Exercices corrigés : les fonctions exponentielles (math SN5)

a) $f(0)=3\cdot 2^{0}=3\times 1=3$. Le point clé est que $2^{0}=1$ et non $0$ : toute puissance d'exposant nul vaut $1$, et cette erreur ferait disparaître le point de départ de la courbe. $f(1)=3\cdot 2^{1}=6$ et $f(3)=3\cdot 2^{3}=3\times 8=24$.

b) L'asymptote horizontale est $y=0$, l'axe des abscisses. La règle ne comporte aucun terme additif $k$, donc rien ne décale la courbe verticalement. Concrètement, quand $x$ devient très négatif, $2^{x}$ devient minuscule sans jamais s'annuler : $f(-10)=3\cdot 2^{-10}=\frac{3}{1024}\approx 0{,}003$. La courbe se colle à l'axe des $x$ du côté gauche mais ne le touche jamais, car une puissance de base positive est toujours strictement positive.

c) La fonction est CROISSANTE. Deux conditions y concourent : la base $2$ est supérieure à $1$, donc $2^{x}$ augmente avec $x$, et le multiplicateur $a=3$ est positif, donc il n'inverse rien. Si $a$ avait été négatif, la courbe aurait été retournée et la fonction décroissante malgré une base supérieure à $1$ ; c'est le PRODUIT des deux effets qui décide.

d) Seule $h(x)=5^{x}$ est une fonction exponentielle, et il faut savoir dire pourquoi les deux autres n'en sont pas. La fonction $g(x)=(-2)^{x}$ a une base NÉGATIVE, ce qui est interdit : elle n'aurait aucun sens pour la plupart des valeurs de $x$, par exemple $(-2)^{1/2}=\sqrt{-2}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$, et son graphe ne serait pas une courbe continue mais une poussière de points. La fonction $i(x)=x^{3}$ est une fonction PUISSANCE et non exponentielle : la variable y est à la base et l'exposant est constant, c'est exactement l'inverse.

Test infaillible pour reconnaître une exponentielle, et il vaut mieux le connaître que la définition : une exponentielle MULTIPLIE par un facteur constant quand $x$ augmente d'un pas constant, alors qu'une fonction affine AJOUTE une constante. Ici $\frac{f(1)}{f(0)}=\frac{6}{3}=2$, $\frac{f(2)}{f(1)}=\frac{12}{6}=2$, $\frac{f(3)}{f(2)}=\frac{24}{12}=2$ : le rapport est constant et vaut la base ✓. Devant une table de valeurs, c'est ce rapport qu'il faut calculer, pas la différence.

a) L'asymptote horizontale est $y=k$, et ici $k=4$ : c'est le terme ajouté à la fin, en dehors de la puissance. Donc $y=4$. Quand $x$ devient très négatif, $3^{x-1}$ tend vers $0$ et $f(x)$ tend vers $4$ par le dessus.

b) $f(1)=2\cdot 3^{1-1}+4=2\cdot 3^{0}+4=2\times 1+4=6$. $f(2)=2\cdot 3^{2-1}+4=2\cdot 3^{1}+4=6+4=10$. Attention à l'ordre des opérations, qui n'est pas celui de la lecture : on calcule d'abord l'exposant $x-1$, puis la puissance, puis on multiplie par $2$, puis seulement on ajoute $4$. Multiplier $2\times 3$ avant d'élever donnerait $6^{x-1}$, ce qui est une tout autre fonction.

c) CROISSANTE : la base $3$ est supérieure à $1$ et le multiplicateur $a=2$ est positif. On le confirme sur b), $f(1)=6$ puis $f(2)=10$ ✓.

d) La puissance $3^{x-1}$ est toujours STRICTEMENT positive, jamais nulle. En multipliant par $2>0$ elle reste strictement positive, puis en ajoutant $4$ on obtient $f(x)>4$. L'image est $]4\,;+\infty[$, avec un crochet OUVERT en $4$ : la valeur $4$ n'est jamais atteinte, elle est seulement approchée. Cette borne ouverte est exactement ce que signifie le mot asymptote, et l'écrire fermée est une faute de fond, pas de notation.

e) Pour passer de $y=2^{x}$ à $h(x)=2^{x+3}-5$ : le $+3$ dans l'exposant est une translation HORIZONTALE de $3$ unités vers la GAUCHE, avec le signe apparemment inversé comme toujours ; le $-5$ est une translation verticale de $5$ unités vers le bas, qui déplace l'asymptote de $y=0$ à $y=-5$. Une remarque propre aux exponentielles mérite d'être connue : $2^{x+3}=2^{3}\cdot 2^{x}=8\cdot 2^{x}$, donc cette translation horizontale est EXACTEMENT la même chose qu'un changement d'échelle vertical de facteur $8$. Aucune autre famille de fonctions ne possède cette propriété, et elle explique pourquoi on écrit souvent une exponentielle sous la forme $a\,c^{x}$ sans paramètre $h$ : celui-ci serait redondant.

Méthode unique : on écrit les DEUX membres comme des puissances d'une même base, puis on identifie les exposants. Cette identification est légitime parce qu'une fonction exponentielle est strictement monotone, donc injective : elle ne prend jamais deux fois la même valeur, si bien que $c^{u}=c^{v}$ force $u=v$.

a) $16=2^{4}$, donc $2^{x}=2^{4}$ et $x=4$. Vérification : $2^{4}=16$ ✓.

b) $81=3^{4}$, donc $3^{x+1}=3^{4}$ et $x+1=4$, d'où $x=3$. Attention : on identifie les exposants ENTIERS, c'est-à-dire $x+1$ avec $4$, et non $x$ avec $4$. Vérification : $3^{3+1}=3^{4}=81$ ✓.

c) $125=5^{3}$, donc $5^{2x-1}=5^{3}$ et $2x-1=3$, d'où $2x=4$ et $x=2$. Vérification : $5^{2\times 2-1}=5^{3}=125$ ✓. Notez que l'identification des exposants a produit une équation du premier degré, qu'il reste à résoudre : ce n'est pas la fin du travail.

d) On rassemble d'abord le membre de gauche avec la loi du produit : $2^{x}\cdot 2^{3}=2^{x+3}$. L'équation devient $2^{x+3}=2^{7}$, donc $x+3=7$ et $x=4$. Erreur à éviter : multiplier les exposants au lieu de les additionner, ce qui donnerait $2^{3x}$ et une réponse fausse. Vérification : $2^{4}\times 8=16\times 8=128=2^{7}$ ✓.

e) Ici les deux membres n'ont pas la même base apparente, $4$ à gauche et $8$ à droite, mais tous deux sont des puissances de $2$ : c'est la base commune qu'il faut trouver. $4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x}$ et $8=2^{3}$, donc $2^{2x}=2^{3}$, d'où $2x=3$ et $x=\frac{3}{2}$. Une solution fractionnaire n'a rien d'anormal. Vérification : $4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8$ ✓. Réflexe général : quand les bases diffèrent, chercher s'il existe un nombre dont les deux sont des puissances, ici $2$ ; si un tel nombre n'existe pas, il faudra passer par les logarithmes, ce que font les exercices 8 et 10.

a) L'asymptote horizontale est $y=k=-2$ : c'est le terme ajouté hors de la puissance. La courbe s'écrase sur la droite $y=-2$ quand $x$ tend vers $-\infty$, sans jamais la franchir.

b) $f(1)=2^{1-1}-2=2^{0}-2=1-2=-1$. $f(3)=2^{3-1}-2=2^{2}-2=4-2=2$.

c) L'ordonnée à l'origine est $f(0)=2^{0-1}-2=2^{-1}-2=\frac{1}{2}-2=-1{,}5$. Un exposant négatif donne l'inverse de la puissance, $2^{-1}=\frac{1}{2}$, et non un nombre négatif : c'est l'erreur classique, qui donnerait $-2-2=-4$. Contrairement à une fonction logarithmique ou racine carrée, une exponentielle a TOUJOURS une ordonnée à l'origine, puisque son domaine est $\mathbb{R}$ tout entier.

d) Le zéro est la valeur qui annule $f$ : $2^{x-1}-2=0$ donne $2^{x-1}=2=2^{1}$, donc $x-1=1$ et $x=2$. Vérification : $f(2)=2^{1}-2=0$ ✓. Il n'y a qu'un seul zéro, et c'est général : la courbe est strictement croissante, donc elle ne peut traverser l'axe des $x$ qu'une fois. Une exponentielle transformée possède donc au plus un zéro, et elle n'en a aucun lorsque son asymptote et sa courbe sont du même côté de l'axe, par exemple si $k$ était positif avec $a>0$.

a) La base est $2$, lue directement sous l'exposant. L'asymptote horizontale est $y=-3$, donnée par le terme constant. Pour les points, on choisit des abscisses qui rendent la puissance facile, c'est-à-dire des entiers : $f(0)=2^{0}-3=1-3=-2$, donc le point $(0\,;-2)$ ; $f(2)=2^{2}-3=4-3=1$, donc le point $(2\,;1)$. On peut en ajouter deux autres tout aussi gratuits, $f(1)=-1$ et $f(3)=5$.

b) Le tracé se construit à partir de l'asymptote, qu'il faut dessiner en pointillés AVANT la courbe : c'est elle qui donne la forme. À gauche, la courbe s'aplatit contre $y=-3$ sans jamais la toucher ; à droite, elle monte de plus en plus vite. On place les points $(0\,;-2)$, $(1\,;-1)$, $(2\,;1)$, $(3\,;5)$ et l'on joint sans jamais redescendre. Observez la progression des ordonnées : $-2,\ -1,\ 1,\ 5$, dont les écarts successifs valent $1,\ 2,\ 4$, c'est-à-dire qu'ils DOUBLENT à chaque pas. C'est la signature de la base $2$, et c'est ce qui donne à la courbe son envolée.

c) Le zéro s'obtient en résolvant $2^{x}-3=0$, soit $2^{x}=3$. Ici $3$ n'est pas une puissance entière de $2$ : l'identification des exposants ne suffit plus et il faut le logarithme. La valeur exacte est $x=\log_{2}3=\frac{\ln 3}{\ln 2}\approx 1{,}58$, ce qui est cohérent avec le tracé, où la courbe coupe l'axe entre $1$ et $2$, plus près de $2$ ✓. Pour l'inéquation $f(x)>-2$ : $2^{x}-3>-2$ donne $2^{x}>1=2^{0}$, et comme la base $2$ est supérieure à $1$ la fonction est croissante, donc le sens de l'inégalité est CONSERVÉ : $x>0$. Solution : $]0\,;+\infty[$. Sur le graphique, c'est la portion de courbe située au-dessus de la hauteur $-2$, à droite du point $(0\,;-2)$ déjà placé en a).

a) L'année $2020$ correspond à $t=0$ : $P(0)=8000\cdot 2^{0{,}1\times 0}=8000\cdot 2^{0}=8000\times 1=8000$ habitants. Le coefficient devant la puissance est toujours la valeur INITIALE, ce qui donne la réponse sans calcul dès qu'on a repéré que $t=0$ annule l'exposant.

b) L'année $2030$ correspond à $t=10$ : $P(10)=8000\cdot 2^{0{,}1\times 10}=8000\cdot 2^{1}=16\ 000$ habitants. Le résultat est instructif : en dix ans la population a exactement DOUBLÉ, et ce n'est pas un hasard, puisque l'exposant $0{,}1t$ vaut $1$ précisément quand $t=10$. Le coefficient $0{,}1$ encode donc un temps de doublement de $\frac{1}{0{,}1}=10$ ans.

c) $8000\cdot 2^{0{,}1t}=32\ 000$ donne $2^{0{,}1t}=\frac{32\ 000}{8000}=4$. Comme $4=2^{2}$, on identifie les exposants : $0{,}1t=2$, donc $t=20$. Il s'agit de l'année $2020+20=2040$. Contrôle par le raisonnement du doublement : passer de $8000$ à $32\ 000$, c'est multiplier par $4$, donc doubler DEUX fois, donc attendre deux périodes de dix ans ✓. Ce contrôle mental est plus rapide que le calcul et permet de vérifier l'ordre de grandeur en examen.

d) La fonction est croissante. La base $2$ est supérieure à $1$, le coefficient $8000$ est positif, et l'exposant $0{,}1t$ augmente avec $t$ puisque $0{,}1>0$. Les trois conditions vont dans le même sens. Il faut cependant garder un regard critique sur le modèle, et un examen peut le demander : une croissance exponentielle prolongée est irréaliste, car elle prédirait $8000\cdot 2^{10}\approx 8{,}2$ millions d'habitants en cent ans. Ce type de modèle ne vaut que sur la durée où les conditions de croissance restent inchangées.

a) La forme $f(x)=a\,c^{x}$ contient deux inconnues, il faut donc deux points, mais l'ORDRE dans lequel on les exploite change tout. On commence toujours par celui dont l'abscisse est $0$, s'il existe, car il élimine $c$ : $f(0)=a\,c^{0}=a\times 1=a$, donc $a=5$ directement. Il reste $f(3)=5c^{3}=40$, d'où $c^{3}=8$ et $c=2$, la racine cubique étant unique. Règle : $f(x)=5\cdot 2^{x}$. Contrôle : $5\cdot 2^{3}=40$ ✓.

b) $5\cdot 2^{x}=1280$ donne $2^{x}=\frac{1280}{5}=256$. Or $256=2^{8}$, donc $x=8$. Vérification : $5\times 256=1280$ ✓. Aucun logarithme n'est nécessaire ici parce que $256$ est une puissance entière de $2$ ; c'est le premier réflexe à avoir avant de sortir la calculatrice.

c) Ici aucun point n'a l'abscisse $0$, donc $a$ ne se lit pas. La technique consiste à faire le QUOTIENT des deux valeurs, ce qui élimine $a$ automatiquement : $\frac{g(4)}{g(2)}=\frac{a\,c^{4}}{a\,c^{2}}=c^{2}$, et numériquement $\frac{162}{18}=9$. Donc $c^{2}=9$, d'où $c=3$ ou $c=-3$, et l'on RETIENT $c=3$ puisque la base d'une exponentielle doit être positive. Ce rejet doit être écrit. On reporte ensuite dans l'un des points : $a\cdot 3^{2}=18$ donne $9a=18$ et $a=2$. Règle : $g(x)=2\cdot 3^{x}$.

d) $g(2)=2\times 3^{2}=2\times 9=18$ ✓ et $g(4)=2\times 3^{4}=2\times 81=162$ ✓. Les deux points donnés sont bien sur la courbe. Cette vérification n'est pas superflue : la méthode du quotient utilise les deux points de façon indirecte, et une erreur de division ne se verrait pas autrement. Retenez enfin le principe général, qui vaut pour tout écart entre deux abscisses : si les abscisses sont distantes de $d$, alors le quotient des ordonnées vaut $c^{d}$, et il suffit d'extraire la racine $d$-ième pour obtenir la base.

Règle qui gouverne les trois inéquations : on ramène les deux membres à la même base, puis on compare les exposants. Le sens de l'inégalité est CONSERVÉ si la base est supérieure à $1$, car la fonction est alors croissante, et INVERSÉ si la base est entre $0$ et $1$, car la fonction est décroissante. C'est le seul point délicat du chapitre, et il vaut la moitié des points.

a) $81=3^{4}$, donc l'inéquation devient $3^{x-1}\geq 3^{4}$. La base $3$ est supérieure à $1$, le sens est donc préservé : $x-1\geq 4$, soit $x\geq 5$. Solution : $[5\,;+\infty[$. Contrôle : $3^{5-1}=81$, la borne est bien atteinte ✓, et $3^{6-1}=243>81$ ✓.

b) $\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$, donc l'inéquation devient $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\leq\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$. La base $\frac{1}{2}$ est INFÉRIEURE à $1$, donc la fonction est décroissante et le sens s'inverse : $x\geq 4$. Solution : $[4\,;+\infty[$. Ce résultat surprend souvent, on s'attendait à $x\leq 4$ en recopiant le sens de départ. Le contrôle numérique lève le doute : pour $x=5$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{1}{32}$, qui est bien inférieur à $\frac{1}{16}$ ✓, alors que pour $x=3$, $\frac{1}{8}$ est supérieur à $\frac{1}{16}$ ✗. Un grand exposant sur une base inférieure à $1$ donne bien un petit nombre.

c) Ici $0{,}32$ n'est pas une puissance simple de $0{,}8$, la méthode des bases échoue et il faut le logarithme. On applique $\ln$ aux deux membres, ce qui préserve le sens puisque $\ln$ est croissante : $x\ln 0{,}8<\ln 0{,}32$. Il faut maintenant diviser par $\ln 0{,}8$, or $0{,}8<1$ donc $\ln 0{,}8<0$ : la division par un nombre NÉGATIF inverse le sens. On obtient $x>\frac{\ln 0{,}32}{\ln 0{,}8}$. Numériquement, $\ln 0{,}32\approx -1{,}139$ et $\ln 0{,}8\approx -0{,}223$, d'où $x>5{,}106$ environ. Solution : $]5{,}106\,;+\infty[$. Notez que le quotient de deux négatifs est positif, ce qui est cohérent avec la borne trouvée.

d) Test $x=6$, situé dans l'ensemble-solution : $(0{,}8)^{6}\approx 0{,}262$, qui est bien inférieur à $0{,}32$ ✓. Test $x=4$, situé à l'extérieur : $(0{,}8)^{4}\approx 0{,}410$, qui n'est pas inférieur à $0{,}32$ ✗, conforme. La borne est donc bien située entre $4$ et $6$, ce qui valide le calcul de c). Ce double test est la façon la plus rapide de détecter une inégalité retournée par erreur : si l'on avait conclu $x<5{,}106$, le test en $x=4$ aurait immédiatement contredit la réponse.

a) $A(6)=500\cdot 2^{6/3}=500\cdot 2^{2}=500\times 4=2000$ bactéries. Le calcul se lit aussi sans formule : $6$ heures représentent deux périodes de doublement, donc $500\times 2\times 2=2000$ ✓. $B(6)=8000\cdot 2^{-6/6}=8000\cdot 2^{-1}=\frac{8000}{2}=4000$ bactéries, soit une seule division par deux, ce qui correspond bien à une demi-vie de $6$ heures ✓.

b) L'égalité des deux tailles s'écrit $500\cdot 2^{t/3}=8000\cdot 2^{-t/6}$. Pour la ramener à une égalité de puissances de $2$, on regroupe les exponentielles d'un côté et les constantes de l'autre. On divise par $500$ : $2^{t/3}=16\cdot 2^{-t/6}$. On multiplie ensuite par $2^{t/6}$, ce qui fait passer l'exposant négatif à gauche en s'ajoutant : $2^{t/3}\cdot 2^{t/6}=16$, donc $2^{t/3+t/6}=16$. On additionne les fractions, $\frac{t}{3}+\frac{t}{6}=\frac{2t}{6}+\frac{t}{6}=\frac{3t}{6}=\frac{t}{2}$, et l'on écrit $16=2^{4}$ : l'équation devient $2^{t/2}=2^{4}$.

c) L'identification des exposants donne $\frac{t}{2}=4$, donc $t=8$ heures. La taille commune est $A(8)=500\cdot 2^{8/3}$. Comme $\frac{8}{3}\approx 2{,}667$ n'est pas entier, on utilise la calculatrice : $2^{8/3}\approx 6{,}35$, d'où environ $3175$ bactéries. Vérification par l'autre culture, qui est le vrai contrôle : $B(8)=8000\cdot 2^{-8/6}=8000\cdot 2^{-4/3}\approx 8000\times 0{,}397\approx 3175$ ✓. Les deux calculs, menés par des chemins entièrement différents, donnent le même nombre.

d) Oui, définitivement. La culture $A$ est strictement CROISSANTE, puisque sa base $2$ dépasse $1$ et que son exposant $\frac{t}{3}$ augmente avec $t$. La culture $B$ est strictement DÉCROISSANTE, puisque son exposant $-\frac{t}{6}$ diminue quand $t$ augmente. Une fonction croissante et une fonction décroissante ne peuvent se croiser qu'une seule fois : avant $t=8$ on a $A<B$, ce que confirme le calcul de a) où $2000<4000$, et après $t=8$ on a $A>B$ pour toujours. L'écart ne fait d'ailleurs que se creuser, et de plus en plus vite : à $t=20$, $A(20)=500\cdot 2^{20/3}\approx 50\ 800$ alors que $B(20)\approx 795$, soit un rapport de plus de soixante.

a) $N(0)=100\cdot 2^{0}=100$, $N(3)=100\cdot 2^{1}=200$, $N(6)=100\cdot 2^{2}=400$. La population est multipliée par $2$ à chaque intervalle de trois ans : le temps de doublement est donc de $3$ ans. Cela se lit directement dans l'exposant $\frac{t}{3}$, qui augmente exactement de $1$ lorsque $t$ augmente de $3$, ce qui multiplie la base par elle-même une fois de plus. Le doublement ne dépend pas du point de départ : de $6$ à $9$ ans, la population passera de $400$ à $800$, encore un facteur $2$ ✓.

b) Pour $N(t)=800$ : $100\cdot 2^{t/3}=800$ donne $2^{t/3}=8=2^{3}$, donc $\frac{t}{3}=3$ et $t=9$ ans. Aucun logarithme n'est nécessaire parce que $8$ est une puissance ENTIÈRE de $2$, et l'on retrouve d'ailleurs trois doublements successifs, $100\to 200\to 400\to 800$, soit trois fois trois ans ✓. Pour $N(t)=1000$ : $2^{t/3}=10$, et cette fois $10$ n'est pas une puissance de $2$. Il faut le logarithme : $\frac{t}{3}=\log_{2}10=\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3{,}3219$, donc $t\approx 9{,}97$ ans. Le résultat est cohérent, un peu au-delà des $9$ ans du cas précédent puisque $1000>800$ ✓.