Exercices corrigés : les fonctions logarithmiques (math SN5)

Toute la série repose sur une seule phrase, qu'il faut se répéter à chaque question : $\log_{2}(x)$ est L'EXPOSANT qu'il faut donner à $2$ pour obtenir $x$. Un logarithme n'est pas une opération mystérieuse, c'est un exposant qu'on cherche.

a) Le domaine est $]0\,;+\infty[$. La raison découle directement de la définition : $\log_{2}(x)=y$ signifie $2^{y}=x$, or une puissance de base positive est TOUJOURS strictement positive, donc aucun exposant ne peut produire un $x$ négatif ou nul. Il n'existe pas d'exposant $y$ tel que $2^{y}=0$, et encore moins tel que $2^{y}=-5$. C'est pour cela que le domaine exclut $0$ et tous les négatifs, et c'est la première chose à poser dans tout exercice de logarithme.

b) $f(1)=\log_{2}1=0$, car $2^{0}=1$. $f(2)=\log_{2}2=1$, car $2^{1}=2$. $f(8)=\log_{2}8=3$, car $2^{3}=8$. $f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_{2}\frac{1}{2}=-1$, car $2^{-1}=\frac{1}{2}$. Retenez que le logarithme d'un nombre INFÉRIEUR à $1$ est négatif, ce qui est logique puisqu'il faut un exposant négatif pour descendre sous $1$, et que $\log_{a}1=0$ dans TOUTE base, puisque toute puissance d'exposant nul vaut $1$.

c) L'asymptote verticale est $x=0$, c'est-à-dire l'axe des ordonnées. Quand $x$ s'approche de $0$ par la droite, $\log_{2}(x)$ plonge vers $-\infty$ : $\log_{2}\left(\frac{1}{1024}\right)=-10$, et il faudrait descendre encore pour des $x$ plus petits. C'est le miroir exact de l'asymptote HORIZONTALE de la fonction exponentielle, et cette symétrie sera l'objet de l'exercice 2.

d) CROISSANTE, parce que la base $2$ est supérieure à $1$. On le vérifie sur les valeurs de b), qui augmentent dans l'ordre $-1,\ 0,\ 1,\ 3$ pour des $x$ croissants ✓. Une remarque essentielle sur la VITESSE de cette croissance, car elle est contre-intuitive : le logarithme croît de plus en plus lentement. Il faut $x=8$ pour atteindre $3$, mais $x=1024$ pour atteindre seulement $10$, et $x$ supérieur à un million pour atteindre $20$. Plus précisément, chaque fois qu'on DOUBLE $x$, le logarithme en base $2$ n'augmente que de $1$. C'est exactement le comportement inverse de l'exponentielle, qui explose, et c'est ce qui rend le logarithme utile pour représenter des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur, comme on le verra à l'exercice 10.

a) $f$ est la réciproque de $g(x)=3^{x}$, et cela se lit dans la définition même : $\log_{3}(x)$ est l'exposant à donner à $3$ pour obtenir $x$, donc appliquer $\log_{3}$ défait exactement ce que fait $3^{x}$. Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$, qui est la droite de symétrie de toute paire fonction-réciproque. Cette symétrie échange les abscisses et les ordonnées, donc elle échange le domaine et l'image : $g$ a pour domaine $\mathbb{R}$ et pour image $]0\,;+\infty[$, tandis que $f$ a pour domaine $]0\,;+\infty[$ et pour image $\mathbb{R}$. Elle échange aussi les asymptotes, l'horizontale $y=0$ de $g$ devenant la verticale $x=0$ de $f$.

b) $f(g(2))=\log_{3}\left(3^{2}\right)=\log_{3}9=2$ : on est revenu au point de départ. $g(f(9))=3^{\log_{3}9}=3^{2}=9$ : de même. Les deux compositions se font dans des ordres différents et redonnent chacune l'argument initial, ce qui est la définition précise de deux fonctions réciproques l'une de l'autre.

c) $\log_{3}\left(3^{x}\right)$ demande : quel exposant faut-il donner à $3$ pour obtenir $3^{x}$ ? La réponse se lit dans la question elle-même, c'est $x$. L'égalité $\log_{3}\left(3^{x}\right)=x$ est donc vraie pour TOUT réel $x$, sans aucune restriction, parce que $3^{x}$ est toujours strictement positif et appartient donc toujours au domaine du logarithme. L'égalité symétrique $3^{\log_{3}(x)}=x$ est vraie elle aussi, mais SEULEMENT pour $x>0$ : il faut que $\log_{3}(x)$ existe pour pouvoir l'écrire. Cette asymétrie de domaine entre les deux identités est un point de barème fréquent, et elle est la traduction algébrique du fait que le domaine de l'une est l'image de l'autre.

Méthode en trois temps, toujours la même : on pose le DOMAINE d'existence, on passe à la forme exponentielle pour résoudre, puis on VÉRIFIE que la solution appartient au domaine. Sauter la première étape est ce qui fait accepter des solutions inexistantes.

a) Domaine : $x>0$. L'égalité $\log_{2}(x)=5$ signifie, par définition du logarithme, que $5$ est l'exposant à donner à $2$ pour obtenir $x$ : donc $x=2^{5}=32$. Cette valeur est bien positive : admissible. Vérification : $\log_{2}32=5$ car $2^{5}=32$ ✓.

b) Domaine : l'argument doit être strictement positif, donc $x-1>0$ et $x>1$. La notation $\log$ sans indice désigne le logarithme DÉCIMAL, de base $10$ : c'est une convention à connaître, et la confondre avec $\ln$ change complètement la réponse. On obtient $x-1=10^{2}=100$, donc $x=101$. Comme $101>1$, la solution est admissible ✓.

c) Domaine : $x>0$. La notation $\ln$ désigne le logarithme NÉPÉRIEN, de base $e\approx 2{,}718$. Donc $x=e^{0}=1$, puisque toute puissance d'exposant nul vaut $1$. Comme $1>0$, admissible ✓. Notez que $\log_{a}1=0$ dans n'importe quelle base : la réponse aurait été la même avec $\log_{2}$ ou $\log_{10}$.

d) Domaine : $x>0$. On rassemble d'abord le membre de gauche avec la loi du produit, $\log_{3}(x)+\log_{3}(2)=\log_{3}(2x)$, ce qui donne $\log_{3}(2x)=\log_{3}(10)$. Deux logarithmes de MÊME BASE sont égaux si et seulement si leurs arguments le sont, la fonction étant strictement monotone donc injective : $2x=10$, d'où $x=5$. Comme $5>0$, admissible ✓. Vérification numérique : $\log_{3}5+\log_{3}2=\log_{3}10$ ✓, ce qui n'est autre que la loi du produit relue à l'envers.

Deux réflexes gouvernent toute inéquation logarithmique. Premièrement, poser le DOMAINE avant de résoudre, et l'intersecter avec le résultat à la fin. Deuxièmement, surveiller la base : si elle est supérieure à $1$, le logarithme est croissant et le sens de l'inégalité est conservé ; si elle est entre $0$ et $1$, il est décroissant et le sens s'INVERSE.

a) Domaine : $x>0$. Base $2>1$, donc le sens est conservé : $\log_{2}(x)>3$ équivaut à $x>2^{3}=8$. En intersectant avec le domaine, qui est déjà contenu dans $]8\,;+\infty[$, la solution est $]8\,;+\infty[$. Contrôle : $\log_{2}16=4>3$ ✓ et $\log_{2}4=2$, qui n'est pas supérieur à $3$ ✓.

b) Domaine : $x>0$. Base $10>1$, sens conservé : $\log(x)\leq 2$ équivaut à $x\leq 10^{2}=100$. Ici l'intersection avec le domaine est indispensable, car elle apporte la borne de GAUCHE que l'inéquation ne donnait pas : la solution est $]0\,;100]$, et non $]-\infty\,;100]$. Oublier cette borne est l'erreur la plus fréquente de la question, et elle inclurait des valeurs pour lesquelles l'expression n'existe même pas.

c) Domaine : $x>0$. La base $\frac{1}{2}$ est INFÉRIEURE à $1$, donc le logarithme est décroissant et le sens s'inverse : $\log_{1/2}(x)>1$ équivaut à $x<\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2}$. En intersectant avec le domaine : $\left]0\,;\frac{1}{2}\right[$. Contrôle numérique, indispensable quand on a inversé un sens : pour $x=\frac{1}{4}$, on a $\log_{1/2}\frac{1}{4}=2$ puisque $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$, et $2>1$ ✓ ; pour $x=1$, $\log_{1/2}1=0$, qui n'est pas supérieur à $1$ ✓.

d) Domaine : l'argument doit être positif, donc $x-1>0$ et $x>1$. Base $3>1$, sens conservé : $\log_{3}(x-1)<2$ équivaut à $x-1<3^{2}=9$, donc $x<10$. En intersectant avec le domaine : $]1\,;10[$. Les deux bornes ont des origines distinctes, et il faut savoir le dire : celle de gauche vient du DOMAINE, celle de droite vient de l'INÉQUATION. Une réponse $]-\infty\,;10[$ oublierait la première.

a) L'argument du logarithme doit être strictement positif : $x-1>0$, donc $x>1$ et le domaine est $]1\,;+\infty[$. L'asymptote verticale est la droite $x=1$, c'est-à-dire la frontière du domaine. C'est un principe général : l'asymptote d'une fonction logarithmique se trouve toujours là où son argument s'annule, et elle se lit donc directement sur la règle sans aucun calcul. Par rapport à la fonction de base $\log_{2}(x)$, la courbe a subi une translation de $1$ unité vers la droite, ce qui a emporté l'asymptote avec elle.

b) On choisit des abscisses qui rendent l'argument égal à une PUISSANCE de $2$, sinon on obtient des valeurs irrationnelles impossibles à placer. Il faut $x-1\in\{1,\ 2,\ 4,\ 8\}$, donc $x\in\{2,\ 3,\ 5,\ 9\}$, ce qui donne les points $(2\,;0)$, $(3\,;1)$, $(5\,;2)$ et $(9\,;3)$. Observez l'écartement des abscisses, $2,\ 3,\ 5,\ 9$ : les écarts valent $1,\ 2,\ 4$ et DOUBLENT à chaque fois, alors que les ordonnées ne montent que de $1$. C'est la lenteur caractéristique du logarithme, et c'est aussi ce qui rend le tracé facile une fois qu'on a compris le principe. On peut ajouter un point à gauche pour montrer la plongée : $x=1{,}5$ donne $\log_{2}(0{,}5)=-1$, donc le point $(1{,}5\,;-1)$.

c) Le zéro s'obtient en résolvant $\log_{2}(x-1)=0$, donc $x-1=2^{0}=1$ et $x=2$. Ce résultat était prévisible sans calcul : le logarithme s'annule quand son argument vaut $1$, donc toujours une unité à droite de l'asymptote. Pour l'inéquation $f(x)\geq 1$ : la base $2$ étant supérieure à $1$, le sens est conservé, donc $x-1\geq 2^{1}=2$, d'où $x\geq 3$. En intersectant avec le domaine $]1\,;+\infty[$, qui est déjà contenu dans le résultat, la solution est $[3\,;+\infty[$. Sur le tracé, c'est la portion de courbe située au-dessus de la hauteur $1$, à droite du point $(3\,;1)$ déjà placé en b) ✓.

a) La quantité initiale correspond à $t=0$ : $q(0)=10\cdot(0{,}8)^{0}=10\times 1=10$ mg. Le coefficient placé devant la puissance est toujours la valeur au temps zéro, puisque toute puissance d'exposant nul vaut $1$.

b) $q(3)=10\cdot(0{,}8)^{3}=10\times 0{,}512=5{,}12$ mg. Lecture du modèle, qui aide à contrôler l'ordre de grandeur : la base $0{,}8$ signifie qu'il reste $80$ % du médicament après chaque heure, donc que $20$ % est éliminé par heure. Après trois heures il reste $0{,}8\times 0{,}8\times 0{,}8=51{,}2$ % de la dose, ce qui est bien un peu plus de la moitié ✓. Attention à ne pas confondre avec une élimination linéaire, qui aurait retiré $2$ mg par heure et donné $4$ mg : le pourcentage porte à chaque fois sur la quantité RESTANTE, pas sur la quantité initiale.

c) On résout $10\cdot(0{,}8)^{t}<2$, soit $(0{,}8)^{t}<0{,}2$. La base $0{,}8$ n'admet pas $0{,}2$ comme puissance entière, il faut donc le logarithme. En appliquant $\ln$, qui est croissante et préserve le sens : $t\ln 0{,}8<\ln 0{,}2$. On divise ensuite par $\ln 0{,}8$, qui est NÉGATIF puisque $0{,}8<1$ : le sens s'INVERSE. On obtient $t>\frac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}8}\approx\frac{-1{,}609}{-0{,}223}\approx 7{,}21$ heures. Il reste donc moins de $2$ mg à partir d'environ $7$ h $13$ min. Contrôle : $q(7)\approx 2{,}10$ mg, encore au-dessus ✓, et $q(8)\approx 1{,}68$ mg, en dessous ✓.

d) Non, le médicament ne disparaît jamais complètement. La puissance $(0{,}8)^{t}$ est strictement positive pour tout $t$, si petite soit-elle, donc $q(t)>0$ toujours. La courbe s'approche de son asymptote $y=0$ sans jamais l'atteindre. Mathématiquement l'élimination est infinie, mais il faut savoir nuancer dans l'interprétation, et un examen valorise cette nuance : en pratique la quantité devient rapidement indétectable, par exemple $q(50)\approx 0{,}00014$ mg, et surtout le modèle continu cesse d'avoir un sens quand il ne reste plus qu'un nombre fini de molécules.

a) L'asymptote verticale d'une fonction $a\log_{2}(x-h)$ se trouve là où l'argument s'annule, c'est-à-dire en $x=h$. L'énoncé donne l'asymptote $x=2$, donc $h=2$, sans aucun calcul. Le domaine est alors $]2\,;+\infty[$, l'argument $x-2$ devant être strictement positif. On remarque que le paramètre $a$ n'intervient ni dans l'asymptote ni dans le domaine : il n'agit que verticalement.

b) Il ne reste qu'une inconnue, et l'énoncé fournit exactement un point. On substitue $(6\,;6)$ dans $f(x)=a\log_{2}(x-2)$ : $f(6)=a\log_{2}(6-2)=a\log_{2}4$. Or $\log_{2}4=2$ puisque $2^{2}=4$, donc $f(6)=2a$, et cette valeur doit être $6$ : $2a=6$ et $a=3$. Règle : $f(x)=3\log_{2}(x-2)$. Notez pourquoi le point $(6\,;6)$ a été choisi par l'énoncé : il rend l'argument égal à $4$, une puissance de $2$, ce qui permet de calculer le logarithme de tête.

c) $f(3)=3\log_{2}(3-2)=3\log_{2}1=3\times 0=0$ ✓, la courbe passe bien par $(3\,;0)$. Ce point était prévisible pour TOUTE valeur de $a$, et la raison est que $\log_{2}1=0$ : quel que soit le facteur $a$, multiplier $0$ donne $0$. Autrement dit, une fonction de la forme $a\log_{b}(x-h)$ coupe toujours l'axe des $x$ exactement UNE unité à droite de son asymptote, là où l'argument vaut $1$. C'est un point de repère gratuit qu'il faut placer en premier sur tout tracé de logarithme, avant même de connaître $a$.

d) $3\log_{2}(x-2)=9$ donne $\log_{2}(x-2)=3$, donc $x-2=2^{3}=8$ et $x=10$. Cette valeur appartient bien au domaine $]2\,;+\infty[$ : admissible ✓. Vérification complète : $f(10)=3\log_{2}8=3\times 3=9$ ✓. Notez la progression des points obtenus, $(3\,;0)$, $(6\,;6)$, $(10\,;9)$ : pour gagner les trois premières unités de hauteur il a fallu avancer de $1$ à $4$ en argument, et pour les trois suivantes de $4$ à $8$, soit un doublement à chaque fois. La lenteur du logarithme se retrouve identique après multiplication par $a=3$, car $a$ étire la courbe verticalement sans changer sa forme.

a) Domaine d'abord : l'argument $x-3$ doit être strictement positif, donc $x>3$. La base $\frac{1}{2}$ est inférieure à $1$, donc le logarithme est DÉCROISSANT et le passage à la forme exponentielle inverse le sens : $\log_{1/2}(x-3)\geq -3$ devient $x-3\leq\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$. On calcule cette puissance avec soin : un exposant négatif donne l'inverse, donc $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=2^{3}=8$. D'où $x-3\leq 8$ et $x\leq 11$. En intersectant avec le domaine : $]3\,;11]$. Les deux bornes ont des origines différentes, celle de gauche venant du domaine et celle de droite de l'inéquation.

b) Domaine : $2x>0$, donc $x>0$. Base $\frac{1}{3}<1$, le sens s'inverse : $\log_{1/3}(2x)<-2$ devient $2x>\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9$, donc $x>\frac{9}{2}=4{,}5$. En intersectant avec le domaine $]0\,;+\infty[$, qui est déjà contenu dans le résultat, la solution est $\left]\frac{9}{2}\,;+\infty\right[$. Remarquez la cohérence interne : l'inéquation demandait un logarithme TRÈS NÉGATIF, or avec une base inférieure à $1$ cela correspond à un argument GRAND, et l'on trouve bien une solution vers l'infini.

c) Pour a), test intérieur $x=7$ : l'argument vaut $4$, et $\log_{1/2}4=-2$ puisque $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4$. Or $-2\geq -3$ ✓, l'inéquation est vérifiée. Test extérieur $x=12$ : l'argument vaut $9$, et $\log_{1/2}9=\frac{\ln 9}{\ln 0{,}5}\approx -3{,}17$, qui n'est pas supérieur ou égal à $-3$ ✗, conforme au rejet. Pour b), test intérieur $x=5$ : l'argument vaut $10$, et $\log_{1/3}10=\frac{\ln 10}{\ln(1/3)}\approx -2{,}10<-2$ ✓. Test extérieur $x=4$ : l'argument vaut $8$, et $\log_{1/3}8\approx -1{,}89$, qui n'est pas inférieur à $-2$ ✗, conforme. Les quatre tests confirment les deux ensembles-solutions. Ce contrôle est particulièrement utile ici : dès qu'on a inversé un sens d'inégalité, un point-test de chaque côté est le seul moyen rapide de s'assurer qu'on ne l'a pas inversé une fois de trop ou une fois de trop peu.

a) $p(4)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$. On calcule la puissance : $\left(\frac{5}{6}\right)^{4}=\frac{5^{4}}{6^{4}}=\frac{625}{1296}\approx 0{,}482$. Donc $p(4)\approx 1-0{,}482=0{,}518$. Comprenez la structure du raisonnement, car c'est elle qui compte : calculer directement la probabilité d'AU MOINS un six exigerait de distinguer les cas un six, deux six, trois six, quatre six. On passe donc par l'ÉVÉNEMENT CONTRAIRE, aucun six, dont la probabilité est un simple produit, $\frac{5}{6}$ à chaque lancer puisque les lancers sont indépendants.

b) L'exigence $p(n)>0{,}95$ s'écrit $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}>0{,}95$. On isole la puissance : $-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}>-0{,}05$, puis en multipliant par $-1$ et en RENVERSANT le sens, $\left(\frac{5}{6}\right)^{n}<0{,}05$. Ce renversement est le premier des deux de l'exercice, et il vaut mieux le faire explicitement plutôt que de tête. La condition est donc que la probabilité de n'obtenir aucun six tombe sous $5$ %.

c) La base $\frac{5}{6}$ n'admet pas $0{,}05$ comme puissance simple, il faut le logarithme. En appliquant $\ln$, qui est croissante et préserve le sens : $n\ln\frac{5}{6}<\ln 0{,}05$. Il faut maintenant diviser par $\ln\frac{5}{6}$, qui est NÉGATIF puisque $\frac{5}{6}<1$ : second renversement. On obtient $n>\frac{\ln 0{,}05}{\ln(5/6)}\approx\frac{-2{,}996}{-0{,}182}\approx 16{,}43$. Le nombre de lancers étant nécessairement ENTIER, et l'inégalité étant stricte, il faut prendre l'entier immédiatement supérieur : $n=17$. Arrondir à $16$ serait une faute, car $16{,}43$ ne convient pas et l'on cherche à DÉPASSER le seuil.

d) $p(16)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{16}\approx 1-0{,}054=0{,}946$, qui est inférieur à $0{,}95$ : seize lancers ne suffisent PAS ✓. $p(17)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{17}\approx 1-0{,}045=0{,}955$, qui dépasse $0{,}95$ ✓. La réponse $n=17$ est donc confirmée, et l'encadrement par les deux entiers voisins est la seule vérification qui prouve la MINIMALITÉ. Une lecture pour finir : il faut dix-sept lancers pour être sûr à $95$ % de voir un six, alors que la probabilité d'un six sur un lancer est de $\frac{1}{6}\approx 17$ %. L'intuition de beaucoup d'élèves, qui propose six lancers, donne en réalité $p(6)\approx 0{,}665$, à peine deux chances sur trois.

a) $\text{pH}=-\log_{10}\left(10^{-3}\right)$. Le logarithme décimal d'une puissance de $10$ est simplement son exposant, donc $\log_{10}\left(10^{-3}\right)=-3$, et le signe moins de la définition donne $\text{pH}=-(-3)=3$. De même $\text{pH}=-\log_{10}\left(10^{-8}\right)=8$. Observez le sens de variation : une concentration PLUS FAIBLE, $10^{-8}$ contre $10^{-3}$, donne un pH PLUS ÉLEVÉ. C'est le signe moins de la définition qui produit cette inversion, et c'est pourquoi une solution de pH $8$ est basique alors qu'une solution de pH $3$ est acide.

b) De $\text{pH}=-\log_{10}\left[\text{H}^{+}\right]=4$, on tire $\log_{10}\left[\text{H}^{+}\right]=-4$, puis en appliquant la réciproque du logarithme décimal, c'est-à-dire la puissance de $10$ : $\left[\text{H}^{+}\right]=10^{-4}$ mol/L. Retenez la règle pratique, qui évite tout calcul quand le pH est entier : la concentration est $10$ à la puissance $-\text{pH}$.

c) L'acidité se mesure par la concentration en ions $\text{H}^{+}$, pas par le pH lui-même : la question demande donc un rapport de CONCENTRATIONS. Pour A, $\left[\text{H}^{+}\right]_{A}=10^{-3}$ ; pour B, $\left[\text{H}^{+}\right]_{B}=10^{-6}$. Le rapport vaut $\frac{10^{-3}}{10^{-6}}=10^{-3-(-6)}=10^{3}=1000$. La solution A est donc $1000$ fois plus acide que la solution B, et non deux fois comme le suggérerait le rapport $\frac{6}{3}$ des pH. C'est tout le principe d'une échelle logarithmique : une différence ADDITIVE de $3$ unités sur le pH correspond à un facteur MULTIPLICATIF de $10^{3}$ sur la concentration. Confondre les deux lectures est l'erreur centrale du chapitre.

d) $L=10\log_{10}\frac{1000\,I_{0}}{I_{0}}=10\log_{10}(1000)=10\times 3=30$ décibels, le rapport $\frac{I_{0}}{I_{0}}$ se simplifiant avant tout calcul. Si l'on DOUBLE l'intensité, la nouvelle valeur est $10\log_{10}\frac{2I}{I_{0}}=10\left(\log_{10}2+\log_{10}\frac{I}{I_{0}}\right)=10\log_{10}2+L$, soit une augmentation de $10\log_{10}2\approx 3{,}01$ décibels. Deux remarques importantes. D'abord, cette augmentation ne dépend PAS du niveau de départ : doubler ajoute toujours environ $3$ dB, que l'on parte de $30$ ou de $90$ dB, ce qui est la propriété caractéristique de la loi du produit. Ensuite, elle explique un fait acoustique bien connu : deux haut-parleurs identiques ne font pas un son deux fois plus fort, ils n'ajoutent que $3$ dB, à peine perceptible. Pour gagner $10$ dB, il faudrait multiplier l'intensité par $10$, donc dix haut-parleurs.