Exercice 0.1 : Résoudre des équations avec valeur absolue : douze calculs, du direct au difficile

Résolvez chaque équation dans $\mathbb{R}$ . Donnez les solutions de la plus petite à la plus grande ; une fraction se tape telle quelle, par exemple $-\frac{2}{3}$ en -2/3. Chaque ligne a trois cases : le nombre de solutions, puis la plus petite et la plus grande. Une seule solution : tapez-la dans les deux cases ; aucune solution : tapez 0 dans les deux cases. Les deux premières lignes sont directes, les sept dernières demandent une validation ou un découpage.

La même démarche pour toutes les lignes. On isole d'abord la valeur absolue, $|A|=c$ . On vérifie ensuite la définition : une valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc si $c<0$ il n'y a aucune solution, et si $c=0$ il n'y en a qu'une, celle de $A=0$ . Sinon, deux cas : $A\geq 0$ , où $|A|=A$ , et $A<0$ , où $|A|=-A$ . Chaque cas donne un intervalle pour $x$ ; on résout, puis on VALIDE : le candidat doit appartenir à l'intervalle de son cas. Quand le membre de droite contient $x$ , il doit lui aussi être positif ou nul, et la validation devient ce qui rejette les faux candidats. Avec deux valeurs absolues, on découpe la droite aux valeurs qui annulent chacune et l'on traite trois intervalles.

a) $|2x+1|=9$
b) $|x+4|=0$
c) $-2|4-x|+1=9$
d) $-3|x+2|+5=-1$
e) $-\frac{2}{3}|-3x+1|+4=2$
f) $|x+2|=3x-6$
g) $|x+3|=x-1$
h) $\frac{1}{2}|x-4|+3=x+4$
i) $3|x-2|+1=-x+9$
j) $|x+1|=|2x-4|$
k) $|x-1|+|x+2|=7$
l) $|x-2|-|x+1|=1$

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a)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

b)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

c)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

d)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

e)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

f)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

g)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

h)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

i)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

j)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

k)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

l)

Nombre de solutions

Plus petite solution

Plus grande solution

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Réponses

a) $S=\{-5\,;4\}$
b) $S=\{-4\}$ , une seule solution
c) $|4-x|=-4$ ; $S=\varnothing$
d) $|x+2|=2$ ; $S=\{-4\,;0\}$
e) $|-3x+1|=3$ ; $S=\left\{-\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{4}{3}\right\}$
f) $S=\{4\}$ ( $x=1$ rejeté)
g) $S=\varnothing$ ( $x=-1$ rejeté)
h) $S=\left\{\dfrac{2}{3}\right\}$ ( $x=-6$ rejeté)
i) $S=\left\{-1\,;\dfrac{7}{2}\right\}$ , tous deux vérifiés
j) $S=\{1\,;5\}$
k) $S=\{-4\,;3\}$
l) $S=\{0\}$

Le geste qui décide de tout : isoler la valeur absolue AVANT d'enlever les barres, puis regarder le membre de droite. Négatif : aucune solution, on s'arrête (c). Nul : une seule (b). Positif : deux cas, chacun validé. Un coefficient devant les barres se divise ; il ne rentre jamais à l'intérieur. Avec deux valeurs absolues (k et l), on découpe la droite en trois intervalles.

a)

Cas $2x+1\geq 0$ , soit $x\geq -\frac{1}{2}$ : $2x+1=9$ , donc $x=4$ ✓.

Cas $2x+1<0$ , soit $x<-\frac{1}{2}$ : $-(2x+1)=9$ , $-2x-1=9$ , $-2x=10$ , donc $x=-5$ ✓.

\displaystyle S=\{-5\,;4\}

Piège : ne garder que le premier cas, $x=4$ ; le second vaut la moitié des points.

b)

Le membre de droite est nul : une valeur absolue ne vaut $0$ que si ce qu'elle contient est nul.

$x+4=0$ , donc $x=-4$ .

\displaystyle S=\{-4\}

Piège : traiter deux cas et écrire deux fois $x=-4$ ; l'ensemble n'a qu'un élément.

c)

On isole : $-2|4-x|=8$ , donc $|4-x|=-4$ .

Vérifier la définition : une valeur absolue ne vaut jamais $-4$ . $S=\varnothing$ .

Piège : faire entrer le $-2$ dans les barres et résoudre $|-8+2x|=8$ . Le signe moins est DEVANT la valeur absolue : on divise, puis on vérifie la définition avant tout cas.

d)

On isole : $-3|x+2|=-6$ , puis on divise par $-3$ : $|x+2|=2$ .

Cas $x\geq -2$ : $x+2=2$ , donc $x=0$ ✓.

Cas $x<-2$ : $-(x+2)=2$ , $-x-2=2$ , donc $x=-4$ ✓.

\displaystyle S=\{-4\,;0\}

Piège : $\frac{-6}{-3}=-2$ par une faute de signe, puis « aucune solution ». Moins divisé par moins donne plus : $|x+2|=2$ .

e)

On isole : $-\frac{2}{3}|-3x+1|=-2$ , donc $|-3x+1|=-2\times\left(-\frac{3}{2}\right)=3$ .

Cas $-3x+1\geq 0$ , soit $-3x\geq -1$ et $x\leq\frac{1}{3}$ : $-3x+1=3$ , $-3x=2$ , donc $x=-\frac{2}{3}$ , et $-\frac{2}{3}\leq\frac{1}{3}$ ✓.

Cas $-3x+1<0$ , soit $x>\frac{1}{3}$ : $3x-1=3$ , $3x=4$ , donc $x=\frac{4}{3}$ ✓.

\displaystyle S=\left\{-\frac{2}{3}\,;\frac{4}{3}\right\}

Piège : diviser $-3x\geq -1$ par $-3$ sans renverser, d'où $x\geq\frac{1}{3}$ . Les intervalles des deux cas sont alors faux, et la validation rejette à tort les deux solutions.

f)

Le membre de droite contient $x$ : il doit être positif ou nul. Restriction : $3x-6\geq 0$ , soit $x\geq 2$ .

Cas $x\geq -2$ : $x+2=3x-6$ , $-2x=-8$ , donc $x=4$ ; $4\geq -2$ et $4\geq 2$ ✓.

Cas $x<-2$ : $-x-2=3x-6$ , $-4x=-4$ , donc $x=1$ ; mais $1$ n'est pas inférieur à $-2$ : rejeté.

Contrôle : en $x=1$ , $|3|=3$ alors que $3\times 1-6=-3$ ; l'égalité est fausse.

\displaystyle S=\{4\}

Piège : garder $x=1$ parce que le calcul « tombe juste ». Sans validation, on rend un candidat faux.

g)

Restriction : $x-1\geq 0$ , soit $x\geq 1$ .

Cas $x\geq -3$ : $x+3=x-1$ , d'où $3=-1$ : impossible, aucun candidat.

Cas $x<-3$ : $-x-3=x-1$ , $-2x=2$ , donc $x=-1$ ; mais $-1$ n'est pas inférieur à $-3$ : rejeté.

\displaystyle S=\varnothing

Lecture : pour $x\geq 1$ , $|x+3|=x+3$ , qui dépasse toujours $x-1$ de $4$ .

Piège : conclure $x=-1$ sans valider. En $x=-1$ , $|2|=2$ mais $-1-1=-2$ .

h)

On isole : $\frac{1}{2}|x-4|=x+1$ , puis on multiplie par $2$ : $|x-4|=2x+2$ . Restriction : $2x+2\geq 0$ , soit $x\geq -1$ .

Cas $x\geq 4$ : $x-4=2x+2$ , donc $x=-6$ ; mais $-6$ n'est pas supérieur à $4$ : rejeté.

Cas $x<4$ : $-x+4=2x+2$ , $-3x=-2$ , donc $x=\frac{2}{3}$ ; $-1\leq\frac{2}{3}<4$ ✓.

Contrôle : en $x=\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}\times\frac{10}{3}+3=\frac{14}{3}$ et $\frac{2}{3}+4=\frac{14}{3}$ .

\displaystyle S=\left\{\frac{2}{3}\right\}

Piège : multiplier par $2$ la valeur absolue seulement, $|x-4|=x+1$ . C'est tout le membre de droite qui double : $2x+2$ .

i)

On isole : $3|x-2|=-x+8$ , donc $|x-2|=\frac{-x+8}{3}$ . Restriction : $-x+8\geq 0$ , soit $x\leq 8$ .

Cas $x\geq 2$ : $x-2=\frac{-x+8}{3}$ , on multiplie par $3$ : $3x-6=-x+8$ , $4x=14$ , donc $x=\frac{7}{2}$ ; $2\leq\frac{7}{2}\leq 8$ ✓.

Cas $x<2$ : $-(x-2)=\frac{-x+8}{3}$ , soit $-3x+6=-x+8$ , $-2x=2$ , donc $x=-1$ ✓.

Contrôle : en $x=-1$ , $3\times 3+1=10$ et $1+9=10$ ; en $x=\frac{7}{2}$ , $3\times\frac{3}{2}+1=\frac{11}{2}$ et $-\frac{7}{2}+9=\frac{11}{2}$ .

\displaystyle S=\left\{-1\,;\frac{7}{2}\right\}

Piège : multiplier le second cas par $3$ sans distribuer le signe moins, $-3x-6$ au lieu de $-3x+6$ , d'où $x=-7$ , que la validation rejette alors qu'une vraie solution existe.

j)

Deux valeurs absolues égales : les deux nombres sont égaux ou opposés. Pas de restriction, les deux membres sont positifs.

Égaux : $x+1=2x-4$ , donc $x=5$ .

Opposés : $x+1=-(2x-4)$ , $x+1=-2x+4$ , $3x=3$ , donc $x=1$ .

Contrôle : en $x=5$ , $|6|=|6|$ ; en $x=1$ , $|2|=|-2|$ .

\displaystyle S=\{1\,;5\}

Piège : $x+1=-2x-4$ , le signe moins posé sur le premier terme seulement.

k)

On découpe la droite aux valeurs qui annulent les deux valeurs absolues, $-2$ et $1$ , et l'on enlève les barres sur chaque intervalle.

Si $x\geq 1$ : $(x-1)+(x+2)=7$ , $2x+1=7$ , donc $x=3$ ✓.

Si $-2\leq x<1$ : $-(x-1)+(x+2)=7$ , soit $3=7$ : impossible.

Si $x<-2$ : $-(x-1)-(x+2)=7$ , $-2x-1=7$ , donc $x=-4$ ✓.

\displaystyle S=\{-4\,;3\}

Lecture en distance : la somme des distances de $x$ à $1$ et à $-2$ vaut $3$ entre les deux, et atteint $7$ à $2$ unités au-delà de chaque extrémité.

Piège : enlever toutes les barres d'un coup, $(x-1)+(x+2)=7$ , et ne trouver que $x=3$ .

l)

Même découpage, aux valeurs $-1$ et $2$ .

Si $x\geq 2$ : $(x-2)-(x+1)=-3$ , jamais égal à $1$ .

Si $-1\leq x<2$ : $(2-x)-(x+1)=1-2x$ , et $1-2x=1$ donne $x=0$ ✓.

Si $x<-1$ : $(2-x)-(-x-1)=3$ , jamais égal à $1$ .

\displaystyle S=\{0\}

Contrôle : $|{-2}|-|1|=2-1=1$ ✓.

Piège : pour $x<-1$ , $-|x+1|$ devient $-(-x-1)=x+1$ ; oublier l'un des deux signes moins fabrique une fausse solution.

Contrôle : chaque solution se remplace dans l'équation de DÉPART, pas dans l'équation isolée. C'est ce remplacement qui rejette $x=1$ en f), $x=-1$ en g) et $x=-6$ en h).

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Exercice 0.2 : Résoudre des inéquations avec valeur absolue : douze calculs, du direct au difficile

Résolvez chaque inéquation dans $\mathbb{R}$ et donnez l'ensemble solution en intervalle. Chaque ligne a trois cases : la forme de l'ensemble, puis l'intervalle de gauche et celui de droite. Une réunion : un intervalle par case. Un seul intervalle : le même dans les deux cases. Tous les réels : ]-inf;+inf[. Un seul réel $a$ : [a;a], car $[a\,;a]=\{a\}$ . Aucun réel : ]0;0[, l'intervalle vide. L'infini se tape inf, par exemple ]-inf;3].

Même départ que pour les équations : isoler la valeur absolue, puis vérifier la définition. Ensuite, deux règles. « Inférieur » : $|A|<c$ devient l'encadrement $-c<A<c$ , un seul intervalle. « Supérieur » : $|A|>c$ devient $A<-c$ ou $A>c$ , une réunion. Quand le membre de droite contient $x$ , $|A|\leq B$ demande la restriction $B\geq 0$ et l'intersection des conditions ; $|A|\geq B$ n'en demande pas.

a) $|x+1|\geq 4$
b) $|5x-1|\geq -2$
c) $|2x+5|\leq 0$
d) $-2|x-3|+7<1$
e) $\frac{1}{2}|4-2x|+1\geq 3$
f) $-\frac{1}{3}|6-3x|+2>-1$
g) $|x-1|\leq 2x+4$
h) $|2x+1|>x+5$
i) $-|x+2|+3\geq x-1$
j) $|x+3|<x+1$
k) $|x-2|<|x+4|$
l) $1\leq|x-3|<4$

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a)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

b)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

c)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

d)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

e)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

f)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

g)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

h)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

i)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

j)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

k)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

l)

Forme de l'ensemble

Intervalle de gauche ;

Intervalle de droite ;

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Réponses

a) $S=]-\infty\,;-5]\cup[3\,;+\infty[$
b) $S=\mathbb{R}$
c) $S=\left\{-\dfrac{5}{2}\right\}$
d) $|x-3|>3$ ; $S=]-\infty\,;0[\cup]6\,;+\infty[$
e) $|4-2x|\geq 4$ ; $S=]-\infty\,;0]\cup[4\,;+\infty[$
f) $|6-3x|<9$ ; $S=]-1\,;5[$
g) Restriction $x\geq -2$ ; $S=[-1\,;+\infty[$
h) Pas de restriction ; $S=]-\infty\,;-2[\cup]4\,;+\infty[$
i) $|x+2|\leq -x+4$ , restriction $x\leq 4$ ; $S=]-\infty\,;1]$
j) $S=\varnothing$
k) $S=]-1\,;+\infty[$
l) $S=]-1\,;2]\cup[4\,;7[$

Le geste qui décide de tout : savoir, avant de calculer, si la réponse sera un intervalle ou une réunion. Plus petit qu'un nombre positif : on reste PRÈS du centre, un intervalle borné. Plus grand : on s'en éloigne des deux côtés, une réunion. Diviser par un nombre négatif pour isoler la valeur absolue renverse le symbole, et change donc la forme de la réponse (d, e et f).

a)

« Supérieur » : $x+1\leq -4$ ou $x+1\geq 4$ , soit $x\leq -5$ ou $x\geq 3$ .

\displaystyle S=]-\infty\,;-5]\cup[3\,;+\infty[

Piège : écrire l'encadrement $-4\leq x+1\leq 4$ , qui donne exactement le contraire, $[-5\,;3]$ .

b)

Vérifier la définition : $|5x-1|\geq 0>-2$ pour tout $x$ .

L'inéquation est toujours vraie : $S=\mathbb{R}$ .

Piège : répondre « aucune solution » par réflexe parce que le membre de droite est négatif. Avec $|A|<-2$ , ce serait vrai ; avec $\geq$ , c'est le contraire : c'est le sens du symbole qui décide.

c)

Une valeur absolue n'est jamais strictement négative : $|2x+5|\leq 0$ impose $|2x+5|=0$ .

$2x+5=0$ , donc $x=-\frac{5}{2}$ .

$S=\left\{-\frac{5}{2}\right\}$ , un seul réel.

Piège : conclure à l'ensemble vide en ne lisant que le « $<$ » ; le « ou égal » laisse un point.

d)

On isole : $-2|x-3|<-6$ . On divise par $-2$ , un nombre NÉGATIF : le symbole se renverse, $|x-3|>3$ .

« Supérieur » : $x-3<-3$ ou $x-3>3$ , soit $x<0$ ou $x>6$ .

\displaystyle S=]-\infty\,;0[\cup]6\,;+\infty[

Contrôle : en $x=3$ , $-2\times 0+7=7$ , et $7<1$ est faux ; $3$ est bien hors de $S$ .

Piège : garder $<$ après la division, d'où $]0\,;6[$ , exactement le complémentaire.

e)

On isole : $\frac{1}{2}|4-2x|\geq 2$ , donc $|4-2x|\geq 4$ .

$4-2x\leq -4$ ou $4-2x\geq 4$ , soit $-2x\leq -8$ ou $-2x\geq 0$ .

On divise par $-2$ en renversant : $x\geq 4$ ou $x\leq 0$ .

\displaystyle S=]-\infty\,;0]\cup[4\,;+\infty[

Piège : diviser par $-2$ sans renverser, d'où $x\leq 4$ ou $x\geq 0$ , qui couvre tout $\mathbb{R}$ .

f)

On isole : $-\frac{1}{3}|6-3x|>-3$ . On multiplie par $-3$ , un nombre NÉGATIF, en renversant : $|6-3x|<9$ .

« Inférieur » : $-9<6-3x<9$ , soit $-15<-3x<3$ .

On divise par $-3$ et l'on renverse les deux symboles : $5>x>-1$ .

\displaystyle S=]-1\,;5[

Piège : deux renversements dans le même calcul. En oublier un seul donne une réunion à la place de l'intervalle.

g)

Le membre de droite contient $x$ . Restriction : $2x+4\geq 0$ , soit $x\geq -2$ .

On enlève les barres : $-(2x+4)\leq x-1\leq 2x+4$ .

À gauche : $-2x-4\leq x-1$ , $-3\leq 3x$ , soit $x\geq -1$ .

À droite : $x-1\leq 2x+4$ , soit $x\geq -5$ .

Intersection de $x\geq -2$ , $x\geq -1$ et $x\geq -5$ : la condition la plus contraignante l'emporte, $x\geq -1$ .

\displaystyle S=[-1\,;+\infty[

Contrôle : en $x=-1$ , $|-2|=2$ et $2\times(-1)+4=2$ ✓ ; en $x=-1{,}5$ , $2{,}5>1$ : exclu, comme prévu.

h)

« Supérieur » avec $x$ à droite : pas de restriction. Là où $x+5<0$ , l'inégalité est vraie d'office, et les deux cas le retrouvent seuls.

$2x+1>x+5$ donne $x>4$ .

$2x+1<-(x+5)$ , soit $2x+1<-x-5$ , $3x<-6$ , $x<-2$ .

\displaystyle S=]-\infty\,;-2[\cup]4\,;+\infty[

Contrôle : en $x=-6$ , $|-11|=11>-1$ ✓ ; en $x=0$ , $1>5$ est faux, $0$ est bien exclu.

Piège : poser la restriction $x\geq -5$ par habitude, et perdre $]-\infty\,;-5[$ , où l'inégalité est pourtant vraie.

i)

On isole : $-|x+2|\geq x-4$ , puis on multiplie par $-1$ en renversant : $|x+2|\leq -x+4$ .

Restriction : $-x+4\geq 0$ , soit $x\leq 4$ .

On enlève les barres : $-(-x+4)\leq x+2\leq -x+4$ .

À gauche : $x-4\leq x+2$ , soit $-4\leq 2$ : toujours vrai, aucune condition.

À droite : $2x\leq 2$ , soit $x\leq 1$ .

Intersection de $x\leq 4$ et $x\leq 1$ : $S=]-\infty\,;1]$ .

Contrôle : en $x=1$ , $-3+3=0$ et $1-1=0$ ✓ ; en $x=2$ , $-1\geq 1$ est faux.

Piège : croire qu'un côté « toujours vrai » vide l'ensemble solution ; il ne retire simplement rien.

j)

Restriction : $x+1>0$ , soit $x>-1$ .

On enlève les barres : $-(x+1)<x+3<x+1$ .

À droite : $x+3<x+1$ , soit $3<1$ : toujours FAUX.

Une condition jamais vraie suffit à tout éliminer : $S=\varnothing$ .

Lecture : pour $x>-1$ , $|x+3|=x+3$ , qui dépasse toujours $x+1$ de $2$ .

Piège : ne résoudre que le côté gauche, $-x-1<x+3$ , soit $x>-2$ , et répondre $]-1\,;+\infty[$ .

k)

Lecture en distance : $x$ est plus près de $2$ que de $-4$ . Le milieu de $-4$ et $2$ est $-1$ : il faut être à sa droite.

Par les cas, aux valeurs $-4$ et $2$ :

si $x\geq 2$ : $x-2<x+4$ , toujours vrai ;

si $-4\leq x<2$ : $2-x<x+4$ , soit $-2<2x$ et $x>-1$ ;

si $x<-4$ : $2-x<-x-4$ , soit $2<-4$ , toujours faux.

On réunit : $]-1\,;2[\cup[2\,;+\infty[=]-1\,;+\infty[$ .

Contrôle : en $x=-1$ , $|-3|=|3|$ , égalité, donc $-1$ est exclu ; en $x=0$ , $2<4$ ✓.

Piège : enlever les barres des deux côtés, $x-2<x+4$ , toujours vrai, et répondre $\mathbb{R}$ .

l)

Deux conditions à la fois : $|x-3|<4$ ET $|x-3|\geq 1$ .

$|x-3|<4$ : $-4<x-3<4$ , soit $-1<x<7$ .

$|x-3|\geq 1$ : $x-3\leq -1$ ou $x-3\geq 1$ , soit $x\leq 2$ ou $x\geq 4$ .

On garde l'intersection : $S=]-1\,;2]\cup[4\,;7[$

Lecture : les réels à moins de $4$ de $3$ , mais à au moins $1$ de lui : deux morceaux autour de $3$ , avec un trou en $]2\,;4[$ .

Piège : réunir les deux conditions au lieu de les intersecter, et répondre $\mathbb{R}$ .

Contrôle : un point pris dans $S$ et un point pris hors de $S$ , remplacés dans l'inéquation de DÉPART. Deux secondes chacun, et le renversement oublié de d), e) ou f) saute aux yeux.

Exercice 1 : Propriétés de la fonction

On considère la fonction $f(x)=-2|x+3|+4$ .

a) Identifiez les valeurs des paramètres a, h et k.
b) Donnez les coordonnées du sommet de la courbe.
c) Déterminez le domaine et l'image de f.
d) La courbe est-elle un V ou un $\Lambda$ ? Donnez les intervalles de croissance et de décroissance en justifiant par le signe de a.
e) Donnez l'équation de l'axe de symétrie.

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Réponses

a) $a=-2$ , $h=-3$ , $k=4$
b) Sommet $(-3\,;4)$
c) Domaine $\mathbb{R}$ , image $]-\infty\,;4]$
d) Un $\Lambda$ ( $a<0$ ) : croissante sur $]-\infty\,;-3]$ , décroissante sur $[-3\,;+\infty[$
e) $x=-3$

a)

On compare avec la forme canonique $a|x-h|+k$ . Le coefficient devant la valeur absolue est $a=-2$ , le terme ajouté à la fin est $k=4$ . Pour $h$ , la forme canonique impose $(x-h)$ alors que l'énoncé écrit $(x+3)$ : on réécrit $x+3=x-(-3)$ , donc $h=-3$ . Le signe de $h$ est toujours l'OPPOSÉ de celui qui apparaît dans la valeur absolue, et c'est l'erreur la plus fréquente de la question.

b)

Le sommet est $(h\,;k)=(-3\,;4)$ . Ce n'est pas une convention : le sommet est le seul point où la valeur absolue s'annule, donc le seul endroit où les deux branches se rejoignent. Vérification : $f(-3)=-2\times|0|+4=4$ ✓.

c)

Le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier. C'est une différence essentielle avec la fonction racine carrée : une valeur absolue accepte n'importe quel nombre, positif ou négatif, il n'y a AUCUNE condition d'existence à poser. Pour l'image, on part de $|x+3|\geq 0$ , on multiplie par $a=-2$ ce qui renverse l'inégalité et donne $-2|x+3|\leq 0$ , puis on ajoute $k=4$ : $f(x)\leq 4$ . Image : $]-\infty\,;4]$ . La valeur $4$ est atteinte, en $x=-3$ précisément, donc le crochet est fermé.

d)

Comme $a=-2<0$ , la courbe est un $\Lambda$ , ouverte vers le bas, et $k=4$ est un MAXIMUM. Contrairement à la racine carrée, une fonction valeur absolue possède toujours deux branches de sens opposés, et le sommet est le point de retournement : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-3]$ puis décroissante sur $[-3\,;+\infty[$ . Contrôle sur trois points : $f(-6)=-2\times 3+4=-2$ , $f(-3)=4$ , $f(0)=-2\times 3+4=-2$ . La fonction est bien montée puis redescendue ✓.

e)

L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet : $x=-3$ . Les deux points calculés en d), $-6$ et $0$ , sont à égale distance de $-3$ et ont exactement la même image, ce qui illustre la symétrie ✓.

Tableau de lecture à retenir pour toute la série : $a>0$ donne un V, de minimum $k$ et d'image $[k\,;+\infty[$ ; $a<0$ donne un $\Lambda$ , de maximum $k$ et d'image $]-\infty\,;k]$ . Le domaine, lui, est toujours $\mathbb{R}$ , quels que soient les paramètres.

Exercice 2 : Trouver la règle sous la forme canonique

Pour chaque cas, écrivez la règle sous la forme $f(x)=a|x-h|+k$ .

a) Une fonction valeur absolue a son sommet au point (2, -1) et passe par le point (5, 8). Déterminez a, puis écrivez la règle.
b) La fonction de base $y=|x|$ subit, dans l'ordre : une réflexion par rapport à l'axe des x, puis une translation de 4 unités vers la gauche et de 3 unités vers le haut. Écrivez la règle.
c) Une fonction valeur absolue en V a son sommet sur l'axe des x, s'ouvre vers le haut et passe par les points (0, 6) et (4, 6). Déterminez son sommet, puis écrivez la règle.
d) Une fonction valeur absolue passe par $P(-6\,;-1)$ , $Q(0\,;-1)$ et $R(-2\,;5)$ . Cette fois, ni le sommet ni $k$ ne sont donnés. Déterminez le sommet, puis écrivez la règle.

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a)

a

h

k

b)

a

h

k

c)

h

k

a

d)

h

a

k

Voir la correction

Réponses

a) $a=3$ : $f(x)=3|x-2|-1$
b) $f(x)=-|x+4|+3$
c) Sommet $(2\,;0)$ : $f(x)=3|x-2|$
d) Sommet $(-3\,;8)$ : $f(x)=-3|x+3|+8$

a)

Le sommet $(2\,;-1)$ donne directement $h=2$ et $k=-1$ : il ne reste qu'un paramètre à trouver, et l'énoncé fournit exactement un point pour cela. On substitue $(5\,;8)$ dans $f(x)=a|x-2|-1$ : $8=a|5-2|-1=3a-1$ , donc $3a=9$ et $a=3$ . Règle : $f(x)=3|x-2|-1$ . Contrôle de cohérence avant même de calculer : le point $(5\,;8)$ est situé AU-DESSUS du sommet, donc la courbe monte en s'éloignant du sommet, donc $a$ doit être positif, et on trouve bien $a=3>0$ ✓.

b)

On applique les transformations dans l'ordre, chacune sur son paramètre. La réflexion par rapport à l'axe des $x$ change le signe de $a$ : $y=-|x|$ . La translation de $4$ unités vers la GAUCHE agit sur $h$ , qui devient $-4$ , et s'écrit donc $|x+4|$ dans la règle : le signe apparent est l'inverse du sens du déplacement, vers la gauche donnant un plus. La translation de $3$ vers le haut donne $k=3$ . Règle : $f(x)=-|x+4|+3$ , de sommet $(-4\,;3)$ et ouverte vers le bas.

c)

Deux points de même ordonnée sont nécessairement SYMÉTRIQUES par rapport à l'axe de symétrie : celui-ci passe donc par leur milieu, d'abscisse $\frac{0+4}{2}=2$ . C'est le raccourci de la question, il évite toute mise en équation. On a donc $h=2$ , et comme le sommet est sur l'axe des $x$ , son ordonnée est nulle : $k=0$ et le sommet est $(2\,;0)$ . On substitue enfin $(0\,;6)$ : $6=a|0-2|=2a$ , donc $a=3$ . Règle : $f(x)=3|x-2|$ . Vérification sur l'autre point, qui n'a pas servi au calcul et constitue donc un vrai contrôle : $f(4)=3|4-2|=6$ ✓.

d)

Le raccourci de c) tient toujours : $P$ et $Q$ ont la même ordonnée $-1$ , ils sont donc symétriques par rapport à l'axe de la courbe, qui passe par leur milieu : $h=\frac{-6+0}{2}=-3$ . Mais contrairement à c), $k$ n'est pas donné : il reste DEUX inconnues, $a$ et $k$ , dans $f(x)=a|x+3|+k$ , et il faut deux équations. $Q$ donne $a|0+3|+k=-1$ , soit $3a+k=-1$ . $R$ donne $a|-2+3|+k=5$ , soit $a+k=5$ . On soustrait : $2a=-6$ , donc $a=-3$ , puis $k=5-a=8$ . Règle : $f(x)=-3|x+3|+8$ , de sommet $(-3\,;8)$ .

Contrôle sur le point qui n'a pas servi : $f(-6)=-3\times 3+8=-1$ ✓. Contrôle de forme : $R$ est entre $P$ et $Q$ et AU-DESSUS d'eux, la courbe monte vers le sommet puis redescend, c'est un $\Lambda$ , et on trouve bien $a<0$ ✓. Le piège est de croire que $P$ ou $Q$ est le sommet parce qu'ils se ressemblent : deux points de même ordonnée sont toujours de part et d'autre du sommet, jamais dessus, sauf s'ils sont confondus.

Exercice 3 : Zéros, équations et inéquations

Soit la fonction $f(x)=2|x-1|-6$ .

a) Déterminez les zéros de la fonction.
b) Résolvez l'inéquation $f(x)\leq 0$ et exprimez la solution par un intervalle.
c) Résolvez l'équation $f(x)=-8$ . Justifiez votre réponse.
d) Résolvez l'inéquation $f(x)>2$ .
e) Résolvez l'inéquation $f(x)\leq x+1$ par la méthode de la restriction : isolez la valeur absolue, posez la restriction, enlevez les barres, puis gardez l'intersection des conditions.

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a)

Plus petit zéro

Plus grand zéro

b)

Solution ;

c)

Solutions

d)

Partie gauche ;

Partie droite ;

e)

Solution ;

Voir la correction

Réponses

a) $x=-2$ et $x=4$
b) $[-2\,;4]$
c) Aucune solution : $|x-1|=-1$ est impossible
d) $]-\infty\,;-3[\ \cup\ ]5\,;+\infty[$
e) $S=\left[-\dfrac{5}{3}\,;9\right]$ (restriction $x\geq -7$ )

a)

On isole d'abord la valeur absolue, jamais on ne scinde en deux cas tant qu'il reste un terme à côté : $2|x-1|-6=0$ donne $2|x-1|=6$ , puis $|x-1|=3$ . Une valeur absolue égale à un nombre POSITIF donne deux possibilités, car deux nombres opposés ont la même valeur absolue : $x-1=3$ ou $x-1=-3$ , d'où $x=4$ ou $x=-2$ . Zéros : $-2$ et $4$ . On pouvait prévoir qu'il y en aurait exactement deux : le sommet $(1\,;-6)$ est situé sous l'axe des $x$ et $a=2>0$ ouvre la courbe vers le haut, donc les deux branches remontent et coupent chacune l'axe une fois. Remarquez que les deux zéros sont symétriques par rapport à $h=1$ , chacun à distance $3$ ✓.

b)

$2|x-1|\leq 6$ donne $|x-1|\leq 3$ . Une inégalité de type « inférieur » se traduit par un ENCADREMENT, puisqu'elle dit que la distance de $x$ à $1$ ne dépasse pas $3$ : $-3\leq x-1\leq 3$ , puis en ajoutant $1$ partout, $-2\leq x\leq 4$ . Solution : $[-2\,;4]$ . Le résultat est cohérent avec a) : la courbe est un V, donc elle est sous l'axe des $x$ ENTRE ses deux zéros, et les bornes de l'intervalle sont exactement ces zéros.

c)

$2|x-1|-6=-8$ donne $2|x-1|=-2$ , donc $|x-1|=-1$ : impossible, une valeur absolue est une distance et ne peut jamais être négative. Il n'y a AUCUNE solution. On pouvait le voir sans calcul par le graphique : $a>0$ , donc $k=-6$ est le minimum de la fonction, et $-8$ est en dessous de ce minimum. Aucun point de la courbe n'atteint la hauteur $-8$ .

d)

$2|x-1|-6>2$ donne $2|x-1|>8$ , donc $|x-1|>4$ . Une inégalité de type « supérieur » se traduit par une RÉUNION, car la distance de $x$ à $1$ dépasse $4$ des deux côtés à la fois : $x-1>4$ ou $x-1<-4$ , d'où $x>5$ ou $x<-3$ . Solution : $]-\infty\,;-3[\ \cup\ ]5\,;+\infty[$ . Retenez l'opposition entre b) et d), c'est le point de barème du chapitre : avec un V, « $\leq$ » donne un intervalle unique AU CENTRE, « $\geq$ » donne deux morceaux VERS L'EXTÉRIEUR. Écrire un encadrement là où il fallait une réunion est une erreur de méthode, pas de calcul.

e)

Le membre de droite contient $x$ : l'inéquation est mixte, et la méthode de la restriction la traite en quatre temps. 1. On isole la valeur absolue : $2|x-1|-6\leq x+1$ donne $2|x-1|\leq x+7$ . Comme $2$ est positif, il entre dans les barres, $2|x-1|=|2x-2|$ , d'où $|2x-2|\leq x+7$ , ce qui évite de traîner des fractions. 2. Restriction : une valeur absolue n'est jamais négative, donc l'inégalité n'est possible que si $x+7\geq 0$ , soit $x\geq -7$ . 3. On enlève les barres : $-(x+7)\leq 2x-2\leq x+7$ . Partie gauche : $-x-7\leq 2x-2$ donne $-5\leq 3x$ , soit $x\geq -\frac{5}{3}$ . Partie droite : $2x-2\leq x+7$ donne $x\leq 9$ . 4. On garde l'INTERSECTION des trois conditions, $x\geq -7$ , $x\geq -\frac{5}{3}$ et $x\leq 9$ : $S=\left[-\frac{5}{3}\,;9\right]$ .

Contrôle aux deux bornes, où les deux membres doivent être égaux : $f(9)=2\times 8-6=10$ et $9+1=10$ ✓ ; $f\left(-\frac{5}{3}\right)=2\times\frac{8}{3}-6=-\frac{2}{3}$ et $-\frac{5}{3}+1=-\frac{2}{3}$ ✓. Lecture graphique : la droite $y=x+1$ coupe le V en ces deux points, et le V passe SOUS la droite entre eux, d'où un intervalle borné. Remarquez enfin que la restriction $x\geq -7$ n'a rien retiré : ce n'est pas un hasard, car en additionnant les deux parties de l'encadrement on obtient $0\leq 2(x+7)$ , l'encadrement contient donc déjà la restriction. On l'écrit quand même, c'est la méthode attendue et elle sert de garde-fou.

Exercice 4 : Problème : la température de la serre

Dans une serre, la température T (en °C) au cours d'une journée est modélisée par une fonction valeur absolue :

$T(x)=-2|x-14|+30$ , où x est l'heure de la journée ( $0\leq x\leq 24$ ).

Un système de refroidissement se met en marche dès que la température dépasse 24 °C.

a) À quelle heure la température est-elle maximale, et quelle est cette température maximale ?
b) Quelle est la température à 8 h ?
c) Entre quelles heures le système de refroidissement fonctionne-t-il ?
d) Pendant combien d'heures fonctionne-t-il au total ?

Voir la correction

Réponses

a) $30$ °C à $14$ h
b) $18$ °C
c) Entre $11$ h et $17$ h
d) $6$ heures

a)

La règle $T(x)=-2|x-14|+30$ a pour sommet $(h\,;k)=(14\,;30)$ , et comme $a=-2<0$ la courbe est un $\Lambda$ : $k$ est donc un MAXIMUM. La température maximale est de $30$ °C, atteinte à $14$ h. Le signe négatif de $a$ est ce qui rend le modèle réaliste : une température qui monte le matin, culmine en début d'après-midi, puis redescend.

b)

$T(8)=-2|8-14|+30=-2\times|-6|+30=-2\times 6+30=18$ °C. Attention à ne pas confondre $|-6|=6$ avec $-6$ : c'est en oubliant la valeur absolue qu'on obtiendrait $42$ °C, une réponse absurde puisqu'elle dépasserait le maximum trouvé en a). Le contrôle de vraisemblance est immédiat et gratuit.

c)

Le refroidissement démarre quand $T(x)>24$ : $-2|x-14|+30>24$ , donc $-2|x-14|>-6$ . On divise par $-2$ en RENVERSANT le sens de l'inégalité, puisque le diviseur est négatif : $|x-14|<3$ . Cette étape est le seul vrai piège du problème. On traduit ensuite l'encadrement : $-3<x-14<3$ , donc $11<x<17$ . Le système fonctionne entre $11$ h et $17$ h. Vérification à la borne : $T(11)=-2\times 3+30=24$ °C exactement, donc le seuil est bien atteint sans être dépassé en $11$ h ✓.

d)

La durée est $17-11=6$ heures. On pouvait la trouver directement : l'inéquation $|x-14|<3$ décrit un intervalle centré en $14$ et de RAYON $3$ , donc de largeur $2\times 3=6$ . Cette lecture par le centre et le rayon évite de résoudre l'inéquation quand seule la durée est demandée.

Un mot sur le modèle lui-même, car un examen peut le demander. Aux extrémités de la journée, $T(0)=-2\times 14+30=2$ °C et $T(24)=-2\times 10+30=10$ °C : les deux bouts ne sont PAS à la même température, parce que le sommet $14$ h n'est pas au milieu de l'intervalle $[0\,;24]$ . Le modèle en $\Lambda$ reste une approximation grossière, une vraie courbe de température est arrondie et non anguleuse, mais il capture l'essentiel, à savoir une montée, un maximum et une descente, avec seulement trois paramètres.

Exercice 5 : Lecture graphique et tracé

On considère la fonction $f(x)=|x-2|-3$ . Le repère ci-dessous est vierge : c'est à vous de tracer la courbe.

a) Déterminez les paramètres a, h et k, puis les coordonnées du sommet.
b) Tracez la courbe de f dans le repère.
c) À l'aide de votre tracé, déterminez les zéros de f et résolvez l'inéquation $f(x)\leq 0$ .

Voir la correction

Réponses

a) $a=1$ , $h=2$ , $k=-3$ ; sommet $(2\,;-3)$
b) V de sommet $(2\,;-3)$ , branches de pente $\pm 1$ , passant par $(-1\,;0)$ et $(5\,;0)$
c) Zéros $-1$ et $5$ ; $f(x)\leq 0$ sur $[-1\,;5]$

a)

Sur $f(x)=|x-2|-3$ , le coefficient devant la valeur absolue est sous-entendu : $a=1$ . Puis $h=2$ et $k=-3$ , donc le sommet est $(2\,;-3)$ . Comme $a=1>0$ , la courbe est un V ouvert vers le haut.

b)

Pour tracer un V à la main, trois éléments suffisent et il ne faut surtout pas calculer une table de valeurs au hasard. On place d'abord le sommet $(2\,;-3)$ . On trace ensuite la branche de DROITE, valable pour $x\geq 2$ : la valeur absolue y vaut $x-2$ , donc $f(x)=x-5$ , une droite de pente $a=1$ , c'est-à-dire une unité vers le haut pour une unité vers la droite. On trace enfin la branche de GAUCHE par symétrie, avec la pente opposée $-1$ . Deux points de contrôle : $f(5)=|3|-3=0$ et $f(-1)=|-3|-3=0$ , tous deux sur l'axe des $x$ ✓. La pente d'une branche est toujours $\pm a$ , ce qui donne une méthode de tracé sans aucun calcul supplémentaire.

c)

Le graphique montre deux intersections avec l'axe des $x$ , et le calcul les confirme : $|x-2|=3$ donne $x-2=3$ ou $x-2=-3$ , donc $x=5$ ou $x=-1$ . Pour $f(x)\leq 0$ , on cherche la portion de courbe située SOUS l'axe des $x$ ou sur lui : c'est la partie du V comprise entre les deux zéros, donc $[-1\,;5]$ , bornes incluses puisque l'inégalité est large et que $f(-1)=f(5)=0$ . Notez que les deux zéros sont symétriques par rapport à $h=2$ , chacun à distance $3$ , ce qui donne un dernier contrôle : le milieu de $-1$ et $5$ vaut bien $2$ ✓.

Exercice 6 : Problème : deux entreprises concurrentes

Les profits de deux entreprises varient au cours de l'année. Si x est le nombre de mois écoulés depuis janvier ( $0\leq x\leq 12$ ), les profits, en milliers de dollars, sont donnés par :

• Entreprise A : $P_A(x)=-20|x-5|+100$

• Entreprise B : $P_B(x)=-10|x-8|+80$

a) Quel est le profit maximal de chaque entreprise, et à quel mois est-il atteint ?
b) Résolvez algébriquement l'équation $P_A(x)=40$ . Qu'est-ce que cette résolution représente ?
c) Déterminez algébriquement le ou les mois où les deux entreprises réalisent le même profit.

Voir la correction

Réponses

a) A : $100$ k $au mois$ 5 $; B :$ 80 $k$ au mois $8$
b) $x=2$ ou $x=8$ : les mois où A gagne $40$ k$
c) $x=0$ et $x=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67$ (le cas $x>8$ donne $4$ , rejeté)

a)

Chaque règle est déjà sous forme canonique, il suffit de lire les paramètres. Pour A : $h=5$ , $k=100$ , et $a=-20<0$ donne un $\Lambda$ , donc $k$ est un maximum. Le profit maximal de l'entreprise A est de $100$ milliers de dollars, atteint au mois $5$ . Pour B : $h=8$ , $k=80$ , $a=-10<0$ , donc un profit maximal de $80$ milliers de dollars au mois $8$ . Les coefficients $a$ ont aussi un sens concret : A perd $20$ milliers de dollars par mois d'écart avec son pic, B seulement $10$ , donc le profit de B est deux fois moins sensible au calendrier. C'est visible sur le graphique, où le $\Lambda$ de B est nettement plus évasé.

b)

On isole la valeur absolue : $-20|x-5|+100=40$ donne $-20|x-5|=-60$ , donc $|x-5|=3$ , puis $x-5=3$ ou $x-5=-3$ , c'est-à-dire $x=8$ ou $x=2$ . Cette résolution répond à la question « quand l'entreprise A réalise-t-elle un profit de $40$ milliers de dollars ». Il y a deux réponses, et c'est logique : le profit monte jusqu'au mois $5$ puis redescend, il franchit donc le niveau $40$ une fois à la montée, au mois $2$ , et une fois à la descente, au mois $8$ . Les deux mois sont symétriques par rapport au pic, chacun à trois mois d'écart ✓. Une seule réponse aurait dû éveiller les soupçons.

c)

On égale les deux règles : $-20|x-5|+100=-10|x-8|+80$ . En regroupant et en divisant tout par $10$ , on obtient $|x-8|-2|x-5|=-2$ . Une équation à DEUX valeurs absolues se résout par cas, et les frontières sont les points où chacune s'annule, ici $5$ et $8$ : ils découpent la droite en trois intervalles, qu'il faut tous examiner.

Cas 1, $x<5$ : les deux expressions intérieures sont négatives, donc $|x-8|=8-x$ et $|x-5|=5-x$ . L'équation devient $(8-x)-2(5-x)=x-2=-2$ , d'où $x=0$ . Cette valeur appartient bien à l'intervalle $x<5$ : elle est ACCEPTÉE. Contrôle : $P_A(0)=-20\times 5+100=0$ et $P_B(0)=-10\times 8+80=0$ , les deux entreprises démarrent l'année à profit nul ✓.

Cas 2, $5\leq x\leq 8$ : ici $|x-8|=8-x$ mais $|x-5|=x-5$ . L'équation devient $(8-x)-2(x-5)=18-3x=-2$ , d'où $3x=20$ et $x=\frac{20}{3}\approx 6{,}67$ . Cette valeur est bien dans l'intervalle $[5\,;8]$ : ACCEPTÉE. Contrôle : $P_A\left(\frac{20}{3}\right)=-20\times\frac{5}{3}+100=\frac{200}{3}$ et $P_B\left(\frac{20}{3}\right)=-10\times\frac{4}{3}+80=\frac{200}{3}$ ✓, soit environ $66{,}7$ milliers de dollars.

Cas 3, $x>8$ : les deux expressions sont positives, $|x-8|=x-8$ et $|x-5|=x-5$ . L'équation devient $(x-8)-2(x-5)=-x+2=-2$ , d'où $x=4$ . Mais $4$ n'appartient PAS à l'intervalle $x>8$ : la valeur est REJETÉE. C'est le point de méthode le plus important de l'exercice : chaque cas ne vaut que sur son propre intervalle, et une solution trouvée hors de son intervalle de validité n'est pas une solution du problème. Conclusion : les deux entreprises réalisent le même profit au mois $0$ , en janvier, puis vers le mois $\frac{20}{3}$ , soit vers la fin juillet.

Exercice 7 : Équations et inéquations mixtes |ax+b| et cx+d

Quand le membre de droite contient encore la variable, chaque solution DOIT être vérifiée dans l'équation de départ.

Pour une inéquation mixte de type « inférieur », la méthode de la restriction remplace la vérification : on pose dès le départ que le membre de droite est positif ou nul.

a) Résolvez $|2x-6|=x+3$ (deux cas, puis vérification de chaque candidat).
b) Résolvez $|x-1|=2x-5$ .
c) Dans l'équation b), un des deux candidats doit être rejeté. Expliquez pourquoi, sans même le remplacer : quelle condition le membre de droite doit-il respecter ?
d) Résolvez $-|x+2|+6\geq -2x+1$ par la méthode de la restriction : isolez la valeur absolue, posez la restriction, enlevez les barres, puis gardez l'intersection des conditions.
e) Résolvez $|2x-1|>x+2$ . Faut-il poser une restriction ? Justifiez avant de résoudre.

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a)

Plus petite solution

Plus grande solution

b)

Solution

x=

Candidat rejeté

x=

c)

Condition

x\geq

d)

Restriction

x\geq

Solution ;

e)

Restriction ?

Partie gauche ;

Partie droite ;

Voir la correction

Réponses

a) $x=1$ et $x=9$ , tous deux vérifiés
b) $x=4$ ( $x=2$ rejeté)
c) Il faut $2x-5\geq 0$ , soit $x\geq 2{,}5$ : $x=2$ ne le respecte pas
d) $|x+2|\leq 2x+5$ , restriction $x\geq -\dfrac{5}{2}$ ; $S=\left[-\dfrac{7}{3}\,;+\infty\right[$
e) Pas de restriction ; $S=\left]-\infty\,;-\dfrac{1}{3}\right[\ \cup\ ]3\,;+\infty[$

Principe commun aux trois questions : $|A|=B$ se scinde en $A=B$ ou $A=-B$ , MAIS cette scission n'est valable que si $B\geq 0$ . Quand le membre de droite contient la variable, son signe dépend de $x$ et n'est donc pas garanti : c'est pour cela que la vérification est obligatoire.

a)

Cas 1 : $2x-6=x+3$ donne $x=9$ . Cas 2 : $2x-6=-(x+3)=-x-3$ donne $3x=3$ , donc $x=1$ . Attention à la parenthèse du cas 2, oublier de distribuer le signe moins sur les DEUX termes est l'erreur la plus commune. Vérifications dans l'équation de départ. Pour $x=9$ : $|2\times 9-6|=|12|=12$ et $9+3=12$ ✓. Pour $x=1$ : $|2\times 1-6|=|-4|=4$ et $1+3=4$ ✓. Les deux candidats sont acceptés, ce qui n'a rien d'étonnant : la condition $x+3\geq 0$ , soit $x\geq -3$ , est satisfaite par tous les deux.

b)

Cas 1 : $x-1=2x-5$ donne $-x=-4$ , donc $x=4$ . Cas 2 : $x-1=-(2x-5)=-2x+5$ donne $3x=6$ , donc $x=2$ . Vérifications. Pour $x=4$ : $|4-1|=3$ et $2\times 4-5=3$ ✓, accepté. Pour $x=2$ : $|2-1|=1$ mais $2\times 2-5=-1$ , et $1\neq -1$ : REJETÉ. Une seule solution : $x=4$ .

c)

Le membre de gauche est une valeur absolue, donc positif ou nul par définition. Pour que l'égalité soit possible, le membre de droite doit l'être aussi : la condition est $2x-5\geq 0$ , c'est-à-dire $x\geq\frac{5}{2}=2{,}5$ . Le candidat $x=2$ ne la respecte pas, et on peut donc le rejeter AVANT tout calcul de vérification, simplement en le comparant à $2{,}5$ . Cette condition préalable est le vrai outil de l'exercice : elle transforme une vérification numérique, longue et sujette aux erreurs d'arithmétique, en une comparaison immédiate. Notez enfin la parenté avec les racines étrangères de la fonction racine carrée : dans les deux cas, une opération (scinder une valeur absolue, élever au carré) fait perdre l'information de SIGNE du membre de droite, et dans les deux cas la parade est la même, poser la condition de positivité dès la première ligne.

d)

1. On isole la valeur absolue : $-|x+2|\geq -2x-5$ , puis, en multipliant par $-1$ , $|x+2|\leq 2x+5$ . Le sens s'inverse, et c'est ce renversement qui fait apparaître la forme $|A|\leq B$ . 2. Restriction : $|x+2|$ n'est jamais négatif, donc l'inégalité n'est possible que si $2x+5\geq 0$ , soit $x\geq -\frac{5}{2}$ . 3. On enlève les barres : $-(2x+5)\leq x+2\leq 2x+5$ . Partie droite : $x+2\leq 2x+5$ donne $x\geq -3$ . Partie gauche : $-2x-5\leq x+2$ donne $-7\leq 3x$ , soit $x\geq -\frac{7}{3}$ . 4. On garde l'intersection des trois conditions, $x\geq -\frac{5}{2}$ , $x\geq -3$ et $x\geq -\frac{7}{3}$ , c'est-à-dire la plus contraignante : $S=\left[-\frac{7}{3}\,;+\infty\right[$ . Contrôle à la borne : $-\left|-\frac{1}{3}\right|+6=\frac{17}{3}$ et $-2\times\left(-\frac{7}{3}\right)+1=\frac{17}{3}$ ✓ ; en $x=-3$ , $-1+6=5$ n'est pas $\geq 7$ , donc $-3$ est bien exclu ✓.

Remarquez que $-\frac{5}{2}<-\frac{7}{3}$ : la restriction n'a rien retiré. Pour une inéquation $|A|\leq B$ , c'est toujours le cas, car additionner $-B\leq A$ et $A\leq B$ donne $0\leq 2B$ : l'encadrement contient déjà la restriction. On l'écrit malgré tout, c'est la méthode attendue et un garde-fou contre une erreur de calcul. C'est pour une ÉQUATION $|A|=B$ , comme en b) et c), qu'elle devient indispensable : là, les deux cas $A=B$ ou $A=-B$ ne l'imposent pas, et elle seule rejette la solution étrangère.

e)

Pas de restriction ici. Une valeur absolue est positive ou nulle, donc si $x+2$ est négatif, l'inégalité $|2x-1|>x+2$ est vraie d'office : ces valeurs de $x$ sont des SOLUTIONS, et une restriction $x+2\geq 0$ les rejetterait à tort. Une inéquation de type « supérieur » se scinde en une RÉUNION : $2x-1>x+2$ ou $2x-1<-(x+2)$ . Premier cas : $x>3$ . Second cas : $2x-1<-x-2$ donne $3x<-1$ , soit $x<-\frac{1}{3}$ . Solution : $\left]-\infty\,;-\frac{1}{3}\right[\ \cup\ ]3\,;+\infty[$ . Contrôles : en $x=-5$ , où le membre de droite vaut $-3$ , on a $|-11|=11>-3$ ✓, et $-5$ est bien dans la réponse, alors qu'une restriction $x\geq -2$ l'aurait exclu ; en $x=0$ , $|-1|=1$ n'est pas $>2$ ✓, et $0$ est bien hors de la réponse. La règle à retenir : restriction et intersection avec $\leq$ , $<$ ou $=$ ; ni restriction ni intersection avec $\geq$ ou $>$ , mais une réunion.

Exercice 8 : Des deux demi-droites à la règle

Une fonction est définie par parties : $g(x)=-3x+7$ si $x\leq 2$ ; $g(x)=3x-5$ si $x>2$ . On veut montrer que $g$ est en réalité une fonction valeur absolue.

a) Vérifiez que les deux demi-droites se raccordent en $x=2$ et donnez le sommet.
b) Déduisez la règle de $g$ sous la forme canonique $a|x-h|+k$ et vérifiez-la en évaluant les deux écritures en $x=0$ et en $x=4$ .
c) Résolvez $g(x)=0$ . Que concluez-vous ?
d) Donnez l'image de $g$ , puis résolvez l'inéquation $g(x)\leq 7$ .
e) Autre fonction, cette fois sans ses demi-droites : une fonction valeur absolue passe par $A(0\,;2)$ , $B(3\,;-1)$ et $C(4\,;-4)$ , et les points $B$ et $C$ sont sur la même demi-droite. Trouvez l'équation de chaque demi-droite, le sommet par comparaison, puis la règle sous la forme $a|x-h|+k$ .
f) Trois points, et cette fois AUCUN indice : une fonction valeur absolue passe par $P_1(5\,;1)$ , $P_2(-5\,;4)$ et $P_3(-1\,;-2)$ . Rangez les points par abscisse croissante, déterminez quels points sont sur la même demi-droite en testant les deux hypothèses possibles, puis écrivez la règle.
g) Une fonction valeur absolue passe par $D(-2\,;5)$ , $E(1\,;1)$ et $F(4\,;-5)$ . Même démarche qu'en f), mais testez d'abord l'hypothèse « $D$ et $E$ sont sur la même demi-droite ». Pourquoi est-elle rejetée ? Écrivez ensuite la règle.
h) Une fonction valeur absolue passe par $U(-1\,;7)$ , $V(2\,;-2)$ et $W(6\,;10)$ . Calculez la pente de $UV$ et celle de $VW$ . Que remarquez-vous ? Déduisez-en le sommet sans résoudre de comparaison, puis la règle.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/24

a)

Sommet, abscisse

Sommet, ordonnée

b)

a

h

k

c)

Zéros

d)

Image ;

g(x)\leq 7

sur ;

e)

a

h

k

f)

Même demi-droite

a

h

k

g)

Même demi-droite

a

h

k

h)

Pente de

UV

Pente de

VW

a

h

k

Voir la correction

Réponses

a) Raccord en $(2\,;1)$ , le sommet
b) $g(x)=3|x-2|+1$
c) Aucun zéro : le minimum $1$ est strictement positif
d) Image $[1\,;+\infty[$ ; $g(x)\leq 7$ sur $[0\,;4]$
e) Demi-droites $y=-3x+8$ et $y=3x+2$ , sommet $(1\,;5)$ : $f(x)=-3|x-1|+5$
f) $P_2$ et $P_3$ sur la même demi-droite (l'hypothèse $P_3P_1$ est rejetée), sommet $(1\,;-5)$ : $f(x)=\frac{3}{2}|x-1|-5$
g) $DE$ rejetée (sommet $(4{,}75\,;-4)$ , à droite de $F$ ) ; $E$ et $F$ sur la même demi-droite, sommet $(-1{,}5\,;6)$ : $f(x)=-2|x+1{,}5|+6$
h) Pentes $-3$ et $3$ , opposées : $V$ est le sommet, $f(x)=3|x-2|-2$

a)

On évalue les deux expressions au point de jonction. La première branche, valable pour $x\leq 2$ , donne $-3\times 2+7=1$ . La seconde, valable pour $x>2$ , donne $3\times 2-5=1$ . Les deux valeurs coïncident : les demi-droites se rejoignent au point $(2\,;1)$ , sans saut, et ce point de raccord est le SOMMET. Si les deux valeurs avaient différé, la courbe aurait présenté une marche et n'aurait pas pu être une fonction valeur absolue.

b)

Les deux pentes sont $-3$ à gauche et $+3$ à droite : elles sont opposées, ce qui est précisément la condition pour qu'une fonction définie par deux demi-droites soit une valeur absolue. Comme la pente de droite est positive, la courbe est un V ouvert vers le haut, et le paramètre $a$ est la pente de la branche DROITE, soit $a=3$ . Avec le sommet trouvé en a), $h=2$ et $k=1$ : $g(x)=3|x-2|+1$ . Vérifications aux deux points demandés, l'un sur chaque branche : $g(0)=3\times|-2|+1=7$ , et la première règle donne $-3\times 0+7=7$ ✓ ; $g(4)=3\times|2|+1=7$ , et la seconde règle donne $3\times 4-5=7$ ✓. Le fait que les deux écritures coïncident sur des points situés de part et d'autre du sommet est ce qui valide la conversion.

c)

$3|x-2|+1=0$ donne $|x-2|=-\frac{1}{3}$ , ce qui est impossible : une valeur absolue n'est jamais négative. La fonction n'a AUCUN zéro. L'interprétation graphique est plus parlante que le calcul : $a=3>0$ donc le V s'ouvre vers le haut et son minimum est $k=1$ , strictement positif. La courbe est entièrement située au-dessus de l'axe des $x$ et ne peut donc pas le couper.

d)

L'image est $[1\,;+\infty[$ , l'ensemble des valeurs supérieures ou égales au minimum. Pour l'inéquation : $3|x-2|+1\leq 7$ donne $3|x-2|\leq 6$ , donc $|x-2|\leq 2$ , ce qui se lit comme un encadrement, $-2\leq x-2\leq 2$ , puis $0\leq x\leq 4$ . Solution : $[0\,;4]$ . Contrôle par les valeurs déjà calculées : $g(0)=7$ et $g(4)=7$ , les deux bornes atteignent exactement $7$ ✓, ce qui confirme à la fois l'intervalle et la règle canonique de b).

e)

C'est la troisième façon de trouver la règle, celle qu'on emploie quand aucun sommet n'est donné et qu'aucun couple de points n'a la même ordonnée. 1. La demi-droite qui porte $B$ et $C$ a pour pente $\frac{-4-(-1)}{4-3}=-3$ , et elle passe par $B$ : $y=-3x+b$ avec $-1=-9+b$ , donc $y=-3x+8$ . 2. L'autre demi-droite a la pente OPPOSÉE, $+3$ , puisque les deux branches d'une valeur absolue sont symétriques, et elle passe par $A$ : $y=3x+2$ . 3. Le sommet est le point commun aux deux droites, qu'on trouve par comparaison : $3x+2=-3x+8$ donne $6x=6$ , soit $x=1$ , puis $y=3\times 1+2=5$ . Sommet $(1\,;5)$ . 4. Le paramètre $a$ est la pente de la branche de DROITE. Les points $B$ et $C$ sont à droite du sommet, puisque $3>1$ et $4>1$ : $a=-3$ , et la courbe est un $\Lambda$ . Règle : $f(x)=-3|x-1|+5$ .

Contrôle sur les trois points : $f(0)=-3\times 1+5=2$ ✓, $f(3)=-3\times 2+5=-1$ ✓, $f(4)=-3\times 3+5=-4$ ✓. Le piège est l'étape 4 : prendre pour $a$ la pente de la demi-droite qu'on a calculée en premier, sans regarder de quel côté du sommet elle se trouve. Ici elle est à droite et le choix est juste ; si $B$ et $C$ avaient été à gauche du sommet, $a$ aurait été l'OPPOSÉ de leur pente.

f)

1. On RANGE les points, car l'ordre de l'énoncé ne dit rien : $P_2(-5\,;4)$ , $P_3(-1\,;-2)$ , $P_1(5\,;1)$ . Deux points voisins dans l'énoncé, $P_1$ et $P_2$ , sont ici les deux extrêmes. 2. Une demi-droite contient tous les points situés ENTRE deux de ses points : si les deux extrêmes étaient sur la même demi-droite, le point du milieu y serait aussi et les trois points seraient alignés. Or la pente de $P_2P_3$ vaut $\frac{-2-4}{-1-(-5)}=-\frac{3}{2}$ et celle de $P_3P_1$ vaut $\frac{1-(-2)}{5-(-1)}=\frac{1}{2}$ : pas alignés. Le point du milieu, $P_3$ , partage donc sa demi-droite avec son voisin de GAUCHE ou avec son voisin de DROITE. Deux hypothèses, et on les teste.

Hypothèse 1, $P_2$ et $P_3$ sur la même demi-droite. Pente $-\frac{3}{2}$ , par $P_3$ : $-2=\frac{3}{2}+b$ donne $y=-\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$ . L'autre demi-droite a la pente opposée $\frac{3}{2}$ et passe par $P_1$ : $1=\frac{15}{2}+b$ donne $y=\frac{3}{2}x-\frac{13}{2}$ . Comparaison : $-\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2}x-\frac{13}{2}$ donne $3x=3$ , $x=1$ , puis $y=\frac{3}{2}-\frac{13}{2}=-5$ . Sommet $(1\,;-5)$ . Test de cohérence : $P_2$ et $P_3$ doivent être à GAUCHE du sommet, et $-5<1$ , $-1<1$ ✓ ; $P_1$ à droite, $5>1$ ✓. Hypothèse acceptée.

Hypothèse 2, $P_3$ et $P_1$ sur la même demi-droite. Pente $\frac{1}{2}$ , par $P_1$ : $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$ . L'autre, de pente $-\frac{1}{2}$ , par $P_2$ : $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ . Comparaison : $x=3$ , $y=0$ , sommet $(3\,;0)$ . Mais $P_3$ devrait alors être à DROITE du sommet, et $-1<3$ : contradiction, hypothèse rejetée. Les deux calculs aboutissent à un sommet ; c'est le test de position qui tranche, et il ne faut jamais l'omettre.

3. Le paramètre $a$ est la pente de la branche de DROITE, celle qui porte $P_1$ : $a=\frac{3}{2}$ , la courbe est un V. Règle : $f(x)=\frac{3}{2}|x-1|-5$ . Contrôle sur les trois points : $f(5)=6-5=1$ ✓, $f(-5)=9-5=4$ ✓, $f(-1)=3-5=-2$ ✓. Ici la paire calculée en premier est à GAUCHE du sommet : prendre sa pente $-\frac{3}{2}$ pour $a$ donnerait un $\Lambda$ qui ne passe par aucun des trois points.

g)

Les points sont déjà rangés, et ils ne sont pas alignés : pente de $DE$ , $\frac{1-5}{1-(-2)}=-\frac{4}{3}$ ; pente de $EF$ , $\frac{-5-1}{4-1}=-2$ .

Hypothèse 1, $D$ et $E$ sur la même demi-droite. Pente $-\frac{4}{3}$ , par $E$ : $y=-\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}$ . L'autre, de pente $\frac{4}{3}$ , par $F$ : $-5=\frac{16}{3}+b$ donne $y=\frac{4}{3}x-\frac{31}{3}$ . Comparaison : $-4x+7=4x-31$ , donc $8x=38$ et $x=4{,}75$ , puis $y=-4$ . Sommet $(4{,}75\,;-4)$ . Rejetée, et pour deux raisons qui se recoupent : $F$ devrait être à droite du sommet, or $4<4{,}75$ ; et cette courbe serait un V de MINIMUM $-4$ , qui ne peut pas passer par $F$ , d'ordonnée $-5$ .

Hypothèse 2, $E$ et $F$ sur la même demi-droite. Pente $-2$ , par $E$ : $1=-2+b$ donne $y=-2x+3$ . L'autre, de pente $2$ , par $D$ : $5=-4+b$ donne $y=2x+9$ . Comparaison : $2x+9=-2x+3$ donne $4x=-6$ , $x=-1{,}5$ , puis $y=6$ . Sommet $(-1{,}5\,;6)$ : $D$ à gauche ( $-2<-1{,}5$ ) ✓, $E$ et $F$ à droite ✓. Acceptée.

La branche de DROITE est celle de $E$ et $F$ , de pente $-2$ : $a=-2$ , la courbe est un $\Lambda$ . Règle : $f(x)=-2|x+1{,}5|+6$ , qu'on peut aussi écrire $f(x)=-|2x+3|+6$ . Contrôle : $f(-2)=-1+6=5$ ✓, $f(1)=-5+6=1$ ✓, $f(4)=-11+6=-5$ ✓. À retenir : un sommet d'abscisse décimale n'a rien de suspect, c'est le test de position qui dit si une hypothèse tient, pas l'allure des nombres.

h)

Pente de $UV$ : $\frac{-2-7}{2-(-1)}=-3$ . Pente de $VW$ : $\frac{10-(-2)}{6-2}=3$ . Les deux pentes sont OPPOSÉES : la demi-droite qui porte $U$ et celle qui porte $W$ sont les deux branches d'une même valeur absolue, et elles se rejoignent en $V$ . Le point du milieu EST le sommet. Les deux hypothèses de f) mènent ici à la même fonction : en partant de $UV$ , l'autre demi-droite de pente $3$ passe par $W$ , c'est la droite $VW$ , et la comparaison redonne $V$ .

Sommet $(2\,;-2)$ , $a$ est la pente de droite, $3$ : $f(x)=3|x-2|-2$ , un V. Contrôle : $f(-1)=9-2=7$ ✓, $f(6)=12-2=10$ ✓. Les autres cas se lisent sur les mêmes deux pentes : si elles sont ÉGALES, les trois points sont alignés et une infinité de fonctions valeur absolue les portent, le problème n'a pas une seule réponse ; si elles ne sont ni égales ni opposées, on est dans le cas de f) et de g), et l'on teste les deux hypothèses.

Exercice 9 : Problème : les câbles du pylône

Les deux câbles rectilignes d'un pylône électrique suivent le modèle $y=-\dfrac{15}{8}|x|+30$ , où $x$ est la distance horizontale (en mètres) au pied du pylône et $y$ la hauteur (en mètres) du câble.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Quelle est la hauteur du point d'attache au sommet du pylône ? À quelle distance du pied les câbles sont-ils ancrés au sol, et quelle distance sépare les deux ancrages ?
b) Quelle est la hauteur du câble à 8 m du pied du pylône ?
c) Sur quel intervalle la hauteur du câble est-elle d'au moins 7,5 m ? Donnez la largeur de cette zone.
d) Calculez la longueur d'UN câble (du sommet à son ancrage), puis la longueur totale de câble nécessaire pour 500 pylônes identiques.

Voir la correction

Réponses

a) $30$ m ; ancrages à $16$ m de chaque côté, distants de $32$ m
b) $15$ m
c) $[-12\,;12]$ , largeur $24$ m
d) $34$ m par câble ; $34\,000$ m pour $500$ pylônes

a)

Au pied du pylône, $x=0$ : $y=-\frac{15}{8}\times|0|+30=30$ m, c'est la hauteur du point d'attache au sommet. Les câbles touchent le sol quand $y=0$ : $-\frac{15}{8}|x|+30=0$ donne $\frac{15}{8}|x|=30$ , donc $|x|=30\times\frac{8}{15}=16$ , c'est-à-dire $x=16$ ou $x=-16$ . Les deux ancrages sont donc à $16$ m de part et d'autre du pied, et la distance qui les sépare est $16+16=32$ m. Ici $h=0$ , l'axe de symétrie est l'axe des $y$ lui-même, c'est-à-dire le pylône : les deux câbles sont l'image l'un de l'autre dans un miroir, ce qui est exactement la situation physique.

b)

$y=-\frac{15}{8}\times|8|+30=-\frac{15\times 8}{8}+30=-15+30=15$ m. À mi-distance de l'ancrage, le câble est exactement à mi-hauteur : c'est une propriété des fonctions valeur absolue, dont les branches sont des DROITES, et cela ne serait pas vrai d'un câble réellement suspendu, qui prend une forme incurvée. L'énoncé précise d'ailleurs que les câbles sont rectilignes, donc tendus.

c)

On veut $y\geq 7{,}5$ : $-\frac{15}{8}|x|+30\geq 7{,}5$ donne $-\frac{15}{8}|x|\geq -22{,}5$ , puis en divisant par $-\frac{15}{8}$ , un nombre NÉGATIF, on renverse le sens : $|x|\leq 22{,}5\times\frac{8}{15}=12$ . La zone est donc $[-12\,;12]$ , de largeur $24$ m. Vérification aux bornes : $-\frac{15}{8}\times 12+30=-22{,}5+30=7{,}5$ ✓, la hauteur y vaut exactement le seuil.

d)

Un câble relie le sommet $(0\,;30)$ à l'ancrage $(16\,;0)$ : c'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $16$ m et $30$ m. Par Pythagore, sa longueur vaut $\sqrt{16^{2}+30^{2}}=\sqrt{256+900}=\sqrt{1156}=34$ m. Le résultat tombe juste parce que $(16\,;30\,;34)$ est le triplet pythagoricien $(8\,;15\,;17)$ doublé, ce qui est un bon indice que le calcul est correct. Chaque pylône porte deux câbles, soit $2\times 34=68$ m, et pour $500$ pylônes identiques il faut $500\times 68=34\ 000$ m, c'est-à-dire $34$ km de câble. Un piège à éviter dans ce type de question : la longueur du câble n'est PAS la distance horizontale $16$ m ni la hauteur $30$ m, et ce n'est pas non plus leur somme ; le modèle en valeur absolue donne la position du câble, pas sa longueur, qui exige un calcul de distance.

Exercice 10 : Inéquations, distance et somme de valeurs absolues

La valeur absolue $|x-a|$ se lit comme la distance entre $x$ et $a$ sur la droite réelle. Cette lecture rend beaucoup d'inéquations immédiates.

a) Résolvez $|2x-6|<4$ .
b) Résolvez $|3x+1|\geq 5$ .
c) Interprétez $|x-2|\leq 3$ comme une condition de distance, puis donnez l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
d) Résolvez $|x-1|+|x-5|=6$ en distinguant les cas, et interprétez géométriquement les solutions.

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Réponses

a) $]1\,;5[$
b) $]-\infty\,;-2]\ \cup\ \left[\dfrac{4}{3}\,;+\infty\right[$
c) Distance de $x$ à $2$ au plus $3$ : $[-1\,;5]$
d) $x=0$ et $x=6$ , symétriques par rapport au milieu $3$

a)

$|2x-6|<4$ est une inégalité de type « inférieur » : elle se traduit par un ENCADREMENT, $-4<2x-6<4$ . On travaille sur les trois membres à la fois. En ajoutant $6$ : $2<2x<10$ . En divisant par $2$ , qui est positif et ne renverse donc rien : $1<x<5$ . Solution : $]1\,;5[$ , bornes exclues puisque l'inégalité est stricte. Lecture par la distance, qui donne le résultat plus vite : $|2x-6|=2|x-3|$ , donc l'inéquation dit que la distance de $x$ à $3$ est inférieure à $2$ , soit un intervalle de centre $3$ et de rayon $2$ ✓.

b)

$|3x+1|\geq 5$ est de type « supérieur » : elle se scinde en une RÉUNION de deux cas, car l'expression intérieure peut être très grande dans un sens comme dans l'autre. Premier cas, $3x+1\geq 5$ donne $3x\geq 4$ , soit $x\geq\frac{4}{3}$ . Second cas, $3x+1\leq -5$ donne $3x\leq -6$ , soit $x\leq -2$ . Notez le renversement du signe d'inégalité dans le second cas : il vient de ce qu'on impose à l'expression d'être TRÈS NÉGATIVE, inférieure à $-5$ . Solution : $\left]-\infty\,;-2\right]\cup\left[\frac{4}{3}\,;+\infty\right[$ . Contrôle : en $x=0$ , situé entre les deux morceaux, $|3\times 0+1|=1$ , qui n'est effectivement pas $\geq 5$ ✓.

c)

$|x-2|$ se lit comme la distance entre $x$ et $2$ sur la droite réelle. L'inéquation $|x-2|\leq 3$ dit donc simplement : $x$ est à une distance d'au plus $3$ du nombre $2$ . Il suffit alors de partir de $2$ et de se déplacer de $3$ dans chaque direction, ce qui donne $2-3=-1$ et $2+3=5$ . Solution : $[-1\,;5]$ . Aucune manipulation algébrique n'a été nécessaire, et cette lecture par le centre et le rayon est la plus rapide et la plus sûre en examen : le centre est $h$ , le rayon est le nombre de droite.

d)

L'expression $|x-1|+|x-5|$ change de forme selon la position de $x$ par rapport aux deux points de rupture $1$ et $5$ , qui découpent la droite en trois zones à examiner séparément. Si $x<1$ , les deux quantités intérieures sont négatives : $(1-x)+(5-x)=6-2x$ , et l'équation $6-2x=6$ donne $x=0$ , valeur bien située dans la zone $x<1$ ✓. Si $1\leq x\leq 5$ , la première quantité est positive et la seconde négative : $(x-1)+(5-x)=4$ , une CONSTANTE, qui ne vaut jamais $6$ : aucune solution dans cette zone. Si $x>5$ , les deux sont positives : $(x-1)+(x-5)=2x-6$ , et $2x-6=6$ donne $x=6$ , bien situé dans la zone $x>5$ ✓. Solutions : $x=0$ et $x=6$ .

L'interprétation géométrique éclaire tout le calcul, y compris le cas constant qui surprend souvent. La quantité $|x-1|+|x-5|$ est la SOMME DES DISTANCES de $x$ aux deux points $1$ et $5$ , distants de $4$ . Si $x$ est situé entre eux, ces deux distances se complètent exactement et leur somme vaut $4$ , quelle que soit la position précise de $x$ : c'est la raison géométrique du cas constant. Dès que $x$ sort de l'intervalle, chaque pas supplémentaire augmente les DEUX distances à la fois, donc la somme croît de $2$ par unité parcourue. Pour atteindre $6$ , il faut donc gagner $2$ au-delà de $4$ , soit $1$ unité au-delà de chaque extrémité : on trouve $1-1=0$ et $5+1=6$ ✓, les deux solutions, symétriques par rapport au milieu $3$ des deux points.

Exercice 11 : Calculer avec des valeurs absolues

Calculez chaque expression. Rappel : $|a|$ est la DISTANCE de $a$ à zéro, donc toujours un nombre positif ou nul.

a) $|-7|+|4|$
b) $|3-8|$
c) $|-4|-|-9|$
d) $\sqrt{(-6)^{2}}$
e) $|x-3|$ pour $x=1$ , puis $x=3$ , puis $x=7$
f) $|2x+1|$ pour $x=-2$

Voir la correction

Réponses

a) $11$
b) $5$
c) $-5$
d) $6$
e) $2$ , $0$ et $4$
f) $3$

a)

$|-7|=7$ et $|4|=4$ , donc la somme vaut $11$ . Chaque valeur absolue se calcule séparément, avant toute addition.

b)

$|3-8|=|-5|=5$ . Le geste est l'ordre des opérations : on effectue d'abord ce qui est À L'INTÉRIEUR des barres, puis on prend la valeur absolue. Écrire $|3|-|8|=-5$ est faux, et le résultat négatif signale à lui seul l'erreur : une valeur absolue ne peut pas être négative.

c)

$|-4|-|-9|=4-9=-5$ . Ici le résultat EST négatif, et c'est parfaitement correct : ce n'est pas une valeur absolue, c'est une différence de deux valeurs absolues. Comparer avec b) est l'objet de la question : la position des barres change tout.

d)

$\sqrt{(-6)^{2}}=\sqrt{36}=6$ . On retrouve $6$ et non $-6$ , car une racine carrée est toujours positive. C'est d'ailleurs l'identité générale $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , qui explique pourquoi la valeur absolue apparaît dès qu'on prend la racine d'un carré.

e)

Pour $x=1$ : $|1-3|=|-2|=2$ . Pour $x=3$ : $|0|=0$ . Pour $x=7$ : $|4|=4$ . On lit ces trois résultats comme des distances : $|x-3|$ est la distance entre $x$ et $3$ sur la droite numérique. Le nombre $1$ est à deux unités de $3$ , le nombre $3$ est à distance nulle de lui-même, le nombre $7$ est à quatre unités. Cette lecture rend la plupart des équations et inéquations du chapitre immédiates.

f)

$|2\times(-2)+1|=|-3|=3$ .

Exercice 12 : Équations avec une valeur absolue isolée

Résolvez chaque équation. Une valeur absolue isolée mène toujours à DEUX cas, sauf lorsqu'elle est égale à un nombre négatif.

a) $|x-4|=7$
b) $|3x+2|=8$
c) $2|x-1|+3=11$
d) $|x+5|=-2$

Voir la correction

Réponses

a) $x=-3$ ou $x=11$
b) $x=2$ ou $x=-\dfrac{10}{3}$
c) $x=-3$ ou $x=5$
d) Aucune solution

La règle : si $|A|=k$ avec $k>0$ , alors $A=k$ ou $A=-k$ . Si $k=0$ , il n'y a qu'une solution. Si $k<0$ , il n'y en a aucune.

a)

$x-4=7$ donne $x=11$ , et $x-4=-7$ donne $x=-3$ . Deux solutions, $11$ et $-3$ . Lecture en distance : on cherche les nombres situés à $7$ unités de $4$ , et il y en a un de chaque côté, $4+7$ et $4-7$ . Vérification : $|11-4|=7$ ✓ et $|-3-4|=|-7|=7$ ✓.

b)

$3x+2=8$ donne $x=2$ , et $3x+2=-8$ donne $3x=-10$ , soit $x=-\frac{10}{3}$ . Deux solutions. L'erreur classique est de n'écrire que le premier cas : la moitié des points part avec.

c)

Il faut d'abord ISOLER la valeur absolue, avant d'ouvrir les deux cas. On soustrait $3$ : $2|x-1|=8$ , puis on divise par $2$ : $|x-1|=4$ . Alors $x-1=4$ donne $x=5$ , et $x-1=-4$ donne $x=-3$ . Vérification avec $x=-3$ : $2\times|-4|+3=8+3=11$ ✓. Ouvrir les deux cas avant d'isoler conduit à $2(x-1)+3=11$ et $2(-(x-1))+3=11$ , ce qui donne ici les mêmes réponses, mais devient faux dès que le coefficient est à l'intérieur d'un calcul plus complexe. Prendre l'habitude d'isoler d'abord évite toute discussion.

d)

$|x+5|=-2$ n'a AUCUNE solution : une valeur absolue est une distance, elle ne peut pas valoir $-2$ . Il ne faut surtout pas écrire les deux cas $x+5=-2$ et $x+5=2$ , qui donneraient deux candidats, $-7$ et $-3$ , dont aucun ne convient. Vérification : $|-7+5|=2$ et non $-2$ .

Le réflexe à installer avant tout calcul : regarder le SIGNE du second membre une fois la valeur absolue isolée. S'il est négatif, la réponse est « aucune solution » et la question est finie en une ligne.

Exercice 13 : Sommet, ouverture, image et zéros

Pour chacune des trois fonctions, donnez le sommet, le sens d'ouverture, l'image et les zéros.

a) $f(x)=|x-2|-3$
b) $g(x)=-2|x|+4$
c) $h(x)=|2x+4|$
d) Laquelle des trois a un seul zéro ? Expliquez ce que cela signifie pour la courbe.

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Réponses

a) Sommet $(2\,;-3)$ , vers le haut, image $[-3\,;+\infty[$ , zéros $-1$ et $5$
b) Sommet $(0\,;4)$ , vers le bas, image $]-\infty\,;4]$ , zéros $-2$ et $2$
c) $h(x)=2|x+2|$ : sommet $(-2\,;0)$ , vers le haut, image $[0\,;+\infty[$ , zéro $-2$
d) $h$ : son sommet est sur l'axe des $x$ , la courbe le touche sans le traverser

Dans la forme $a|x-h|+k$ , le sommet est $(h\,;k)$ , le signe de $a$ donne l'ouverture (vers le haut si $a>0$ , vers le bas si $a<0$ ) et l'image se lit à partir de $k$ dans la direction de l'ouverture.

a)

$f(x)=|x-2|-3$ : ici $a=1$ , $h=2$ , $k=-3$ . Sommet $(2\,;-3)$ , ouverture vers le HAUT, image $[-3\,;+\infty[$ . Zéros : $|x-2|=3$ donne $x-2=3$ ou $x-2=-3$ , donc $x=5$ et $x=-1$ . Deux zéros, ce qui était prévisible : le sommet est sous l'axe des abscisses et la courbe s'ouvre vers le haut, elle doit donc traverser l'axe deux fois.

b)

$g(x)=-2|x|+4$ : $a=-2$ , $h=0$ , $k=4$ . Sommet $(0\,;4)$ , ouverture vers le BAS, image $]-\infty\,;4]$ . Zéros : $-2|x|+4=0$ donne $|x|=2$ , donc $x=2$ et $x=-2$ . Le facteur $-2$ ne change ni le sommet ni les zéros du signe, il rend seulement le V plus étroit et le retourne.

c)

$h(x)=|2x+4|$ : la forme canonique n'apparaît qu'après mise en évidence du coefficient de $x$ à l'intérieur des barres. On écrit $2x+4=2(x+2)$ , et comme $|2u|=2|u|$ , on obtient $h(x)=2|x+2|$ . Donc $a=2$ , $h=-2$ , $k=0$ . Sommet $(-2\,;0)$ , ouverture vers le haut, image $[0\,;+\infty[$ . Zéro : $x=-2$ , et c'est le seul.

d)

C'est $h$ qui n'a qu'un seul zéro, parce que son sommet est EXACTEMENT sur l'axe des abscisses. La courbe touche l'axe sans le traverser : le point $(-2\,;0)$ est à la fois le sommet et l'unique zéro. C'est la règle générale du chapitre, et elle se retient sans calcul : deux zéros si le sommet est du côté opposé à l'ouverture, un seul zéro s'il est sur l'axe, aucun zéro s'il est du même côté que l'ouverture. Par exemple $|x-2|+3$ n'aurait aucun zéro, son sommet étant à hauteur $3$ avec une ouverture vers le haut.

Exercice 14 : Problème : la tolérance de fabrication

Une usine produit des tiges dont le diamètre doit mesurer 25 mm, avec une tolérance de 0,4 mm. Une tige est acceptée si son diamètre s'écarte de moins de 0,4 mm de la valeur nominale, l'écart de 0,4 mm étant lui-même accepté.

a) Traduisez la condition d'acceptation par une inéquation contenant une valeur absolue.
b) Donnez l'intervalle des diamètres acceptés.
c) Trois tiges mesurent 25,3 mm, 24,55 mm et 25,42 mm. Lesquelles sont acceptées ?
d) Exprimez la tolérance en pourcentage du diamètre nominal. Une seconde pièce, de diamètre nominal 80 mm, a une tolérance de 1 mm : laquelle des deux est fabriquée avec le plus de précision relative ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/7

b)

Diamètres acceptés ;

c)

25,3 mm

24,55 mm

25,42 mm

d)

Tolérance relative, pièce de 25 mm %

Pièce de 80 mm %

La plus précise

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Réponses

a) $|d-25|\leq 0{,}4$
b) $[24{,}6\,;25{,}4]$
c) $25{,}3$ mm acceptée ; $24{,}55$ mm et $25{,}42$ mm refusées
d) $1{,}6$ % contre $1{,}25$ % : la pièce de $80$ mm est la plus précise

a)

L'ÉCART entre le diamètre mesuré $d$ et la valeur nominale $25$ est la distance entre ces deux nombres, c'est-à-dire $|d-25|$ . La condition s'écrit donc $|d-25|\le 0{,}4$ . C'est exactement pour ce type d'énoncé que la valeur absolue a été inventée : elle dit « à moins de tant de la cible » sans avoir à distinguer le trop grand du trop petit.

b)

L'inéquation $|d-25|\le 0{,}4$ équivaut à $-0{,}4\le d-25\le 0{,}4$ , donc à $24{,}6\le d\le 25{,}4$ . L'intervalle accepté est $[24{,}6\,;25{,}4]$ . On remarque qu'il est CENTRÉ sur $25$ et de largeur $0{,}8$ , soit deux fois la tolérance : une inéquation en valeur absolue décrit toujours un intervalle centré, et c'est ce qui la distingue d'une inéquation ordinaire.

c)

La tige de $25{,}3$ mm : $|25{,}3-25|=0{,}3\le 0{,}4$ , elle est ACCEPTÉE. La tige de $24{,}55$ mm : $|24{,}55-25|=0{,}45>0{,}4$ , elle est REFUSÉE, de peu mais elle l'est. La tige de $25{,}42$ mm : $|25{,}42-25|=0{,}42>0{,}4$ , elle est REFUSÉE elle aussi. Notez que la deuxième est trop petite et la troisième trop grande : la valeur absolue traite les deux défauts de la même façon, ce qui est le comportement voulu par un contrôle qualité.

d)

Tolérance relative de la première pièce : $\frac{0{,}4}{25}=0{,}016$ , soit $1{,}6$ pour cent. Pour la seconde : $\frac{1}{80}=0{,}0125$ , soit $1{,}25$ pour cent.

C'est donc la SECONDE pièce qui est fabriquée avec le plus de précision relative, alors que sa tolérance absolue est plus de deux fois plus grande. La comparaison directe des tolérances, $0{,}4$ contre $1$ mm, mène à la conclusion inverse et c'est le piège du problème. Une tolérance ne se juge jamais seule : c'est son rapport à la dimension nominale qui dit la difficulté du travail. Un écart de $1$ mm sur une pièce de $80$ mm est proportionnellement plus fin qu'un écart de $0{,}4$ mm sur une pièce de $25$ mm.

Exercice 15 : Problème : la distance du cycliste au village

Sur une route rectiligne, la position d'un cycliste est repérée par $p(t)=3t-12$ , en kilomètres par rapport au village (une position négative signifie qu'il est à l'ouest du village), où $t$ est le nombre d'heures écoulées depuis 8 h. Sa distance au village est donc $d(t)=|3t-12|$ .

La figure ci-dessous représente la situation ; elle n'est pas à l'échelle.

a) Calculez $d(0)$ , $d(2)$ , $d(4)$ et $d(6)$ , et dites où se trouve le cycliste à chacun de ces instants.
b) À quelle heure passe-t-il au village ?
c) À quels moments se trouve-t-il à plus de 9 km du village ?
d) À quels moments se trouve-t-il à exactement 6 km du village ? Que remarquez-vous sur ces deux instants ?

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Réponses

a) $12$ km (ouest), $6$ km (ouest), $0$ km (au village), $6$ km (est)
b) À $12$ h ( $t=4$ )
c) Avant $9$ h ou après $15$ h
d) À $10$ h et à $14$ h, symétriques autour de $12$ h

a)

$d(0)=|-12|=12$ km : à 8 h, le cycliste est à $12$ km à l'ouest du village. $d(2)=|6-12|=6$ km, toujours à l'ouest. $d(4)=|12-12|=0$ : il est AU village. $d(6)=|18-12|=6$ km, mais cette fois à l'est, puisque $p(6)=6$ est positif. La distance ne dit pas de quel côté on se trouve, c'est justement ce que la valeur absolue efface, et c'est pourquoi il faut regarder $p(t)$ pour répondre complètement.

b)

Il est au village quand $d(t)=0$ , c'est-à-dire quand $3t-12=0$ , donc $t=4$ : à $12$ h. Le sommet du V est en $(4\,;0)$ , et l'on retrouve ici la règle du chapitre : le sommet d'une fonction valeur absolue de la forme $|3(t-4)|$ est en $t=4$ .

c)

On résout $|3t-12|>9$ , qui se sépare en deux cas. Premier cas : $3t-12>9$ , donc $3t>21$ et $t>7$ . Deuxième cas : $3t-12<-9$ , donc $3t<3$ et $t<1$ . L'ensemble-solution est $t<1$ ou $t>7$ , c'est-à-dire avant $9$ h ou après $15$ h. Contrôle : $d(0{,}5)=|1{,}5-12|=10{,}5>9$ ✓ et $d(4)=0$ , qui n'est pas plus grand que $9$ ✓. Une inéquation en valeur absolue de type « plus grand que » donne toujours deux morceaux qui partent vers l'infini, à l'inverse du « plus petit que » qui donne un intervalle centré.

d)

On résout $|3t-12|=6$ . Premier cas : $3t-12=6$ , donc $t=6$ . Deuxième cas : $3t-12=-6$ , donc $3t=6$ et $t=2$ . Le cycliste est à $6$ km du village à $10$ h et à $14$ h.

Ce qu'il faut remarquer : ces deux instants sont symétriques par rapport à $t=4$ , chacun à deux heures du passage au village. C'est la symétrie du V par rapport à son axe $t=4$ , et elle fournit un contrôle immédiat pour toute équation de ce type : la moyenne des deux solutions doit toujours redonner l'abscisse du sommet, ici $\frac{2+6}{2}=4$ ✓. Si la moyenne des deux solutions trouvées ne tombe pas sur le sommet, c'est qu'un des deux cas a été mal résolu.

Exercices corrigés : la fonction valeur absolue (math SN5)

Rappel de cours

Calculs : les équations et inéquations avec valeur absolue

Exercice 0.1 : Résoudre des équations avec valeur absolue : douze calculs, du direct au difficile

Exercice 0.2 : Résoudre des inéquations avec valeur absolue : douze calculs, du direct au difficile

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Propriétés de la fonction

Exercice 2 : Trouver la règle sous la forme canonique

Exercice 3 : Zéros, équations et inéquations

Exercice 4 : Problème : la température de la serre

Exercice 5 : Lecture graphique et tracé

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Problème : deux entreprises concurrentes

Exercice 7 : Équations et inéquations mixtes |ax+b| et cx+d

Exercice 8 : Des deux demi-droites à la règle

Exercice 9 : Problème : les câbles du pylône

Exercice 10 : Inéquations, distance et somme de valeurs absolues

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Calculer avec des valeurs absolues

Exercice 12 : Équations avec une valeur absolue isolée

Exercice 13 : Sommet, ouverture, image et zéros

Exercice 14 : Problème : la tolérance de fabrication

Exercice 15 : Problème : la distance du cycliste au village

Voir aussi

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