contrôle la détecte immédiatement.

b)

Il suffit de convertir en degrés pour situer chaque angle, les quadrants occupant $90°$ chacun dans le sens antihoraire. $\frac{2\pi}{3}=120°$ , compris entre $90°$ et $180°$ : quadrant II. $\frac{5\pi}{4}=225°$ , entre $180°$ et $270°$ : quadrant III. $\frac{7\pi}{6}=210°$ , également entre $180°$ et $270°$ : quadrant III.

c)

Le placement se fait à partir des degrés trouvés en b), en partant de la droite et en tournant dans le sens antihoraire. Ce qu'il faut surtout retenir, c'est le tableau des SIGNES par quadrant, qui découle uniquement de la position : au quadrant I, abscisse et ordonnée positives, donc cosinus et sinus positifs ; au quadrant II, abscisse négative et ordonnée positive, donc cosinus négatif et sinus positif ; au quadrant III, les deux négatifs ; au quadrant IV, cosinus positif et sinus négatif. Il n'y a rien à mémoriser ici, il suffit de regarder de quel côté de l'origine se trouve le point. C'est ce tableau qui permettra, à l'exercice 10, de retrouver toutes les valeurs exactes hors du premier quadrant.

d)

Au Québec, les coordonnées des points remarquables ne s'apprennent pas par cœur : on les RETROUVE avec deux triangles rectangles dont l'hypoténuse est le rayon, $1$ . Pour $P\left(\frac{\pi}{4}\right)$ , l'angle de $45°$ donne un triangle rectangle isocèle : ses deux cathètes sont égales, $x=y$ , et Pythagore donne $x^{2}+x^{2}=1$ , soit $x^{2}=\frac{1}{2}$ et $x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , la racine positive puisque le point est au quadrant I. Donc $P\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ . Pour $P\left(\frac{\pi}{6}\right)$ , l'angle de $30°$ donne un triangle 30-60-90, moitié d'un triangle équilatéral de côté $1$ : la cathète opposée à l'angle de $30°$ vaut la moitié de l'hypoténuse, $y=\frac{1}{2}$ , puis Pythagore donne $x^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ , soit $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Donc $P\left(\frac{\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\frac{1}{2}\right)$ . Le même triangle, couché sur l'autre cathète, redonne le $P\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{1}{2}\,;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ de la question a).

Réflexions. $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$ : le point $P\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ est l'image de $P\left(\frac{\pi}{6}\right)$ par la réflexion par rapport à l'axe des ORDONNÉES, qui change le signe de l'abscisse seulement : $P\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\frac{1}{2}\right)$ . $\frac{11\pi}{6}=2\pi-\frac{\pi}{6}$ : réflexion par rapport à l'axe des ABSCISSES, qui change le signe de l'ordonnée seulement : $P\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\,;-\frac{1}{2}\right)$ . Contrôle par le tableau des signes de c) : quadrant II $(-,+)$ et quadrant IV $(+,-)$ ✓, et $\cos^{2}+\sin^{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ ✓. Deux triangles et trois réflexions, par rapport à l'axe des $y$ , à l'axe des $x$ et à l'origine, redonnent les seize points remarquables du cercle : c'est la méthode que l'enseignant attend, et elle donne exactement les valeurs du tableau de l'exercice 11.

Exercice 5 : Synthèse : degrés, quadrant et angles coterminaux

On considère l'angle de mesure $\frac{5\pi}{3}$ radians.

a) Convertissez cet angle en degrés et donnez le quadrant de son point image.
b) Donnez les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ .
c) Trouvez un angle compris entre $0$ et $2\pi$ coterminal à $\frac{7\pi}{2}$ .
d) Trouvez un angle compris entre $0$ et $2\pi$ coterminal à $-\frac{\pi}{4}$ .

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Réponses

a) $300°$ , quadrant IV
b) $\cos=\dfrac{1}{2}$ , $\sin=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
c) $\dfrac{3\pi}{2}$
d) $\dfrac{7\pi}{4}$

a)

$\frac{5\pi}{3}$ : on remplace $\pi$ par $180°$ , ce qui donne $\frac{5\times 180°}{3}=\frac{900°}{3}=300°$ . Comme $300°$ est compris entre $270°$ et $360°$ , le point image est dans le quadrant IV, celui du bas à droite.

b)

On passe par l'ANGLE DE RÉFÉRENCE, c'est-à-dire l'angle aigu que le rayon forme avec l'axe horizontal. Au quadrant IV, il vaut $360°-300°=60°$ , soit $\frac{\pi}{3}$ . On reprend donc les valeurs de $\frac{\pi}{3}$ , à savoir $\frac{1}{2}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , puis on applique les signes du quadrant IV : abscisse POSITIVE, ordonnée NÉGATIVE. D'où $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Cette méthode en deux temps, valeur de référence puis signe du quadrant, permet de traiter n'importe quel angle remarquable du cercle sans jamais rien apprendre de plus que le premier quadrant.

c)

Deux angles sont coterminaux s'ils ont le même point image, donc s'ils diffèrent d'un nombre entier de tours, chaque tour valant $2\pi$ . Ici $\frac{7\pi}{2}$ dépasse $2\pi=\frac{4\pi}{2}$ , on retranche donc un tour : $\frac{7\pi}{2}-2\pi=\frac{7\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$ . Cette valeur est bien dans $[0\,;2\pi[$ : c'est la réponse. Contrôle en degrés : $\frac{7\pi}{2}=630°$ , et $630°-360°=270°=\frac{3\pi}{2}$ ✓.

d)

Ici l'angle est NÉGATIF, ce qui signifie qu'on a tourné dans le sens horaire. Pour le ramener dans $[0\,;2\pi[$ , on AJOUTE un tour au lieu d'en retrancher : $-\frac{\pi}{4}+2\pi=-\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$ . Contrôle en degrés : $-45°+360°=315°=\frac{7\pi}{4}$ ✓, et $315°$ est bien dans le quadrant IV, comme l'était $-45°$ . Règle générale : on ajoute ou on retranche des multiples de $2\pi$ jusqu'à tomber dans l'intervalle voulu, et le point image ne change jamais au cours de l'opération, seule son étiquette change.

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Coordonnées exactes d'angles moins familiers

Donnez les coordonnées EXACTES du point image de chaque angle sur le cercle trigonométrique. Ramenez d'abord l'angle dans $[0;\ 2\pi[$ s'il le faut.

a) $\dfrac{7\pi}{6}$
b) $-\dfrac{\pi}{3}$
c) $\dfrac{11\pi}{4}$
d) Vérifiez chacune de vos réponses avec l'identité $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ .

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Réponses

a) $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;-\dfrac{1}{2}\right)$
b) $\left(\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
c) $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
d) $\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1$ ; $\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$ ; $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ ✓

Méthode commune : on ramène l'angle dans $[0\,;2\pi[$ en ajoutant ou retranchant des tours, on repère le QUADRANT, on prend l'angle de RÉFÉRENCE avec l'axe horizontal, puis on applique les signes du quadrant aux valeurs du premier quadrant.

a)

$\frac{7\pi}{6}$ est déjà dans $[0\,;2\pi[$ . On l'écrit $\pi+\frac{\pi}{6}$ , ce qui le situe juste après le demi-tour : quadrant III, avec l'angle de référence $\frac{\pi}{6}$ . Les valeurs de référence sont $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ . Au quadrant III, les DEUX coordonnées sont négatives. Point image : $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\,;-\frac{1}{2}\right)$ .

b)

$-\frac{\pi}{3}$ est négatif, on ajoute un tour : $-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}$ , quadrant IV, angle de référence $\frac{\pi}{3}$ . Au quadrant IV, l'abscisse est positive et l'ordonnée négative. Point image : $\left(\frac{1}{2}\,;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ . On aurait pu conclure plus vite par la parité : $\cos(-x)=\cos x$ et $\sin(-x)=-\sin x$ , donc le point image de $-\frac{\pi}{3}$ est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des abscisses ✓.

c)

$\frac{11\pi}{4}$ dépasse $2\pi=\frac{8\pi}{4}$ , on retranche un tour : $\frac{11\pi}{4}-2\pi=\frac{3\pi}{4}$ , quadrant II, angle de référence $\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$ . Au quadrant II, l'abscisse est négative et l'ordonnée positive. Comme les deux valeurs de référence valent $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , le point image est $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

d)

L'identité $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué au rayon du cercle, qui vaut $1$ : c'est pourquoi tout point image doit la vérifier. Contrôle a) : $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ ✓. Contrôle b) : $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓. Contrôle c) : $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ ✓. Les trois points sont bien sur le cercle de rayon $1$ . Ce contrôle est très efficace en examen : il détecte instantanément un $\frac{\sqrt{3}}{2}$ écrit à la place d'un $\frac{1}{2}$ , puisque la somme des carrés ne ferait plus $1$ . En revanche il ne détecte PAS une erreur de signe, les carrés effaçant les signes : pour les signes, seul le quadrant fait foi.

Exercice 7 : Retrouver tous les angles

On cherche les angles à partir d'une valeur de sinus ou de cosinus : il y en a toujours plusieurs sur le cercle.

Sur la figure, chercher les angles de cosinus $-\dfrac{1}{2}$ revient à couper le cercle par la droite d'abscisse $-\dfrac{1}{2}$ .

a) Trouvez tous les angles $x$ de $[0;\ 2\pi]$ tels que $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ .
b) Ajoutez les solutions de $[2\pi;\ 4\pi]$ (utilisez les angles coterminaux).
c) Trouvez tous les angles $x$ de $[0;\ 2\pi]$ tels que $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
d) Donnez la forme générale de TOUTES les solutions réelles de $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ .
e) À partir de la figure, expliquez pourquoi une équation $\cos x=k$ admet TOUJOURS deux solutions dans $[0;\ 2\pi[$ quand $-1<k<1$ , et dites ce qui se passe pour $k=1$ , $k=-1$ et $k=2$ .

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Réponses

a) $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$
b) $\dfrac{8\pi}{3}$ et $\dfrac{10\pi}{3}$
c) $\dfrac{5\pi}{4}$ et $\dfrac{7\pi}{4}$
d) $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$
e) Deux points d'intersection pour $-1<k<1$ ; un pour $k=\pm 1$ (tangence) ; aucun pour $k=2$

a)

L'abscisse d'un point image est son cosinus, donc chercher $\cos x=-\frac{1}{2}$ revient à trouver les points du cercle situés sur la droite verticale d'abscisse $-\frac{1}{2}$ . Cette droite est à gauche de l'axe des ordonnées, elle coupe donc le cercle dans les quadrants II et III, aux deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses. L'angle de référence est celui dont le cosinus vaut $+\frac{1}{2}$ , c'est-à-dire $\frac{\pi}{3}$ . Au quadrant II, l'angle vaut $\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ ; au quadrant III, il vaut $\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$ . Deux solutions : $\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$ .

b)

Les solutions de $[2\pi\,;4\pi]$ sont les coterminales des précédentes, obtenues en ajoutant un tour complet : $\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{2\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}+2\pi=\frac{4\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}$ . Elles ont exactement le même point image, donc le même cosinus.

c)

L'ordonnée est le sinus, donc on cherche cette fois les points situés sur la droite HORIZONTALE d'ordonnée $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , sous l'axe des abscisses : quadrants III et IV, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. L'angle de référence est $\frac{\pi}{4}$ , dont le sinus vaut $+\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Au quadrant III : $\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$ . Au quadrant IV : $2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$ . Deux solutions : $\frac{5\pi}{4}$ et $\frac{7\pi}{4}$ .

d)

Chaque solution se répète à chaque tour, il faut donc ajouter $2k\pi$ avec $k$ entier. Les deux familles sont $x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ et $x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$ . On les écrit plus compactement en remarquant que $\frac{4\pi}{3}$ est coterminal à $-\frac{2\pi}{3}$ , puisque $\frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}$ : la réponse s'écrit alors $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ . Cette forme compacte est propre au COSINUS et vient de sa parité, $\cos(-x)=\cos x$ : les deux solutions sont toujours opposées l'une de l'autre.

e)

Résoudre $\cos x=k$ , c'est chercher les points du cercle dont l'ABSCISSE vaut $k$ , donc couper le cercle par la droite verticale d'équation $x=k$ . Tant que $-1<k<1$ , cette droite traverse le disque et coupe le cercle en DEUX points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses : d'où deux solutions dans $[0\,;2\pi[$ , de la forme $x_{0}$ et $2\pi-x_{0}$ . Pour $k=1$ , la droite est TANGENTE au cercle en $(1\,;0)$ : les deux points se confondent et il n'en reste qu'un, $x=0$ . Pour $k=-1$ , tangence en $(-1\,;0)$ : une seule solution, $x=\pi$ . Pour $k=2$ , la droite ne rencontre pas le cercle et il n'y a AUCUNE solution, ce qui traduit géométriquement le fait que le cosinus reste toujours dans $[-1\,;1]$ . Le même raisonnement vaut pour le sinus, à ceci près qu'on coupe par des droites HORIZONTALES et que la symétrie se fait par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui donne des solutions de la forme $x_{0}$ et $\pi-x_{0}$ .

Exercice 8 : Problème : la grande roue

Une grande roue de 20 m de rayon a son centre à 22 m du sol. Une nacelle part de la position « 3 heures » (à la hauteur du centre) et tourne dans le sens antihoraire. Sa position après une rotation d'angle $\theta$ est $(20\cos\theta;\ 20\sin\theta)$ par rapport au centre.

La figure ci-dessous représente la roue et la position de départ de la nacelle.

a) La nacelle tourne de 210°. Convertissez cet angle en radians, puis calculez la longueur de l'arc parcouru (arrondie au dixième).
b) Calculez la hauteur de la nacelle au-dessus du sol après cette rotation de 210°.
c) Donnez les coordonnées exactes de la nacelle par rapport au centre à ce moment.
d) À quels angles de rotation $\theta$ de $[0°;\ 360°]$ la nacelle se trouve-t-elle exactement à 32 m du sol ?

Voir la correction

Réponses

a) $\dfrac{7\pi}{6}$ ; arc $\approx 73{,}3$ m
b) $12$ m
c) $\left(-10\sqrt{3}\,;-10\right)$
d) $30°$ et $150°$

a)

Conversion : $210°=210\times\frac{\pi}{180}=\frac{210\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}$ rad, après simplification par $30$ . La longueur d'arc se calcule par $s=r\theta$ , formule qui n'est valable QU'EN RADIANS : $s=20\times\frac{7\pi}{6}=\frac{140\pi}{6}=\frac{70\pi}{3}\approx 73{,}3$ m. Contrôle de plausibilité : la circonférence complète vaut $2\pi\times 20\approx 125{,}7$ m, et $210°$ représente $\frac{210}{360}\approx 58$ % du tour, soit environ $73$ m ✓.

b)

La hauteur de la nacelle est celle du centre plus son ordonnée relative : $22+20\sin\theta$ . Or $\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$ est au quadrant III, d'angle de référence $\frac{\pi}{6}$ , donc $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$ , négatif comme il se doit sous l'axe. Hauteur $=22+20\times\left(-\frac{1}{2}\right)=22-10=12$ m. Interprétation : la nacelle est descendue de $10$ m sous la hauteur du centre, ce qui est cohérent avec une rotation de $210°$ qui l'a menée dans la partie basse du tour.

c)

Les coordonnées relatives au centre sont $(20\cos\theta\,;20\sin\theta)$ . Avec $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$ : le point est $\left(20\times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\,;20\times\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\left(-10\sqrt{3}\,;-10\right)$ , soit environ $(-17{,}3\,;-10)$ . Contrôle : la distance au centre doit valoir le rayon, $\sqrt{300+100}=\sqrt{400}=20$ ✓.

d)

On résout $22+20\sin\theta=32$ , donc $20\sin\theta=10$ et $\sin\theta=\frac{1}{2}$ . Le sinus est positif aux quadrants I et II, avec l'angle de référence $30°$ : $\theta=30°$ et $\theta=180°-30°=150°$ . Ces deux positions sont symétriques par rapport à la verticale, l'une sur la partie MONTANTE du tour et l'autre sur la partie DESCENDANTE : la nacelle passe deux fois à $32$ m au cours d'un tour, une fois en montant et une fois en redescendant. C'est la traduction concrète du fait qu'une équation en sinus a deux solutions par tour, et c'est aussi ce qui rend le modèle réaliste : toute hauteur strictement comprise entre $2$ m et $42$ m est atteinte exactement deux fois par tour.

Exercice 9 : Longueur d'un arc et aire d'un secteur

Dans un cercle de rayon $r$ , un angle au centre de $\theta$ radians découpe un arc de longueur $s=r\theta$ et un secteur d'aire $A=\dfrac{1}{2}r^{2}\theta$ . Ces formules n'ont cette forme simple qu'en RADIANS.

La figure ci-dessous représente le secteur des questions a) et b).

a) Un cercle a un rayon de $6$ cm. Calculez la longueur de l'arc intercepté par un angle de $\dfrac{\pi}{3}$ .
b) Calculez l'aire du secteur correspondant.
c) Dans un cercle de rayon $4$ cm, un arc mesure $10$ cm. Quel est l'angle au centre, en radians ?
d) Expliquez pourquoi ces formules exigent des radians et non des degrés.

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Réponses

a) $2\pi\approx 6{,}28$ cm
b) $6\pi\approx 18{,}85$ cm²
c) $2{,}5$ rad
d) Le radian est défini par $s=r\theta$ ; en degrés il faudrait un facteur $\dfrac{\pi}{180}$

a)

$s=r\theta=6\times\frac{\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}=2\pi\approx 6{,}28$ cm. Contrôle : la circonférence entière vaut $2\pi\times 6=12\pi$ cm, et l'angle $\frac{\pi}{3}$ représente $\frac{\pi/3}{2\pi}=\frac{1}{6}$ du tour, soit $\frac{12\pi}{6}=2\pi$ cm ✓. Cette vérification par la fraction du tour est la plus sûre, car elle n'utilise aucune formule mémorisée.

b)

$A=\frac{1}{2}r^{2}\theta=\frac{1}{2}\times 6^{2}\times\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\times 36\times\frac{\pi}{3}=\frac{36\pi}{6}=6\pi\approx 18{,}85$ cm². Même contrôle par la fraction : l'aire du disque entier vaut $\pi r^{2}=36\pi$ cm², et le sixième de cette aire vaut $6\pi$ cm² ✓. Notez le lien entre les deux formules : $A=\frac{1}{2}r\times(r\theta)=\frac{1}{2}\times\text{rayon}\times\text{arc}$ , exactement comme l'aire d'un triangle vaut la moitié de la base par la hauteur. Un secteur mince se comporte en effet presque comme un triangle de base $s$ et de hauteur $r$ .

c)

De $s=r\theta$ on tire $\theta=\frac{s}{r}=\frac{10}{4}=2{,}5$ radians. Ce résultat est un NOMBRE PUR, sans unité, ce qui est logique puisqu'il est le quotient de deux longueurs : c'est la raison profonde pour laquelle le radian n'est pas vraiment une unité. Contrôle de plausibilité : $2{,}5$ rad correspond à environ $143°$ , un peu moins qu'un demi-tour, ce qui est cohérent avec un arc de $10$ cm sur une circonférence de $8\pi\approx 25{,}1$ cm, soit environ $40$ % du tour ✓.

d)

Le radian est DÉFINI de sorte qu'un angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur égale au rayon. La relation $s=r\theta$ est donc une conséquence directe de la définition, et non une formule à apprendre. En degrés, cette proportionnalité naturelle est rompue par un facteur de conversion : il faudrait écrire $s=r\theta\frac{\pi}{180}$ et $A=\frac{1}{2}r^{2}\theta\frac{\pi}{180}$ , ce qui est plus lourd et source d'erreurs. Contre-exemple révélateur : avec $r=6$ et $\theta=60$ en degrés, la formule brute $s=r\theta$ donnerait $360$ cm pour un arc qui ne peut pas dépasser la circonférence de $37{,}7$ cm. Le radian est donc l'unité qui rend la géométrie du cercle linéaire, et c'est pour cette raison qu'il s'impose dès qu'on fait du calcul plutôt que de la mesure.

Exercice 10 : Angle de référence, signes et coordonnées exactes

Hors du premier quadrant, on ramène chaque angle à son angle de référence (l'angle aigu formé avec l'axe des $x$ ) et on ajuste le signe selon le quadrant.

La figure ci-dessous montre l'angle de $210^{\circ}$ et l'angle aigu qu'il forme avec l'axe des abscisses.

a) Donnez les valeurs exactes de $\sin 210^{\circ}$ , $\cos 210^{\circ}$ et $\tan 210^{\circ}$ à l'aide de l'angle de référence $30^{\circ}$ .
b) Donnez les valeurs exactes de $\sin\dfrac{5\pi}{4}$ et $\cos\dfrac{5\pi}{4}$ .
c) On sait que $\cos\theta=-\dfrac{3}{5}$ et que $\theta$ est dans le deuxième quadrant. Déterminez $\sin\theta$ et $\tan\theta$ .
d) Déterminez tous les angles $\theta\in[0,\ 2\pi[$ tels que $\sin\theta=-\dfrac{1}{2}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

\sin 210°

\cos 210°\approx

\tan 210°\approx

b)

\sin\frac{5\pi}{4}\approx

\cos\frac{5\pi}{4}\approx

c)

\sin\theta

\tan\theta

d)

Plus petite solution (en multiples de

\pi

)

Plus grande solution (en multiples de

\pi

)

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Réponses

a) $\sin=-\dfrac{1}{2}$ , $\cos=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\tan=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
b) $\sin=\cos=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
c) $\sin\theta=\dfrac{4}{5}$ , $\tan\theta=-\dfrac{4}{3}$
d) $\dfrac{7\pi}{6}$ et $\dfrac{11\pi}{6}$

a)

$210°$ dépasse $180°$ sans atteindre $270°$ : quadrant III. L'angle de référence est l'angle aigu formé avec l'axe horizontal, soit $210°-180°=30°$ . On part donc des valeurs de $30°$ , à savoir $\sin 30°=\frac{1}{2}$ , $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , et l'on applique les signes du quadrant III, où abscisse et ordonnée sont toutes deux négatives : $\sin 210°=-\frac{1}{2}$ et $\cos 210°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Pour la tangente, on utilise $\tan=\frac{\sin}{\cos}$ : $\tan 210°=\frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ après rationalisation. Le résultat est POSITIF, et c'est général : au quadrant III, sinus et cosinus étant tous deux négatifs, leur quotient est positif.

b)

$\frac{5\pi}{4}$ vaut $225°$ : quadrant III également. L'angle de référence est $\frac{5\pi}{4}-\pi=\frac{\pi}{4}$ , dont les deux valeurs de référence sont égales à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Les deux étant négatives au quadrant III : $\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Comme en a), la tangente y vaudrait $+1$ .

c)

On n'a pas ici un angle remarquable, mais on dispose du cosinus et du quadrant, ce qui suffit. L'identité $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ donne $\sin^{2}\theta=1-\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ , donc $\sin\theta=\pm\frac{4}{5}$ . Le carré ayant effacé le signe, c'est le QUADRANT qui tranche : au deuxième quadrant le sinus est positif, donc $\sin\theta=\frac{4}{5}$ . Puis $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}$ , négatif comme attendu au quadrant II, où sinus et cosinus sont de signes contraires. Remarquez le triangle $3$ - $4$ - $5$ qui apparaît : les énoncés utilisent souvent ce triplet pythagoricien pour que les valeurs restent rationnelles.

d)

$\sin\theta=-\frac{1}{2}$ : l'angle de référence est celui dont le sinus vaut $+\frac{1}{2}$ , c'est-à-dire $\frac{\pi}{6}$ . Le sinus étant NÉGATIF, on cherche sous l'axe des abscisses, donc aux quadrants III et IV. Au quadrant III : $\theta=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$ . Au quadrant IV : $\theta=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$ . Deux solutions dans $[0\,;2\pi[$ , comme le prévoit l'analyse graphique de l'exercice 7. Résumé de la méthode, qui vaut pour tout le chapitre : la VALEUR ABSOLUE de la donnée fournit l'angle de référence, et son SIGNE désigne les deux quadrants où chercher.

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Le tableau complet des valeurs remarquables

Donnez les valeurs exactes de $\cos$ , de $\sin$ et de $\tan$ pour chacun des angles suivants, sans calculatrice.

a) $\dfrac{2\pi}{3}$
b) $\dfrac{3\pi}{4}$
c) $\dfrac{5\pi}{6}$
d) $\dfrac{4\pi}{3}$
e) $\dfrac{7\pi}{4}$
f) $\dfrac{3\pi}{2}$

Voir la correction

Réponses

a) $-\dfrac{1}{2}$ ; $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $-\sqrt{3}$
b) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $-1$
c) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\dfrac{1}{2}$ ; $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
d) $-\dfrac{1}{2}$ ; $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\sqrt{3}$
e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $-1$
f) $0$ ; $-1$ ; tangente non définie

La méthode évite d'apprendre trente-six valeurs par coeur : on repère le QUADRANT, on prend l'angle de RÉFÉRENCE (l'écart à l'axe horizontal le plus proche), on lit la valeur du premier quadrant, puis on lui donne le signe du quadrant.

a)

$\frac{2\pi}{3}$ est dans le deuxième quadrant, son angle de référence est $\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$ . Dans le deuxième quadrant, le cosinus est négatif et le sinus positif. Donc $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ , $\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\tan\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}$ .

b)

$\frac{3\pi}{4}$ , deuxième quadrant, référence $\frac{\pi}{4}$ . Donc $\cos=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\tan=-1$ .

c)

$\frac{5\pi}{6}$ , deuxième quadrant, référence $\frac{\pi}{6}$ . Donc $\cos=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin=\frac{1}{2}$ et $\tan=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Attention à ne pas intervertir : pour $\frac{\pi}{6}$ , c'est le SINUS qui vaut $\frac{1}{2}$ , alors que pour $\frac{\pi}{3}$ c'est le cosinus. La règle mnémonique la plus sûre est que le petit angle a un petit sinus.

d)

$\frac{4\pi}{3}$ , troisième quadrant, référence $\frac{4\pi}{3}-\pi=\frac{\pi}{3}$ . Dans le troisième quadrant, cosinus et sinus sont tous deux négatifs, donc la tangente est positive. Donc $\cos=-\frac{1}{2}$ , $\sin=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\tan=\sqrt{3}$ .

e)

$\frac{7\pi}{4}$ , quatrième quadrant, référence $2\pi-\frac{7\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$ . Cosinus positif, sinus négatif : $\cos=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\tan=-1$ .

f)

$\frac{3\pi}{2}$ est sur un axe, pas dans un quadrant : le point image est $(0\,;-1)$ . Donc $\cos=0$ , $\sin=-1$ , et la tangente n'EXISTE PAS puisque son dénominateur serait nul. Répondre $\tan\frac{3\pi}{2}=0$ est l'erreur classique des angles sur les axes ; la bonne réponse est que la fonction n'y est pas définie, et c'est là que se trouve une asymptote verticale de la tangente.

Exercice 12 : Angles négatifs, parité du sinus et du cosinus

Un angle négatif se mesure dans le sens des aiguilles d'une montre. Utilisez les identités $\cos(-x)=\cos x$ et $\sin(-x)=-\sin x$ pour répondre.

a) $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$
b) $\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$ et $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$
c) $\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$
d) Expliquez géométriquement pourquoi le cosinus est PAIR et le sinus IMPAIR, à partir des coordonnées du point image.
e) La tangente est-elle paire ou impaire ? Justifiez à partir de son quotient.

Voir la correction

Réponses

a) $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b) $-\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
c) $-1$
d) Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : abscisse conservée, ordonnée changée de signe
e) Impaire : $\tan(-x)=-\tan x$

a)

$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ , et $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . On peut aussi le lire directement : $-\frac{\pi}{3}$ est dans le quatrième quadrant, où le cosinus est positif et le sinus négatif ✓.

b)

$\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\sin\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{2}$ , et $\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Le point image est dans le troisième quadrant, où les deux coordonnées sont négatives ✓.

c)

$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$ .

d)

Le point image de $-x$ est le SYMÉTRIQUE, par rapport à l'axe des abscisses, du point image de $x$ . Or une symétrie par rapport à cet axe conserve l'abscisse et change le signe de l'ordonnée. Comme le cosinus EST l'abscisse du point image et le sinus EST son ordonnée, on obtient immédiatement $\cos(-x)=\cos x$ (le cosinus est pair) et $\sin(-x)=-\sin x$ (le sinus est impair). Ce n'est donc pas une formule à retenir mais une lecture directe du cercle, et c'est la meilleure façon de ne jamais l'inverser.

e)

La tangente est IMPAIRE : $\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$ . Le signe moins du numérateur survit, celui du dénominateur n'existe pas. Une conséquence graphique en découle : la courbe de la tangente est symétrique par rapport à l'ORIGINE, comme celle du sinus, alors que celle du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exercice 13 : Quadrant et signes des trois rapports

Pour chaque angle, donnez le quadrant de son point image et le SIGNE de son sinus, de son cosinus et de sa tangente, sans calculer aucune valeur.

a) $\dfrac{2\pi}{3}$
b) $\dfrac{4\pi}{3}$
c) $\dfrac{11\pi}{6}$
d) $-\dfrac{\pi}{4}$
e) Un angle vérifie $\sin\theta>0$ et $\tan\theta<0$ . Dans quel quadrant se trouve-t-il ?
f) Un angle vérifie $\cos\theta<0$ et $\tan\theta>0$ . Dans quel quadrant ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/18

a)

Quadrant

sin

cos

tan

b)

Quadrant

sin

cos

tan

c)

Quadrant

sin

cos

tan

d)

Quadrant

sin

cos

tan

e)

Quadrant

f)

Quadrant

Voir la correction

Réponses

a) II : $+$ , $-$ , $-$
b) III : $-$ , $-$ , $+$
c) IV : $-$ , $+$ , $-$
d) IV : $-$ , $+$ , $-$
e) Quadrant II
f) Quadrant III

Le cosinus est l'abscisse du point image, le sinus son ordonnée, et la tangente leur quotient. Les signes se lisent donc directement sur les quadrants du plan : premier quadrant, tout est positif ; deuxième, seul le sinus ; troisième, seule la tangente ; quatrième, seul le cosinus.

a)

$\frac{2\pi}{3}$ est compris entre $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$ : deuxième quadrant. Sinus positif, cosinus négatif, tangente négative.

b)

$\frac{4\pi}{3}$ est entre $\pi$ et $\frac{3\pi}{2}$ : troisième quadrant. Sinus négatif, cosinus négatif, tangente POSITIVE, puisqu'un quotient de deux nombres négatifs est positif. C'est le seul quadrant où la tangente est positive alors que les deux autres rapports sont négatifs, et c'est ce qui le rend reconnaissable.

c)

$\frac{11\pi}{6}$ est entre $\frac{3\pi}{2}$ et $2\pi$ : quatrième quadrant. Sinus négatif, cosinus positif, tangente négative.

d)

$-\frac{\pi}{4}$ se mesure dans le sens horaire depuis l'axe des abscisses : le point image est dans le quatrième quadrant, comme celui de $\frac{7\pi}{4}$ qui lui est coterminal. Sinus négatif, cosinus positif, tangente négative.

e)

Le sinus est positif dans les quadrants I et II ; la tangente est négative dans les quadrants II et IV. Le seul quadrant commun aux deux conditions est le DEUXIÈME.

f)

Le cosinus est négatif dans les quadrants II et III ; la tangente est positive dans les quadrants I et III. Le seul commun est le TROISIÈME. Ce type de question revient à chaque évaluation, et la méthode est toujours la même : on liste les quadrants possibles pour chaque condition, puis on prend l'intersection. Deux conditions suffisent toujours à déterminer un quadrant et un seul.

Exercice 14 : Problème : la roue de vélo

La roue d'un vélo a un rayon de 35 cm. Elle tourne à 120 tours par minute. La figure ci-dessous représente la roue au départ.

a) Convertissez cette vitesse en radians par seconde.
b) Quel angle, en radians, la roue balaie-t-elle en 5 secondes ? À quelle distance parcourue par le vélo cela correspond-il ?
c) Quelle est la vitesse du vélo en mètres par seconde, puis en kilomètres par heure ?
d) Un point de la valve est repéré par l'angle qu'il forme avec la verticale descendante. Quelle est sa position, en radians, au bout de 1 seconde si la valve part du point le plus bas ?

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Réponses

a) $4\pi$ rad/s
b) $20\pi$ rad ; $7\pi\approx 21{,}99$ m
c) $\approx 4{,}40$ m/s, $\approx 15{,}8$ km/h
d) $4\pi$ , mesure principale $0$ : point le plus bas

a)

Un tour vaut $2\pi$ radians, et une minute vaut $60$ secondes. La vitesse angulaire est donc $\omega=\frac{120\times 2\pi}{60}=4\pi$ radians par seconde, soit environ $12{,}57$ rad/s. Le passage par les radians est ce qui rend tout le reste du problème immédiat : c'est la seule unité dans laquelle la longueur d'arc s'écrit simplement $r\theta$ .

b)

En $5$ secondes, l'angle balayé est $\theta=4\pi\times 5=20\pi$ radians, soit environ $62{,}83$ rad, ce qui correspond à $10$ tours. La distance parcourue est la longueur de l'arc déroulé au sol : $d=r\theta=0{,}35\times 20\pi=7\pi\approx 21{,}99$ m. On peut vérifier autrement : $10$ tours de circonférence $2\pi\times 0{,}35=2{,}199$ m font bien $21{,}99$ m ✓.

c)

La vitesse est la distance divisée par le temps : $\frac{21{,}99}{5}\approx 4{,}40$ m/s. On peut aussi l'obtenir directement par $v=r\omega=0{,}35\times 4\pi=1{,}4\pi\approx 4{,}40$ m/s ✓. En kilomètres par heure : $4{,}40\times 3{,}6\approx 15{,}8$ km/h, une allure de promenade tout à fait plausible, ce qui valide l'ordre de grandeur.

d)

En $1$ seconde, la roue tourne de $4\pi$ radians, soit exactement DEUX tours complets. La valve revient donc précisément à son point de départ, le point le plus bas, et sa position est $4\pi$ radians, dont la mesure principale est $0$ .

C'est l'occasion de rappeler ce que « coterminal » veut dire concrètement : les angles $0$ , $2\pi$ et $4\pi$ désignent la même position sur le cercle mais pas le même parcours. Pour repérer un point, on donne la mesure principale ; pour compter une distance parcourue, on garde l'angle total. Confondre les deux conduirait ici à annoncer une distance nulle au bout d'une seconde, alors que le vélo a bien avancé de $1{,}4\pi\approx 4{,}40$ m.

Exercice 15 : Problème : les aiguilles de l'horloge

Sur une horloge murale, la grande aiguille (celle des minutes) mesure 12 cm et la petite (celle des heures) 8 cm. La figure ci-dessous représente les deux aiguilles, à trois heures.

a) De quel angle, en radians, la grande aiguille tourne-t-elle en une minute ? Et la petite ?
b) Quel angle la grande aiguille balaie-t-elle en 25 minutes ? Quelle distance sa pointe parcourt-elle ?
c) Quelle aire le secteur balayé par la grande aiguille en 25 minutes représente-t-il ?
d) Quel angle sépare les deux aiguilles à 4 h 20 ? Donnez la réponse en degrés puis en radians.

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Réponses

a) $\dfrac{\pi}{30}$ et $\dfrac{\pi}{360}$ rad/min
b) $\dfrac{5\pi}{6}$ ; $10\pi\approx 31{,}4$ cm
c) $60\pi\approx 188{,}5$ cm²
d) $10°$ , soit $\dfrac{\pi}{18}$ rad

a)

La grande aiguille fait un tour complet, soit $2\pi$ radians, en $60$ minutes : elle tourne donc de $\frac{2\pi}{60}=\frac{\pi}{30}$ radian par minute, environ $0{,}105$ rad. La petite fait un tour en $12$ heures, soit $720$ minutes : elle tourne de $\frac{2\pi}{720}=\frac{\pi}{360}$ radian par minute, douze fois moins vite. Ce rapport de $12$ est le coeur de toutes les questions d'horloge.

b)

En $25$ minutes, la grande aiguille balaie $25\times\frac{\pi}{30}=\frac{5\pi}{6}$ radian, c'est-à-dire $150$ degrés. La pointe parcourt un arc de longueur $L=r\theta=12\times\frac{5\pi}{6}=10\pi\approx 31{,}4$ cm. La formule $L=r\theta$ n'est valable qu'en radians, et c'est la raison pour laquelle on ne convertit pas en degrés avant de calculer.

c)

L'aire d'un secteur vaut $A=\frac{1}{2}r^{2}\theta$ , toujours en radians. Ici $A=\frac{1}{2}\times 144\times\frac{5\pi}{6}=60\pi\approx 188{,}5$ cm carrés. Contrôle : le disque entier a une aire de $\pi\times 144\approx 452{,}4$ cm carrés, et $\frac{150}{360}$ de cette valeur donne bien $188{,}5$ ✓.

d)

La grande aiguille est sur le $4$ (les $20$ minutes), donc à $\frac{20}{60}$ de tour depuis midi, soit $120$ degrés. La petite aiguille, elle, n'est PAS exactement sur le $4$ : elle a déjà parcouru $20$ minutes de l'heure en cours. Sa position est $\left(4+\frac{20}{60}\right)\times 30=4{,}333\times 30=130$ degrés, puisqu'elle avance de $30$ degrés par heure.

L'écart entre les deux aiguilles est donc $130-120=10$ degrés, soit $\frac{10\pi}{180}=\frac{\pi}{18}$ radian, environ $0{,}175$ rad. Répondre $0$ degré, parce que « les deux aiguilles sont sur le $4$ », est l'erreur que la question vise : la petite aiguille se déplace CONTINÛMENT et ne pointe exactement un chiffre qu'à l'heure pile. C'est aussi pourquoi les deux aiguilles ne se superposent jamais à $4$ h $20$ , mais quelques minutes plus tard.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Série publiée sur www.letuteurscientifique.ca/exercices/sn5-cercle-trigonometrique. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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