Exercices corrigés : puissances et exposants fractionnaires (math SN5)

a) On cherche le nombre positif dont la puissance quatrième vaut $16$ : $2^{4}=16$, donc $\sqrt[4]{16}=2$. Une remarque importante sur la notation : $(-2)^{4}=16$ aussi, il y a donc DEUX réels dont la puissance quatrième vaut $16$. Le symbole $\sqrt[4]{\ }$ désigne par convention le seul qui est positif, sans quoi il ne désignerait pas un nombre unique et on ne pourrait pas s'en servir dans un calcul.

b) $\sqrt[4]{-16}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$. La raison est que toute puissance PAIRE d'un réel est positive ou nulle : que $t$ soit positif ou négatif, $t^{4}\geq 0$. Aucun réel ne peut donc donner $-16$, et la question n'a pas de réponse, pas même $-2$ (qui donne $+16$).

c) $\sqrt[3]{-27}=-3$, car $(-3)^{3}=(-3)(-3)(-3)=-27$. Ici l'indice est impair, et une puissance impaire CONSERVE le signe : le cube d'un négatif est négatif. Il n'y a d'ailleurs qu'un seul réel dont le cube vaut $-27$, donc aucune convention n'est nécessaire.

d) $\sqrt{-9}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$ : indice pair $2$ et radicande négatif, même raison qu'en b). Ne confondez pas avec $-\sqrt{9}$, qui vaut $-3$ et existe parfaitement : c'est la POSITION du signe moins qui change tout. Dans $-\sqrt{9}$ on prend la racine de $9$ puis on change le signe ; dans $\sqrt{-9}$ on demande la racine d'un nombre négatif, ce qui est impossible.

e) $\sqrt[5]{-32}=-2$, car $(-2)^{5}=-32$. Indice impair : le calcul se fait sur la valeur absolue, $\sqrt[5]{32}=2$, puis on rétablit le signe négatif.

f) $\sqrt[3]{64}=4$, car $4^{3}=64$.

Synthèse à retenir, et elle gouverne tout le chapitre : si l'indice est PAIR, le radicande doit être positif ou nul et le résultat est positif ou nul ; si l'indice est IMPAIR, le radicande peut être n'importe quel réel et le résultat a le même signe que lui. Aucune autre règle n'est nécessaire pour décider de l'existence d'une racine.

Règle de conversion, valable dans les deux sens : dans $a^{m/n}$, le DÉNOMINATEUR $n$ est l'indice de la racine et le NUMÉRATEUR $m$ est la puissance. Autrement dit $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$. Les deux lectures donnent le même nombre, mais pas le même travail : il faut presque toujours prendre la RACINE d'abord, parce qu'elle fait baisser les nombres alors que la puissance les fait exploser.

a) $\sqrt[3]{5^{2}}=5^{2/3}$ : indice $3$ au dénominateur, exposant $2$ au numérateur. Ce nombre ne se calcule pas exactement, car $5$ n'est ni un carré ni un cube parfait ; on laisse donc la forme exacte $5^{2/3}$ (à la calculatrice, environ $2{,}92$). Écrire une valeur décimale arrondie à la place d'une forme exacte fait perdre des points.

b) $27^{2/3}=\left(27^{1/3}\right)^{2}=3^{2}=9$. Comparez avec l'autre route : $\left(27^{2}\right)^{1/3}=729^{1/3}=9$, même réponse, mais il fallait connaître le cube de $9$. La racine d'abord, c'est la règle.

c) $16^{3/4}=\left(16^{1/4}\right)^{3}=2^{3}=8$. Par l'autre route il aurait fallu calculer $16^{3}=4096$ puis en extraire la racine quatrième : faisable, mais absurde sans calculatrice.

d) $\left(\frac{1}{8}\right)^{2/3}=\left(\left(\tfrac{1}{8}\right)^{1/3}\right)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$. On peut aussi passer par l'exposant négatif : $\frac{1}{8}=8^{-1}$, donc $\left(\frac{1}{8}\right)^{2/3}=8^{-2/3}=\frac{1}{8^{2/3}}=\frac{1}{4}$. Les deux chemins sont corrects et il est utile de savoir passer de l'un à l'autre, car les énoncés d'examen alternent entre les deux écritures.

Les lois des exposants n'ont le droit de s'appliquer qu'entre puissances de la MÊME base. La première étape d'un tel exercice n'est donc jamais un calcul : c'est la réécriture de chaque facteur dans la base demandée.

a) Tout est déjà en base $2$. Le produit ajoute les exposants et le quotient les soustrait : $\frac{2^{3}\cdot 2^{5}}{2^{2}}=2^{3+5-2}=2^{6}$, c'est-à-dire $64$. Erreur à éviter : multiplier les exposants au numérateur, ce qui donnerait $2^{15}$.

b) $(3^{2})^{3}=3^{2\times 3}=3^{6}$ : dans une puissance de puissance, les exposants se MULTIPLIENT, alors que dans un produit ils s'additionnent. C'est la confusion la plus fréquente du chapitre. Puis $3^{6}\cdot 3^{-1}=3^{6-1}=3^{5}=243$. L'exposant négatif ne pose pas de problème particulier : il s'additionne comme les autres.

c) $9$ et $27$ ne sont pas des puissances de $3$ à première vue, mais ils le sont : $9=3^{2}$ et $27=3^{3}$. Donc $9^{2}\cdot 27=(3^{2})^{2}\cdot 3^{3}=3^{4}\cdot 3^{3}=3^{7}=2187$. Sans cette réécriture préalable, aucune loi ne s'applique et on reste bloqué : $9^{2}\cdot 27$ n'est pas $27^{2}$ ni quoi que ce soit d'autre de simple.

d) $8=2^{3}$, donc $8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$, et $\frac{2^{6}}{2^{3}}=2^{6-3}=2^{3}=8$. Contrôle numérique direct : $\frac{64}{8}=8$ ✓. Prenez l'habitude de ce contrôle sur les petits nombres, il coûte cinq secondes et détecte instantanément une addition d'exposants faite à la place d'une multiplication.

Méthode unique pour tout l'exercice : on convertit chaque radical en exposant fractionnaire, on applique les lois, puis on revient éventuellement à la notation radicale. Des racines imbriquées deviennent alors une simple multiplication de fractions.

a) $\sqrt{\sqrt{81}}=\left(81^{1/2}\right)^{1/2}=81^{1/4}$. Comme $81=3^{4}$, on obtient $\left(3^{4}\right)^{1/4}=3$. On peut aussi le voir en deux temps : $\sqrt{81}=9$ puis $\sqrt{9}=3$. Les exposants des racines imbriquées se MULTIPLIENT, ils ne s'additionnent pas : deux racines carrées font une racine quatrième, pas une racine carrée de la somme.

b) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\left(64^{1/3}\right)^{1/2}=64^{1/6}$. Or $64=2^{6}$, donc le résultat est $2$. Vérification par l'autre ordre : $\sqrt[3]{64}=4$ puis $\sqrt{4}=2$ ✓. L'ordre des deux racines n'a aucune importance, puisque la multiplication des exposants est commutative.

c) Même base $5$, donc on additionne les exposants : $\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{5}=5^{1/2}\cdot 5^{1/4}=5^{1/2+1/4}=5^{3/4}$, ce qui se réécrit $\sqrt[4]{5^{3}}=\sqrt[4]{125}$. Ce que l'on ne peut PAS faire, c'est multiplier directement deux radicaux d'indices différents : $\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{5}$ n'est ni $\sqrt{25}$ ni $\sqrt[4]{25}$. Passer par les exposants est ce qui rend l'opération possible.

d) $\left(\sqrt[3]{7}\right)^{2}=\left(7^{1/3}\right)^{2}=7^{2/3}=\sqrt[3]{7^{2}}=\sqrt[3]{49}$. On retrouve la double lecture de l'exercice 2 : prendre la racine puis élever au carré, ou élever au carré puis prendre la racine, revient au même.

Partie 1. Le domaine se lit sur la PARITÉ de l'indice, exactement comme à l'exercice 1, mais cette fois le radicande est une expression et il faut résoudre une inéquation.

a) Indice pair : on exige $x-2\geq 0$, donc $x\geq 2$. Domaine : $[2,\ +\infty[$. Le crochet est fermé en $2$, car $\sqrt{0}=0$ existe.

b) $2x+5\geq 0$ donne $2x\geq -5$, puis $x\geq -\frac{5}{2}$. Domaine : $\left[-\frac{5}{2},\ +\infty\right[$. On divise par $2$ qui est positif, donc le sens de l'inégalité est conservé ; s'il y avait eu un coefficient négatif devant $x$, il aurait fallu le renverser.

c) Indice IMPAIR : aucune contrainte, la racine cubique d'un nombre négatif existe. Domaine : $\mathbb{R}$.

d) Deux contraintes se cumulent ici. La racine paire exige $x-3\geq 0$, et le dénominateur exige que $\sqrt{x-3}\neq 0$, donc $x-3\neq 0$. En combinant, l'inégalité devient STRICTE : $x-3>0$, soit $x>3$. Domaine : $]3,\ +\infty[$, avec un crochet ouvert. Confondre $[3,\ +\infty[$ et $]3,\ +\infty[$ est l'erreur classique de cette question, et c'est le dénominateur, pas la racine, qui exclut $3$.

Partie 2. Une racine carrée s'élimine en élevant les deux membres au carré, mais cette opération n'est pas réversible : elle peut créer des solutions étrangères, il faut donc toujours vérifier.

e) $\sqrt{x+1}=4$. Le membre de droite est positif, l'équation a une chance d'avoir une solution. En élevant au carré : $x+1=16$, donc $x=15$. Vérification dans l'équation de DÉPART : $\sqrt{15+1}=\sqrt{16}=4$ ✓.

f) $\sqrt{2x-1}=3$ donne $2x-1=9$, puis $2x=10$ et $x=5$. Vérification : $\sqrt{2\times 5-1}=\sqrt{9}=3$ ✓. À l'inverse, une équation comme $\sqrt{2x-1}=-3$ n'a AUCUNE solution, et il est inutile d'élever au carré pour s'en apercevoir : une racine carrée est positive ou nulle par définition, elle ne peut jamais valoir $-3$. C'est le premier réflexe à avoir devant ce type d'équation.

Principe de l'exercice : $2$ est la base commune, et TOUT doit s'y ramener, y compris les racines (exposant fractionnaire) et les fractions (exposant négatif).

a) $8=2^{3}$, donc $8^{2/3}=\left(2^{3}\right)^{2/3}=2^{3\times\frac{2}{3}}=2^{2}$. Le produit $3\times\frac{2}{3}$ se simplifie exactement : c'est ce qui rend l'écriture en base $2$ si commode. On peut contrôler : $2^{2}=4$ et effectivement $\sqrt[3]{8^{2}}=\sqrt[3]{64}=4$ ✓.

b) $32=2^{5}$, donc $\sqrt{32}=32^{1/2}=\left(2^{5}\right)^{1/2}=2^{5/2}$. Un exposant fractionnaire n'a rien d'anormal, et il vaut mieux le garder ainsi que d'écrire $4\sqrt{2}$ : la forme $2^{5/2}$ est celle qui se combine avec les autres.

c) On remplace chaque morceau par sa forme en base $2$ : $\dfrac{2^{2}\times 2^{5/2}}{4^{-1}}$, et $4^{-1}=\left(2^{2}\right)^{-1}=2^{-2}$. Le quotient soustrait l'exposant du dénominateur : $2^{2+\frac{5}{2}-(-2)}=2^{2+\frac{5}{2}+2}=2^{\frac{4+5+4}{2}}=2^{13/2}$. La soustraction d'un exposant NÉGATIF donne une addition, c'est le point où l'on perd le plus souvent le signe. Contrôle décimal : $2^{6{,}5}\approx 90{,}5$, et $4\times 5{,}657\div 0{,}25\approx 90{,}5$ ✓.

d) $16\sqrt{8}=2^{4}\times\left(2^{3}\right)^{1/2}=2^{4}\times 2^{3/2}=2^{4+\frac{3}{2}}=2^{11/2}$. L'équation devient $2^{x}=2^{11/2}$. La fonction $t\mapsto 2^{t}$ étant strictement croissante, elle ne prend jamais deux fois la même valeur : deux puissances de $2$ sont égales si et seulement si leurs exposants le sont. D'où $x=\dfrac{11}{2}$. Contrôle : $2^{5{,}5}\approx 45{,}25$ et $16\times 2{,}828\approx 45{,}25$ ✓.

a) On lit de l'intérieur vers l'extérieur : $\sqrt{a^{12}}=a^{12\times\frac{1}{2}}=a^{6}$, puis $\sqrt[3]{a^{6}}=a^{6\times\frac{1}{3}}=a^{2}$. Plus rapidement, les trois exposants se multiplient d'un coup : $12\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=2$. Contrôle avec $a=2$ : $\sqrt{4096}=64$ et $\sqrt[3]{64}=4=2^{2}$ ✓.

b) Ces racines emboîtées se traitent obligatoirement de l'intérieur vers l'extérieur, une couche à la fois. Couche 1 : $\sqrt{a}=a^{1/2}$. Couche 2 : $a\cdot a^{1/2}=a^{3/2}$, dont la racine vaut $\left(a^{3/2}\right)^{1/2}=a^{3/4}$. Couche 3 : $a\cdot a^{3/4}=a^{7/4}$, dont la racine vaut $a^{7/8}$. Réponse : $a^{7/8}=\sqrt[8]{a^{7}}$. Observez la structure des résultats intermédiaires, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{8}$ : les numérateurs sont $1,\ 3,\ 7$ et les dénominateurs $2,\ 4,\ 8$, si bien qu'une quatrième couche donnerait $\frac{15}{16}$. Chaque étage ajoute un $a$ entier puis divise le tout par $2$, et l'exposant se rapproche de $1$ sans jamais l'atteindre.

c) On convertit les trois radicaux, puis on additionne les exposants du numérateur et on retranche celui du dénominateur : $\frac{5}{3}+\frac{1}{4}-\frac{3}{2}$. Le dénominateur commun est $12$ : $\frac{20}{12}+\frac{3}{12}-\frac{18}{12}=\frac{5}{12}$. Réponse : $a^{5/12}=\sqrt[12]{a^{5}}$. Un indice $12$ peut surprendre, mais il n'a rien d'anormal : c'est le PPCM des indices $3$, $4$ et $2$ de départ, et c'était prévisible avant même de calculer.

d) $a^{3}\sqrt{a}=a^{3}\cdot a^{1/2}=a^{7/2}$, donc $\sqrt{a^{3}\sqrt{a}}=\left(a^{7/2}\right)^{1/2}=a^{7/4}$. Attention à ne pas confondre avec b) : ici le $a^{3}$ est SOUS la même racine que $\sqrt{a}$, alors qu'en b) chaque $a$ était sous un nombre différent de racines. Contrôle avec $a=4$ : $a^{7/4}=4^{7/4}=\left(4^{1/4}\right)^{7}=\sqrt{2}^{\,7}\approx 11{,}31$, et directement $\sqrt{64\times 2}=\sqrt{128}\approx 11{,}31$ ✓.

e) La condition $a>0$ est ce qui rend toutes ces manipulations légitimes. D'abord parce que les racines d'indice PAIR n'existent pas pour un radicande négatif : avec $a=-16$, la toute première couche de b) est déjà $\sqrt{-16}$, qui n'existe pas dans $\mathbb{R}$, et le calcul s'arrête là. Ensuite, et c'est plus subtil, parce que la loi $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}$ n'est garantie que pour $a>0$ : en l'appliquant à un nombre négatif on aboutit à des contradictions, comme $\left((-1)^{2}\right)^{1/2}=1$ alors que $(-1)^{2\times\frac{1}{2}}=-1$. Poser $a>0$ n'est donc pas une précaution décorative, c'est l'hypothèse sans laquelle les quatre premières réponses seraient fausses.

a) $x^{3/2}=27$. L'exposant $\frac{3}{2}$ a un indice PAIR au dénominateur, donc l'expression n'a de sens que pour $x\geq 0$ : on cherche une solution positive. Pour isoler $x$, on élève les deux membres à la puissance INVERSE $\frac{2}{3}$, puisque $\left(x^{3/2}\right)^{2/3}=x^{1}$. On obtient $x=27^{2/3}=\left(3^{3}\right)^{2/3}=3^{2}=9$. Vérification : $9^{3/2}=\left(\sqrt{9}\right)^{3}=3^{3}=27$ ✓.

b) $x^{-2/3}=\frac{1}{4}$. On commence par se débarrasser de l'exposant négatif : $x^{-2/3}=\frac{1}{x^{2/3}}$, donc l'équation équivaut à $x^{2/3}=4$. Or $x^{2/3}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}$, si bien qu'en posant $u=\sqrt[3]{x}$ on résout $u^{2}=4$, dont les solutions sont $u=2$ ET $u=-2$. En revenant à $x=u^{3}$, on trouve $x=8$ et $x=-8$. Les deux conviennent, et c'est là tout l'intérêt de la question : l'exposant $\frac{2}{3}$ a un numérateur pair mais un indice IMPAIR, donc il accepte les nombres négatifs. Vérification : $(-8)^{-2/3}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{-8}\right)^{2}}=\frac{1}{(-2)^{2}}=\frac{1}{4}$ ✓. Ne perdez jamais la solution négative en oubliant le $\pm$ à la sortie d'un carré.

c) $\sqrt[4]{2x-6}$ a un indice pair : il faut $2x-6\geq 0$, donc $x\geq 3$, et le domaine est $[3,\ +\infty[$. $\sqrt[3]{2x-6}$ a un indice impair : aucune contrainte, le domaine est $\mathbb{R}$. La différence vient de ce que la fonction $t\mapsto t^{4}$ ne prend que des valeurs positives, alors que $t\mapsto t^{3}$ parcourt tous les réels : la première n'est donc inversible que sur les positifs, la seconde l'est partout.

d) $\sqrt[3]{x+5}=-2$. On élève au cube, opération valable ici sans précaution puisque $t\mapsto t^{3}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et donc bijective : $x+5=(-2)^{3}=-8$, d'où $x=-13$. Vérification : $\sqrt[3]{-13+5}=\sqrt[3]{-8}=-2$ ✓. En revanche $\sqrt{x+5}=-2$ n'a aucune solution, et ce n'est pas la même situation : la racine carrée est POSITIVE OU NULLE par définition, elle ne peut donc jamais égaler $-2$, quel que soit $x$. Si on élève quand même au carré, on trouve $x+5=4$ puis $x=-1$, qui ne vérifie pas l'équation de départ ($\sqrt{4}=2$, pas $-2$). C'est exactement une solution étrangère, produite par l'élévation au carré, et c'est pourquoi la vérification est obligatoire.

a) On élève les deux nombres à la puissance $6$, choisie parce que $6$ est le PPCM des indices $2$ et $3$ : c'est le plus petit exposant qui rende les DEUX résultats entiers. $\left(\sqrt{2}\right)^{6}=2^{6/2}=2^{3}=8$ et $\left(\sqrt[3]{3}\right)^{6}=3^{6/3}=3^{2}=9$. Comme $8<9$ et que $t\mapsto t^{6}$ est strictement croissante sur les positifs, on conclut $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$. Contrôle décimal : $1{,}414<1{,}442$ ✓. La marge est mince, ce qui montre bien qu'un coup d'œil ne suffisait pas.

b) Ici les exposants sont énormes, on ne peut pas calculer. On les écrit avec un exposant COMMUN, en factorisant $30$ et $20$ par leur PGCD $10$ : $2^{30}=\left(2^{3}\right)^{10}=8^{10}$ et $3^{20}=\left(3^{2}\right)^{10}=9^{10}$. Les deux nombres sont maintenant des puissances dixièmes, et comme $8<9$, on a $8^{10}<9^{10}$, donc $2^{30}<3^{20}$. Le rapport vaut d'ailleurs $\left(\frac{9}{8}\right)^{10}\approx 3{,}25$ : le second est plus de trois fois le premier, alors que les deux écritures se ressemblaient.

c) $\sqrt{100}=10$ et $\sqrt[3]{1000}=10$ : les deux nombres sont ÉGAUX. La méthode le confirme sans calculer les racines : $\left(\sqrt{100}\right)^{6}=100^{3}=10^{6}$ et $\left(\sqrt[3]{1000}\right)^{6}=1000^{2}=10^{6}$. Une méthode de comparaison doit savoir conclure à l'égalité aussi bien qu'à l'inégalité, sinon elle n'est pas fiable.

d) Le principe repose sur une seule propriété : pour $n>0$, la fonction $t\mapsto t^{n}$ est strictement croissante sur les nombres POSITIFS, donc elle conserve l'ordre dans les deux sens. Si $A$ et $B$ sont positifs, $A<B$ équivaut à $A^{n}<B^{n}$. Élever à une puissance commune bien choisie transforme donc des radicaux incomparables en entiers, sans jamais changer le sens de l'inégalité. Deux précautions accompagnent la méthode. La première : elle exige des nombres positifs, car sur les négatifs une puissance PAIRE renverse l'ordre ($-3<-2$ mais $9>4$). La seconde : la puissance choisie doit être un multiple commun des indices, sinon on remplace un radical par un autre et on n'a rien gagné.

a) On met les deux membres en base $2$ : $4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=2^{2x}$ et $8=2^{3}$. L'équation devient $2^{2x}=2^{3}$, donc $2x=3$ et $x=\frac{3}{2}$. Le passage des puissances aux exposants est légitime parce que $t\mapsto 2^{t}$ est strictement croissante, donc injective : elle ne prend jamais deux fois la même valeur. Vérification : $4^{3/2}=\left(\sqrt{4}\right)^{3}=2^{3}=8$ ✓.

b) La base commune est $3$ : $27^{x}=\left(3^{3}\right)^{x}=3^{3x}$ et $9^{x+1}=\left(3^{2}\right)^{x+1}=3^{2(x+1)}=3^{2x+2}$. Notez la parenthèse : l'exposant $x+1$ tout entier est multiplié par $2$, et oublier de distribuer donnerait $3^{2x+1}$, donc une réponse fausse. On identifie ensuite les exposants : $3x=2x+2$, d'où $x=2$. Vérification : $27^{2}=729$ et $9^{3}=729$ ✓.

c) $16=2^{4}$, donc $2^{x^{2}}=2^{4}$ impose $x^{2}=4$, soit $x=2$ ou $x=-2$. L'identification des exposants ne donne pas toujours une équation du premier degré : ici elle en donne une du second, avec deux solutions, et il ne faut pas jeter la négative. Vérification pour $x=-2$ : $2^{(-2)^{2}}=2^{4}=16$ ✓, l'exposant $x^{2}$ étant positif même quand $x$ ne l'est pas.

d) $\frac{1}{8}=8^{-1}=\left(2^{3}\right)^{-1}=2^{-3}$, donc $\left(\frac{1}{8}\right)^{x}=2^{-3x}$, et $32=2^{5}$. L'équation $2^{-3x}=2^{5}$ donne $-3x=5$, soit $x=-\frac{5}{3}$. Deux points méritent d'être retenus. Écrire une fraction comme une puissance à exposant NÉGATIF est l'étape qui débloque la question : tant que le $\frac{1}{8}$ reste une fraction, aucune loi ne s'applique. Et le signe de la solution est cohérent avec le sens de variation : la base $\frac{1}{8}$ est inférieure à $1$, donc la fonction $x\mapsto\left(\frac{1}{8}\right)^{x}$ est DÉCROISSANTE, et pour dépasser $1$ et atteindre $32$ il faut nécessairement un exposant négatif. Vérification : $\left(\frac{1}{8}\right)^{-5/3}=8^{5/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^{5}=2^{5}=32$ ✓.

Trois lois suffisent pour tout : $x^{m}x^{n}=x^{m+n}$, $\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}$ et $(x^{m})^{n}=x^{mn}$. À cela s'ajoute la règle qui coûte le plus de points : un exposant qui s'applique à un PRODUIT s'applique à chacun de ses facteurs, coefficient numérique compris.

a) $(2x^{-3})^{2}=2^{2}\times(x^{-3})^{2}=4x^{-6}=\frac{4}{x^{6}}$. Le $2$ est élevé au carré lui aussi : écrire $2x^{-6}$ est l'erreur la plus fréquente de la question. Contrôle en $x=1$ : l'expression de départ vaut $2^{2}=4$, et $\frac{4}{1}=4$ ✓.

b) On développe le numérateur : $(3a^{2}b)^{3}=27a^{6}b^{3}$. Puis $\frac{27a^{6}b^{3}}{9a^{4}b}=3a^{2}b^{2}$, en divisant les coefficients et en soustrayant les exposants lettre par lettre. Contrôle en $a=b=2$ : numérateur $(3\times 4\times 2)^{3}=24^{3}=13\,824$, dénominateur $9\times 16\times 2=288$, quotient $48$ ; et $3\times 4\times 4=48$ ✓.