Exercice 1 : Reconnaître et évaluer une fonction exponentielle

On considère la fonction $f(x)=3\cdot 2^{x}$ .

a) Calculez $f(0)$ , $f(1)$ et $f(3)$ .
b) Donnez l'équation de l'asymptote horizontale.
c) La fonction est-elle croissante ou décroissante ? Justifiez.
d) Parmi $g(x)=(-2)^{x}$ , $h(x)=5^{x}$ et $i(x)=x^{3}$ , laquelle est une fonction exponentielle ? Justifiez.

Voir la correction

a) $f(0)=3$ , $f(1)=6$ , $f(3)=24$ .

b) $y=0$ .

c) Croissante : base $2>1$ et $a=3>0$ .

d) Seule $h(x)=5^{x}$ : $g$ a une base négative et $i$ est une fonction puissance (variable à la base).

Exercice 2 : Forme canonique et transformations

On considère la fonction $f(x)=2\cdot 3^{x-1}+4$ .

a) Donnez l'équation de l'asymptote horizontale.
b) Calculez $f(1)$ et $f(2)$ .
c) La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
d) Donnez l'image (codomaine) de f.
e) À partir de $y=2^{x}$ , décrivez les transformations menant à $h(x)=2^{x+3}-5$ et donnez son asymptote.

Voir la correction

a) $y=4$ .

b) $f(1)=2\cdot 3^{0}+4=6$ ; $f(2)=2\cdot 3^{1}+4=10$ .

c) Croissante : base $3>1$ et $a=2>0$ .

d) Ima $=\,]4,\ +\infty[$ .

e) Translation de 3 vers la gauche et de 5 vers le bas ; asymptote $y=-5$ .

Exercice 3 : Équations exponentielles

Résolvez les équations suivantes en ramenant les deux membres à une même base.

a) $2^{x}=16$
b) $3^{x+1}=81$
c) $5^{2x-1}=125$
d) $2^{x}\cdot 2^{3}=2^{7}$
e) $4^{x}=8$

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a) $2^{x}=2^{4}\Rightarrow x=4$ .

b) $3^{x+1}=3^{4}\Rightarrow x+1=4\Rightarrow x=3$ .

c) $5^{2x-1}=5^{3}\Rightarrow 2x-1=3\Rightarrow x=2$ .

d) $2^{x+3}=2^{7}\Rightarrow x+3=7\Rightarrow x=4$ .

e) $2^{2x}=2^{3}\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}$ .

Exercice 4 : Zéro, asymptote et graphique

On considère la fonction $f(x)=2^{x-1}-2$ .

a) Donnez l'équation de l'asymptote horizontale.
b) Calculez $f(1)$ et $f(3)$ .
c) Calculez l'ordonnée à l'origine.
d) Déterminez le zéro de la fonction.

Voir la correction

a) $y=-2$ .

b) $f(1)=2^{0}-2=-1$ ; $f(3)=2^{2}-2=2$ .

c) $f(0)=2^{-1}-2=-1{,}5$ .

d) $2^{x-1}=2\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2$ . Zéro : $x=2$ .

Exercice 5 : Problème : la croissance d'un village

La population d'un village en pleine expansion est modélisée par $P(t)=8000\cdot 2^{0{,}1t}$ , où t est le nombre d'années écoulées depuis 2020.

a) Quelle était la population en 2020 ?
b) Quelle sera la population en 2030 ?
c) En quelle année la population atteindra-t-elle 32 000 habitants ?
d) La population est-elle croissante ? Justifiez.

Voir la correction

a) $P(0)=8000$ habitants.

b) $P(10)=8000\cdot 2^{1}=16\,000$ habitants.

c) $8000\cdot 2^{0{,}1t}=32\,000\Rightarrow 2^{0{,}1t}=4=2^{2}\Rightarrow 0{,}1t=2\Rightarrow t=20$ , soit en 2040.

d) Croissante : la base $2>1$ et l'exposant $0{,}1t$ augmente avec t.

Exercice 6 : Lecture graphique et tracé

On considère la fonction $f(x)=2^{x}-3$ . Le repère ci-dessous est vierge : c'est à vous de tracer la courbe.

a) Donnez la base, l'équation de l'asymptote horizontale et les coordonnées de deux points de la courbe.
b) Tracez la courbe de f dans le repère.
c) À l'aide de votre tracé, déterminez le zéro de f (valeur exacte) et résolvez l'inéquation $f(x)>-2$ .

Voir la correction

a) Base $2$ ; asymptote $y=-3$ ; par exemple les points $(0,\ -2)$ et $(2,\ 1)$ .

b) Voir le tracé ci-dessous.

c) Zéro : $2^{x}=3\Rightarrow x=\log_2(3)\approx 1{,}58$ . $f(x)>-2\Rightarrow 2^{x}>1\Rightarrow x>0$ , soit $]0,\ +\infty[$ .

Exercices corrigés : les fonctions exponentielles (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Reconnaître et évaluer une fonction exponentielle

Exercice 2 : Forme canonique et transformations

Exercice 3 : Équations exponentielles

Exercice 4 : Zéro, asymptote et graphique

Exercice 5 : Problème : la croissance d'un village

Exercice 6 : Lecture graphique et tracé

Voir aussi

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