Math SN5, secondaire 5 • Géométrie analytique

Exercices corrigés : les coniques (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur les coniques centrées à l'origine (ellipse et hyperbole), calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal. On y lit les sommets, les foyers et les asymptotes à partir de l'équation, on retrouve l'équation à partir des éléments, on reconnaît une conique et on résout un problème d'arche elliptique.

Une figure soignée aide beaucoup : repérez le centre, les sommets sur chaque axe, puis les foyers, avant de calculer.

Rappel de cours

• Ellipse centrée à l'origine (axe focal horizontal, $a>b$ ) : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ . Sommets $(\pm a;0)$ et $(0;\pm b)$ ; foyers $(\pm c;0)$ avec $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ .
• Hyperbole centrée à l'origine (axe focal horizontal) : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ . Sommets $(\pm a;0)$ ; foyers $(\pm c;0)$ avec $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ; asymptotes $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ .
• Cercle : cas particulier de l'ellipse où $a=b=r$ : $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ .
• Reconnaître une conique $Ax^{2}+Cy^{2}=F$ : si $A$ et $C$ sont de MÊME signe, c'est une ellipse (ou un cercle si $A=C$ ) ; s'ils sont de SIGNES CONTRAIRES, c'est une hyperbole.

Exercice 1 : L'ellipse

On considère l'ellipse d'équation $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ , tracée à l'échelle ci-dessous (les points marqués sont les sommets et les foyers).

a) Déterminez les longueurs du demi-grand axe $a$ et du demi-petit axe $b$ , puis nommez les quatre sommets.
b) Le grand axe est-il horizontal ou vertical ? Justifiez.
c) Calculez la distance focale $c$ et donnez les coordonnées des deux foyers.
d) Vérifiez la propriété caractéristique de l'ellipse : pour le sommet $(0;\ 3)$ , la somme des distances aux deux foyers vaut $2a$ .

Voir la correction

a) $a^{2}=25\Rightarrow a=5$ et $b^{2}=9\Rightarrow b=3$ . Sommets : $(\pm 5;\ 0)$ sur l'axe des $x$ et $(0;\ \pm 3)$ sur l'axe des $y$ .

b) Comme $a=5>b=3$ et que $a^{2}$ est sous le $x^{2}$ , le grand axe est HORIZONTAL (l'ellipse est plus étirée dans le sens des $x$ ).

c) $c^{2}=a^{2}-b^{2}=25-9=16$ , donc $c=4$ . Foyers : $(4;\ 0)$ et $(-4;\ 0)$ .

d) Du sommet $(0;3)$ à $(4;0)$ : $\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$ ; à $(-4;0)$ : aussi 5. Somme $=5+5=10=2a$ : la propriété est vérifiée (tout point de l'ellipse a une somme de distances aux foyers égale à $2a$ ).

Exercice 2 : L'hyperbole

On considère l'hyperbole d'équation $\dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{9}=1$ , tracée à l'échelle ci-dessous avec ses asymptotes (droites en trait plein) et ses foyers.

a) Déterminez $a$ et $b$ , puis les coordonnées des deux sommets.
b) Écrivez les équations des deux asymptotes.
c) Calculez la distance focale $c$ et donnez les foyers.
d) Pourquoi la courbe ne coupe-t-elle jamais l'axe des $y$ ? Justifiez à partir de l'équation.

Voir la correction

a) $a^{2}=16\Rightarrow a=4$ et $b^{2}=9\Rightarrow b=3$ . Sommets sur l'axe des $x$ : $(4;\ 0)$ et $(-4;\ 0)$ .

b) Asymptotes : $y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{3}{4}x$ .

c) Pour une hyperbole, $c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+9=25$ , donc $c=5$ . Foyers : $(5;\ 0)$ et $(-5;\ 0)$ .

d) Sur l'axe des $y$ , $x=0$ : l'équation devient $-\dfrac{y^{2}}{9}=1$ , soit $y^{2}=-9$ , impossible. La courbe ne coupe donc jamais l'axe des $y$ (une hyperbole a deux branches séparées).

Exercice 3 : Trouver l'équation d'une conique

On construit l'équation d'une conique à partir de ses éléments caractéristiques.

a) Écrivez l'équation de l'ellipse centrée à l'origine, de sommets $(\pm 6;\ 0)$ et de foyers $(\pm 4;\ 0)$ .
b) Écrivez l'équation de l'hyperbole centrée à l'origine, de sommets $(\pm 3;\ 0)$ et d'asymptotes $y=\pm\dfrac{4}{3}x$ .
c) Pour l'hyperbole du b), déterminez les foyers.
d) Une ellipse a un grand axe VERTICAL de longueur 10 et un petit axe de longueur 6. Écrivez son équation (attention à la position de $a^{2}$ ).

Voir la correction

a) $a=6$ , $c=4$ , donc $b^{2}=a^{2}-c^{2}=36-16=20$ . Équation : $\dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{20}=1$ .

b) $a=3$ ; les asymptotes $y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{4}{3}x$ donnent $\dfrac{b}{3}=\dfrac{4}{3}$ , donc $b=4$ . Équation : $\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}=1$ .

c) $c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+16=25$ , donc $c=5$ : foyers $(\pm 5;\ 0)$ .

d) Grand axe vertical de longueur 10 : $a=5$ le long de $y$ . Petit axe 6 : $b=3$ le long de $x$ . Comme le grand axe est vertical, le plus grand dénominateur est sous $y^{2}$ : $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{25}=1$ .

Exercice 4 : Reconnaître une conique

Pour chaque équation, indiquez s'il s'agit d'un cercle, d'une ellipse ou d'une hyperbole, puis ramenez-la à la forme standard.

a) $9x^{2}+4y^{2}=36$
b) $4x^{2}-y^{2}=16$
c) $x^{2}+y^{2}=49$
d) Énoncez la règle générale qui permet de reconnaître le type de conique à partir des signes des coefficients de $x^{2}$ et $y^{2}$ .

Voir la correction

a) On divise par 36 : $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ . Coefficients de même signe et différents : ELLIPSE (grand axe vertical, car $9>4$ ).

b) On divise par 16 : $\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{16}=1$ . Coefficients de signes contraires : HYPERBOLE (axe focal horizontal).

c) $x^{2}+y^{2}=49$ : coefficients égaux (et de même signe) : CERCLE de rayon 7.

d) Dans $Ax^{2}+Cy^{2}=F$ (avec $F>0$ ) : si $A$ et $C$ sont de même signe et égaux, c'est un cercle ; de même signe et différents, une ellipse ; de signes contraires, une hyperbole.

Exercice 5 : Problème : l'arche elliptique du pont

L'arche d'un pont a la forme de la moitié supérieure d'une ellipse. Elle mesure 40 m de largeur au niveau de l'eau et 16 m de hauteur en son centre. On place l'origine au centre, au niveau de l'eau.

a) Écrivez l'équation de l'ellipse complète correspondant à cette arche.
b) Quelle est la hauteur de l'arche à 12 m du centre ?
c) Une péniche a besoin d'une hauteur libre de 10 m. Quelle est la largeur maximale de la péniche pour qu'elle passe sous l'arche (au centre) ?
d) Calculez la position des foyers de cette ellipse.

Voir la correction

a) Demi-largeur $a=20$ (axe horizontal), hauteur $b=16$ (axe vertical). Équation : $\dfrac{x^{2}}{400}+\dfrac{y^{2}}{256}=1$ .

b) À $x=12$ : $y=16\sqrt{1-\dfrac{12^{2}}{400}}=16\sqrt{1-\dfrac{144}{400}}=16\sqrt{\dfrac{256}{400}}=16\times\dfrac{16}{20}=12{,}8$ m.

c) On cherche $x$ tel que $y=10$ : $10=16\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{400}}$ donne $\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{400}}=0{,}625$ , donc $1-\dfrac{x^{2}}{400}=0{,}390625$ et $x^{2}=243{,}75$ , soit $x\approx 15{,}61$ m. Largeur maximale $=2x\approx 31{,}2$ m.

d) Axe horizontal le plus long : $c^{2}=a^{2}-b^{2}=400-256=144$ , donc $c=12$ . Foyers : $(12;\ 0)$ et $(-12;\ 0)$ .

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

Voir aussi

📝 Tous les exercices 📐 Tuteur math SN5 📐 Mathématiques 🏫 Secondaire québécois 🎓 Tutorat cégep

Exercices corrigés : les coniques (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : L'ellipse

Exercice 2 : L'hyperbole

Exercice 3 : Trouver l'équation d'une conique

Exercice 4 : Reconnaître une conique

Exercice 5 : Problème : l'arche elliptique du pont

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur en math SN5 à Montréal ?