Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois

Exercices corrigés : puissances et exposants fractionnaires (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur les puissances et les exposants fractionnaires, calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal. Ils conviennent aux élèves du secondaire québécois comme aux élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui préparent le complément québécois SN5.

Faites chaque exercice au complet avant d'ouvrir la correction : c'est en cherchant qu'on apprend, pas en lisant la solution.

Rappel de cours

• La racine nième de a, notée $\sqrt[n]{a}$ , est aussi $a^{1/n}$ . Elle n'existe pas dans $\mathbb{R}$ si n est pair et a négatif.
• Exposant fractionnaire : $a^{m/n}=\left(a^{1/n}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$ (avec $a\geq 0$ si n est pair).
• Lois des exposants : $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ , $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ , $(a^x)^y=a^{xy}$ , $(ab)^x=a^x b^x$ .
• Une racine paire $\sqrt[n]{E}$ n'est définie que si $E\geq 0$ ; une racine impaire est définie pour tout réel.

Exercice 1 : Existence et calcul de racines nièmes

Calculez si c'est possible ; sinon, expliquez pourquoi le nombre n'existe pas dans $\mathbb{R}$ .

a) $\sqrt[4]{16}$
b) $\sqrt[4]{-16}$
c) $\sqrt[3]{-27}$
d) $\sqrt{-9}$
e) $\sqrt[5]{-32}$
f) $\sqrt[3]{64}$

Voir la correction

a) $\sqrt[4]{16}=2$ .

b) N'existe pas : indice pair (4) et radicande négatif.

c) $\sqrt[3]{-27}=-3$ .

d) N'existe pas : indice pair (2) et radicande négatif.

e) $\sqrt[5]{-32}=-2$ .

f) $\sqrt[3]{64}=4$ .

Exercice 2 : Conversion radical / exposant fractionnaire

Écrivez sous forme d'exposant fractionnaire, puis calculez lorsque c'est possible.

a) $\sqrt[3]{5^2}$
b) $27^{2/3}$
c) $16^{3/4}$
d) $\left(\frac{1}{8}\right)^{2/3}$

Voir la correction

a) $\sqrt[3]{5^2}=5^{2/3}$ .

b) $27^{2/3}=\left(27^{1/3}\right)^2=3^2=9$ .

c) $16^{3/4}=\left(16^{1/4}\right)^3=2^3=8$ .

d) $\left(\frac{1}{8}\right)^{2/3}=\left(\left(\tfrac{1}{8}\right)^{1/3}\right)^2=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ .

Exercice 3 : Lois des exposants

Simplifiez et écrivez le résultat comme une seule puissance de la base indiquée.

a) $\frac{2^3\cdot 2^5}{2^2}$ (base 2)
b) $(3^2)^3\cdot 3^{-1}$ (base 3)
c) $9^2\cdot 27$ (base 3)
d) $\frac{8^2}{2^3}$ (base 2)

Voir la correction

a) $2^{3+5-2}=2^6$ .

b) $3^6\cdot 3^{-1}=3^5$ .

c) $9^2\cdot 27=(3^2)^2\cdot 3^3=3^4\cdot 3^3=3^7$ .

d) $8^2=(2^3)^2=2^6$ , donc $\frac{2^6}{2^3}=2^3$ .

Exercice 4 : Radicaux imbriqués

Écrivez chaque nombre à l'aide d'un seul radical (ou exposant), puis calculez lorsque c'est possible.

a) $\sqrt{\sqrt{81}}$
b) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
c) $\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{5}$
d) $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$

Voir la correction

a) $\sqrt{\sqrt{81}}=81^{1/4}=3$ .

b) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=64^{1/6}=2$ .

c) $\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{5}=5^{1/2+1/4}=5^{3/4}=\sqrt[4]{5^3}$ .

d) $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2=7^{2/3}=\sqrt[3]{49}$ .

Exercice 5 : Domaines d'existence et équations

Partie 1 : donnez le domaine d'existence de chaque expression.

a) $\sqrt{x-2}$
b) $\sqrt{2x+5}$
c) $\sqrt[3]{x-1}$
d) $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$
Partie 2 : résolvez les équations suivantes.
e) $\sqrt{x+1}=4$
f) $\sqrt{2x-1}=3$

Voir la correction

a) $x-2\geq 0\Rightarrow x\geq 2$ , soit $[2,\ +\infty[$ .

b) $2x+5\geq 0\Rightarrow x\geq -\frac{5}{2}$ , soit $\left[-\frac{5}{2},\ +\infty\right[$ .

c) Indice impair : domaine $=\mathbb{R}$ .

d) Dénominateur non nul et racine paire : $x-3>0\Rightarrow x>3$ , soit $]3,\ +\infty[$ .

e) $\sqrt{x+1}=4\Rightarrow x+1=16\Rightarrow x=15$ (valide, $x+1\geq 0$ ).

f) $\sqrt{2x-1}=3\Rightarrow 2x-1=9\Rightarrow x=5$ (valide).

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

Voir aussi

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Exercices corrigés : puissances et exposants fractionnaires (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Existence et calcul de racines nièmes

Exercice 2 : Conversion radical / exposant fractionnaire

Exercice 3 : Lois des exposants

Exercice 4 : Radicaux imbriqués

Exercice 5 : Domaines d'existence et équations

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