Exercice 1 : Propriétés de la fonction

On considère la fonction $f(x)=-2|x+3|+4$ .

a) Identifiez les valeurs des paramètres a, h et k.
b) Donnez les coordonnées du sommet de la courbe.
c) Déterminez le domaine et l'image de f.
d) La courbe est-elle un V ou un $\Lambda$ ? Donnez les intervalles de croissance et de décroissance en justifiant par le signe de a.
e) Donnez l'équation de l'axe de symétrie.

Voir la correction

a) $a=-2,\ h=-3,\ k=4$ .

b) Sommet $(-3,\ 4)$ .

c) Dom $=\mathbb{R}$ ; Ima $=\,]-\infty,\ 4]$ .

d) $a<0$ : courbe en $\Lambda$ (ouverte vers le bas). Croissante sur $]-\infty,\ -3]$ , décroissante sur $[-3,\ +\infty[$ .

e) Axe de symétrie : $x=-3$ .

Exercice 2 : Trouver la règle sous la forme canonique

Pour chaque cas, écrivez la règle sous la forme $f(x)=a|x-h|+k$ .

a) Une fonction valeur absolue a son sommet au point (2, -1) et passe par le point (5, 8). Déterminez a, puis écrivez la règle.
b) La fonction de base $y=|x|$ subit, dans l'ordre : une réflexion par rapport à l'axe des x, puis une translation de 4 unités vers la gauche et de 3 unités vers le haut. Écrivez la règle.
c) Une fonction valeur absolue en V a son sommet sur l'axe des x, s'ouvre vers le haut et passe par les points (0, 6) et (4, 6). Déterminez son sommet, puis écrivez la règle.

Voir la correction

a) $8=a|5-2|-1=3a-1\Rightarrow 3a=9\Rightarrow a=3$ . Règle : $f(x)=3|x-2|-1$ .

b) Réflexion : $y=-|x|$ ; translation à gauche : $y=-|x+4|$ ; translation vers le haut : $f(x)=-|x+4|+3$ .

c) Les points (0, 6) et (4, 6) ont la même image, donc l'axe de symétrie est $x=2$ et le sommet, sur l'axe des x, est $(2,\ 0)$ . $6=a|0-2|=2a\Rightarrow a=3$ . Règle : $f(x)=3|x-2|$ .

Exercice 3 : Zéros, équations et inéquations

Soit la fonction $f(x)=2|x-1|-6$ .

a) Déterminez les zéros de la fonction.
b) Résolvez l'inéquation $f(x)\leq 0$ et exprimez la solution par un intervalle.
c) Résolvez l'équation $f(x)=-8$ . Justifiez votre réponse.
d) Résolvez l'inéquation $f(x)>2$ .

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a) $2|x-1|-6=0\Rightarrow |x-1|=3\Rightarrow x-1=\pm 3\Rightarrow x=4$ ou $x=-2$ . Zéros : $-2$ et $4$ .

b) $2|x-1|\leq 6\Rightarrow |x-1|\leq 3\Rightarrow -3\leq x-1\leq 3\Rightarrow -2\leq x\leq 4$ . Solution : $[-2,\ 4]$ .

c) $2|x-1|=-2\Rightarrow |x-1|=-1$ : impossible car une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Comme $a>0$ , le minimum de f est $k=-6>-8$ , donc aucune solution.

d) $2|x-1|>8\Rightarrow |x-1|>4\Rightarrow x-1>4$ ou $x-1<-4\Rightarrow x>5$ ou $x<-3$ . Solution : $]-\infty,\ -3[\ \cup\ ]5,\ +\infty[$ .

Exercice 4 : Problème : la température de la serre

Dans une serre, la température T (en °C) au cours d'une journée est modélisée par une fonction valeur absolue :

$T(x)=-2|x-14|+30$ , où x est l'heure de la journée ( $0\leq x\leq 24$ ).

Un système de refroidissement se met en marche dès que la température dépasse 24 °C.

a) À quelle heure la température est-elle maximale, et quelle est cette température maximale ?
b) Quelle est la température à 8 h ?
c) Entre quelles heures le système de refroidissement fonctionne-t-il ?
d) Pendant combien d'heures fonctionne-t-il au total ?

Voir la correction

a) Sommet $(14,\ 30)$ : la température maximale est de 30 °C, atteinte à 14 h.

b) $T(8)=-2|8-14|+30=-2(6)+30=18$ °C.

c) $T(x)>24\Rightarrow -2|x-14|>-6\Rightarrow |x-14|<3\Rightarrow 11<x<17$ . Le système fonctionne entre 11 h et 17 h.

d) $17-11=6$ heures.

Exercice 5 : Problème : deux entreprises concurrentes

Les profits de deux entreprises varient au cours de l'année. Si x est le nombre de mois écoulés depuis janvier ( $0\leq x\leq 12$ ), les profits, en milliers de dollars, sont donnés par :

• Entreprise A : $P_A(x)=-20|x-5|+100$

• Entreprise B : $P_B(x)=-10|x-8|+80$

a) Quel est le profit maximal de chaque entreprise, et à quel mois est-il atteint ?
b) Résolvez algébriquement l'équation $P_A(x)=40$ . Qu'est-ce que cette résolution représente ?
c) Déterminez algébriquement le ou les mois où les deux entreprises réalisent le même profit.

Voir la correction

a) A : sommet $(5,\ 100)$ , profit maximal de 100 k $au mois 5. B : sommet$ (8,\ 80) $, profit maximal de 80 k$ au mois 8.

b) $-20|x-5|+100=40\Rightarrow |x-5|=3\Rightarrow x=8$ ou $x=2$ . L'entreprise A réalise un profit de 40 k$ aux mois 2 et 8.

c) $P_A(x)=P_B(x)\Rightarrow |x-8|-2|x-5|=-2$ . Par cas : pour $x<5$ , on trouve $x=0$ ; pour $5\leq x\leq 8$ , on trouve $x=\frac{20}{3}\approx 6{,}67$ ; pour $x>8$ , la valeur $x=4$ est rejetée (hors intervalle). Les profits sont égaux au mois 0 (janvier) et vers le mois $\frac{20}{3}$ .

Exercice 6 : Lecture graphique et tracé

On considère la fonction $f(x)=|x-2|-3$ . Le repère ci-dessous est vierge : c'est à vous de tracer la courbe.

a) Déterminez les paramètres a, h et k, puis les coordonnées du sommet.
b) Tracez la courbe de f dans le repère.
c) À l'aide de votre tracé, déterminez les zéros de f et résolvez l'inéquation $f(x)\leq 0$ .

Voir la correction

a) $a=1$ , $h=2$ , $k=-3$ ; sommet $(2,\ -3)$ , courbe en V.

b) Voir le tracé ci-dessous.

c) Zéros : $|x-2|=3\Rightarrow x=-1$ ou $x=5$ . $f(x)\leq 0$ sur $[-1,\ 5]$ .

Exercices corrigés : la fonction valeur absolue (math SN5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Propriétés de la fonction

Exercice 2 : Trouver la règle sous la forme canonique

Exercice 3 : Zéros, équations et inéquations

Exercice 4 : Problème : la température de la serre

Exercice 5 : Problème : deux entreprises concurrentes

Exercice 6 : Lecture graphique et tracé

Voir aussi

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