Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois

Exercices corrigés : les fonctions définies par parties (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur les fonctions définies par parties, calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal. Ils conviennent aux élèves du secondaire québécois comme aux élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui préparent le complément québécois SN5.

Faites chaque exercice au complet avant d'ouvrir la correction : c'est en cherchant qu'on apprend, pas en lisant la solution.

Rappel de cours

• Une fonction définie par parties applique une règle différente sur différents intervalles du domaine.
• Pour évaluer $f(a)$ , on choisit la règle dont l'intervalle contient $a$ .
• La fonction est continue en un point de raccordement si les deux morceaux y prennent la même valeur (pas de saut) ; sinon elle est discontinue.
• Sur un graphique, un point plein (fermé) indique une valeur atteinte, un point vide (ouvert) une valeur exclue.

Exercice 1 : Évaluer et étudier la continuité

On considère la fonction f définie par trois règles :

• $f(x)=-x+1$ si $x\leq -1$ ;

• $f(x)=x^{2}$ si $-1<x<2$ ;

• $f(x)=3$ si $x\geq 2$ .

a) Calculez $f(-3)$ , $f(0)$ , $f(2)$ et $f(5)$ .
b) La fonction est-elle continue en $x=-1$ ? en $x=2$ ? Justifiez.
c) Tracez la fonction dans le repère du corrigé.

Voir la correction

a) $f(-3)=-(-3)+1=4$ ; $f(0)=0^{2}=0$ ; $f(2)=3$ ; $f(5)=3$ .

b) En $x=-1$ : le morceau de gauche donne $-(-1)+1=2$ , celui de droite tend vers $(-1)^{2}=1$ . $2\neq 1$ : discontinue. En $x=2$ : $x^{2}$ tend vers $4$ , le morceau de droite donne $3$ . $4\neq 3$ : discontinue.

c) Voir le tracé ci-dessous.

Exercice 2 : Retrouver la règle depuis un graphique

La fonction f est représentée ci-dessous par trois morceaux. Déterminez la règle de chaque morceau avec son intervalle.

a) Donnez la règle du morceau de gauche et son intervalle.
b) Donnez la règle du morceau du milieu et son intervalle.
c) Donnez la règle du morceau de droite et son intervalle.
d) La fonction est-elle continue ? Justifiez aux points de raccordement.

Voir la correction

a) $f(x)=x+3$ sur $[-5,\ -1]$ (droite de pente 1 passant par $(-5,-2)$ et $(-1,2)$ ).

b) $f(x)=2$ sur $]-1,\ 3[$ (segment horizontal).

c) $f(x)=-2x+8$ sur $[3,\ 5]$ (pente $-2$ , passant par $(3,2)$ et $(5,-2)$ ).

d) Continue : en $x=-1$ , $x+3=2$ ; en $x=3$ , $-2(3)+8=2$ . Aucun saut.

Exercice 3 : Continuité et raccordement

On cherche à raccorder deux morceaux pour rendre la fonction continue.

a) Soit $f(x)=2x+1$ si $x<1$ et $f(x)=ax+2$ si $x\geq 1$ . Déterminez la valeur de a qui rend f continue en $x=1$ .
b) Avec cette valeur de a, calculez $f(0)$ , $f(1)$ et $f(3)$ .
c) Soit $g(x)=x^{2}$ si $x\leq 2$ et $g(x)=bx-1$ si $x>2$ . Déterminez b pour que g soit continue en $x=2$ .

Voir la correction

a) Continuité : $2(1)+1=a(1)+2\Rightarrow 3=a+2\Rightarrow a=1$ .

b) Avec $a=1$ : $f(0)=1$ , $f(1)=1+2=3$ , $f(3)=3+2=5$ .

c) $2^{2}=b(2)-1\Rightarrow 4=2b-1\Rightarrow b=\frac{5}{2}=2{,}5$ .

Exercice 4 : Fonction mixte : domaine, image et tracé

On considère la fonction définie par : $f(x)=-2$ si $x<-2$ ; $\sqrt{x+2}$ si $-2\leq x\leq 2$ ; $-x+4$ si $x>2$ .

a) Donnez le domaine de f.
b) Calculez $f(-3)$ , $f(2)$ et $f(3)$ .
c) Étudiez la continuité aux points de raccordement $x=-2$ et $x=2$ .
d) Tracez la fonction dans le repère du corrigé.

Voir la correction

a) Dom $=\mathbb{R}$ .

b) $f(-3)=-2$ ; $f(2)=\sqrt{4}=2$ ; $f(3)=-3+4=1$ .

c) En $x=-2$ : à gauche $-2$ , à droite $\sqrt{0}=0$ : discontinue. En $x=2$ : $\sqrt{4}=2$ et $-2+4=2$ : continue.

d) Voir le tracé ci-dessous.

Exercice 5 : Problème : la tarification d'une livraison

Un service de livraison facture le transport selon la distance d (en km) : 5 $ pour une distance d'au plus 3 km ; puis 1,50 $ par kilomètre supplémentaire jusqu'à 10 km ; au-delà de 10 km, un tarif fixe de 15,50 $.

a) Écrivez la règle de la fonction coût $C(d)$ sous forme définie par parties.
b) Combien coûte une livraison de 3 km ? de 7 km ? de 12 km ?
c) La fonction est-elle continue aux distances de raccordement (3 km et 10 km) ? Justifiez.

Voir la correction

a) $C(d)=5$ si $0\leq d\leq 3$ ; $C(d)=5+1{,}5(d-3)$ si $3<d\leq 10$ ; $C(d)=15{,}5$ si $d>10$ .

b) $C(3)=5$ $ ; $C(7)=5+1{,}5(4)=11$ $ ; $C(12)=15{,}50$ $.

c) En $d=3$ : $5=5+1{,}5(0)=5$ ; en $d=10$ : $5+1{,}5(7)=15{,}5=15{,}5$ . Continue partout.

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

Voir aussi

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Exercices corrigés : les fonctions définies par parties (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Évaluer et étudier la continuité

Exercice 2 : Retrouver la règle depuis un graphique

Exercice 3 : Continuité et raccordement

Exercice 4 : Fonction mixte : domaine, image et tracé

Exercice 5 : Problème : la tarification d'une livraison

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