Exercice 0.1 : Opérer sur les vecteurs et calculer une norme : dix calculs directs

Pour chaque ligne, calculez les composantes, la norme, l'orientation ou le paramètre demandé. L'orientation est l'angle que fait le vecteur avec l'axe des $x$ positifs, mesuré de $0^{\circ}$ à $360^{\circ}$ dans le sens antihoraire. Valeur exacte quand elle est entière, sinon au centième.

Une seule méthode : tout passe par les composantes. $\vec{AB}=(x_{B}-x_{A}\,;y_{B}-y_{A})$ , on additionne ou l'on multiplie composante par composante, et $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Pour l'orientation, on calcule l'angle de référence $\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ , puis on le place selon le quadrant donné par les SIGNES des composantes. Dans l'autre sens, $\vec{u}=\left(\|\vec{u}\|\cos\theta\,;\|\vec{u}\|\sin\theta\right)$ .

a) Les composantes de $\vec{AB}$ , avec $A(-3\,;4)$ et $B(2\,;-1)$ .
b) $\vec{u}+\vec{v}$ , avec $\vec{u}=(4\,;-2)$ et $\vec{v}=(-1\,;5)$ .
c) $\vec{u}-\vec{v}$ , avec $\vec{u}=(-2\,;7)$ et $\vec{v}=(3\,;-4)$ .
d) $2\vec{u}-3\vec{v}$ , avec $\vec{u}=(5\,;-1)$ et $\vec{v}=(2\,;-3)$ .
e) La norme de $\vec{s}=(-7\,;24)$ .
f) La norme de $\vec{u}+2\vec{v}$ , avec $\vec{u}=(3\,;-1)$ et $\vec{v}=(-2\,;4)$ .
g) L'orientation de $\vec{a}=(-4\,;7)$ , au centième de degré.
h) L'orientation de $\vec{b}=(-3\,;-5)$ , au centième de degré.
i) Les composantes du vecteur $\vec{c}$ de norme $15$ et d'orientation $310^{\circ}$ , au centième.
j) Les valeurs de $k$ pour lesquelles $\vec{p}=(3\,;k)$ et $\vec{q}=(k\,;12)$ sont colinéaires.

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a)

1re composante

2e composante

b)

1re composante

2e composante

c)

1re composante

2e composante

d)

1re composante

2e composante

e)

\|\vec{s}\|

f)

Norme

g)

Orientation

h)

Orientation

i)

1re composante

2e composante

j)

Plus petite valeur

Plus grande valeur

Voir la correction

Réponses

a) $\vec{AB}=(5\,;-5)$
b) $(3\,;3)$
c) $(-5\,;11)$
d) $(10\,;-2)-(6\,;-9)=(4\,;7)$
e) $\sqrt{625}=25$
f) $\|(-1\,;7)\|=\sqrt{50}\approx 7{,}07$
g) $180^{\circ}-60{,}26^{\circ}\approx 119{,}74^{\circ}$
h) $180^{\circ}+59{,}04^{\circ}\approx 239{,}04^{\circ}$
i) $(15\cos 310^{\circ}\,;15\sin 310^{\circ})\approx(9{,}64\,;-11{,}49)$
j) $36-k^{2}=0$ ; $k=-6$ ou $k=6$

Le geste qui décide de tout : les signes. Une soustraction de composantes négatives, $2-(-3)$ , et le quadrant d'un vecteur, lu sur les signes de $x$ et de $y$ , font presque toutes les erreurs de la liste ; la calculatrice, elle, ne connaît pas le quadrant.

a)

$\vec{AB}=(2-(-3)\,;-1-4)=(5\,;-5)$ . Piège : $x_{A}-x_{B}$ , qui donne $\vec{BA}=(-5\,;5)$ .

b)

$\vec{u}+\vec{v}=(4+(-1)\,;-2+5)=(3\,;3)$ .

c)

$\vec{u}-\vec{v}=(-2-3\,;7-(-4))=(-5\,;11)$ . Piège : $7-4=3$ , le signe de $-4$ perdu.

d)

$2\vec{u}=(10\,;-2)$ et $3\vec{v}=(6\,;-9)$ , donc $2\vec{u}-3\vec{v}=(10-6\,;-2-(-9))=(4\,;7)$ .

e)

$\|\vec{s}\|=\sqrt{(-7)^{2}+24^{2}}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ .

f)

On combine d'ABORD : $\vec{u}+2\vec{v}=(3-4\,;-1+8)=(-1\,;7)$ , puis $\|\vec{u}+2\vec{v}\|=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}\approx 7{,}07$ . Piège : $\|\vec{u}\|+2\|\vec{v}\|=\sqrt{10}+2\sqrt{20}\approx 12{,}11$ , car la norme d'une somme n'est pas la somme des normes.

g)

$x<0$ et $y>0$ : deuxième quadrant. L'angle de référence vaut $\tan^{-1}\frac{7}{4}\approx 60{,}26^{\circ}$ , donc l'orientation vaut $180^{\circ}-60{,}26^{\circ}\approx 119{,}74^{\circ}$ . Piège : la calculatrice donne $\tan^{-1}\left(\frac{7}{-4}\right)\approx-60{,}26^{\circ}$ , un vecteur du quatrième quadrant.

h)

$x<0$ et $y<0$ : troisième quadrant. L'angle de référence vaut $\tan^{-1}\frac{5}{3}\approx 59{,}04^{\circ}$ , donc l'orientation vaut $180^{\circ}+59{,}04^{\circ}\approx 239{,}04^{\circ}$ . Piège : $\tan^{-1}\frac{-5}{-3}=\tan^{-1}\frac{5}{3}\approx 59{,}04^{\circ}$ , le premier quadrant, puisque les deux signes s'annulent.

i)

$\vec{c}=(15\cos 310^{\circ}\,;15\sin 310^{\circ})\approx(15\times 0{,}6428\,;15\times(-0{,}7660))\approx(9{,}64\,;-11{,}49)$ . Le quatrième quadrant le confirme : $x>0$ , $y<0$ . Piège : la calculatrice en mode radian.

j)

$(a\,;b)$ et $(c\,;d)$ sont colinéaires si $ad-bc=0$ : $3\times 12-k\times k=0$ , donc $k^{2}=36$ et $k=-6$ ou $k=6$ . Contrôle : $(3\,;6)$ et $(6\,;12)$ , facteur $2$ ; $(3\,;-6)$ et $(-6\,;12)$ , facteur $-2$ . Piège : ne garder que $k=6$ .

Contrôle : on fait un croquis à main levée de chaque vecteur. La norme dépasse la plus grande composante en valeur absolue sans dépasser leur somme, et l'orientation tombe dans le quadrant que montre le dessin.

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Exercice 0.2 : Calculer un produit scalaire et un angle entre deux vecteurs : dix calculs directs

Pour chaque ligne, calculez le produit scalaire, l'angle, la valeur de $k$ ou la projection demandée. Valeur exacte quand elle est entière ou décimale, angle au centième de degré.

Deux écritures du même nombre, et toute la liste en découle : $\vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd$ par les composantes, et $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ par les normes et l'angle. On calcule l'une pour trouver l'autre : $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ , puis $\theta=\cos^{-1}(\ldots)$ , entre $0^{\circ}$ et $180^{\circ}$ . Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire est nul, et la projection scalaire de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ vaut $\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$ .

a) $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , avec $\vec{u}=(2\,;5)$ et $\vec{v}=(4\,;1)$ .
b) $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , avec $\vec{u}=(-3\,;2)$ et $\vec{v}=(4\,;-5)$ .
c) $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , avec $\vec{u}=(-5\,;2)$ et $\vec{v}=(4\,;10)$ .
d) $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , sachant que $\|\vec{u}\|=6$ , $\|\vec{v}\|=5$ et que l'angle entre les deux vecteurs mesure $120^{\circ}$ .
e) L'angle entre $\vec{u}=(1\,;3)$ et $\vec{v}=(4\,;2)$ .
f) L'angle entre $\vec{u}=(2\,;-1)$ et $\vec{v}=(-3\,;4)$ .
g) La valeur de $k$ pour laquelle $\vec{u}=(k+1\,;4)$ et $\vec{v}=(3\,;-2k)$ sont orthogonaux.
h) La projection scalaire de $\vec{u}=(5\,;2)$ sur $\vec{v}=(3\,;-4)$ .
i) $(2\vec{u})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ , avec $\vec{u}=(1\,;-2)$ et $\vec{v}=(3\,;1)$ .
j) La mesure de l'angle $A$ du triangle $ABC$ , avec $A(-1\,;2)$ , $B(4\,;3)$ et $C(1\,;7)$ .

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a)

\vec{u}\cdot\vec{v}

b)

\vec{u}\cdot\vec{v}

c)

\vec{u}\cdot\vec{v}

d)

\vec{u}\cdot\vec{v}

e)

\theta

f)

\theta

g)

k

h)

Projection scalaire

i)

Produit scalaire

j)

Angle

A

Voir la correction

Réponses

a) $8+5=13$
b) $-12-10=-22$
c) $-20+20=0$ : orthogonaux
d) $6\times 5\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-15$
e) $\cos\theta=\frac{10}{\sqrt{200}}$ ; $\theta=45^{\circ}$
f) $\cos\theta=-\frac{2}{\sqrt{5}}$ ; $\theta\approx 153{,}43^{\circ}$
g) $-5k+3=0$ ; $k=0{,}6$
h) $\frac{7}{5}=1{,}4$
i) $(2\,;-4)\cdot(-2\,;-3)=8$
j) $\cos A=\frac{15}{\sqrt{754}}$ ; $A\approx 56{,}89^{\circ}$

Le geste qui décide de tout : le produit scalaire est un NOMBRE, et son signe annonce l'angle avant tout calcul. Positif, l'angle est aigu ; nul, il est droit ; négatif, il est obtus. On lit ce signe d'abord, et l'angle trouvé à la fin doit le respecter.

a)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times 4+5\times 1=8+5=13$ . Piège : écrire un vecteur $(8\,;5)$ ; le produit scalaire additionne les deux produits.

b)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=(-3)\times 4+2\times(-5)=-12-10=-22$ . Négatif : l'angle entre les deux vecteurs est obtus.

c)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=(-5)\times 4+2\times 10=-20+20=0$ : les vecteurs sont orthogonaux.

d)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos 120^{\circ}=6\times 5\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-15$ . Piège : $\cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2}$ est négatif, la calculatrice en degrés le confirme.

e)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=4+6=10$ , $\|\vec{u}\|=\sqrt{10}$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{20}$ . Donc $\cos\theta=\frac{10}{\sqrt{200}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\theta=45{,}00^{\circ}$ .

f)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=-6-4=-10$ , $\|\vec{u}\|=\sqrt{5}$ et $\|\vec{v}\|=5$ . Donc $\cos\theta=\frac{-10}{5\sqrt{5}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}\approx-0{,}8944$ et $\theta\approx 153{,}43^{\circ}$ . Piège : prendre la valeur absolue du cosinus et répondre $26{,}57^{\circ}$ , l'angle supplémentaire.

g)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=3(k+1)+4\times(-2k)=3k+3-8k=-5k+3$ . L'orthogonalité exige $-5k+3=0$ , donc $k=\frac{3}{5}=0{,}6$ . Contrôle : $\vec{u}=(1{,}6\,;4)$ et $\vec{v}=(3\,;-1{,}2)$ donnent $4{,}8-4{,}8=0$ .

h)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=15-8=7$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{9+16}=5$ , donc la projection scalaire vaut $\frac{7}{5}=1{,}4$ . Piège : diviser par $\|\vec{u}\|=\sqrt{29}$ , ce qui donne la projection de $\vec{v}$ sur $\vec{u}$ .

i)

$2\vec{u}=(2\,;-4)$ et $\vec{u}-\vec{v}=(-2\,;-3)$ , donc $(2\vec{u})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=-4+12=8$ . Autre chemin, par distributivité : $2\left(\|\vec{u}\|^{2}-\vec{u}\cdot\vec{v}\right)=2(5-1)=8$ .

j)

L'angle $A$ est l'angle entre les vecteurs issus de $A$ : $\vec{AB}=(5\,;1)$ et $\vec{AC}=(2\,;5)$ . $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=10+5=15$ , $\|\vec{AB}\|=\sqrt{26}$ , $\|\vec{AC}\|=\sqrt{29}$ , donc $\cos A=\frac{15}{\sqrt{754}}\approx 0{,}5463$ et $A\approx 56{,}89^{\circ}$ . Piège : prendre $\vec{BA}$ et $\vec{AC}$ , qui ne partent pas tous deux de $A$ et donnent le supplémentaire, $123{,}11^{\circ}$ .

Contrôle : le signe du produit scalaire et la nature de l'angle s'accordent, aigu en e) et en j), obtus en b) et en f), droit en c). Pour un angle, on peut aussi refaire le calcul avec les orientations des deux vecteurs : en e), $71{,}57^{\circ}-26{,}57^{\circ}=45^{\circ}$ .

Exercice 1 : Composantes, norme et orientation

Dans le plan cartésien ci-dessous, on considère les points $A(1;\ 2)$ , $B(5;\ 5)$ , $C(2;\ 6)$ et $D(-1;\ 2)$ , et les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ .

a) Déterminez les composantes de $\vec{AB}$ et de $\vec{CD}$ .
b) Calculez la norme de chacun. Que remarquez-vous ?
c) Calculez l'orientation de $\vec{AB}$ (l'angle qu'il fait avec l'axe des $x$ positifs, au centième de degré).
d) Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont-ils égaux ? Justifiez à l'aide de vos composantes.

Voir la correction

Réponses

a) $\vec{AB}=(4\,;3)$ , $\vec{CD}=(-3\,;-4)$
b) $5$ et $5$
c) $\approx 36{,}87°$
d) Non : composantes différentes, et pas opposés non plus

a)

Les composantes d'un vecteur s'obtiennent en soustrayant l'ORIGINE de l'EXTRÉMITÉ, jamais l'inverse : $\vec{AB}=(x_{B}-x_{A}\,;y_{B}-y_{A})$ . Donc $\vec{AB}=(5-1\,;5-2)=(4\,;3)$ et $\vec{CD}=(-1-2\,;2-6)=(-3\,;-4)$ . Inverser l'ordre de la soustraction donnerait le vecteur OPPOSÉ, ce qui est une erreur de sens et non de calcul.

b)

$\|\vec{AB}\|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ et $\|\vec{CD}\|=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ . Les deux vecteurs ont la MÊME longueur. La raison est visible sur les composantes : les deux font intervenir la paire $\{3\,;4\}$ , seulement échangée et affectée de signes différents, et comme la norme élève au carré, ni l'ordre ni les signes n'y changent quoi que ce soit. On reconnaît au passage le triplet $3$ - $4$ - $5$ , qui explique que la norme tombe juste.

c)

L'orientation est l'angle mesuré depuis l'axe des $x$ positifs, dans le sens antihoraire. Comme $\vec{AB}=(4\,;3)$ a ses deux composantes positives, il pointe vers le premier quadrant et l'arctangente donne directement la réponse : $\theta=\arctan\frac{3}{4}\approx 36{,}87^{\circ}$ . Attention, ce raccourci ne vaut QUE dans le premier quadrant : pour $\vec{CD}=(-3\,;-4)$ , l'arctangente de $\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$ donnerait $53{,}13^{\circ}$ , un angle du premier quadrant, alors que le vecteur pointe vers le TROISIÈME. Il faut alors ajouter $180^{\circ}$ , ce qui donne $233{,}13^{\circ}$ . Le réflexe : repérer le quadrant AVANT d'accepter le résultat de la calculatrice.

d)

Non, les deux vecteurs ne sont pas égaux : deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les MÊMES composantes, et $(4\,;3)\neq(-3\,;-4)$ . Précisons ce qu'ils ne sont pas non plus, car c'est le piège de la question : ils ne sont pas OPPOSÉS. L'opposé de $\vec{AB}=(4\,;3)$ serait $(-4\,;-3)$ , et non $(-3\,;-4)$ . On peut le confirmer par les orientations trouvées en c) : deux vecteurs opposés diffèrent exactement de $180^{\circ}$ , or $233{,}13^{\circ}-36{,}87^{\circ}=196{,}26^{\circ}$ . Conclusion précise : $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ont la même longueur mais des directions distinctes, sans relation particulière entre elles.

Exercice 2 : Opérations, relation de Chasles et parallélogramme

On donne $\vec{u}=(1;\ 2)$ et $\vec{v}=(3;\ -1)$ . Le schéma ci-dessous montre les deux vecteurs partant de l'origine et la construction de leur somme par la méthode du parallélogramme (les côtés en pointillés).

a) Calculez $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ , et repérez $\vec{u}+\vec{v}$ sur le schéma.
b) Calculez $3\vec{u}-2\vec{v}$ .
c) Exprimez le vecteur $\vec{w}=(5;\ 3)$ comme combinaison linéaire $a\vec{u}+b\vec{v}$ (trouvez $a$ et $b$ ).
d) À l'aide de la relation de Chasles, montrez que $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{0}$ pour trois points quelconques.

Voir la correction

Réponses

a) $(4\,;1)$ et $(-2\,;3)$
b) $(-3\,;8)$
c) $\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$
d) $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ , puis $\vec{AC}+\vec{CA}=\vec{AA}=\vec{0}$

a)

L'addition et la soustraction de vecteurs se font COMPOSANTE PAR COMPOSANTE : $\vec{u}+\vec{v}=(1+3\,;2+(-1))=(4\,;1)$ et $\vec{u}-\vec{v}=(1-3\,;2-(-1))=(-2\,;3)$ . Attention au double signe dans la seconde : soustraire $-1$ revient à ajouter $1$ . Sur le schéma, $\vec{u}+\vec{v}$ est la DIAGONALE du parallélogramme construit sur les deux vecteurs, celle qui part de l'origine commune. La méthode du triangle donne le même résultat autrement : on place $\vec{v}$ au bout de $\vec{u}$ , et la somme relie le début du premier à la fin du second.

b)

La multiplication par un scalaire agit sur chaque composante : $3\vec{u}=(3\,;6)$ et $2\vec{v}=(6\,;-2)$ . Donc $3\vec{u}-2\vec{v}=(3-6\,;6-(-2))=(-3\,;8)$ . Là encore, le signe du $-2$ dans la seconde composante est le point où l'on se trompe.

c)

On veut $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}$ , ce qui s'écrit $a(1\,;2)+b(3\,;-1)=(a+3b\,;2a-b)=(5\,;3)$ . Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs deux composantes le sont : on obtient donc un SYSTÈME de deux équations, $a+3b=5$ et $2a-b=3$ . De la seconde on tire $b=2a-3$ , qu'on reporte dans la première : $a+3(2a-3)=5$ , soit $a+6a-9=5$ , donc $7a=14$ et $a=2$ , puis $b=2\times 2-3=1$ . Conclusion : $\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$ . Vérification : $2(1\,;2)+(3\,;-1)=(2+3\,;4-1)=(5\,;3)$ ✓. Ce qu'il faut retenir de cette question dépasse le calcul : deux vecteurs NON COLINÉAIRES du plan permettent d'écrire n'importe quel autre vecteur d'une seule façon, ce qu'on appelle une base.

d)

La relation de Chasles dit que $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ : enchaîner deux déplacements équivaut au déplacement direct, le point intermédiaire $B$ « disparaissant ». En l'appliquant : $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{AC}+\vec{CA}$ . On applique Chasles une seconde fois, avec $C$ comme point intermédiaire : $\vec{AC}+\vec{CA}=\vec{AA}=\vec{0}$ . Interprétation concrète : parcourir un triangle en entier et revenir à son point de départ produit un déplacement TOTAL nul, quelle que soit la longueur du trajet. Notez que le résultat ne dépend d'aucune coordonnée et vaut pour trois points quelconques, même alignés ou confondus.

Exercice 3 : Colinéarité et alignement de points

Deux vecteurs colinéaires ont la même direction (ils sont parallèles). Trois points sont alignés si deux des vecteurs qu'ils forment sont colinéaires. On utilise le critère : $\vec{u}=(a;b)$ et $\vec{v}=(c;d)$ sont colinéaires si et seulement si $ad-bc=0$ .

Pour la question e), le quadrillage ci-dessous montre trois vecteurs tracés depuis l'origine : $\vec{u}=(3\,;1)$ en bleu, $\vec{v}=(-1\,;2)$ en orange et $\vec{w}=(3\,;8)$ en vert.

a) Les vecteurs $\vec{u}=(2;\ 3)$ et $\vec{v}=(6;\ 9)$ sont-ils colinéaires ? Si oui, donnez le facteur $k$ .
b) Le vecteur $(4;\ 5)$ est-il colinéaire à $\vec{u}=(2;\ 3)$ ? Justifiez avec le critère $ad-bc$ .
c) Les points $A(1;\ 1)$ , $B(3;\ 4)$ et $C(7;\ 10)$ sont-ils alignés ? Justifiez.
d) Les points $A(1;\ 1)$ , $B(3;\ 4)$ et $E(6;\ 8)$ sont-ils alignés ?
e) On cherche à écrire $\vec{w}$ comme une combinaison linéaire $a\vec{u}+b\vec{v}$ des deux autres vecteurs du quadrillage.(1)Graphiquement : par l'extrémité $W$ de $\vec{w}$ , menez la parallèle à $\vec{v}$ jusqu'à la droite qui porte $\vec{u}$ , et la parallèle à $\vec{u}$ jusqu'à la droite qui porte $\vec{v}$ , puis lisez $a$ et $b$ sur le parallélogramme obtenu.(2)Par le calcul : traduisez $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ en un système de deux équations et résolvez-le.(3)Montrez que ce couple $(a\,;b)$ est le seul possible.(4)On remplace $\vec{v}$ par $\vec{v'}=(6\,;2)$ : expliquez pourquoi $\vec{w}$ ne peut plus s'écrire $a\vec{u}+b\vec{v'}$ .

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a)

Colinéaires ?

k

b)

ad-bc

Colinéaires ?

c)

Alignés ?

d)

ad-bc

Alignés ?

e)

a

b

ad-bc

de

\vec{u}

et

\vec{v}

Avec

\vec{v'}

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Réponses

a) Oui, $k=3$
b) $ad-bc=-2\neq 0$ : non
c) Oui : $\vec{AC}=3\vec{AB}$
d) Non : $ad-bc=-1$
e) $\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$ , couple unique car $ad-bc=7\neq 0$ ; avec $\vec{v'}=2\vec{u}$ , aucune écriture possible

Le critère $ad-bc=0$ mérite d'être compris plutôt que mémorisé : il exprime que les composantes sont PROPORTIONNELLES, c'est-à-dire que $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ , écrit sans fraction pour éviter les divisions par zéro. Il donne donc directement le parallélisme, et par suite l'alignement de trois points.

a)

$\vec{v}=(6\,;9)$ et $\vec{u}=(2\,;3)$ . On voit immédiatement que $6=3\times 2$ et $9=3\times 3$ , donc $\vec{v}=3\vec{u}$ : oui, ils sont colinéaires, avec $k=3$ . Le critère le confirme : $2\times 9-3\times 6=18-18=0$ ✓. Quand le facteur se voit à l'œil nu, il est plus parlant de le donner que d'appliquer la formule, car il indique aussi que $\vec{v}$ est TROIS FOIS plus long et de MÊME sens.

b)

Critère appliqué à $(2\,;3)$ et $(4\,;5)$ : $2\times 5-3\times 4=10-12=-2\neq 0$ . Les deux vecteurs ne sont donc PAS colinéaires. On peut voir l'obstacle directement : pour passer de $2$ à $4$ il faut multiplier par $2$ , mais pour passer de $3$ à $5$ il faudrait multiplier par $\frac{5}{3}$ , et un seul et même facteur ne peut pas convenir aux deux composantes.

c)

On forme deux vecteurs à partir d'un même point, ici $A$ : $\vec{AB}=(3-1\,;4-1)=(2\,;3)$ et $\vec{AC}=(7-1\,;10-1)=(6\,;9)$ . Critère : $2\times 9-3\times 6=0$ , donc ils sont colinéaires, et les trois points $A$ , $B$ , $C$ sont ALIGNÉS. Plus précisément $\vec{AC}=3\vec{AB}$ , ce qui signifie que $C$ est trois fois plus loin de $A$ que ne l'est $B$ , dans la même direction. Point de méthode : il faut partir du MÊME point pour les deux vecteurs, sans quoi la colinéarité ne prouverait qu'un parallélisme, pas un alignement.

d)

$\vec{AB}=(2\,;3)$ et $\vec{AE}=(6-1\,;8-1)=(5\,;7)$ . Critère : $2\times 7-3\times 5=14-15=-1\neq 0$ : les points $A$ , $B$ , $E$ ne sont PAS alignés. Le résultat $-1$ est très petit, donc les trois points sont presque alignés, ce qui est exactement pourquoi un dessin ne suffit pas ici : à l'œil, $E(6\,;8)$ semble sur la droite, alors que le point aligné serait $\left(6\,;8{,}5\right)$ . C'est la leçon de la question : en géométrie analytique, seul le calcul tranche.

e)

(1) Lecture graphique. On construit le parallélogramme dont $\vec{w}$ est la diagonale et dont les côtés suivent les directions de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$ .

Par $W(3\,;8)$ , la parallèle à $\vec{v}$ coupe la droite qui porte $\vec{u}$ en $P(6\,;2)$ ; la parallèle à $\vec{u}$ coupe la droite qui porte $\vec{v}$ en $Q(-3\,;6)$ .

On compte les copies : $\vec{u}$ tient deux fois de $O$ à $P$ , donc $\vec{OP}=2\vec{u}$ ; $\vec{v}$ tient trois fois de $O$ à $Q$ , donc $\vec{OQ}=3\vec{v}$ .

Règle du parallélogramme : $\vec{w}=\vec{OP}+\vec{OQ}=2\vec{u}+3\vec{v}$ . On lit $a=2$ et $b=3$ .

Piège : lire $a=6$ parce que $P$ est à six carreaux de l'axe vertical. Le coefficient compte des copies de $\vec{u}$ , pas des carreaux.

(2) Calcul. $a\vec{u}+b\vec{v}=a(3\,;1)+b(-1\,;2)=(3a-b\,;a+2b)$ .

Deux vecteurs sont égaux quand leurs composantes le sont, d'où le système :

\displaystyle \begin{cases}3a-b=3\\ a+2b=8\end{cases}

La première équation donne $b=3a-3$ ; on reporte dans la seconde :

$a+2(3a-3)=8$ , soit $7a-6=8$ , donc $7a=14$ , $a=2$ , puis $b=3\times 2-3=3$ .

Vérification : $2(3\,;1)+3(-1\,;2)=(6-3\,;2+6)=(3\,;8)$ ✓. Le calcul confirme la lecture.

(3) Unicité. Supposons $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}=a'\vec{u}+b'\vec{v}$ ; alors $(a-a')\vec{u}=(b'-b)\vec{v}$ .

Si $a\neq a'$ , on aurait $\vec{u}=\frac{b'-b}{a-a'}\,\vec{v}$ : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ seraient colinéaires.

Or le critère de cet exercice donne $3\times 2-1\times(-1)=7\neq 0$ : ils ne le sont pas. Donc $a=a'$ , puis $(b'-b)\vec{v}=\vec{0}$ avec $\vec{v}\neq\vec{0}$ , donc $b=b'$ .

Le couple $(2\,;3)$ est le seul. Sur le dessin : par $W$ ne passe qu'une parallèle à $\vec{v}$ , et elle ne coupe la droite de $\vec{u}$ qu'en un point.

Deux vecteurs non colinéaires forment une BASE du plan : tout vecteur s'y écrit d'une seule façon $a\vec{u}+b\vec{v}$ . Le $7$ de $7a=14$ n'est pas un hasard, c'est $ad-bc$ : s'il valait $0$ , on ne pourrait pas diviser, et c'est le cas (4).

(4) $\vec{v'}=(6\,;2)=2\vec{u}$ : critère $3\times 2-1\times 6=0$ , les deux vecteurs sont colinéaires.

Alors $a\vec{u}+b\vec{v'}=a\vec{u}+2b\vec{u}=(a+2b)\vec{u}$ : toute combinaison reste sur la droite qui porte $\vec{u}$ .

Or $\vec{w}$ n'est pas colinéaire à $\vec{u}$ : $3\times 8-1\times 3=21\neq 0$ . Aucun couple ne convient.

Le système le dit aussi : $3a+6b=3$ donne $a+2b=1$ , alors que la seconde équation exige $a+2b=8$ . Contradiction.

Piège : croire que deux vecteurs quelconques suffisent. Deux vecteurs colinéaires n'atteignent qu'une droite, et un vecteur de cette droite s'écrit d'une infinité de façons : $(3\,;1)=1\vec{u}+0\vec{v'}=3\vec{u}-1\vec{v'}$ .

Exercice 4 : Produit scalaire, angle et orthogonalité

Le produit scalaire mesure « à quel point » deux vecteurs pointent dans la même direction : $\vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ .

a) Pour $\vec{u}=(3;\ 4)$ et $\vec{v}=(5;\ 12)$ , calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , puis l'angle $\theta$ entre les deux (au centième de degré).
b) Montrez que $\vec{w}=(4;\ 3)$ et $\vec{z}=(6;\ -8)$ sont perpendiculaires.
c) Déterminez la valeur de $k$ pour que le vecteur $(k;\ 3)$ soit perpendiculaire à $(2;\ 4)$ .
d) Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ peut-il être négatif ? Que signifie alors le signe pour l'angle entre les vecteurs ?

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Réponses

a) $63$ ; $\theta\approx 14{,}25°$
b) $\vec{w}\cdot\vec{z}=0$
c) $k=-6$
d) Oui : angle obtus

a)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times 5+4\times 12=15+48=63$ . Le produit scalaire est un NOMBRE, pas un vecteur, et c'est la première chose à ne pas confondre. Pour l'angle, on utilise l'autre expression du produit scalaire : $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ . Les normes valent $\|\vec{u}\|=\sqrt{9+16}=5$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{25+144}=13$ , deux triplets pythagoriciens classiques. Donc $\cos\theta=\frac{63}{5\times 13}=\frac{63}{65}\approx 0{,}9692$ , d'où $\theta\approx 14{,}25^{\circ}$ . Contrôle de plausibilité : un cosinus très proche de $1$ annonce un angle très petit, et les deux vecteurs pointent en effet dans des directions voisines ✓.

b)

$\vec{w}\cdot\vec{z}=4\times 6+3\times(-8)=24-24=0$ . Un produit scalaire NUL entre deux vecteurs non nuls signifie $\cos\theta=0$ , donc $\theta=90^{\circ}$ : les vecteurs sont perpendiculaires. C'est le test d'orthogonalité le plus rapide de tout le programme, et il ne demande ni norme, ni angle, ni racine carrée.

c)

On impose la nullité du produit scalaire : $(k\,;3)\cdot(2\,;4)=2k+12=0$ , donc $2k=-12$ et $k=-6$ . Vérification : $(-6\,;3)\cdot(2\,;4)=-12+12=0$ ✓. Remarque utile pour la suite du cours : un vecteur perpendiculaire à $(a\,;b)$ s'obtient toujours en échangeant les composantes et en changeant un signe, ce qui donne $(-b\,;a)$ . Ici, perpendiculaire à $(2\,;4)$ : $(-4\,;2)$ , qui est bien colinéaire à $(-6\,;3)$ puisque $(-6\,;3)=\frac{3}{2}(-4\,;2)$ ✓.

d)

Oui, le produit scalaire peut être négatif. Comme $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ et que les deux normes sont toujours positives, le SIGNE du produit scalaire est exactement celui de $\cos\theta$ . Un produit scalaire négatif signifie donc $\cos\theta<0$ , c'est-à-dire un angle OBTUS, compris entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$ : les deux vecteurs pointent globalement en sens opposés. Le tableau complet est à connaître : produit scalaire positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus. Cela fait du produit scalaire un détecteur de « nature de l'angle » instantané, sans aucun calcul d'angle.

Exercice 5 : Projection orthogonale d'un vecteur

Projeter orthogonalement $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ , c'est trouver « l'ombre » de $\vec{u}$ sur la direction de $\vec{v}$ . On donne $\vec{u}=(7;\ 1)$ et $\vec{v}=(6;\ 8)$ . Le schéma à l'échelle ci-dessous montre $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , le pied de la projection $P$ sur la droite portée par $\vec{v}$ , et l'angle droit entre $\vec{u}-\vec{u_{v}}$ et $\vec{v}$ .

a) Calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ et $\|\vec{v}\|$ , puis la mesure de la projection scalaire de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ : $\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$ .
b) Déterminez le vecteur projeté $\vec{u_{v}}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}$ . C'est le vecteur $\vec{OP}$ du schéma.
c) Calculez l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , puis vérifiez la cohérence : la projection scalaire doit valoir $\|\vec{u}\|\cos\theta$ .
d) Décomposez $\vec{u}=\vec{u_{v}}+\vec{w}$ où $\vec{w}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$ . Donnez $\vec{w}$ et vérifiez que $\vec{w}\cdot\vec{v}=0$ .

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Réponses

a) $50$ ; $10$ ; projection scalaire $5$
b) $\vec{u_{v}}=(3\,;4)$
c) $45°$ ; $\sqrt{50}\cos 45°=5$ ✓
d) $\vec{w}=(4\,;-3)$ , $\vec{w}\cdot\vec{v}=0$

a)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=7\times 6+1\times 8=42+8=50$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$ , encore un triplet $3$ - $4$ - $5$ doublé. La projection SCALAIRE vaut $\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{50}{10}=5$ . C'est un NOMBRE, la longueur algébrique de l'ombre de $\vec{u}$ sur la direction de $\vec{v}$ : positive ici, ce qui indique que l'ombre tombe du même côté que $\vec{v}$ . Si l'angle avait été obtus, cette mesure aurait été négative.

b)

Le vecteur projeté est $\vec{u_{v}}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}=\frac{50}{100}(6\,;8)=\frac{1}{2}(6\,;8)=(3\,;4)$ . Notez la différence avec a) : on divise ici par le CARRÉ de la norme, et le résultat est un VECTEUR. La raison de ce carré est simple, l'une des deux normes sert à trouver la longueur de l'ombre, l'autre à transformer $\vec{v}$ en vecteur de longueur $1$ pour lui donner la bonne direction. Confondre les deux formules est l'erreur centrale du chapitre : la première donne $5$ , la seconde $(3\,;4)$ , et la norme de $(3\,;4)$ vaut bien $5$ ✓, ce qui les relie. Géométriquement, $P(3\,;4)$ est le MILIEU de $\vec{v}$ , puisque le facteur valait exactement $\frac{1}{2}$ .

c)

$\|\vec{u}\|=\sqrt{7^{2}+1^{2}}=\sqrt{50}\approx 7{,}07$ . Alors $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\frac{50}{\sqrt{50}\times 10}=\frac{\sqrt{50}}{10}\approx 0{,}7071$ , en simplifiant $\frac{50}{\sqrt{50}}=\sqrt{50}$ . Ce cosinus vaut $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , donc $\theta=45^{\circ}$ exactement. Vérification de la cohérence demandée : $\|\vec{u}\|\cos\theta=\sqrt{50}\times\frac{\sqrt{50}}{10}=\frac{50}{10}=5$ , ce qui redonne bien la projection scalaire de a) ✓. Les deux façons de la calculer, par le produit scalaire ou par le cosinus, coïncident nécessairement, puisqu'elles ne sont que deux écritures de la même définition.

d)

$\vec{w}=\vec{u}-\vec{u_{v}}=(7\,;1)-(3\,;4)=(4\,;-3)$ . Vérification de la perpendicularité : $\vec{w}\cdot\vec{v}=4\times 6+(-3)\times 8=24-24=0$ ✓, donc $\vec{w}\perp\vec{v}$ , ce que montre l'angle droit du schéma au point $P$ . On a ainsi décomposé $\vec{u}=(3\,;4)+(4\,;-3)$ en une composante PARALLÈLE à $\vec{v}$ et une composante PERPENDICULAIRE à $\vec{v}$ . Cette décomposition est unique, et c'est l'un des outils les plus utilisés en physique : on y sépare une force en une partie qui agit le long d'un plan incliné et une partie qui presse dessus. Contrôle final par Pythagore, les deux composantes étant perpendiculaires : $\|\vec{u_{v}}\|^{2}+\|\vec{w}\|^{2}=25+25=50=\|\vec{u}\|^{2}$ ✓.

Exercice 6 : La résultante de deux forces

Deux câbles tirent sur un anneau : le premier exerce une force $\vec{F_{1}}$ de 60 N vers l'est, le second une force $\vec{F_{2}}$ de 80 N vers le nord. Le schéma à l'échelle ci-dessous (1 carreau = 10 N) montre les deux forces et la résultante $\vec{R}$ , diagonale du parallélogramme.

a) Donnez les composantes de $\vec{F_{1}}$ et de $\vec{F_{2}}$ , puis celles de la résultante $\vec{R}=\vec{F_{1}}+\vec{F_{2}}$ .
b) Calculez l'intensité (norme) de $\vec{R}$ et son orientation par rapport à l'est (au centième de degré).
c) Quelle force $\vec{E}$ (l'équilibrant) faut-il ajouter pour que l'anneau reste immobile ? Donnez ses composantes et son intensité.
d) À l'aide du produit scalaire, retrouvez l'angle entre $\vec{F_{1}}$ et la résultante $\vec{R}$ .

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Réponses

a) $(60\,;0)$ , $(0\,;80)$ , $\vec{R}=(60\,;80)$
b) $100$ N à $53{,}13°$ au nord de l'est
c) $\vec{E}=(-60\,;-80)$ , $100$ N
d) $\cos\theta=0{,}6$ : $53{,}13°$

a)

On oriente les axes comme le suggère l'énoncé, l'est en $x$ et le nord en $y$ . Une force de $60$ N vers l'est n'a donc pas de composante nord : $\vec{F_{1}}=(60\,;0)$ . Une force de $80$ N vers le nord n'a pas de composante est : $\vec{F_{2}}=(0\,;80)$ . La résultante est leur SOMME vectorielle, composante par composante : $\vec{R}=(60+0\,;0+80)=(60\,;80)$ . C'est le principe fondamental de ce type de problème : des forces s'additionnent comme des vecteurs, pas comme des nombres, et la résultante ne vaut donc PAS $60+80=140$ N.

b)

$\|\vec{R}\|=\sqrt{60^{2}+80^{2}}=\sqrt{3600+6400}=\sqrt{10000}=100$ N. On retrouve le triplet $3$ - $4$ - $5$ multiplié par $20$ . L'orientation vaut $\theta=\arctan\frac{80}{60}=\arctan\frac{4}{3}\approx 53{,}13^{\circ}$ au nord de l'est, et le résultat est acceptable tel quel puisque les deux composantes sont positives, donc le vecteur est au premier quadrant. Contrôle de plausibilité, à faire systématiquement en physique : la résultante $100$ N est plus grande que chacune des deux forces mais plus petite que leur somme $140$ N, ce qui est toujours le cas pour deux forces non colinéaires ✓. Et l'angle dépasse $45^{\circ}$ , ce qui est cohérent avec une composante nord plus grande que la composante est.

c)

L'équilibrant est la force qui, ajoutée aux deux autres, annule le total : c'est donc l'OPPOSÉ de la résultante, $\vec{E}=-\vec{R}=(-60\,;-80)$ . Son intensité est la même, $100$ N, car un vecteur et son opposé ont la même norme. Sa direction est le sud-ouest, plus précisément à $53{,}13^{\circ}$ au sud de l'ouest. Vérification : $\vec{F_{1}}+\vec{F_{2}}+\vec{E}=(60+0-60\,;0+80-80)=(0\,;0)=\vec{0}$ ✓, l'anneau reste immobile. Ne confondez pas résultante et équilibrant : la première décrit ce que font les forces présentes, le second ce qu'il faudrait ajouter pour les neutraliser.

d)

$\vec{F_{1}}\cdot\vec{R}=60\times 60+0\times 80=3600$ . Les normes valent $60$ et $100$ , donc $\cos\theta=\frac{3600}{60\times 100}=\frac{3600}{6000}=0{,}6$ , d'où $\theta\approx 53{,}13^{\circ}$ . Ce résultat coïncide exactement avec l'orientation trouvée en b), et ce n'était pas un hasard : $\vec{F_{1}}$ est dirigée plein est, c'est-à-dire le long de l'axe des $x$ , donc l'angle entre elle et $\vec{R}$ EST par définition l'orientation de $\vec{R}$ ✓. Deux méthodes indépendantes, l'arctangente et le produit scalaire, donnent la même valeur, ce qui valide l'ensemble du problème.

Exercice 7 : Problème : le bateau et le courant

Un bateau avance grâce à son moteur à $\vec{m}=(12;\ 0)$ km/h par rapport à l'eau (plein est). La rivière a un courant $\vec{c}=(3;\ 4)$ km/h. La vitesse réelle par rapport au sol est la somme $\vec{V}=\vec{m}+\vec{c}$ . Le schéma ci-dessous montre le triangle des vitesses : $\vec{c}$ part du bout de $\vec{m}$ , et $\vec{V}$ ferme le triangle.

a) Déterminez les composantes de $\vec{V}$ , puis la vitesse (norme) du bateau par rapport au sol.
b) Dans quelle direction le bateau se déplace-t-il réellement (angle par rapport à l'est, au centième de degré) ?
c) Quel déplacement (vecteur) le bateau effectue-t-il en 2 heures ? Quelle distance parcourt-il alors ?
d) Le produit scalaire $\vec{V}\cdot\vec{c}$ étant positif, le courant aide-t-il ou nuit-il à l'avancée vers l'est ? Justifiez.

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Réponses

a) $\vec{V}=(15\,;4)$ , $\approx 15{,}52$ km/h
b) $\approx 14{,}93°$ au nord de l'est
c) $(30\,;8)$ km, $\approx 31{,}05$ km
d) $61>0$ : le courant aide

a)

La vitesse par rapport au sol est la somme de la vitesse propre et de celle du courant : $\vec{V}=\vec{m}+\vec{c}=(12+3\,;0+4)=(15\,;4)$ km/h. Sa norme est $\|\vec{V}\|=\sqrt{15^{2}+4^{2}}=\sqrt{225+16}=\sqrt{241}\approx 15{,}52$ km/h. Contrôle : la vitesse réelle dépasse les $12$ km/h du moteur seul mais reste sous les $12+5=17$ km/h qu'on obtiendrait si le courant était exactement dans l'axe ✓, la norme du courant valant $\sqrt{9+16}=5$ km/h.

b)

$\theta=\arctan\frac{4}{15}\approx 14{,}93^{\circ}$ au nord de l'est. Les deux composantes étant positives, le vecteur est au premier quadrant et l'arctangente est directement exploitable. Interprétation : le bateau ne va PAS dans la direction où pointe son moteur. Bien qu'il soit orienté plein est, il dérive vers le nord d'environ $15^{\circ}$ , à cause de la composante nord du courant. C'est le phénomène de dérive, et il explique pourquoi un pilote doit corriger son cap pour atteindre un point précis sur l'autre rive.

c)

Le déplacement est la vitesse multipliée par la durée, ce qui se fait composante par composante : $\vec{d}=2\vec{V}=(30\,;8)$ km. La distance parcourue est $\|\vec{d}\|=\sqrt{30^{2}+8^{2}}=\sqrt{900+64}=\sqrt{964}\approx 31{,}05$ km. Contrôle : cette valeur doit être exactement le double de la vitesse, $2\times 15{,}52=31{,}05$ ✓, puisque multiplier un vecteur par $2$ double sa norme. On aurait donc pu répondre sans refaire de racine carrée.

d)

$\vec{V}\cdot\vec{c}=15\times 3+4\times 4=45+16=61>0$ . Un produit scalaire positif signifie un angle AIGU entre le déplacement réel et le courant, donc le courant possède une composante dans le sens du mouvement : il AIDE. Précisons le bilan, car l'énoncé porte sur l'avancée vers l'est : la composante est du courant vaut $+3$ km/h, elle ajoute donc directement $3$ km/h à la progression vers l'est, qui passe de $12$ à $15$ km/h. Le courant est donc doublement favorable en vitesse, mais il détourne le cap vers le nord, ce qui peut être un inconvénient si la destination est plein est. Un contre-exemple éclaire le rôle du signe : avec un courant $(-3\,;4)$ , le produit scalaire vaudrait $15\times(-3)+4\times 4=-45+16=-29<0$ , et le courant freinerait l'avancée.

Exercice 8 : Démonstration : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires

On veut prouver, uniquement avec des vecteurs, que les diagonales d'un losange se coupent à angle droit. Soit le losange $ABCD$ (parallélogramme à côtés égaux). On pose $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{w}=\vec{AD}$ , avec $\|\vec{u}\|=\|\vec{w}\|$ (côtés de même longueur). Le schéma illustre un cas particulier : $A(0;0)$ , $B(4;3)$ , $C(7;7)$ , $D(3;4)$ .

a) Exprimez les diagonales $\vec{AC}$ et $\vec{DB}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{w}$ .
b) Développez le produit scalaire $\vec{AC}\cdot\vec{DB}$ et simplifiez-le.
c) Utilisez la propriété du losange ( $\|\vec{u}\|=\|\vec{w}\|$ ) pour conclure que les diagonales sont perpendiculaires.
d) Vérifiez la conclusion sur le cas particulier du schéma en calculant $\vec{AC}\cdot\vec{DB}$ avec les coordonnées.

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Réponses

a) $\vec{AC}=\vec{u}+\vec{w}$ , $\vec{DB}=\vec{u}-\vec{w}$
b) $\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{w}\|^{2}$
c) Côtés égaux : produit scalaire nul, diagonales perpendiculaires
d) $(7\,;7)\cdot(1\,;-1)=0$ ✓

a)

Dans un parallélogramme, les côtés opposés portent des vecteurs ÉGAUX, donc $\vec{BC}=\vec{AD}=\vec{w}$ . Par Chasles, la première diagonale vaut $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{u}+\vec{w}$ . Pour la seconde, on part de $D$ et l'on passe par $A$ : $\vec{DB}=\vec{DA}+\vec{AB}=-\vec{w}+\vec{u}=\vec{u}-\vec{w}$ , en notant que $\vec{DA}$ est l'opposé de $\vec{AD}$ . Retenez la structure, elle vaut pour tout parallélogramme : une diagonale est la SOMME des deux côtés, l'autre est leur DIFFÉRENCE.

b)

On développe le produit scalaire comme un produit remarquable, ce qui est licite car le produit scalaire est distributif : $\vec{AC}\cdot\vec{DB}=(\vec{u}+\vec{w})\cdot(\vec{u}-\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot\vec{w}$ . Les deux termes croisés sont opposés et s'annulent, parce que le produit scalaire est COMMUTATIF, $\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{w}\cdot\vec{u}$ . Il reste $\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot\vec{w}=\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{w}\|^{2}$ , en utilisant que le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est le carré de sa norme. On reconnaît l'identité $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ transposée aux vecteurs.

c)

La propriété caractéristique du losange est que ses quatre côtés ont la même longueur, donc $\|\vec{u}\|=\|\vec{w}\|$ , et par conséquent $\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{w}\|^{2}=0$ . Ainsi $\vec{AC}\cdot\vec{DB}=0$ , et un produit scalaire nul entre deux vecteurs non nuls signifie qu'ils sont PERPENDICULAIRES : les diagonales d'un losange se coupent à angle droit. Ce qu'il faut mesurer, c'est la portée de cette démonstration : elle n'utilise aucune coordonnée, aucun angle, aucune figure particulière, et elle vaut donc pour TOUT losange. C'est précisément la force du calcul vectoriel, transformer une propriété géométrique en une identité algébrique de trois lignes.

d)

Sur le cas particulier du schéma : $\vec{AC}=(7-0\,;7-0)=(7\,;7)$ et $\vec{DB}=(4-3\,;3-4)=(1\,;-1)$ . Produit scalaire : $7\times 1+7\times(-1)=7-7=0$ ✓. On vérifie aussi que la figure est bien un losange, sans quoi la conclusion ne s'appliquerait pas : $\|\vec{u}\|=\|(4\,;3)\|=5$ et $\|\vec{w}\|=\|(3\,;4)\|=5$ , les côtés sont bien égaux ✓. Notez que la réciproque est également vraie et se démontre de la même façon : si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires, alors $\|\vec{u}\|^{2}=\|\vec{w}\|^{2}$ , donc les côtés sont égaux et c'est un losange.

Exercice 9 : Démonstration : le segment des milieux d'un triangle

On veut prouver le théorème des milieux : dans un triangle $ABC$ , le segment qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et en vaut la moitié. Soit $M$ le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$ . Le schéma illustre le cas $A(1;1)$ , $B(5;3)$ , $C(3;7)$ .

a) Exprimez $\vec{AM}$ et $\vec{AN}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
b) Calculez $\vec{MN}=\vec{AN}-\vec{AM}$ et simplifiez le résultat en fonction de $\vec{BC}$ .
c) Concluez : que peut-on dire de la direction et de la longueur de $[MN]$ par rapport à $[BC]$ ?
d) Vérifiez sur le cas du schéma en calculant les coordonnées de $M$ , $N$ , puis $\vec{MN}$ et $\vec{BC}$ .

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Réponses

a) $\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AB}$ , $\vec{AN}=\frac{1}{2}\vec{AC}$
b) $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{BC}$
c) Parallèle à $[BC]$ et moitié de sa longueur
d) $M(3\,;2)$ , $N(2\,;4)$ , $\vec{MN}=(-1\,;2)$ , $\vec{BC}=(-2\,;4)$ ✓

a)

Dire que $M$ est le milieu de $[AB]$ signifie exactement que le déplacement de $A$ vers $M$ est la moitié du déplacement de $A$ vers $B$ : $\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AB}$ . De même $\vec{AN}=\frac{1}{2}\vec{AC}$ . C'est la traduction vectorielle de la notion de milieu, et elle est plus maniable que les coordonnées parce qu'elle ne dépend d'aucun repère.

b)

On applique Chasles en passant par $A$ , qui est le point commun aux deux expressions précédentes : $\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AN}=\vec{AN}-\vec{AM}$ . En substituant : $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}=\frac{1}{2}\left(\vec{AC}-\vec{AB}\right)$ . Or $\vec{AC}-\vec{AB}=\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{BC}$ , toujours par Chasles. Conclusion : $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ . Toute la démonstration tient dans cette mise en facteur du $\frac{1}{2}$ , qui fait apparaître d'un coup la différence recherchée.

c)

L'égalité $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ contient DEUX informations, et il faut les énoncer séparément. D'abord, $\vec{MN}$ est colinéaire à $\vec{BC}$ , puisqu'il en est un multiple : le segment $[MN]$ est donc PARALLÈLE à $[BC]$ . Ensuite, le facteur vaut $\frac{1}{2}$ , donc la longueur de $[MN]$ est la MOITIÉ de celle de $[BC]$ . C'est le théorème des milieux, et la démonstration vectorielle vaut pour n'importe quel triangle, y compris aplati. Le facteur étant positif, les deux segments sont de surcroît orientés dans le même sens.

d)

Coordonnées des milieux, obtenues en moyennant : $M=\left(\frac{1+5}{2}\,;\frac{1+3}{2}\right)=(3\,;2)$ et $N=\left(\frac{1+3}{2}\,;\frac{1+7}{2}\right)=(2\,;4)$ . Puis $\vec{MN}=(2-3\,;4-2)=(-1\,;2)$ et $\vec{BC}=(3-5\,;7-3)=(-2\,;4)$ . On constate que $\vec{BC}=2\vec{MN}$ , autrement dit $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ ✓, exactement comme le prévoit la démonstration. Contrôle des longueurs : $\|\vec{MN}\|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2{,}24$ et $\|\vec{BC}\|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47$ , bien le double ✓. Notez que le cas particulier ne DÉMONTRE rien, il ne fait que confirmer : c'est la partie b) qui constitue la preuve.

Exercice 10 : Problème : le travail d'une force

Une caisse est tirée sur 20 m le long d'un sol horizontal (vers l'est) par une force $\vec{F}$ de 50 N inclinée de 30° au-dessus de l'horizontale. Le travail de la force vaut $W=\vec{F}\cdot\vec{d}$ , où $\vec{d}$ est le déplacement. Le schéma décompose $\vec{F}$ en une composante le long du déplacement et une composante verticale (en pointillés).

a) Écrivez $\vec{F}$ et $\vec{d}$ en composantes (prenez l'est comme axe des $x$ ).
b) Calculez le travail $W=\vec{F}\cdot\vec{d}$ des deux façons : par les composantes, puis par $\|\vec{F}\|\,\|\vec{d}\|\cos\theta$ . Donnez la réponse en joules.
c) Seule la composante de $\vec{F}$ parallèle au déplacement travaille. Donnez cette composante (la projection de $\vec{F}$ sur $\vec{d}$ ) et expliquez pourquoi la composante verticale ne fait aucun travail.
d) Si la force était perpendiculaire au déplacement ( $\theta=90^{\circ}$ ), que vaudrait le travail ? Interprétez.

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Réponses

a) $\vec{F}\approx(43{,}30\,;25)$ , $\vec{d}=(20\,;0)$
b) $500\sqrt{3}\approx 866$ J
c) $\approx 43{,}3$ N ; la verticale est perpendiculaire au déplacement
d) $0$ J

a)

On prend l'est comme axe des $x$ et la verticale comme axe des $y$ . La force est inclinée de $30^{\circ}$ au-dessus de l'horizontale, ses composantes s'obtiennent donc par projection : $\vec{F}=\left(50\cos 30^{\circ}\,;50\sin 30^{\circ}\right)=\left(50\times\frac{\sqrt{3}}{2}\,;50\times\frac{1}{2}\right)=(25\sqrt{3}\,;25)\approx(43{,}30\,;25)$ N. Le déplacement est horizontal : $\vec{d}=(20\,;0)$ m. Contrôle : la norme de $\vec{F}$ doit valoir $50$ , et $\sqrt{43{,}30^{2}+25^{2}}=\sqrt{1875+625}=\sqrt{2500}=50$ ✓.

b)

Par les composantes : $W=\vec{F}\cdot\vec{d}=43{,}30\times 20+25\times 0=866{,}0$ J. Par la formule avec l'angle : $W=\|\vec{F}\|\,\|\vec{d}\|\cos\theta=50\times 20\times\cos 30^{\circ}=1000\times 0{,}866=866{,}0$ J. Les deux méthodes concordent ✓, ce qui est attendu puisqu'elles ne sont que deux écritures du même produit scalaire. La valeur exacte est $500\sqrt{3}$ J. Choisissez en pratique la méthode selon les données disponibles : les composantes si on les a, l'angle sinon.

c)

La composante utile est la projection de $\vec{F}$ sur $\vec{d}$ , soit $\|\vec{F}\|\cos 30^{\circ}=50\times 0{,}866\approx 43{,}3$ N, dirigée vers l'est. C'est elle seule qui tire la caisse dans le sens du mouvement, et le travail vaut simplement cette composante multipliée par la distance : $43{,}3\times 20=866$ J ✓, ce qui redonne b) par un troisième chemin. La composante verticale de $25$ N ne travaille PAS, et la raison est géométrique : elle est perpendiculaire au déplacement, donc son produit scalaire avec $\vec{d}$ est nul. Physiquement, elle tend à soulever la caisse et allège la pression sur le sol, mais comme la caisse ne monte pas, cette force ne transfère aucune énergie.

d)

Avec $\theta=90^{\circ}$ , on a $\cos 90^{\circ}=0$ , donc $W=\|\vec{F}\|\,\|\vec{d}\|\times 0=0$ J. Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille jamais, quelle que soit son intensité. Les exemples abondent et méritent d'être connus : la force normale exercée par le sol sur un objet qui glisse horizontalement, ou le poids d'un objet qu'on déplace sur une table. Cas le plus frappant, un satellite en orbite circulaire : la gravitation y est constamment perpendiculaire à la vitesse, donc son travail est nul, ce qui explique que la vitesse du satellite ne change pas. Retenez la formulation générale : le travail mesure le transfert d'énergie, et seule la composante de la force LE LONG du déplacement en transfère.

Exercice 11 : Des composantes à la norme et à l'orientation, et retour

Un vecteur se décrit de deux façons : par ses composantes $(x\,;y)$ , ou par sa norme et son orientation. Passez d'une écriture à l'autre dans chaque cas. On rappelle $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ et $\theta=\arctan\dfrac{y}{x}$ , corrigé selon le quadrant.

a) $\vec{u}=(6\,;8)$ : donnez la norme et l'orientation au centième de degré.
b) $\vec{v}=(-5\,;5)$ : même travail.
c) $\vec{w}$ a une norme de 20 et une orientation de 30 degrés : donnez ses composantes.
d) $\vec{z}$ a une norme de 12 et une orientation de 200 degrés : donnez ses composantes au centième.

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Réponses

a) $10$ ; $53{,}13°$
b) $5\sqrt{2}\approx 7{,}07$ ; $135°$
c) $(17{,}32\,;10)$
d) $(-11{,}28\,;-4{,}10)$

a)

$\|\vec{u}\|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ . Orientation : $\arctan\frac{8}{6}=\arctan\frac{4}{3}\approx 53{,}13$ degrés. Les deux composantes étant positives, le vecteur est dans le premier quadrant et la calculatrice donne directement le bon angle. On reconnaît le triangle $(6\,;8\,;10)$ , un multiple de $(3\,;4\,;5)$ .

b)

$\|\vec{v}\|=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07$ . Pour l'orientation, la calculatrice donne $\arctan\frac{5}{-5}=\arctan(-1)=-45$ degrés, ce qui est FAUX ici. Le vecteur a une abscisse négative et une ordonnée positive : il est dans le DEUXIÈME quadrant, donc son orientation est comprise entre $90$ et $180$ degrés. On corrige en ajoutant $180$ : $-45+180=135$ degrés. C'est la correction la plus oubliée du chapitre, et elle est nécessaire chaque fois que l'abscisse est négative.

c)

On projette : $x=20\cos 30^{\circ}=20\times\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17{,}32$ et $y=20\sin 30^{\circ}=20\times 0{,}5=10$ . Donc $\vec{w}\approx(17{,}32\,;10)$ . Contrôle : $\sqrt{300+100}=\sqrt{400}=20$ ✓.

d)

$x=12\cos 200^{\circ}\approx 12\times(-0{,}9397)=-11{,}28$ et $y=12\sin 200^{\circ}\approx 12\times(-0{,}3420)=-4{,}10$ . Donc $\vec{z}\approx(-11{,}28\,;-4{,}10)$ . Les deux composantes sont négatives, ce qui est cohérent avec une orientation de $200$ degrés, située dans le TROISIÈME quadrant ✓.

Le contrôle universel de ces conversions est le signe : on regarde dans quel quadrant l'angle place le vecteur, et l'on vérifie que les signes des deux composantes correspondent. Dans le sens inverse, on calcule l'arctangente puis on ajuste de $180$ degrés si l'abscisse est négative. La norme, elle, ne pose jamais de problème : elle est toujours positive.

Exercice 12 : Vecteur unitaire et vecteur de norme imposée

Un vecteur UNITAIRE est un vecteur de norme 1. On l'obtient en divisant un vecteur par sa propre norme, ce qui conserve la direction et le sens.

a) Déterminez le vecteur unitaire de même sens que $\vec{u}=(3\,;-4)$ , et vérifiez sa norme.
b) Déterminez le vecteur de norme 10 et de même sens que $\vec{v}=(1\,;2)$ . Arrondissez au centième.
c) Déterminez le vecteur de norme 6 et de sens OPPOSÉ à $\vec{u}=(3\,;-4)$ .
d) Un vecteur unitaire peut-il avoir une composante plus grande que 1 ? Justifiez.

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Réponses

a) $(0{,}6\,;-0{,}8)$
b) $(4{,}47\,;8{,}94)$
c) $(-3{,}6\,;4{,}8)$
d) Non : $x^{2}+y^{2}=1$ impose $|x|\leq 1$

a)

$\|\vec{u}\|=\sqrt{9+16}=5$ . Le vecteur unitaire est $\frac{1}{5}(3\,;-4)=\left(\frac{3}{5}\,;-\frac{4}{5}\right)=(0{,}6\,;-0{,}8)$ . Vérification : $\sqrt{0{,}36+0{,}64}=\sqrt{1}=1$ ✓. Diviser un vecteur par sa norme s'appelle le NORMALISER, et le résultat ne dépend que de la direction : tous les vecteurs de même sens que $\vec{u}$ ont le même vecteur unitaire.

b)

$\|\vec{v}\|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2{,}236$ . Le vecteur unitaire est $\frac{1}{\sqrt{5}}(1\,;2)$ , et pour obtenir une norme de $10$ on le multiplie par $10$ : $\frac{10}{\sqrt{5}}(1\,;2)=\left(\frac{10}{\sqrt{5}}\,;\frac{20}{\sqrt{5}}\right)\approx(4{,}47\,;8{,}94)$ . Contrôle : $\sqrt{4{,}47^{2}+8{,}94^{2}}=\sqrt{19{,}98+79{,}92}\approx 10$ ✓. La méthode générale tient en une formule : le vecteur de norme $n$ et de même sens que $\vec{v}$ est $\frac{n}{\|\vec{v}\|}\vec{v}$ .

c)

On reprend le vecteur unitaire de $\vec{u}$ , soit $(0{,}6\,;-0{,}8)$ , on le multiplie par $6$ et on change le signe : $-6\times(0{,}6\,;-0{,}8)=(-3{,}6\,;4{,}8)$ . Vérification de la norme : $\sqrt{12{,}96+23{,}04}=\sqrt{36}=6$ ✓. Un multiplicateur NÉGATIF renverse le sens sans changer la direction, c'est exactement ce que l'énoncé demandait.

d)

Non, jamais. Si $\vec{e}=(x\,;y)$ est unitaire, alors $x^{2}+y^{2}=1$ , donc $x^{2}\le 1$ et $|x|\le 1$ , et de même pour $y$ .

Les composantes d'un vecteur unitaire sont donc toujours comprises entre $-1$ et $1$ , et l'une ne peut valoir $1$ que si l'autre est nulle. On reconnaît là le cercle trigonométrique : tout vecteur unitaire s'écrit $(\cos\theta\,;\sin\theta)$ pour un certain angle $\theta$ , ce qui explique à la fois la contrainte sur les composantes et l'identité $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ . Un résultat comme $(1{,}2\,;0{,}5)$ signale donc immédiatement une erreur de division.

Exercice 13 : Le quatrième sommet d'un parallélogramme

On donne trois points : $A(1\,;2)$ , $B(5\,;3)$ et $C(7\,;8)$ .

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Déterminez les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
b) Vérifiez votre réponse en montrant que $\vec{AB}=\vec{DC}$ .
c) Vérifiez-la autrement, en montrant que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.
d) Calculez les longueurs des deux diagonales. Le parallélogramme est-il un rectangle ?

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Réponses

a) $D(3\,;7)$
b) $\vec{AB}=\vec{DC}=(4\,;1)$
c) Milieu commun $(4\,;5)$
d) $6\sqrt{2}$ et $2\sqrt{5}$ : pas un rectangle

a)

Dans le parallélogramme $ABCD$ , les sommets se suivent dans l'ordre, donc $[AD]$ et $[BC]$ sont deux côtés parallèles de même longueur : $\vec{AD}=\vec{BC}$ . Or $\vec{BC}=(7-5\,;8-3)=(2\,;5)$ . Donc $D=A+\vec{BC}=(1+2\,;2+5)=(3\,;7)$ .

L'ordre des lettres est ce qui décide de la réponse, et c'est le piège de la question : si l'on cherchait $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme, on obtiendrait un autre point. Trois points donnent en réalité TROIS parallélogrammes possibles, selon le sommet qu'on choisit comme opposé ; l'énoncé fixe cet ordre en écrivant $ABCD$ .

b)

$\vec{AB}=(5-1\,;3-2)=(4\,;1)$ et $\vec{DC}=(7-3\,;8-7)=(4\,;1)$ . Les deux vecteurs sont égaux ✓, donc $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles, de même longueur et de même sens : c'est exactement la définition vectorielle d'un parallélogramme.

c)

Milieu de $[AC]$ : $\left(\frac{1+7}{2}\,;\frac{2+8}{2}\right)=(4\,;5)$ . Milieu de $[BD]$ : $\left(\frac{5+3}{2}\,;\frac{3+7}{2}\right)=(4\,;5)$ . Les deux milieux coïncident ✓. Ce critère est souvent le plus rapide, parce qu'il ne demande aucun vecteur : il suffit de deux moyennes.

d)

$AC=\sqrt{(7-1)^{2}+(8-2)^{2}}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\approx 8{,}49$ . $BD=\sqrt{(3-5)^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47$ .

Les deux diagonales n'ont pas la même longueur, donc le parallélogramme n'est PAS un rectangle : dans un rectangle, les diagonales sont toujours égales. On peut le confirmer par le produit scalaire des côtés : $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=(4\,;1)\cdot(2\,;5)=8+5=13\ne 0$ , donc l'angle en $A$ n'est pas droit. Les deux critères, diagonales égales ou côtés perpendiculaires, sont équivalents et il suffit d'en vérifier un.

Exercice 14 : Problème : la caisse sur le plan incliné

Une caisse de 500 newtons de poids repose sur un plan incliné à 20 degrés par rapport à l'horizontale. Le poids est un vecteur vertical dirigé vers le bas.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Décomposez le poids en une composante PARALLÈLE au plan et une composante PERPENDICULAIRE au plan. Donnez les deux intensités au centième de newton.
b) Quelle force, dirigée le long du plan, faut-il exercer pour retenir la caisse ?
c) Vérifiez que les deux composantes redonnent bien le poids total.
d) Que deviennent les deux composantes si l'inclinaison passe à 40 degrés ? Et si le plan devenait vertical ?

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Réponses

a) $171{,}01$ N et $469{,}85$ N
b) $171{,}01$ N vers le haut du plan
c) $\sqrt{171{,}01^{2}+469{,}85^{2}}\approx 500$ ✓
d) $321{,}39$ N et $383{,}02$ N ; vertical : $500$ N et $0$ N

a)

On choisit des axes ALIGNÉS SUR LE PLAN plutôt que sur l'horizontale, et c'est tout l'art du problème. Dans ce repère incliné, la composante parallèle au plan vaut $P\sin\theta=500\sin 20^{\circ}\approx 500\times 0{,}342=171{,}01$ N, et la composante perpendiculaire vaut $P\cos\theta=500\cos 20^{\circ}\approx 500\times 0{,}9397=469{,}85$ N. Le sinus va bien avec la composante parallèle, ce qui se retient par un cas limite : si le plan était horizontal, $\theta=0$ , la composante parallèle devrait être nulle, et c'est bien $\sin 0=0$ .

b)

Il faut exercer une force égale et opposée à la composante parallèle, soit $171{,}01$ N dirigée vers le haut du plan. C'est nettement moins que les $500$ N du poids : c'est tout l'intérêt d'un plan incliné, qui permet de retenir ou de hisser une charge avec une force réduite, au prix d'une distance plus longue à parcourir.

c)

Les deux composantes étant perpendiculaires entre elles, on les recombine par Pythagore : $\sqrt{171{,}01^{2}+469{,}85^{2}}=\sqrt{29\,244+220\,760}=\sqrt{250\,004}\approx 500$ N ✓. On peut aussi le voir algébriquement : $P^{2}\sin^{2}\theta+P^{2}\cos^{2}\theta=P^{2}\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)=P^{2}$ , quelle que soit l'inclinaison. L'identité fondamentale garantit donc que la décomposition ne perd rien.

d)

À $40$ degrés : composante parallèle $500\sin 40^{\circ}\approx 321{,}39$ N, composante perpendiculaire $500\cos 40^{\circ}\approx 383{,}02$ N. La première a presque doublé alors que l'angle a doublé, mais ce n'est qu'une coïncidence de plage : le sinus n'est pas linéaire.

Si le plan devenait vertical, $\theta=90$ degrés, la composante parallèle vaudrait $500\sin 90^{\circ}=500$ N et la perpendiculaire $500\cos 90^{\circ}=0$ N. Autrement dit, tout le poids tirerait la caisse vers le bas le long du mur et rien ne la presserait contre lui : la caisse tomberait en chute libre, ce qui est exactement le comportement attendu. Ces deux cas limites, $0$ et $90$ degrés, sont le meilleur contrôle d'une décomposition : si les formules ne les redonnent pas, c'est que le sinus et le cosinus ont été intervertis.

Exercice 15 : Problème : le cap à tenir face au vent

Un avion vole à 250 km/h par rapport à l'air. Un vent de 40 km/h souffle vers le NORD. Le pilote veut que sa trajectoire au sol soit exactement vers l'EST.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Expliquez pourquoi le pilote ne peut pas simplement mettre le cap à l'est.
b) Quel cap doit-il tenir ? Donnez l'angle par rapport à l'est, au centième de degré.
c) Quelle sera sa vitesse au sol ? Arrondissez au centième.
d) Combien de temps mettra-t-il pour parcourir 600 km vers l'est ? Comparez au temps qu'il mettrait sans vent.

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Réponses

a) Somme vectorielle : cap plein est dérive vers le nord
b) $\approx 9{,}21°$ au sud de l'est
c) $\approx 246{,}78$ km/h
d) $\approx 2{,}432$ h contre $2{,}4$ h : deux minutes de plus

a)

Parce que la vitesse au sol est la SOMME VECTORIELLE de la vitesse propre de l'avion et de la vitesse du vent. Si le pilote met le cap plein est, sa vitesse propre est $(250\,;0)$ et le vent ajoute $(0\,;40)$ : la vitesse au sol devient $(250\,;40)$ , dirigée légèrement vers le nord-est. L'avion dériverait donc au nord et manquerait sa destination. C'est le phénomène de DÉRIVE, et le pilote doit le compenser en visant délibérément à côté.

b)

Le pilote doit orienter sa vitesse propre légèrement vers le SUD, de manière que la composante nord-sud s'annule. En notant $\theta$ l'angle sous l'est, la vitesse propre est $(250\cos\theta\,;-250\sin\theta)$ , et la vitesse au sol devient $(250\cos\theta\,;40-250\sin\theta)$ . Pour aller plein est, il faut $40-250\sin\theta=0$ , donc $\sin\theta=\frac{40}{250}=0{,}16$ et $\theta=\arcsin(0{,}16)\approx 9{,}21$ degrés. Le cap est donc à $9{,}21$ degrés au SUD de l'est.

c)

La vitesse au sol est alors purement horizontale : $250\cos 9{,}21^{\circ}\approx 250\times 0{,}98712=246{,}78$ km/h. On peut aussi l'obtenir par Pythagore, puisque la vitesse propre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont un côté vaut $40$ : $\sqrt{250^{2}-40^{2}}=\sqrt{62\,500-1600}=\sqrt{60\,900}\approx 246{,}78$ ✓. Le vent latéral coûte donc environ $3$ km/h, soit à peine plus de un pour cent : un vent perpendiculaire freine très peu, ce qui n'est pas intuitif.

d)

À $246{,}78$ km/h, il faut $\frac{600}{246{,}78}\approx 2{,}432$ heures, soit environ $2$ h $26$ min. Sans vent, à $250$ km/h, il faudrait $\frac{600}{250}=2{,}4$ heures, soit $2$ h $24$ min. Le vent latéral coûte donc environ deux minutes sur ce trajet.

La leçon vaut au-delà de l'aviation : une composante PERPENDICULAIRE au déplacement ne fait perdre que très peu de vitesse utile, parce que le cosinus varie lentement près de zéro. Un vent de face de $40$ km/h, lui, coûterait exactement $40$ km/h, soit seize pour cent, et le trajet prendrait $2$ h $51$ min. C'est la même mathématique qui explique pourquoi une force perpendiculaire ne travaille pas.

Exercices corrigés : les vecteurs et la géométrie vectorielle (math SN5)

Rappel de cours

Calculs : les composantes et les normes à calculer

Exercice 0.1 : Opérer sur les vecteurs et calculer une norme : dix calculs directs

Calculs : les produits scalaires et les angles à calculer

Exercice 0.2 : Calculer un produit scalaire et un angle entre deux vecteurs : dix calculs directs

Partie A : Les bases de la géométrie vectorielle (/50)

Exercice 1 : Composantes, norme et orientation

Exercice 2 : Opérations, relation de Chasles et parallélogramme

Exercice 3 : Colinéarité et alignement de points

Exercice 4 : Produit scalaire, angle et orthogonalité

Exercice 5 : Projection orthogonale d'un vecteur

Partie B : Niveau examen, la géométrie par les vecteurs (/50)

Exercice 6 : La résultante de deux forces

Exercice 7 : Problème : le bateau et le courant

Exercice 8 : Démonstration : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires

Exercice 9 : Démonstration : le segment des milieux d'un triangle

Exercice 10 : Problème : le travail d'une force

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Des composantes à la norme et à l'orientation, et retour

Exercice 12 : Vecteur unitaire et vecteur de norme imposée

Exercice 13 : Le quatrième sommet d'un parallélogramme

Exercice 14 : Problème : la caisse sur le plan incliné

Exercice 15 : Problème : le cap à tenir face au vent

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