Exercices corrigés : la fonction valeur absolue (math SN5)

a) On compare avec la forme canonique $a|x-h|+k$. Le coefficient devant la valeur absolue est $a=-2$, le terme ajouté à la fin est $k=4$. Pour $h$, la forme canonique impose $(x-h)$ alors que l'énoncé écrit $(x+3)$ : on réécrit $x+3=x-(-3)$, donc $h=-3$. Le signe de $h$ est toujours l'OPPOSÉ de celui qui apparaît dans la valeur absolue, et c'est l'erreur la plus fréquente de la question.

b) Le sommet est $(h\,;k)=(-3\,;4)$. Ce n'est pas une convention : le sommet est le seul point où la valeur absolue s'annule, donc le seul endroit où les deux branches se rejoignent. Vérification : $f(-3)=-2\times|0|+4=4$ ✓.

c) Le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier. C'est une différence essentielle avec la fonction racine carrée : une valeur absolue accepte n'importe quel nombre, positif ou négatif, il n'y a AUCUNE condition d'existence à poser. Pour l'image, on part de $|x+3|\geq 0$, on multiplie par $a=-2$ ce qui renverse l'inégalité et donne $-2|x+3|\leq 0$, puis on ajoute $k=4$ : $f(x)\leq 4$. Image : $]-\infty\,;4]$. La valeur $4$ est atteinte, en $x=-3$ précisément, donc le crochet est fermé.

d) Comme $a=-2<0$, la courbe est un $\Lambda$, ouverte vers le bas, et $k=4$ est un MAXIMUM. Contrairement à la racine carrée, une fonction valeur absolue possède toujours deux branches de sens opposés, et le sommet est le point de retournement : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-3]$ puis décroissante sur $[-3\,;+\infty[$. Contrôle sur trois points : $f(-6)=-2\times 3+4=-2$, $f(-3)=4$, $f(0)=-2\times 3+4=-2$. La fonction est bien montée puis redescendue ✓.

e) L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet : $x=-3$. Les deux points calculés en d), $-6$ et $0$, sont à égale distance de $-3$ et ont exactement la même image, ce qui illustre la symétrie ✓.

Tableau de lecture à retenir pour toute la série : $a>0$ donne un V, de minimum $k$ et d'image $[k\,;+\infty[$ ; $a<0$ donne un $\Lambda$, de maximum $k$ et d'image $]-\infty\,;k]$. Le domaine, lui, est toujours $\mathbb{R}$, quels que soient les paramètres.

a) Le sommet $(2\,;-1)$ donne directement $h=2$ et $k=-1$ : il ne reste qu'un paramètre à trouver, et l'énoncé fournit exactement un point pour cela. On substitue $(5\,;8)$ dans $f(x)=a|x-2|-1$ : $8=a|5-2|-1=3a-1$, donc $3a=9$ et $a=3$. Règle : $f(x)=3|x-2|-1$. Contrôle de cohérence avant même de calculer : le point $(5\,;8)$ est situé AU-DESSUS du sommet, donc la courbe monte en s'éloignant du sommet, donc $a$ doit être positif, et on trouve bien $a=3>0$ ✓.

b) On applique les transformations dans l'ordre, chacune sur son paramètre. La réflexion par rapport à l'axe des $x$ change le signe de $a$ : $y=-|x|$. La translation de $4$ unités vers la GAUCHE agit sur $h$, qui devient $-4$, et s'écrit donc $|x+4|$ dans la règle : le signe apparent est l'inverse du sens du déplacement, vers la gauche donnant un plus. La translation de $3$ vers le haut donne $k=3$. Règle : $f(x)=-|x+4|+3$, de sommet $(-4\,;3)$ et ouverte vers le bas.

c) Deux points de même ordonnée sont nécessairement SYMÉTRIQUES par rapport à l'axe de symétrie : celui-ci passe donc par leur milieu, d'abscisse $\frac{0+4}{2}=2$. C'est le raccourci de la question, il évite toute mise en équation. On a donc $h=2$, et comme le sommet est sur l'axe des $x$, son ordonnée est nulle : $k=0$ et le sommet est $(2\,;0)$. On substitue enfin $(0\,;6)$ : $6=a|0-2|=2a$, donc $a=3$. Règle : $f(x)=3|x-2|$. Vérification sur l'autre point, qui n'a pas servi au calcul et constitue donc un vrai contrôle : $f(4)=3|4-2|=6$ ✓.

a) On isole d'abord la valeur absolue, jamais on ne scinde en deux cas tant qu'il reste un terme à côté : $2|x-1|-6=0$ donne $2|x-1|=6$, puis $|x-1|=3$. Une valeur absolue égale à un nombre POSITIF donne deux possibilités, car deux nombres opposés ont la même valeur absolue : $x-1=3$ ou $x-1=-3$, d'où $x=4$ ou $x=-2$. Zéros : $-2$ et $4$. On pouvait prévoir qu'il y en aurait exactement deux : le sommet $(1\,;-6)$ est situé sous l'axe des $x$ et $a=2>0$ ouvre la courbe vers le haut, donc les deux branches remontent et coupent chacune l'axe une fois. Remarquez que les deux zéros sont symétriques par rapport à $h=1$, chacun à distance $3$ ✓.

b) $2|x-1|\leq 6$ donne $|x-1|\leq 3$. Une inégalité de type « inférieur » se traduit par un ENCADREMENT, puisqu'elle dit que la distance de $x$ à $1$ ne dépasse pas $3$ : $-3\leq x-1\leq 3$, puis en ajoutant $1$ partout, $-2\leq x\leq 4$. Solution : $[-2\,;4]$. Le résultat est cohérent avec a) : la courbe est un V, donc elle est sous l'axe des $x$ ENTRE ses deux zéros, et les bornes de l'intervalle sont exactement ces zéros.

c) $2|x-1|-6=-8$ donne $2|x-1|=-2$, donc $|x-1|=-1$ : impossible, une valeur absolue est une distance et ne peut jamais être négative. Il n'y a AUCUNE solution. On pouvait le voir sans calcul par le graphique : $a>0$, donc $k=-6$ est le minimum de la fonction, et $-8$ est en dessous de ce minimum. Aucun point de la courbe n'atteint la hauteur $-8$.

d) $2|x-1|-6>2$ donne $2|x-1|>8$, donc $|x-1|>4$. Une inégalité de type « supérieur » se traduit par une RÉUNION, car la distance de $x$ à $1$ dépasse $4$ des deux côtés à la fois : $x-1>4$ ou $x-1<-4$, d'où $x>5$ ou $x<-3$. Solution : $]-\infty\,;-3[\ \cup\ ]5\,;+\infty[$. Retenez l'opposition entre b) et d), c'est le point de barème du chapitre : avec un V, « $\leq$ » donne un intervalle unique AU CENTRE, « $\geq$ » donne deux morceaux VERS L'EXTÉRIEUR. Écrire un encadrement là où il fallait une réunion est une erreur de méthode, pas de calcul.

a) La règle $T(x)=-2|x-14|+30$ a pour sommet $(h\,;k)=(14\,;30)$, et comme $a=-2<0$ la courbe est un $\Lambda$ : $k$ est donc un MAXIMUM. La température maximale est de $30$ °C, atteinte à $14$ h. Le signe négatif de $a$ est ce qui rend le modèle réaliste : une température qui monte le matin, culmine en début d'après-midi, puis redescend.

b) $T(8)=-2|8-14|+30=-2\times|-6|+30=-2\times 6+30=18$ °C. Attention à ne pas confondre $|-6|=6$ avec $-6$ : c'est en oubliant la valeur absolue qu'on obtiendrait $42$ °C, une réponse absurde puisqu'elle dépasserait le maximum trouvé en a). Le contrôle de vraisemblance est immédiat et gratuit.

c) Le refroidissement démarre quand $T(x)>24$ : $-2|x-14|+30>24$, donc $-2|x-14|>-6$. On divise par $-2$ en RENVERSANT le sens de l'inégalité, puisque le diviseur est négatif : $|x-14|<3$. Cette étape est le seul vrai piège du problème. On traduit ensuite l'encadrement : $-3<x-14<3$, donc $11<x<17$. Le système fonctionne entre $11$ h et $17$ h. Vérification à la borne : $T(11)=-2\times 3+30=24$ °C exactement, donc le seuil est bien atteint sans être dépassé en $11$ h ✓.

d) La durée est $17-11=6$ heures. On pouvait la trouver directement : l'inéquation $|x-14|<3$ décrit un intervalle centré en $14$ et de RAYON $3$, donc de largeur $2\times 3=6$. Cette lecture par le centre et le rayon évite de résoudre l'inéquation quand seule la durée est demandée.

Un mot sur le modèle lui-même, car un examen peut le demander. Aux extrémités de la journée, $T(0)=-2\times 14+30=2$ °C et $T(24)=-2\times 10+30=10$ °C : les deux bouts ne sont PAS à la même température, parce que le sommet $14$ h n'est pas au milieu de l'intervalle $[0\,;24]$. Le modèle en $\Lambda$ reste une approximation grossière, une vraie courbe de température est arrondie et non anguleuse, mais il capture l'essentiel, à savoir une montée, un maximum et une descente, avec seulement trois paramètres.

a) Sur $f(x)=|x-2|-3$, le coefficient devant la valeur absolue est sous-entendu : $a=1$. Puis $h=2$ et $k=-3$, donc le sommet est $(2\,;-3)$. Comme $a=1>0$, la courbe est un V ouvert vers le haut.

b) Pour tracer un V à la main, trois éléments suffisent et il ne faut surtout pas calculer une table de valeurs au hasard. On place d'abord le sommet $(2\,;-3)$. On trace ensuite la branche de DROITE, valable pour $x\geq 2$ : la valeur absolue y vaut $x-2$, donc $f(x)=x-5$, une droite de pente $a=1$, c'est-à-dire une unité vers le haut pour une unité vers la droite. On trace enfin la branche de GAUCHE par symétrie, avec la pente opposée $-1$. Deux points de contrôle : $f(5)=|3|-3=0$ et $f(-1)=|-3|-3=0$, tous deux sur l'axe des $x$ ✓. La pente d'une branche est toujours $\pm a$, ce qui donne une méthode de tracé sans aucun calcul supplémentaire.

c) Le graphique montre deux intersections avec l'axe des $x$, et le calcul les confirme : $|x-2|=3$ donne $x-2=3$ ou $x-2=-3$, donc $x=5$ ou $x=-1$. Pour $f(x)\leq 0$, on cherche la portion de courbe située SOUS l'axe des $x$ ou sur lui : c'est la partie du V comprise entre les deux zéros, donc $[-1\,;5]$, bornes incluses puisque l'inégalité est large et que $f(-1)=f(5)=0$. Notez que les deux zéros sont symétriques par rapport à $h=2$, chacun à distance $3$, ce qui donne un dernier contrôle : le milieu de $-1$ et $5$ vaut bien $2$ ✓.

a) Chaque règle est déjà sous forme canonique, il suffit de lire les paramètres. Pour A : $h=5$, $k=100$, et $a=-20<0$ donne un $\Lambda$, donc $k$ est un maximum. Le profit maximal de l'entreprise A est de $100$ milliers de dollars, atteint au mois $5$. Pour B : $h=8$, $k=80$, $a=-10<0$, donc un profit maximal de $80$ milliers de dollars au mois $8$. Les coefficients $a$ ont aussi un sens concret : A perd $20$ milliers de dollars par mois d'écart avec son pic, B seulement $10$, donc le profit de B est deux fois moins sensible au calendrier. C'est visible sur le graphique, où le $\Lambda$ de B est nettement plus évasé.

b) On isole la valeur absolue : $-20|x-5|+100=40$ donne $-20|x-5|=-60$, donc $|x-5|=3$, puis $x-5=3$ ou $x-5=-3$, c'est-à-dire $x=8$ ou $x=2$. Cette résolution répond à la question « quand l'entreprise A réalise-t-elle un profit de $40$ milliers de dollars ». Il y a deux réponses, et c'est logique : le profit monte jusqu'au mois $5$ puis redescend, il franchit donc le niveau $40$ une fois à la montée, au mois $2$, et une fois à la descente, au mois $8$. Les deux mois sont symétriques par rapport au pic, chacun à trois mois d'écart ✓. Une seule réponse aurait dû éveiller les soupçons.

c) On égale les deux règles : $-20|x-5|+100=-10|x-8|+80$. En regroupant et en divisant tout par $10$, on obtient $|x-8|-2|x-5|=-2$. Une équation à DEUX valeurs absolues se résout par cas, et les frontières sont les points où chacune s'annule, ici $5$ et $8$ : ils découpent la droite en trois intervalles, qu'il faut tous examiner.

Cas 1, $x<5$ : les deux expressions intérieures sont négatives, donc $|x-8|=8-x$ et $|x-5|=5-x$. L'équation devient $(8-x)-2(5-x)=x-2=-2$, d'où $x=0$. Cette valeur appartient bien à l'intervalle $x<5$ : elle est ACCEPTÉE. Contrôle : $P_A(0)=-20\times 5+100=0$ et $P_B(0)=-10\times 8+80=0$, les deux entreprises démarrent l'année à profit nul ✓.

Cas 2, $5\leq x\leq 8$ : ici $|x-8|=8-x$ mais $|x-5|=x-5$. L'équation devient $(8-x)-2(x-5)=18-3x=-2$, d'où $3x=20$ et $x=\frac{20}{3}\approx 6{,}67$. Cette valeur est bien dans l'intervalle $[5\,;8]$ : ACCEPTÉE. Contrôle : $P_A\left(\frac{20}{3}\right)=-20\times\frac{5}{3}+100=\frac{200}{3}$ et $P_B\left(\frac{20}{3}\right)=-10\times\frac{4}{3}+80=\frac{200}{3}$ ✓, soit environ $66{,}7$ milliers de dollars.

Cas 3, $x>8$ : les deux expressions sont positives, $|x-8|=x-8$ et $|x-5|=x-5$. L'équation devient $(x-8)-2(x-5)=-x+2=-2$, d'où $x=4$. Mais $4$ n'appartient PAS à l'intervalle $x>8$ : la valeur est REJETÉE. C'est le point de méthode le plus important de l'exercice : chaque cas ne vaut que sur son propre intervalle, et une solution trouvée hors de son intervalle de validité n'est pas une solution du problème. Conclusion : les deux entreprises réalisent le même profit au mois $0$, en janvier, puis vers le mois $\frac{20}{3}$, soit vers la fin juillet.

Principe commun aux trois questions : $|A|=B$ se scinde en $A=B$ ou $A=-B$, MAIS cette scission n'est valable que si $B\geq 0$. Quand le membre de droite contient la variable, son signe dépend de $x$ et n'est donc pas garanti : c'est pour cela que la vérification est obligatoire.

a) Cas 1 : $2x-6=x+3$ donne $x=9$. Cas 2 : $2x-6=-(x+3)=-x-3$ donne $3x=3$, donc $x=1$. Attention à la parenthèse du cas 2, oublier de distribuer le signe moins sur les DEUX termes est l'erreur la plus commune. Vérifications dans l'équation de départ. Pour $x=9$ : $|2\times 9-6|=|12|=12$ et $9+3=12$ ✓. Pour $x=1$ : $|2\times 1-6|=|-4|=4$ et $1+3=4$ ✓. Les deux candidats sont acceptés, ce qui n'a rien d'étonnant : la condition $x+3\geq 0$, soit $x\geq -3$, est satisfaite par tous les deux.

b) Cas 1 : $x-1=2x-5$ donne $-x=-4$, donc $x=4$. Cas 2 : $x-1=-(2x-5)=-2x+5$ donne $3x=6$, donc $x=2$. Vérifications. Pour $x=4$ : $|4-1|=3$ et $2\times 4-5=3$ ✓, accepté. Pour $x=2$ : $|2-1|=1$ mais $2\times 2-5=-1$, et $1\neq -1$ : REJETÉ. Une seule solution : $x=4$.

c) Le membre de gauche est une valeur absolue, donc positif ou nul par définition. Pour que l'égalité soit possible, le membre de droite doit l'être aussi : la condition est $2x-5\geq 0$, c'est-à-dire $x\geq\frac{5}{2}=2{,}5$. Le candidat $x=2$ ne la respecte pas, et on peut donc le rejeter AVANT tout calcul de vérification, simplement en le comparant à $2{,}5$. Cette condition préalable est le vrai outil de l'exercice : elle transforme une vérification numérique, longue et sujette aux erreurs d'arithmétique, en une comparaison immédiate. Notez enfin la parenté avec les racines étrangères de la fonction racine carrée : dans les deux cas, une opération (scinder une valeur absolue, élever au carré) fait perdre l'information de SIGNE du membre de droite, et dans les deux cas la parade est la même, poser la condition de positivité dès la première ligne.

a) On évalue les deux expressions au point de jonction. La première branche, valable pour $x\leq 2$, donne $-3\times 2+7=1$. La seconde, valable pour $x>2$, donne $3\times 2-5=1$. Les deux valeurs coïncident : les demi-droites se rejoignent au point $(2\,;1)$, sans saut, et ce point de raccord est le SOMMET. Si les deux valeurs avaient différé, la courbe aurait présenté une marche et n'aurait pas pu être une fonction valeur absolue.

b) Les deux pentes sont $-3$ à gauche et $+3$ à droite : elles sont opposées, ce qui est précisément la condition pour qu'une fonction définie par deux demi-droites soit une valeur absolue. Comme la pente de droite est positive, la courbe est un V ouvert vers le haut, et le paramètre $a$ est la pente de la branche DROITE, soit $a=3$. Avec le sommet trouvé en a), $h=2$ et $k=1$ : $g(x)=3|x-2|+1$. Vérifications aux deux points demandés, l'un sur chaque branche : $g(0)=3\times|-2|+1=7$, et la première règle donne $-3\times 0+7=7$ ✓ ; $g(4)=3\times|2|+1=7$, et la seconde règle donne $3\times 4-5=7$ ✓. Le fait que les deux écritures coïncident sur des points situés de part et d'autre du sommet est ce qui valide la conversion.

c) $3|x-2|+1=0$ donne $|x-2|=-\frac{1}{3}$, ce qui est impossible : une valeur absolue n'est jamais négative. La fonction n'a AUCUN zéro. L'interprétation graphique est plus parlante que le calcul : $a=3>0$ donc le V s'ouvre vers le haut et son minimum est $k=1$, strictement positif. La courbe est entièrement située au-dessus de l'axe des $x$ et ne peut donc pas le couper.

d) L'image est $[1\,;+\infty[$, l'ensemble des valeurs supérieures ou égales au minimum. Pour l'inéquation : $3|x-2|+1\leq 7$ donne $3|x-2|\leq 6$, donc $|x-2|\leq 2$, ce qui se lit comme un encadrement, $-2\leq x-2\leq 2$, puis $0\leq x\leq 4$. Solution : $[0\,;4]$. Contrôle par les valeurs déjà calculées : $g(0)=7$ et $g(4)=7$, les deux bornes atteignent exactement $7$ ✓, ce qui confirme à la fois l'intervalle et la règle canonique de b).

a) Au pied du pylône, $x=0$ : $y=-\frac{15}{8}\times|0|+30=30$ m, c'est la hauteur du point d'attache au sommet. Les câbles touchent le sol quand $y=0$ : $-\frac{15}{8}|x|+30=0$ donne $\frac{15}{8}|x|=30$, donc $|x|=30\times\frac{8}{15}=16$, c'est-à-dire $x=16$ ou $x=-16$. Les deux ancrages sont donc à $16$ m de part et d'autre du pied, et la distance qui les sépare est $16+16=32$ m. Ici $h=0$, l'axe de symétrie est l'axe des $y$ lui-même, c'est-à-dire le pylône : les deux câbles sont l'image l'un de l'autre dans un miroir, ce qui est exactement la situation physique.

b) $y=-\frac{15}{8}\times|8|+30=-\frac{15\times 8}{8}+30=-15+30=15$ m. À mi-distance de l'ancrage, le câble est exactement à mi-hauteur : c'est une propriété des fonctions valeur absolue, dont les branches sont des DROITES, et cela ne serait pas vrai d'un câble réellement suspendu, qui prend une forme incurvée. L'énoncé précise d'ailleurs que les câbles sont rectilignes, donc tendus.

c) On veut $y\geq 7{,}5$ : $-\frac{15}{8}|x|+30\geq 7{,}5$ donne $-\frac{15}{8}|x|\geq -22{,}5$, puis en divisant par $-\frac{15}{8}$, un nombre NÉGATIF, on renverse le sens : $|x|\leq 22{,}5\times\frac{8}{15}=12$. La zone est donc $[-12\,;12]$, de largeur $24$ m. Vérification aux bornes : $-\frac{15}{8}\times 12+30=-22{,}5+30=7{,}5$ ✓, la hauteur y vaut exactement le seuil.

d) Un câble relie le sommet $(0\,;30)$ à l'ancrage $(16\,;0)$ : c'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $16$ m et $30$ m. Par Pythagore, sa longueur vaut $\sqrt{16^{2}+30^{2}}=\sqrt{256+900}=\sqrt{1156}=34$ m. Le résultat tombe juste parce que $(16\,;30\,;34)$ est le triplet pythagoricien $(8\,;15\,;17)$ doublé, ce qui est un bon indice que le calcul est correct. Chaque pylône porte deux câbles, soit $2\times 34=68$ m, et pour $500$ pylônes identiques il faut $500\times 68=34\ 000$ m, c'est-à-dire $34$ km de câble. Un piège à éviter dans ce type de question : la longueur du câble n'est PAS la distance horizontale $16$ m ni la hauteur $30$ m, et ce n'est pas non plus leur somme ; le modèle en valeur absolue donne la position du câble, pas sa longueur, qui exige un calcul de distance.