Exercices corrigés : la fonction racine carrée (math SN5)

a) On compare terme à terme avec la forme canonique $a\sqrt{b(x-h)}+k$. Le coefficient DEVANT le radical est $a=-3$. Le coefficient qui multiplie la parenthèse SOUS le radical est $b=2$. Le terme ajouté à la fin est $k=-1$. Pour $h$, il faut faire attention : la forme canonique s'écrit $(x-h)$, or l'énoncé donne $(x+4)$. On réécrit $x+4=x-(-4)$, donc $h=-4$. C'est l'erreur numéro un du chapitre : lire $h=4$ parce qu'on voit un $4$. Le signe de $h$ est toujours l'OPPOSÉ de celui qui apparaît dans la parenthèse.

b) Le sommet est le point $(h,\ k)$, soit $(-4\,;-1)$. Ce n'est pas une définition arbitraire : le sommet est le seul point où le radical vaut $0$, c'est-à-dire l'extrémité de la courbe, là où elle commence. On le vérifie directement : $f(-4)=-3\sqrt{2\times 0}-1=-1$ ✓.

c) Le domaine se lit sous le radical, qui doit être positif ou nul : $2(x+4)\geq 0$, et comme $2>0$ on peut diviser sans renverser, d'où $x+4\geq 0$ et $x\geq -4$. Domaine : $[-4,\ +\infty[$. Pour l'image, on part de $\sqrt{2(x+4)}\geq 0$ et on suit les deux opérations dans l'ordre : multiplier par $a=-3$ RENVERSE l'inégalité, donc $-3\sqrt{2(x+4)}\leq 0$ ; ajouter $k=-1$ décale le tout, donc $f(x)\leq -1$. Image : $]-\infty,\ -1]$.

d) $b=2>0$ : la courbe s'ouvre vers la DROITE, ce qui est cohérent avec le domaine $[-4,+\infty[$ trouvé en c). $a=-3<0$ : elle descend. Comme $a$ et $b$ sont de signes CONTRAIRES, la fonction est décroissante sur tout son domaine. Contrôle sur deux points : $f(-4)=-1$ et $f(0)=-3\sqrt{8}-1\approx -9{,}49$, la fonction a bien baissé quand $x$ a augmenté ✓.

Mémo qui vaut pour toute la série : $b$ et $h$ gouvernent l'axe des $x$, donc le domaine et le sens d'ouverture ; $a$ et $k$ gouvernent l'axe des $y$, donc l'image. Le sens de variation, lui, est le seul à dépendre des deux : c'est le SIGNE DU PRODUIT $ab$ qui décide, croissante si $ab>0$, décroissante si $ab<0$.

a) Chaque transformation se lit sur un paramètre précis, et il faut savoir lequel. Le changement d'échelle vertical de facteur $2$ agit sur $a$, qui devient $2$. La réflexion par rapport à l'axe des $x$ change le SIGNE de $a$, qui devient $-2$ : les deux transformations verticales se cumulent sur le même paramètre. La translation de $3$ unités vers la droite agit sur $h$, qui devient $3$, et elle s'écrit $(x-3)$ dans la règle, avec un signe moins alors que le déplacement est vers la droite. La translation de $5$ vers le haut donne $k=5$. Règle : $f(x)=-2\sqrt{x-3}+5$. Contrôle par le sommet : il doit être en $(3\,;5)$, et effectivement $f(3)=-2\times 0+5=5$ ✓.

b) Le sommet $(-2\,;4)$ donne immédiatement $h=-2$ et $k=4$, et l'ouverture vers la gauche impose $b<0$, d'où $b=-1$ comme le suggère l'énoncé. Il ne reste qu'un paramètre inconnu, $a$, et un point pour le déterminer. On substitue $(-6\,;0)$ dans $f(x)=a\sqrt{-1(x+2)}+4$ : $0=a\sqrt{-1(-6+2)}+4=a\sqrt{4}+4=2a+4$, donc $a=-2$. Règle : $f(x)=-2\sqrt{-(x+2)}+4$. Deux contrôles s'imposent. Le domaine : $-(x+2)\geq 0$ donne $x\leq -2$, et le point $-6$ y appartient bien ✓. Le signe de $a$ : négatif, donc la courbe descend depuis le sommet $4$ jusqu'à $0$, ce qui est cohérent avec un point à l'ordonnée $0$ ✓.

c) On met le coefficient de $x$ en évidence sous le radical : $9x-18=9(x-2)$, donc $g(x)=\sqrt{9(x-2)}+1$. Un coefficient positif sous un radical peut EN SORTIR, à condition d'en prendre la racine : $\sqrt{9(x-2)}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x-2}=3\sqrt{x-2}$. La forme canonique est donc $g(x)=3\sqrt{x-2}+1$, avec $a=3$, $b=1$, $h=2$, $k=1$, et un sommet en $(2\,;1)$. Ce qu'il faut retenir : un même graphique admet plusieurs écritures, $\sqrt{9(x-2)}$ et $3\sqrt{x-2}$ désignent la même courbe, et le paramètre $b$ peut toujours être ramené à $\pm 1$ en transférant sa racine dans $a$. Contrôle : $g(6)=\sqrt{54-18}+1=\sqrt{36}+1=7$, et $3\sqrt{4}+1=7$ ✓.

a) L'ordonnée à l'origine est $f(0)$, mais encore faut-il que $0$ appartienne au domaine. Ici le radical impose $x-3\geq 0$, donc le domaine est $[3,\ +\infty[$ et $0$ n'en fait pas partie : la fonction N'A PAS d'ordonnée à l'origine, et écrire $f(0)=2\sqrt{-3}-4$ n'a aucun sens. C'est une différence importante avec les polynômes, qui coupent toujours l'axe des $y$ : une fonction racine carrée ne le coupe que si son sommet est situé du bon côté, ici seulement si $h\leq 0$.

b) Le zéro est la valeur de $x$ qui annule $f$. On isole d'abord le radical, sans jamais élever au carré tant qu'il reste un terme à côté : $2\sqrt{x-3}-4=0$ donne $2\sqrt{x-3}=4$, puis $\sqrt{x-3}=2$. Maintenant seulement on élève au carré : $x-3=4$, donc $x=7$. Vérification obligatoire dans la règle de départ : $f(7)=2\sqrt{4}-4=2\times 2-4=0$ ✓. Ici le membre de droite $2$ était positif, aucune racine étrangère n'était possible, mais le réflexe de vérification doit être systématique.

c) On pourrait résoudre l'inéquation par le calcul, mais il est plus sûr et plus rapide de raisonner sur la VARIATION. Ici $a=2>0$ et $b=1>0$ sont de même signe, donc $f$ est croissante sur tout son domaine : elle part de $f(3)=-4$ et augmente sans jamais redescendre. Elle ne peut donc franchir la valeur $0$ qu'une seule fois, en $x=7$, et elle reste positive après. Solution : $[7,\ +\infty[$, borne fermée car $f(7)=0$ satisfait l'inégalité large.

d) Par le même argument, $f$ est négative AVANT son zéro, mais sans jamais sortir du domaine : la solution est $[3,\ 7[$. Faites attention aux deux crochets, ils ne sont pas du même type et chacun a sa raison. Le crochet fermé en $3$ vient de ce que $3$ appartient au domaine et que $f(3)=-4<0$. Le crochet ouvert en $7$ vient de ce que $f(7)=0$ n'est pas strictement négatif. Une réponse comme $]-\infty,\ 7[$ serait fausse deux fois : elle inclurait des valeurs hors du domaine.

a) On dispose de deux informations et de deux inconnues, c'est exactement ce qu'il faut. La plus simple à exploiter est « le réservoir est vide après $16$ minutes » : $h(16)=a\sqrt{16-16}+k=a\times 0+k=k$, et cette valeur doit être $0$, donc $k=0$. Choisir cette équation en PREMIER est ce qui rend le problème facile, parce que le radical s'y annule et élimine $a$. On reporte ensuite dans la seconde information, le point $(0\,;50)$ : $50=a\sqrt{16-0}=a\sqrt{16}=4a$, donc $a=12{,}5$. Règle : $h(t)=12{,}5\sqrt{16-t}$.

b) $h(7)=12{,}5\sqrt{16-7}=12{,}5\sqrt{9}=12{,}5\times 3=37{,}5$ cm.

c) On résout $12{,}5\sqrt{16-t}=30$. On isole le radical : $\sqrt{16-t}=\frac{30}{12{,}5}=2{,}4$. On élève au carré : $16-t=5{,}76$, donc $t=16-5{,}76=10{,}24$ minutes, soit environ $10$ min $14$ s. Vérification : $12{,}5\sqrt{5{,}76}=12{,}5\times 2{,}4=30$ ✓.

d) Dans le contexte, le temps ne peut pas être négatif et la vidange s'arrête quand le réservoir est vide : domaine $[0\,;16]$ minutes. Au-delà de $16$, le radicande deviendrait négatif et la formule perdrait tout sens, ce qui est le signe que le modèle décrit exactement la durée de la vidange, sans extrapolation possible.

Ce que ce modèle dit vraiment, et qui est le point intéressant du problème : la vidange n'est PAS régulière. Cherchons quand la hauteur est tombée à la moitié, soit $25$ cm : $\sqrt{16-t}=2$, donc $16-t=4$ et $t=12$ minutes. Autrement dit, il faut $12$ des $16$ minutes pour évacuer la première moitié de l'eau, et les $4$ dernières minutes suffisent pour l'autre moitié. Le niveau baisse lentement au début et s'effondre à la fin, ce qui est bien le comportement d'un réservoir qui se vide par un trou : la pression, donc le débit, diminue avec la hauteur. C'est la courbure de la racine carrée, décroissante et de plus en plus raide ici, qui porte toute cette information.

a) On lit les paramètres sur $f(x)=2\sqrt{x-1}-2$ : $a=2$, $b=1$, $h=1$, $k=-2$. Le domaine vient du radical, $x-1\geq 0$, donc $[1,\ +\infty[$, et le sommet est $(h\,;k)=(1\,;-2)$. Comme $a$ et $b$ sont tous deux positifs, la courbe part du sommet et monte vers la droite.

b) Pour tracer une racine carrée à la main, on ne prend pas des abscisses au hasard : on choisit celles qui rendent le radicande égal à un CARRÉ PARFAIT, sinon on obtient des valeurs irrationnelles impossibles à placer. Ici il faut $x-1\in\{0,\ 1,\ 4,\ 9\}$, donc $x\in\{1,\ 2,\ 5,\ 10\}$. On obtient $f(1)=-2$ (le sommet), $f(2)=2\times 1-2=0$, $f(5)=2\times 2-2=2$ et $f(10)=2\times 3-2=4$. Ces quatre points suffisent pour un tracé propre, et ils montrent l'allure caractéristique de façon frappante. Les ordonnées $-2$, $0$, $2$, $4$ progressent régulièrement, de $2$ en $2$, alors que les abscisses correspondantes $1$, $2$, $5$, $10$ s'écartent de plus en plus : les intervalles valent $1$, puis $3$, puis $5$. Pour gagner les mêmes deux unités de hauteur, il faut donc parcourir chaque fois plus de chemin horizontal, ce qui est exactement la définition d'une courbe qui s'aplatit.

c) Le zéro se lit sur le tracé en $x=2$, et le calcul le confirme : $2\sqrt{x-1}=2$ donne $\sqrt{x-1}=1$, puis $x-1=1$ et $x=2$ ✓. Pour l'inéquation $f(x)\geq 0$, la fonction étant croissante et nulle en $2$, elle est positive à partir de là : la solution est $[2,\ +\infty[$. Sur le graphique, cela correspond à la portion de courbe située AU-DESSUS de l'axe des $x$, bornée à gauche par le point $(2\,;0)$.

a) Le radical impose $x-1\geq 0$, donc le domaine de $f$ est $[1,\ +\infty[$. Cette réponse n'est pas une formalité : c'est elle qui limitera l'intervalle solution de la question c), et c'est elle qui permettra plus loin d'écarter une réponse absurde.

b) On égale les deux règles : $\sqrt{x-1}+2=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}$. Première étape, ISOLER le radical, jamais élever au carré avant : $\sqrt{x-1}=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}=\frac{9-x}{2}$. Cette écriture livre déjà une information capitale : un radical est positif ou nul, donc toute solution devra vérifier $9-x\geq 0$, c'est-à-dire $x\leq 9$. On élève ensuite au carré : $x-1=\frac{(9-x)^{2}}{4}$, soit $4x-4=81-18x+x^{2}$, donc $x^{2}-22x+85=0$. Le discriminant vaut $484-340=144$, dont la racine est $12$, d'où $x=\frac{22\pm 12}{2}$, c'est-à-dire $x=17$ ou $x=5$. On confronte chaque candidat à l'équation de DÉPART. Pour $x=5$ : $f(5)=\sqrt{4}+2=4$ et $g(5)=-2{,}5+6{,}5=4$ ✓. Pour $x=17$ : $f(17)=\sqrt{16}+2=6$ mais $g(17)=-8{,}5+6{,}5=-2$, les deux ne coïncident pas, le candidat est rejeté. On pouvait d'ailleurs le prévoir sans calcul, puisque $17>9$ violait la condition trouvée plus haut. Point d'intersection unique : $(5\,;4)$.

c) Sur le domaine de $f$, les deux courbes ne se croisent qu'en $x=5$ : de part et d'autre de ce point, l'une est donc toujours au-dessus de l'autre, et il suffit d'un point témoin par intervalle pour savoir laquelle. En $x=1$ : $f(1)=2$ et $g(1)=6$, donc $f<g$. En $x=10$ : $f(10)=5$ et $g(10)=1{,}5$, donc $f>g$. La solution de $f(x)<g(x)$ est $[1\,;5[$, bornée à gauche par le domaine de $f$ et à droite par le point d'intersection, exclu puisque l'inégalité est stricte. Notez la logique de la méthode : on résout d'abord l'ÉGALITÉ, puis on teste des points, plutôt que de manipuler une inéquation avec radical, ce qui est nettement plus risqué.

a) La forme canonique exige une parenthèse $(x-h)$ sous le radical : il faut donc mettre le coefficient de $x$ en évidence. $-4x+8=-4(x-2)$, en vérifiant bien le second terme, $-4\times(-2)=+8$ ✓. On a alors $f(x)=\sqrt{-4(x-2)}-3$. Un coefficient sous un radical peut en sortir si l'on en prend la racine, et ici $-4=4\times(-1)$ : on sort le $4$ sous forme de $\sqrt{4}=2$ et on laisse le $-1$ à l'intérieur, car un signe négatif ne peut pas sortir d'un radical. D'où $f(x)=2\sqrt{-(x-2)}-3$.

b) $a=2$, $b=-1$, $h=2$, $k=-3$, et le sommet est $(2\,;-3)$. Comparez avec la lecture naïve de l'énoncé de départ : on aurait pu croire $h=8$ ou $h=-8$ en regardant $-4x+8$. C'est toute l'utilité de la mise sous forme canonique, aucun paramètre n'est lisible avant.

c) Domaine : $-(x-2)\geq 0$ donne $x-2\leq 0$, donc $x\leq 2$ et le domaine est $]-\infty\,;2]$. Notez le renversement de l'inégalité, dû à la multiplication par $-1$ ; c'est la cause d'erreur la plus fréquente de la question. Image : $\sqrt{\ }\geq 0$, multiplié par $a=2>0$ reste positif, puis décalé de $k=-3$, donc $[-3\,;+\infty[$. Variation : $a=2>0$ et $b=-1<0$ sont de signes contraires, $ab<0$, donc $f$ est DÉCROISSANTE sur son domaine. On le confirme en deux points : $f(2)=-3$ et $f(-2)=2\sqrt{4}-3=1$, et effectivement en allant de $x=-2$ vers $x=2$ la fonction descend de $1$ à $-3$ ✓.

d) $2\sqrt{-(x-2)}-3=0$ donne $\sqrt{-(x-2)}=\frac{3}{2}$, puis en élevant au carré $-(x-2)=\frac{9}{4}$, donc $x-2=-\frac{9}{4}$ et $x=2-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$. Cette valeur appartient bien au domaine $]-\infty\,;2]$ ✓. Vérification dans la règle DE DÉPART, comme le demande l'énoncé, et c'est le seul contrôle qui valide en même temps la factorisation de a) : $f(-0{,}25)=\sqrt{-4\times(-0{,}25)+8}-3=\sqrt{1+8}-3=\sqrt{9}-3=0$ ✓. Si la mise en évidence de a) avait été fausse, ce calcul ne serait pas tombé juste.

a) On élève au carré : $x+3=(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$, ce qui donne $x^{2}-7x+6=0$, soit $(x-1)(x-6)=0$ et deux CANDIDATS, $x=1$ et $x=6$. Le mot candidat est important : à ce stade aucun des deux n'est encore une solution. Vérification pour $x=1$ : le membre de gauche vaut $\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$, le membre de droite $1-3=-2$. Ils ont la même valeur absolue mais des signes opposés : rejeté. Vérification pour $x=6$ : $\sqrt{6+3}=3$ et $6-3=3$ ✓, accepté. Solution unique : $x=6$. On pouvait anticiper le rejet en posant d'entrée la condition $x-3\geq 0$, soit $x\geq 3$, qui élimine $1$ sans aucun calcul.

b) On isole d'abord le radical, faute de quoi le carré ferait apparaître un double produit contenant encore une racine : $\sqrt{2x+8}=x-2$. Puis $2x+8=x^{2}-4x+4$, donc $x^{2}-6x-4=0$. Le discriminant vaut $36+16=52$, et $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$, d'où $x=\frac{6\pm 2\sqrt{13}}{2}=3\pm\sqrt{13}$. Candidat $3+\sqrt{13}\approx 6{,}606$ : le membre de droite vaut $\approx 4{,}606$, positif, et $\sqrt{2\times 6{,}606+8}=\sqrt{21{,}21}\approx 4{,}606$ ✓, accepté. Candidat $3-\sqrt{13}\approx -0{,}606$ : le membre de droite vaut $\approx -2{,}606$, négatif, alors qu'un radical ne l'est jamais : rejeté. Solution : $x=3+\sqrt{13}$, valeur exacte à conserver telle quelle, l'arrondi n'étant qu'un contrôle.

c) L'équation $\sqrt{u}=v$ contient DEUX informations : d'une part $u=v^{2}$, d'autre part $v\geq 0$, puisqu'un radical n'est jamais négatif. En élevant au carré on ne garde que la première et on perd la seconde, car $v$ et $-v$ ont le même carré : l'équation obtenue ne distingue plus $\sqrt{u}=v$ de $\sqrt{u}=-v$. Les candidats qui rendent le second membre négatif sont précisément les solutions de cette AUTRE équation, celle qu'on n'a jamais voulu résoudre, et c'est ce qu'on appelle des racines étrangères. Conséquence pratique, et c'est un point de barème explicite : la vérification n'est pas un contrôle facultatif de calcul, c'est une ÉTAPE de la résolution, et il suffit d'examiner le signe du membre de droite pour trancher.