Math SN5, secondaire 5 • Géométrie vectorielle

Exercices corrigés : les vecteurs (math SN5)

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques SN5 sur les vecteurs, calibrés sur le niveau réel des évaluations à Montréal. On y travaille les composantes et la norme d'un vecteur, les opérations et la relation de Chasles, la colinéarité, le produit scalaire et l'angle entre deux vecteurs, jusqu'à des problèmes de forces. Cette série ouvre le volet géométrie vectorielle du cours SN5.

Pour chaque exercice, faites un schéma dans le plan cartésien : un vecteur se lit toujours comme un déplacement (composante horizontale, composante verticale) entre deux points.

Rappel de cours

• Composantes d'un vecteur entre deux points : $\vec{AB}=(x_{B}-x_{A},\ y_{B}-y_{A})$ .
• Norme (longueur) : $\|\vec{v}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ pour $\vec{v}=(a,\ b)$ .
• Opérations : $(a,b)+(c,d)=(a+c,\ b+d)$ ; $k(a,b)=(ka,\ kb)$ ; relation de Chasles : $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ .
• Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires (parallèles) s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ , c'est-à-dire si $ad-bc=0$ pour $\vec{u}=(a,b)$ et $\vec{v}=(c,d)$ .
• Produit scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ . Deux vecteurs non nuls sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ .

Exercice 1 : Composantes, norme et orientation

Dans le plan cartésien ci-dessous, on considère les points $A(1;\ 2)$ , $B(5;\ 5)$ , $C(2;\ 6)$ et $D(-1;\ 2)$ , et les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ .

a) Déterminez les composantes de $\vec{AB}$ et de $\vec{CD}$ .
b) Calculez la norme de chacun. Que remarquez-vous ?
c) Calculez l'orientation de $\vec{AB}$ (l'angle qu'il fait avec l'axe des $x$ positifs, au centième de degré).
d) Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont-ils égaux ? Justifiez à l'aide de vos composantes.

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a) $\vec{AB}=(5-1;\ 5-2)=(4;\ 3)$ et $\vec{CD}=(-1-2;\ 2-6)=(-3;\ -4)$ .

b) $\|\vec{AB}\|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5$ et $\|\vec{CD}\|=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25}=5$ : les deux vecteurs ont la même longueur.

c) $\theta=\arctan\dfrac{3}{4}\approx 36{,}87^{\circ}$ (le vecteur pointe vers le haut à droite : premier quadrant).

d) Non : deux vecteurs sont égaux s'ils ont les MÊMES composantes. Ici $(4;\ 3)\neq(-3;\ -4)$ : même longueur, mais orientations différentes (opposées à un signe près). Ils ne sont pas égaux.

Exercice 2 : Opérations et combinaison linéaire

On donne $\vec{u}=(1;\ 2)$ et $\vec{v}=(3;\ -1)$ .

a) Calculez $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ .
b) Calculez $3\vec{u}-2\vec{v}$ .
c) Exprimez le vecteur $\vec{w}=(5;\ 3)$ comme combinaison linéaire $a\vec{u}+b\vec{v}$ (trouvez $a$ et $b$ ).
d) Vérifiez, à l'aide de la relation de Chasles, que $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{0}$ pour trois points quelconques.

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a) $\vec{u}+\vec{v}=(1+3;\ 2-1)=(4;\ 1)$ ; $\vec{u}-\vec{v}=(1-3;\ 2+1)=(-2;\ 3)$ .

b) $3\vec{u}-2\vec{v}=(3;\ 6)-(6;\ -2)=(-3;\ 8)$ .

c) $a(1;2)+b(3;-1)=(a+3b;\ 2a-b)=(5;\ 3)$ . Système : $a+3b=5$ et $2a-b=3$ . De la 2e, $b=2a-3$ ; alors $a+3(2a-3)=5$ , soit $7a=14$ et $a=2$ , $b=1$ . Donc $\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$ .

d) Par Chasles, $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ , donc $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{AC}+\vec{CA}=\vec{AA}=\vec{0}$ : parcourir un triangle en revenant au départ donne un déplacement nul.

Exercice 3 : Produit scalaire, angle et orthogonalité

Le produit scalaire mesure « à quel point » deux vecteurs pointent dans la même direction.

a) Pour $\vec{u}=(3;\ 4)$ et $\vec{v}=(5;\ 12)$ , calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , puis l'angle $\theta$ entre les deux (au centième de degré).
b) Montrez que $\vec{w}=(4;\ 3)$ et $\vec{z}=(6;\ -8)$ sont perpendiculaires.
c) Déterminez la valeur de $k$ pour que le vecteur $(k;\ 3)$ soit perpendiculaire à $(2;\ 4)$ .
d) Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ peut-il être négatif ? Que signifie alors le signe pour l'angle entre les vecteurs ?

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a) $\vec{u}\cdot\vec{v}=3(5)+4(12)=15+48=63$ . $\|\vec{u}\|=5$ , $\|\vec{v}\|=13$ , donc $\cos\theta=\dfrac{63}{5\times 13}=\dfrac{63}{65}\approx 0{,}9692$ et $\theta\approx 14{,}25^{\circ}$ .

b) $\vec{w}\cdot\vec{z}=4(6)+3(-8)=24-24=0$ : le produit scalaire est nul, donc $\vec{w}\perp\vec{z}$ .

c) $(k;3)\cdot(2;4)=2k+12=0$ donne $k=-6$ . Vérification : $(-6;3)\cdot(2;4)=-12+12=0$ .

d) Oui : comme $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ et que les normes sont positives, le signe du produit scalaire est celui de $\cos\theta$ . Un produit scalaire négatif signifie $\cos\theta<0$ , donc un angle OBTUS (entre 90° et 180°) : les vecteurs pointent globalement en sens opposés.

Exercice 4 : Colinéarité et alignement de points

Deux vecteurs colinéaires ont la même direction (ils sont parallèles). Trois points sont alignés si deux des vecteurs qu'ils forment sont colinéaires.

a) Les vecteurs $\vec{u}=(2;\ 3)$ et $\vec{v}=(6;\ 9)$ sont-ils colinéaires ? Si oui, donnez le facteur $k$ .
b) Le vecteur $(4;\ 5)$ est-il colinéaire à $\vec{u}=(2;\ 3)$ ? Justifiez avec le critère $ad-bc$ .
c) Les points $A(1;\ 1)$ , $B(3;\ 4)$ et $C(7;\ 10)$ sont-ils alignés ? Justifiez.
d) Les points $A(1;\ 1)$ , $B(3;\ 4)$ et $E(6;\ 8)$ sont-ils alignés ?

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a) $\vec{v}=(6;9)=3(2;3)=3\vec{u}$ : oui, colinéaires, avec $k=3$ . (Critère : $2\times 9-3\times 6=18-18=0$ .)

b) Critère : $2\times 5-3\times 4=10-12=-2\neq 0$ : non, $(4;5)$ n'est PAS colinéaire à $(2;3)$ .

c) $\vec{AB}=(2;3)$ et $\vec{AC}=(6;9)$ . Critère : $2\times 9-3\times 6=0$ : $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, donc $A$ , $B$ , $C$ sont alignés (en fait $\vec{AC}=3\vec{AB}$ ).

d) $\vec{AB}=(2;3)$ et $\vec{AE}=(5;7)$ . Critère : $2\times 7-3\times 5=14-15=-1\neq 0$ : $A$ , $B$ , $E$ ne sont pas alignés.

Exercice 5 : Problème : le bateau et le courant

Un bateau avance grâce à son moteur à une vitesse de $\vec{m}=(12;\ 0)$ km/h par rapport à l'eau (plein est). Mais la rivière a un courant de vitesse $\vec{c}=(3;\ 4)$ km/h. La vitesse réelle du bateau par rapport au sol est la somme $\vec{V}=\vec{m}+\vec{c}$ .

a) Déterminez les composantes de la vitesse réelle $\vec{V}$ , puis la vitesse (norme) du bateau par rapport au sol.
b) Dans quelle direction le bateau se déplace-t-il réellement (angle par rapport à l'est, au centième de degré) ?
c) Quel déplacement (vecteur) le bateau effectue-t-il en 2 heures ? Quelle distance parcourt-il alors ?
d) Le pilote veut finalement atteindre un point plein est. Le produit scalaire $\vec{V}\cdot\vec{c}$ étant positif, le courant aide-t-il ou nuit-il à l'avancée vers l'est ? Justifiez.

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a) $\vec{V}=(12+3;\ 0+4)=(15;\ 4)$ . Norme : $\|\vec{V}\|=\sqrt{15^{2}+4^{2}}=\sqrt{225+16}=\sqrt{241}\approx 15{,}52$ km/h.

b) Direction : $\theta=\arctan\dfrac{4}{15}\approx 14{,}93^{\circ}$ au nord de l'est (le courant dévie légèrement le bateau vers le nord).

c) En 2 heures : $\vec{d}=2\vec{V}=(30;\ 8)$ . Distance : $\|\vec{d}\|=\sqrt{30^{2}+8^{2}}=\sqrt{964}\approx 31{,}05$ km (soit $2\times 15{,}52$ ).

d) $\vec{V}\cdot\vec{c}=15(3)+4(4)=45+16=61>0$ : l'angle entre la vitesse réelle et le courant est aigu, le courant a une composante dans le sens du déplacement. Le courant ajoute même 3 km/h vers l'est (composante $x$ positive) : il aide l'avancée vers l'est, tout en déviant le cap vers le nord.

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

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Rappel de cours

Exercice 1 : Composantes, norme et orientation

Exercice 2 : Opérations et combinaison linéaire

Exercice 3 : Produit scalaire, angle et orthogonalité

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