Math SN5, secondaire 5 • Géométrie analytique

Exercices corrigés : la géométrie analytique (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur la géométrie analytique, calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal. On y travaille la distance entre deux points, le point de partage, la pente et les équations de droites (parallèles et perpendiculaires), l'équation du cercle et la classification d'un triangle à partir de ses sommets.

Un plan cartésien soigné vaut la moitié de la solution : placez les points, tracez les segments, et rattachez chaque calcul à une figure.

Rappel de cours

• Distance entre deux points : $d=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$ .
• Point milieu : $M=\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2};\ \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$ . Point de partage dans le rapport $AP:PB=k:1$ : $P=A+\dfrac{k}{k+1}\vec{AB}$ .
• Pente : $m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$ . Deux droites sont parallèles si $m_{1}=m_{2}$ , perpendiculaires si $m_{1}\cdot m_{2}=-1$ .
• Équation d'une droite : $y=mx+b$ (fonctionnelle) ou $ax+by+c=0$ (générale).
• Distance d'un point $P(x_{0};y_{0})$ à la droite $ax+by+c=0$ : $d=\dfrac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ .
• Équation d'un cercle de centre $(h;k)$ et de rayon $r$ : $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ .

Exercice 1 : Distance, milieu et point de partage

On considère les points $A(-2;\ 1)$ et $B(6;\ 7)$ .

a) Calculez la distance $AB$ .
b) Déterminez les coordonnées du point milieu $M$ de $[AB]$ .
c) Déterminez le point $P$ qui partage $[AB]$ dans le rapport $AP:PB=1:3$ .
d) Vérifiez que $AP=\dfrac{1}{4}AB$ en comparant les distances.

Voir la correction

a) $AB=\sqrt{(6-(-2))^{2}+(7-1)^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10$ .

b) $M=\left(\dfrac{-2+6}{2};\ \dfrac{1+7}{2}\right)=(2;\ 4)$ .

c) $\vec{AB}=(8;\ 6)$ . Rapport $1:3$ signifie $t=\dfrac{1}{4}$ : $P=A+\dfrac{1}{4}\vec{AB}=(-2+2;\ 1+1{,}5)=(0;\ 2{,}5)$ .

d) $AP=\sqrt{(0-(-2))^{2}+(2{,}5-1)^{2}}=\sqrt{4+2{,}25}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5=\dfrac{1}{4}\times 10$ : cohérent.

Exercice 2 : La droite : pente, équation, parallèle et perpendiculaire

On reprend $A(-2;\ 1)$ et $B(6;\ 7)$ .

a) Calculez la pente de la droite $AB$ , puis écrivez son équation sous la forme $y=mx+b$ .
b) Écrivez l'équation de la droite parallèle à $AB$ passant par l'origine.
c) Écrivez l'équation de la droite perpendiculaire à $AB$ passant par $B$ .
d) Vérifiez que les pentes des droites de a) et c) sont bien celles de droites perpendiculaires.

Voir la correction

a) $m=\dfrac{7-1}{6-(-2)}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ . $y-1=\dfrac{3}{4}(x+2)$ , donc $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$ .

b) Même pente $\dfrac{3}{4}$ , ordonnée à l'origine nulle : $y=\dfrac{3}{4}x$ .

c) Pente perpendiculaire : $-\dfrac{4}{3}$ . Passant par $B(6;7)$ : $y-7=-\dfrac{4}{3}(x-6)$ , donc $y=-\dfrac{4}{3}x+8+7=-\dfrac{4}{3}x+15$ .

d) $\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-1$ : le produit des pentes vaut $-1$ , les droites sont bien perpendiculaires.

Exercice 3 : Le cercle

Le schéma ci-dessous montre le cercle de centre $C(3;\ -1)$ et de rayon 5, et le point $T(7;\ 2)$ .

a) Écrivez l'équation du cercle sous la forme $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ .
b) Vérifiez, par le calcul, que le point $T(7;\ 2)$ appartient au cercle.
c) Développez l'équation du a) pour l'écrire sous la forme générale $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ .
d) Un autre cercle a pour équation $x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0$ . Retrouvez son centre et son rayon (complétez les carrés).

Voir la correction

a) $(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=25$ .

b) $(7-3)^{2}+(2+1)^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25=r^{2}$ : le point $T$ est bien sur le cercle (à distance 5 du centre).

c) $(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=x^{2}-6x+9+y^{2}+2y+1=25$ , donc $x^{2}+y^{2}-6x+2y-15=0$ .

d) $x^{2}-4x+y^{2}+6y=12$ . Compléter : $(x-2)^{2}-4+(y+3)^{2}-9=12$ , donc $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25$ : centre $(2;\ -3)$ , rayon 5.

Exercice 4 : Médiatrice et distance à une droite

On garde $A(-2;\ 1)$ et $B(6;\ 7)$ . La médiatrice de $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu.

a) Écrivez l'équation de la médiatrice de $[AB]$ .
b) Vérifiez qu'un point de la médiatrice, par exemple son intersection avec l'axe des $y$ , est bien équidistant de $A$ et de $B$ .
c) Écrivez l'équation de la droite $AB$ sous la forme générale $ax+by+c=0$ .
d) Calculez la distance du point origine $O(0;\ 0)$ à la droite $AB$ .

Voir la correction

a) Milieu $M(2;\ 4)$ , pente perpendiculaire $-\dfrac{4}{3}$ : $y-4=-\dfrac{4}{3}(x-2)$ , donc $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{8}{3}+4=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$ .

b) Intersection avec l'axe des $y$ ( $x=0$ ) : $y=\dfrac{20}{3}$ , soit $Q\left(0;\ \dfrac{20}{3}\right)$ . $QA=\sqrt{(-2)^{2}+\left(1-\dfrac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{4+\left(\dfrac{17}{3}\right)^{2}}$ et $QB=\sqrt{6^{2}+\left(7-\dfrac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{36+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}$ . Les deux valent $\sqrt{\dfrac{325}{9}}$ : $Q$ est bien équidistant de $A$ et $B$ .

c) $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$ donne $\dfrac{3}{4}x-y+\dfrac{5}{2}=0$ , soit (en multipliant par 4) $3x-4y+10=0$ .

d) $d=\dfrac{|3(0)-4(0)+10|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\dfrac{10}{5}=2$ .

Exercice 5 : Problème : quelle sorte de triangle ?

Un triangle a pour sommets $P(1;\ 2)$ , $Q(5;\ 4)$ et $R(3;\ 8)$ . Le schéma est tracé à l'échelle.

a) Calculez les longueurs des trois côtés $PQ$ , $QR$ et $PR$ .
b) Le triangle est-il isocèle ? équilatéral ? Justifiez.
c) Montrez que le triangle est rectangle et précisez en quel sommet (utilisez la réciproque de Pythagore ou les pentes).
d) Calculez l'aire du triangle, puis les coordonnées du centre de son cercle circonscrit (indice : pour un triangle rectangle, ce centre est le milieu de l'hypoténuse).

Voir la correction

a) $PQ=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$ ; $QR=\sqrt{(3-5)^{2}+(8-4)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ ; $PR=\sqrt{(3-1)^{2}+(8-2)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$ .

b) $PQ=QR=\sqrt{20}$ : le triangle est isocèle (deux côtés égaux). Il n'est pas équilatéral, car $PR=\sqrt{40}\neq\sqrt{20}$ .

c) $PQ^{2}+QR^{2}=20+20=40=PR^{2}$ : par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle, et l'angle droit est au sommet $Q$ (opposé à l'hypoténuse $PR$ ).

d) Aire $=\dfrac{1}{2}\times PQ\times QR=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{20}\times\sqrt{20}=\dfrac{20}{2}=10$ unités². Centre du cercle circonscrit = milieu de l'hypoténuse $[PR]$ : $\left(\dfrac{1+3}{2};\ \dfrac{2+8}{2}\right)=(2;\ 5)$ .

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

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Rappel de cours

Exercice 1 : Distance, milieu et point de partage

Exercice 2 : La droite : pente, équation, parallèle et perpendiculaire

Exercice 3 : Le cercle

Exercice 4 : Médiatrice et distance à une droite

Exercice 5 : Problème : quelle sorte de triangle ?

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