Exercice 1 : Forme canonique

Écrivez chaque trinôme sous la forme canonique $a(x-h)^2+k$ .

a) $f(x)=x^2-6x+5$
b) $g(x)=2x^2+8x+3$
c) $h(x)=-x^2+4x-1$

Voir la correction

a) $h=3$ , $k=f(3)=-4$ : $f(x)=(x-3)^2-4$ .

b) $h=-2$ , $k=g(-2)=-5$ : $g(x)=2(x+2)^2-5$ .

c) $h=2$ , $k=h(2)=3$ : $h(x)=-(x-2)^2+3$ .

Exercice 2 : Discriminant, racines et factorisation

Pour chaque équation, calculez le discriminant, puis résolvez. Donnez la forme factorisée lorsqu'elle existe.

a) $x^2-5x+6=0$
b) $2x^2-7x+3=0$
c) $x^2+4x+4=0$
d) $x^2+x+1=0$

Voir la correction

a) $\Delta=1$ ; $x=3$ ou $x=2$ ; $(x-2)(x-3)$ .

b) $\Delta=25$ ; $x=3$ ou $x=\frac{1}{2}$ ; $(x-3)(2x-1)$ .

c) $\Delta=0$ ; racine double $x=-2$ ; $(x+2)^2$ .

d) $\Delta=-3<0$ : aucune racine réelle, pas de factorisation.

Exercice 3 : Inéquations et signe du trinôme

Résolvez chaque inéquation en étudiant le signe du trinôme.

a) $x^2-2x-3\geq 0$
b) $-x^2+4x-3>0$
c) $x^2+2x+5>0$

Voir la correction

a) Racines $-1$ et $3$ , $a>0$ : positif à l'extérieur. Solution : $]-\infty,\ -1]\cup[3,\ +\infty[$ .

b) Équivaut à $x^2-4x+3<0$ , racines $1$ et $3$ : négatif entre les racines. Solution : $]1,\ 3[$ .

c) $\Delta=-16<0$ et $a>0$ : toujours positif. Solution : $\mathbb{R}$ .

Exercice 4 : Retrouver la règle d'une parabole

Déterminez la règle demandée.

a) Une parabole a pour sommet $(2,\ -1)$ et passe par le point $(0,\ 3)$ . Donnez sa règle sous forme canonique, puis développée.
b) Une parabole coupe l'axe des x en $(-1,\ 0)$ et $(4,\ 0)$ et passe par $(0,\ -4)$ . Donnez sa règle sous forme factorisée, puis développée.

Voir la correction

a) $f(x)=a(x-2)^2-1$ ; $f(0)=4a-1=3\Rightarrow a=1$ . Donc $f(x)=(x-2)^2-1=x^2-4x+3$ .

b) $f(x)=a(x+1)(x-4)$ ; $f(0)=-4a=-4\Rightarrow a=1$ . Donc $f(x)=(x+1)(x-4)=x^2-3x-4$ .

Exercice 5 : Problème : la trajectoire d'un plongeon

Un plongeur s'élance d'un plongeoir. Sa hauteur au-dessus de l'eau (en mètres) est donnée par $h(t)=-5t^2+10t+2$ , où t est le temps écoulé (en secondes).

a) De quelle hauteur le plongeur s'élance-t-il ?
b) Quelle hauteur maximale atteint-il, et à quel instant ?
c) À quel instant touche-t-il l'eau ? (valeur arrondie au centième)
d) Pendant combien de temps se trouve-t-il à plus de 5 m au-dessus de l'eau ? (valeur arrondie au centième)

Voir la correction

a) $h(0)=2$ m.

b) Sommet en $t=\frac{-10}{2(-5)}=1$ s ; $h(1)=-5+10+2=7$ m.

c) $-5t^2+10t+2=0\Rightarrow t=\frac{10+\sqrt{140}}{10}\approx 2{,}18$ s.

d) $h(t)>5\Rightarrow -5t^2+10t-3>0\Rightarrow t\in\left]\frac{10-\sqrt{40}}{10},\ \frac{10+\sqrt{40}}{10}\right[\approx\,]0{,}37;\ 1{,}63[$ , soit environ $1{,}26$ s.

Exercice 6 : Sommet, zéros et tracé

On considère la fonction $f(x)=x^2-2x-3$ . Le repère ci-dessous est vierge : c'est à vous de tracer la parabole.

a) Déterminez les coordonnées du sommet, les zéros et l'ordonnée à l'origine de f.
b) Tracez la parabole dans le repère à l'aide d'au moins cinq points.
c) À l'aide de votre tracé, résolvez l'inéquation $f(x)<0$ .

Voir la correction

a) Sommet $(1,\ -4)$ ; zéros $x=-1$ et $x=3$ ; ordonnée à l'origine $f(0)=-3$ .

b) Points utiles : $(-1,0)$ , $(0,-3)$ , $(1,-4)$ , $(2,-3)$ , $(3,0)$ . Voir le tracé.

c) $f(x)<0$ entre les zéros : $]-1,\ 3[$ .

Exercices corrigés : les fonctions quadratiques (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Forme canonique

Exercice 2 : Discriminant, racines et factorisation

Exercice 3 : Inéquations et signe du trinôme

Exercice 4 : Retrouver la règle d'une parabole

Exercice 5 : Problème : la trajectoire d'un plongeon

Exercice 6 : Sommet, zéros et tracé

Voir aussi

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