Exercices corrigés : la résolution de triangles (math SN4, secondaire 4)

a) $C=180^{\circ}-40^{\circ}-75^{\circ}=65^{\circ}$.

b) $\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}$ donne $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{10\sin 75^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\approx\dfrac{9{,}659}{0{,}6428}\approx 15{,}03$ cm.

c) $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{10\sin 65^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\approx\dfrac{9{,}063}{0{,}6428}\approx 14{,}10$ cm.

d) Le plus grand angle est $B=75^{\circ}$, opposé au côté $b\approx 15{,}03$ cm, qui est bien le plus grand côté ; le plus petit angle $A=40^{\circ}$ est opposé au plus petit côté $a=10$ cm. Cohérent.

a) $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=8^{2}+5^{2}-2(8)(5)\cos 60^{\circ}=64+25-80(0{,}5)=89-40=49$, donc $a=7$.

b) Le plus grand angle $C$ est opposé au côté 7 : $\cos C=\dfrac{5^{2}+6^{2}-7^{2}}{2(5)(6)}=\dfrac{25+36-49}{60}=\dfrac{12}{60}=0{,}2$, donc $C\approx 78{,}46^{\circ}$.

c) Dans tout triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle : c'est une conséquence directe de la loi des sinus (à plus grand côté correspond plus grand sinus, donc plus grand angle sur $]0^{\circ};180^{\circ}[$).

d) Le plus grand angle vaut environ 78,46°, donc inférieur à 90° : tous les angles sont aigus, le triangle est acutangle.

e) L'angle qui paraît le plus grand est celui du sommet $C$, et c'est bien celui qu'on a calculé au b) : $C\approx 78{,}46^{\circ}$, opposé au côté 7. La figure et le calcul concordent. Le plus PETIT angle est alors celui opposé au plus petit côté, donc l'angle $A$ opposé au côté 5 : $\cos A=\dfrac{6^{2}+7^{2}-5^{2}}{2\times 6\times 7}=\dfrac{60}{84}$, soit $A\approx 44{,}42^{\circ}$. On vérifie la somme : $44{,}42+57{,}12+78{,}46=180^{\circ}$. La règle à retenir est que dans TOUT triangle, l'ordre des côtés et l'ordre des angles opposés sont les mêmes.

a) $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}(8)(5)\sin 60^{\circ}=20\times 0{,}8660\approx 17{,}32$ unités².

b) $s=\dfrac{5+6+7}{2}=9$. $\mathcal{A}=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}=\sqrt{216}\approx 14{,}70$ unités².

c) $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}(5)(6)\sin 78{,}46^{\circ}=15\times 0{,}9798\approx 14{,}70$ unités² : identique à Héron.

d) $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}(40)(55)\sin 105^{\circ}=1100\times 0{,}9659\approx 1063$ m².

e) Non, il tombe À L'EXTÉRIEUR. Comme l'angle en $A$ dépasse $90^{\circ}$, le sommet $C$ se trouve en arrière de la perpendiculaire élevée en $A$ : le pied $H$ de la hauteur est du côté opposé à $B$, hors du segment $[AB]$. Le calcul le confirme, l'abscisse de $C$ valant $40\cos 105^{\circ}\approx -10{,}35$, donc négative alors que $[AB]$ occupe les abscisses de $0$ à $55$. La conclusion n'est PAS que la formule $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ cesse d'être vraie, elle reste exacte ; c'est qu'il faut prolonger le côté $[AB]$ au-delà de $A$ pour y lire la hauteur, ce qui est une construction de plus et une source d'erreur de signe. C'est précisément ce que la formule $\dfrac{1}{2}bc\sin A$ évite : elle ne demande aucune hauteur et se moque de savoir si l'angle est aigu ou obtus.

a) Configuration AAS : deux angles et un côté non compris. Le troisième angle vient de la somme : $C=180^{\circ}-40^{\circ}-75^{\circ}=65^{\circ}$. Puis la loi des sinus, une fois le rapport $\frac{a}{\sin A}=\frac{12}{\sin 40^{\circ}}\approx 18{,}6684$ calculé : $b=18{,}6684\sin 75^{\circ}\approx 18{,}03$ et $c=18{,}6684\sin 65^{\circ}\approx 16{,}92$. Contrôle de cohérence indispensable : le plus grand côté doit faire face au plus grand angle. Ici $B=75^{\circ}$ est le plus grand angle et $b\approx 18{,}03$ le plus grand côté ✓, tandis que $A=40^{\circ}$ est le plus petit angle et $a=12$ le plus petit côté ✓.

b) Configuration SAS : deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux. La loi des sinus est inutilisable, car aucun couple (côté, angle opposé) n'est complet. On commence donc par la loi des cosinus sur le côté opposé à l'angle connu : $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C=49+81-2(7)(9)\cos 52^{\circ}=130-126(0{,}61566)\approx 52{,}4267$, d'où $c\approx 7{,}24$. Le triangle possède maintenant un couple complet $(c,C)$, et la loi des sinus prend le relais : $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{7(0{,}78801)}{7{,}2406}\approx 0{,}76182$, donc $A\approx 49{,}63^{\circ}$, puis $B=180^{\circ}-52^{\circ}-49{,}63^{\circ}\approx 78{,}37^{\circ}$.

c) Le tableau. AAS ou ASA (deux angles et un côté) : troisième angle par la somme, puis LOI DES SINUS. SAS (deux côtés et l'angle compris) : LOI DES COSINUS pour le troisième côté, puis loi des sinus. SSS (trois côtés) : LOI DES COSINUS pour un angle, puis loi des sinus. SSA (deux côtés et un angle non compris) : LOI DES SINUS, mais c'est le CAS AMBIGU, qui peut donner zéro, un ou deux triangles (exercice 6). Règle mnémonique : la loi des cosinus sert exactement quand aucun couple (côté, angle opposé) n'est complet, c'est-à-dire dans les cas SAS et SSS; partout ailleurs la loi des sinus suffit et elle est plus rapide.

d) La loi des sinus relie un côté à l'angle OPPOSÉ : $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$. En SSS on ne connaît aucun angle, donc chaque rapport contient une inconnue, et toute équation qu'on écrirait comporterait deux inconnues pour une seule relation : le système est sous-déterminé et ne se résout pas. La loi des cosinus, elle, ne fait intervenir qu'UN seul angle pour trois côtés connus : $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ donne immédiatement $A$. Une fois un angle obtenu, on dispose d'un couple complet et la loi des sinus redevient utilisable pour la suite. Précaution utile : après un calcul en SSS, mieux vaut chercher ensuite le plus PETIT angle restant par la loi des sinus, car un petit angle est forcément aigu et l'arc sinus le rend sans ambiguïté.

a) Demi-périmètre : $s=\frac{5+6+7}{2}=9$. Formule de Héron : $\mathcal{A}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}=\sqrt{216}$. Valeur exacte : $\sqrt{216}=\sqrt{36\times 6}=6\sqrt{6}\approx 14{,}6969$. Héron est la formule à employer dès que les TROIS côtés sont connus et qu'aucun angle ne l'est : elle évite de passer par la loi des cosinus.

b) L'aire vaut aussi $\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{hauteur}$ pour chacun des trois choix de base, donc $h=\frac{2\mathcal{A}}{\text{base}}$. Avec $2\mathcal{A}=12\sqrt{6}\approx 29{,}3939$ : $h_{5}=\frac{29{,}3939}{5}\approx 5{,}879$; $h_{6}=\frac{29{,}3939}{6}\approx 4{,}899$; $h_{7}=\frac{29{,}3939}{7}\approx 4{,}199$. La plus courte est celle relative au côté 7. C'était prévisible : le produit base $\times$ hauteur est constant (il vaut toujours $2\mathcal{A}$), donc hauteur et base varient en sens INVERSE, et la plus grande base porte forcément la plus petite hauteur.

c) Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet tombe au MILIEU de la base et la coupe perpendiculairement : elle crée deux triangles rectangles de côtés 5 (demi-base), $h$ et 13 (hypoténuse). Par Pythagore : $h=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$. Aire : $\frac{10\times 12}{2}=60$. Vérification par Héron : $s=\frac{10+13+13}{2}=18$, donc $\mathcal{A}=\sqrt{18(18-10)(18-13)(18-13)}=\sqrt{18\times 8\times 5\times 5}=\sqrt{3600}=60$ ✓.

d) Le demi-angle au sommet $\theta$ vérifie $\sin\frac{\theta}{2}=\frac{5}{13}$ (côté opposé sur hypoténuse dans le demi-triangle rectangle), donc $\frac{\theta}{2}=\arcsin\frac{5}{13}\approx 22{,}62^{\circ}$ et $\theta\approx 45{,}24^{\circ}$. Aire par la formule trigonométrique, avec les deux côtés égaux et l'angle compris : $\mathcal{A}=\frac{1}{2}(13)(13)\sin 45{,}24^{\circ}=84{,}5\times 0{,}71006\approx 60{,}00$ ✓. Les trois méthodes (Pythagore, Héron, formule trigonométrique) donnent le même résultat, ce qui est la meilleure vérification possible d'un exercice de ce chapitre : chaque formule d'aire est une porte d'entrée différente vers la même grandeur, et le choix se fait sur les données disponibles, jamais sur la difficulté.

e) Le triangle est isocèle en $C$, donc symétrique par rapport à la droite $(CH)$ : la symétrie échange $A$ et $B$ en laissant $C$ fixe. Elle envoie donc la hauteur issue de $C$ sur elle-même, ce qui force $H$ à être le milieu de $[AB]$, d'où la MÉDIANE, et force les deux angles en $C$ de part et d'autre à être égaux, d'où la BISSECTRICE. On le vérifie sur les nombres : $HA=HB=5$ et $5^{2}+12^{2}=169=13^{2}$. Pour le triangle 5-6-7, il n'y a AUCUN axe de symétrie puisque les trois côtés sont deux à deux distincts : hauteur, médiane et bissectrice issues d'un même sommet y sont trois droites différentes. La confusion entre ces trois droites est l'erreur classique du chapitre, et elle ne se voit que sur une figure de triangle quelconque.

a) $\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin A}{a}$ donne $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{11\sin 35^{\circ}}{8}\approx 0{,}7886$. Donc $B\approx 52{,}06^{\circ}$ ou $B\approx 180^{\circ}-52{,}06^{\circ}=127{,}94^{\circ}$.

b) Triangle 1 : $A+B=35^{\circ}+52{,}06^{\circ}=87{,}06^{\circ}<180^{\circ}$ : possible. Triangle 2 : $35^{\circ}+127{,}94^{\circ}=162{,}94^{\circ}<180^{\circ}$ : possible aussi. Les deux triangles existent.

c) Triangle 1 : $C=180^{\circ}-87{,}06^{\circ}=92{,}94^{\circ}$, $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{8\sin 92{,}94^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\approx 13{,}93$. Triangle 2 : $C=180^{\circ}-162{,}94^{\circ}=17{,}06^{\circ}$, $c=\dfrac{8\sin 17{,}06^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\approx 4{,}09$.

d) La loi des sinus fait intervenir $\sin B$, et deux angles supplémentaires ont le même sinus ($\sin B=\sin(180^{\circ}-B)$) : d'où l'ambiguïté. La loi des cosinus fait intervenir $\cos B$, et sur $]0^{\circ};180^{\circ}[$ le cosinus est injectif (une seule valeur d'angle par cosinus) : aucune ambiguïté.

e) Placer $B$, c'est chercher les points de la demi-droite $[Ax)$ situés à la distance $a=8$ de $C$ : autrement dit, intersecter cette demi-droite avec le CERCLE de centre $C$ et de rayon $8$. La distance de $C$ à la droite est la hauteur $h=b\sin A=11\sin 35^{\circ}\approx 6{,}31$. Comme $8>6{,}31$, le cercle coupe la droite en DEUX points $B_{1}$ et $B_{2}$, d'où les deux triangles. La discussion complète tient dans la comparaison de $a$ et $h$ : si $a<h$ le cercle ne touche pas la droite et il n'existe AUCUN triangle ; si $a=h$ il est tangent et le triangle est unique, rectangle en $B$ ; si $h<a<b$ il y a deux solutions, le cas présent ; et si $a\geq b$ le second point tombe de l'autre côté de $A$, hors de la demi-droite, et la solution redevient unique. Ici $6{,}31<8<11$, on est bien dans le seul cas réellement ambigu.

a) $\widehat{ACB}=180^{\circ}-65^{\circ}-78^{\circ}=37^{\circ}$. Loi des sinus : $AC=\dfrac{200\sin 78^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}\approx\dfrac{195{,}6}{0{,}6018}\approx 325{,}1$ m ; $BC=\dfrac{200\sin 65^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}\approx 301{,}2$ m.

b) $\widehat{ADB}=180^{\circ}-40^{\circ}-95^{\circ}=45^{\circ}$. $AD=\dfrac{200\sin 95^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}\approx\dfrac{199{,}2}{0{,}7071}\approx 281{,}7$ m.

c) Loi des cosinus dans $ACD$ : $CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2\,AC\cdot AD\cos 25^{\circ}=325{,}1^{2}+281{,}7^{2}-2(325{,}1)(281{,}7)\cos 25^{\circ}$. $CD^{2}\approx 105\ 690+79\ 355-166\ 022\approx 19\ 023$, donc $CD\approx 137{,}9$ m.

d) Parties a et b : on connaissait deux angles et un côté (la base de 200 m), donc la loi des SINUS. Partie c : on connaissait deux côtés ($AC$, $AD$) et l'angle compris (25°), donc la loi des COSINUS. On choisit la loi selon la disposition des données connues autour du triangle.

a) Au point $A$, la direction d'arrivée prolongée pointe au relèvement $040^{\circ}$, et la nouvelle route part au relèvement $110^{\circ}$ : le navire a donc tourné de $110^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ}$ vers tribord. L'angle INTÉRIEUR du triangle en $A$ n'est pas ce $70^{\circ}$ mais son supplémentaire, car le côté $[AP]$ pointe vers l'ARRIÈRE, dans la direction opposée à la route suivie : $\widehat{PAB}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$. C'est l'erreur classique de ce type de problème, et elle vient de ce que l'angle de changement de cap se mesure entre deux directions de MARCHE, alors que l'angle du triangle se mesure entre deux CÔTÉS partant de $A$.

b) Configuration SAS : deux côtés (30 et 20) et l'angle compris ($110^{\circ}$). Loi des cosinus : $PB^{2}=30^{2}+20^{2}-2(30)(20)\cos 110^{\circ}=900+400-1200(-0{,}34202)=1300+410{,}42=1710{,}42$, d'où $PB\approx 41{,}36$ km. Notez que $PB$ dépasse $\sqrt{900+400}\approx 36{,}06$ : c'est cohérent avec le point c) de l'exercice 7, puisque l'angle compris est obtus et allonge donc le côté opposé.

c) On cherche d'abord l'angle $\widehat{APB}$ par la loi des sinus : $\frac{\sin\widehat{APB}}{20}=\frac{\sin 110^{\circ}}{41{,}3573}$, donc $\sin\widehat{APB}=\frac{20(0{,}93969)}{41{,}3573}\approx 0{,}45443$ et $\widehat{APB}\approx 27{,}03^{\circ}$. Aucune ambiguïté ici : le triangle contient déjà un angle obtus de $110^{\circ}$, donc les deux autres sont nécessairement aigus et l'arc sinus donne directement la bonne valeur. Le relèvement cherché s'obtient en ajoutant cet écart au relèvement de la première branche : $040^{\circ}+27{,}03^{\circ}\approx 067{,}03^{\circ}$.

d) Pour rentrer, le navire doit suivre le relèvement inverse, c'est-à-dire $067{,}03^{\circ}+180^{\circ}=247{,}03^{\circ}$. La relation vient de ce qu'un relèvement et son inverse décrivent la même droite parcourue en sens opposés : les deux directions font un angle plat, d'où l'ajout de $180^{\circ}$ (et le retrait de $360^{\circ}$ si le résultat dépasse ce tour complet, ce qui n'est pas le cas ici). Contrôle de vraisemblance : le navire est parti vers le nord-est puis a viré vers l'est-sud-est, il se trouve donc au nord-est du port, et rentrer suppose de faire route vers le sud-ouest. Un cap de $247^{\circ}$ correspond bien au secteur ouest-sud-ouest ✓.

a) Notons $x$ la distance de $S_{2}$ au pied de la tour. Depuis $S_{2}$, le triangle rectangle donne $\tan 47^{\circ}=\frac{h}{x}$, donc $h=x\tan 47^{\circ}$. Depuis $S_{1}$, situé 50 m plus loin, la distance au pied vaut $x+50$ et $\tan 32^{\circ}=\frac{h}{x+50}$, donc $h=(x+50)\tan 32^{\circ}$. Deux expressions de la même hauteur : le système est prêt.

b) En égalant : $x\tan 47^{\circ}=(x+50)\tan 32^{\circ}$, soit $x\left(\tan 47^{\circ}-\tan 32^{\circ}\right)=50\tan 32^{\circ}$. Numériquement, $\tan 47^{\circ}\approx 1{,}07237$ et $\tan 32^{\circ}\approx 0{,}62487$ : $x=\frac{50(0{,}62487)}{1{,}07237-0{,}62487}=\frac{31{,}2435}{0{,}44750}\approx 69{,}82$ m. Puis $h=69{,}8179\times 1{,}07237\approx 74{,}87$ m.

c) Dans le triangle $S_{1}S_{2}T$ : l'angle en $S_{1}$ vaut $32^{\circ}$; l'angle en $S_{2}$ est l'angle $\widehat{S_{1}S_{2}T}$, SUPPLÉMENTAIRE de l'angle d'élévation puisque $S_{1}$ est de l'autre côté, soit $180^{\circ}-47^{\circ}=133^{\circ}$; d'où l'angle au sommet $\widehat{S_{1}TS_{2}}=180^{\circ}-32^{\circ}-133^{\circ}=15^{\circ}$. Loi des sinus : $\frac{S_{2}T}{\sin 32^{\circ}}=\frac{50}{\sin 15^{\circ}}$, donc $S_{2}T=\frac{50(0{,}52992)}{0{,}25882}\approx 102{,}37$ m. Enfin, dans le triangle rectangle issu de $S_{2}$ : $h=S_{2}T\sin 47^{\circ}=102{,}3725\times 0{,}73135\approx 74{,}87$ m ✓. Les deux méthodes concordent au centième près.

d) La méthode par la loi des sinus est préférable en pratique, car elle procède en une seule chaîne de calculs sans résoudre d'équation, et surtout parce qu'elle expose la quantité critique : l'angle au sommet, ici $15^{\circ}$, qui n'est autre que la DIFFÉRENCE des deux angles d'élévation ($47^{\circ}-32^{\circ}$). Cet angle est le point sensible parce qu'il apparaît au dénominateur via $\sin 15^{\circ}$, une valeur petite : si les deux visées sont proches l'une de l'autre, cet angle tend vers zéro, son sinus aussi, et la distance calculée explose. Concrètement, une erreur d'un demi-degré sur l'une des visées se répercute ici en plusieurs mètres sur la hauteur. L'arpenteur a donc intérêt à ÉCARTER franchement ses deux stations pour agrandir l'angle au sommet, et c'est exactement le même principe de propagation d'erreur que celui du complément de calcul différentiel : le dénominateur qui tend vers zéro amplifie l'incertitude.

a) Le côté OPPOSÉ à l'angle de $35$ degrés vaut $20\sin 35^{\circ}\approx 20\times 0{,}5736=11{,}47$ cm. Le côté ADJACENT vaut $20\cos 35^{\circ}\approx 20\times 0{,}8192=16{,}38$ cm. Contrôle par Pythagore : $11{,}47^{2}+16{,}38^{2}=131{,}6+268{,}3=399{,}9\approx 400=20^{2}$ ✓. Ce contrôle prend cinq secondes et attrape toutes les inversions entre sinus et cosinus.

b) L'hypoténuse vaut $\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$, un triplet pythagoricien classique. L'angle opposé au côté $7$ vérifie $\tan\theta=\frac{7}{24}$, donc $\theta=\arctan\left(\frac{7}{24}\right)\approx 16{,}26$ degrés. L'autre angle aigu est son complémentaire : $90-16{,}26=73{,}74$ degrés. Contrôle : $\sin 16{,}26^{\circ}\approx 0{,}28=\frac{7}{25}$ ✓.

c) L'échelle est l'hypoténuse, la distance au mur est le côté adjacent à l'angle au sol. Donc $\cos\theta=\frac{1{,}5}{6}=0{,}25$ et $\theta=\arccos(0{,}25)\approx 75{,}52$ degrés. La hauteur atteinte est le côté opposé : $\sqrt{36-2{,}25}=\sqrt{33{,}75}\approx 5{,}81$ m, qu'on peut aussi obtenir par $6\sin 75{,}52^{\circ}\approx 5{,}81$ m ✓. Un angle de $75$ degrés est justement l'inclinaison recommandée pour une échelle : c'est la règle du quart, le pied devant s'écarter du mur du quart de la longueur, soit $1{,}5$ m pour $6$ m ✓.

d) Parce que la loi des sinus donnerait le même résultat mais en plus d'étapes. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et comme $\sin 90^{\circ}=1$, la loi des sinus $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ se réduit exactement à $\sin A=\frac{a}{c}$ : c'est la définition du sinus.

Autrement dit, les rapports du triangle rectangle sont un CAS PARTICULIER de la loi des sinus, pas une méthode concurrente. Le réflexe à garder pour un examen : dès qu'un angle droit apparaît, on utilise les rapports directs ; les deux lois sont réservées aux triangles quelconques. Employer une loi générale là où un rapport suffit fait perdre du temps et multiplie les occasions d'erreur d'arrondi.