Exercice 1 : Propriétés et table de valeurs

On considère la fonction $f(x)=\frac{3}{x-2}+1$ .

x	0	1	1,5	2,5	3	4
$f(x)$

a) Déterminez le domaine de f.
b) Donnez les équations des deux asymptotes.
c) Donnez l'image (le codomaine) de f.
d) La fonction est-elle croissante ou décroissante sur chaque intervalle ? Justifiez.
e) Donnez les coordonnées du centre de symétrie.
f) Complétez la table de valeurs ci-dessus.

Voir la correction

a) Dom $=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .

b) Asymptote verticale $x=2$ ; asymptote horizontale $y=1$ .

c) Ima $=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

d) Ici $a=3>0$ et $b=1>0$ (même signe) : f est décroissante sur $]-\infty,\ 2[$ et sur $]2,\ +\infty[$ .

e) Centre de symétrie : $(2,\ 1)$ .

f) $f(0)=-0{,}5$ ; $f(1)=-2$ ; $f(1{,}5)=-5$ ; $f(2{,}5)=7$ ; $f(3)=4$ ; $f(4)=2{,}5$ .

Exercice 2 : De la forme générale à la forme canonique

Écrivez chaque fonction sous la forme canonique $\frac{a}{x-h}+k$ , puis donnez les équations de ses asymptotes.

a) $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$
b) $g(x)=\frac{3x-1}{2-x}$
c) $h(x)=\frac{-3x}{x+1}$

Voir la correction

a) $2x+1=2(x-1)+3$ , donc $f(x)=\frac{3}{x-1}+2$ . Asymptotes : $x=1$ et $y=2$ .

b) $g(x)=\frac{3x-1}{2-x}=-\frac{3x-1}{x-2}$ ; comme $3x-1=3(x-2)+5$ , on obtient $g(x)=-\frac{5}{x-2}-3$ . Asymptotes : $x=2$ et $y=-3$ .

c) $-3x=-3(x+1)+3$ , donc $h(x)=\frac{3}{x+1}-3$ . Asymptotes : $x=-1$ et $y=-3$ .

Exercice 3 : Zéro, ordonnée à l'origine, équation et inéquation

Soit la fonction $f(x)=\frac{6}{x+1}-2$ .

a) Déterminez le domaine de f.
b) Calculez l'ordonnée à l'origine.
c) Déterminez le zéro de la fonction.
d) Résolvez l'équation $f(x)=1$ .
e) Résolvez l'inéquation $f(x)>-2$ .

Voir la correction

a) Dom $=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

b) $f(0)=\frac{6}{1}-2=4$ . Ordonnée à l'origine : 4.

c) $\frac{6}{x+1}=2\Rightarrow x+1=3\Rightarrow x=2$ . Zéro : $x=2$ .

d) $\frac{6}{x+1}=3\Rightarrow x+1=2\Rightarrow x=1$ .

e) $f(x)>-2\Rightarrow \frac{6}{x+1}>0$ . Comme $6>0$ , il faut $x+1>0$ , donc $x>-1$ . Solution : $]-1,\ +\infty[$ .

Exercice 4 : Problème : le coût unitaire

Une entreprise fabrique des trousses scolaires. Le coût total de production de x trousses est de $(40x+120)$ dollars.

Le coût unitaire de fabrication est donc $c(x)=\frac{40x+120}{x}$ , où $x\geq 1$ .

a) Écrivez $c(x)$ sous la forme $\frac{a}{x-h}+k$ . Donnez a, h et k.
b) Donnez l'équation de l'asymptote horizontale et interprétez-la dans le contexte.
c) Si le coût unitaire est de 50 $, combien de trousses ont été fabriquées ?
d) Vers quelle valeur tend le coût unitaire lorsque la production augmente beaucoup ?

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a) $c(x)=\frac{40x+120}{x}=40+\frac{120}{x}=\frac{120}{x-0}+40$ , donc $a=120,\ h=0,\ k=40$ .

b) Asymptote horizontale $y=40$ : le coût unitaire se rapproche de 40 $ sans jamais l'atteindre (c'est le coût variable par trousse).

c) $\frac{120}{x}+40=50\Rightarrow \frac{120}{x}=10\Rightarrow x=12$ . On a fabriqué 12 trousses.

d) Quand x augmente, $\frac{120}{x}\to 0$ , donc $c(x)\to 40$ $. Le coût unitaire se rapproche de 40$ .

Exercice 5 : Problème : la croissance d'une population

La population (en milliers d'habitants) d'une municipalité dans x années est modélisée par :

$p(x)=20-\frac{8}{x+2}$ , où $x\geq 0$ .

a) Quelle est la population actuelle (x = 0) ?
b) Donnez l'asymptote horizontale et interprétez-la.
c) Dans combien d'années la population atteindra-t-elle 18 000 habitants ?
d) La population peut-elle atteindre ou dépasser 20 000 habitants ? Justifiez.

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a) $p(0)=20-\frac{8}{2}=20-4=16$ . Population actuelle : 16 000 habitants.

b) Asymptote horizontale $y=20$ : à long terme, la population tend vers 20 000 habitants sans jamais les atteindre.

c) $20-\frac{8}{x+2}=18\Rightarrow \frac{8}{x+2}=2\Rightarrow x+2=4\Rightarrow x=2$ . Dans 2 ans.

d) Non. Comme $x\geq 0$ , $\frac{8}{x+2}>0$ , donc $p(x)<20$ pour tout x : la population reste sous 20 000 habitants.

Exercice 6 : Lecture graphique : extraire la règle

La courbe ci-dessous représente une fonction homographique $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ . Deux points $(0,\ 1)$ et $(1,\ 0)$ sont marqués.

a) Lisez sur le graphique les équations des deux asymptotes, puis donnez h et k.
b) Donnez le domaine et l'image de f.
c) En utilisant le point $(1,\ 0)$ , déterminez a, puis écrivez la règle de f.

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a) Asymptote verticale $x=-1$ et horizontale $y=-1$ , donc $h=-1$ et $k=-1$ .

b) Domaine $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ ; image $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

c) $f(1)=0\Rightarrow \frac{a}{1+1}-1=0\Rightarrow \frac{a}{2}=1\Rightarrow a=2$ . Règle : $f(x)=\frac{2}{x+1}-1$ .

Exercices corrigés : la fonction homographique (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Propriétés et table de valeurs

Exercice 2 : De la forme générale à la forme canonique

Exercice 3 : Zéro, ordonnée à l'origine, équation et inéquation

Exercice 4 : Problème : le coût unitaire

Exercice 5 : Problème : la croissance d'une population

Exercice 6 : Lecture graphique : extraire la règle

Voir aussi

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