Exercices corrigés : les fonctions définies par parties (math SN5)

Règle unique pour évaluer : on regarde d'abord DANS QUEL INTERVALLE tombe l'abscisse, puis on applique la règle correspondante, et une seule. Se tromper de morceau est l'erreur la plus fréquente, et elle est invisible dans le calcul lui-même.

a) $f(-3)$ : comme $-3\leq -1$, c'est le premier morceau qui s'applique, $f(x)=-x+1$, d'où $f(-3)=-(-3)+1=3+1=4$. $f(0)$ : comme $-1<0<2$, c'est le deuxième morceau, $f(x)=x^{2}$, d'où $f(0)=0$. $f(2)$ : l'intervalle du deuxième morceau exclut $2$ ($x<2$) alors que celui du troisième l'inclut ($x\geq 2$), donc c'est le troisième qui s'applique et $f(2)=3$. Attention à ne pas écrire $f(2)=4$ en utilisant $x^{2}$ : c'est précisément le type d'inattention que l'énoncé cherche à provoquer avec des bornes strictes d'un côté et larges de l'autre. $f(5)$ : comme $5\geq 2$, troisième morceau, $f(5)=3$.

b) Étudier la continuité en un point de raccord, c'est comparer ce que donne le morceau de GAUCHE et ce que donne le morceau de DROITE quand on s'approche du point. En $x=-1$ : le morceau de gauche, valable pour $x\leq -1$, donne $-(-1)+1=2$ ; le morceau de droite, valable pour $x>-1$, tend vers $(-1)^{2}=1$ quand $x$ s'approche de $-1$. Comme $2\neq 1$, la fonction fait un SAUT de $1$ unité : elle est DISCONTINUE en $x=-1$. En $x=2$ : le morceau de gauche tend vers $2^{2}=4$, le morceau de droite vaut $3$. Comme $4\neq 3$, elle est DISCONTINUE en $x=2$ également, avec cette fois un saut vers le bas.

c) Le tracé se compose de trois morceaux, et ce sont les points aux extrémités qui font la note. Sur $]-\infty\,;-1]$, une demi-droite de pente $-1$, avec un point PLEIN en $(-1\,;2)$ puisque l'inégalité y est large. Sur $]-1\,;2[$, un arc de parabole, avec un point VIDE en $(-1\,;1)$ et un autre point VIDE en $(2\,;4)$, les deux bornes étant strictes. Sur $[2\,;+\infty[$, une demi-droite horizontale à la hauteur $3$, avec un point PLEIN en $(2\,;3)$. Chaque abscisse ne doit porter qu'un seul point plein, sans quoi le tracé ne représenterait pas une fonction : ici en $x=-1$ le point plein est à la hauteur $2$, et en $x=2$ il est à la hauteur $3$.

a) Le morceau de gauche est un segment de droite : on lit deux de ses points sur le graphique, $(-5\,;-2)$ et $(-1\,;2)$. La pente vaut $\frac{2-(-2)}{-1-(-5)}=\frac{4}{4}=1$. On trouve l'ordonnée à l'origine en substituant l'un des deux points dans $y=x+b$ : avec $(-1\,;2)$, on a $2=-1+b$, donc $b=3$. Règle : $f(x)=x+3$ sur $[-5\,;-1]$, les deux extrémités portant des points pleins.

b) Le morceau du milieu est HORIZONTAL, donc de pente nulle : c'est une fonction constante. Sa hauteur se lit directement, $f(x)=2$, sur l'intervalle $]-1\,;3[$. Les deux bornes sont ouvertes ici parce que les points $(-1\,;2)$ et $(3\,;2)$ appartiennent déjà aux morceaux voisins ; comme les trois morceaux se rejoignent à la même hauteur, cela ne se voit pas sur le dessin, mais la rédaction de l'intervalle doit être cohérente et ne recouvrir aucune abscisse deux fois.

c) Le morceau de droite passe par $(3\,;2)$ et $(5\,;-2)$. Sa pente vaut $\frac{-2-2}{5-3}=\frac{-4}{2}=-2$. Avec $y=-2x+b$ et le point $(3\,;2)$ : $2=-6+b$, donc $b=8$. Règle : $f(x)=-2x+8$ sur $[3\,;5]$. Contrôle sur l'autre point, qui n'a pas servi : $-2\times 5+8=-2$ ✓.

d) La fonction est CONTINUE. En $x=-1$, le morceau de gauche donne $-1+3=2$ et le morceau du milieu vaut $2$ : les deux coïncident. En $x=3$, le morceau du milieu vaut $2$ et celui de droite donne $-2\times 3+8=2$ : ils coïncident aussi. Aucun saut, la courbe se trace sans lever le crayon. Notez la différence de nature avec l'exercice 1 : la continuité n'a rien à voir avec le fait que les morceaux soient des droites ou des paraboles, elle dépend uniquement de l'ÉGALITÉ des valeurs aux points de raccord.

Principe des trois questions : une fonction définie par parties est continue en un point de raccord si les deux morceaux y donnent la MÊME valeur. Quand un paramètre est en jeu, on écrit cette égalité et on la résout, ce qui donne une équation à une inconnue.

a) Le point de raccord est $x=1$. Le morceau de gauche, $2x+1$, y tend vers $2\times 1+1=3$. Le morceau de droite, $ax+2$, y vaut $a\times 1+2=a+2$. L'égalité $3=a+2$ donne $a=1$. Remarquez que le morceau de gauche est défini pour $x<1$ strictement, donc $1$ n'y appartient pas : on calcule bien une LIMITE, la valeur vers laquelle le morceau tend, et non une valeur atteinte. Le résultat numérique est le même parce que $2x+1$ est une fonction affine, donc sans surprise, mais la rédaction correcte le distingue.

b) Avec $a=1$, la fonction est $f(x)=2x+1$ pour $x<1$ et $f(x)=x+2$ pour $x\geq 1$. Donc $f(0)=2\times 0+1=1$, en utilisant le premier morceau puisque $0<1$. $f(1)=1+2=3$, en utilisant le second puisque l'inégalité $x\geq 1$ est large. $f(3)=3+2=5$. Contrôle de la continuité obtenue en a) : en s'approchant de $1$ par la gauche, $f(0{,}999)=2{,}998$, tout près de $3$ ✓, il n'y a bien plus de saut.

c) Le point de raccord est $x=2$. Le morceau de gauche, $x^{2}$, y vaut $2^{2}=4$. Le morceau de droite, $bx-1$, y tend vers $2b-1$. L'égalité $4=2b-1$ donne $2b=5$, donc $b=\frac{5}{2}=2{,}5$. Vérification : avec $b=2{,}5$, on a $2{,}5\times 2-1=5-1=4$ ✓, qui égale bien $2^{2}$. Notez que le paramètre à trouver n'est pas toujours à la même place : en a) il multipliait $x$ dans le morceau de droite, ici aussi, mais il aurait pu être une constante additive, et la méthode serait restée identique. C'est toujours la même équation, valeur de gauche égale valeur de droite.

a) Chacun des trois morceaux est défini sur son intervalle sans condition supplémentaire : la constante $-2$ existe partout, la racine $\sqrt{x+2}$ existe pour $x\geq -2$ ce qui couvre bien tout $[-2\,;2]$, et la fonction affine existe partout. Les trois intervalles $]-\infty\,;-2[$, $[-2\,;2]$ et $]2\,;+\infty[$ se recouvrent sans trou et sans chevauchement, donc le domaine est $\mathbb{R}$. Le contrôle à faire systématiquement est double : aucun réel ne doit être oublié, et aucun ne doit recevoir deux règles.

b) $f(-3)$ : comme $-3<-2$, premier morceau, $f(-3)=-2$. $f(2)$ : comme $-2\leq 2\leq 2$, la borne étant incluse, c'est le deuxième morceau, $f(2)=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$. $f(3)$ : comme $3>2$, troisième morceau, $f(3)=-3+4=1$.

c) En $x=-2$ : à gauche la fonction vaut constamment $-2$, à droite elle commence à $\sqrt{-2+2}=\sqrt{0}=0$. Comme $-2\neq 0$, la fonction est DISCONTINUE en $-2$, avec un saut vers le haut de $2$ unités. La valeur atteinte en $-2$ est $0$, celle du morceau qui inclut ce point. En $x=2$ : à gauche $\sqrt{2+2}=2$, à droite $-2+4=2$. Les deux coïncident, donc la fonction est CONTINUE en $2$. Cette fonction illustre bien que continuité et discontinuité peuvent cohabiter dans une même fonction : chaque point de raccord s'étudie séparément.

d) Le tracé comporte trois morceaux de natures différentes. Une demi-droite horizontale à la hauteur $-2$ sur $]-\infty\,;-2[$, terminée par un point VIDE en $(-2\,;-2)$. Un arc de racine carrée partant du point PLEIN $(-2\,;0)$, croissant et s'aplatissant, jusqu'au point PLEIN $(2\,;2)$ : les points intermédiaires commodes sont $(-1\,;1)$ et $(0\,;\sqrt{2})\approx(0\,;1{,}41)$, obtenus en prenant des radicandes qui sont des carrés parfaits. Enfin une demi-droite de pente $-1$ partant de $(2\,;2)$, avec un point vide puisque $x>2$ est strict, mais qui coïncide avec le point plein du morceau précédent : le raccord est donc invisible, ce qui est exactement la traduction graphique de la continuité établie en c).

a) On traduit chaque phrase du tarif en une règle et un intervalle, en repérant bien où chaque tranche commence. Jusqu'à $3$ km inclus, le prix est fixe : $C(d)=5$ pour $0\leq d\leq 3$. Au-delà, chaque kilomètre supplémentaire coûte $1{,}50$ dollar, et le mot SUPPLÉMENTAIRE impose de compter à partir de $3$ et non de $0$ : c'est le $(d-3)$ de la formule, et l'oublier est l'erreur qui coûte la question. On obtient $C(d)=5+1{,}5(d-3)$ pour $3<d\leq 10$. Enfin $C(d)=15{,}50$ pour $d>10$.

b) $C(3)=5$ dollars, par le premier morceau. $C(7)=5+1{,}5\times(7-3)=5+1{,}5\times 4=5+6=11$ dollars ; notez qu'on multiplie par $4$, le nombre de kilomètres au-delà de $3$, et non par $7$. $C(12)=15{,}50$ dollars, par le troisième morceau, puisque $12>10$.

c) En $d=3$ : le premier morceau donne $5$, le second tend vers $5+1{,}5\times(3-3)=5+0=5$. Les deux coïncident, la fonction est continue en $3$. En $d=10$ : le second morceau donne $5+1{,}5\times 7=5+10{,}5=15{,}50$, et le troisième vaut $15{,}50$. Ils coïncident, la fonction est continue en $10$. Elle est donc continue partout. Cette continuité n'est pas un hasard mathématique, c'est une propriété du BARÈME : le tarif fixe de $15{,}50$ dollars a été calculé pour égaler exactement le prix d'une course de $10$ km. Un tarif conçu autrement produirait une discontinuité, et donc une absurdité commerciale : une course de $10{,}1$ km coûterait moins cher qu'une course de $10$ km, et il suffirait de faire un détour pour payer moins. Le même raisonnement s'applique aux tranches d'impôt de l'exercice 7.

a) $f(-2)$ : comme $-2<-1$, premier morceau, $f(-2)=-2\times(-2)-1=4-1=3$. $f(0)$ : comme $-1\leq 0<2$, deuxième morceau, $f(0)=0^{2}-2=-2$. $f(5)$ : comme $5\geq 2$, troisième morceau, $f(5)=3$.

b) Une composition se lit de l'INTÉRIEUR vers l'extérieur, et avec une fonction par parties il faut re-choisir le morceau à chaque étape. Première étape : $f(0)=-2$, calculé en a). Deuxième étape : on doit évaluer $f(-2)$, et il faut donc regarder à nouveau dans quel intervalle tombe $-2$. Comme $-2<-1$, c'est le PREMIER morceau, et non celui qu'on venait d'utiliser : $f(-2)=-2\times(-2)-1=3$. Donc $f(f(0))=3$. L'erreur naturelle consiste à rester dans le morceau du premier calcul ; la valeur intermédiaire doit être traitée comme une abscisse entièrement nouvelle.

c) On résout dans chaque morceau, puis on filtre. Morceau 1, valable pour $x<-1$ : $-2x-1=3$ donne $-2x=4$, donc $x=-2$. Cette valeur vérifie bien $-2<-1$ : ACCEPTÉE. Morceau 2, valable pour $-1\leq x<2$ : $x^{2}-2=3$ donne $x^{2}=5$, donc $x=\sqrt{5}\approx 2{,}24$ ou $x=-\sqrt{5}\approx -2{,}24$. Ni l'une ni l'autre n'appartient à $[-1\,;2[$ : toutes deux REJETÉES. Morceau 3, valable pour $x\geq 2$ : la règle est la constante $3$, donc l'équation $3=3$ est vraie pour TOUS les $x$ de l'intervalle : tout $[2\,;+\infty[$ est solution. Ensemble-solution : $\{-2\}\cup[2\,;+\infty[$. Le filtrage n'est pas une vérification facultative, c'est une étape de la résolution : une solution obtenue dans un morceau mais située hors de son intervalle n'existe tout simplement pas.

d) L'équation a une INFINITÉ de solutions : une valeur isolée, $-2$, et un intervalle entier, $[2\,;+\infty[$. Aucune fonction affine ni aucune parabole ne peut produire un tel ensemble. Une droite non horizontale coupe une horizontale en un point au plus, une parabole en deux points au plus, et dans les deux cas l'ensemble-solution est FINI. Seule une fonction comportant un morceau constant peut égaler une valeur sur tout un intervalle, et seule une fonction par parties peut combiner ce comportement avec une solution isolée ailleurs. C'est précisément la souplesse que ces fonctions apportent, et c'est aussi pourquoi elles servent à modéliser des tarifs et des barèmes, où un prix reste identique sur toute une plage.

a) On traduit chaque tranche en repérant qu'un taux ne s'applique qu'à la PARTIE du revenu située dans sa tranche, jamais au revenu entier. Première tranche : $T(x)=0$ pour $0\leq x\leq 15\ 000$. Deuxième : le taux de $15$ % porte sur $x-15\ 000$, la partie qui dépasse le seuil, donc $T(x)=0{,}15(x-15\ 000)$ pour $15\ 000<x\leq 50\ 000$. Troisième : le taux de $25$ % porte sur $x-50\ 000$, mais il faut y ajouter l'impôt déjà accumulé sur toute la deuxième tranche, laquelle est désormais entièrement franchie et a une largeur de $50\ 000-15\ 000=35\ 000$ dollars, soit $0{,}15\times 35\ 000=5250$ dollars. D'où $T(x)=5250+0{,}25(x-50\ 000)$ pour $x>50\ 000$. Ce report de $5250$ dollars est le point technique de la question.

b) Revenu de $40\ 000$ dollars : il tombe dans la deuxième tranche, donc $T=0{,}15\times(40\ 000-15\ 000)=0{,}15\times 25\ 000=3750$ dollars. Revenu de $80\ 000$ dollars : troisième tranche, donc $T=5250+0{,}25\times(80\ 000-50\ 000)=5250+0{,}25\times 30\ 000=5250+7500=12\ 750$ dollars.

c) En $x=50\ 000$, par la gauche : $0{,}15\times(50\ 000-15\ 000)=0{,}15\times 35\ 000=5250$. Par la droite : $5250+0{,}25\times 0=5250$. Les deux valeurs coïncident, donc $T$ est continue en $50\ 000$. Ce n'est pas une coïncidence mais une propriété STRUCTURELLE du barème marginal : le terme constant de chaque tranche est, par construction, l'impôt accumulé jusqu'au seuil, donc les deux expressions se rejoignent nécessairement. Conséquence économique importante, et contraire à une idée très répandue : franchir un seuil d'imposition ne fait JAMAIS perdre d'argent. Gagner un dollar de plus fait payer au maximum $25$ centimes d'impôt supplémentaire, jamais un montant qui annulerait le gain. La croyance inverse vient d'une confusion entre taux marginal, qui ne s'applique qu'à la tranche, et taux moyen, qui s'applique au revenu entier.

d) On localise d'abord la tranche avant de choisir la règle : l'impôt maximal de la deuxième tranche est $5250$ dollars, or $9000>5250$, donc le revenu cherché est dans la troisième tranche. On résout $5250+0{,}25(x-50\ 000)=9000$, ce qui donne $0{,}25(x-50\ 000)=3750$, puis $x-50\ 000=15\ 000$ et $x=65\ 000$ dollars. Vérification : $5250+0{,}25\times 15\ 000=5250+3750=9000$ ✓. Le taux effectif est le rapport de l'impôt au revenu total : $\frac{9000}{65\ 000}\approx 0{,}138$, soit environ $13{,}8$ %. Ce chiffre est très inférieur au taux marginal de $25$ %, et l'écart s'explique entièrement par la structure : les $15\ 000$ premiers dollars n'ont rien payé, les $35\ 000$ suivants n'ont payé que $15$ %, et seuls les $15\ 000$ derniers ont subi le taux de $25$ %. Retenez la distinction, elle est souvent demandée : le taux marginal est celui du prochain dollar gagné, le taux effectif est celui de l'ensemble du revenu, et le second est toujours inférieur au premier dans un barème progressif.

a) On enlève la valeur absolue en distinguant le signe de ce qu'elle contient, et le point de rupture est la valeur qui l'annule, ici $x=3$. Si $x<3$, alors $x-3$ est négatif et $|x-3|=-(x-3)=3-x$, d'où $f(x)=-2(3-x)+4=-6+2x+4=2x-2$. Si $x\geq 3$, alors $x-3$ est positif ou nul et $|x-3|=x-3$, d'où $f(x)=-2(x-3)+4=-2x+6+4=-2x+10$. Écriture par parties : $f(x)=2x-2$ si $x<3$, et $f(x)=-2x+10$ si $x\geq 3$. Attention à la double distribution du signe : dans le premier cas, le $-2$ multiplie $(3-x)$ et non $(x-3)$.

b) En $x=3$ : le morceau de gauche donne $2\times 3-2=4$ et celui de droite $-2\times 3+10=4$. Les deux valeurs coïncident, donc les demi-droites se raccordent en $(3\,;4)$ et la fonction est continue. Ce point est le SOMMET du graphique, et il n'est autre que $(h\,;k)$ lu directement sur la forme canonique $-2|x-3|+4$ ✓. Comme $a=-2<0$, la courbe est un $\Lambda$ ouvert vers le bas et le sommet est un maximum. Notez que les pentes des deux morceaux, $+2$ et $-2$, sont opposées et valent $\pm|a|$ : c'est la signature d'une valeur absolue, et cela fournit un contrôle immédiat de la conversion.

c) On résout dans chaque morceau, puis on filtre par l'intervalle. Morceau de gauche, valable pour $x<3$ : $2x-2=0$ donne $x=1$, et $1<3$ : ACCEPTÉ. Morceau de droite, valable pour $x\geq 3$ : $-2x+10=0$ donne $x=5$, et $5\geq 3$ : ACCEPTÉ. Les zéros sont $x=1$ et $x=5$. Contrôle de cohérence par la symétrie : les deux zéros doivent être équidistants du sommet $h=3$, et ils le sont, chacun à $2$ unités ✓. Si l'un des deux avait été rejeté, cette symétrie aurait été rompue, ce qui aurait signalé une erreur de calcul.

d) La courbe est un $\Lambda$ de sommet $(3\,;4)$, situé au-dessus de l'axe des $x$, et de zéros $1$ et $5$. Elle est donc positive ENTRE ses deux zéros et négative à l'extérieur : $f(x)>0$ pour $x\in\ ]1\,;5[$, bornes exclues puisque l'inégalité est stricte. On peut aussi conclure par les morceaux, ce qui donne le même résultat : à gauche $2x-2>0$ équivaut à $x>1$, ce qui croisé avec $x<3$ donne $]1\,;3[$ ; à droite $-2x+10>0$ équivaut à $x<5$, ce qui croisé avec $x\geq 3$ donne $[3\,;5[$ ; la réunion des deux est $]1\,;5[$ ✓. Les deux méthodes se contrôlent l'une l'autre, et la seconde a l'avantage de ne rien supposer sur la forme du graphique.

a) La continuité en $x=1$ exige que la valeur de la fonction au point et la limite venant de la droite coïncident. La VALEUR est donnée par le morceau qui contient $1$, c'est-à-dire celui de $x\leq 1$ : $f(1)=2\times 1+a=2+a$. La LIMITE à droite est donnée par l'autre morceau, valable pour $x>1$ : quand $x$ s'approche de $1$ par valeurs supérieures, $x^{2}+2$ s'approche de $1+2=3$. L'égalité $2+a=3$ donne $a=1$. Le morceau $x>1$ n'atteint jamais $x=1$, on ne peut donc y parler que de limite : c'est une nuance de rédaction qui compte dans une copie soignée.

b) Avec $a=1$ : $f(0)=2\times 0+1=1$, par le premier morceau puisque $0\leq 1$. $f(1)=2\times 1+1=3$, encore par le premier morceau, l'inégalité $x\leq 1$ étant large. $f(2)=2^{2}+2=6$, par le second puisque $2>1$. Contrôle de la continuité : $f(1{,}001)=1{,}001^{2}+2\approx 3{,}002$, très proche de $f(1)=3$ ✓.

c) Oui, $f$ est continue sur tout $\mathbb{R}$, et la justification comporte deux volets qu'il faut donner tous les deux. D'abord, chaque morceau est une fonction POLYNOMIALE, affine à gauche et du second degré à droite, donc continue en tout point intérieur à son intervalle : il n'y a aucun problème ailleurs qu'au raccord. Ensuite, le seul point de raccord est $x=1$, et le choix $a=1$ y assure l'égalité $3=3$. Ces deux volets épuisent tous les points de $\mathbb{R}$, donc la fonction est continue partout. Une réponse qui ne traiterait que le raccord serait incomplète, même si elle donne la bonne conclusion.

d) On résout dans chaque morceau et on filtre. Morceau $x\leq 1$ : $2x+1=6$ donne $2x=5$, donc $x=\frac{5}{2}=2{,}5$. Mais $2{,}5>1$, donc cette valeur n'appartient PAS à l'intervalle du morceau : REJETÉE. Morceau $x>1$ : $x^{2}+2=6$ donne $x^{2}=4$, donc $x=2$ ou $x=-2$. La valeur $2$ vérifie $2>1$ : ACCEPTÉE. La valeur $-2$ ne vérifie pas $-2>1$ : REJETÉE. Solution unique : $x=2$, ce que confirme le calcul de b) où l'on avait trouvé $f(2)=6$ ✓. Cet exercice illustre les deux façons dont une solution peut échouer au filtrage : elle peut sortir de l'intervalle par le haut, comme $2{,}5$, ou par le bas, comme $-2$. Dans les deux cas, la valeur satisfait bien l'ÉQUATION du morceau, mais pas là où ce morceau gouverne la fonction.