Révision du devoir commun : examen mixte corrigé (math SN5)

Réponse : B. La forme canonique $a\sqrt{b(x-h)}+k$ donne $a=-2$, $b=1$, $h=-3$, $k=4$ : sommet $(-3;\ 4)$, domaine $[-3;\ +\infty[$. Comme $a<0$ (et $b>0$), la fonction est décroissante et son image est $]-\infty;\ 4]$.

Vérification rapide : $f(-3)=4$ et $f(1)=-2\sqrt{4}+4=0$ : la courbe descend bien depuis le sommet.

Réponse : A. On isole la valeur absolue : $-3|x-2|=3$, donc $|x-2|=-1$. Une valeur absolue n'est jamais négative : aucune solution.

Autre lecture : la fonction $f(x)=-3|x-2|+6$ a un sommet en $(2;\ 6)$ ouvert vers le bas ($a=-3<0$) : son maximum vaut 6, elle ne peut jamais atteindre 9.

Réponse : B. Domaine d'existence : $x-6>0$, donc $x>6$. Passage à la forme exponentielle : $x-6=2^{3}=8$, donc $x=14$. Vérification : $14>6$ (dans le domaine) et $\log_{2}(14-6)=\log_{2}8=3$.

a) $2x^{2}-16x+32=2(x^{2}-8x+16)=2(x-4)^{2}$ (mise en évidence puis carré parfait). $9x^{2}-25=(3x-5)(3x+5)$ (différence de deux carrés).

b) Dénominateur : $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$, nul pour $x=3$ et $x=-2$ : ce sont les valeurs interdites. Numérateur : $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$. Donc $\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{x+3}{x+2}$, pour $x\neq 3$ et $x\neq -2$.

c) Développons le membre de gauche : $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a^{2}+2ab+b^{2})-(a^{2}-2ab+b^{2})=4ab$. L'égalité ne dépend d'aucune valeur particulière : elle est vraie pour tous $a$ et $b$.

a) $150^{\circ}=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$ rad. Point image : $\left(\cos\dfrac{5\pi}{6};\ \sin\dfrac{5\pi}{6}\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$.

b) $\sin 75^{\circ}=\sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

c) Sur le cercle, $\sin x=\dfrac{1}{2}$ aux angles dont le point image a une ordonnée de $\dfrac{1}{2}$ : $x=\dfrac{\pi}{6}$ et $x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$.

a) $3x+7=3(x+2)+1$, donc $f(x)=\dfrac{3(x+2)+1}{x+2}=3+\dfrac{1}{x+2}$.

b) Asymptote verticale $x=-2$ (valeur interdite), asymptote horizontale $y=3$. Domaine : tous les réels sauf $-2$ ; image : tous les réels sauf 3.

c) $\dfrac{3x+7}{x+2}=4$ donne $3x+7=4(x+2)=4x+8$, donc $x=-1$. Vérification : $f(-1)=\dfrac{-3+7}{1}=4$, et $-1\neq -2$ : la solution est valide.

a) Le rapport entre deux valeurs consécutives est constant : $\dfrac{90}{100}=\dfrac{81}{90}=0{,}9$. La situation est donc exponentielle de base $c=0{,}9$, avec $M_{0}=100$ : $M(t)=100\,(0{,}9)^{t}$.

b) $M(5)=100\times(0{,}9)^{5}\approx 59{,}0$ kg.

c) $100\,(0{,}9)^{t}<40$ donne $(0{,}9)^{t}<0{,}4$. En passant au logarithme (et en INVERSANT l'inégalité, car on divise par $\log 0{,}9<0$) : $t>\dfrac{\log 0{,}4}{\log 0{,}9}\approx 8{,}7$ ans. La bonbonne passera sous 40 kg après environ 8,7 ans, au cours de la 9e année.

d) $M(8{,}7)=100\times(0{,}9)^{8{,}7}\approx 40{,}0$ kg : au-delà de cet instant, la masse est bien sous le seuil (par exemple $M(9)\approx 38{,}7$ kg).

a) $A(0)=5$ donne $k=5$. $A(9)=35$ donne $a\sqrt{9}+5=35$, donc $3a=30$ et $a=10$ : $A(t)=10\sqrt{t}+5$.

b) $A(16)=10\sqrt{16}+5=10\times 4+5=45$ m.

c) $10\sqrt{t}+5=65$ donne $\sqrt{t}=6$, donc $t=36$ minutes.

d) $10\sqrt{t}+5<65$ équivaut à $\sqrt{t}<6$, c'est-à-dire $0\leq t<36$ (les deux membres sont positifs, on peut élever au carré sans changer le sens). Le ballon vole sous 65 m pendant 36 minutes.

Remarque : après élévation au carré, on vérifie : $A(36)=10\times 6+5=65$, cohérent, et $A(25)=55<65$ (point intérieur), $A(49)=75>65$ (point extérieur).