Exercices corrigés : la résolution de triangles (math SN4, secondaire 4)

Le côté connu $c$ est opposé à $C$, qu'on calcule d'abord : $C=180^{\circ}-48^{\circ}-65^{\circ}=67^{\circ}$. Puis $\frac{a}{\sin 48^{\circ}}=\frac{15}{\sin 67^{\circ}}$, donc $a=\frac{15\sin 48^{\circ}}{\sin 67^{\circ}}\approx\frac{15\times 0{,}7431}{0{,}9205}\approx 12{,}11$ cm. Piège : écrire $\frac{a}{\sin 48^{\circ}}=\frac{15}{\sin 65^{\circ}}$, en associant $c$ à l'angle $B$.

$\frac{\sin B}{9}=\frac{\sin 72^{\circ}}{14}$, donc $\sin B=\frac{9\sin 72^{\circ}}{14}\approx 0{,}6114$ et $B\approx 37{,}69^{\circ}$. Le supplémentaire, $142{,}31^{\circ}$, est exclu : avec $A=72^{\circ}$, la somme dépasserait $180^{\circ}$. Un seul triangle, puisque le côté opposé à l'angle connu est le plus grand des deux.

Deux côtés et l'angle compris : $a^{2}=11^{2}+7^{2}-2(11)(7)\cos 48^{\circ}=170-154\cos 48^{\circ}\approx 170-103{,}05=66{,}95$, donc $a\approx 8{,}18$ cm. Piège : calculer $170-154=16$, puis multiplier par $\cos 48^{\circ}$ ; le produit $2bc\cos A$ se calcule avant la soustraction.

$c^{2}=6^{2}+10^{2}-2(6)(10)\cos 125^{\circ}=136-120\cos 125^{\circ}$. Comme $\cos 125^{\circ}\approx-0{,}5736$ est NÉGATIF, $-120\cos 125^{\circ}\approx+68{,}83$, donc $c^{2}\approx 204{,}83$ et $c\approx 14{,}31$ cm. Contrôle : un angle obtus fait face au plus grand côté, et $14{,}31>10$.

L'angle $B$ fait face à $b=10$ : $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{64+169-100}{2(8)(13)}=\frac{133}{208}\approx 0{,}6394$, donc $B\approx 50{,}25^{\circ}$. Piège : mettre au numérateur le carré d'un autre côté que celui opposé à l'angle cherché.

Le plus grand angle fait face au plus grand côté, $9$ : $\cos\theta=\frac{4^{2}+7^{2}-9^{2}}{2(4)(7)}=\frac{16+49-81}{56}=\frac{-16}{56}\approx-0{,}2857$, donc $\theta\approx 106{,}60^{\circ}$. Le cosinus négatif annonce un angle obtus, et $\cos^{-1}$ le donne directement, sans ambiguïté.

L'angle $C$ est compris entre $a$ et $b$ : $\mathcal{A}=\frac{1}{2}(12)(17)\sin 38^{\circ}=102\sin 38^{\circ}\approx 102\times 0{,}6157\approx 62{,}80$ cm².

$s=\frac{9+11+14}{2}=17$, puis $\mathcal{A}=\sqrt{17(17-9)(17-11)(17-14)}=\sqrt{17\times 8\times 6\times 3}=\sqrt{2448}\approx 49{,}48$ cm². Piège : prendre le périmètre $34$ au lieu du demi-périmètre.

Héron d'abord : $s=21$ et $\mathcal{A}=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84$ cm². Puis $\mathcal{A}=\frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ donne $h=\frac{2\times 84}{14}=12$ cm. Piège : oublier le facteur $2$, ce qui donne $6$ cm.

$\sin B=\frac{9\sin 40^{\circ}}{5}\approx\frac{9\times 0{,}6428}{5}\approx 1{,}157$. Un sinus ne dépasse jamais $1$ : AUCUN angle $B$ n'existe, donc AUCUN triangle. Géométriquement, le côté $a=5$ est plus court que la distance $9\sin 40^{\circ}\approx 5{,}79$ de $C$ à l'autre côté de l'angle $A$ : il ne l'atteint pas.

$C=180^{\circ}-40^{\circ}-75^{\circ}=65^{\circ}$.

$\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}$ donne $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{10\sin 75^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\approx\dfrac{9{,}659}{0{,}6428}\approx 15{,}03$ cm.

$c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{10\sin 65^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\approx\dfrac{9{,}063}{0{,}6428}\approx 14{,}10$ cm.

Le plus grand angle est $B=75^{\circ}$, opposé au côté $b\approx 15{,}03$ cm, qui est bien le plus grand côté ; le plus petit angle $A=40^{\circ}$ est opposé au plus petit côté $a=10$ cm. Cohérent.

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=8^{2}+5^{2}-2(8)(5)\cos 60^{\circ}=64+25-80(0{,}5)=89-40=49$, donc $a=7$.

Le plus grand angle $C$ est opposé au côté 7 : $\cos C=\dfrac{5^{2}+6^{2}-7^{2}}{2(5)(6)}=\dfrac{25+36-49}{60}=\dfrac{12}{60}=0{,}2$, donc $C\approx 78{,}46^{\circ}$.

Dans tout triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle : c'est une conséquence directe de la loi des sinus (à plus grand côté correspond plus grand sinus, donc plus grand angle sur $]0^{\circ};180^{\circ}[$).

Le plus grand angle vaut environ 78,46°, donc inférieur à 90° : tous les angles sont aigus, le triangle est acutangle.

L'angle qui paraît le plus grand est celui du sommet $C$, et c'est bien celui qu'on a calculé au b) : $C\approx 78{,}46^{\circ}$, opposé au côté 7. La figure et le calcul concordent. Le plus PETIT angle est alors celui opposé au plus petit côté, donc l'angle $A$ opposé au côté 5 : $\cos A=\dfrac{6^{2}+7^{2}-5^{2}}{2\times 6\times 7}=\dfrac{60}{84}$, soit $A\approx 44{,}42^{\circ}$. On vérifie la somme : $44{,}42+57{,}12+78{,}46=180^{\circ}$. La règle à retenir est que dans TOUT triangle, l'ordre des côtés et l'ordre des angles opposés sont les mêmes.

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}(8)(5)\sin 60^{\circ}=20\times 0{,}8660\approx 17{,}32$ unités².

$s=\dfrac{5+6+7}{2}=9$. $\mathcal{A}=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}=\sqrt{216}\approx 14{,}70$ unités².

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}(5)(6)\sin 78{,}46^{\circ}=15\times 0{,}9798\approx 14{,}70$ unités² : identique à Héron.

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}(40)(55)\sin 105^{\circ}=1100\times 0{,}9659\approx 1063$ m².

Non, il tombe À L'EXTÉRIEUR. Comme l'angle en $A$ dépasse $90^{\circ}$, le sommet $C$ se trouve en arrière de la perpendiculaire élevée en $A$ : le pied $H$ de la hauteur est du côté opposé à $B$, hors du segment $[AB]$. Le calcul le confirme, l'abscisse de $C$ valant $40\cos 105^{\circ}\approx -10{,}35$, donc négative alors que $[AB]$ occupe les abscisses de $0$ à $55$. La conclusion n'est PAS que la formule $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ cesse d'être vraie, elle reste exacte ; c'est qu'il faut prolonger le côté $[AB]$ au-delà de $A$ pour y lire la hauteur, ce qui est une construction de plus et une source d'erreur de signe. C'est précisément ce que la formule $\dfrac{1}{2}bc\sin A$ évite : elle ne demande aucune hauteur et se moque de savoir si l'angle est aigu ou obtus.

Configuration AAS : deux angles et un côté non compris. Le troisième angle vient de la somme : $C=180^{\circ}-40^{\circ}-75^{\circ}=65^{\circ}$. Puis la loi des sinus, une fois le rapport $\frac{a}{\sin A}=\frac{12}{\sin 40^{\circ}}\approx 18{,}6684$ calculé : $b=18{,}6684\sin 75^{\circ}\approx 18{,}03$ et $c=18{,}6684\sin 65^{\circ}\approx 16{,}92$. Contrôle de cohérence indispensable : le plus grand côté doit faire face au plus grand angle. Ici $B=75^{\circ}$ est le plus grand angle et $b\approx 18{,}03$ le plus grand côté ✓, tandis que $A=40^{\circ}$ est le plus petit angle et $a=12$ le plus petit côté ✓.

Configuration SAS : deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux. La loi des sinus est inutilisable, car aucun couple (côté, angle opposé) n'est complet. On commence donc par la loi des cosinus sur le côté opposé à l'angle connu : $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C=49+81-2(7)(9)\cos 52^{\circ}=130-126(0{,}61566)\approx 52{,}4267$, d'où $c\approx 7{,}24$. Le triangle possède maintenant un couple complet $(c,C)$, et la loi des sinus prend le relais : $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{7(0{,}78801)}{7{,}2406}\approx 0{,}76182$, donc $A\approx 49{,}63^{\circ}$, puis $B=180^{\circ}-52^{\circ}-49{,}63^{\circ}\approx 78{,}37^{\circ}$.

Le tableau. AAS ou ASA (deux angles et un côté) : troisième angle par la somme, puis LOI DES SINUS. SAS (deux côtés et l'angle compris) : LOI DES COSINUS pour le troisième côté, puis loi des sinus. SSS (trois côtés) : LOI DES COSINUS pour un angle, puis loi des sinus. SSA (deux côtés et un angle non compris) : LOI DES SINUS, mais c'est le CAS AMBIGU, qui peut donner zéro, un ou deux triangles (exercice 6). Règle mnémonique : la loi des cosinus sert exactement quand aucun couple (côté, angle opposé) n'est complet, c'est-à-dire dans les cas SAS et SSS; partout ailleurs la loi des sinus suffit et elle est plus rapide.

La loi des sinus relie un côté à l'angle OPPOSÉ : $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$. En SSS on ne connaît aucun angle, donc chaque rapport contient une inconnue, et toute équation qu'on écrirait comporterait deux inconnues pour une seule relation : le système est sous-déterminé et ne se résout pas. La loi des cosinus, elle, ne fait intervenir qu'UN seul angle pour trois côtés connus : $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ donne immédiatement $A$. Une fois un angle obtenu, on dispose d'un couple complet et la loi des sinus redevient utilisable pour la suite. Précaution utile : après un calcul en SSS, mieux vaut chercher ensuite le plus PETIT angle restant par la loi des sinus, car un petit angle est forcément aigu et l'arc sinus le rend sans ambiguïté.

Demi-périmètre : $s=\frac{5+6+7}{2}=9$. Formule de Héron : $\mathcal{A}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}=\sqrt{216}$. Valeur exacte : $\sqrt{216}=\sqrt{36\times 6}=6\sqrt{6}\approx 14{,}6969$. Héron est la formule à employer dès que les TROIS côtés sont connus et qu'aucun angle ne l'est : elle évite de passer par la loi des cosinus.

L'aire vaut aussi $\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{hauteur}$ pour chacun des trois choix de base, donc $h=\frac{2\mathcal{A}}{\text{base}}$. Avec $2\mathcal{A}=12\sqrt{6}\approx 29{,}3939$ : $h_{5}=\frac{29{,}3939}{5}\approx 5{,}879$; $h_{6}=\frac{29{,}3939}{6}\approx 4{,}899$; $h_{7}=\frac{29{,}3939}{7}\approx 4{,}199$. La plus courte est celle relative au côté 7. C'était prévisible : le produit base $\times$ hauteur est constant (il vaut toujours $2\mathcal{A}$), donc hauteur et base varient en sens INVERSE, et la plus grande base porte forcément la plus petite hauteur.

Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet tombe au MILIEU de la base et la coupe perpendiculairement : elle crée deux triangles rectangles de côtés 5 (demi-base), $h$ et 13 (hypoténuse). Par Pythagore : $h=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$. Aire : $\frac{10\times 12}{2}=60$. Vérification par Héron : $s=\frac{10+13+13}{2}=18$, donc $\mathcal{A}=\sqrt{18(18-10)(18-13)(18-13)}=\sqrt{18\times 8\times 5\times 5}=\sqrt{3600}=60$ ✓.

Le demi-angle au sommet $\theta$ vérifie $\sin\frac{\theta}{2}=\frac{5}{13}$ (côté opposé sur hypoténuse dans le demi-triangle rectangle), donc $\frac{\theta}{2}=\arcsin\frac{5}{13}\approx 22{,}62^{\circ}$ et $\theta\approx 45{,}24^{\circ}$. Aire par la formule trigonométrique, avec les deux côtés égaux et l'angle compris : $\mathcal{A}=\frac{1}{2}(13)(13)\sin 45{,}24^{\circ}=84{,}5\times 0{,}71006\approx 60{,}00$ ✓. Les trois méthodes (Pythagore, Héron, formule trigonométrique) donnent le même résultat, ce qui est la meilleure vérification possible d'un exercice de ce chapitre : chaque formule d'aire est une porte d'entrée différente vers la même grandeur, et le choix se fait sur les données disponibles, jamais sur la difficulté.

Le triangle est isocèle en $C$, donc symétrique par rapport à la droite $(CH)$ : la symétrie échange $A$ et $B$ en laissant $C$ fixe. Elle envoie donc la hauteur issue de $C$ sur elle-même, ce qui force $H$ à être le milieu de $[AB]$, d'où la MÉDIANE, et force les deux angles en $C$ de part et d'autre à être égaux, d'où la BISSECTRICE. On le vérifie sur les nombres : $HA=HB=5$ et $5^{2}+12^{2}=169=13^{2}$. Pour le triangle 5-6-7, il n'y a AUCUN axe de symétrie puisque les trois côtés sont deux à deux distincts : hauteur, médiane et bissectrice issues d'un même sommet y sont trois droites différentes. La confusion entre ces trois droites est l'erreur classique du chapitre, et elle ne se voit que sur une figure de triangle quelconque.

$\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin A}{a}$ donne $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{11\sin 35^{\circ}}{8}\approx 0{,}7886$. Donc $B\approx 52{,}06^{\circ}$ ou $B\approx 180^{\circ}-52{,}06^{\circ}=127{,}94^{\circ}$.

Triangle 1 : $A+B=35^{\circ}+52{,}06^{\circ}=87{,}06^{\circ}<180^{\circ}$ : possible. Triangle 2 : $35^{\circ}+127{,}94^{\circ}=162{,}94^{\circ}<180^{\circ}$ : possible aussi. Les deux triangles existent.

Triangle 1 : $C=180^{\circ}-87{,}06^{\circ}=92{,}94^{\circ}$, $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{8\sin 92{,}94^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\approx 13{,}93$. Triangle 2 : $C=180^{\circ}-162{,}94^{\circ}=17{,}06^{\circ}$, $c=\dfrac{8\sin 17{,}06^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\approx 4{,}09$.

La loi des sinus fait intervenir $\sin B$, et deux angles supplémentaires ont le même sinus ($\sin B=\sin(180^{\circ}-B)$) : d'où l'ambiguïté. La loi des cosinus fait intervenir $\cos B$, et sur $]0^{\circ};180^{\circ}[$ le cosinus est injectif (une seule valeur d'angle par cosinus) : aucune ambiguïté.

Placer $B$, c'est chercher les points de la demi-droite $[Ax)$ situés à la distance $a=8$ de $C$ : autrement dit, intersecter cette demi-droite avec le CERCLE de centre $C$ et de rayon $8$. La distance de $C$ à la droite est la hauteur $h=b\sin A=11\sin 35^{\circ}\approx 6{,}31$. Comme $8>6{,}31$, le cercle coupe la droite en DEUX points $B_{1}$ et $B_{2}$, d'où les deux triangles. La discussion complète tient dans la comparaison de $a$ et $h$ : si $a<h$ le cercle ne touche pas la droite et il n'existe AUCUN triangle ; si $a=h$ il est tangent et le triangle est unique, rectangle en $B$ ; si $h<a<b$ il y a deux solutions, le cas présent ; et si $a\geq b$ le second point tombe de l'autre côté de $A$, hors de la demi-droite, et la solution redevient unique. Ici $6{,}31<8<11$, on est bien dans le seul cas réellement ambigu.