Exercices corrigés : le cercle trigonométrique (math SN5)

La conversion repose sur une seule égalité : un demi-tour vaut $180°$ et vaut aussi $\pi$ radians. La formule $\text{rad}=\text{deg}\times\frac{\pi}{180}$ n'en est que la traduction. Mais il existe une méthode mentale bien plus rapide, qu'il faut adopter : on exprime l'angle comme une FRACTION de $180°$, et cette même fraction s'applique à $\pi$.

a) $60°=\frac{180°}{3}$, donc l'angle vaut $\frac{\pi}{3}$. Par la formule : $60\times\frac{\pi}{180}=\frac{60\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$ ✓, mais il fallait simplifier la fraction, ce que la méthode mentale évite.

b) $90°$ est la moitié de $180°$, donc $\frac{\pi}{2}$.

c) $180°$ est exactement le demi-tour, donc $\pi$. C'est l'angle de référence de tout le chapitre, celui à partir duquel on reconstruit les autres.

d) $45°=\frac{180°}{4}$, donc $\frac{\pi}{4}$.

e) $270°=180°+90°$, donc $\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$. On peut aussi voir $270°$ comme les trois quarts d'un tour complet : $\frac{3}{4}\times 2\pi=\frac{3\pi}{2}$ ✓, les deux lectures se confirment.

f) $30°=\frac{180°}{6}$, donc $\frac{\pi}{6}$.

Deux consignes de rédaction qui valent des points. Une valeur EXACTE se garde sous forme de fraction de $\pi$ : écrire $\frac{\pi}{3}\approx 1{,}05$ à la place de $\frac{\pi}{3}$ perd la précision demandée. Et l'unité radian s'omet le plus souvent, un angle écrit sans symbole de degré étant par convention en radians : $\sin(2)$ désigne le sinus de $2$ radians, pas de $2$ degrés.

On fait le trajet inverse, $\text{deg}=\text{rad}\times\frac{180}{\pi}$, mais là encore une lecture directe est plus sûre : il suffit de REMPLACER le symbole $\pi$ par le nombre $180$ et de calculer la fraction obtenue. Le $\pi$ du dénominateur de la formule s'annule alors automatiquement avec celui de l'angle.

a) $2\pi\to 2\times 180°=360°$. C'est le tour complet, l'autre égalité fondamentale du chapitre.

b) $\frac{\pi}{6}\to\frac{180°}{6}=30°$.

c) $\frac{5\pi}{6}\to\frac{5\times 180°}{6}=\frac{900°}{6}=150°$. On peut contrôler autrement : $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$, donc $180°-30°=150°$ ✓. Cette écriture $\pi-\alpha$ sera très utile plus loin pour les angles de référence.

d) $\frac{3\pi}{4}\to\frac{3\times 180°}{4}=\frac{540°}{4}=135°$. Contrôle : $\pi-\frac{\pi}{4}$ donne $180°-45°=135°$ ✓.

e) $\frac{\pi}{2}\to\frac{180°}{2}=90°$.

Les questions f) à j) ne changent pas la méthode, elles ajoutent une étape : SIMPLIFIER la fraction avant de remplacer $\pi$ par $180$. Simplifier d'abord, c'est diviser de petits nombres de tête ; simplifier après, c'est diviser $6840$ par $36$ à la main.

f) $\frac{38\pi}{36}=\frac{19\pi}{18}$ en divisant par $2$, donc $\frac{19\times 180°}{18}=19\times 10°=190°$. Sans simplifier on trouve $\frac{38\times 180}{36}=\frac{6840}{36}=190$ ✓, le même résultat pour beaucoup plus de travail. Contrôle de bon sens : $\frac{19}{18}$ dépasse à peine $1$, l'angle doit donc dépasser à peine $180°$.

g) $\frac{56\pi}{36}=\frac{14\pi}{9}$ en divisant par $4$, donc $\frac{14\times 180°}{9}=14\times 20°=280°$. Contrôle : $\frac{14}{9}\approx 1{,}56$ est entre $1$ et $2$, l'angle est donc entre $180°$ et $360°$, dans la moitié basse du cercle.

h) $\frac{50\pi}{45}=\frac{10\pi}{9}$ en divisant par $5$, donc $10\times 20°=200°$.

i) $\frac{22\pi}{15}$ est déjà irréductible, $22$ et $15$ n'ayant aucun diviseur commun. Donc $\frac{22\times 180°}{15}=22\times 12°=264°$.

j) $\frac{24\pi}{15}=\frac{8\pi}{5}$ en divisant par $3$, donc $8\times 36°=288°$.

Les questions k) à o) changent de nature. Un point du cercle porte une INFINITÉ de mesures, qui diffèrent toutes d'un nombre entier de tours, donc d'un multiple de $2\pi$. La mesure principale est le représentant officiel de cette famille : la seule mesure qui tombe dans $]-\pi\,;\pi]$, soit entre un demi-tour vers le bas, exclu, et un demi-tour vers le haut, inclus.

La méthode qui ne rate jamais, pour un angle écrit $\frac{p\pi}{q}$ : un tour complet vaut $2\pi=\frac{2q\pi}{q}$, donc retirer $k$ tours revient à remplacer le numérateur $p$ par $p-2kq$. On veut ce nouveau numérateur entre $-q$ et $q$, il suffit donc de prendre pour $k$ l'ENTIER LE PLUS PROCHE de $\frac{p}{2q}$, qui compte justement le nombre de tours contenus dans l'angle. Aucune soustraction répétée, un seul calcul.

k) Ici $p=39$ et $q=23$, donc $\frac{p}{2q}=\frac{39}{46}\approx 0{,}85$ : l'entier le plus proche est $k=1$, on retire un tour. Il reste $39-46=-7$, la mesure principale est $-\frac{7\pi}{23}$. Deux contrôles : $-7$ est bien entre $-23$ et $23$ ✓, et en degrés $\frac{39\times 180}{23}\approx 305{,}2°$, donc $305{,}2-360\approx -54{,}8°$, ce qui est bien $-\frac{7\times 180}{23}$ ✓.

l) $\frac{43}{54}\approx 0{,}80$, donc $k=1$ : il reste $43-54=-11$ et la mesure principale est $-\frac{11\pi}{27}$.

m) $\frac{120\pi}{15}=8\pi$, soit exactement QUATRE tours complets. Le point image est le point $(1\,;0)$ et la mesure principale vaut $0$. C'est le piège de l'exercice : quand la fraction se simplifie en un multiple entier de $\pi$, il n'y a plus de fraction à réduire mais des tours à compter. Répondre $8\pi$ coûte tous les points, car $8\pi$ n'appartient pas à $]-\pi\,;\pi]$.

n) $\frac{97}{16}\approx 6{,}06$, donc $k=6$ : il reste $97-2\times 6\times 8=97-96=1$, la mesure principale est $\frac{\pi}{8}$. Six tours retirés d'un seul coup : c'est exactement là que la méthode par soustractions successives de $2\pi$ fait perdre du temps et provoque des erreurs de comptage.

o) $\frac{-16\pi}{10}=-\frac{8\pi}{5}$ après simplification par $2$. Avec $p=-8$ et $q=5$ : $\frac{-8}{10}=-0{,}8$, l'entier le plus proche est $k=-1$, on AJOUTE donc un tour. Il reste $-8+10=2$ et la mesure principale est $\frac{2\pi}{5}$. Un angle négatif peut donc avoir une mesure principale positive : le signe de départ ne dit rien du signe d'arrivée.

Deux fautes coûtent régulièrement des points ici. La première est de réduire dans le mauvais intervalle : $[0\,;2\pi[$ et $]-\pi\,;\pi]$ nomment les mêmes points du cercle, mais la mesure principale est par convention celle de $]-\pi\,;\pi]$, si bien que $\frac{6\pi}{5}$ se réduit en $-\frac{4\pi}{5}$ et non en lui-même. La seconde est d'oublier que l'intervalle n'est ouvert que d'un côté : $\pi$ est une mesure principale, $-\pi$ n'en est pas une, alors que les deux désignent le même point $(-1\,;0)$.

a) $\cos(0)=1$. Le point image de $0$ est le point $(1\,;0)$, à droite du cercle : son abscisse, donc son cosinus, vaut $1$.

b) $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.

c) $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. À $45°$, le point image est sur la bissectrice, donc son abscisse et son ordonnée sont ÉGALES : c'est le seul angle du premier quadrant pour lequel $\cos=\sin$.

d) $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

e) $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$. Le point image est $(0\,;1)$, en haut du cercle : abscisse nulle.

f) $\sin(\pi)=0$. Le point image est $(-1\,;0)$, à gauche : ordonnée nulle.

Le moyen mnémotechnique qui remplace toute la table, et qu'il faut connaître pour l'examen : écrivez les cinq angles du premier quadrant dans l'ordre, $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, puis les sinus correspondants sous la forme $\frac{\sqrt{n}}{2}$ avec $n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$. On obtient $\frac{\sqrt{0}}{2}=0$, $\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{4}}{2}=1$. Les cosinus sont la même liste LUE À L'ENVERS, puisque le cosinus décroît quand le sinus croît sur ce quadrant. Cette astuce donne les dix valeurs remarquables sans rien apprendre par cœur, et le contrôle est immédiat : la somme des carrés doit toujours faire $1$, par exemple $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓.

g) Lire un point du cercle, c'est COMPTER des parts, jamais estimer à l'œil. On repère d'abord la famille de traits qui passe par le point, ce qui donne le dénominateur, puis on compte les parts depuis le point $(1\,;0)$, ce qui donne le numérateur.

$M_0$ est sur un trait bleu, donc un multiple de $\frac{\pi}{5}$ : trois parts dans le sens positif, soit $\frac{3\pi}{5}$, c'est-à-dire $108°$, dans le deuxième quadrant. $M_1$ est sur un trait gris, donc un multiple de $\frac{\pi}{4}$ : trois parts également, soit $\frac{3\pi}{4}$, c'est-à-dire $135°$, dans le deuxième quadrant lui aussi. Ces deux points sont voisins et c'est là qu'on se trompe : $108°$ et $135°$ ne se lisent pas sur la même famille de traits, et compter trois parts ne veut rien dire tant qu'on n'a pas dit trois parts de quoi.

$M_2$ est sur un trait vert, donc un multiple de $\frac{\pi}{3}$. En tournant dans le sens positif on trouve cinq parts, soit $\frac{5\pi}{3}$, c'est-à-dire $300°$. Mais $\frac{5\pi}{3}$ n'appartient pas à $]-\pi\,;\pi]$ : la mesure PRINCIPALE s'obtient en comptant dans l'autre sens, une seule part sous l'axe des abscisses, donc $-\frac{\pi}{3}$. Les deux écritures désignent exactement le même point, une seule répond à la question posée. $M_3$ est bleu à nouveau : deux parts, soit $\frac{2\pi}{5}$, c'est-à-dire $72°$, dans le premier quadrant.

h) $\frac{\pi}{6}=30°$, premier quadrant. Attention, cet angle n'appartient à AUCUNE des trois familles tracées : il tombe entre l'axe des abscisses et le premier trait bleu, qui est à $36°$. Un point image n'a pas besoin d'un trait pour exister, le cercle est continu et les traits ne sont qu'une aide au comptage.

$\pi=180°$ : le point image est $(-1\,;0)$, sur l'axe des abscisses, à gauche. Il n'appartient à aucun quadrant, et répondre « deuxième quadrant » est faux, car les quadrants sont ouverts et les points des axes n'en font partie d'aucun. $-\frac{\pi}{5}=-36°$ : une part bleue, mais dans le sens NÉGATIF, donc sous l'axe, dans le quatrième quadrant ; c'est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses du premier trait bleu situé au-dessus. Enfin $\frac{6\pi}{5}=216°$ : six parts bleues, donc un peu plus d'un demi-tour, dans le troisième quadrant ; sa mesure principale est $-\frac{4\pi}{5}$, mais la position du point, elle, ne change évidemment pas.

Le fil de ces deux questions, et de tout le chapitre : un point du cercle et une mesure d'angle ne sont pas la même chose. Un point porte une infinité de mesures, et l'énoncé précise toujours laquelle il veut, la principale, la plus petite mesure positive, ou celle d'un intervalle imposé. Écrire $\frac{5\pi}{3}$ quand on demande la mesure principale n'est pas une erreur de lecture du cercle, c'est une erreur de lecture de la consigne, et elle coûte le même nombre de points.

a) Le point image d'un réel $x$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ : l'ABSCISSE est le cosinus, l'ORDONNÉE est le sinus. Pour $\frac{\pi}{3}$, soit $60°$, on lit $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc le point image est $\left(\frac{1}{2}\,;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Contrôle de plausibilité : $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$ est nettement plus grand que $0{,}5$, ce qui est cohérent avec un angle de $60°$, proche de la verticale. Inverser les deux coordonnées est l'erreur la plus fréquente, et ce contrôle la détecte immédiatement.

b) Il suffit de convertir en degrés pour situer chaque angle, les quadrants occupant $90°$ chacun dans le sens antihoraire. $\frac{2\pi}{3}=120°$, compris entre $90°$ et $180°$ : quadrant II. $\frac{5\pi}{4}=225°$, entre $180°$ et $270°$ : quadrant III. $\frac{7\pi}{6}=210°$, également entre $180°$ et $270°$ : quadrant III.

c) Le placement se fait à partir des degrés trouvés en b), en partant de la droite et en tournant dans le sens antihoraire. Ce qu'il faut surtout retenir, c'est le tableau des SIGNES par quadrant, qui découle uniquement de la position : au quadrant I, abscisse et ordonnée positives, donc cosinus et sinus positifs ; au quadrant II, abscisse négative et ordonnée positive, donc cosinus négatif et sinus positif ; au quadrant III, les deux négatifs ; au quadrant IV, cosinus positif et sinus négatif. Il n'y a rien à mémoriser ici, il suffit de regarder de quel côté de l'origine se trouve le point. C'est ce tableau qui permettra, à l'exercice 10, de retrouver toutes les valeurs exactes hors du premier quadrant.

a) $\frac{5\pi}{3}$ : on remplace $\pi$ par $180°$, ce qui donne $\frac{5\times 180°}{3}=\frac{900°}{3}=300°$. Comme $300°$ est compris entre $270°$ et $360°$, le point image est dans le quadrant IV, celui du bas à droite.

b) On passe par l'ANGLE DE RÉFÉRENCE, c'est-à-dire l'angle aigu que le rayon forme avec l'axe horizontal. Au quadrant IV, il vaut $360°-300°=60°$, soit $\frac{\pi}{3}$. On reprend donc les valeurs de $\frac{\pi}{3}$, à savoir $\frac{1}{2}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$, puis on applique les signes du quadrant IV : abscisse POSITIVE, ordonnée NÉGATIVE. D'où $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Cette méthode en deux temps, valeur de référence puis signe du quadrant, permet de traiter n'importe quel angle remarquable du cercle sans jamais rien apprendre de plus que le premier quadrant.

c) Deux angles sont coterminaux s'ils ont le même point image, donc s'ils diffèrent d'un nombre entier de tours, chaque tour valant $2\pi$. Ici $\frac{7\pi}{2}$ dépasse $2\pi=\frac{4\pi}{2}$, on retranche donc un tour : $\frac{7\pi}{2}-2\pi=\frac{7\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$. Cette valeur est bien dans $[0\,;2\pi[$ : c'est la réponse. Contrôle en degrés : $\frac{7\pi}{2}=630°$, et $630°-360°=270°=\frac{3\pi}{2}$ ✓.

d) Ici l'angle est NÉGATIF, ce qui signifie qu'on a tourné dans le sens horaire. Pour le ramener dans $[0\,;2\pi[$, on AJOUTE un tour au lieu d'en retrancher : $-\frac{\pi}{4}+2\pi=-\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$. Contrôle en degrés : $-45°+360°=315°=\frac{7\pi}{4}$ ✓, et $315°$ est bien dans le quadrant IV, comme l'était $-45°$. Règle générale : on ajoute ou on retranche des multiples de $2\pi$ jusqu'à tomber dans l'intervalle voulu, et le point image ne change jamais au cours de l'opération, seule son étiquette change.

Méthode commune : on ramène l'angle dans $[0\,;2\pi[$ en ajoutant ou retranchant des tours, on repère le QUADRANT, on prend l'angle de RÉFÉRENCE avec l'axe horizontal, puis on applique les signes du quadrant aux valeurs du premier quadrant.

a) $\frac{7\pi}{6}$ est déjà dans $[0\,;2\pi[$. On l'écrit $\pi+\frac{\pi}{6}$, ce qui le situe juste après le demi-tour : quadrant III, avec l'angle de référence $\frac{\pi}{6}$. Les valeurs de référence sont $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$. Au quadrant III, les DEUX coordonnées sont négatives. Point image : $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\,;-\frac{1}{2}\right)$.

b) $-\frac{\pi}{3}$ est négatif, on ajoute un tour : $-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}$, quadrant IV, angle de référence $\frac{\pi}{3}$. Au quadrant IV, l'abscisse est positive et l'ordonnée négative. Point image : $\left(\frac{1}{2}\,;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. On aurait pu conclure plus vite par la parité : $\cos(-x)=\cos x$ et $\sin(-x)=-\sin x$, donc le point image de $-\frac{\pi}{3}$ est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des abscisses ✓.

c) $\frac{11\pi}{4}$ dépasse $2\pi=\frac{8\pi}{4}$, on retranche un tour : $\frac{11\pi}{4}-2\pi=\frac{3\pi}{4}$, quadrant II, angle de référence $\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$. Au quadrant II, l'abscisse est négative et l'ordonnée positive. Comme les deux valeurs de référence valent $\frac{\sqrt{2}}{2}$, le point image est $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

d) L'identité $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué au rayon du cercle, qui vaut $1$ : c'est pourquoi tout point image doit la vérifier. Contrôle a) : $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ ✓. Contrôle b) : $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓. Contrôle c) : $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ ✓. Les trois points sont bien sur le cercle de rayon $1$. Ce contrôle est très efficace en examen : il détecte instantanément un $\frac{\sqrt{3}}{2}$ écrit à la place d'un $\frac{1}{2}$, puisque la somme des carrés ne ferait plus $1$. En revanche il ne détecte PAS une erreur de signe, les carrés effaçant les signes : pour les signes, seul le quadrant fait foi.

a) L'abscisse d'un point image est son cosinus, donc chercher $\cos x=-\frac{1}{2}$ revient à trouver les points du cercle situés sur la droite verticale d'abscisse $-\frac{1}{2}$. Cette droite est à gauche de l'axe des ordonnées, elle coupe donc le cercle dans les quadrants II et III, aux deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses. L'angle de référence est celui dont le cosinus vaut $+\frac{1}{2}$, c'est-à-dire $\frac{\pi}{3}$. Au quadrant II, l'angle vaut $\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ ; au quadrant III, il vaut $\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$. Deux solutions : $\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$.

b) Les solutions de $[2\pi\,;4\pi]$ sont les coterminales des précédentes, obtenues en ajoutant un tour complet : $\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{2\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}+2\pi=\frac{4\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}$. Elles ont exactement le même point image, donc le même cosinus.

c) L'ordonnée est le sinus, donc on cherche cette fois les points situés sur la droite HORIZONTALE d'ordonnée $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, sous l'axe des abscisses : quadrants III et IV, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. L'angle de référence est $\frac{\pi}{4}$, dont le sinus vaut $+\frac{\sqrt{2}}{2}$. Au quadrant III : $\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$. Au quadrant IV : $2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$. Deux solutions : $\frac{5\pi}{4}$ et $\frac{7\pi}{4}$.

d) Chaque solution se répète à chaque tour, il faut donc ajouter $2k\pi$ avec $k$ entier. Les deux familles sont $x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ et $x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$. On les écrit plus compactement en remarquant que $\frac{4\pi}{3}$ est coterminal à $-\frac{2\pi}{3}$, puisque $\frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}$ : la réponse s'écrit alors $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi$. Cette forme compacte est propre au COSINUS et vient de sa parité, $\cos(-x)=\cos x$ : les deux solutions sont toujours opposées l'une de l'autre.

e) Résoudre $\cos x=k$, c'est chercher les points du cercle dont l'ABSCISSE vaut $k$, donc couper le cercle par la droite verticale d'équation $x=k$. Tant que $-1<k<1$, cette droite traverse le disque et coupe le cercle en DEUX points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses : d'où deux solutions dans $[0\,;2\pi[$, de la forme $x_{0}$ et $2\pi-x_{0}$. Pour $k=1$, la droite est TANGENTE au cercle en $(1\,;0)$ : les deux points se confondent et il n'en reste qu'un, $x=0$. Pour $k=-1$, tangence en $(-1\,;0)$ : une seule solution, $x=\pi$. Pour $k=2$, la droite ne rencontre pas le cercle et il n'y a AUCUNE solution, ce qui traduit géométriquement le fait que le cosinus reste toujours dans $[-1\,;1]$. Le même raisonnement vaut pour le sinus, à ceci près qu'on coupe par des droites HORIZONTALES et que la symétrie se fait par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui donne des solutions de la forme $x_{0}$ et $\pi-x_{0}$.

a) Conversion : $210°=210\times\frac{\pi}{180}=\frac{210\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}$ rad, après simplification par $30$. La longueur d'arc se calcule par $s=r\theta$, formule qui n'est valable QU'EN RADIANS : $s=20\times\frac{7\pi}{6}=\frac{140\pi}{6}=\frac{70\pi}{3}\approx 73{,}3$ m. Contrôle de plausibilité : la circonférence complète vaut $2\pi\times 20\approx 125{,}7$ m, et $210°$ représente $\frac{210}{360}\approx 58$ % du tour, soit environ $73$ m ✓.

b) La hauteur de la nacelle est celle du centre plus son ordonnée relative : $22+20\sin\theta$. Or $\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$ est au quadrant III, d'angle de référence $\frac{\pi}{6}$, donc $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$, négatif comme il se doit sous l'axe. Hauteur $=22+20\times\left(-\frac{1}{2}\right)=22-10=12$ m. Interprétation : la nacelle est descendue de $10$ m sous la hauteur du centre, ce qui est cohérent avec une rotation de $210°$ qui l'a menée dans la partie basse du tour.

c) Les coordonnées relatives au centre sont $(20\cos\theta\,;20\sin\theta)$. Avec $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$ : le point est $\left(20\times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\,;20\times\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\left(-10\sqrt{3}\,;-10\right)$, soit environ $(-17{,}3\,;-10)$. Contrôle : la distance au centre doit valoir le rayon, $\sqrt{300+100}=\sqrt{400}=20$ ✓.

d) On résout $22+20\sin\theta=32$, donc $20\sin\theta=10$ et $\sin\theta=\frac{1}{2}$. Le sinus est positif aux quadrants I et II, avec l'angle de référence $30°$ : $\theta=30°$ et $\theta=180°-30°=150°$. Ces deux positions sont symétriques par rapport à la verticale, l'une sur la partie MONTANTE du tour et l'autre sur la partie DESCENDANTE : la nacelle passe deux fois à $32$ m au cours d'un tour, une fois en montant et une fois en redescendant. C'est la traduction concrète du fait qu'une équation en sinus a deux solutions par tour, et c'est aussi ce qui rend le modèle réaliste : toute hauteur strictement comprise entre $2$ m et $42$ m est atteinte exactement deux fois par tour.