Exercices corrigés : réfraction avancée et géométrie des angles (physique, secondaire 5)

a) La normale est perpendiculaire à la surface. Le rayon fait 32° avec la surface, donc il fait $\theta_{1}=90^{\circ}-32^{\circ}=58^{\circ}$ avec la normale : les deux angles sont complémentaires dans la figure.

b) $\sin\theta_{2}=\dfrac{n_{1}\sin\theta_{1}}{n_{2}}=\dfrac{1{,}00\times\sin 58^{\circ}}{1{,}33}\approx 0{,}638$, donc $\theta_{2}\approx 39{,}6^{\circ}$.

c) L'angle avec la surface est le complémentaire de l'angle avec la normale : $90^{\circ}-39{,}6^{\circ}=50{,}4^{\circ}$.

d) Le prolongement du rayon incident fait 58° avec la normale, le rayon réfracté en fait 39,6° du même côté : la déviation vaut $\delta=\theta_{1}-\theta_{2}=58^{\circ}-39{,}6^{\circ}=18{,}4^{\circ}$.

a) $\sin\theta_{2}=\dfrac{1{,}00\times\sin 50^{\circ}}{1{,}50}\approx 0{,}511$, donc $\theta_{2}\approx 30{,}7^{\circ}$.

b) Le rayon intérieur coupe deux normales parallèles : les angles qu'il fait avec chacune sont alternes-internes, donc égaux. L'angle d'incidence sur la deuxième face vaut $\theta_{2}$. Snell-Descartes à la sortie : $1{,}50\times\sin\theta_{2}=1{,}00\times\sin\theta_{3}$, donc $\sin\theta_{3}=\sin 50^{\circ}$ et $\theta_{3}=50^{\circ}=\theta_{1}$. Le rayon émergent est parallèle au rayon incident.

c) Dans le triangle rectangle, l'épaisseur $e=6{,}0$ cm est le côté adjacent à $\theta_{2}$ et $L$ est l'hypoténuse : $\cos\theta_{2}=\dfrac{e}{L}$, donc $L=\dfrac{6{,}0}{\cos 30{,}7^{\circ}}\approx 7{,}0$ cm.

d) $d=L\sin(\theta_{1}-\theta_{2})=6{,}98\times\sin(50^{\circ}-30{,}7^{\circ})\approx 6{,}98\times 0{,}330\approx 2{,}3$ cm.

a) Chaque normale est perpendiculaire à sa face. Dans le triangle formé par le rayon intérieur et les deux normales, les angles à la base valent $90^{\circ}-r$ et $90^{\circ}-r'$, et l'angle au troisième sommet vaut $180^{\circ}-A$ (les normales se coupent sous cet angle, car les faces se coupent sous l'angle $A$). Somme des angles : $(90^{\circ}-r)+(90^{\circ}-r')+(180^{\circ}-A)=180^{\circ}$, d'où $r+r'=A$.

b) $\sin r=\dfrac{\sin 45^{\circ}}{1{,}50}\approx 0{,}471$, donc $r\approx 28{,}1^{\circ}$.

c) $r'=A-r=60^{\circ}-28{,}1^{\circ}=31{,}9^{\circ}$. Angle critique du verre : $\sin\theta_{c}=\dfrac{1}{1{,}50}$, donc $\theta_{c}\approx 41{,}8^{\circ}$. Comme $r'=31{,}9^{\circ}<41{,}8^{\circ}$, le rayon sort. À la sortie : $\sin\theta_{2}=1{,}50\times\sin 31{,}9^{\circ}\approx 0{,}792$, donc $\theta_{2}\approx 52{,}4^{\circ}$.

d) $D=\theta_{1}+\theta_{2}-A=45^{\circ}+52{,}4^{\circ}-60^{\circ}=37{,}4^{\circ}$.

a) $\sin\theta_{c}=\dfrac{1{,}00}{1{,}33}\approx 0{,}752$, donc $\theta_{c}\approx 48{,}8^{\circ}$.

b) La normale à la surface est verticale. Un rayon qui arrive à moins de $\theta_{c}$ de la verticale se réfracte et sort ; au-delà de $\theta_{c}$, il subit la réflexion totale interne et repart vers le fond. Les rayons limites forment un cône de demi-angle $\theta_{c}$ autour de la verticale passant par la lampe : ce cône coupe la surface selon un cercle.

c) Dans le triangle rectangle, la profondeur $d=2{,}0$ m est le côté adjacent à $\theta_{c}$ et $R$ le côté opposé : $\tan\theta_{c}=\dfrac{R}{d}$, donc $R=d\tan\theta_{c}=2{,}0\times\tan 48{,}8^{\circ}\approx 2{,}28$ m. Diamètre $\approx 4{,}56$ m.

d) $R=d\tan\theta_{c}$ est proportionnel à la profondeur ($\theta_{c}$ ne dépend que des indices, pas de la profondeur). Si $d$ double, $R$ double : le rayon passerait à environ 4,56 m.

a) $\sin\theta_{c}=\dfrac{1{,}00}{1{,}52}\approx 0{,}658$, donc $\theta_{c}\approx 41{,}1^{\circ}$.

b) À l'entrée, l'angle d'incidence est de 0° (rayon le long de la normale) : le rayon n'est pas dévié, il continue tout droit, parallèle à l'autre petite face. L'hypoténuse fait 45° avec sa face d'entrée, donc le rayon frappe l'hypoténuse sous 45° ; la normale à l'hypoténuse étant perpendiculaire à celle-ci, l'angle d'incidence par rapport à la normale vaut $90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$.

c) L'angle d'incidence sur l'hypoténuse (45°) dépasse l'angle critique (41,1°) : il y a réflexion totale interne. Par la loi de la réflexion, le rayon repart à 45° de l'autre côté de la normale, soit une déviation de 90° : il descend maintenant verticalement, ressort perpendiculairement par l'autre petite face (sans déviation à la sortie). Déviation totale : 90°.

d) Il faut $\theta_{c}\leq 45^{\circ}$, c'est-à-dire $\sin 45^{\circ}\geq\dfrac{1}{n}$, donc $n\geq\dfrac{1}{\sin 45^{\circ}}=\sqrt{2}\approx 1{,}41$. Tout verre d'indice supérieur à $\sqrt{2}$ convient, ce qui est le cas de presque tous les verres courants.