Exercices corrigés : énergie, pendules et plans inclinés (physique, secondaire 5)

$W=F\,\Delta x\cos\theta=50\times 30\times\cos 40^{\circ}\approx 1149$ J.

Le poids est vertical et le déplacement horizontal : l'angle entre les deux vaut 90°, et $\cos 90^{\circ}=0$. Le travail du poids est nul.

Le frottement pointe à 180° du déplacement : $W_{f}=20\times 30\times\cos 180^{\circ}=-600$ J. Il retire de l'énergie au système.

Composante horizontale de la traction : $50\cos 40^{\circ}\approx 38{,}3$ N, contre 20 N de frottement. La résultante horizontale n'est pas nulle : en réalité la valise accélère. Le surplus de travail ($1149-600=549$ J) devient de l'énergie cinétique.

Quand le fil fait l'angle $\theta$ avec la verticale, la bille se trouve à une distance verticale $L\cos\theta$ SOUS le point d'attache (côté adjacent du triangle rectangle). Au point le plus bas, elle est à $L$ sous ce point. Elle est donc remontée de $h=L-L\cos\theta=L(1-\cos\theta)$.

$h=2{,}0\times(1-\cos 35^{\circ})=2{,}0\times(1-0{,}819)\approx 0{,}36$ m.

$E_{p}=mgh=1{,}2\times 9{,}8\times 0{,}362\approx 4{,}25$ J.

Conservation de l'énergie : $\frac{1}{2}mv^{2}=mgh$, donc $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9{,}8\times 0{,}362}\approx 2{,}7$ m/s. La masse se simplifie dans l'équation : la vitesse en bas ne dépend que de la hauteur de départ.

La bille décrit un arc de cercle : quand le fil fait l'angle $\theta$ avec la verticale, la bille se trouve à $L\cos\theta$ sous le point d'attache, donc elle est remontée de $h=L(1-\cos\theta)$ par rapport au point bas. Ici : $h=1{,}50(1-\cos 60°)=1{,}50(1-0{,}500)=0{,}750$ m. Énergie mécanique, en prenant le point bas comme référence : $E_{m}=mgh=(0{,}80)(9{,}8)(0{,}750)=5{,}88$ J.

Au point le plus bas, toute l'énergie est cinétique : $\frac{1}{2}mv^{2}=5{,}88$ J, donc $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2(9{,}8)(0{,}750)}=\sqrt{14{,}7}\approx 3{,}83$ m/s. La masse s'est simplifiée : une bille deux fois plus lourde passerait exactement aussi vite.

Au point le plus bas, deux forces s'exercent : la tension $T$ vers le haut, donc vers le centre du cercle, et le poids vers le bas. La bille tourne, donc la résultante doit être centripète : $T-mg=\frac{mv^{2}}{L}$. Ainsi $T=mg+\frac{mv^{2}}{L}=(0{,}80)(9{,}8)+\frac{(0{,}80)(14{,}7)}{1{,}50}=7{,}84+7{,}84=15{,}7$ N. Le fil supporte donc DEUX fois le poids de la bille au passage par le bas : dimensionner un fil sur le seul poids statique serait une erreur.

En combinant $v^{2}=2gL(1-\cos\theta_{0})$ avec $T=mg+\frac{mv^{2}}{L}$ : $T=mg+2mg(1-\cos\theta_{0})=mg(3-2\cos\theta_{0})$. Vérification à 60° : $T=mg(3-1)=2mg=15{,}7$ N, conforme au c). À 90° : $\cos 90°=0$, donc $T=3mg=(3)(7{,}84)\approx 23{,}5$ N, le triple du poids. À l'instant du LÂCHER, en revanche, la vitesse est nulle : il n'y a aucune force centripète à fournir, et le fil n'équilibre que la composante RADIALE du poids, soit $T=mg\cos\theta_{0}=(7{,}84)(0{,}500)=3{,}92$ N, soit la moitié du poids. La tension varie donc d'un facteur quatre au cours d'une seule oscillation, de 3,92 N à 15,7 N.

À 30° : $h'=1{,}50(1-\cos 30°)=1{,}50(1-0{,}866)=0{,}201$ m. La bille a donc perdu $0{,}750-0{,}201=0{,}549$ m de hauteur depuis le lâcher : $v=\sqrt{2(9{,}8)(0{,}549)}\approx 3{,}28$ m/s. La période, elle, ne dépend PAS de la masse, pour la même raison qu'au b) : la force de rappel est le poids lui-même, et la masse se simplifie entre la cause et l'inertie. Elle ne dépend pas non plus de l'amplitude, MAIS seulement tant que celle-ci reste petite : la formule $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ suppose $\sin\theta\approx\theta$, ce qui cesse d'être vrai aux grands angles. À 60° comme ici, la période réelle dépasse déjà la valeur théorique d'environ 7 %.

$h=L\sin\theta=80\times\sin 12^{\circ}\approx 16{,}6$ m, donc $E_{p}=mgh=60\times 9{,}8\times 16{,}63\approx 9780$ J.

$F_{N}=mg\cos 12^{\circ}=588\times 0{,}978\approx 575$ N, donc $F_{f}=\mu F_{N}\approx 57{,}5$ N et $W_{f}=57{,}5\times 80\approx 4601$ J.

$E_{k}=E_{p}-W_{f}=9780-4601\approx 5179$ J, donc $v=\sqrt{\dfrac{2E_{k}}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times 5179}{60}}\approx 13{,}1$ m/s (environ 47 km/h).

Sans frottement : $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9{,}8\times 16{,}63}\approx 18{,}1$ m/s. Le frottement retire presque la moitié de l'énergie et réduit la vitesse d'environ 5 m/s.

$W=mgh=(70)(9{,}8)(12{,}0)=8232$ J. Puissance : $P=\frac{W}{\Delta t}=\frac{8232}{15}\approx 549$ W. C'est plus de NEUF fois la puissance d'une ampoule de 60 W, et cela pendant quinze secondes seulement. Un corps humain est une machine étonnamment puissante sur de courtes durées, ce que masque le fait qu'il ne peut pas le rester longtemps.

À vitesse constante, toute la puissance sert à gagner de l'altitude : $P=mgv\sin\theta$, avec $\sin\theta\approx 0{,}060$ pour une pente à 6 %. D'où $v=\frac{P}{mg\sin\theta}=\frac{250}{(80)(9{,}8)(0{,}060)}=\frac{250}{47{,}0}\approx 5{,}3$ m/s, soit environ 19 km/h. La formule dit tout : à puissance donnée, la vitesse en côte est inversement proportionnelle à la masse totale ET à la pente, ce qui explique l'obsession des cyclistes pour le poids de leur machine dès que la route s'élève.

Un rendement de 25 % signifie que seul un quart de l'énergie chimique consommée devient travail mécanique : $P_{métabolique}=\frac{250}{0{,}25}=1{,}0\times 10^{3}$ W. La différence, $1000-250=750$ W, est dissipée en CHALEUR. C'est trois fois plus que la puissance utile, et c'est considérable : un corps humain qui produit 750 W de chaleur en continu doit l'évacuer, essentiellement par l'évaporation de la sueur. D'où la déshydratation rapide, et d'où le fait qu'un effort soutenu devient beaucoup plus difficile par temps chaud et humide, quand l'évaporation ralentit.

$\frac{8232}{4184}\approx 1{,}97$ kcal, soit à peine deux kilocalories pour quatre étages. Il faudrait donc les monter $\frac{250}{1{,}97}\approx 127$ fois pour brûler l'équivalent d'une barre de chocolat, sans même tenir compte du fait qu'une partie de cette dépense aurait eu lieu de toute façon. Le calcul est brutal mais instructif : l'énergie chimique des aliments est extraordinairement dense comparée au travail mécanique que le corps peut produire, et c'est arithmétiquement, et non par manque de volonté, que l'exercice seul fait maigrir si lentement.

L'écart entre 1000 W pendant quelques secondes et 200 W pendant une heure traduit l'existence de plusieurs filières énergétiques dans le muscle : les réserves immédiatement disponibles se vident en quelques secondes, tandis que la production soutenue dépend du rythme auquel l'oxygène peut être apporté et le carburant oxydé. La personne du a) développe 549 W, soit près du triple de ce qu'un humain entraîné soutient une heure durant : elle peut le faire quinze secondes, mais devrait ralentir de moitié au moins pour continuer. C'est exactement pourquoi on grimpe un escalier vite au début et beaucoup plus lentement au dixième étage, et pourquoi les épreuves sportives se classent d'abord par leur DURÉE.

Pendant la montée, le bloc se déplace vers le haut, donc le frottement s'oppose au mouvement et pointe vers le BAS de la pente : il s'ajoute à la composante du poids. Décélération : $a=g(\sin\theta+\mu\cos\theta)=9{,}8(0{,}4226+(0{,}30)(0{,}9063))=9{,}8(0{,}6945)\approx 6{,}81$ m/s². Distance : $d=\frac{v_{i}^{2}}{2a}=\frac{64}{2(6{,}806)}\approx 4{,}70$ m.

Le bloc redescend si la composante du poids le long de la pente dépasse le frottement statique maximal, c'est-à-dire si $\tan\theta>\mu$. Ici $\tan 25°=0{,}466$, nettement supérieur à 0,30 : le bloc REPART vers le bas. Si l'on avait eu, disons, $\mu=0{,}60$, il serait resté collé là où il s'est arrêté, et toute l'énergie initiale aurait été convertie, pour partie en chaleur, pour partie en énergie potentielle définitivement acquise.

Pendant la descente, le mouvement change de sens, donc le frottement aussi : il pointe maintenant vers le HAUT et s'oppose au poids. $a=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)=9{,}8(0{,}4226-0{,}2719)=9{,}8(0{,}1507)\approx 1{,}48$ m/s². Vitesse au retour : $v=\sqrt{2ad}=\sqrt{2(1{,}477)(4{,}702)}\approx 3{,}73$ m/s. Le bloc revient donc à son point de départ à moins de la moitié de sa vitesse initiale.

$\frac{E_{k,retour}}{E_{k,initial}}=\left(\frac{3{,}727}{8{,}0}\right)^{2}\approx 0{,}217$ : il ne reste que 22 % de l'énergie, 78 % ayant été dissipés en chaleur. Par l'énergie directement : le bloc revient à la même hauteur, donc l'énergie potentielle n'a rien retenu au bilan; toute la perte vient du frottement, qui a travaillé sur la MÊME distance $d$ à l'aller et au retour, soit $2\mu mg\cos\theta\,d$ au total. On écrit $\frac{1}{2}mv_{f}^{2}=\frac{1}{2}mv_{i}^{2}-2\mu mg d\cos\theta$, ce qui donne directement $v_{f}$ sans jamais calculer d'accélération.

De la montée, $\frac{1}{2}v_{i}^{2}=g d(\sin\theta+\mu\cos\theta)$; de la descente, $\frac{1}{2}v_{f}^{2}=g d(\sin\theta-\mu\cos\theta)$. En divisant : $\frac{v_{f}^{2}}{v_{i}^{2}}=\frac{\sin\theta-\mu\cos\theta}{\sin\theta+\mu\cos\theta}$, c'est-à-dire exactement le rapport des énergies cinétiques, ici $\frac{0{,}1507}{0{,}6945}\approx 0{,}217$, conforme au d). Sans frottement, $\mu=0$ et le rapport vaut 1 : le bloc revient à sa vitesse initiale, comme le veut la conservation de l'énergie mécanique. À la limite du blocage, $\mu=\tan\theta$, le numérateur s'annule et le rapport tombe à zéro : le bloc ne revient pas du tout, ce qui est bien le cas physique du b). Entre les deux, la formule interpole continûment, et l'on voit qu'elle ne dépend NI de la masse, NI de la vitesse initiale : c'est une propriété de la pente seule.

Vitesse constante : accélération nulle, donc force résultante nulle. Le long de la pente : $F_{treuil}=mg\sin 30^{\circ}+F_{f}$ (la traction équilibre la composante du poids et le frottement).

$mg\sin 30^{\circ}=300\times 9{,}8\times 0{,}5=1470$ N ; $F_{f}=\mu mg\cos 30^{\circ}=0{,}10\times 2940\times 0{,}866\approx 255$ N. Donc $F_{treuil}\approx 1725$ N.

$P=Fv=1724{,}6\times 2{,}0\approx 3449$ W, environ 3,4 kW.

$W=F\,\Delta x=1724{,}6\times 20\approx 34\ 490$ J. Dénivelé : $h=20\sin 30^{\circ}=10$ m, donc $E_{p}=mgh=300\times 9{,}8\times 10=29\ 400$ J. Fraction utile : $\dfrac{29\ 400}{34\ 490}\approx 85$ % ; le reste (environ 15 %) est dissipé par le frottement.

Sans frottement, toute l'énergie potentielle devient cinétique : $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2(9{,}8)(25{,}0)}=\sqrt{490}\approx 22{,}1$ m/s. C'est la vitesse maximale théoriquement possible au bas de cette colline, quelle que soit la forme du parcours, pourvu qu'il descende bien de 25 m.

Énergie initiale : $E_{p}=mgh=(400)(9{,}8)(25{,}0)=9{,}80\times 10^{4}$ J. Énergie cinétique réelle en bas : $\frac{1}{2}(400)(18{,}0)^{2}=6{,}48\times 10^{4}$ J. Perte : $9{,}80\times 10^{4}-6{,}48\times 10^{4}=3{,}32\times 10^{4}$ J, soit une fraction de $\frac{33200}{98000}\approx 0{,}339$, environ 34 % de l'énergie de départ, convertie en chaleur dans les roues, les rails et l'air.

L'énergie dissipée par le frottement vaut $W_{f}=F_{f}\,d$ le long de la piste : $F_{f}=\frac{33200}{60{,}0}\approx 5{,}53\times 10^{2}$ N. C'est une valeur moyenne, puisque la force réelle varie avec la vitesse et la courbure, mais elle suffit à dimensionner un parcours.

Sans frottement à la remontée, toute l'énergie cinétique disponible peut redevenir potentielle : $h_{2}=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{324}{19{,}6}\approx 16{,}5$ m. La deuxième colline doit donc rester en dessous de 16,5 m, et il faut même prévoir une marge, car un wagon qui arrive au sommet avec une vitesse nulle s'y arrête. Si le frottement était comparable sur la remontée, il faudrait retrancher encore une fraction du même ordre, ce qui ramènerait la hauteur franchissable autour de 11 m.

Parce que l'énergie ne peut que DIMINUER une fois le treuil relâché. Chaque colline coûte de l'énergie potentielle qu'il faut avoir déjà en réserve, et chaque mètre de piste en prélève encore un peu en frottement : la hauteur accessible ne fait donc que décroître le long du parcours, et la première colline, celle où le treuil a déposé toute l'énergie du trajet, est nécessairement la plus haute. C'est aussi pourquoi aucun moteur n'est nécessaire ensuite : le treuil a versé d'un coup, sous forme d'énergie potentielle, la totalité de ce que le train dépensera pendant deux minutes. Une montagne russe est un pur exercice de conversion d'énergie, et sa conception consiste à en dépenser juste assez, jamais trop.

$h=L(1-\cos\theta)=12\times(1-\cos 40^{\circ})=12\times 0{,}234\approx 2{,}81$ m, donc $E_{p}=mgh=500\times 9{,}8\times 2{,}807\approx 13\ 757$ J.

$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9{,}8\times 2{,}807}\approx 7{,}4$ m/s.

$v=\sqrt{2gh}$ donne $h=\dfrac{v^{2}}{2g}$ : la hauteur est proportionnelle au CARRÉ de la vitesse. Doubler $v$ multiplie $v^{2}$ par 4, donc il faut $h'=4h\approx 11{,}23$ m.

$L(1-\cos\theta')=11{,}23$ exige $\cos\theta'=1-\dfrac{11{,}23}{12}\approx 0{,}064$, donc $\theta'\approx 86{,}3^{\circ}$ : il faudrait hisser le boulet presque à l'horizontale, à la hauteur du point d'attache. Doubler la vitesse d'impact demande une manœuvre extrême, alors que le premier écart de 40° était modeste : c'est l'effet du carré dans la relation énergie-vitesse.

$\frac{1}{2}mv^{2}=mgh$ donne $h=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{81}{19{,}6}\approx 4{,}13$ m. La masse s'est simplifiée : un perchiste léger et un perchiste lourd courant à la même vitesse peuvent en principe monter à la même hauteur, ce qui explique que la morphologie compte moins que la VITESSE d'élan.

Le centre de masse part de 1,0 m et monte de 4,13 m : il culmine donc vers 5,1 m. C'est déjà remarquable, et cela suffirait à franchir une barre placée à cette hauteur.

Il manque $6{,}2-5{,}1\approx 1{,}1$ m. Le travail supplémentaire vaut $W=mg\Delta h=(75)(9{,}8)(1{,}05)\approx 7{,}7\times 10^{2}$ J. L'athlète le fournit en poussant sur la perche avec les bras et en se renversant, exactement au moment où la perche se détend : ce n'est pas de l'énergie récupérée, c'est un travail musculaire supplémentaire, produit dans une position très défavorable, et c'est là que se joue la différence entre un bon perchiste et un recordman.

L'énergie fixe la hauteur du CENTRE DE MASSE, pas celle du corps. Dans le rouleau dorsal, l'athlète franchit la barre plié en arc, les jambes et la tête sous le niveau de la barre à l'instant où le bassin la survole. Son centre de masse, qui se trouve alors approximativement dans le creux de cet arc, peut ainsi passer EN DESSOUS de la barre pendant que chaque partie du corps, tour à tour, passe au-dessus. Aucune loi n'est violée : on a simplement réarrangé le corps autour d'un centre de masse dont la trajectoire, elle, reste une parabole ordinaire.

Une perche rigide ne stocke rien : au moment du planter, une grande partie de l'énergie cinétique horizontale est perdue en choc, et seule la composante compatible avec la rotation autour du point d'appui est utilisée. Une perche en fibre de verre se DÉFORME : elle emmagasine l'énergie de la course sous forme d'énergie potentielle élastique, exactement comme un ressort, puis la restitue en se détendant au moment où l'athlète est déjà en train de monter. La conversion course vers hauteur devient beaucoup plus efficace, et l'athlète dispose en outre du temps de la détente pour ajouter son propre travail musculaire. Le gain a été spectaculaire : les records sont passés d'environ 4,8 m avec le bambou à plus de 6 m avec la fibre, sans que les athlètes courent notablement plus vite.