Exercices corrigés : la géométrie analytique et les lieux géométriques (math SN5)

Trois formules seulement gouvernent toute la première partie, et elles se déduisent d'une seule idée : on travaille sur les ÉCARTS de coordonnées, $\Delta x=x_{B}-x_{A}$ et $\Delta y=y_{B}-y_{A}$. La distance en est l'hypoténuse, la pente en est le quotient, le milieu en est la moyenne.

a) $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}=\sqrt{(6-(-2))^{2}+(7-1)^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$. La formule n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont $[AB]$ est l'hypoténuse et dont les côtés sont les écarts $8$ et $6$. Attention au double signe dans $6-(-2)=8$, c'est là qu'on perd le plus souvent la question. On reconnaît le triplet $3$-$4$-$5$ doublé, ce qui explique que la racine tombe juste.

b) Le milieu s'obtient en MOYENNANT les coordonnées : $M=\left(\frac{-2+6}{2}\,;\frac{1+7}{2}\right)=\left(\frac{4}{2}\,;\frac{8}{2}\right)=(2\,;4)$. Contrôle immédiat : le milieu doit être à mi-distance, et effectivement $AM=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$, la moitié de $10$ ✓. Ne confondez pas moyenne et différence : c'est la somme divisée par deux, pas l'écart.

c) Un rapport $AP:PB=1:3$ signifie que $P$ découpe $[AB]$ en quatre parts égales et se trouve après la PREMIÈRE, donc à la fraction $t=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$ du trajet. C'est le point à ne pas rater : le rapport $1:3$ ne donne pas $\frac{1}{3}$ mais $\frac{1}{4}$, car le dénominateur est le nombre TOTAL de parts. On avance donc d'un quart du vecteur : $\vec{AB}=(8\,;6)$, donc $\frac{1}{4}\vec{AB}=(2\,;1{,}5)$, et $P=A+(2\,;1{,}5)=(-2+2\,;1+1{,}5)=(0\,;2{,}5)$.

d) $AP=\sqrt{(0-(-2))^{2}+(2{,}5-1)^{2}}=\sqrt{2^{2}+1{,}5^{2}}=\sqrt{4+2{,}25}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5$. Or $\frac{1}{4}\times AB=\frac{10}{4}=2{,}5$ ✓ : la relation est vérifiée. Contrôle complémentaire qui valide aussi le rapport : $PB=AB-AP=10-2{,}5=7{,}5$, et le rapport $AP:PB=2{,}5:7{,}5=1:3$ ✓, conforme à l'énoncé. Retenez le principe général : avancer d'une fraction $t$ le long d'un segment multiplie la distance par $t$, parce que la distance est proportionnelle au vecteur.

a) La pente est le quotient des écarts, la variation verticale divisée par la variation horizontale : $m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{7-1}{6-(-2)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. Interprétation concrète, toujours utile pour contrôler : la droite monte de $3$ unités chaque fois qu'on avance de $4$. Pour l'équation, on part de la forme point-pente $y-y_{A}=m(x-x_{A})$, qui évite de chercher $b$ séparément : $y-1=\frac{3}{4}(x+2)$. On développe : $y-1=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$, donc $y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}+1=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$. Contrôle sur l'AUTRE point, celui qui n'a pas servi : $\frac{3}{4}\times 6+\frac{5}{2}=4{,}5+2{,}5=7$ ✓, on retrouve bien $y_{B}$.

b) Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente : $m=\frac{3}{4}$. Passer par l'origine signifie que l'ordonnée à l'origine est nulle, $b=0$. Équation : $y=\frac{3}{4}x$. Une droite passant par l'origine est toujours de la forme $y=mx$, sans terme constant.

c) Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut $-1$, donc la pente cherchée est $m'=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{3/4}=-\frac{4}{3}$. C'est l'opposé de l'INVERSE, et il faut faire les deux opérations : oublier l'inverse donnerait $-\frac{3}{4}$, oublier le signe donnerait $\frac{4}{3}$, deux erreurs également fréquentes. Avec le point $B(6\,;7)$ : $y-7=-\frac{4}{3}(x-6)$, donc $y-7=-\frac{4}{3}x+8$ et $y=-\frac{4}{3}x+15$. Contrôle : en $x=6$, $-8+15=7$ ✓.

d) $\frac{3}{4}\times\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{12}{12}=-1$ ✓ : les deux droites sont bien perpendiculaires. Ce critère mérite une justification, car il paraît arbitraire : une rotation d'un quart de tour transforme un déplacement $(\Delta x\,;\Delta y)$ en $(-\Delta y\,;\Delta x)$, donc la pente $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ devient $\frac{\Delta x}{-\Delta y}$, qui est bien l'opposé de l'inverse. Un cas particulier échappe au critère et vaut d'être connu : une droite VERTICALE, d'équation $x=c$, n'a pas de pente définie, et sa perpendiculaire est horizontale, de pente $0$. Le produit $-1$ n'a alors aucun sens, mais les droites sont bel et bien perpendiculaires.

a) L'équation d'un cercle de centre $(h\,;k)$ et de rayon $r$ est $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, et elle n'est que la formule de la distance élevée au carré : elle dit que tout point de la courbe est à distance $r$ du centre. Avec $C(3\,;-1)$ et $r=5$ : $(x-3)^{2}+(y-(-1))^{2}=5^{2}$, soit $(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=25$. Attention aux deux signes, celui de $k=-1$ qui donne un PLUS dans la parenthèse, et le carré du rayon qui donne $25$ et non $5$.

b) Un point appartient au cercle si ses coordonnées vérifient l'équation. Pour $T(7\,;2)$ : $(7-3)^{2}+(2+1)^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25$, ce qui est bien $r^{2}$ ✓. Le point $T$ est donc sur le cercle. Lecture équivalente : la distance de $T$ au centre vaut $\sqrt{25}=5$, exactement le rayon. Encore le triplet $3$-$4$-$5$, qui est le choix systématique des énoncés pour obtenir des points à coordonnées entières sur un cercle.

c) On développe les deux carrés : $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$ et $(y+1)^{2}=y^{2}+2y+1$. La somme vaut $x^{2}+y^{2}-6x+2y+10=25$, donc en passant tout à gauche, $x^{2}+y^{2}-6x+2y-15=0$. Comparez les deux formes : la CANONIQUE affiche le centre et le rayon mais cache les coefficients, la GÉNÉRALE fait l'inverse. C'est pourquoi la question suivante demande le trajet retour.

d) On part de $x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0$ et l'on complète les carrés, en regroupant d'abord les $x$ ensemble et les $y$ ensemble : $x^{2}-4x+y^{2}+6y=12$. Pour $x^{2}-4x$, la moitié de $-4$ est $-2$, donc on écrit $(x-2)^{2}-4$. Pour $y^{2}+6y$, la moitié de $6$ est $3$, donc $(y+3)^{2}-9$. En substituant : $(x-2)^{2}-4+(y+3)^{2}-9=12$, d'où $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=12+4+9=25$. Centre $(2\,;-3)$, rayon $\sqrt{25}=5$. Notez bien que les constantes retranchées repassent de l'autre côté en s'AJOUTANT. Contrôle : le centre doit avoir pour coordonnées la moitié des coefficients de $x$ et $y$ changés de signe, soit $\left(\frac{4}{2}\,;-\frac{6}{2}\right)=(2\,;-3)$ ✓. Attention enfin au cas dégénéré : si le membre de droite était sorti négatif, aucun point ne conviendrait et le lieu serait vide.

a) La médiatrice de $[AB]$ est la perpendiculaire passant par le MILIEU, il faut donc les deux éléments trouvés à l'exercice 1 et 2 : le milieu $M(2\,;4)$ et la pente perpendiculaire $-\frac{4}{3}$. Forme point-pente : $y-4=-\frac{4}{3}(x-2)$, donc $y-4=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$ et $y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}+4=-\frac{4}{3}x+\frac{8+12}{3}=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$.

b) L'intersection avec l'axe des $y$ s'obtient en posant $x=0$ : $y=\frac{20}{3}$, donc $Q\left(0\,;\frac{20}{3}\right)$. On calcule les deux distances. $QA=\sqrt{(0-(-2))^{2}+\left(\frac{20}{3}-1\right)^{2}}=\sqrt{4+\left(\frac{17}{3}\right)^{2}}=\sqrt{4+\frac{289}{9}}=\sqrt{\frac{36+289}{9}}=\sqrt{\frac{325}{9}}$. Et $QB=\sqrt{(0-6)^{2}+\left(\frac{20}{3}-7\right)^{2}}=\sqrt{36+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{36+\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{324+1}{9}}=\sqrt{\frac{325}{9}}$. Les deux valent $\frac{\sqrt{325}}{3}\approx 6{,}01$ : le point $Q$ est bien équidistant de $A$ et de $B$ ✓. Le calcul est instructif : les deux chemins sont très différents, l'un presque vertical et l'autre presque horizontal, et ils aboutissent pourtant au même nombre. C'est exactement ce que signifie appartenir à la médiatrice.

c) On part de $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$ et l'on ramène tout du même côté : $\frac{3}{4}x-y+\frac{5}{2}=0$. On multiplie ensuite par $4$ pour éliminer les fractions, ce qui ne change pas la droite : $3x-4y+10=0$. La forme générale n'est pas unique, toute équation proportionnelle décrit la même droite, mais on choisit par convention des coefficients ENTIERS et premiers entre eux. Contrôle sur $A(-2\,;1)$ : $3(-2)-4(1)+10=-6-4+10=0$ ✓.

d) On applique la formule de la distance point-droite : $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ avec $a=3$, $b=-4$, $c=10$ et le point $O(0\,;0)$. Le numérateur vaut $|3\times 0-4\times 0+10|=|10|=10$, et le dénominateur $\sqrt{9+16}=5$. Donc $d=\frac{10}{5}=2$. La valeur absolue est indispensable : une distance est positive, et sans elle un point situé de l'autre côté de la droite donnerait un résultat négatif. C'est d'ailleurs pour cela que la forme générale est nécessaire ici : la formule ne fonctionne pas sur $y=mx+b$, il faut d'abord tout ramener à gauche, ce qui était l'objet de c).

a) On calcule les trois longueurs par la formule de la distance, en gardant les racines sous forme exacte : elles serviront telles quelles au c). $PQ=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$. $QR=\sqrt{(3-5)^{2}+(8-4)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$. $PR=\sqrt{(3-1)^{2}+(8-2)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$. Résistez à la tentation d'écrire $4{,}47$ et $6{,}32$ : les valeurs approchées rendraient la vérification de Pythagore beaucoup moins nette.

b) $PQ=QR=\sqrt{20}$ : deux côtés sont égaux, le triangle est donc ISOCÈLE, de sommet principal $Q$. Il n'est PAS équilatéral, car le troisième côté $PR=\sqrt{40}$ diffère des deux autres. Notez la comparaison sans calculatrice : $\sqrt{40}>\sqrt{20}$ puisque $40>20$, la fonction racine étant croissante.

c) On applique la réciproque de Pythagore, en testant si le carré du plus GRAND côté égale la somme des carrés des deux autres. Le plus grand est $PR$, de carré $40$. Somme des deux autres carrés : $PQ^{2}+QR^{2}=20+20=40$. L'égalité est vérifiée, donc le triangle est RECTANGLE. L'angle droit se situe au sommet OPPOSÉ à l'hypoténuse, c'est-à-dire au sommet $Q$, commun aux deux côtés de l'angle droit. Vérification par les pentes, qui est la méthode alternative attendue : $m_{PQ}=\frac{4-2}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ et $m_{QR}=\frac{8-4}{3-5}=\frac{4}{-2}=-2$, dont le produit vaut $\frac{1}{2}\times(-2)=-1$ ✓, confirmant l'angle droit en $Q$. Bilan : le triangle est isocèle ET rectangle, donc ses angles valent $90^{\circ}$, $45^{\circ}$ et $45^{\circ}$.

d) Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont la base et la hauteur l'un de l'autre, donc l'aire vaut $\frac{1}{2}\times PQ\times QR=\frac{1}{2}\times\sqrt{20}\times\sqrt{20}=\frac{20}{2}=10$ unités carrées. C'est ici que les formes exactes paient : le produit $\sqrt{20}\times\sqrt{20}$ vaut exactement $20$, sans arrondi. Pour le cercle circonscrit, on utilise l'indice : dans un triangle rectangle, le centre est le MILIEU de l'hypoténuse, ce qui est une conséquence du théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle. L'hypoténuse étant $[PR]$, le centre est $\left(\frac{1+3}{2}\,;\frac{2+8}{2}\right)=(2\,;5)$. Contrôle, et il vaut la peine : ce centre doit être à égale distance des TROIS sommets. Distance à $P$ : $\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. À $R$ : $\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. À $Q$ : $\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ ✓. Le rayon vaut donc $\sqrt{10}$, soit la moitié de l'hypoténuse $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ ✓.

a) On traduit la condition mot à mot, en appelant $P(x\,;y)$ un point COURANT, c'est-à-dire quelconque. La condition $PA=PB$ s'écrit $\sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{(x-6)^{2}+(y-7)^{2}}$. On élève immédiatement au carré, ce qui est légitime puisque deux distances sont positives et que l'élévation au carré préserve l'égalité de deux nombres positifs : $(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=(x-6)^{2}+(y-7)^{2}$. Aucune racine étrangère n'est à craindre ici, contrairement au cas d'une racine égalée à une expression de signe inconnu.

b) On développe les quatre carrés. À gauche : $x^{2}+4x+4+y^{2}-2y+1$. À droite : $x^{2}-12x+36+y^{2}-14y+49$. Les termes $x^{2}$ et $y^{2}$ apparaissent des deux côtés et s'ANNULENT, ce qui est le point décisif : c'est parce qu'ils disparaissent que le lieu est une droite et non une courbe. Il reste $4x-2y+5=-12x-14y+85$. On regroupe : $4x+12x-2y+14y+5-85=0$, soit $16x+12y-80=0$. On simplifie enfin par $4$ : $4x+3y-20=0$.

c) On substitue $M(2\,;4)$ : $4\times 2+3\times 4-20=8+12-20=0$ ✓. Le milieu appartient bien au lieu, ce qui était attendu puisqu'il est par construction à égale distance de $A$ et de $B$. Cette vérification est le premier contrôle à faire sur toute médiatrice obtenue par la méthode du lieu.

d) On met le lieu sous forme fonctionnelle : $4x+3y-20=0$ donne $3y=-4x+20$, donc $y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$, de pente $-\frac{4}{3}$. La pente de $[AB]$ vaut $\frac{7-1}{6-(-2)}=\frac{3}{4}$. Le produit des deux pentes vaut $\frac{3}{4}\times\left(-\frac{4}{3}\right)=-1$ ✓ : le lieu est bien perpendiculaire à $[AB]$. En combinant avec c), on a démontré que le lieu passe par le milieu ET est perpendiculaire : c'est donc exactement la médiatrice au sens de l'exercice 4, dont on retrouve d'ailleurs l'équation. Ce qu'il faut retenir de l'exercice, c'est la méthode plutôt que le résultat : partir d'une CONDITION géométrique, la traduire en équation sur un point courant, simplifier, et lire la nature du lieu obtenu. Cette méthode donnera une parabole ou un cercle à l'exercice 9, sans rien changer à la démarche.

a) On applique la formule de la distance point-droite, en mettant chaque droite sous forme générale. Pour $d_{1}$ d'équation $y=0$, c'est-à-dire $0\cdot x+1\cdot y+0=0$ : la distance vaut $\frac{|y|}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=|y|$. C'est cohérent avec l'intuition, la distance d'un point à l'axe des $x$ est bien la valeur absolue de son ordonnée. Pour $d_{2}$ d'équation $3x-4y=0$ : la distance vaut $\frac{|3x-4y|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{|3x-4y|}{5}$.

b) La condition d'équidistance est $|y|=\frac{|3x-4y|}{5}$. Les valeurs absolues sont gênantes, mais l'énoncé précise la région : sur la bissectrice INTÉRIEURE on a $y>0$ et $3x-4y>0$, donc les deux quantités sont positives et l'on peut retirer les barres sans changer de signe. L'équation devient $y=\frac{3x-4y}{5}$. On multiplie par $5$ : $5y=3x-4y$, donc $5y+4y=3x$, soit $9y=3x$ et, en divisant par $3$, $x-3y=0$, c'est-à-dire $y=\frac{x}{3}$. Contrôle de plausibilité : la bissectrice doit avoir une pente COMPRISE entre celles des deux droites, ici $0$ et $\frac{3}{4}$, et $\frac{1}{3}$ l'est bien ✓. Attention, la pente de la bissectrice n'est PAS la moyenne des deux pentes, qui vaudrait $\frac{3}{8}$ : ce sont les ANGLES qui se coupent en deux, pas les pentes.

c) Le point $P(3\,;1)$ vérifie $x-3y=3-3\times 1=0$ ✓, il est donc sur la bissectrice. Distance à $d_{1}$ : $|1|=1$. Distance à $d_{2}$ : $\frac{|3\times 3-4\times 1|}{5}=\frac{|9-4|}{5}=\frac{5}{5}=1$. Les deux valent $1$ ✓, le point est bien équidistant des deux droites. Cette double vérification, appartenance au lieu ET égalité des distances, est ce qui valide le calcul de b).

d) Deux droites SÉCANTES forment quatre angles, regroupés en deux paires d'angles opposés par le sommet. Il y a donc DEUX bissectrices, l'intérieure et l'extérieure, chacune partageant en deux l'une des paires. Elles sont PERPENDICULAIRES entre elles, et la raison est instructive : deux angles adjacents formés par des droites sécantes sont supplémentaires, leur somme vaut $180^{\circ}$, donc leurs moitiés totalisent $90^{\circ}$, ce qui est précisément l'angle entre les deux bissectrices. Algébriquement, la seconde bissectrice s'obtient en prenant l'autre combinaison de signes dans $|y|=\frac{|3x-4y|}{5}$, soit $-5y=3x-4y$, ce qui donne $3x+y=0$, de pente $-3$. Contrôle : $\frac{1}{3}\times(-3)=-1$ ✓, les deux bissectrices sont bien perpendiculaires.

a) $d(O)=\frac{|3\times 0-4\times 0+10|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{|10|}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2$. Le dénominateur $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ne dépend que de la droite, pas du point : on le calcule une fois pour toutes, ici $5$, et il servira aux trois questions suivantes.

b) Toute parallèle à $d$ a les mêmes coefficients $a$ et $b$, seul le terme constant change : elle s'écrit $3x-4y+c=0$. La distance entre deux parallèles se calcule en prenant un point de l'une et en mesurant sa distance à l'autre, ce qui donne la formule $\frac{|c-10|}{5}$. On impose $\frac{|c-10|}{5}=3$, donc $|c-10|=15$, ce qui donne DEUX solutions : $c-10=15$ soit $c=25$, ou $c-10=-15$ soit $c=-5$. Les deux droites cherchées sont $3x-4y+25=0$ et $3x-4y-5=0$, une de chaque côté de $d$. La valeur absolue produit ici naturellement les deux réponses, et n'en donner qu'une coûte la moitié des points.

c) Sur l'axe des $y$, tout point s'écrit $(0\,;y)$. On impose $\frac{|3\times 0-4y+10|}{5}=2$, donc $|-4y+10|=10$. Deux cas : $-4y+10=10$ donne $y=0$, et $-4y+10=-10$ donne $-4y=-20$ soit $y=5$. Les deux points sont $(0\,;0)$ et $(0\,;5)$. Contrôle du premier : c'est l'origine, dont on a justement calculé la distance en a), qui valait bien $2$ ✓. Contrôle du second : $\frac{|-20+10|}{5}=\frac{10}{5}=2$ ✓.

d) La distance d'un point à une droite se mesure PERPENDICULAIREMENT. En partant d'un point quelconque de la droite et en s'éloignant de $r$ perpendiculairement, on peut aller d'un côté ou de l'autre : on obtient donc deux familles de points. Chacune forme une droite parallèle à la droite de départ, puisque tous ses points sont à la même distance, et le lieu complet est la réunion de ces DEUX parallèles, une de chaque côté. C'est exactement ce que confirmait la question b), qui donnait $c=25$ et $c=-5$. Comparez avec le lieu des points à distance $r$ d'un POINT, qui est un cercle unique : la différence vient de ce qu'une droite a deux côtés alors qu'un point n'en a pas.

a) On traduit la condition sur un point courant $P(x\,;y)$. Sa distance au foyer $F(0\,;2)$ est $\sqrt{(x-0)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}$. Sa distance à la droite horizontale $y=-2$ est simplement l'écart vertical, $|y-(-2)|=|y+2|$. La condition d'équidistance est donc $\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}=|y+2|$. Notez que la distance à une droite HORIZONTALE ne demande pas la formule générale : elle se lit directement comme une différence d'ordonnées.

b) On élève au carré, licite puisque les deux membres sont positifs, et la valeur absolue disparaît d'elle-même : $x^{2}+(y-2)^{2}=(y+2)^{2}$. On développe les deux carrés en $y$ : $x^{2}+y^{2}-4y+4=y^{2}+4y+4$. Les $y^{2}$ s'annulent, et les constantes $+4$ aussi : il reste $x^{2}-4y=4y$, donc $x^{2}=8y$. C'est bien l'équation d'une PARABOLE, d'axe vertical et de sommet à l'origine. Ce qui distingue ce lieu de celui de l'exercice 6 est éclairant : là, les $x^{2}$ ET les $y^{2}$ disparaissaient et l'on obtenait une droite ; ici, seuls les $y^{2}$ disparaissent, le $x^{2}$ survit, et l'on obtient une courbe.