Exercice 1 : Propriétés de la fonction logarithme

On considère la fonction $f(x)=\log_2(x)$ .

a) Donnez le domaine de f.
b) Calculez $f(1)$ , $f(2)$ , $f(8)$ et $f\left(\frac{1}{2}\right)$ .
c) Donnez l'équation de l'asymptote verticale.
d) La fonction est-elle croissante ou décroissante ? Justifiez.

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a) Dom $=\,]0,\ +\infty[$ .

b) $f(1)=0$ , $f(2)=1$ , $f(8)=3$ , $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ .

c) $x=0$ (l'axe des y).

d) Croissante : la base $2>1$ .

Exercice 2 : Réciproque de l'exponentielle

Soit $f(x)=\log_3(x)$ et $g(x)=3^{x}$ .

a) De quelle fonction $f$ est-elle la réciproque ? Par rapport à quelle droite les deux courbes sont-elles symétriques ?
b) Calculez $f(g(2))$ et $g(f(9))$ .
c) Expliquez pourquoi $\log_3(3^{x})=x$ pour tout réel x.

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a) $f$ est la réciproque de $g(x)=3^{x}$ ; les courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ .

b) $f(g(2))=\log_3(9)=2$ ; $g(f(9))=3^{\log_3(9)}=9$ .

c) Par définition, $\log_3(3^{x})$ est l'exposant qu'il faut donner à 3 pour obtenir $3^{x}$ : c'est $x$ .

Exercice 3 : Équations logarithmiques

Déterminez le domaine d'existence, puis résolvez. Vérifiez vos solutions.

a) $\log_2(x)=5$
b) $\log(x-1)=2$
c) $\ln(x)=0$
d) $\log_3(x)+\log_3(2)=\log_3(10)$

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a) Domaine $x>0$ . $x=2^{5}=32$ .

b) Domaine $x>1$ . $x-1=10^{2}=100\Rightarrow x=101$ .

c) Domaine $x>0$ . $x=e^{0}=1$ .

d) Domaine $x>0$ . $\log_3(2x)=\log_3(10)\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$ .

Exercice 4 : Inéquations logarithmiques

Déterminez le domaine d'existence, puis résolvez chaque inéquation. Attention au sens de l'inégalité lorsque la base est entre 0 et 1.

a) $\log_2(x)>3$
b) $\log(x)\leq 2$
c) $\log_{1/2}(x)>1$
d) $\log_3(x-1)<2$

Voir la correction

a) Domaine $x>0$ . $\log_2(x)>3\Rightarrow x>2^{3}=8$ . Solution : $]8,\ +\infty[$ .

b) Domaine $x>0$ . $\log(x)\leq 2\Rightarrow x\leq 10^{2}=100$ . Solution : $]0,\ 100]$ .

c) Domaine $x>0$ . Base $\frac{1}{2}<1$ : le sens s'inverse. $\log_{1/2}(x)>1\Rightarrow x<\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2}$ . Solution : $\left]0,\ \frac{1}{2}\right[$ .

d) Domaine $x>1$ . $\log_3(x-1)<2\Rightarrow x-1<3^{2}=9\Rightarrow x<10$ . Solution : $]1,\ 10[$ .

Exercice 5 : Problème : l'élimination d'un médicament

Après une injection, la quantité d'un médicament dans le sang (en mg) est modélisée par $q(t)=10\cdot(0{,}8)^{t}$ , où t est le temps écoulé (en heures).

a) Quelle est la quantité initiale de médicament ?
b) Quelle quantité reste-t-il après 3 heures ?
c) Après combien d'heures reste-t-il moins de 2 mg ?
d) Le médicament disparaît-il complètement ? Justifiez à l'aide de l'asymptote.

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a) $q(0)=10$ mg.

b) $q(3)=10\cdot(0{,}8)^{3}=5{,}12$ mg.

c) $10\cdot(0{,}8)^{t}<2\Rightarrow (0{,}8)^{t}<0{,}2\Rightarrow t>\frac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}8}\approx 7{,}21$ h (le sens s'inverse car $\ln 0{,}8<0$ ). Reste sous 2 mg à partir d'environ 7,21 h.

d) Non : $(0{,}8)^{t}>0$ pour tout t, donc $q(t)>0$ ; la quantité tend vers 0 (asymptote $y=0$ ) sans jamais l'atteindre.

Exercice 6 : Lecture graphique et tracé

On considère la fonction $f(x)=\log_2(x-1)$ . Le repère ci-dessous est vierge : c'est à vous de tracer la courbe.

a) Donnez le domaine de f et l'équation de son asymptote verticale.
b) Donnez trois points de la courbe, puis tracez-la dans le repère.
c) À l'aide de votre tracé, déterminez le zéro de f et résolvez l'inéquation $f(x)\geq 1$ .

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a) Domaine $]1,\ +\infty[$ ; asymptote verticale $x=1$ .

b) $(2,\ 0)$ , $(3,\ 1)$ , $(5,\ 2)$ . Voir le tracé ci-dessous.

c) Zéro en $x=2$ (car $\log_2(x-1)=0\Rightarrow x-1=1$ ). $f(x)\geq 1\Rightarrow x-1\geq 2\Rightarrow x\geq 3$ , soit $[3,\ +\infty[$ .

Exercices corrigés : les fonctions logarithmiques (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Propriétés de la fonction logarithme

Exercice 2 : Réciproque de l'exponentielle

Exercice 3 : Équations logarithmiques

Exercice 4 : Inéquations logarithmiques

Exercice 5 : Problème : l'élimination d'un médicament

Exercice 6 : Lecture graphique et tracé

Voir aussi

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