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Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Exercices corrigés : les vecteurs dans l'espace et les trois produits (201-NYC / Maths 105)

Voici la série d'exercices corrigés d'algèbre linéaire et géométrie vectorielle (cours 201-NYC, aussi appelé Maths 105 selon le programme visé) sur les vecteurs dans l'espace. La partie A couvre les bases : composantes et norme dans R3\mathbb{R}^{3}, opérations et vecteur unitaire (exercice 1), produit scalaire, angle et projection orthogonale (exercice 2), produit vectoriel et aires (exercice 3), produit mixte et volumes (exercice 4), angles et cosinus directeurs (exercice 5). La partie B monte au niveau examen : l'identité de Lagrange et le critère de coplanarité (exercice 6), un tétraèdre complet où la hauteur se calcule de deux façons qui doivent concorder (exercice 7), la décomposition orthogonale et la distance d'un point à une droite (exercice 8), le double produit vectoriel et sa non-associativité (exercice 9), puis deux droites gauches classées et mesurées par le produit mixte (exercice 10). La partie C reprend les classiques : le cube en coordonnées, un parallélogramme de l'espace, la décomposition d'un vecteur par produits mixtes, l'angle tétraédrique du méthane et la puissance reçue par un panneau solaire incliné.

Les exercices 0.1 et 0.2 ouvrent la série par dix-huit calculs directs, comme dans les listes des manuels : normes, distances, produits scalaires, angles, cosinus directeurs et projections d'abord, puis produits vectoriels par le déterminant symbolique, aires, produits mixtes, volumes et coplanarité, chacun avec une valeur à trouver et vérifiée en direct.

Cette série s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature comme aux élèves de Première du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois de mathématiques. Un avertissement pour ceux qui viennent du programme français : le produit vectoriel et le produit mixte n'existent pas dans le programme de spécialité. Ce sont deux outils entièrement nouveaux, et ce sont eux qui font la différence sur l'évaluation.

Le réflexe à garder tout du long : le produit scalaire rend un nombre, le produit vectoriel rend un vecteur, le produit mixte rend un nombre. Avant d'écrire une ligne de calcul, demandez-vous ce que la question attend comme type de réponse. La moitié des erreurs d'examen vient de là. Les corrigés traitent aussi le produit vectoriel qu'on croit commutatif (exercice 3), le vecteur qui formerait 45∘45^{\circ} avec les trois axes (exercice 5) et le double produit qu'on croit associatif (exercice 9).

Série autocorrigée Tape tes réponses et vérifie-les question par question : la page te dit juste ou faux avant d'ouvrir la correction. Avec un compte, chaque bonne réponse du premier coup rapporte des points, et tes réponses justes restent remplies quand tu reviens.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC
Avant de commencer Fiche de révision : les pièges et la méthode de ce chapitre

Avant ce chapitre

Ces notions sont supposées acquises ici. Si le premier exercice résiste, le blocage vient presque toujours de l'une d'elles, pas du chapitre lui-même.

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
  2. 2Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4
  3. 3Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5
  4. 4Combinaisons linéaires, dépendance et bases

Rappel de cours

  • • Composantes d'un vecteur entre deux points de l'espace : AB⃗=(xB−xA; yB−yA; zB−zA)\vec{AB}=(x_{B}-x_{A};\ y_{B}-y_{A};\ z_{B}-z_{A}). Norme : ∥v⃗∥=a2+b2+c2\|\vec{v}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} pour v⃗=(a; b; c)\vec{v}=(a;\ b;\ c). Vecteur unitaire de même direction : v⃗∥v⃗∥\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
  • • Produit scalaire : u⃗⋅v⃗=a1a2+b1b2+c1c2=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta. C'est un NOMBRE. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0. Le signe donne la nature de l'angle : positif si aigu, nul si droit, négatif si obtus.
  • • Projection orthogonale de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v} : vecteur projeté  uv⃗=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2 v⃗\ \vec{u_{v}}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v} ; mesure algébrique =u⃗⋅v⃗∥v⃗∥=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
  • • Produit vectoriel : u⃗×v⃗=(b1c2−c1b2; c1a2−a1c2; a1b2−b1a2)\vec{u}\times\vec{v}=(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2};\ c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2};\ a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}). C'est un VECTEUR, orthogonal à la fois à u⃗\vec{u} et à v⃗\vec{v}. Il n'est pas commutatif : v⃗×u⃗=−(u⃗×v⃗)\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v}).
  • • Norme du produit vectoriel : ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta. C'est l'aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ; l'aire du triangle en est la moitié. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si u⃗×v⃗=0⃗\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}.
  • • Produit mixte : u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). C'est un NOMBRE. Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs ; le volume du tétraèdre correspondant en est le sixième. Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul.
  • • Plan passant par un point P(x0; y0; z0)P(x_{0};\ y_{0};\ z_{0}) et de vecteur normal n⃗=(a; b; c)\vec{n}=(a;\ b;\ c) : a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0. Distance d'un point SS à ce plan : d=∣axS+byS+czS+d0∣a2+b2+c2d=\dfrac{|ax_{S}+by_{S}+cz_{S}+d_{0}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

Calculs : normes, produits scalaires et angles

Exercice 0.1 : Calculer normes, produits scalaires et angles : dix calculs directs

Pour chaque ligne, calculez la quantité demandée à partir des composantes, dans un repère orthonormé de l'espace. Valeurs exactes quand elles sont entières ou fractionnaires, normes et composantes irrationnelles au millième (la distance de c) au centième), angles au dixième de degré.

Quatre formules suffisent : ∥u⃗∥=a2+b2+c2\|\vec{u}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, u⃗⋅v⃗=aa′+bb′+cc′\vec{u}\cdot\vec{v}=aa'+bb'+cc', cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}, et la projection de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v}, scalaire u⃗⋅v⃗∥v⃗∥\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|} ou vectorielle u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2 v⃗\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}. On calcule toujours le produit scalaire et les normes d'abord, on divise ensuite, et l'on ne passe à l'arc cosinus qu'à la toute fin, calculatrice en degrés.

  • a) Les composantes du vecteur AB⃗\vec{AB}, pour A(2; −3; 4)A(2;\ -3;\ 4) et B(−1; 5; 6)B(-1;\ 5;\ 6).
  • b) La norme de u⃗=(4; −7; 4)\vec{u}=(4;\ -7;\ 4).
  • c) La distance entre les points P(−1; 3; 2)P(-1;\ 3;\ 2) et Q(2; −1; 7)Q(2;\ -1;\ 7), en valeur exacte puis au centième.
  • d) Le produit scalaire de u⃗=(3; −2; 5)\vec{u}=(3;\ -2;\ 5) et v⃗=(−4; 1; 2)\vec{v}=(-4;\ 1;\ 2).
  • e) La valeur de kk pour laquelle u⃗=(k; 3; −2)\vec{u}=(k;\ 3;\ -2) et v⃗=(5; k; 6)\vec{v}=(5;\ k;\ 6) sont orthogonaux.
  • f) La norme de w⃗=(1; −2; 3)\vec{w}=(1;\ -2;\ 3), puis la troisième composante du vecteur unitaire de même sens que w⃗\vec{w}.
  • g) L'angle entre u⃗=(1; 2; −2)\vec{u}=(1;\ 2;\ -2) et v⃗=(3; 0; 4)\vec{v}=(3;\ 0;\ 4), au dixième de degré.
  • h) Le cosinus directeur cos⁡β\cos\beta du vecteur v⃗=(1; −4; 8)\vec{v}=(1;\ -4;\ 8), puis l'angle directeur β\beta qu'il forme avec l'axe OyOy.
  • i) La projection scalaire de u⃗=(5; 1; −2)\vec{u}=(5;\ 1;\ -2) sur v⃗=(2; −2; 1)\vec{v}=(2;\ -2;\ 1), c'est-à-dire la longueur signée de son ombre sur la direction de v⃗\vec{v}.
  • j) La première et la troisième composante du vecteur projeté de u⃗=(3; −1; 4)\vec{u}=(3;\ -1;\ 4) sur v⃗=(1; 1; 2)\vec{v}=(1;\ 1;\ 2).

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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
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Réponses

  • a) AB⃗=(−3; 8; 2)\vec{AB}=(-3;\ 8;\ 2)
  • b) ∥u⃗∥=81=9\|\vec{u}\|=\sqrt{81}=9
  • c) PQ=50=52≈7,07PQ=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07
  • d) u⃗⋅v⃗=−4\vec{u}\cdot\vec{v}=-4
  • e) 8k−12=08k-12=0 ; k=32k=\frac{3}{2}
  • f) ∥w⃗∥=14≈3,742\|\vec{w}\|=\sqrt{14}\approx 3{,}742 ; 314≈0,802\frac{3}{\sqrt{14}}\approx 0{,}802
  • g) cos⁡θ=−13\cos\theta=-\frac{1}{3} ; θ≈109,5∘\theta\approx 109{,}5^{\circ}
  • h) cos⁡β=−49≈−0,444\cos\beta=-\frac{4}{9}\approx-0{,}444 ; β≈116,4∘\beta\approx 116{,}4^{\circ}
  • i) 63=2\frac{6}{3}=2
  • j) 106(1; 1; 2)=(53; 53; 103)\frac{10}{6}(1;\ 1;\ 2)=\left(\frac{5}{3};\ \frac{5}{3};\ \frac{10}{3}\right)

Le geste qui décide de tout : savoir ce que la formule rend AVANT de l'appliquer. Une norme et un produit scalaire rendent un nombre, une projection vectorielle rend un vecteur, un angle passe par un cosinus. Et dans les deux projections, la seule différence est au dénominateur : ∥v⃗∥\|\vec{v}\| pour une longueur, ∥v⃗∥2\|\vec{v}\|^{2} pour un vecteur.

a)

AB⃗=B−A=(−1−2; 5−(−3); 6−4)=(−3; 8; 2)\vec{AB}=B-A=(-1-2;\ 5-(-3);\ 6-4)=(-3;\ 8;\ 2). Piège : calculer A−B=(3; −8; −2)A-B=(3;\ -8;\ -2), le vecteur BA⃗\vec{BA} ; l'arrivée moins le départ.

b)

∥u⃗∥=42+(−7)2+42=16+49+16=81=9\|\vec{u}\|=\sqrt{4^{2}+(-7)^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+49+16}=\sqrt{81}=9. Le carré d'une composante négative est positif.

c)

PQ⃗=(3; −4; 5)\vec{PQ}=(3;\ -4;\ 5), donc PQ=9+16+25=50=52≈7,07PQ=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07.

d)

u⃗⋅v⃗=3×(−4)+(−2)×1+5×2=−12−2+10=−4\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times(-4)+(-2)\times 1+5\times 2=-12-2+10=-4. Un produit scalaire négatif annonce un angle obtus.

e)

u⃗⋅v⃗=5k+3k−12=8k−12\vec{u}\cdot\vec{v}=5k+3k-12=8k-12, nul pour k=32k=\frac{3}{2}. Piège : oublier le kk de la deuxième composante de v⃗\vec{v}, ce qui donne 5k=125k=12 et k=125k=\frac{12}{5}.

f)

∥w⃗∥=1+4+9=14≈3,742\|\vec{w}\|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\approx 3{,}742, et le vecteur unitaire est 114(1; −2; 3)\frac{1}{\sqrt{14}}(1;\ -2;\ 3) : sa troisième composante vaut 314≈0,802\frac{3}{\sqrt{14}}\approx 0{,}802. On divise CHAQUE composante par la norme.

g)

u⃗⋅v⃗=3+0−8=−5\vec{u}\cdot\vec{v}=3+0-8=-5, ∥u⃗∥=3\|\vec{u}\|=3 et ∥v⃗∥=5\|\vec{v}\|=5, donc cos⁡θ=−515=−13\cos\theta=-\frac{5}{15}=-\frac{1}{3} et θ=arccos⁡(−13)≈109,5∘\theta=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\approx 109{,}5^{\circ}. Piège : laisser tomber le signe, ce qui donne 70,5∘70{,}5^{\circ}, le supplémentaire.

h)

∥v⃗∥=1+16+64=9\|\vec{v}\|=\sqrt{1+16+64}=9 et cos⁡β=−49≈−0,444\cos\beta=\frac{-4}{9}\approx-0{,}444, la deuxième composante sur la norme, puisque β\beta se mesure avec l'axe OyOy. Donc β=arccos⁡(−49)≈116,4∘\beta=\arccos\left(-\frac{4}{9}\right)\approx 116{,}4^{\circ}. Piège : prendre la troisième composante, celle de l'axe OzOz.

i)

u⃗⋅v⃗=10−2−2=6\vec{u}\cdot\vec{v}=10-2-2=6 et ∥v⃗∥=4+4+1=3\|\vec{v}\|=\sqrt{4+4+1}=3, donc la projection scalaire vaut 63=2\frac{6}{3}=2. Piège : diviser par ∥u⃗∥=30\|\vec{u}\|=\sqrt{30}, ce qui projette v⃗\vec{v} sur u⃗\vec{u}.

j)

u⃗⋅v⃗=3−1+8=10\vec{u}\cdot\vec{v}=3-1+8=10 et ∥v⃗∥2=1+1+4=6\|\vec{v}\|^{2}=1+1+4=6, donc le projeté vaut 106(1; 1; 2)=(53; 53; 103)\frac{10}{6}(1;\ 1;\ 2)=\left(\frac{5}{3};\ \frac{5}{3};\ \frac{10}{3}\right) : première composante 53≈1,667\frac{5}{3}\approx 1{,}667, troisième 103≈3,333\frac{10}{3}\approx 3{,}333. Piège : diviser par ∥v⃗∥=6\|\vec{v}\|=\sqrt{6} au lieu de son carré.

Contrôle : une norme se recalcule à l'envers (le vecteur unitaire de f) a une norme de 11), un produit scalaire nul se vérifie en remplaçant kk dans les deux vecteurs, et le projeté de j) doit laisser un reste u⃗−p⃗=(43; −83; 23)\vec{u}-\vec{p}=\left(\frac{4}{3};\ -\frac{8}{3};\ \frac{2}{3}\right) orthogonal à v⃗\vec{v}, ce qui se vérifie en une ligne : 43−83+43=0\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0.

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Calculs : produits vectoriels et produits mixtes

Exercice 0.2 : Calculer produits vectoriels et produits mixtes : huit calculs directs

Pour chaque ligne, calculez le produit vectoriel, l'aire, le produit mixte, le volume ou le paramètre demandé, dans un repère orthonormé de l'espace. Valeurs exactes quand elles sont entières, l'aire de c) au centième et le volume de g) au millième.

Le produit vectoriel se calcule par le déterminant symbolique ∣i⃗j⃗k⃗abca′b′c′∣\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & b & c \\ a' & b' & c' \end{vmatrix}, développé selon la première ligne en CHANGEANT le signe du terme en j⃗\vec{j}. Sa norme est l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs, la moitié celle du triangle. Le produit mixte u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) est le déterminant des trois vecteurs : sa valeur absolue donne le volume du parallélépipède, le sixième celui du tétraèdre, et il est nul exactement quand les trois vecteurs sont coplanaires.

  • a) Le produit vectoriel u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v}, pour u⃗=(1; 3; −2)\vec{u}=(1;\ 3;\ -2) et v⃗=(2; −1; 4)\vec{v}=(2;\ -1;\ 4).
  • b) Le produit vectoriel k⃗×u⃗\vec{k}\times\vec{u}, pour k⃗=(0; 0; 1)\vec{k}=(0;\ 0;\ 1) et u⃗=(4; −1; 5)\vec{u}=(4;\ -1;\ 5).
  • c) L'aire du parallélogramme construit sur u⃗=(2; 0; 1)\vec{u}=(2;\ 0;\ 1) et v⃗=(1; 3; −1)\vec{v}=(1;\ 3;\ -1), au centième.
  • d) L'aire du triangle de sommets A(0; 1; 2)A(0;\ 1;\ 2), B(2; 3; 2)B(2;\ 3;\ 2) et C(1; 1; 4)C(1;\ 1;\ 4).
  • e) Le produit mixte u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}), pour u⃗=(1; 2; 0)\vec{u}=(1;\ 2;\ 0), v⃗=(0; 1; 3)\vec{v}=(0;\ 1;\ 3) et w⃗=(2; 0; 1)\vec{w}=(2;\ 0;\ 1).
  • f) Le volume du parallélépipède construit sur u⃗=(2; 1; −1)\vec{u}=(2;\ 1;\ -1), v⃗=(1; −3; 2)\vec{v}=(1;\ -3;\ 2) et w⃗=(−1; 2; 1)\vec{w}=(-1;\ 2;\ 1).
  • g) Le volume du tétraèdre de sommets A(1; 0; 1)A(1;\ 0;\ 1), B(3; 1; 1)B(3;\ 1;\ 1), C(1; 2; 2)C(1;\ 2;\ 2) et D(2; 1; 4)D(2;\ 1;\ 4), au millième.
  • h) La valeur de mm pour laquelle u⃗=(1; −1; 2)\vec{u}=(1;\ -1;\ 2), v⃗=(2; 1; m)\vec{v}=(2;\ 1;\ m) et w⃗=(0; 3; 1)\vec{w}=(0;\ 3;\ 1) sont coplanaires.

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a)
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Réponses

  • a) u⃗×v⃗=(10; −8; −7)\vec{u}\times\vec{v}=(10;\ -8;\ -7)
  • b) k⃗×u⃗=(1; 4; 0)\vec{k}\times\vec{u}=(1;\ 4;\ 0)
  • c) ∥(−3; 3; 6)∥=36≈7,35\|(-3;\ 3;\ 6)\|=3\sqrt{6}\approx 7{,}35
  • d) 12∥(4; −4; −2)∥=3\frac{1}{2}\|(4;\ -4;\ -2)\|=3
  • e) u⃗⋅(1; 6; −2)=13\vec{u}\cdot(1;\ 6;\ -2)=13
  • f) produit mixte −16-16 ; volume 1616
  • g) 116≈1,833\frac{11}{6}\approx 1{,}833
  • h) 15−3m=015-3m=0 ; m=5m=5

Le geste qui décide de tout : le signe MOINS devant la composante en j⃗\vec{j} du déterminant symbolique. Toutes les autres erreurs de cette liste se rattrapent par un contrôle d'orthogonalité ; celle-là se propage dans l'aire, le volume et le paramètre sans faire de bruit, sauf si l'on vérifie.

a)

u⃗×v⃗=(3×4−(−2)(−1); −(1×4−(−2)×2); 1×(−1)−3×2)=(12−2; −8; −7)=(10; −8; −7)\vec{u}\times\vec{v}=\left(3\times 4-(-2)(-1);\ -\left(1\times 4-(-2)\times 2\right);\ 1\times(-1)-3\times 2\right)=(12-2;\ -8;\ -7)=(10;\ -8;\ -7). Contrôle : u⃗⋅(10; −8; −7)=10−24+14=0\vec{u}\cdot(10;\ -8;\ -7)=10-24+14=0. Piège : oublier le moins de la composante en j⃗\vec{j}, ce qui donne 88 au lieu de −8-8.

b)

k⃗×u⃗=(0×5−1×(−1); −(0×5−1×4); 0×(−1)−0×4)=(1; 4; 0)\vec{k}\times\vec{u}=\left(0\times 5-1\times(-1);\ -(0\times 5-1\times 4);\ 0\times(-1)-0\times 4\right)=(1;\ 4;\ 0). Piège : l'ordre. u⃗×k⃗=(−1; −4; 0)\vec{u}\times\vec{k}=(-1;\ -4;\ 0), l'opposé : le produit vectoriel est anticommutatif.

c)

u⃗×v⃗=(0×(−1)−1×3; −(2×(−1)−1×1); 2×3−0×1)=(−3; 3; 6)\vec{u}\times\vec{v}=\left(0\times(-1)-1\times 3;\ -\left(2\times(-1)-1\times 1\right);\ 2\times 3-0\times 1\right)=(-3;\ 3;\ 6), donc l'aire vaut 9+9+36=54=36≈7,35\sqrt{9+9+36}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\approx 7{,}35.

d)

AB⃗=(2; 2; 0)\vec{AB}=(2;\ 2;\ 0), AC⃗=(1; 0; 2)\vec{AC}=(1;\ 0;\ 2), et AB⃗×AC⃗=(4−0; −(4−0); 0−2)=(4; −4; −2)\vec{AB}\times\vec{AC}=(4-0;\ -(4-0);\ 0-2)=(4;\ -4;\ -2), de norme 16+16+4=6\sqrt{16+16+4}=6. L'aire du triangle vaut 62=3\frac{6}{2}=3. Piège : s'arrêter à 66, l'aire du parallélogramme.

e)

v⃗×w⃗=(1×1−3×0; −(0×1−3×2); 0×0−1×2)=(1; 6; −2)\vec{v}\times\vec{w}=(1\times 1-3\times 0;\ -(0\times 1-3\times 2);\ 0\times 0-1\times 2)=(1;\ 6;\ -2), puis u⃗⋅(1; 6; −2)=1+12+0=13\vec{u}\cdot(1;\ 6;\ -2)=1+12+0=13. On peut aussi développer le déterminant des trois vecteurs selon la première ligne : 1×(1−0)−2×(0−6)+0=131\times(1-0)-2\times(0-6)+0=13.

f)

v⃗×w⃗=(−3−4; −(1+2); 2−3)=(−7; −3; −1)\vec{v}\times\vec{w}=\left(-3-4;\ -(1+2);\ 2-3\right)=(-7;\ -3;\ -1), puis u⃗⋅(v⃗×w⃗)=−14−3+1=−16\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=-14-3+1=-16. Le volume est ∣−16∣=16|-16|=16. Piège : répondre −16-16 ; le signe du produit mixte dit l'orientation du triplet, pas une quantité de volume.

g)

Trois arêtes issues de AA : AB⃗=(2; 1; 0)\vec{AB}=(2;\ 1;\ 0), AC⃗=(0; 2; 1)\vec{AC}=(0;\ 2;\ 1), AD⃗=(1; 1; 3)\vec{AD}=(1;\ 1;\ 3). AC⃗×AD⃗=(6−1; −(0−1); 0−2)=(5; 1; −2)\vec{AC}\times\vec{AD}=(6-1;\ -(0-1);\ 0-2)=(5;\ 1;\ -2), puis AB⃗⋅(5; 1; −2)=10+1+0=11\vec{AB}\cdot(5;\ 1;\ -2)=10+1+0=11. Le volume vaut 116≈1,833\frac{11}{6}\approx 1{,}833. Piège : prendre 113\frac{11}{3} ou 112\frac{11}{2} ; le tétraèdre est le SIXIÈME du parallélépipède.

h)

v⃗×w⃗=(1−3m; −(2−0); 6−0)=(1−3m; −2; 6)\vec{v}\times\vec{w}=(1-3m;\ -(2-0);\ 6-0)=(1-3m;\ -2;\ 6), puis u⃗⋅(v⃗×w⃗)=1−3m+2+12=15−3m\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=1-3m+2+12=15-3m. Les vecteurs sont coplanaires quand ce produit est nul : m=5m=5.

Contrôle : un produit vectoriel est orthogonal à ses deux facteurs, donc deux produits scalaires nuls le valident, comme en a). Un produit mixte se recalcule en permutant circulairement, v⃗⋅(w⃗×u⃗)\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) doit redonner la même valeur, et en h) on vérifie que v⃗=(2; 1; 5)\vec{v}=(2;\ 1;\ 5) annule bien le déterminant.

Partie A : Les bases dans l'espace (/50)

Exercice 1 : Composantes, norme et opérations dans l'espace

On considère les points A(1; 2; −1)A(1;\ 2;\ -1), B(3; 5; 5)B(3;\ 5;\ 5) et C(2; 6; 7)C(2;\ 6;\ 7) de l'espace.

xyzOABC
  • a) Déterminez les composantes des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}.
  • b) Calculez ∥AB⃗∥\|\vec{AB}\| et ∥AC⃗∥\|\vec{AC}\|.
  • c) Déterminez les composantes du vecteur 2AB⃗−3AC⃗2\vec{AB}-3\vec{AC}.
  • d) Déterminez le vecteur unitaire de même direction et de même sens que AB⃗\vec{AB}.

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) AB⃗=(2;3;6)\vec{AB}=(2;3;6), AC⃗=(1;4;8)\vec{AC}=(1;4;8)
  • b) 7 et 9
  • c) (1; −6; −12)(1;\ -6;\ -12)
  • d) (27; 37; 67)\left(\frac27;\ \frac37;\ \frac67\right)
a)

AB⃗=(3−1; 5−2; 5−(−1))=(2; 3; 6)\vec{AB}=(3-1;\ 5-2;\ 5-(-1))=(2;\ 3;\ 6) et AC⃗=(2−1; 6−2; 7−(−1))=(1; 4; 8)\vec{AC}=(2-1;\ 6-2;\ 7-(-1))=(1;\ 4;\ 8).

b)

∥AB⃗∥=22+32+62=4+9+36=49=7\|\vec{AB}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7 et ∥AC⃗∥=12+42+82=1+16+64=81=9\|\vec{AC}\|=\sqrt{1^{2}+4^{2}+8^{2}}=\sqrt{1+16+64}=\sqrt{81}=9.

c)

2AB⃗=(4; 6; 12)2\vec{AB}=(4;\ 6;\ 12) et 3AC⃗=(3; 12; 24)3\vec{AC}=(3;\ 12;\ 24), donc 2AB⃗−3AC⃗=(4−3; 6−12; 12−24)=(1; −6; −12)2\vec{AB}-3\vec{AC}=(4-3;\ 6-12;\ 12-24)=(1;\ -6;\ -12).

d)

Le vecteur unitaire est AB⃗∥AB⃗∥=17(2; 3; 6)=(27; 37; 67)\dfrac{\vec{AB}}{\|\vec{AB}\|}=\dfrac{1}{7}(2;\ 3;\ 6)=\left(\dfrac{2}{7};\ \dfrac{3}{7};\ \dfrac{6}{7}\right). Vérification : 449+949+3649=4949=1\sqrt{\dfrac{4}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{36}{49}}=\sqrt{\dfrac{49}{49}}=1.

Exercice 2 : Produit scalaire, angle et projection orthogonale

On considère les vecteurs u⃗=(2; −1; 3)\vec{u}=(2;\ -1;\ 3) et v⃗=(1; 4; −2)\vec{v}=(1;\ 4;\ -2).

  • a) Calculez u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}. Sans calculer l'angle, dites si l'angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est aigu, droit ou obtus, et justifiez.
  • b) Calculez la mesure de l'angle θ\theta entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, au dixième de degré près.
  • c) Déterminez la valeur de kk pour laquelle u⃗\vec{u} est orthogonal à w⃗=(k; 2; 1)\vec{w}=(k;\ 2;\ 1).
  • d) Déterminez le vecteur projeté de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v}.

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) −8-8 : angle obtus
  • b) θ≈117,8∘\theta\approx 117{,}8^\circ
  • c) k=−12k=-\frac12
  • d) −821(1; 4; −2)-\frac{8}{21}(1;\ 4;\ -2)
a)

u⃗⋅v⃗=(2)(1)+(−1)(4)+(3)(−2)=2−4−6=−8\vec{u}\cdot\vec{v}=(2)(1)+(-1)(4)+(3)(-2)=2-4-6=-8. Le produit scalaire est négatif, donc cos⁡θ<0\cos\theta<0 et l'angle est obtus. Aucun calcul d'angle n'est nécessaire : le signe suffit.

b)

∥u⃗∥=4+1+9=14\|\vec{u}\|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14} et ∥v⃗∥=1+16+4=21\|\vec{v}\|=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}. Donc cos⁡θ=−81421=−8294≈−0,4666\cos\theta=\dfrac{-8}{\sqrt{14}\sqrt{21}}=\dfrac{-8}{\sqrt{294}}\approx -0{,}4666, d'où θ≈117,8∘\theta\approx 117{,}8^{\circ}. C'est bien un angle obtus, cohérent avec a).

c)

u⃗⋅w⃗=2k+(−1)(2)+(3)(1)=2k+1\vec{u}\cdot\vec{w}=2k+(-1)(2)+(3)(1)=2k+1. L'orthogonalité impose 2k+1=02k+1=0, donc k=−12k=-\dfrac{1}{2}.

d)

uv⃗=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2 v⃗=−821(1; 4; −2)=(−821; −3221; 1621)\vec{u_{v}}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}=\dfrac{-8}{21}(1;\ 4;\ -2)=\left(-\dfrac{8}{21};\ -\dfrac{32}{21};\ \dfrac{16}{21}\right). Le vecteur projeté pointe dans le sens opposé à v⃗\vec{v}, ce qui est normal puisque l'angle est obtus.

u · v > 0angle aiguuvu · v = 0angle droituvu · v < 0angle obtusuvu · v = ||u|| ||v|| cos θ : c'est le cosinus qui porte le signe

Exercice 3 : Produit vectoriel, orthogonalité et aires

On reprend u⃗=(2; −1; 3)\vec{u}=(2;\ -1;\ 3) et v⃗=(1; 4; −2)\vec{v}=(1;\ 4;\ -2).

  • a) Calculez u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v}.
  • b) Vérifiez par le calcul que u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} est orthogonal à u⃗\vec{u} et à v⃗\vec{v}.
  • c) Calculez l'aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, puis l'aire du triangle correspondant.
  • d) Calculez v⃗×u⃗\vec{v}\times\vec{u} et comparez avec le résultat de a). Que peut-on en conclure sur la commutativité du produit vectoriel ?

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) (−10; 7; 9)(-10;\ 7;\ 9)
  • b) Produits scalaires nuls
  • c) 230≈15,17\sqrt{230}\approx 15{,}17 ; triangle 7,587{,}58
  • d) v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec v\times\vec u=-\vec u\times\vec v : anticommutatif
a)

u⃗×v⃗=((−1)(−2)−(3)(4); (3)(1)−(2)(−2); (2)(4)−(−1)(1))=(2−12; 3+4; 8+1)=(−10; 7; 9)\vec{u}\times\vec{v}=((-1)(-2)-(3)(4);\ (3)(1)-(2)(-2);\ (2)(4)-(-1)(1))=(2-12;\ 3+4;\ 8+1)=(-10;\ 7;\ 9).

b)

(u⃗×v⃗)⋅u⃗=(−10)(2)+(7)(−1)+(9)(3)=−20−7+27=0(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=(-10)(2)+(7)(-1)+(9)(3)=-20-7+27=0 et (u⃗×v⃗)⋅v⃗=(−10)(1)+(7)(4)+(9)(−2)=−10+28−18=0(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=(-10)(1)+(7)(4)+(9)(-2)=-10+28-18=0. Les deux produits scalaires sont nuls, donc u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} est bien orthogonal aux deux vecteurs.

c)

∥u⃗×v⃗∥=(−10)2+72+92=100+49+81=230≈15,17\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{(-10)^{2}+7^{2}+9^{2}}=\sqrt{100+49+81}=\sqrt{230}\approx 15{,}17. L'aire du parallélogramme vaut 230≈15,17\sqrt{230}\approx 15{,}17 unités d'aire, et celle du triangle 2302≈7,58\dfrac{\sqrt{230}}{2}\approx 7{,}58 unités d'aire.

d)

v⃗×u⃗=(10; −7; −9)=−(u⃗×v⃗)\vec{v}\times\vec{u}=(10;\ -7;\ -9)=-(\vec{u}\times\vec{v}). Le produit vectoriel n'est donc PAS commutatif : inverser l'ordre des facteurs inverse le sens du vecteur résultat. Il est anticommutatif. C'est la faute la plus coûteuse du chapitre, car la norme (et donc l'aire) reste la même : l'erreur ne se voit pas sur une aire, mais elle fausse tout vecteur normal orienté.

uvu × vaire = ‖u × v‖le produit vectoriel est ORTHOGONAL aux deux,et sa norme est l'aire du parallélogramme

Exercice 4 : Produit mixte, volume et coplanarité

On reprend u⃗=(2; −1; 3)\vec{u}=(2;\ -1;\ 3) et v⃗=(1; 4; −2)\vec{v}=(1;\ 4;\ -2), et on pose w⃗=(3; 2; 1)\vec{w}=(3;\ 2;\ 1).

On rappelle que u⃗×v⃗=(−10; 7; 9)\vec{u}\times\vec{v}=(-10;\ 7;\ 9).

  • a) Calculez le produit mixte (u⃗×v⃗)⋅w⃗(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.
  • b) Les vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont-ils coplanaires ? Justifiez.
  • c) Calculez le volume du parallélépipède construit sur u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w}, puis le volume du tétraèdre correspondant.
  • d) On remplace w⃗\vec{w} par w′⃗=(3; 2; m)\vec{w'}=(3;\ 2;\ m). Déterminez la valeur de mm pour laquelle u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w′⃗\vec{w'} deviennent coplanaires.

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) −7-7
  • b) Non coplanaires
  • c) 7 ; tétraèdre 76≈1,17\frac76\approx 1{,}17
  • d) m=169m=\frac{16}{9}
a)

(u⃗×v⃗)⋅w⃗=(−10)(3)+(7)(2)+(9)(1)=−30+14+9=−7(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=(-10)(3)+(7)(2)+(9)(1)=-30+14+9=-7.

b)

Le produit mixte vaut −7≠0-7\neq 0, donc les trois vecteurs ne sont PAS coplanaires. Attention au signe : c'est la nullité qui caractérise la coplanarité, pas le signe. Un produit mixte négatif indique seulement l'orientation du trièdre.

c)

Volume du parallélépipède : V=∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣=∣−7∣=7V=|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|=|-7|=7 unités de volume. Volume du tétraèdre : Vt=76≈1,17V_{t}=\dfrac{7}{6}\approx 1{,}17 unité de volume.

d)

(u⃗×v⃗)⋅w′⃗=(−10)(3)+(7)(2)+(9)(m)=−30+14+9m=9m−16(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w'}=(-10)(3)+(7)(2)+(9)(m)=-30+14+9m=9m-16. La coplanarité impose 9m−16=09m-16=0, donc m=169≈1,78m=\dfrac{16}{9}\approx 1{,}78.

uvwV = |(u × v) · w| = 7

Exercice 5 : Angles et cosinus directeurs

Les angles directeurs d'un vecteur non nul v⃗=(a; b; c)\vec{v}=(a;\ b;\ c) sont les angles α\alpha, β\beta, γ\gamma qu'il forme avec les axes OxOx, OyOy, OzOz. Leurs cosinus, appelés cosinus directeurs, décrivent complètement l'orientation du vecteur dans l'espace.

xyzOvαβγ
  • a) Exprimez cos⁡α\cos\alpha, cos⁡β\cos\beta et cos⁡γ\cos\gamma à partir des composantes de v⃗\vec{v}, puis calculez-les pour v⃗=(2; 3; 6)\vec{v}=(2;\ 3;\ 6). Donnez les trois angles directeurs au dixième de degré.
  • b) Démontrez que cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1 pour tout vecteur non nul, et expliquez le lien avec le vecteur unitaire.
  • c) Déterminez un vecteur qui forme le MÊME angle avec les trois axes, et calculez cet angle commun.
  • d) Un vecteur peut-il former un angle de 45∘45^{\circ} avec chacun des trois axes ? Et s'il forme 60∘60^{\circ} avec OxOx et 60∘60^{\circ} avec OyOy, quel angle forme-t-il forcément avec OzOz ?

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a)
c)
d)
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Réponses

  • a) 27\frac27, 37\frac37, 67\frac67 ; 73,4∘73{,}4^\circ, 64,6∘64{,}6^\circ, 31,0∘31{,}0^\circ
  • b) Composantes du vecteur unitaire
  • c) (1;1;1)(1;1;1) : 54,7∘54{,}7^\circ
  • d) Non ; γ=45∘\gamma=45^\circ
a)

Le cosinus de l'angle entre v⃗\vec{v} et l'axe OxOx est le cosinus de l'angle entre v⃗\vec{v} et le vecteur i⃗=(1; 0; 0)\vec{i}=(1;\ 0;\ 0) : cos⁡α=v⃗⋅i⃗∥v⃗∥ ∥i⃗∥=a∥v⃗∥\cos\alpha=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{i}}{\|\vec{v}\|\,\|\vec{i}\|}=\dfrac{a}{\|\vec{v}\|}. De même cos⁡β=b∥v⃗∥\cos\beta=\dfrac{b}{\|\vec{v}\|} et cos⁡γ=c∥v⃗∥\cos\gamma=\dfrac{c}{\|\vec{v}\|}. Pour v⃗=(2; 3; 6)\vec{v}=(2;\ 3;\ 6), on a ∥v⃗∥=4+9+36=49=7\|\vec{v}\|=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7, donc cos⁡α=27\cos\alpha=\dfrac{2}{7}, cos⁡β=37\cos\beta=\dfrac{3}{7}, cos⁡γ=67\cos\gamma=\dfrac{6}{7}. Les angles directeurs sont α=arccos⁡27≈73,4∘\alpha=\arccos\dfrac{2}{7}\approx 73{,}4^{\circ}, β=arccos⁡37≈64,6∘\beta=\arccos\dfrac{3}{7}\approx 64{,}6^{\circ} et γ=arccos⁡67≈31,0∘\gamma=\arccos\dfrac{6}{7}\approx 31{,}0^{\circ}. Le vecteur est le plus proche de l'axe OzOz, ce qui est cohérent avec sa plus grande composante.

b)

En additionnant les carrés : cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=a2∥v⃗∥2+b2∥v⃗∥2+c2∥v⃗∥2=a2+b2+c2∥v⃗∥2\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=\dfrac{a^{2}}{\|\vec{v}\|^{2}}+\dfrac{b^{2}}{\|\vec{v}\|^{2}}+\dfrac{c^{2}}{\|\vec{v}\|^{2}}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\|\vec{v}\|^{2}}. Or, par définition de la norme, a2+b2+c2=∥v⃗∥2a^{2}+b^{2}+c^{2}=\|\vec{v}\|^{2}, donc la somme vaut 11. Le lien avec le vecteur unitaire est direct et éclairant : le vecteur unitaire de v⃗\vec{v} est v⃗∥v⃗∥=(a∥v⃗∥; b∥v⃗∥; c∥v⃗∥)=(cos⁡α; cos⁡β; cos⁡γ)\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\dfrac{a}{\|\vec{v}\|};\ \dfrac{b}{\|\vec{v}\|};\ \dfrac{c}{\|\vec{v}\|}\right)=(\cos\alpha;\ \cos\beta;\ \cos\gamma). Les cosinus directeurs SONT les composantes du vecteur unitaire, et l'identité n'est rien d'autre que le fait qu'un vecteur unitaire a une norme de 11. Vérification sur a) : 449+949+3649=4949=1\dfrac{4}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{36}{49}=\dfrac{49}{49}=1.

c)

Former le même angle avec les trois axes signifie cos⁡α=cos⁡β=cos⁡γ\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma, donc, d'après a), a∥v⃗∥=b∥v⃗∥=c∥v⃗∥\dfrac{a}{\|\vec{v}\|}=\dfrac{b}{\|\vec{v}\|}=\dfrac{c}{\|\vec{v}\|}, c'est-à-dire a=b=ca=b=c. Le vecteur v⃗=(1; 1; 1)\vec{v}=(1;\ 1;\ 1) convient, ainsi que tous ses multiples : c'est la diagonale du cube. Son angle commun vérifie cos⁡2θ+cos⁡2θ+cos⁡2θ=1\cos^{2}\theta+\cos^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1, soit 3cos⁡2θ=13\cos^{2}\theta=1, donc cos⁡θ=13\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}} et θ=arccos⁡13≈54,7∘\theta=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 54{,}7^{\circ}. C'est l'angle célèbre entre la diagonale d'un cube et ses arêtes.

d)

Non : si les trois angles valaient 45∘45^{\circ}, la somme des carrés des cosinus serait 3cos⁡245∘=3×12=323\cos^{2}45^{\circ}=3\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}, ce qui dépasse 11 et contredit l'identité de b). Aucun vecteur ne peut donc être à 45∘45^{\circ} des trois axes à la fois : l'identité impose une contrainte, les trois angles ne sont pas indépendants. En revanche, 60∘60^{\circ} avec OxOx et 60∘60^{\circ} avec OyOy est possible : on a cos⁡2γ=1−cos⁡260∘−cos⁡260∘=1−14−14=12\cos^{2}\gamma=1-\cos^{2}60^{\circ}-\cos^{2}60^{\circ}=1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}, donc cos⁡γ=12\cos\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{2}} et γ=45∘\gamma=45^{\circ}. Le troisième angle est entièrement déterminé (au signe de cos⁡γ\cos\gamma près, qui distingue les deux orientations possibles) : c'est la contrainte de b) qui le fixe.

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Démonstrations : identité de Lagrange et critère de coplanarité

Cet exercice ne demande presque aucun calcul numérique : on y manipule les vecteurs eux-mêmes. Soit u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls de l'espace, et θ\theta l'angle entre eux.

  • a) En partant de u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta et de ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta, montrez que ∥u⃗×v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2 ∥v⃗∥2\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}+(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}. Cette égalité est l'identité de Lagrange.
  • b) Vérifiez cette identité sur les vecteurs u⃗=(2; −1; 3)\vec{u}=(2;\ -1;\ 3) et v⃗=(1; 4; −2)\vec{v}=(1;\ 4;\ -2) de la partie A.
  • c) Déduisez de l'identité de Lagrange que si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux, alors ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|. Interprétez géométriquement ce résultat en termes d'aire.
  • d) Montrez que trois vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} de l'espace sont coplanaires si et seulement si u⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0. On raisonnera sur la direction de v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w}.

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b)
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Réponses

  • a) sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
  • b) 230+64=294=14×21230+64=294=14\times 21
  • c) Aire du rectangle ∥u⃗∥ ∥v⃗∥\|\vec u\|\,\|\vec v\|
  • d) u⃗⊥v⃗×w⃗\vec u\perp\vec v\times\vec w : coplanaires
a)

On élève les deux relations au carré : (u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2cos⁡2θ(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}\cos^{2}\theta et ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2sin⁡2θ\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}\sin^{2}\theta. En additionnant : ∥u⃗×v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=∥u⃗∥2∥v⃗∥2\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}+(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}, puisque sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. L'identité est démontrée.

b)

On a u⃗×v⃗=(−10; 7; 9)\vec{u}\times\vec{v}=(-10;\ 7;\ 9) donc ∥u⃗×v⃗∥2=230\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}=230, et u⃗⋅v⃗=−8\vec{u}\cdot\vec{v}=-8 donc (u⃗⋅v⃗)2=64(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}=64. La somme vaut 230+64=294230+64=294. Par ailleurs ∥u⃗∥2=14\|\vec{u}\|^{2}=14 et ∥v⃗∥2=21\|\vec{v}\|^{2}=21, donc ∥u⃗∥2∥v⃗∥2=14×21=294\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}=14\times 21=294. Les deux membres sont égaux : l'identité est vérifiée.

c)

Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux, alors u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0, et l'identité devient ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}, d'où ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| (les normes étant positives). Géométriquement : le parallélogramme construit sur deux vecteurs orthogonaux est un rectangle, et son aire est bien le produit des deux côtés. À normes ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\| fixées, l'aire est donc maximale quand les vecteurs sont perpendiculaires.

d)

Le vecteur v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w} est orthogonal au plan engendré par v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w}. Dire que u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont coplanaires revient à dire que u⃗\vec{u} appartient à ce plan, c'est-à-dire que u⃗\vec{u} est orthogonal à la normale v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w}, ce qui s'écrit exactement u⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0. Réciproquement, si ce produit scalaire est nul, u⃗\vec{u} est orthogonal à v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w} donc appartient au plan de v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} : les trois vecteurs sont coplanaires. Lecture équivalente : le volume du parallélépipède est nul, donc le solide est aplati.

Exercice 7 : Problème : le tétraèdre, deux méthodes pour une hauteur

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le tétraèdre de sommets P(1; 1; 1)P(1;\ 1;\ 1), Q(3; 2; 1)Q(3;\ 2;\ 1), R(2; 4; 3)R(2;\ 4;\ 3) et S(4; 3; 5)S(4;\ 3;\ 5).

L'objectif est de calculer la hauteur du tétraèdre issue de SS, c'est-à-dire la distance de SS au plan PQRPQR, par deux chemins indépendants qui doivent donner le même nombre.

PQRS
  • a) Déterminez les composantes de PQ⃗\vec{PQ}, PR⃗\vec{PR} et PS⃗\vec{PS}.
  • b) Calculez PQ⃗×PR⃗\vec{PQ}\times\vec{PR}, puis l'aire du triangle PQRPQR.
  • c) Calculez le volume du tétraèdre PQRSPQRS.
  • d) Première méthode : déduisez de b) et c) la hauteur hh issue de SS, en utilisant V=13×Abase×hV=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}_{base}\times h.
  • e) Deuxième méthode : déterminez une équation cartésienne du plan PQRPQR, puis calculez la distance de SS à ce plan. Vérifiez que vous retrouvez la hauteur de d).
  • f) Le point T(0; 5; 1)T(0;\ 5;\ 1) appartient-il au plan PQRPQR ? Calculez le volume du tétraèdre PQRTPQRT, et expliquez pourquoi la valeur obtenue en testant TT dans l'équation du plan permettait de le prévoir.

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a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Réponses

  • a) (2;1;0)(2;1;0), (1;3;2)(1;3;2), (3;2;4)(3;2;4)
  • b) (2; −4; 5)(2;\ -4;\ 5) ; aire 352≈3,35\frac{3\sqrt5}{2}\approx 3{,}35
  • c) V=3V=3
  • d) h=655≈2,68h=\frac{6\sqrt5}{5}\approx 2{,}68
  • e) 2x−4y+5z−3=02x-4y+5z-3=0 ; distance 2,682{,}68
  • f) Non ; volume 3
a)

PQ⃗=(3−1; 2−1; 1−1)=(2; 1; 0)\vec{PQ}=(3-1;\ 2-1;\ 1-1)=(2;\ 1;\ 0), PR⃗=(2−1; 4−1; 3−1)=(1; 3; 2)\vec{PR}=(2-1;\ 4-1;\ 3-1)=(1;\ 3;\ 2) et PS⃗=(4−1; 3−1; 5−1)=(3; 2; 4)\vec{PS}=(4-1;\ 3-1;\ 5-1)=(3;\ 2;\ 4).

b)

PQ⃗×PR⃗=((1)(2)−(0)(3); (0)(1)−(2)(2); (2)(3)−(1)(1))=(2; −4; 5)\vec{PQ}\times\vec{PR}=((1)(2)-(0)(3);\ (0)(1)-(2)(2);\ (2)(3)-(1)(1))=(2;\ -4;\ 5). Sa norme vaut 4+16+25=45=35\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}. L'aire du triangle PQRPQR est la moitié de l'aire du parallélogramme : APQR=352≈3,35\mathcal{A}_{PQR}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\approx 3{,}35 unités d'aire.

c)

Produit mixte : (PQ⃗×PR⃗)⋅PS⃗=(2)(3)+(−4)(2)+(5)(4)=6−8+20=18(\vec{PQ}\times\vec{PR})\cdot\vec{PS}=(2)(3)+(-4)(2)+(5)(4)=6-8+20=18. Le volume du tétraèdre vaut V=∣18∣6=3V=\dfrac{|18|}{6}=3 unités de volume.

d)

De V=13APQR hV=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{PQR}\,h on tire h=3VAPQR=3×3352=9×235=1835=65=655≈2,68h=\dfrac{3V}{\mathcal{A}_{PQR}}=\dfrac{3\times 3}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{9\times 2}{3\sqrt{5}}=\dfrac{18}{3\sqrt{5}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\approx 2{,}68.

e)

Le vecteur n⃗=PQ⃗×PR⃗=(2; −4; 5)\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=(2;\ -4;\ 5) est normal au plan PQRPQR, qui passe par P(1; 1; 1)P(1;\ 1;\ 1). Son équation est 2(x−1)−4(y−1)+5(z−1)=02(x-1)-4(y-1)+5(z-1)=0, soit 2x−4y+5z−3=02x-4y+5z-3=0. Vérification rapide sur QQ : 6−8+5−3=06-8+5-3=0, et sur RR : 4−16+15−3=04-16+15-3=0. Distance de S(4; 3; 5)S(4;\ 3;\ 5) : d=∣2(4)−4(3)+5(5)−3∣22+(−4)2+52=∣8−12+25−3∣45=1835=655≈2,68d=\dfrac{|2(4)-4(3)+5(5)-3|}{\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+5^{2}}}=\dfrac{|8-12+25-3|}{\sqrt{45}}=\dfrac{18}{3\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\approx 2{,}68. On retrouve exactement la hauteur de d), ce qui valide les deux chemins.

f)

On teste T(0; 5; 1)T(0;\ 5;\ 1) dans l'équation du plan : 2(0)−4(5)+5(1)−3=0−20+5−3=−18≠02(0)-4(5)+5(1)-3=0-20+5-3=-18\neq 0. Donc TT n'appartient PAS au plan PQRPQR. Le volume du tétraèdre PQRTPQRT n'est donc pas nul : PT⃗=(−1; 4; 0)\vec{PT}=(-1;\ 4;\ 0) et (PQ⃗×PR⃗)⋅PT⃗=(2)(−1)+(−4)(4)+(5)(0)=−2−16=−18(\vec{PQ}\times\vec{PR})\cdot\vec{PT}=(2)(-1)+(-4)(4)+(5)(0)=-2-16=-18, d'où V=∣−18∣6=3V=\dfrac{|-18|}{6}=3 unités de volume. La prévision sans calcul de volume était possible : la valeur −18-18 obtenue en testant TT dans l'équation du plan EST exactement le produit mixte n⃗⋅PT⃗\vec{n}\cdot\vec{PT}, car 2x−4y+5z−32x-4y+5z-3 vaut n⃗⋅PM⃗\vec{n}\cdot\vec{PM} pour tout point MM : l'équation du plan est construite sur le même vecteur normal. Un point hors du plan donne un volume non nul ; seul un point du plan aurait donné un volume nul.

PQRSHh ≈ 2,68

Exercice 8 : Décomposition orthogonale et distance d'un point à une droite

Tout vecteur se décompose de façon unique en une partie PARALLÈLE à une direction donnée et une partie qui lui est ORTHOGONALE. Cette décomposition, combinée au produit vectoriel, donne deux façons de mesurer la distance d'un point à une droite. On considère la droite Δ\Delta passant par A(1; 0; 2)A(1;\ 0;\ 2) et de vecteur directeur d⃗=(2; 1; −2)\vec{d}=(2;\ 1;\ -2), ainsi que le point P(4; 4; 3)P(4;\ 4;\ 3).

La figure représente le plan qui contient la droite et le point.

ΔdAP
  • a) Calculez AP⃗\vec{AP}, puis décomposez-le en AP⃗=p⃗+q⃗\vec{AP}=\vec{p}+\vec{q}, où p⃗\vec{p} est la projection de AP⃗\vec{AP} sur d⃗\vec{d} et q⃗\vec{q} la composante orthogonale.
  • b) Vérifiez que q⃗\vec{q} est bien orthogonal à d⃗\vec{d}, puis contrôlez la décomposition par le théorème de Pythagore ∥AP⃗∥2=∥p⃗∥2+∥q⃗∥2\|\vec{AP}\|^{2}=\|\vec{p}\|^{2}+\|\vec{q}\|^{2}.
  • c) Première méthode : déduisez-en la distance du point PP à la droite Δ\Delta.
  • d) Deuxième méthode : calculez cette même distance par la formule d=∥AP⃗×d⃗∥∥d⃗∥d=\dfrac{\|\vec{AP}\times\vec{d}\|}{\|\vec{d}\|}. Vérifiez l'accord avec c), et expliquez pourquoi les deux méthodes donnent nécessairement le même résultat.

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) p⃗=89d⃗\vec p=\frac89\vec d, q⃗=(119; 289; 259)\vec q=\left(\frac{11}{9};\ \frac{28}{9};\ \frac{25}{9}\right)
  • b) 649+1709=26\frac{64}{9}+\frac{170}{9}=26
  • c) 1703≈4,35\frac{\sqrt{170}}{3}\approx 4{,}35
  • d) Même distance par le produit vectoriel
a)

AP⃗=(4−1; 4−0; 3−2)=(3; 4; 1)\vec{AP}=(4-1;\ 4-0;\ 3-2)=(3;\ 4;\ 1). La projection de AP⃗\vec{AP} sur d⃗\vec{d} est p⃗=AP⃗⋅d⃗∥d⃗∥2 d⃗\vec{p}=\dfrac{\vec{AP}\cdot\vec{d}}{\|\vec{d}\|^{2}}\,\vec{d}. On calcule AP⃗⋅d⃗=(3)(2)+(4)(1)+(1)(−2)=6+4−2=8\vec{AP}\cdot\vec{d}=(3)(2)+(4)(1)+(1)(-2)=6+4-2=8 et ∥d⃗∥2=4+1+4=9\|\vec{d}\|^{2}=4+1+4=9, donc p⃗=89(2; 1; −2)=(169; 89; −169)\vec{p}=\dfrac{8}{9}(2;\ 1;\ -2)=\left(\dfrac{16}{9};\ \dfrac{8}{9};\ -\dfrac{16}{9}\right). La composante orthogonale est q⃗=AP⃗−p⃗=(3−169; 4−89; 1+169)=(119; 289; 259)\vec{q}=\vec{AP}-\vec{p}=\left(3-\dfrac{16}{9};\ 4-\dfrac{8}{9};\ 1+\dfrac{16}{9}\right)=\left(\dfrac{11}{9};\ \dfrac{28}{9};\ \dfrac{25}{9}\right).

b)

Orthogonalité : q⃗⋅d⃗=19[(11)(2)+(28)(1)+(25)(−2)]=19(22+28−50)=09=0\vec{q}\cdot\vec{d}=\dfrac{1}{9}\big[(11)(2)+(28)(1)+(25)(-2)\big]=\dfrac{1}{9}(22+28-50)=\dfrac{0}{9}=0. La composante q⃗\vec{q} est bien orthogonale à d⃗\vec{d}, ce qui confirme la décomposition. Contrôle par Pythagore : ∥AP⃗∥2=9+16+1=26\|\vec{AP}\|^{2}=9+16+1=26. Par ailleurs ∥p⃗∥2=(AP⃗⋅d⃗)2∥d⃗∥2=649\|\vec{p}\|^{2}=\dfrac{\big(\vec{AP}\cdot\vec{d}\big)^{2}}{\|\vec{d}\|^{2}}=\dfrac{64}{9} et ∥q⃗∥2=112+282+25281=121+784+62581=153081=1709\|\vec{q}\|^{2}=\dfrac{11^{2}+28^{2}+25^{2}}{81}=\dfrac{121+784+625}{81}=\dfrac{1530}{81}=\dfrac{170}{9}. La somme vaut 649+1709=2349=26\dfrac{64}{9}+\dfrac{170}{9}=\dfrac{234}{9}=26, ce qui coïncide : p⃗\vec{p} et q⃗\vec{q} forment bien les deux côtés d'un angle droit dont AP⃗\vec{AP} est l'hypoténuse.

c)

La distance du point PP à la droite Δ\Delta est la longueur du segment perpendiculaire abaissé de PP sur Δ\Delta, c'est-à-dire exactement ∥q⃗∥\|\vec{q}\|, la composante de AP⃗\vec{AP} orthogonale à la direction de la droite. On obtient d=∥q⃗∥=1709=1703≈4,35d=\|\vec{q}\|=\sqrt{\dfrac{170}{9}}=\dfrac{\sqrt{170}}{3}\approx 4{,}35. La partie parallèle p⃗\vec{p}, elle, ne fait que glisser le long de la droite et ne contribue en rien à la distance.

d)

Deuxième méthode : AP⃗×d⃗=((4)(−2)−(1)(1); (1)(2)−(3)(−2); (3)(1)−(4)(2))=(−8−1; 2+6; 3−8)=(−9; 8; −5)\vec{AP}\times\vec{d}=\big((4)(-2)-(1)(1);\ (1)(2)-(3)(-2);\ (3)(1)-(4)(2)\big)=(-8-1;\ 2+6;\ 3-8)=(-9;\ 8;\ -5). Sa norme vaut ∥AP⃗×d⃗∥=81+64+25=170\|\vec{AP}\times\vec{d}\|=\sqrt{81+64+25}=\sqrt{170}, et ∥d⃗∥=3\|\vec{d}\|=3, donc d=1703≈4,35d=\dfrac{\sqrt{170}}{3}\approx 4{,}35. C'est exactement la valeur de c). L'accord n'a rien d'un hasard : la norme du produit vectoriel vaut ∥AP⃗×d⃗∥=∥AP⃗∥ ∥d⃗∥sin⁡θ\|\vec{AP}\times\vec{d}\|=\|\vec{AP}\|\,\|\vec{d}\|\sin\theta, où θ\theta est l'angle entre AP⃗\vec{AP} et d⃗\vec{d}. En divisant par ∥d⃗∥\|\vec{d}\|, on obtient ∥AP⃗∥sin⁡θ\|\vec{AP}\|\sin\theta, qui est précisément la longueur du côté opposé à θ\theta dans le triangle rectangle, c'est-à-dire la distance perpendiculaire ∥q⃗∥\|\vec{q}\|. Les deux méthodes calculent la même hauteur, l'une par soustraction de la projection, l'autre par l'aire du parallélogramme rapportée à sa base ∥d⃗∥\|\vec{d}\|.

ΔdAPpqHdistance = ‖q‖

Exercice 9 : Le double produit vectoriel et la non-associativité

Le produit vectoriel de deux produits vectoriels, appelé double produit vectoriel, obéit à une identité remarquable qui le ramène à des produits scalaires. Elle révèle aussi que le produit vectoriel, contrairement à la multiplication des nombres, n'est PAS associatif. On travaille avec u⃗=(1; 2; 3)\vec{u}=(1;\ 2;\ 3), v⃗=(0; 1; −1)\vec{v}=(0;\ 1;\ -1) et w⃗=(2; 1; 0)\vec{w}=(2;\ 1;\ 0).

  • a) Calculez v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w}, puis u⃗×(v⃗×w⃗)\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w}).
  • b) Vérifiez sur ces vecteurs l'identité du double produit vectoriel u⃗×(v⃗×w⃗)=(u⃗⋅w⃗) v⃗−(u⃗⋅v⃗) w⃗\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\cdot\vec{w})\,\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w}.
  • c) Calculez (u⃗×v⃗)×w⃗(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w} et comparez à u⃗×(v⃗×w⃗)\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w}). Que peut-on conclure sur l'associativité du produit vectoriel ?
  • d) À partir de l'identité de b), démontrez que u⃗×(v⃗×w⃗)\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w}) appartient toujours au plan engendré par v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w}. Ce résultat est-il compatible avec le fait que ce vecteur soit orthogonal à u⃗\vec{u} ?

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) (2; 5; −4)(2;\ 5;\ -4)
  • b) 4v⃗+w⃗=(2; 5; −4)4\vec v+\vec w=(2;\ 5;\ -4)
  • c) (−1; 2; −7)(-1;\ 2;\ -7) : non associatif
  • d) Combinaison de v⃗\vec v et w⃗\vec w
a)

v⃗×w⃗=((1)(0)−(−1)(1); (−1)(2)−(0)(0); (0)(1)−(1)(2))=(0+1; −2−0; 0−2)=(1; −2; −2)\vec{v}\times\vec{w}=\big((1)(0)-(-1)(1);\ (-1)(2)-(0)(0);\ (0)(1)-(1)(2)\big)=(0+1;\ -2-0;\ 0-2)=(1;\ -2;\ -2). Ensuite u⃗×(v⃗×w⃗)=(1; 2; 3)×(1; −2; −2)=((2)(−2)−(3)(−2); (3)(1)−(1)(−2); (1)(−2)−(2)(1))=(−4+6; 3+2; −2−2)=(2; 5; −4)\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=(1;\ 2;\ 3)\times(1;\ -2;\ -2)=\big((2)(-2)-(3)(-2);\ (3)(1)-(1)(-2);\ (1)(-2)-(2)(1)\big)=(-4+6;\ 3+2;\ -2-2)=(2;\ 5;\ -4).

b)

On calcule les deux produits scalaires : u⃗⋅w⃗=(1)(2)+(2)(1)+(3)(0)=4\vec{u}\cdot\vec{w}=(1)(2)+(2)(1)+(3)(0)=4 et u⃗⋅v⃗=(1)(0)+(2)(1)+(3)(−1)=2−3=−1\vec{u}\cdot\vec{v}=(1)(0)+(2)(1)+(3)(-1)=2-3=-1. L'identité donne (u⃗⋅w⃗) v⃗−(u⃗⋅v⃗) w⃗=4(0; 1; −1)−(−1)(2; 1; 0)=(0; 4; −4)+(2; 1; 0)=(2; 5; −4)(\vec{u}\cdot\vec{w})\,\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w}=4(0;\ 1;\ -1)-(-1)(2;\ 1;\ 0)=(0;\ 4;\ -4)+(2;\ 1;\ 0)=(2;\ 5;\ -4). C'est exactement le résultat de a). L'identité, que l'on retient sous le nom de règle « BAC moins CAB » car elle s'écrit a⃗×(b⃗×c⃗)=b⃗(a⃗⋅c⃗)−c⃗(a⃗⋅b⃗)\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}), transforme un calcul de deux produits vectoriels en deux produits scalaires, bien plus rapides.

c)

On a déjà u⃗×v⃗=((2)(−1)−(3)(1); (3)(0)−(1)(−1); (1)(1)−(2)(0))=(−2−3; 0+1; 1−0)=(−5; 1; 1)\vec{u}\times\vec{v}=\big((2)(-1)-(3)(1);\ (3)(0)-(1)(-1);\ (1)(1)-(2)(0)\big)=(-2-3;\ 0+1;\ 1-0)=(-5;\ 1;\ 1). Alors (u⃗×v⃗)×w⃗=(−5; 1; 1)×(2; 1; 0)=((1)(0)−(1)(1); (1)(2)−(−5)(0); (−5)(1)−(1)(2))=(0−1; 2−0; −5−2)=(−1; 2; −7)(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=(-5;\ 1;\ 1)\times(2;\ 1;\ 0)=\big((1)(0)-(1)(1);\ (1)(2)-(-5)(0);\ (-5)(1)-(1)(2)\big)=(0-1;\ 2-0;\ -5-2)=(-1;\ 2;\ -7). On compare : (u⃗×v⃗)×w⃗=(−1; 2; −7)(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=(-1;\ 2;\ -7) tandis que u⃗×(v⃗×w⃗)=(2; 5; −4)\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=(2;\ 5;\ -4). Les deux résultats DIFFÈRENT, donc le produit vectoriel n'est PAS associatif : le placement des parenthèses change le résultat. C'est une différence fondamentale avec la multiplication des nombres, et elle interdit d'écrire u⃗×v⃗×w⃗\vec{u}\times\vec{v}\times\vec{w} sans parenthèses, une notation qui n'a aucun sens.

d)

L'identité de b) écrit u⃗×(v⃗×w⃗)=(u⃗⋅w⃗) v⃗−(u⃗⋅v⃗) w⃗\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\cdot\vec{w})\,\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w}, c'est-à-dire une COMBINAISON LINÉAIRE de v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} : le vecteur est de la forme λv⃗+μw⃗\lambda\vec{v}+\mu\vec{w} avec λ=u⃗⋅w⃗\lambda=\vec{u}\cdot\vec{w} et μ=−(u⃗⋅v⃗)\mu=-(\vec{u}\cdot\vec{v}). Toute combinaison linéaire de v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} appartient au plan qu'ils engendrent : le double produit vectoriel vit donc dans le plan de v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w}. Ce résultat est parfaitement compatible avec l'orthogonalité à u⃗\vec{u}. En effet, u⃗×(v⃗×w⃗)\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w}) est orthogonal à u⃗\vec{u}, comme tout produit vectoriel l'est à ses deux facteurs. Il n'y a nulle contradiction : le vecteur peut à la fois se trouver dans le plan de v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} et être perpendiculaire à u⃗\vec{u}, tant que u⃗\vec{u} n'est pas lui-même perpendiculaire à ce plan. On peut d'ailleurs le lire autrement : contrairement à v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w}, qui est perpendiculaire au plan de v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w}, le fait de le croiser à nouveau avec u⃗\vec{u} ramène le résultat DANS ce plan, en le rabattant.

Exercice 10 : Problème : deux droites gauches, classification et distance

Dans l'espace, deux droites peuvent être parallèles, sécantes, ou n'être ni l'un ni l'autre : on les dit alors GAUCHES (non coplanaires). Les trois produits du chapitre suffisent à trancher et à mesurer. On considère la droite Δ1\Delta_{1} passant par P(1; 0; 1)P(1;\ 0;\ 1) de vecteur directeur d1⃗=(1; 2; −1)\vec{d_{1}}=(1;\ 2;\ -1), et la droite Δ2\Delta_{2} passant par Q(2; 1; 0)Q(2;\ 1;\ 0) de vecteur directeur d2⃗=(2; −1; 1)\vec{d_{2}}=(2;\ -1;\ 1).

xyzOd₁d₂PQΔ₁Δ₂
  • a) Calculez d1⃗×d2⃗\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}}. Que peut-on déjà conclure quant au parallélisme des deux droites ?
  • b) Calculez le produit mixte PQ⃗⋅(d1⃗×d2⃗)\vec{PQ}\cdot(\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}}) et concluez : les droites sont-elles sécantes ou gauches ?
  • c) Calculez la distance entre les deux droites par la formule d=∣PQ⃗⋅(d1⃗×d2⃗)∣∥d1⃗×d2⃗∥d=\dfrac{|\vec{PQ}\cdot(\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}})|}{\|\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}}\|}, et interprétez ce quotient.
  • d) On déplace Δ2\Delta_{2} pour qu'elle passe désormais par le point Q′(2; 1; m)Q'(2;\ 1;\ m), sa direction d2⃗\vec{d_{2}} restant inchangée. Déterminez la valeur de mm pour laquelle Δ1\Delta_{1} et Δ2\Delta_{2} deviennent sécantes.

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) (1; −3; −5)(1;\ -3;\ -5) : non parallèles
  • b) Produit mixte 3 : gauches
  • c) 335≈0,51\frac{3}{\sqrt{35}}\approx 0{,}51
  • d) m=35m=\frac35
a)

d1⃗×d2⃗=((2)(1)−(−1)(−1); (−1)(2)−(1)(1); (1)(−1)−(2)(2))=(2−1; −2−1; −1−4)=(1; −3; −5)\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}}=\big((2)(1)-(-1)(-1);\ (-1)(2)-(1)(1);\ (1)(-1)-(2)(2)\big)=(2-1;\ -2-1;\ -1-4)=(1;\ -3;\ -5). Ce vecteur n'est pas nul, donc d1⃗\vec{d_{1}} et d2⃗\vec{d_{2}} ne sont pas colinéaires : les deux droites ne sont PAS parallèles. Il reste alors deux possibilités, sécantes ou gauches, que la question b) départage.

b)

PQ⃗=(2−1; 1−0; 0−1)=(1; 1; −1)\vec{PQ}=(2-1;\ 1-0;\ 0-1)=(1;\ 1;\ -1). Le produit mixte vaut PQ⃗⋅(d1⃗×d2⃗)=(1)(1)+(1)(−3)+(−1)(−5)=1−3+5=3\vec{PQ}\cdot(\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}})=(1)(1)+(1)(-3)+(-1)(-5)=1-3+5=3. Ce produit mixte est NON NUL, donc les vecteurs PQ⃗\vec{PQ}, d1⃗\vec{d_{1}} et d2⃗\vec{d_{2}} ne sont pas coplanaires. Or deux droites sont coplanaires si et seulement si ce produit mixte est nul : ici les droites ne sont pas dans un même plan, elles sont donc GAUCHES. Comme elles ne sont ni parallèles ni sécantes, elles ne se rencontrent jamais tout en n'ayant pas la même direction.

c)

La norme du produit vectoriel vaut ∥d1⃗×d2⃗∥=1+9+25=35\|\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}}\|=\sqrt{1+9+25}=\sqrt{35}, donc d=∣3∣35=335≈0,51d=\dfrac{|3|}{\sqrt{35}}=\dfrac{3}{\sqrt{35}}\approx 0{,}51. Interprétation : le produit mixte ∣PQ⃗⋅(d1⃗×d2⃗)∣|\vec{PQ}\cdot(\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}})| est le volume du parallélépipède construit sur PQ⃗\vec{PQ}, d1⃗\vec{d_{1}} et d2⃗\vec{d_{2}} ; la norme ∥d1⃗×d2⃗∥\|\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}}\| est l'aire de la base construite sur d1⃗\vec{d_{1}} et d2⃗\vec{d_{2}}. Le quotient est donc la HAUTEUR du parallélépipède, mesurée perpendiculairement à la base, c'est-à-dire l'écart le plus court entre les deux droites, le long de leur perpendiculaire commune. Un volume divisé par une aire redonne bien une longueur.

d)

En remplaçant QQ par Q′(2; 1; m)Q'(2;\ 1;\ m), le vecteur devient PQ′⃗=(1; 1; m−1)\vec{PQ'}=(1;\ 1;\ m-1), tandis que d1⃗×d2⃗=(1; −3; −5)\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}}=(1;\ -3;\ -5) ne change pas, car les directions sont inchangées. Les deux droites redeviennent coplanaires lorsque leur produit mixte s'annule : PQ′⃗⋅(d1⃗×d2⃗)=(1)(1)+(1)(−3)+(m−1)(−5)=1−3−5m+5=3−5m\vec{PQ'}\cdot(\vec{d_{1}}\times\vec{d_{2}})=(1)(1)+(1)(-3)+(m-1)(-5)=1-3-5m+5=3-5m. On résout 3−5m=03-5m=0, d'où m=35m=\dfrac{3}{5}. Pour cette valeur, les droites sont coplanaires ; et comme elles ne sont toujours pas parallèles (leurs directions restent non colinéaires), deux droites coplanaires non parallèles sont nécessairement SÉCANTES. Elles se coupent donc en un point unique lorsque m=35m=\dfrac{3}{5}.

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Le cube en coordonnées : angles, aire et distance

On place un cube d'arête 11 dans un repère orthonormé, avec les sommets O(0; 0; 0)O(0;\ 0;\ 0), A(1; 0; 0)A(1;\ 0;\ 0), B(0; 1; 0)B(0;\ 1;\ 0), C(0; 0; 1)C(0;\ 0;\ 1) et G(1; 1; 1)G(1;\ 1;\ 1), le sommet opposé à OO.

OABCGA'
  • a) Calculez l'angle entre les deux grandes diagonales OG⃗\vec{OG} et AA′⃗\vec{AA'}, où A′(0; 1; 1)A'(0;\ 1;\ 1) est le sommet opposé à AA. Arrondissez au dixième de degré.
  • b) Calculez l'angle entre la diagonale de face (1; 1; 0)(1;\ 1;\ 0) et la grande diagonale OG⃗\vec{OG}, au dixième de degré.
  • c) Calculez l'aire du triangle ABCABC au millième. Quelle est sa nature ?
  • d) Calculez le volume du tétraèdre OABCOABC.
  • e) Déduisez de c) et d) la distance de OO au plan ABCABC, au millième. Quelle fraction de la diagonale [OG][OG] cette distance représente-t-elle ?

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a)
b)
c)
d)
e)
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Réponses

  • a) cos⁡θ=13\cos\theta=\frac13 : 70,5∘70{,}5^\circ
  • b) 35,3∘35{,}3^\circ
  • c) 32≈0,866\frac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}866, équilatéral
  • d) 16\frac16
  • e) 13≈0,577\frac{1}{\sqrt3}\approx 0{,}577 : le tiers
a)

OG⃗=(1; 1; 1)\vec{OG}=(1;\ 1;\ 1) et AA′⃗=(−1; 1; 1)\vec{AA'}=(-1;\ 1;\ 1), de même norme 3\sqrt{3}. cos⁡θ=−1+1+13=13\cos\theta=\frac{-1+1+1}{3}=\frac{1}{3}, donc θ≈70,5∘\theta\approx 70{,}5^{\circ}. Deux grandes diagonales d'un cube ne sont pas perpendiculaires.

b)

cos⁡θ=1+1+023=26≈0,8165\cos\theta=\frac{1+1+0}{\sqrt{2}\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{6}}\approx 0{,}8165, donc θ≈35,3∘\theta\approx 35{,}3^{\circ}.

c)

AB⃗=(−1; 1; 0)\vec{AB}=(-1;\ 1;\ 0) et AC⃗=(−1; 0; 1)\vec{AC}=(-1;\ 0;\ 1), AB⃗×AC⃗=(1⋅1−0⋅0; 0⋅(−1)−(−1)⋅1; (−1)⋅0−1⋅(−1))=(1; 1; 1)\vec{AB}\times\vec{AC}=(1\cdot 1-0\cdot 0;\ 0\cdot(-1)-(-1)\cdot 1;\ (-1)\cdot 0-1\cdot(-1))=(1;\ 1;\ 1). Aire 32≈0,866\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866. Les trois côtés sont des diagonales de face, de longueur 2\sqrt{2} : le triangle est ÉQUILATÉRAL, et 34(2)2=32\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} le confirme.

d)

(OA⃗×OB⃗)⋅OC⃗=(0; 0; 1)⋅(0; 0; 1)=1(\vec{OA}\times\vec{OB})\cdot\vec{OC}=(0;\ 0;\ 1)\cdot(0;\ 0;\ 1)=1, donc V=16≈0,167V=\frac{1}{6}\approx 0{,}167.

e)

V=13 A hV=\frac{1}{3}\,\mathcal{A}\,h donne h=3VA=1/23/2=13≈0,577h=\frac{3V}{\mathcal{A}}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577. La diagonale mesure 3\sqrt{3}, donc h3=13\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3} : le plan ABCABC, d'équation x+y+z=1x+y+z=1, coupe la grande diagonale au tiers de sa longueur, et la normale (1; 1; 1)(1;\ 1;\ 1) trouvée en c) est justement dirigée selon cette diagonale.

Le fil : dans le cube, chaque question de géométrie se ramène à un produit scalaire, un produit vectoriel ou un produit mixte sur des vecteurs à coordonnées 00 et 11.

Exercice 12 : Un parallélogramme de l'espace

On considère les points A(1; 0; 2)A(1;\ 0;\ 2), B(3; 1; 4)B(3;\ 1;\ 4), C(4; 3; 3)C(4;\ 3;\ 3) et D(2; 2; 1)D(2;\ 2;\ 1).

ABCD
  • a) Montrez que ABCDABCD est un parallélogramme.
  • b) Ce parallélogramme est-il un rectangle ?
  • c) Calculez son aire, au centième.
  • d) Calculez l'angle BAD^\widehat{BAD}, au dixième de degré.
  • e) Calculez les longueurs des deux diagonales, au centième, et vérifiez l'identité du parallélogramme AC2+BD2=2(AB2+AD2)AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+AD^{2}).

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a)
b)
c)
d)
e)
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Réponses

  • a) AB⃗=DC⃗=(2;1;2)\vec{AB}=\vec{DC}=(2;1;2)
  • b) Non : produit scalaire 2
  • c) 50≈7,07\sqrt{50}\approx 7{,}07
  • d) 74,2∘74{,}2^\circ
  • e) 19\sqrt{19} et 11\sqrt{11} : 30=3030=30
a)

AB⃗=(2; 1; 2)\vec{AB}=(2;\ 1;\ 2) et DC⃗=(4−2; 3−2; 3−1)=(2; 1; 2)\vec{DC}=(4-2;\ 3-2;\ 3-1)=(2;\ 1;\ 2) : AB⃗=DC⃗\vec{AB}=\vec{DC}, donc ABCDABCD est un parallélogramme. Il faut aussi que les quatre points ne soient pas alignés : AD⃗=(1; 2; −1)\vec{AD}=(1;\ 2;\ -1) n'est pas colinéaire à AB⃗\vec{AB}.

b)

AB⃗⋅AD⃗=2+2−2=2≠0\vec{AB}\cdot\vec{AD}=2+2-2=2\neq 0 : l'angle en AA n'est pas droit, ce n'est pas un rectangle.

c)

AB⃗×AD⃗=(1⋅(−1)−2⋅2; 2⋅1−2⋅(−1); 2⋅2−1⋅1)=(−5; 4; 3)\vec{AB}\times\vec{AD}=(1\cdot(-1)-2\cdot 2;\ 2\cdot 1-2\cdot(-1);\ 2\cdot 2-1\cdot 1)=(-5;\ 4;\ 3), de norme 25+16+9=50≈7,07\sqrt{25+16+9}=\sqrt{50}\approx 7{,}07. C'est l'aire du parallélogramme, sans division par deux.

d)

∥AB⃗∥=3\|\vec{AB}\|=3 et ∥AD⃗∥=6\|\vec{AD}\|=\sqrt{6}, donc cos⁡BAD^=236≈0,2722\cos\widehat{BAD}=\frac{2}{3\sqrt{6}}\approx 0{,}2722 et BAD^≈74,2∘\widehat{BAD}\approx 74{,}2^{\circ}. Contrôle par l'aire : 36sin⁡74,2∘≈7,073\sqrt{6}\sin 74{,}2^{\circ}\approx 7{,}07.

e)

AC⃗=(3; 3; 1)\vec{AC}=(3;\ 3;\ 1), AC=19≈4,36AC=\sqrt{19}\approx 4{,}36 ; BD⃗=(−1; 1; −3)\vec{BD}=(-1;\ 1;\ -3), BD=11≈3,32BD=\sqrt{11}\approx 3{,}32. AC2+BD2=19+11=30AC^{2}+BD^{2}=19+11=30 et 2(AB2+AD2)=2(9+6)=302(AB^{2}+AD^{2})=2(9+6)=30 : l'identité est vérifiée. Les diagonales sont inégales, ce qui confirme que ce n'est pas un rectangle.

Le fil : l'égalité de deux vecteurs fait le parallélogramme, le produit scalaire décide de l'angle droit, le produit vectoriel donne l'aire.

Exercice 13 : Décomposer un vecteur par produits mixtes

On note [p⃗,q⃗,r⃗]=p⃗⋅(q⃗×r⃗)[\vec{p},\vec{q},\vec{r}]=\vec{p}\cdot(\vec{q}\times\vec{r}) le produit mixte. On considère a⃗=(1; 0; 1)\vec{a}=(1;\ 0;\ 1), b⃗=(0; 1; 1)\vec{b}=(0;\ 1;\ 1), c⃗=(1; 1; 0)\vec{c}=(1;\ 1;\ 0) et v⃗=(3; 5; 4)\vec{v}=(3;\ 5;\ 4).

  • a) Calculez [a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a},\vec{b},\vec{c}]. Que pouvez-vous conclure sur la famille {a⃗; b⃗; c⃗}\{\vec{a};\ \vec{b};\ \vec{c}\} ?
  • b) On écrit v⃗=αa⃗+βb⃗+γc⃗\vec{v}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}. En multipliant scalairement par b⃗×c⃗\vec{b}\times\vec{c}, montrez que α=[v⃗,b⃗,c⃗][a⃗,b⃗,c⃗]\alpha=\dfrac{[\vec{v},\vec{b},\vec{c}]}{[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]}.
  • c) Calculez α\alpha.
  • d) Par le même raisonnement, calculez β=[a⃗,v⃗,c⃗][a⃗,b⃗,c⃗]\beta=\dfrac{[\vec{a},\vec{v},\vec{c}]}{[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]} et γ=[a⃗,b⃗,v⃗][a⃗,b⃗,c⃗]\gamma=\dfrac{[\vec{a},\vec{b},\vec{v}]}{[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]}.
  • e) Vérifiez la décomposition, et reconnaissez la règle de résolution des systèmes que ces formules traduisent.

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a)
c)
d)
e)
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Réponses

  • a) −2-2 : base
  • b) Les deux autres termes s'annulent
  • c) α=1\alpha=1
  • d) β=3\beta=3, γ=2\gamma=2
  • e) Règle de Cramer
a)

b⃗×c⃗=(1⋅0−1⋅1; 1⋅1−0⋅0; 0⋅1−1⋅1)=(−1; 1; −1)\vec{b}\times\vec{c}=(1\cdot 0-1\cdot 1;\ 1\cdot 1-0\cdot 0;\ 0\cdot 1-1\cdot 1)=(-1;\ 1;\ -1), puis [a⃗,b⃗,c⃗]=−1+0−1=−2≠0[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=-1+0-1=-2\neq 0. Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires : ils forment une base de R3\mathbb{R}^{3}, et la décomposition de v⃗\vec{v} existe et est unique.

b)

b⃗×c⃗\vec{b}\times\vec{c} est orthogonal à b⃗\vec{b} et à c⃗\vec{c}, donc b⃗⋅(b⃗×c⃗)=c⃗⋅(b⃗×c⃗)=0\vec{b}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{c}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0. En multipliant l'égalité par b⃗×c⃗\vec{b}\times\vec{c}, il reste v⃗⋅(b⃗×c⃗)=α a⃗⋅(b⃗×c⃗)\vec{v}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\alpha\,\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}), d'où la formule, le dénominateur étant non nul.

c)

[v⃗,b⃗,c⃗]=(3; 5; 4)⋅(−1; 1; −1)=−3+5−4=−2[\vec{v},\vec{b},\vec{c}]=(3;\ 5;\ 4)\cdot(-1;\ 1;\ -1)=-3+5-4=-2, donc α=−2−2=1\alpha=\frac{-2}{-2}=1.

d)

v⃗×c⃗=(5⋅0−4⋅1; 4⋅1−3⋅0; 3⋅1−5⋅1)=(−4; 4; −2)\vec{v}\times\vec{c}=(5\cdot 0-4\cdot 1;\ 4\cdot 1-3\cdot 0;\ 3\cdot 1-5\cdot 1)=(-4;\ 4;\ -2) et [a⃗,v⃗,c⃗]=−4+0−2=−6[\vec{a},\vec{v},\vec{c}]=-4+0-2=-6, donc β=3\beta=3. b⃗×v⃗=(1⋅4−1⋅5; 1⋅3−0⋅4; 0⋅5−1⋅3)=(−1; 3; −3)\vec{b}\times\vec{v}=(1\cdot 4-1\cdot 5;\ 1\cdot 3-0\cdot 4;\ 0\cdot 5-1\cdot 3)=(-1;\ 3;\ -3) et [a⃗,b⃗,v⃗]=−1+0−3=−4[\vec{a},\vec{b},\vec{v}]=-1+0-3=-4, donc γ=2\gamma=2.

e)

a⃗+3b⃗+2c⃗=(1+0+2; 0+3+2; 1+3+0)=(3; 5; 4)=v⃗\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}=(1+0+2;\ 0+3+2;\ 1+3+0)=(3;\ 5;\ 4)=\vec{v}. Ces formules sont la RÈGLE DE CRAMER : le produit mixte est le déterminant des trois vecteurs, et chaque inconnue est le quotient du déterminant où v⃗\vec{v} remplace le vecteur correspondant par le déterminant de la base.

Le fil : le produit mixte isole une coordonnée en annulant d'un coup les deux autres ; c'est l'idée géométrique derrière Cramer.

Exercice 14 : Problème : le méthane et l'angle tétraédrique

Dans la molécule de méthane CH4CH_{4}, on place l'atome de carbone à l'origine et les quatre atomes d'hydrogène en H1(1; 1; 1)H_{1}(1;\ 1;\ 1), H2(1; −1; −1)H_{2}(1;\ -1;\ -1), H3(−1; 1; −1)H_{3}(-1;\ 1;\ -1) et H4(−1; −1; 1)H_{4}(-1;\ -1;\ 1), dans une unité de longueur à préciser.

H₁H₂H₃H₄C
  • a) Calculez la distance entre le carbone et chaque hydrogène, au millième. Que constatez-vous ?
  • b) Calculez l'angle H1CH2^\widehat{H_{1}CH_{2}}, au dixième de degré.
  • c) Calculez la distance H1H2H_{1}H_{2} au centième, et montrez que les six distances entre hydrogènes sont égales. Quelle est la forme du solide H1H2H3H4H_{1}H_{2}H_{3}H_{4} ?
  • d) La liaison carbone-hydrogène mesure réellement 1,091{,}09 angström. Quelle longueur, en angströms, vaut une unité du repère ? Déduisez-en la distance réelle entre deux hydrogènes, au centième.
  • e) Calculez CH1⃗+CH2⃗+CH3⃗+CH4⃗\vec{CH_{1}}+\vec{CH_{2}}+\vec{CH_{3}}+\vec{CH_{4}}. Qu'en déduisez-vous sur la position du carbone, et sur la polarité de la molécule ?

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a)
b)
c)
d)
e)
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Réponses

  • a) 3≈1,732\sqrt3\approx 1{,}732 pour les quatre
  • b) 109,5∘109{,}5^\circ
  • c) 8≈2,83\sqrt8\approx 2{,}83 : tétraèdre régulier
  • d) 0,6290{,}629 Å ; 1,781{,}78 Å
  • e) Somme nulle : apolaire
a)

CHi=1+1+1=3≈1,732CH_{i}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\approx 1{,}732 pour chacun des quatre : les hydrogènes sont à égale distance du carbone.

b)

CH1⃗⋅CH2⃗=1−1−1=−1\vec{CH_{1}}\cdot\vec{CH_{2}}=1-1-1=-1, donc cos⁡θ=−13\cos\theta=\frac{-1}{3} et θ≈109,5∘\theta\approx 109{,}5^{\circ}. C'est l'angle TÉTRAÉDRIQUE, le même pour les six paires, puisque chaque produit scalaire entre deux hydrogènes distincts vaut −1-1.

c)

H1H2⃗=(0; −2; −2)\vec{H_{1}H_{2}}=(0;\ -2;\ -2), de norme 8≈2,83\sqrt{8}\approx 2{,}83. Deux hydrogènes distincts ont toujours deux coordonnées opposées et une égale : chaque différence contient deux ±2\pm 2 et un 00, et les six distances valent 8\sqrt{8}. Le solide est un TÉTRAÈDRE RÉGULIER, dont le carbone occupe le centre.

d)

3\sqrt{3} unités valent 1,091{,}09 angström, donc une unité vaut 1,093≈0,629\frac{1{,}09}{\sqrt{3}}\approx 0{,}629 angström. H1H2=8×0,629≈1,78H_{1}H_{2}=\sqrt{8}\times 0{,}629\approx 1{,}78 angström, en accord avec la valeur mesurée pour le méthane.

e)

La somme vaut (1+1−1−1; 1−1+1−1; 1−1−1+1)=(0; 0; 0)(1+1-1-1;\ 1-1+1-1;\ 1-1-1+1)=(0;\ 0;\ 0) : le carbone est l'isobarycentre des quatre hydrogènes. Les quatre liaisons étant identiques et de même longueur, leurs moments dipolaires, portés par ces quatre vecteurs, s'annulent : la molécule est APOLAIRE.

Le fil : la symétrie d'une molécule se lit sur les coordonnées ; produits scalaires et normes donnent les angles et les distances de liaison.

Exercice 15 : Problème : la puissance reçue par un panneau solaire

Un panneau solaire rectangulaire a pour côtés les vecteurs a⃗=(2; 0; 0)\vec{a}=(2;\ 0;\ 0) et b⃗=(0; 1; 1)\vec{b}=(0;\ 1;\ 1), en mètres, l'axe zz étant vertical. La lumière du Soleil arrive selon la direction unitaire s⃗=13(1; −2; 2)\vec{s}=\frac{1}{3}(1;\ -2;\ 2), orientée vers le Soleil, avec un éclairement de 1 000 W1\,000\ \mathrm{W} par mètre carré perpendiculaire aux rayons.

On admet que la puissance reçue vaut 1 000×(a⃗×b⃗)⋅s⃗1\,000\times(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{s} watts : l'aire du panneau multipliée par le cosinus de l'angle entre sa normale et la direction du Soleil.

La flèche orange indique la direction du Soleil.

xyzOabs
  • a) Vérifiez que le panneau est bien rectangulaire, puis calculez son aire au centième.
  • b) Calculez le vecteur normal a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} et vérifiez que s⃗\vec{s} est unitaire.
  • c) Calculez l'angle d'incidence, entre la normale et la direction du Soleil, au dixième de degré.
  • d) Calculez la puissance reçue par le panneau, à l'unité.
  • e) Quelle puissance recevrait le même panneau posé à plat, de normale (0; 0; 1)(0;\ 0;\ 1) ? Et orienté exactement face au Soleil ?

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a)
b)
c)
d)
e)
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Réponses

  • a) Rectangle, 22≈2,832\sqrt2\approx 2{,}83 m²
  • b) (0; −2; 2)(0;\ -2;\ 2)
  • c) 19,5∘19{,}5^\circ
  • d) 2 667 W
  • e) 1 886 W à plat ; 2 828 W face au Soleil
a)

a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 : les côtés sont perpendiculaires, le parallélogramme est un rectangle. Aire ∥a⃗∥ ∥b⃗∥=22≈2,83 m2\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|=2\sqrt{2}\approx 2{,}83\ \mathrm{m^{2}}.

b)

a⃗×b⃗=(0⋅1−0⋅1; 0⋅0−2⋅1; 2⋅1−0⋅0)=(0; −2; 2)\vec{a}\times\vec{b}=(0\cdot 1-0\cdot 1;\ 0\cdot 0-2\cdot 1;\ 2\cdot 1-0\cdot 0)=(0;\ -2;\ 2), de norme 8\sqrt{8}, égale à l'aire. ∥s⃗∥=131+4+4=1\|\vec{s}\|=\frac{1}{3}\sqrt{1+4+4}=1.

c)

(a⃗×b⃗)⋅s⃗=13(0+4+4)=83(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{s}=\frac{1}{3}(0+4+4)=\frac{8}{3}, donc cos⁡i=8/38≈0,9428\cos i=\frac{8/3}{\sqrt{8}}\approx 0{,}9428 et i≈19,5∘i\approx 19{,}5^{\circ}.

d)

P=1 000×83≈2 667 WP=1\,000\times\frac{8}{3}\approx 2\,667\ \mathrm{W}. Le produit mixte donne directement l'aire APPARENTE du panneau vue du Soleil, 83≈2,67 m2\frac{8}{3}\approx 2{,}67\ \mathrm{m^{2}}.

e)

À plat, la normale de même longueur est (0; 0; 22)(0;\ 0;\ 2\sqrt{2}) et (0; 0; 22)⋅s⃗=423≈1,886(0;\ 0;\ 2\sqrt{2})\cdot\vec{s}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\approx 1{,}886 : P≈1 886 WP\approx 1\,886\ \mathrm{W}. Face au Soleil, cos⁡i=1\cos i=1 et P=1 000×22≈2 828 WP=1\,000\times 2\sqrt{2}\approx 2\,828\ \mathrm{W}. L'inclinaison choisie récupère déjà 94 %94\ \% du maximum, contre 67 %67\ \% à plat.

Le fil : le produit vectoriel des côtés donne une normale dont la norme est l'aire ; son produit scalaire avec une direction donne l'aire vue depuis cette direction.

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