Exercices corrigés : la fonction racine carrée (math SN5)

Exercice 1 : Propriétés de la fonction

On considère la fonction $f(x)=-3\sqrt{2(x+4)}-1$.

• a) Identifiez les valeurs des paramètres a, b, h et k.
• b) Donnez les coordonnées du sommet de la courbe.
• c) Déterminez le domaine et l'image de f.
• d) Indiquez le sens d'ouverture et si la fonction est croissante ou décroissante. Justifiez à l'aide du signe de a et de b.

Exercice 2 : Forme canonique (a, b, h, k)

Pour chaque cas, écrivez la règle sous la forme $f(x)=a\sqrt{b(x-h)}+k$.

• a) La fonction de base $y=\sqrt{x}$ subit, dans l'ordre : un changement d'échelle vertical de facteur 2, une réflexion par rapport à l'axe des x, puis une translation de 3 unités vers la droite et de 5 unités vers le haut. Écrivez la règle (avec b = 1).
• b) Une fonction racine carrée a son sommet au point (-2, 4), s'ouvre vers la gauche et passe par le point (-6, 0). Trouvez la valeur de a (en posant b = -1) et écrivez la règle.
• c) Soit $g(x)=\sqrt{-4x+8}+1$. Mettez l'expression sous le radical en évidence pour faire apparaître la forme canonique, puis donnez h et k.

Exercice 3 : Zéro, ordonnée à l'origine et inéquation

Soit la fonction $f(x)=2\sqrt{x-3}-4$.

• a) Calculez l'ordonnée à l'origine si elle existe. Sinon, expliquez pourquoi.
• b) Déterminez le zéro de la fonction (la valeur de x telle que f(x) = 0).
• c) Résolvez l'inéquation $f(x)\geq 0$ et exprimez la solution par un intervalle.
• d) Sur quel intervalle la fonction est-elle négative ?

Exercice 4 : Problème : vidange d'un réservoir

La hauteur d'eau (en cm) restant dans un réservoir qui se vide est modélisée par une fonction racine carrée. À t = 0 minute, la hauteur est de 50 cm. La règle est de la forme :

$h(t)=a\sqrt{16-t}+k$, où t est le temps en minutes.

Le réservoir est vide (0 cm) après 16 minutes, et la courbe passe par le point (0, 50).

• a) Déterminez les valeurs de a et de k, puis écrivez la règle complète.
• b) Quelle est la hauteur d'eau après 7 minutes ?
• c) Après combien de minutes la hauteur est-elle de 30 cm ?
• d) Donnez le domaine de cette fonction dans le contexte du problème.

Exercice 5 : Problème : rencontre de deux fonctions

Deux grandeurs sont modélisées sur le même graphique :

• une fonction racine carrée : $f(x)=\sqrt{x-1}+2$

• une fonction affine : $g(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}$

• a) Déterminez le domaine de f.
• b) Trouvez algébriquement le point d'intersection (résolvez $f(x)=g(x)$). Rejetez toute solution non valide et justifiez le rejet.
• c) Pour quelles valeurs de x a-t-on $f(x)<g(x)$ ? Exprimez la réponse par un intervalle.

Exercice 6 : Lecture graphique et tracé

On considère la fonction $f(x)=2\sqrt{x-1}-2$. Le repère ci-dessous est vierge : c'est à vous de tracer la courbe.

• a) Déterminez les paramètres a, b, h et k, le domaine et le sommet de f.
• b) Donnez deux autres points de la courbe, puis tracez-la dans le repère.
• c) À l'aide de votre tracé, déterminez le zéro de f et résolvez l'inéquation $f(x)\geq 0$.