Exercices corrigés : les coniques (math SN5)

a) L'équation $x^{2}+y^{2}=25$ est la forme canonique avec $h=0$, $k=0$ et $r^{2}=25$ : centre $(0\,;0)$, rayon $\sqrt{25}=5$. Le rayon est la RACINE du second membre, pas le second membre lui-même. Pour situer un point par rapport au cercle, on compare sa distance au centre avec le rayon, ce qui revient à comparer $x^{2}+y^{2}$ avec $25$ sans jamais extraire de racine. Pour $(3\,;4)$ : $9+16=25$, exactement le rayon carré, le point est SUR le cercle. Pour $(2\,;4)$ : $4+16=20<25$, donc la distance au centre vaut $\sqrt{20}\approx 4{,}47$, inférieure à $5$ : le point est à l'INTÉRIEUR. Règle générale : inférieur signifie dedans, égal signifie dessus, supérieur signifie dehors.

b) $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=9$ : on lit $h=2$ directement, et pour $k$ il faut lire $(y+1)=(y-(-1))$, donc $k=-1$. Le rayon vaut $\sqrt{9}=3$. Centre $(2\,;-1)$, rayon $3$. Le signe de $k$ est l'erreur classique : il est toujours l'OPPOSÉ de celui qui apparaît dans la parenthèse.

c) Le cercle passe par $(2\,;7)$, donc son rayon est la distance du centre à ce point : $r=\sqrt{(2-(-1))^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, encore le triplet $3$-$4$-$5$. L'équation est donc $(x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}=5^{2}$, soit $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=25$. Attention à ne pas écrire $r=5$ dans l'équation : c'est $r^{2}=25$ qui y figure.

d) On passe de la forme générale à la forme canonique en complétant les carrés. On regroupe d'abord les $x$ ensemble et les $y$ ensemble, en passant la constante à droite : $x^{2}-6x+y^{2}+4y=12$. Pour $x^{2}-6x$, la moitié de $-6$ est $-3$, donc $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$. Pour $y^{2}+4y$, la moitié de $4$ est $2$, donc $y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4$. En substituant : $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4=12$, d'où $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=12+9+4=25$. Centre $(3\,;-2)$, rayon $5$. Les constantes retranchées repassent à droite en s'AJOUTANT, c'est le point où l'on se trompe le plus. Contrôle rapide : le centre est toujours la moitié des coefficients de $x$ et de $y$ changés de signe, soit $\left(\frac{6}{2}\,;-\frac{4}{2}\right)=(3\,;-2)$ ✓.

a) Dans la forme standard $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, les dénominateurs sont les CARRÉS des demi-axes. Ici $a^{2}=25$ donne $a=5$ et $b^{2}=9$ donne $b=3$. Les sommets sont les quatre extrémités des axes, obtenues en annulant tour à tour chaque variable : en posant $y=0$ on trouve $x=\pm 5$, donc $(\pm 5\,;0)$ ; en posant $x=0$ on trouve $y=\pm 3$, donc $(0\,;\pm 3)$.

b) Le grand axe est HORIZONTAL. Deux raisons concordantes : d'une part $a=5>b=3$, d'autre part $a^{2}$ est le dénominateur du terme en $x^{2}$. La règle à retenir se formule simplement : le grand axe est du côté du PLUS GRAND DÉNOMINATEUR. L'ellipse s'étend donc de $-5$ à $5$ horizontalement mais seulement de $-3$ à $3$ verticalement : elle est aplatie.

c) Pour une ellipse, la relation entre les trois paramètres est $c^{2}=a^{2}-b^{2}$, avec une SOUSTRACTION. C'est le point à ne surtout pas confondre avec l'hyperbole, où la relation est une addition, et cette confusion est la première cause d'erreur du chapitre. Ici $c^{2}=25-9=16$, donc $c=4$. Les foyers sont toujours sur le GRAND axe, ici l'horizontal, à distance $c$ du centre : $(4\,;0)$ et $(-4\,;0)$. Contrôle de plausibilité : on doit avoir $c<a$, et $4<5$ ✓, les foyers sont bien à l'intérieur de l'ellipse.

d) La propriété caractéristique de l'ellipse est que la somme des distances aux deux foyers est CONSTANTE et vaut $2a$, ici $10$. Vérifions-la au sommet $(0\,;3)$. Distance au foyer $(4\,;0)$ : $\sqrt{(0-4)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. Distance au foyer $(-4\,;0)$ : $\sqrt{16+9}=5$ également, par symétrie. Somme : $5+5=10=2a$ ✓. Ce sommet est le cas le plus parlant, puisque les deux distances y sont égales, chacune valant exactement $a$ : c'est d'ailleurs une façon de retenir la relation $c^{2}=a^{2}-b^{2}$, qui n'est autre que Pythagore dans le triangle rectangle de côtés $b=3$, $c=4$ et d'hypoténuse $a=5$. Vérifions aussi en un autre point, le sommet $(5\,;0)$ : les distances valent $|5-4|=1$ et $|5+4|=9$, dont la somme fait bien $10$ ✓, alors que les deux distances individuelles sont très différentes.

a) Dans $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$, on lit $a^{2}=16$ donc $a=4$, et $b^{2}=9$ donc $b=3$. Les sommets sont sur l'axe FOCAL, c'est-à-dire celui dont le terme porte le signe positif, ici l'axe des $x$ : en posant $y=0$, on obtient $x^{2}=16$ et $x=\pm 4$, donc les sommets $(4\,;0)$ et $(-4\,;0)$. Contrairement à l'ellipse, il n'y a que DEUX sommets, l'autre axe ne rencontrant pas la courbe.

b) Les asymptotes d'une hyperbole centrée à l'origine et d'axe horizontal sont $y=\pm\frac{b}{a}x$, soit ici $y=\pm\frac{3}{4}x$. L'ordre du rapport compte : c'est $\frac{b}{a}$, le demi-axe non focal divisé par le demi-axe focal. Une façon de ne jamais se tromper est de construire le rectangle de centre $O$, de demi-largeur $a=4$ et de demi-hauteur $b=3$ : les asymptotes en sont les DIAGONALES prolongées, dont la pente se lit directement comme $\frac{\text{hauteur}}{\text{largeur}}=\frac{3}{4}$.

c) Pour une hyperbole, la relation est $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, avec une ADDITION, à l'inverse de l'ellipse. Ici $c^{2}=16+9=25$, donc $c=5$, et les foyers sont sur l'axe focal : $(5\,;0)$ et $(-5\,;0)$. Contrôle de plausibilité, symétrique de celui de l'ellipse : on doit avoir $c>a$, et $5>4$ ✓, les foyers sont plus loin que les sommets, donc à l'extérieur des branches.

d) On cherche l'intersection avec l'axe des $y$ en posant $x=0$ : l'équation devient $0-\frac{y^{2}}{9}=1$, soit $-\frac{y^{2}}{9}=1$ et $y^{2}=-9$. Aucun réel n'a un carré négatif, donc il n'y a AUCUNE solution : la courbe ne coupe jamais l'axe des $y$. C'est la traduction algébrique du fait qu'une hyperbole d'axe horizontal a deux branches SÉPARÉES, l'une entièrement à droite de $x=4$ et l'autre à gauche de $x=-4$, avec une bande vide entre elles. Plus généralement, l'équation impose $\frac{x^{2}}{16}=1+\frac{y^{2}}{9}\geq 1$, donc $x^{2}\geq 16$ et $|x|\geq 4$ : aucun point de la courbe n'a une abscisse comprise strictement entre $-4$ et $4$.

a) $x^{2}=8y$ est de la forme $(x-h)^{2}=4c(y-k)$ avec $h=k=0$ : le sommet est $(0\,;0)$. On identifie $4c=8$, donc $c=2$. La variable ÉLEVÉE AU CARRÉ étant $x$, l'axe est VERTICAL, et comme $c>0$ la parabole ouvre vers le HAUT. Le foyer est sur l'axe, à distance $|c|=2$ du sommet et du côté de l'ouverture : $(0\,;2)$. La directrice est perpendiculaire à l'axe, donc horizontale, à distance $2$ du sommet mais de l'AUTRE côté : $y=-2$. Retenez la disposition : le sommet est toujours à mi-chemin entre le foyer et la directrice.

b) On substitue $(4\,;2)$ : le membre de gauche vaut $4^{2}=16$, le membre de droite $8\times 2=16$. L'égalité est vérifiée ✓, le point appartient à la parabole. On peut aussi le contrôler par la définition, ce qui est plus instructif : sa distance au foyer $(0\,;2)$ vaut $\sqrt{16+0}=4$, et sa distance à la directrice $y=-2$ vaut $|2+2|=4$ ✓, les deux sont égales comme l'exige la définition d'une parabole.

c) $(y-1)^{2}=12(x+2)$ : cette fois c'est $y$ qui est au carré, donc l'axe est HORIZONTAL. En écrivant $(x+2)=(x-(-2))$, on lit le sommet $(-2\,;1)$, en prenant garde au signe de $h$. On identifie $4c=12$, donc $c=3>0$ : la parabole ouvre vers la DROITE. Le foyer est à distance $3$ à droite du sommet : $(-2+3\,;1)=(1\,;1)$. La directrice est verticale, à distance $3$ à gauche : $x=-2-3=-5$. Notez le renversement complet par rapport au a) : quand $y$ est au carré, tout bascule d'un quart de tour, l'axe devient horizontal et la directrice verticale.

d) Le sommet est $(0\,;0)$ et le foyer $(0\,;3)$ est situé AU-DESSUS : l'axe est donc vertical et la parabole ouvre vers le haut. La distance sommet-foyer donne $c=3$, donc $4c=12$. L'équation est $x^{2}=12y$. Contrôle par la directrice, qui doit être à $3$ sous le sommet, soit $y=-3$ : prenons un point de la courbe, par exemple $x=6$ qui donne $y=\frac{36}{12}=3$, donc $(6\,;3)$. Sa distance au foyer $(0\,;3)$ vaut $6$, sa distance à la directrice $y=-3$ vaut $|3+3|=6$ ✓. Les deux coïncident, l'équation est correcte.

a) $9x^{2}+4y^{2}=36$. On divise tout par $36$ pour ramener le second membre à $1$, ce qui est la première étape systématique : $\frac{9x^{2}}{36}+\frac{4y^{2}}{36}=1$, soit $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$. Deux termes carrés, coefficients de MÊME signe et DIFFÉRENTS : c'est une ELLIPSE. Le plus grand dénominateur, $9$, est sous $y^{2}$, donc le grand axe est VERTICAL, avec $a=3$ verticalement et $b=2$ horizontalement.

b) $4x^{2}-y^{2}=16$. On divise par $16$ : $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$. Coefficients de signes CONTRAIRES : c'est une HYPERBOLE. Le terme positif est celui en $x$, donc l'axe focal est HORIZONTAL, avec $a=2$ et $b=4$. Notez qu'ici $b>a$, ce qui est parfaitement possible pour une hyperbole alors que ce serait impossible pour une ellipse de grand axe horizontal : les rôles de $a$ et $b$ ne se comparent pas de la même façon dans les deux familles.

c) $x^{2}+y^{2}=49$ : les coefficients de $x^{2}$ et $y^{2}$ sont ÉGAUX, tous deux valant $1$, et de même signe. C'est un CERCLE, de centre l'origine et de rayon $\sqrt{49}=7$. Un cercle n'est qu'un cas particulier d'ellipse, celui où $a=b$ : les deux axes ont la même longueur, et les deux foyers se confondent avec le centre puisque $c^{2}=a^{2}-b^{2}=0$.

d) $y=2x^{2}$ ne comporte qu'UN SEUL terme carré, celui en $x$, et le $y$ y figure au premier degré : c'est une PARABOLE. En l'écrivant sous forme standard, $x^{2}=\frac{1}{2}y$, on voit que son axe est vertical et qu'elle ouvre vers le haut. La règle générale de reconnaissance, à connaître par cœur pour l'examen, tient en trois lignes. Un seul terme carré : PARABOLE. Deux termes carrés de même signe : ELLIPSE, et CERCLE dans le cas particulier où leurs coefficients sont égaux. Deux termes carrés de signes contraires : HYPERBOLE. Cette classification se lit avant tout calcul, directement sur les termes du second degré, et elle ne dépend ni des termes linéaires ni de la constante, lesquels ne font que déplacer la conique sans changer sa nature.

a) Les sommets $(\pm 6\,;0)$ sont sur l'axe des $x$, donc le grand axe est horizontal et $a=6$. Les foyers $(\pm 4\,;0)$ donnent $c=4$. On applique la relation de l'ellipse, $c^{2}=a^{2}-b^{2}$, réarrangée pour isoler l'inconnue : $b^{2}=a^{2}-c^{2}=36-16=20$. L'équation est donc $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$. On laisse $b^{2}=20$ tel quel, sans extraire la racine, puisque c'est le carré qui figure dans l'équation ; écrire $b=\sqrt{20}\approx 4{,}47$ ne servirait qu'à introduire un arrondi.

b) Les sommets $(\pm 3\,;0)$ donnent $a=3$ et un axe focal horizontal. Les asymptotes d'une telle hyperbole sont $y=\pm\frac{b}{a}x$, et l'énoncé les donne comme $y=\pm\frac{4}{3}x$ : par identification, $\frac{b}{a}=\frac{b}{3}=\frac{4}{3}$, donc $b=4$. L'équation est $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$. Piège à éviter : la coïncidence entre le $3$ du dénominateur de la pente et la valeur de $a$ n'est pas automatique, il faut vraiment poser l'identification $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$ et résoudre.

c) Pour une hyperbole, $c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+16=25$, donc $c=5$. Les foyers sont sur l'axe focal, donc $(\pm 5\,;0)$. On retrouve le triplet $3$-$4$-$5$, et la relation $c>a$ est bien respectée puisque $5>3$ ✓.

d) Attention à la conversion entre longueur d'axe et demi-axe, qui est le vrai contenu de la question : une longueur de $10$ donne un DEMI-axe de $5$, et une longueur de $6$ donne un demi-axe de $3$. Le grand axe étant VERTICAL, c'est $a=5$ qui se rapporte à $y$ et $b=3$ à $x$. Le plus grand dénominateur doit donc être sous $y^{2}$ : $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$. Contrôle : les sommets sont $(0\,;\pm 5)$ et $(\pm 3\,;0)$, l'ellipse est bien plus haute que large ✓. Si l'on avait placé les dénominateurs à l'envers, on aurait décrit une ellipse couchée, de mêmes dimensions mais tournée d'un quart de tour, ce qui est une réponse fausse et non une variante.

a) On substitue l'expression de la droite dans l'équation du cercle, ce qui élimine une variable : $x^{2}+(x+1)^{2}=25$. On développe : $x^{2}+x^{2}+2x+1=25$, soit $2x^{2}+2x-24=0$, et l'on divise par $2$ pour simplifier : $x^{2}+x-12=0$. Par produit-somme, deux nombres de produit $-12$ et de somme $1$, ce sont $4$ et $-3$ : $(x+4)(x-3)=0$. Donc $x=-4$, et alors $y=-4+1=-3$ ; ou $x=3$, et alors $y=3+1=4$. Les points d'intersection sont $(-4\,;-3)$ et $(3\,;4)$. Vérification : $16+9=25$ ✓ et $9+16=25$ ✓, les deux sont bien sur le cercle.

b) On a trouvé DEUX points. Le discriminant l'annonçait : pour $2x^{2}+2x-24=0$, $\Delta=2^{2}-4\times 2\times(-24)=4+192=196>0$. Un discriminant strictement positif donne deux solutions réelles distinctes, donc deux points d'intersection, et la droite est SÉCANTE. On peut aussi le lire sur la forme simplifiée $x^{2}+x-12=0$, dont $\Delta=1+48=49>0$ : diviser l'équation par $2$ change le discriminant mais pas son signe, donc pas la conclusion.

c) On substitue $y=5$ : $x^{2}+25=25$, soit $x^{2}=0$. Cette équation a une RACINE DOUBLE, $x=0$, donc les deux points d'intersection se confondent en un seul : la droite est TANGENTE, au point $(0\,;5)$. Le discriminant vaut ici $0$, ce qui est la signature algébrique de la tangence. Contrôle géométrique indépendant : la distance du centre $O(0\,;0)$ à la droite horizontale $y=5$ vaut $5$, exactement le rayon ✓, ce qui est bien le critère de tangence.

d) On substitue $y=x+8$ : $x^{2}+(x+8)^{2}=25$, soit $x^{2}+x^{2}+16x+64=25$, donc $2x^{2}+16x+39=0$. Discriminant : $\Delta=16^{2}-4\times 2\times 39=256-312=-56<0$. Aucune solution réelle, la droite ne coupe donc PAS le cercle. Contrôle géométrique : la droite s'écrit $x-y+8=0$, et sa distance au centre vaut $\frac{|0-0+8|}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}\approx 5{,}66>5$ ✓, elle passe bien à l'extérieur. Synthèse des trois cas, valable pour toute conique : $\Delta>0$ donne deux points et une sécante, $\Delta=0$ donne un point et une tangente, $\Delta<0$ n'en donne aucun. Le discriminant répond donc à la question du NOMBRE de points sans qu'on ait besoin de les calculer.

a) Le système $x^{2}+y^{2}=25$ et $x^{2}-y^{2}=7$ se prête à une astuce très efficace : comme les deux équations ne contiennent que $x^{2}$ et $y^{2}$, on peut les traiter comme un système linéaire en ces deux inconnues. En ADDITIONNANT membre à membre, les $y^{2}$ s'éliminent : $2x^{2}=32$, donc $x^{2}=16$. En SOUSTRAYANT, ce sont les $x^{2}$ qui s'éliminent : $2y^{2}=18$, donc $y^{2}=9$. On revient enfin aux variables : $x=\pm 4$ et $y=\pm 3$. Cette méthode évite complètement la substitution, qui serait ici beaucoup plus lourde.

b) Les signes de $x$ et de $y$ étant indépendants, les quatre combinaisons donnent quatre points : $(4\,;3)$, $(4\,;-3)$, $(-4\,;3)$ et $(-4\,;-3)$. Vérification pour $(4\,;3)$ dans les DEUX équations, ce que demande l'énoncé : cercle, $4^{2}+3^{2}=16+9=25$ ✓ ; hyperbole, $4^{2}-3^{2}=16-9=7$ ✓. Le point satisfait bien le système. Il faut vérifier dans les deux équations et non dans une seule : une solution du système doit satisfaire toutes ses équations simultanément.

c) Le cercle et l'hyperbole sont tous deux symétriques par rapport à l'axe des $x$ ET à l'axe des $y$, puisque leurs équations ne contiennent que des CARRÉS des variables : changer $x$ en $-x$ ou $y$ en $-y$ ne modifie rien. Par conséquent, dès qu'un point d'intersection existe dans un quadrant, ses trois symétriques existent aussi, un dans chaque autre quadrant. Comme le calcul de a) a donné une unique valeur positive pour $|x|$ et une pour $|y|$, il y a exactement un point par quadrant, donc $4\times 1=4$ points au total. C'est un raisonnement de symétrie, et il permet de prévoir le nombre de solutions AVANT de les calculer.

d) Ici les deux équations ne sont pas de même nature et l'addition ne servirait à rien : on substitue. De $y=x^{2}-1$ on tire $x^{2}=y+1$, qu'on injecte dans le cercle : $(y+1)+y^{2}=13$, soit $y^{2}+y-12=0$. Par produit-somme, deux nombres de produit $-12$ et de somme $1$, à savoir $4$ et $-3$ : $(y+4)(y-3)=0$, donc $y=-4$ ou $y=3$. On revient à $x$ en filtrant, et c'est l'étape décisive. Pour $y=-4$ : $x^{2}=y+1=-3$, ce qui est IMPOSSIBLE sur les réels, la valeur est rejetée. Pour $y=3$ : $x^{2}=4$, donc $x=\pm 2$. Les points d'intersection sont $(2\,;3)$ et $(-2\,;3)$. Vérification : $4+9=13$ ✓ et $3=2^{2}-1$ ✓. Retenez le réflexe : après un changement de variable, chaque solution intermédiaire doit être RAMENÉE à la variable d'origine, et certaines n'y survivent pas.

a) L'origine est placée au centre, au niveau de l'eau. La largeur totale de $40$ m donne une DEMI-largeur $a=20$ le long de l'axe horizontal, et la hauteur de $16$ m est mesurée depuis le centre, donc c'est directement le demi-axe vertical $b=16$. La conversion largeur/demi-largeur est le point à ne pas manquer : l'arche n'étant que la moitié supérieure, sa hauteur est un demi-axe entier alors que sa largeur est un axe complet. L'équation de l'ellipse complète est $\frac{x^{2}}{20^{2}}+\frac{y^{2}}{16^{2}}=1$, soit $\frac{x^{2}}{400}+\frac{y^{2}}{256}=1$.