Exercices corrigés : forces à angle et équilibre (physique, secondaire 5)

a) $F_{x}=80\cos 35^{\circ}\approx 65{,}5$ N (horizontale) et $F_{y}=80\sin 35^{\circ}\approx 45{,}9$ N (verticale, vers le haut).

b) Les deux forces sont perpendiculaires : $F_{R}=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=\sqrt{2500}=50$ N (triangle 3-4-5).

c) $\tan\theta=\dfrac{40}{30}$, donc $\theta\approx 53{,}1^{\circ}$ au nord de l'est.

d) L'équilibrante annule la résultante : même grandeur, 50 N, mais direction opposée, soit 53,1° au sud de l'ouest.

a) Quatre forces : le poids $F_{g}=mg=196$ N vers le bas ; la normale $F_{N}$ vers le haut ; la tension à 30° (composantes $100\cos 30^{\circ}$ horizontale et $100\sin 30^{\circ}$ verticale) ; le frottement vers l'arrière. Verticalement, pas d'accélération : $F_{N}+100\sin 30^{\circ}-196=0$, donc $F_{N}=196-50=146$ N. La corde tire vers le haut et soulage le plancher : la normale est plus petite que le poids.

b) $F_{f}=\mu F_{N}=0{,}25\times 146=36{,}5$ N.

c) $F_{x}=100\cos 30^{\circ}\approx 86{,}6$ N. Résultante horizontale : $\Sigma F=86{,}6-36{,}5\approx 50{,}1$ N vers l'avant.

d) $a=\dfrac{\Sigma F}{m}=\dfrac{50{,}1}{20}\approx 2{,}5$ m/s².

Remarque : si on avait pris $F_{N}=mg=196$ N, le frottement aurait été surestimé (49 N au lieu de 36,5 N). C'est l'erreur classique de ce chapitre.

a) Trois forces : le poids $F_{g}=15\times 9{,}8=147$ N et les deux tensions le long des câbles. Par symétrie, les composantes horizontales des deux tensions, $T\cos 30^{\circ}$, sont égales et opposées : elles s'annulent.

b) Verticalement, les deux composantes $T\sin 30^{\circ}$ soutiennent le poids : $2T\sin 30^{\circ}=147$, donc $T=\dfrac{147}{2\times 0{,}5}=147$ N.

c) $T=\dfrac{147}{2\sin 10^{\circ}}\approx\dfrac{147}{0{,}347}\approx 423$ N : presque le triple, alors que le feu n'a pas changé.

d) $T=\dfrac{F_{g}}{2\sin\theta}$ : quand $\theta$ tend vers 0, $\sin\theta$ tend vers 0 et la tension tend vers l'infini. Un câble horizontal n'a aucune composante verticale pour porter le poids ; il faudrait une tension infinie, donc tout câble réel garde une flèche.

a) La perpendiculaire au plan fait, avec la verticale, le même angle que le plan avec l'horizontale : le plan est incliné de 25°, donc sa normale est inclinée de 25° par rapport à la verticale (on a tourné les deux directions du même angle). Le poids étant vertical, l'angle entre le poids et la normale au plan vaut donc 25°. (Autre chemin : dans le triangle formé par l'horizontale, le plan et la verticale, les angles 25° et 65° sont complémentaires.)

b) $F_{g}=8{,}0\times 9{,}8=78{,}4$ N. Composante parallèle : $F_{g}\sin 25^{\circ}\approx 33{,}1$ N ; composante perpendiculaire : $F_{g}\cos 25^{\circ}\approx 71{,}1$ N. Sans frottement, la normale équilibre la composante perpendiculaire : $F_{N}\approx 71{,}1$ N.

c) $a=\dfrac{F_{g}\sin 25^{\circ}}{m}=\dfrac{mg\sin 25^{\circ}}{m}=g\sin 25^{\circ}\approx 4{,}1$ m/s². La masse se simplifie : tous les blocs glissent avec la même accélération sur un même plan sans frottement.

d) $g\sin\theta=\dfrac{g}{4}$ exige $\sin\theta=0{,}25$, donc $\theta\approx 14{,}5^{\circ}$.

a) Le poids $F_{g}$ (vertical) et la tension $T$ (le long des chaînes, à 25° de la verticale). La chaise tourne : son vecteur vitesse change de direction, elle est donc accélérée vers le centre du cercle. La résultante n'est pas nulle, elle est horizontale et pointe vers le centre : c'est la force centripète.

b) Verticalement, la chaise ne monte ni ne descend : $T\cos 25^{\circ}=F_{g}=50\times 9{,}8=490$ N, donc $T=\dfrac{490}{\cos 25^{\circ}}\approx 541$ N.

c) Horizontalement : $F_{c}=T\sin 25^{\circ}\approx 540{,}7\times 0{,}423\approx 228$ N. Vérification : $\dfrac{F_{c}}{F_{g}}=\dfrac{T\sin 25^{\circ}}{T\cos 25^{\circ}}=\tan 25^{\circ}\approx 0{,}466$, et $\dfrac{228{,}5}{490}\approx 0{,}466$ : cohérent.

d) Le rayon est la projection horizontale des chaînes : $r=3{,}0\sin 25^{\circ}\approx 1{,}27$ m. De $F_{c}=\dfrac{mv^{2}}{r}$ : $v=\sqrt{\dfrac{F_{c}\,r}{m}}=\sqrt{\dfrac{228{,}5\times 1{,}268}{50}}\approx 2{,}4$ m/s.