Math SN5, secondaire 5 • Trigonométrie

Exercices corrigés : la résolution de triangles (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur la résolution de triangles quelconques, calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal. On y travaille la loi des sinus, la loi des cosinus, le calcul de l'aire, le cas ambigu et des problèmes concrets d'arpentage. Cette série complète le volet trigonométrie du cours SN5, aussi utile aux élèves du secondaire québécois qu'à ceux du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas.

Pour chaque exercice, faites un schéma du triangle, placez les angles et les côtés, et choisissez la loi adaptée aux données (deux angles et un côté, ou deux côtés et l'angle compris) avant de calculer.

Rappel de cours

• Loi des sinus : $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ , où le côté $a$ est opposé à l'angle $A$ . À utiliser quand on connaît un angle et son côté opposé.
• Loi des cosinus : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ . À utiliser pour deux côtés et l'angle compris (on cherche le 3e côté), ou pour les trois côtés (on cherche un angle).
• Aire d'un triangle : $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,ab\sin C$ (deux côtés et l'angle compris) ou formule de Héron $\mathcal{A}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ avec $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ .
• Somme des angles : $A+B+C=180^{\circ}$ .
• Cas ambigu (deux côtés et un angle NON compris) : la loi des sinus peut donner DEUX triangles, car $\sin B=\sin(180^{\circ}-B)$ . Il faut vérifier si le second angle est géométriquement possible ( $A+B<180^{\circ}$ ).

Exercice 1 : Loi des sinus

Dans le triangle $ABC$ ci-dessous, $A=40^{\circ}$ , $B=75^{\circ}$ et le côté $a$ (opposé à $A$ ) mesure 10 cm. Le schéma est tracé à l'échelle.

a) Déterminez la mesure de l'angle $C$ .
b) Calculez la longueur du côté $b$ (opposé à $B$ ) au centième près.
c) Calculez la longueur du côté $c$ (opposé à $C$ ) au centième près.
d) Vérifiez la cohérence : le plus grand côté est-il bien opposé au plus grand angle ?

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a) $C=180^{\circ}-40^{\circ}-75^{\circ}=65^{\circ}$ .

b) $\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}$ donne $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{10\sin 75^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\approx\dfrac{9{,}659}{0{,}6428}\approx 15{,}03$ cm.

c) $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{10\sin 65^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\approx\dfrac{9{,}063}{0{,}6428}\approx 14{,}10$ cm.

d) Le plus grand angle est $B=75^{\circ}$ , opposé au côté $b\approx 15{,}03$ cm, qui est bien le plus grand côté ; le plus petit angle $A=40^{\circ}$ est opposé au plus petit côté $a=10$ cm. Cohérent.

Exercice 2 : Loi des cosinus

La loi des cosinus s'emploie dans deux situations : deux côtés et l'angle compris (on cherche le troisième côté), ou les trois côtés (on cherche un angle).

a) Dans un triangle, $b=8$ , $c=5$ et l'angle compris $A=60^{\circ}$ . Calculez le côté $a$ .
b) Un triangle a pour côtés 5, 6 et 7. Calculez la mesure de son plus grand angle (au centième de degré).
c) Pour le triangle du b), pourquoi le plus grand angle est-il opposé au côté 7 ?
d) Le triangle du b) est-il acutangle, rectangle ou obtusangle ? Justifiez à partir de l'angle trouvé.

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a) $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=8^{2}+5^{2}-2(8)(5)\cos 60^{\circ}=64+25-80(0{,}5)=89-40=49$ , donc $a=7$ .

b) Le plus grand angle $C$ est opposé au côté 7 : $\cos C=\dfrac{5^{2}+6^{2}-7^{2}}{2(5)(6)}=\dfrac{25+36-49}{60}=\dfrac{12}{60}=0{,}2$ , donc $C\approx 78{,}46^{\circ}$ .

c) Dans tout triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle : c'est une conséquence directe de la loi des sinus (à plus grand côté correspond plus grand sinus, donc plus grand angle sur $]0^{\circ};180^{\circ}[$ ).

d) Le plus grand angle vaut environ 78,46°, donc inférieur à 90° : tous les angles sont aigus, le triangle est acutangle.

Exercice 3 : Aire d'un triangle

On peut calculer l'aire d'un triangle sans connaître sa hauteur, soit à partir de deux côtés et l'angle compris, soit à partir des trois côtés (formule de Héron).

a) Calculez l'aire du triangle où $b=8$ , $c=5$ et $A=60^{\circ}$ (celui de l'exercice 2 a).
b) Calculez l'aire du triangle de côtés 5, 6 et 7 par la formule de Héron.
c) Retrouvez l'aire du triangle du b) avec la formule $\dfrac{1}{2}ab\sin C$ , en utilisant l'angle $C\approx 78{,}46^{\circ}$ trouvé à l'exercice 2. Les deux méthodes concordent-elles ?
d) Un terrain triangulaire a deux côtés de 40 m et 55 m formant un angle de 105°. Calculez son aire, arrondie au mètre carré.

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a) $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}(8)(5)\sin 60^{\circ}=20\times 0{,}8660\approx 17{,}32$ unités².

b) $s=\dfrac{5+6+7}{2}=9$ . $\mathcal{A}=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}=\sqrt{216}\approx 14{,}70$ unités².

c) $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}(5)(6)\sin 78{,}46^{\circ}=15\times 0{,}9798\approx 14{,}70$ unités² : identique à Héron.

d) $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}(40)(55)\sin 105^{\circ}=1100\times 0{,}9659\approx 1063$ m².

Exercice 4 : Le cas ambigu

Quand on connaît deux côtés et un angle NON compris entre eux (cas SSA), la loi des sinus peut mener à DEUX triangles distincts. On donne $a=8$ , $b=11$ et $A=35^{\circ}$ (l'angle $A$ est opposé au côté $a$ ).

a) Utilisez la loi des sinus pour trouver $\sin B$ , puis les DEUX valeurs possibles de l'angle $B$ dans $]0^{\circ};180^{\circ}[$ .
b) Vérifiez que chacune des deux valeurs de $B$ donne un triangle géométriquement possible (condition $A+B<180^{\circ}$ ).
c) Pour chaque triangle, déterminez l'angle $C$ et le côté $c$ .
d) Expliquez pourquoi ce cas est « ambigu » alors que la loi des cosinus, elle, ne l'est jamais.

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a) $\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin A}{a}$ donne $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{11\sin 35^{\circ}}{8}\approx 0{,}7886$ . Donc $B\approx 52{,}06^{\circ}$ ou $B\approx 180^{\circ}-52{,}06^{\circ}=127{,}94^{\circ}$ .

b) Triangle 1 : $A+B=35^{\circ}+52{,}06^{\circ}=87{,}06^{\circ}<180^{\circ}$ : possible. Triangle 2 : $35^{\circ}+127{,}94^{\circ}=162{,}94^{\circ}<180^{\circ}$ : possible aussi. Les deux triangles existent.

c) Triangle 1 : $C=180^{\circ}-87{,}06^{\circ}=92{,}94^{\circ}$ , $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{8\sin 92{,}94^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\approx 13{,}93$ . Triangle 2 : $C=180^{\circ}-162{,}94^{\circ}=17{,}06^{\circ}$ , $c=\dfrac{8\sin 17{,}06^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\approx 4{,}09$ .

d) La loi des sinus fait intervenir $\sin B$ , et deux angles supplémentaires ont le même sinus ( $\sin B=\sin(180^{\circ}-B)$ ) : d'où l'ambiguïté. La loi des cosinus fait intervenir $\cos B$ , et sur $]0^{\circ};180^{\circ}[$ le cosinus est injectif (une seule valeur d'angle par cosinus) : aucune ambiguïté.

Exercice 5 : Problème : la traversée du canyon

Un arpenteur veut connaître la distance entre deux points $C$ et $D$ situés de l'autre côté d'un canyon, sans le traverser. De son côté, il installe une base $AB$ de 200 m. Le schéma à l'échelle montre les visées.

a) L'arpenteur vise le point $C$ : depuis $A$ , l'angle $\widehat{BAC}=65^{\circ}$ ; depuis $B$ , l'angle $\widehat{ABC}=78^{\circ}$ . Déterminez l'angle $\widehat{ACB}$ , puis les distances $AC$ et $BC$ .
b) Il vise ensuite le point $D$ (du même côté que $C$ ) : $\widehat{BAD}=40^{\circ}$ et $\widehat{ABD}=95^{\circ}$ . Déterminez la distance $AD$ .
c) Dans le triangle $ACD$ , on connaît maintenant $AC$ , $AD$ et l'angle $\widehat{CAD}=\widehat{BAC}-\widehat{BAD}=25^{\circ}$ . Calculez la distance $CD$ .
d) Quelle loi avez-vous utilisée à chaque étape, et pourquoi le choix change-t-il entre les parties a-b et la partie c ?

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a) $\widehat{ACB}=180^{\circ}-65^{\circ}-78^{\circ}=37^{\circ}$ . Loi des sinus : $AC=\dfrac{200\sin 78^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}\approx\dfrac{195{,}6}{0{,}6018}\approx 325{,}1$ m ; $BC=\dfrac{200\sin 65^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}\approx 301{,}2$ m.

b) $\widehat{ADB}=180^{\circ}-40^{\circ}-95^{\circ}=45^{\circ}$ . $AD=\dfrac{200\sin 95^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}\approx\dfrac{199{,}2}{0{,}7071}\approx 281{,}7$ m.

c) Loi des cosinus dans $ACD$ : $CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2\,AC\cdot AD\cos 25^{\circ}=325{,}1^{2}+281{,}7^{2}-2(325{,}1)(281{,}7)\cos 25^{\circ}$ . $CD^{2}\approx 105\ 690+79\ 355-166\ 022\approx 19\ 023$ , donc $CD\approx 137{,}9$ m.

d) Parties a et b : on connaissait deux angles et un côté (la base de 200 m), donc la loi des SINUS. Partie c : on connaissait deux côtés ( $AC$ , $AD$ ) et l'angle compris (25°), donc la loi des COSINUS. On choisit la loi selon la disposition des données connues autour du triangle.

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

Voir aussi

📝 Tous les exercices 📐 Tuteur math SN5 📐 Mathématiques 🏫 Secondaire québécois 🎓 Tutorat cégep

Exercices corrigés : la résolution de triangles (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Loi des sinus

Exercice 2 : Loi des cosinus

Exercice 3 : Aire d'un triangle

Exercice 4 : Le cas ambigu

Exercice 5 : Problème : la traversée du canyon

Voir aussi

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