Exercices corrigés : les vecteurs et la géométrie vectorielle (math SN5)

a) Les composantes d'un vecteur s'obtiennent en soustrayant l'ORIGINE de l'EXTRÉMITÉ, jamais l'inverse : $\vec{AB}=(x_{B}-x_{A}\,;y_{B}-y_{A})$. Donc $\vec{AB}=(5-1\,;5-2)=(4\,;3)$ et $\vec{CD}=(-1-2\,;2-6)=(-3\,;-4)$. Inverser l'ordre de la soustraction donnerait le vecteur OPPOSÉ, ce qui est une erreur de sens et non de calcul.

b) $\|\vec{AB}\|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ et $\|\vec{CD}\|=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Les deux vecteurs ont la MÊME longueur. La raison est visible sur les composantes : les deux font intervenir la paire $\{3\,;4\}$, seulement échangée et affectée de signes différents, et comme la norme élève au carré, ni l'ordre ni les signes n'y changent quoi que ce soit. On reconnaît au passage le triplet $3$-$4$-$5$, qui explique que la norme tombe juste.

c) L'orientation est l'angle mesuré depuis l'axe des $x$ positifs, dans le sens antihoraire. Comme $\vec{AB}=(4\,;3)$ a ses deux composantes positives, il pointe vers le premier quadrant et l'arctangente donne directement la réponse : $\theta=\arctan\frac{3}{4}\approx 36{,}87^{\circ}$. Attention, ce raccourci ne vaut QUE dans le premier quadrant : pour $\vec{CD}=(-3\,;-4)$, l'arctangente de $\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$ donnerait $53{,}13^{\circ}$, un angle du premier quadrant, alors que le vecteur pointe vers le TROISIÈME. Il faut alors ajouter $180^{\circ}$, ce qui donne $233{,}13^{\circ}$. Le réflexe : repérer le quadrant AVANT d'accepter le résultat de la calculatrice.

d) Non, les deux vecteurs ne sont pas égaux : deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les MÊMES composantes, et $(4\,;3)\neq(-3\,;-4)$. Précisons ce qu'ils ne sont pas non plus, car c'est le piège de la question : ils ne sont pas OPPOSÉS. L'opposé de $\vec{AB}=(4\,;3)$ serait $(-4\,;-3)$, et non $(-3\,;-4)$. On peut le confirmer par les orientations trouvées en c) : deux vecteurs opposés diffèrent exactement de $180^{\circ}$, or $233{,}13^{\circ}-36{,}87^{\circ}=196{,}26^{\circ}$. Conclusion précise : $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ont la même longueur mais des directions distinctes, sans relation particulière entre elles.

a) L'addition et la soustraction de vecteurs se font COMPOSANTE PAR COMPOSANTE : $\vec{u}+\vec{v}=(1+3\,;2+(-1))=(4\,;1)$ et $\vec{u}-\vec{v}=(1-3\,;2-(-1))=(-2\,;3)$. Attention au double signe dans la seconde : soustraire $-1$ revient à ajouter $1$. Sur le schéma, $\vec{u}+\vec{v}$ est la DIAGONALE du parallélogramme construit sur les deux vecteurs, celle qui part de l'origine commune. La méthode du triangle donne le même résultat autrement : on place $\vec{v}$ au bout de $\vec{u}$, et la somme relie le début du premier à la fin du second.

b) La multiplication par un scalaire agit sur chaque composante : $3\vec{u}=(3\,;6)$ et $2\vec{v}=(6\,;-2)$. Donc $3\vec{u}-2\vec{v}=(3-6\,;6-(-2))=(-3\,;8)$. Là encore, le signe du $-2$ dans la seconde composante est le point où l'on se trompe.

c) On veut $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}$, ce qui s'écrit $a(1\,;2)+b(3\,;-1)=(a+3b\,;2a-b)=(5\,;3)$. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs deux composantes le sont : on obtient donc un SYSTÈME de deux équations, $a+3b=5$ et $2a-b=3$. De la seconde on tire $b=2a-3$, qu'on reporte dans la première : $a+3(2a-3)=5$, soit $a+6a-9=5$, donc $7a=14$ et $a=2$, puis $b=2\times 2-3=1$. Conclusion : $\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$. Vérification : $2(1\,;2)+(3\,;-1)=(2+3\,;4-1)=(5\,;3)$ ✓. Ce qu'il faut retenir de cette question dépasse le calcul : deux vecteurs NON COLINÉAIRES du plan permettent d'écrire n'importe quel autre vecteur d'une seule façon, ce qu'on appelle une base.

d) La relation de Chasles dit que $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ : enchaîner deux déplacements équivaut au déplacement direct, le point intermédiaire $B$ « disparaissant ». En l'appliquant : $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{AC}+\vec{CA}$. On applique Chasles une seconde fois, avec $C$ comme point intermédiaire : $\vec{AC}+\vec{CA}=\vec{AA}=\vec{0}$. Interprétation concrète : parcourir un triangle en entier et revenir à son point de départ produit un déplacement TOTAL nul, quelle que soit la longueur du trajet. Notez que le résultat ne dépend d'aucune coordonnée et vaut pour trois points quelconques, même alignés ou confondus.

Le critère $ad-bc=0$ mérite d'être compris plutôt que mémorisé : il exprime que les composantes sont PROPORTIONNELLES, c'est-à-dire que $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$, écrit sans fraction pour éviter les divisions par zéro. Il donne donc directement le parallélisme, et par suite l'alignement de trois points.

a) $\vec{v}=(6\,;9)$ et $\vec{u}=(2\,;3)$. On voit immédiatement que $6=3\times 2$ et $9=3\times 3$, donc $\vec{v}=3\vec{u}$ : oui, ils sont colinéaires, avec $k=3$. Le critère le confirme : $2\times 9-3\times 6=18-18=0$ ✓. Quand le facteur se voit à l'œil nu, il est plus parlant de le donner que d'appliquer la formule, car il indique aussi que $\vec{v}$ est TROIS FOIS plus long et de MÊME sens.

b) Critère appliqué à $(2\,;3)$ et $(4\,;5)$ : $2\times 5-3\times 4=10-12=-2\neq 0$. Les deux vecteurs ne sont donc PAS colinéaires. On peut voir l'obstacle directement : pour passer de $2$ à $4$ il faut multiplier par $2$, mais pour passer de $3$ à $5$ il faudrait multiplier par $\frac{5}{3}$, et un seul et même facteur ne peut pas convenir aux deux composantes.

c) On forme deux vecteurs à partir d'un même point, ici $A$ : $\vec{AB}=(3-1\,;4-1)=(2\,;3)$ et $\vec{AC}=(7-1\,;10-1)=(6\,;9)$. Critère : $2\times 9-3\times 6=0$, donc ils sont colinéaires, et les trois points $A$, $B$, $C$ sont ALIGNÉS. Plus précisément $\vec{AC}=3\vec{AB}$, ce qui signifie que $C$ est trois fois plus loin de $A$ que ne l'est $B$, dans la même direction. Point de méthode : il faut partir du MÊME point pour les deux vecteurs, sans quoi la colinéarité ne prouverait qu'un parallélisme, pas un alignement.

d) $\vec{AB}=(2\,;3)$ et $\vec{AE}=(6-1\,;8-1)=(5\,;7)$. Critère : $2\times 7-3\times 5=14-15=-1\neq 0$ : les points $A$, $B$, $E$ ne sont PAS alignés. Le résultat $-1$ est très petit, donc les trois points sont presque alignés, ce qui est exactement pourquoi un dessin ne suffit pas ici : à l'œil, $E(6\,;8)$ semble sur la droite, alors que le point aligné serait $\left(6\,;8{,}5\right)$. C'est la leçon de la question : en géométrie analytique, seul le calcul tranche.

a) $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times 5+4\times 12=15+48=63$. Le produit scalaire est un NOMBRE, pas un vecteur, et c'est la première chose à ne pas confondre. Pour l'angle, on utilise l'autre expression du produit scalaire : $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$. Les normes valent $\|\vec{u}\|=\sqrt{9+16}=5$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{25+144}=13$, deux triplets pythagoriciens classiques. Donc $\cos\theta=\frac{63}{5\times 13}=\frac{63}{65}\approx 0{,}9692$, d'où $\theta\approx 14{,}25^{\circ}$. Contrôle de plausibilité : un cosinus très proche de $1$ annonce un angle très petit, et les deux vecteurs pointent en effet dans des directions voisines ✓.

b) $\vec{w}\cdot\vec{z}=4\times 6+3\times(-8)=24-24=0$. Un produit scalaire NUL entre deux vecteurs non nuls signifie $\cos\theta=0$, donc $\theta=90^{\circ}$ : les vecteurs sont perpendiculaires. C'est le test d'orthogonalité le plus rapide de tout le programme, et il ne demande ni norme, ni angle, ni racine carrée.

c) On impose la nullité du produit scalaire : $(k\,;3)\cdot(2\,;4)=2k+12=0$, donc $2k=-12$ et $k=-6$. Vérification : $(-6\,;3)\cdot(2\,;4)=-12+12=0$ ✓. Remarque utile pour la suite du cours : un vecteur perpendiculaire à $(a\,;b)$ s'obtient toujours en échangeant les composantes et en changeant un signe, ce qui donne $(-b\,;a)$. Ici, perpendiculaire à $(2\,;4)$ : $(-4\,;2)$, qui est bien colinéaire à $(-6\,;3)$ puisque $(-6\,;3)=\frac{3}{2}(-4\,;2)$ ✓.

d) Oui, le produit scalaire peut être négatif. Comme $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ et que les deux normes sont toujours positives, le SIGNE du produit scalaire est exactement celui de $\cos\theta$. Un produit scalaire négatif signifie donc $\cos\theta<0$, c'est-à-dire un angle OBTUS, compris entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$ : les deux vecteurs pointent globalement en sens opposés. Le tableau complet est à connaître : produit scalaire positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus. Cela fait du produit scalaire un détecteur de « nature de l'angle » instantané, sans aucun calcul d'angle.

a) $\vec{u}\cdot\vec{v}=7\times 6+1\times 8=42+8=50$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$, encore un triplet $3$-$4$-$5$ doublé. La projection SCALAIRE vaut $\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{50}{10}=5$. C'est un NOMBRE, la longueur algébrique de l'ombre de $\vec{u}$ sur la direction de $\vec{v}$ : positive ici, ce qui indique que l'ombre tombe du même côté que $\vec{v}$. Si l'angle avait été obtus, cette mesure aurait été négative.

b) Le vecteur projeté est $\vec{u_{v}}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}=\frac{50}{100}(6\,;8)=\frac{1}{2}(6\,;8)=(3\,;4)$. Notez la différence avec a) : on divise ici par le CARRÉ de la norme, et le résultat est un VECTEUR. La raison de ce carré est simple, l'une des deux normes sert à trouver la longueur de l'ombre, l'autre à transformer $\vec{v}$ en vecteur de longueur $1$ pour lui donner la bonne direction. Confondre les deux formules est l'erreur centrale du chapitre : la première donne $5$, la seconde $(3\,;4)$, et la norme de $(3\,;4)$ vaut bien $5$ ✓, ce qui les relie. Géométriquement, $P(3\,;4)$ est le MILIEU de $\vec{v}$, puisque le facteur valait exactement $\frac{1}{2}$.

c) $\|\vec{u}\|=\sqrt{7^{2}+1^{2}}=\sqrt{50}\approx 7{,}07$. Alors $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\frac{50}{\sqrt{50}\times 10}=\frac{\sqrt{50}}{10}\approx 0{,}7071$, en simplifiant $\frac{50}{\sqrt{50}}=\sqrt{50}$. Ce cosinus vaut $\frac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\theta=45^{\circ}$ exactement. Vérification de la cohérence demandée : $\|\vec{u}\|\cos\theta=\sqrt{50}\times\frac{\sqrt{50}}{10}=\frac{50}{10}=5$, ce qui redonne bien la projection scalaire de a) ✓. Les deux façons de la calculer, par le produit scalaire ou par le cosinus, coïncident nécessairement, puisqu'elles ne sont que deux écritures de la même définition.

d) $\vec{w}=\vec{u}-\vec{u_{v}}=(7\,;1)-(3\,;4)=(4\,;-3)$. Vérification de la perpendicularité : $\vec{w}\cdot\vec{v}=4\times 6+(-3)\times 8=24-24=0$ ✓, donc $\vec{w}\perp\vec{v}$, ce que montre l'angle droit du schéma au point $P$. On a ainsi décomposé $\vec{u}=(3\,;4)+(4\,;-3)$ en une composante PARALLÈLE à $\vec{v}$ et une composante PERPENDICULAIRE à $\vec{v}$. Cette décomposition est unique, et c'est l'un des outils les plus utilisés en physique : on y sépare une force en une partie qui agit le long d'un plan incliné et une partie qui presse dessus. Contrôle final par Pythagore, les deux composantes étant perpendiculaires : $\|\vec{u_{v}}\|^{2}+\|\vec{w}\|^{2}=25+25=50=\|\vec{u}\|^{2}$ ✓.

a) On oriente les axes comme le suggère l'énoncé, l'est en $x$ et le nord en $y$. Une force de $60$ N vers l'est n'a donc pas de composante nord : $\vec{F_{1}}=(60\,;0)$. Une force de $80$ N vers le nord n'a pas de composante est : $\vec{F_{2}}=(0\,;80)$. La résultante est leur SOMME vectorielle, composante par composante : $\vec{R}=(60+0\,;0+80)=(60\,;80)$. C'est le principe fondamental de ce type de problème : des forces s'additionnent comme des vecteurs, pas comme des nombres, et la résultante ne vaut donc PAS $60+80=140$ N.

b) $\|\vec{R}\|=\sqrt{60^{2}+80^{2}}=\sqrt{3600+6400}=\sqrt{10000}=100$ N. On retrouve le triplet $3$-$4$-$5$ multiplié par $20$. L'orientation vaut $\theta=\arctan\frac{80}{60}=\arctan\frac{4}{3}\approx 53{,}13^{\circ}$ au nord de l'est, et le résultat est acceptable tel quel puisque les deux composantes sont positives, donc le vecteur est au premier quadrant. Contrôle de plausibilité, à faire systématiquement en physique : la résultante $100$ N est plus grande que chacune des deux forces mais plus petite que leur somme $140$ N, ce qui est toujours le cas pour deux forces non colinéaires ✓. Et l'angle dépasse $45^{\circ}$, ce qui est cohérent avec une composante nord plus grande que la composante est.

c) L'équilibrant est la force qui, ajoutée aux deux autres, annule le total : c'est donc l'OPPOSÉ de la résultante, $\vec{E}=-\vec{R}=(-60\,;-80)$. Son intensité est la même, $100$ N, car un vecteur et son opposé ont la même norme. Sa direction est le sud-ouest, plus précisément à $53{,}13^{\circ}$ au sud de l'ouest. Vérification : $\vec{F_{1}}+\vec{F_{2}}+\vec{E}=(60+0-60\,;0+80-80)=(0\,;0)=\vec{0}$ ✓, l'anneau reste immobile. Ne confondez pas résultante et équilibrant : la première décrit ce que font les forces présentes, le second ce qu'il faudrait ajouter pour les neutraliser.

d) $\vec{F_{1}}\cdot\vec{R}=60\times 60+0\times 80=3600$. Les normes valent $60$ et $100$, donc $\cos\theta=\frac{3600}{60\times 100}=\frac{3600}{6000}=0{,}6$, d'où $\theta\approx 53{,}13^{\circ}$. Ce résultat coïncide exactement avec l'orientation trouvée en b), et ce n'était pas un hasard : $\vec{F_{1}}$ est dirigée plein est, c'est-à-dire le long de l'axe des $x$, donc l'angle entre elle et $\vec{R}$ EST par définition l'orientation de $\vec{R}$ ✓. Deux méthodes indépendantes, l'arctangente et le produit scalaire, donnent la même valeur, ce qui valide l'ensemble du problème.

a) La vitesse par rapport au sol est la somme de la vitesse propre et de celle du courant : $\vec{V}=\vec{m}+\vec{c}=(12+3\,;0+4)=(15\,;4)$ km/h. Sa norme est $\|\vec{V}\|=\sqrt{15^{2}+4^{2}}=\sqrt{225+16}=\sqrt{241}\approx 15{,}52$ km/h. Contrôle : la vitesse réelle dépasse les $12$ km/h du moteur seul mais reste sous les $12+5=17$ km/h qu'on obtiendrait si le courant était exactement dans l'axe ✓, la norme du courant valant $\sqrt{9+16}=5$ km/h.

b) $\theta=\arctan\frac{4}{15}\approx 14{,}93^{\circ}$ au nord de l'est. Les deux composantes étant positives, le vecteur est au premier quadrant et l'arctangente est directement exploitable. Interprétation : le bateau ne va PAS dans la direction où pointe son moteur. Bien qu'il soit orienté plein est, il dérive vers le nord d'environ $15^{\circ}$, à cause de la composante nord du courant. C'est le phénomène de dérive, et il explique pourquoi un pilote doit corriger son cap pour atteindre un point précis sur l'autre rive.

c) Le déplacement est la vitesse multipliée par la durée, ce qui se fait composante par composante : $\vec{d}=2\vec{V}=(30\,;8)$ km. La distance parcourue est $\|\vec{d}\|=\sqrt{30^{2}+8^{2}}=\sqrt{900+64}=\sqrt{964}\approx 31{,}05$ km. Contrôle : cette valeur doit être exactement le double de la vitesse, $2\times 15{,}52=31{,}05$ ✓, puisque multiplier un vecteur par $2$ double sa norme. On aurait donc pu répondre sans refaire de racine carrée.

d) $\vec{V}\cdot\vec{c}=15\times 3+4\times 4=45+16=61>0$. Un produit scalaire positif signifie un angle AIGU entre le déplacement réel et le courant, donc le courant possède une composante dans le sens du mouvement : il AIDE. Précisons le bilan, car l'énoncé porte sur l'avancée vers l'est : la composante est du courant vaut $+3$ km/h, elle ajoute donc directement $3$ km/h à la progression vers l'est, qui passe de $12$ à $15$ km/h. Le courant est donc doublement favorable en vitesse, mais il détourne le cap vers le nord, ce qui peut être un inconvénient si la destination est plein est. Un contre-exemple éclaire le rôle du signe : avec un courant $(-3\,;4)$, le produit scalaire vaudrait $15\times(-3)+4\times 4=-45+16=-29<0$, et le courant freinerait l'avancée.

a) Dans un parallélogramme, les côtés opposés portent des vecteurs ÉGAUX, donc $\vec{BC}=\vec{AD}=\vec{w}$. Par Chasles, la première diagonale vaut $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{u}+\vec{w}$. Pour la seconde, on part de $D$ et l'on passe par $A$ : $\vec{DB}=\vec{DA}+\vec{AB}=-\vec{w}+\vec{u}=\vec{u}-\vec{w}$, en notant que $\vec{DA}$ est l'opposé de $\vec{AD}$. Retenez la structure, elle vaut pour tout parallélogramme : une diagonale est la SOMME des deux côtés, l'autre est leur DIFFÉRENCE.

b) On développe le produit scalaire comme un produit remarquable, ce qui est licite car le produit scalaire est distributif : $\vec{AC}\cdot\vec{DB}=(\vec{u}+\vec{w})\cdot(\vec{u}-\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot\vec{w}$. Les deux termes croisés sont opposés et s'annulent, parce que le produit scalaire est COMMUTATIF, $\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{w}\cdot\vec{u}$. Il reste $\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot\vec{w}=\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{w}\|^{2}$, en utilisant que le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est le carré de sa norme. On reconnaît l'identité $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ transposée aux vecteurs.

c) La propriété caractéristique du losange est que ses quatre côtés ont la même longueur, donc $\|\vec{u}\|=\|\vec{w}\|$, et par conséquent $\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{w}\|^{2}=0$. Ainsi $\vec{AC}\cdot\vec{DB}=0$, et un produit scalaire nul entre deux vecteurs non nuls signifie qu'ils sont PERPENDICULAIRES : les diagonales d'un losange se coupent à angle droit. Ce qu'il faut mesurer, c'est la portée de cette démonstration : elle n'utilise aucune coordonnée, aucun angle, aucune figure particulière, et elle vaut donc pour TOUT losange. C'est précisément la force du calcul vectoriel, transformer une propriété géométrique en une identité algébrique de trois lignes.

d) Sur le cas particulier du schéma : $\vec{AC}=(7-0\,;7-0)=(7\,;7)$ et $\vec{DB}=(4-3\,;3-4)=(1\,;-1)$. Produit scalaire : $7\times 1+7\times(-1)=7-7=0$ ✓. On vérifie aussi que la figure est bien un losange, sans quoi la conclusion ne s'appliquerait pas : $\|\vec{u}\|=\|(4\,;3)\|=5$ et $\|\vec{w}\|=\|(3\,;4)\|=5$, les côtés sont bien égaux ✓. Notez que la réciproque est également vraie et se démontre de la même façon : si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires, alors $\|\vec{u}\|^{2}=\|\vec{w}\|^{2}$, donc les côtés sont égaux et c'est un losange.