Exercices corrigés : les fonctions trigonométriques (math SN5)

Angle de référence $\frac{\pi}{3}$, sinus négatif : quadrants 3 et 4. Donc $x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\approx 4{,}189$ et $x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\approx 5{,}236$. Piège : $\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}$, hors de l'intervalle ; on lui ajoute $2\pi$, et l'on n'oublie pas l'autre angle.

Angle de référence $\frac{\pi}{4}$, cosinus négatif : quadrants 2 et 3. Donc $x=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\approx 2{,}356$ et $x=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}\approx 3{,}927$.

On isole : $4\sin x=-2$, donc $\sin x=-\frac{1}{2}$. Angle de référence $\frac{\pi}{6}$, quadrants 3 et 4 : $x=\frac{7\pi}{6}\approx 3{,}665$ et $x=\frac{11\pi}{6}\approx 5{,}760$. Piège : diviser par $4$ avant de retrancher $3$, ce qui donne $\frac{1}{4}-3$ au lieu de $\frac{1-3}{4}$.

$6\cos x=3$, donc $\cos x=\frac{1}{2}$ : $x=\frac{\pi}{3}\approx 1{,}047$ et $x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\approx 5{,}236$.

On pose $u=2x$ : quand $x$ parcourt $[0,\ \pi]$, $u$ parcourt $[0,\ 2\pi]$. $\sin u=\frac{\sqrt{2}}{2}$ donne $u=\frac{\pi}{4}$ ou $u=\frac{3\pi}{4}$, donc $x=\frac{\pi}{8}\approx 0{,}393$ et $x=\frac{3\pi}{8}\approx 1{,}178$. Piège : répondre $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}$, les valeurs de $u$ et non de $x$.

On pose $u=\frac{x}{2}$ : $x\in[0,\ 4\pi]$ donne $u\in[0,\ 2\pi]$. $\cos u=\frac{\sqrt{3}}{2}$ donne $u=\frac{\pi}{6}$ ou $u=\frac{11\pi}{6}$, donc $x=2u$ : $x=\frac{\pi}{3}\approx 1{,}047$ et $x=\frac{11\pi}{3}\approx 11{,}519$. Ici $b=\frac{1}{2}$ : revenir à $x$, c'est MULTIPLIER par $2$.

On pose $u=x-\frac{\pi}{3}$ : $u\in\left[-\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}\right]$. $\sin u=\frac{1}{2}$ donne $u=\frac{\pi}{6}$ ou $u=\frac{5\pi}{6}$, tous deux dans l'intervalle. Donc $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ et $x=\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}\approx 3{,}665$. Piège : retrancher $\frac{\pi}{3}$ au lieu de l'ajouter.

$\cos x=-\frac{2}{5}=-0{,}4$, valeur non remarquable : en mode radian, $\cos^{-1}(-0{,}4)\approx 1{,}982$. Le second angle est $2\pi-1{,}982\approx 4{,}301$. Piège : la calculatrice en degrés, qui affiche $113{,}578$.

On isole : $-4\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)=2$, donc $\sin u=-\frac{1}{2}$ avec $u=2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2x+\frac{\pi}{2}$. Pour $x\in[0,\ \pi]$, $u\in\left[\frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2}\right]$, où $\sin u=-\frac{1}{2}$ donne $u=\frac{7\pi}{6}$ et $u=\frac{11\pi}{6}$. Alors $2x=u-\frac{\pi}{2}$, soit $2x=\frac{2\pi}{3}$ ou $\frac{4\pi}{3}$ : $x=\frac{\pi}{3}\approx 1{,}047$ et $x=\frac{2\pi}{3}\approx 2{,}094$. Piège : diviser par $-4$ en gardant $+2$, d'où $\sin u=+\frac{1}{2}$.

$3\sin x=-5$, donc $\sin x=-\frac{5}{3}\approx-1{,}67$. Un sinus reste entre $-1$ et $1$ : l'équation n'a AUCUNE solution. La calculatrice le signale par une erreur, et c'est la bonne réponse, pas une panne.

$2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2$, donc $\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1$ : c'est le MAXIMUM du cosinus, atteint une seule fois par tour, en $0$. Avec $u=x-\frac{\pi}{4}\in\left[-\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}\right]$, seul $u=0$ convient : une solution, $x=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785$. Piège : chercher un second angle $2\pi-0=2\pi$, qui donne $u=2\pi$, hors de l'intervalle.

Le domaine de la fonction sinus est $\mathbb{R}$ tout entier : on peut enrouler n'importe quel réel, positif ou négatif, autour du cercle trigonométrique, il n'y a aucune valeur interdite. L'image est $[-1\,;1]$, parce que $\sin x$ est l'ORDONNÉE d'un point situé sur un cercle de rayon $1$ : elle ne peut donc pas sortir de l'intervalle borné par le haut et le bas du cercle. Les deux bornes sont ATTEINTES, en $\frac{\pi}{2}$ et en $\frac{3\pi}{2}$, d'où les crochets fermés. C'est le premier réflexe de contrôle du chapitre : toute réponse donnant un sinus ou un cosinus hors de $[-1\,;1]$ est fausse sans autre examen.

Les deux fonctions ont pour période $2\pi$, c'est-à-dire un tour complet : après un tour, le point image revient exactement où il était, donc ses deux coordonnées reprennent les mêmes valeurs. Formellement, $\sin(x+2\pi)=\sin x$ et $\cos(x+2\pi)=\cos x$ pour tout réel $x$. La périodicité est ce qui distingue radicalement ces fonctions de toutes les autres du programme : elles ne sont ni croissantes ni décroissantes globalement, et elles prennent chaque valeur de leur image une infinité de fois.

La fonction $\sin$ est IMPAIRE : $\sin(-x)=-\sin x$. Géométriquement, remplacer $x$ par $-x$ revient à tourner dans l'autre sens, donc à prendre le symétrique du point image par rapport à l'axe des abscisses, ce qui change le signe de l'ORDONNÉE. La fonction $\cos$ est PAIRE : $\cos(-x)=\cos x$, la même symétrie laissant l'ABSCISSE inchangée. Conséquence graphique qu'on peut vérifier sur un tracé : la courbe du sinus est symétrique par rapport à l'ORIGINE, celle du cosinus par rapport à l'AXE DES ORDONNÉES.

Le sinus s'annule quand le point image est sur l'axe des abscisses, c'est-à-dire aux extrémités horizontales du cercle. Sur $[0\,;2\pi]$, cela se produit en $x=0$, $x=\pi$ et $x=2\pi$. Sur $\mathbb{R}$ tout entier, les zéros du sinus sont tous les multiples de $\pi$, ce qu'on écrit $x=k\pi$ avec $k$ entier. À comparer avec le cosinus, qui s'annule aux extrémités VERTICALES, donc en $\frac{\pi}{2}$ et $\frac{3\pi}{2}$ sur le même intervalle : les zéros de l'un sont exactement à mi-chemin des zéros de l'autre, ce qui traduit le décalage d'un quart de tour entre les deux courbes.

L'amplitude est $|a|=|3|=3$. C'est l'écart entre l'axe d'oscillation et le maximum, autrement dit la moitié de la hauteur totale de la courbe. On prend la valeur ABSOLUE : une amplitude est une distance et n'est jamais négative, même si $a$ l'est. Un $a$ négatif ne réduit pas l'amplitude, il RETOURNE la courbe.

La période vaut $\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{2}=\pi$. Attention au sens : $b=2$ DIVISE la période par deux, il ne la double pas. Plus $b$ est grand, plus la fonction oscille vite, donc plus la période est courte. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et le contrôle mental est simple : avec $b=2$, l'argument $2x$ parcourt $2\pi$ deux fois plus vite, donc la courbe fait deux oscillations là où le sinus de base n'en faisait qu'une.

L'axe d'oscillation est à la hauteur $k=1$, et la courbe s'en écarte de l'amplitude vers le haut comme vers le bas. Maximum $=k+|a|=1+3=4$, minimum $=k-|a|=1-3=-2$. Contrôle : la moyenne du maximum et du minimum doit redonner $k$, et $\frac{4+(-2)}{2}=1$ ✓ ; leur demi-différence doit redonner l'amplitude, et $\frac{4-(-2)}{2}=3$ ✓. Ces deux relations serviront en sens inverse à l'exercice 5, pour retrouver $a$ et $k$ à partir d'un graphique.

L'axe d'oscillation est la droite horizontale $y=k$, donc $y=1$. C'est la position moyenne de la courbe, celle autour de laquelle elle monte et descend symétriquement. Notez que le paramètre $h=\frac{\pi}{4}$ n'intervient dans AUCUNE des quatre réponses : un décalage horizontal ne change ni l'amplitude, ni la période, ni le maximum, ni l'axe. Il déplace seulement la courbe latéralement.

Pour $g(x)=-2\cos(x)+3$ : l'amplitude est $|-2|=2$ ; la période est $\frac{2\pi}{1}=2\pi$, le coefficient de $x$ valant $1$ ; l'axe est $y=3$ ; le maximum vaut $3+2=5$ et le minimum $3-2=1$. Le signe négatif de $a$ ne change ni l'amplitude ni les valeurs extrêmes, il INVERSE seulement le moment où elles se produisent : le cosinus ordinaire commence à son maximum en $x=0$, alors que $g$ y commence à son MINIMUM, puisque $g(0)=-2\times 1+3=1$. C'est exactement la valeur minimale trouvée ✓.

$\sin x=\frac{1}{2}$ : on cherche les points d'ordonnée $\frac{1}{2}$, donc au-dessus de l'axe des abscisses, ce qui désigne les quadrants I et II. L'angle de référence est $\frac{\pi}{6}$. Au quadrant I : $x=\frac{\pi}{6}$. Au quadrant II : $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$. Deux solutions : $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$. Notez la règle propre au SINUS : la seconde solution s'obtient par $\pi-x_{0}$, symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ : on cherche les points d'ABSCISSE $\frac{\sqrt{2}}{2}$, donc à droite de l'axe des ordonnées, ce qui désigne les quadrants I et IV. L'angle de référence est $\frac{\pi}{4}$. Au quadrant I : $x=\frac{\pi}{4}$. Au quadrant IV : $x=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$. Deux solutions : $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{7\pi}{4}$. Règle propre au COSINUS cette fois : la seconde solution s'obtient par $2\pi-x_{0}$, symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Ne confondez pas les deux règles, c'est ce qui distingue les deux premières questions.

$\sin x=-1$ : la valeur $-1$ est le MINIMUM du sinus, atteint au point le plus bas du cercle, $(0\,;-1)$. Il n'y a donc qu'UN seul point image, et une seule solution : $x=\frac{3\pi}{2}$. C'est l'exception annoncée à l'exercice 7 du cercle trigonométrique : quand la valeur cherchée est exactement $1$ ou $-1$, les deux solutions habituelles se confondent en une seule. Le même raisonnement donnerait $x=\frac{\pi}{2}$ comme unique solution de $\sin x=1$, et aucune solution pour $\sin x=-1{,}2$, valeur hors de $[-1\,;1]$.

Sur $f(x)=2\sin(x)$, le coefficient devant le sinus donne l'amplitude $|a|=2$, et le coefficient de $x$ à l'intérieur vaut $1$, donc la période est $\frac{2\pi}{1}=2\pi$. Autrement dit, la courbe est celle du sinus ordinaire étirée VERTICALEMENT d'un facteur $2$ : elle monte jusqu'à $2$ et descend jusqu'à $-2$, mais elle garde exactement le même rythme, ses zéros et ses extremums restent aux mêmes abscisses. Un changement d'amplitude n'affecte jamais la période.

On évalue aux cinq abscisses remarquables du tour, celles où le sinus prend ses valeurs simples : $f(0)=2\times 0=0$ ; $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\times 1=2$ ; $f(\pi)=2\times 0=0$ ; $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\times(-1)=-2$ ; $f(2\pi)=2\times 0=0$. Ces cinq points sont ceux qu'il faut retenir pour tracer n'importe quelle sinusoïde : ils découpent la période en QUARTS, et le motif est toujours le même, zéro, maximum, zéro, minimum, zéro.

Le tracé se construit à partir de ces cinq points, joints par une courbe arrondie et non par des segments : une sinusoïde n'a aucun angle, elle s'infléchit doucement aux extremums et traverse ses zéros en pente maximale. Trois erreurs de tracé coûtent régulièrement des points. Premièrement, dessiner des pointes aux sommets, ce qui donnerait une courbe en zigzag et non une sinusoïde. Deuxièmement, oublier que la courbe est SYMÉTRIQUE par rapport à chacun de ses extremums, par exemple $f\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=f\left(\frac{\pi}{2}+t\right)$, ce qui donne un contrôle gratuit du dessin. Troisièmement, ne pas graduer l'axe des abscisses en fractions de $\pi$, alors que c'est la seule graduation qui rend les points remarquables lisibles.

On lit le maximum $3$ et le minimum $-1$ sur le graphique. Ces deux nombres donnent directement les deux paramètres verticaux, par les relations inverses de celles de l'exercice 2. L'amplitude est la DEMI-DIFFÉRENCE : $|a|=\frac{3-(-1)}{2}=\frac{4}{2}=2$. L'axe d'oscillation est la MOYENNE : $k=\frac{3+(-1)}{2}=\frac{2}{2}=1$, donc la droite $y=1$. Ces deux formules sont à connaître dans ce sens, c'est presque toujours ainsi qu'un examen pose la question : on donne le haut et le bas, on demande $a$ et $k$.

La période se lit comme la distance horizontale entre deux points où la courbe reprend le même comportement, par exemple entre deux maximums consécutifs, ou entre deux zéros MONTANTS consécutifs. Le graphique donne une période de $\pi$. On en déduit $b$ par la relation $\text{période}=\frac{2\pi}{|b|}$, donc $|b|=\frac{2\pi}{\text{période}}=\frac{2\pi}{\pi}=2$. Attention à ne pas mesurer entre deux zéros CONSÉCUTIFS quelconques : ceux-ci sont espacés d'une DEMI-période, et cette confusion donnerait $b=1$, une réponse fausse d'un facteur deux.

En rassemblant, $f(x)=2\sin(2x)+1$. Contrôles à faire avant de rendre : le maximum de cette règle vaut $1+2=3$ ✓, son minimum $1-2=-1$ ✓, sa période $\frac{2\pi}{2}=\pi$ ✓. On vérifie aussi un point : $f(0)=2\sin 0+1=1$, la courbe doit donc partir de l'axe d'oscillation en $x=0$, ce qui est bien le cas d'un sinus sans déphasage. Si le graphique avait montré la courbe partant de son maximum en $x=0$, il aurait fallu soit un cosinus, soit un paramètre $h$ non nul : c'est le point de départ qui permet de distinguer les deux, et il faut toujours le vérifier avant de conclure.

Le 1er avril correspond à $t=3$, ce qui annule l'argument du sinus : $T(3)=15\sin\left(\frac{\pi}{6}\times 0\right)+10=15\times 0+10=10$ °C. Le paramètre $h=3$ a précisément été choisi pour cela : il déphase la courbe de trois mois, de sorte que le modèle traverse sa valeur moyenne au début du printemps, ce qui est réaliste pour Montréal.

L'amplitude vaut $15$ et l'axe d'oscillation $10$, donc le maximum est $10+15=25$ °C et le minimum $10-15=-5$ °C. Reste à trouver QUAND. Le maximum est atteint quand le sinus vaut $1$, c'est-à-dire quand $\frac{\pi}{6}(t-3)=\frac{\pi}{2}$, donc $t-3=3$ et $t=6$, soit le début de juillet. Le minimum correspond à $\sin=-1$, donc $\frac{\pi}{6}(t-3)=-\frac{\pi}{2}$, d'où $t=0$, le 1er janvier. On peut le retrouver plus vite : maximum et minimum sont toujours séparés d'une DEMI-période, ici $6$ mois, ce qui confirme le couple janvier-juillet ✓. Contrôle de plausibilité climatique : un maximum de $25$ °C en juillet et un minimum de $-5$ °C en janvier, avec une moyenne annuelle de $10$ °C, correspondent bien à Montréal.

L'amplitude est $|a|=15$ °C : la température s'écarte de $15$ degrés de part et d'autre de sa moyenne, ce qui donne une variation totale de $30$ degrés sur l'année. La période vaut $\frac{2\pi}{\pi/6}=2\pi\times\frac{6}{\pi}=12$ mois, ce qui est la seule valeur sensée pour un cycle saisonnier : le modèle se répète chaque année à l'identique. Ce contrôle de la période est le premier à faire sur un modèle périodique, car il révèle immédiatement une erreur de paramètre : un $b$ mal choisi donnerait un cycle de $8$ ou de $18$ mois, physiquement absurde.

On isole d'abord le sinus : $2\sin x-\sqrt{3}=0$ donne $2\sin x=\sqrt{3}$, donc $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Cette valeur est positive, on cherche donc au-dessus de l'axe des abscisses, aux quadrants I et II, avec l'angle de référence $\frac{\pi}{3}$. Au quadrant I : $x=\frac{\pi}{3}$. Au quadrant II : $x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$. Deux solutions sur $[0\,;2\pi]$.

Chaque solution se reproduit à l'identique à chaque tour complet, puisque le point image revient au même endroit. Les deux familles sont donc $x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ et $x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, avec $k$ entier relatif. Il faut bien DEUX familles ici, et non une écriture compacte avec $\pm$ : cette écriture-là est réservée au cosinus, dont les solutions sont opposées. Pour le sinus, les deux solutions de base sont supplémentaires, liées par $\pi-x_{0}$, ce qui ne se factorise pas en une seule expression.

On prend $k=1$ dans chaque famille, ce qui décale d'un tour : $\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$ et $\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{2\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}$. On vérifie que ces deux valeurs sont bien dans $[2\pi\,;4\pi]$, c'est-à-dire dans $\left[\frac{6\pi}{3}\,;\frac{12\pi}{3}\right]$ ✓.

On compte sans lister, ce qui est tout l'intérêt de la question. L'intervalle $[0\,;20\pi]$ a une longueur de $20\pi$, et la période du sinus est $2\pi$ : il contient donc $\frac{20\pi}{2\pi}=10$ périodes complètes. Chaque période contient exactement DEUX solutions, une par famille, comme l'a montré a). Le total est donc $10\times 2=20$ solutions. Le raisonnement se généralise : le nombre de solutions d'une équation trigonométrique sur un intervalle est le nombre de périodes qu'il contient, multiplié par le nombre de solutions dans une période. Une précaution s'impose toutefois aux bornes : ici $x=20\pi$ n'est pas solution, sinon il aurait fallu vérifier s'il était compté deux fois ou une seule.

On repère d'abord les bornes en résolvant l'ÉGALITÉ : $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ donne $x=\frac{\pi}{4}$ et $x=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$. Ces deux points découpent le cercle en deux arcs, et il faut décider lequel convient. Entre $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}$, le point image passe par le sommet du cercle où le sinus vaut $1$ : l'ordonnée y est donc supérieure à $\frac{\sqrt{2}}{2}$. C'est le bon arc. Ensemble-solution : $\left[\frac{\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right]$, bornes incluses puisque l'inégalité est large.

$\cos x=\frac{1}{2}$ donne $x=\frac{\pi}{3}$ et $x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$. Ces deux points découpent encore le cercle en deux arcs. Entre $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$, en passant par la gauche du cercle où le cosinus vaut $-1$, l'abscisse est INFÉRIEURE à $\frac{1}{2}$ : c'est le bon arc, et c'est le GRAND, celui qui contient $\pi$. Ensemble-solution : $\left]\frac{\pi}{3}\,;\frac{5\pi}{3}\right[$, bornes exclues car l'inégalité est stricte. Le réflexe qui évite l'erreur : ne jamais deviner quel arc convient, mais tester un point de chacun.