Exercices corrigés : programmation linéaire et optimisation (math SN5)

Exercice 1 : Contraintes et appartenance à l'ensemble-solution

On considère le système de contraintes suivant :

$x\geq 0$, $y\geq 0$, $x+y\leq 8$ et $y\leq x$.

• a) Le point $(3,\ 2)$ appartient-il à l'ensemble-solution ? Vérifiez chaque contrainte.
• b) Le point $(2,\ 5)$ appartient-il à l'ensemble-solution ? Justifiez.
• c) Le point $(5,\ 1)$ appartient-il à l'ensemble-solution ? Justifiez.

Exercice 2 : Polygone de contraintes et sommets

On considère le système : $x\geq 0$, $y\geq 0$, $x+y\leq 6$ et $y\leq 2x$. Le polygone de contraintes est représenté ci-dessous.

• a) Déterminez les coordonnées des trois sommets du polygone.
• b) Vérifiez que le sommet le plus haut est bien l'intersection des droites $y=2x$ et $x+y=6$.

Exercice 3 : Optimisation d'une fonction

On reprend le polygone de sommets $A(0,\ 0)$, $B(6,\ 0)$ et $C(2,\ 4)$. On veut optimiser la fonction $F(x,y)=3x+2y$.

• a) Évaluez la fonction F à chacun des trois sommets (complétez le tableau).
• b) En quel sommet la fonction F est-elle maximale ? minimale ?

Exercice 4 : Problème : l'atelier de menuiserie

Un atelier fabrique des chaises (x) et des tables (y). Chaque chaise demande 2 h de travail et 3 planches ; chaque table demande 4 h de travail et 2 planches. L'atelier dispose d'au plus 40 h de travail et de 30 planches. Une chaise rapporte 15 $ de bénéfice, une table 30 $.

• a) Traduisez les contraintes par un système d'inéquations (sans oublier les contraintes de positivité).
• b) Écrivez la fonction bénéfice $B(x,y)$.
• c) L'atelier peut-il fabriquer 4 chaises et 6 tables ? Vérifiez les deux contraintes.
• d) Quel bénéfice cette production rapporterait-elle ?

Exercice 5 : Optimisation sur un polygone donné

Le polygone de contraintes ci-dessous a pour sommets $O(0,\ 0)$, $A(0,\ 4)$, $B(3,\ 5)$ et $C(6,\ 0)$. On veut maximiser le revenu $R(x,y)=4x+5y$.

• a) Évaluez $R$ à chacun des quatre sommets.
• b) Quelle production maximise le revenu, et quelle en est la valeur ?

Exercice 6 : Tracer un polygone de contraintes

On considère le système : $x\geq 0$, $y\geq 0$, $x+y\leq 5$ et $y\leq x+1$. Le repère ci-dessous est vierge : c'est à vous de tracer les droites frontières et de colorier le polygone.

• a) Tracez les droites frontières $x+y=5$ et $y=x+1$, puis coloriez le polygone de contraintes.
• b) Déterminez les coordonnées des quatre sommets du polygone.
• c) Vérifiez que le sommet le plus haut est bien l'intersection de $y=x+1$ et $x+y=5$.