Exercices corrigés : la droite et le plan dans l'espace (201-NYC / Maths 105)

a) $\vec{u}=\vec{AB}=(3-1;\ 5-2;\ 1-(-1))=(2;\ 3;\ 2)$.

b) Équation vectorielle : $(x;\ y;\ z)=(1;\ 2;\ -1)+t(2;\ 3;\ 2)$. Équations paramétriques : $x=1+2t,\ y=2+3t,\ z=-1+2t$. Équations symétriques : $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z+1}{2}$.

c) Pour $P(5;\ 8;\ 3)$ : la première équation donne $5=1+2t$, soit $t=2$ ; on vérifie $y=2+3(2)=8$ et $z=-1+2(2)=3$. Les trois coordonnées concordent pour un même $t$, donc $P\in d$. Pour $Q(0;\ 0;\ 0)$ : $0=1+2t$ donne $t=-\tfrac{1}{2}$, mais alors $y=2+3(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}\neq 0$. Les coordonnées ne concordent pas, donc $Q\notin d$.

a) $\vec{PQ}=(2;\ 1;\ -1)$ et $\vec{PR}=(1;\ 2;\ 1)$ sont deux vecteurs directeurs du plan.

b) Un vecteur normal est $\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=((1)(1)-(-1)(2);\ (-1)(1)-(2)(1);\ (2)(2)-(1)(1))=(3;\ -3;\ 3)$. On peut simplifier en $\vec{n}=(1;\ -1;\ 1)$. Le plan passe par $P(1;\ 0;\ 2)$ : $1(x-1)-1(y-0)+1(z-2)=0$, soit $x-y+z-3=0$.

c) Pour $Q(3;\ 1;\ 1)$ : $3-1+1-3=0$ ; pour $R(2;\ 2;\ 3)$ : $2-2+3-3=0$. Les deux points satisfont l'équation. Pour $S(0;\ 0;\ 0)$ : $0-0+0-3=-3\neq 0$, donc $S\notin\pi$.

a) $\vec{u}\cdot\vec{n}=(2)(1)+(3)(-1)+(2)(1)=2-3+2=1\neq 0$, donc $d$ perce le plan en un point. On remplace les équations paramétriques de $d$ dans celle de $\pi$ : $(1+2t)-(2+3t)+(-1+2t)-3=0$, soit $-5+t=0$, d'où $t=5$. Le point d'intersection est $(1+10;\ 2+15;\ -1+10)=(11;\ 17;\ 9)$. Vérification : $11-17+9-3=0$.

b) Le vecteur directeur de $d_{2}$ est $\vec{v}=(1;\ 2;\ 1)$ et $\vec{v}\cdot\vec{n}=(1)(1)+(2)(-1)+(1)(1)=1-2+1=0$ : $d_{2}$ est donc parallèle à $\pi$. Reste à tester un point de $d_{2}$, par exemple $(0;\ 1;\ 0)$ : $0-1+0-3=-4\neq 0$, donc ce point n'est pas dans $\pi$. La droite $d_{2}$ est strictement parallèle à $\pi$ : elles n'ont aucun point commun.

a) $\text{dist}(S,\pi)=\dfrac{|4-1+5-3|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\dfrac{|5|}{\sqrt{3}}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\approx 2{,}89$.

b) $\vec{AS}=(4-1;\ 1-2;\ 5-(-1))=(3;\ -1;\ 6)$. On calcule $\vec{AS}\times\vec{u}=((-1)(2)-(6)(3);\ (6)(2)-(3)(2);\ (3)(3)-(-1)(2))=(-20;\ 6;\ 11)$, de norme $\sqrt{(-20)^{2}+6^{2}+11^{2}}=\sqrt{400+36+121}=\sqrt{557}$. Comme $\|\vec{u}\|=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}$, on obtient $\text{dist}(S,d)=\dfrac{\sqrt{557}}{\sqrt{17}}=\sqrt{\dfrac{557}{17}}\approx 5{,}72$.

c) Les deux plans ont le même vecteur normal $\vec{n}=(1;\ -1;\ 1)$, donc ils sont parallèles. En écrivant $\pi : x-y+z=3$ et $\pi_{2} : x-y+z=-1$, la distance entre eux vaut $\dfrac{|3-(-1)|}{\sqrt{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2{,}31$.

a) $\vec{u}\times\vec{v}=((2)(1)-(1)(-1);\ (1)(2)-(1)(1);\ (1)(-1)-(2)(2))=(3;\ 1;\ -5)$. Ce vecteur n'est pas nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.

b) $\vec{AC}=(0-1;\ 1-0;\ 2-0)=(-1;\ 1;\ 2)$. Le produit mixte vaut $\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=(-1)(3)+(1)(1)+(2)(-5)=-3+1-10=-12\neq 0$. Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires, donc les droites ne se rencontrent pas. N'étant ni parallèles ni sécantes, $d_{1}$ et $d_{2}$ sont gauches.

c) Le vecteur $\vec{u}\times\vec{v}$ est perpendiculaire à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ : c'est la direction de la perpendiculaire commune aux deux droites. La distance cherchée est la longueur de la projection du vecteur $\vec{AC}$ (qui relie un point de chaque droite) sur cette direction commune, soit $\dfrac{|\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}$. Numériquement : $\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{35}$, donc $\text{dist}=\dfrac{|-12|}{\sqrt{35}}=\dfrac{12}{\sqrt{35}}=\dfrac{12\sqrt{35}}{35}\approx 2{,}03$.

d) Avec $\vec{v_{m}}=(2;\ -1;\ m)$ : $\vec{u}\times\vec{v_{m}}=((2)(m)-(1)(-1);\ (1)(2)-(1)(m);\ (1)(-1)-(2)(2))=(2m+1;\ 2-m;\ -5)$. Le produit mixte devient $\vec{AC}\cdot(\vec{u}\times\vec{v_{m}})=(-1)(2m+1)+(1)(2-m)+(2)(-5)=-2m-1+2-m-10=-3m-9$. Les droites sont coplanaires lorsque ce produit mixte s'annule : $-3m-9=0$, donc $m=-3$.

a) On cherche des paramètres $t$ (drone 1) et $s$ (drone 2) donnant le même point : $\begin{cases} 1+2t=4+s \\ 2+t=6-2s \\ t=-1+3s \end{cases}$. La troisième équation donne $t=3s-1$ ; en la portant dans la première : $1+2(3s-1)=4+s$, soit $6s-1=4+s$, d'où $s=1$ et $t=2$. On vérifie la deuxième : $2+2=4$ et $6-2(1)=4$. Le système est compatible : les trajectoires se croisent. Le point commun est $\vec{r_{1}}(2)=(1+4;\ 2+2;\ 0+2)=(5;\ 4;\ 2)$, et l'on retrouve bien $\vec{r_{2}}(1)=(4+1;\ 6-2;\ -1+3)=(5;\ 4;\ 2)$.

b) Le drone 1 atteint le point $(5;\ 4;\ 2)$ à l'instant $t=2$ min, alors que le drone 2 y passe à l'instant $s=1$ min. Les instants sont différents, donc il n'y a PAS collision : les chemins se croisent dans l'espace, mais les drones n'y sont jamais en même temps. C'est la distinction essentielle du problème : deux trajectoires peuvent se couper sans qu'il y ait rencontre.

c) Les vecteurs directeurs sont $\vec{u_{1}}=(2;\ 1;\ 1)$ et $\vec{u_{2}}=(1;\ -2;\ 3)$. On a $\vec{u_{1}}\cdot\vec{u_{2}}=(2)(1)+(1)(-2)+(1)(3)=3$, $\|\vec{u_{1}}\|=\sqrt{6}$ et $\|\vec{u_{2}}\|=\sqrt{14}$. Donc $\cos\theta=\dfrac{|3|}{\sqrt{6}\sqrt{14}}=\dfrac{3}{\sqrt{84}}\approx 0{,}3273$, d'où $\theta\approx 70{,}9^{\circ}$.