Physique, secondaire 5 • Cinématique

Exercices corrigés : le mouvement des projectiles (physique, secondaire 5)

Cette série d'exercices corrigés de physique de secondaire 5 porte sur le mouvement des projectiles, le chapitre où la cinématique rencontre la trigonométrie. Chaque exercice demande de décomposer une vitesse en composantes avec sinus et cosinus, de traiter l'horizontale en MRU et la verticale en MRUA, puis de recomposer le vecteur final avec Pythagore et la tangente. C'est le niveau réel des évaluations de secondaire 5 à Montréal.

Commencez chaque exercice par un schéma avec les axes, l'angle de lancement et les deux composantes de la vitesse. Un projectile se traite toujours en deux problèmes séparés qui partagent le même temps.

Rappel de cours

• Décomposition de la vitesse initiale lancée à l'angle $\theta$ : $v_{x}=v_{0}\cos\theta$ (constante, MRU) et $v_{y}=v_{0}\sin\theta$ (MRUA avec $a=-g$ ).
• Verticale : $v_{y}(t)=v_{0}\sin\theta-g\,t$ et $y(t)=y_{0}+v_{0}\sin\theta\,t-\frac{1}{2}g\,t^{2}$ , avec $g=9{,}8$ m/s².
• Au sommet de la trajectoire : $v_{y}=0$ (mais $v_{x}$ n'est jamais nulle).
• Recomposition du vecteur vitesse : grandeur $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ , direction $\tan\alpha=\dfrac{|v_{y}|}{v_{x}}$ .
• Sur sol horizontal, portée $R=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$ : maximale à 45°, et deux angles complémentaires ( $\theta$ et $90^{\circ}-\theta$ ) donnent la même portée.

Exercice 1 : Chute d'une table : lancement horizontal

Une bille roule sur une table de 1,225 m de haut et la quitte horizontalement à 4,0 m/s. On prend $g=9{,}8$ m/s² et on néglige la résistance de l'air.

a) Combien de temps la bille met-elle pour toucher le sol ? (La composante verticale part de zéro.)
b) À quelle distance horizontale du bord de la table atterrit-elle ?
c) Calculez la composante verticale de la vitesse à l'impact.
d) Calculez la grandeur de la vitesse à l'impact et l'angle qu'elle fait avec l'horizontale (sous l'horizontale).

Voir la correction

a) Verticalement : $h=\frac{1}{2}g\,t^{2}$ , donc $t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\times 1{,}225}{9{,}8}}=\sqrt{0{,}25}=0{,}50$ s.

b) Horizontalement, MRU : $\Delta x=v_{x}\,t=4{,}0\times 0{,}50=2{,}0$ m.

c) $v_{y}=g\,t=9{,}8\times 0{,}50=4{,}9$ m/s (vers le bas).

d) $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{4{,}0^{2}+4{,}9^{2}}=\sqrt{40{,}0}\approx 6{,}3$ m/s. Direction : $\tan\alpha=\dfrac{4{,}9}{4{,}0}$ , donc $\alpha\approx 50{,}8^{\circ}$ sous l'horizontale.

Exercice 2 : Décomposition d'un tir à angle

Un ballon de soccer est botté du sol à 20 m/s, à un angle de 30° au-dessus de l'horizontale, sur un terrain horizontal.

a) Calculez les composantes horizontale et verticale de la vitesse initiale.
b) Calculez le temps de vol total (le ballon retombe au sol).
c) Calculez la portée du tir.
d) Calculez la hauteur maximale atteinte.

Voir la correction

a) $v_{x}=20\cos 30^{\circ}\approx 17{,}3$ m/s et $v_{y0}=20\sin 30^{\circ}=10$ m/s.

b) Le ballon retombe quand $v_{y}=-v_{y0}$ (symétrie) : $t=\dfrac{2v_{y0}}{g}=\dfrac{2\times 10}{9{,}8}\approx 2{,}04$ s.

c) $R=v_{x}\,t=17{,}32\times 2{,}041\approx 35{,}3$ m.

d) Au sommet, $v_{y}=0$ : $h_{max}=\dfrac{v_{y0}^{2}}{2g}=\dfrac{10^{2}}{2\times 9{,}8}\approx 5{,}10$ m.

Exercice 3 : Le vecteur vitesse pendant le vol

Un jet d'eau sort d'une lance d'incendie posée au sol à 25 m/s, à un angle de 40° au-dessus de l'horizontale.

a) Calculez les composantes initiales $v_{x}$ et $v_{y0}$ .
b) Calculez les deux composantes de la vitesse une seconde après le départ.
c) Déduisez la grandeur de la vitesse à cet instant et l'angle qu'elle fait avec l'horizontale. Comparez cet angle aux 40° du départ et expliquez la différence.
d) À quel instant le jet atteint-il le sommet de sa trajectoire ? Que vaut alors sa vitesse (grandeur et direction) ?

Voir la correction

a) $v_{x}=25\cos 40^{\circ}\approx 19{,}2$ m/s et $v_{y0}=25\sin 40^{\circ}\approx 16{,}1$ m/s.

b) $v_{x}$ ne change pas : 19,2 m/s. $v_{y}=v_{y0}-g\,t=16{,}07-9{,}8\times 1\approx 6{,}3$ m/s.

c) $v=\sqrt{19{,}15^{2}+6{,}27^{2}}\approx 20{,}2$ m/s, et $\tan\alpha=\dfrac{6{,}27}{19{,}15}$ donne $\alpha\approx 18{,}1^{\circ}$ . L'angle a diminué (18,1° au lieu de 40°) : la composante verticale fond sous l'effet de la gravité pendant que l'horizontale reste intacte, donc le vecteur vitesse s'incline vers l'horizontale en montant.

d) Au sommet, $v_{y}=0$ : $t=\dfrac{v_{y0}}{g}=\dfrac{16{,}07}{9{,}8}\approx 1{,}64$ s. La vitesse vaut alors $v=v_{x}\approx 19{,}2$ m/s, parfaitement horizontale.

Exercice 4 : Problème : tir depuis une falaise

Du haut d'une falaise de 29,4 m, on lance une balle à 9,8 m/s, à un angle de 30° au-dessus de l'horizontale. La balle retombe sur la plage, au pied de la falaise. La courbe ci-dessous montre la trajectoire.

a) Écrivez l'équation de la hauteur $y(t)$ et montrez que l'instant d'arrivée au sol vérifie $t^{2}-t-6=0$ .
b) Résolvez cette équation. Que représente chacune des deux racines ? Laquelle garde-t-on ?
c) À quelle distance du pied de la falaise la balle atterrit-elle ?
d) Calculez la vitesse de la balle à l'impact (grandeur et angle sous l'horizontale).

Voir la correction

a) $v_{y0}=9{,}8\sin 30^{\circ}=4{,}9$ m/s. $y(t)=29{,}4+4{,}9t-4{,}9t^{2}$ . Au sol, $y=0$ : en divisant par $-4{,}9$ , on obtient $t^{2}-t-6=0$ .

b) $t^{2}-t-6=(t-3)(t+2)=0$ : les racines sont $t=3$ et $t=-2$ . La racine négative correspond au passé (l'instant où la trajectoire prolongée vers l'arrière couperait le sol) ; on garde $t=3$ s.

c) $v_{x}=9{,}8\cos 30^{\circ}\approx 8{,}49$ m/s, donc $\Delta x=v_{x}\,t=8{,}487\times 3\approx 25{,}5$ m.

d) $v_{y}=4{,}9-9{,}8\times 3=-24{,}5$ m/s. $v=\sqrt{8{,}487^{2}+24{,}5^{2}}\approx 25{,}9$ m/s, avec $\tan\alpha=\dfrac{24{,}5}{8{,}487}$ , donc $\alpha\approx 70{,}9^{\circ}$ sous l'horizontale : la balle arrive presque à la verticale.

Exercice 5 : Problème : deux angles pour la même cible

Sur un terrain horizontal, une joueuse botte un ballon à $v_{0}=14$ m/s et veut le faire retomber exactement à 17,32 m ( $\approx 10\sqrt{3}$ m), là où se trouve sa coéquipière.

a) En combinant $t=\dfrac{2v_{0}\sin\theta}{g}$ et $R=v_{0}\cos\theta\times t$ , montrez que la portée s'écrit $R=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$ . (Identité utile : $2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)$ .)
b) Déterminez les DEUX angles de tir qui atteignent la cible. Quelle relation ces deux angles ont-ils entre eux ?
c) Pour chacun des deux angles, calculez le temps de vol. Quel tir choisir pour que le ballon arrive le plus vite ?
d) Quelle est la portée maximale possible avec cette vitesse, et à quel angle est-elle atteinte ?

Voir la correction

a) $R=v_{0}\cos\theta\times\dfrac{2v_{0}\sin\theta}{g}=\dfrac{v_{0}^{2}\times 2\sin\theta\cos\theta}{g}=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$ .

b) $\sin(2\theta)=\dfrac{R\,g}{v_{0}^{2}}=\dfrac{17{,}32\times 9{,}8}{14^{2}}\approx 0{,}866$ . Donc $2\theta=60^{\circ}$ ou $2\theta=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$ , c'est-à-dire $\theta=30^{\circ}$ ou $\theta=60^{\circ}$ . Les deux angles sont complémentaires (leur somme fait 90°).

c) $t_{30}=\dfrac{2\times 14\times\sin 30^{\circ}}{9{,}8}\approx 1{,}43$ s et $t_{60}=\dfrac{2\times 14\times\sin 60^{\circ}}{9{,}8}\approx 2{,}47$ s. Le tir tendu à 30° arrive nettement plus vite ; le tir en cloche à 60° passe plus haut et laisse le temps à la défense.

d) $R_{max}=\dfrac{v_{0}^{2}}{g}=\dfrac{196}{9{,}8}=20$ m, atteinte quand $\sin(2\theta)=1$ , donc à $\theta=45^{\circ}$ .

Vous préférez travailler sur papier ? Cette série existe aussi en version PDF imprimable, avec le corrigé complet. Écrivez-moi et je vous l'envoie.

Voir aussi

📝 Tous les exercices 🚗 Cinématique et MRUA ⚡ Physique 🏫 Secondaire québécois

Exercices corrigés : le mouvement des projectiles (physique, secondaire 5)

Rappel de cours

Exercice 1 : Chute d'une table : lancement horizontal

Exercice 2 : Décomposition d'un tir à angle

Exercice 3 : Le vecteur vitesse pendant le vol

Exercice 4 : Problème : tir depuis une falaise

Exercice 5 : Problème : deux angles pour la même cible

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