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Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep

Exercices corrigés : les vecteurs dans l'espace et les trois produits (201-NYC / Maths 105)

Voici la série d'exercices corrigés d'algèbre linéaire et géométrie vectorielle (cours 201-NYC, aussi appelé Maths 105 selon le programme visé) sur les vecteurs dans l'espace. La partie A couvre les bases : composantes et norme dans R3\mathbb{R}^{3}, opérations et vecteur unitaire, produit scalaire, angle et projection orthogonale, produit vectoriel et aires, produit mixte et volumes. La partie B monte au niveau examen : l'identité de Lagrange démontrée puis vérifiée, le critère de coplanarité, et un tétraèdre complet où la hauteur se calcule de deux façons indépendantes qui doivent concorder.

Cette série s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature comme aux élèves de Première du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois de mathématiques. Un avertissement pour ceux qui viennent du programme français : le produit vectoriel et le produit mixte n'existent pas dans le programme de spécialité. Ce sont deux outils entièrement nouveaux, et ce sont eux qui font la différence sur l'évaluation.

Le réflexe à garder tout du long : le produit scalaire rend un nombre, le produit vectoriel rend un vecteur, le produit mixte rend un nombre. Avant d'écrire une ligne de calcul, demandez-vous ce que la question attend comme type de réponse. La moitié des erreurs d'examen vient de là.

Rappel de cours

  • • Composantes d'un vecteur entre deux points de l'espace : AB⃗=(xB−xA; yB−yA; zB−zA)\vec{AB}=(x_{B}-x_{A};\ y_{B}-y_{A};\ z_{B}-z_{A}). Norme : ∥v⃗∥=a2+b2+c2\|\vec{v}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} pour v⃗=(a; b; c)\vec{v}=(a;\ b;\ c). Vecteur unitaire de même direction : v⃗∥v⃗∥\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
  • • Produit scalaire : u⃗⋅v⃗=a1a2+b1b2+c1c2=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta. C'est un NOMBRE. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0. Le signe donne la nature de l'angle : positif si aigu, nul si droit, négatif si obtus.
  • • Projection orthogonale de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v} : vecteur projeté  uv⃗=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2 v⃗\ \vec{u_{v}}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v} ; mesure algébrique =u⃗⋅v⃗∥v⃗∥=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
  • • Produit vectoriel : u⃗×v⃗=(b1c2−c1b2; c1a2−a1c2; a1b2−b1a2)\vec{u}\times\vec{v}=(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2};\ c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2};\ a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}). C'est un VECTEUR, orthogonal à la fois à u⃗\vec{u} et à v⃗\vec{v}. Il n'est pas commutatif : v⃗×u⃗=−(u⃗×v⃗)\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v}).
  • • Norme du produit vectoriel : ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta. C'est l'aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ; l'aire du triangle en est la moitié. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si u⃗×v⃗=0⃗\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}.
  • • Produit mixte : u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). C'est un NOMBRE. Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs ; le volume du tétraèdre correspondant en est le sixième. Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul.
  • • Plan passant par un point P(x0; y0; z0)P(x_{0};\ y_{0};\ z_{0}) et de vecteur normal n⃗=(a; b; c)\vec{n}=(a;\ b;\ c) : a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0. Distance d'un point SS à ce plan : d=∣axS+byS+czS+d0∣a2+b2+c2d=\dfrac{|ax_{S}+by_{S}+cz_{S}+d_{0}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

Partie A : Les bases dans l'espace (/28)

Exercice 1 : Composantes, norme et opérations dans l'espace

On considère les points A(1; 2; −1)A(1;\ 2;\ -1), B(3; 5; 5)B(3;\ 5;\ 5) et C(2; 6; 7)C(2;\ 6;\ 7) de l'espace.

  • a) Déterminez les composantes des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}.
  • b) Calculez ∥AB⃗∥\|\vec{AB}\| et ∥AC⃗∥\|\vec{AC}\|.
  • c) Déterminez les composantes du vecteur 2AB⃗−3AC⃗2\vec{AB}-3\vec{AC}.
  • d) Déterminez le vecteur unitaire de même direction et de même sens que AB⃗\vec{AB}.
Voir la correction

a) AB⃗=(3−1; 5−2; 5−(−1))=(2; 3; 6)\vec{AB}=(3-1;\ 5-2;\ 5-(-1))=(2;\ 3;\ 6) et AC⃗=(2−1; 6−2; 7−(−1))=(1; 4; 8)\vec{AC}=(2-1;\ 6-2;\ 7-(-1))=(1;\ 4;\ 8).

b) ∥AB⃗∥=22+32+62=4+9+36=49=7\|\vec{AB}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7 et ∥AC⃗∥=12+42+82=1+16+64=81=9\|\vec{AC}\|=\sqrt{1^{2}+4^{2}+8^{2}}=\sqrt{1+16+64}=\sqrt{81}=9.

c) 2AB⃗=(4; 6; 12)2\vec{AB}=(4;\ 6;\ 12) et 3AC⃗=(3; 12; 24)3\vec{AC}=(3;\ 12;\ 24), donc 2AB⃗−3AC⃗=(4−3; 6−12; 12−24)=(1; −6; −12)2\vec{AB}-3\vec{AC}=(4-3;\ 6-12;\ 12-24)=(1;\ -6;\ -12).

d) Le vecteur unitaire est AB⃗∥AB⃗∥=17(2; 3; 6)=(27; 37; 67)\dfrac{\vec{AB}}{\|\vec{AB}\|}=\dfrac{1}{7}(2;\ 3;\ 6)=\left(\dfrac{2}{7};\ \dfrac{3}{7};\ \dfrac{6}{7}\right). Vérification : 449+949+3649=4949=1\sqrt{\dfrac{4}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{36}{49}}=\sqrt{\dfrac{49}{49}}=1.

Exercice 2 : Produit scalaire, angle et projection orthogonale

On considère les vecteurs u⃗=(2; −1; 3)\vec{u}=(2;\ -1;\ 3) et v⃗=(1; 4; −2)\vec{v}=(1;\ 4;\ -2).

  • a) Calculez u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}. Sans calculer l'angle, dites si l'angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est aigu, droit ou obtus, et justifiez.
  • b) Calculez la mesure de l'angle θ\theta entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, au dixième de degré près.
  • c) Déterminez la valeur de kk pour laquelle u⃗\vec{u} est orthogonal à w⃗=(k; 2; 1)\vec{w}=(k;\ 2;\ 1).
  • d) Déterminez le vecteur projeté de u⃗\vec{u} sur v⃗\vec{v}.
Voir la correction

a) u⃗⋅v⃗=(2)(1)+(−1)(4)+(3)(−2)=2−4−6=−8\vec{u}\cdot\vec{v}=(2)(1)+(-1)(4)+(3)(-2)=2-4-6=-8. Le produit scalaire est négatif, donc cos⁡θ<0\cos\theta<0 et l'angle est obtus. Aucun calcul d'angle n'est nécessaire : le signe suffit.

b) ∥u⃗∥=4+1+9=14\|\vec{u}\|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14} et ∥v⃗∥=1+16+4=21\|\vec{v}\|=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}. Donc cos⁡θ=−81421=−8294≈−0,4666\cos\theta=\dfrac{-8}{\sqrt{14}\sqrt{21}}=\dfrac{-8}{\sqrt{294}}\approx -0{,}4666, d'où θ≈117,8∘\theta\approx 117{,}8^{\circ}. C'est bien un angle obtus, cohérent avec a).

c) u⃗⋅w⃗=2k+(−1)(2)+(3)(1)=2k+1\vec{u}\cdot\vec{w}=2k+(-1)(2)+(3)(1)=2k+1. L'orthogonalité impose 2k+1=02k+1=0, donc k=−12k=-\dfrac{1}{2}.

d) uv⃗=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2 v⃗=−821(1; 4; −2)=(−821; −3221; 1621)\vec{u_{v}}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}=\dfrac{-8}{21}(1;\ 4;\ -2)=\left(-\dfrac{8}{21};\ -\dfrac{32}{21};\ \dfrac{16}{21}\right). Le vecteur projeté pointe dans le sens opposé à v⃗\vec{v}, ce qui est normal puisque l'angle est obtus.

Exercice 3 : Produit vectoriel, orthogonalité et aires

On reprend u⃗=(2; −1; 3)\vec{u}=(2;\ -1;\ 3) et v⃗=(1; 4; −2)\vec{v}=(1;\ 4;\ -2).

  • a) Calculez u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v}.
  • b) Vérifiez par le calcul que u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} est orthogonal à u⃗\vec{u} et à v⃗\vec{v}.
  • c) Calculez l'aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, puis l'aire du triangle correspondant.
  • d) Calculez v⃗×u⃗\vec{v}\times\vec{u} et comparez avec le résultat de a). Que peut-on en conclure sur la commutativité du produit vectoriel ?
Voir la correction

a) u⃗×v⃗=((−1)(−2)−(3)(4); (3)(1)−(2)(−2); (2)(4)−(−1)(1))=(2−12; 3+4; 8+1)=(−10; 7; 9)\vec{u}\times\vec{v}=((-1)(-2)-(3)(4);\ (3)(1)-(2)(-2);\ (2)(4)-(-1)(1))=(2-12;\ 3+4;\ 8+1)=(-10;\ 7;\ 9).

b) (u⃗×v⃗)⋅u⃗=(−10)(2)+(7)(−1)+(9)(3)=−20−7+27=0(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=(-10)(2)+(7)(-1)+(9)(3)=-20-7+27=0 et (u⃗×v⃗)⋅v⃗=(−10)(1)+(7)(4)+(9)(−2)=−10+28−18=0(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=(-10)(1)+(7)(4)+(9)(-2)=-10+28-18=0. Les deux produits scalaires sont nuls, donc u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} est bien orthogonal aux deux vecteurs.

c) ∥u⃗×v⃗∥=(−10)2+72+92=100+49+81=230≈15,17\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{(-10)^{2}+7^{2}+9^{2}}=\sqrt{100+49+81}=\sqrt{230}\approx 15{,}17. L'aire du parallélogramme vaut 230≈15,17\sqrt{230}\approx 15{,}17 unités d'aire, et celle du triangle 2302≈7,58\dfrac{\sqrt{230}}{2}\approx 7{,}58 unités d'aire.

d) v⃗×u⃗=(10; −7; −9)=−(u⃗×v⃗)\vec{v}\times\vec{u}=(10;\ -7;\ -9)=-(\vec{u}\times\vec{v}). Le produit vectoriel n'est donc PAS commutatif : inverser l'ordre des facteurs inverse le sens du vecteur résultat. Il est anticommutatif. C'est la faute la plus coûteuse du chapitre, car la norme (et donc l'aire) reste la même : l'erreur ne se voit pas sur une aire, mais elle fausse tout vecteur normal orienté.

Exercice 4 : Produit mixte, volume et coplanarité

On reprend u⃗=(2; −1; 3)\vec{u}=(2;\ -1;\ 3) et v⃗=(1; 4; −2)\vec{v}=(1;\ 4;\ -2), et on pose w⃗=(3; 2; 1)\vec{w}=(3;\ 2;\ 1).

On rappelle que u⃗×v⃗=(−10; 7; 9)\vec{u}\times\vec{v}=(-10;\ 7;\ 9).

  • a) Calculez le produit mixte (u⃗×v⃗)⋅w⃗(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.
  • b) Les vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont-ils coplanaires ? Justifiez.
  • c) Calculez le volume du parallélépipède construit sur u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w}, puis le volume du tétraèdre correspondant.
  • d) On remplace w⃗\vec{w} par w′⃗=(3; 2; m)\vec{w'}=(3;\ 2;\ m). Déterminez la valeur de mm pour laquelle u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w′⃗\vec{w'} deviennent coplanaires.
Voir la correction

a) (u⃗×v⃗)⋅w⃗=(−10)(3)+(7)(2)+(9)(1)=−30+14+9=−7(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=(-10)(3)+(7)(2)+(9)(1)=-30+14+9=-7.

b) Le produit mixte vaut −7≠0-7\neq 0, donc les trois vecteurs ne sont PAS coplanaires. Attention au signe : c'est la nullité qui caractérise la coplanarité, pas le signe. Un produit mixte négatif indique seulement l'orientation du trièdre.

c) Volume du parallélépipède : V=∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣=∣−7∣=7V=|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|=|-7|=7 unités de volume. Volume du tétraèdre : Vt=76≈1,17V_{t}=\dfrac{7}{6}\approx 1{,}17 unité de volume.

d) (u⃗×v⃗)⋅w′⃗=(−10)(3)+(7)(2)+(9)(m)=−30+14+9m=9m−16(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w'}=(-10)(3)+(7)(2)+(9)(m)=-30+14+9m=9m-16. La coplanarité impose 9m−16=09m-16=0, donc m=169≈1,78m=\dfrac{16}{9}\approx 1{,}78.

Partie B : Niveau examen (/22)

Exercice 5 : Démonstrations : identité de Lagrange et critère de coplanarité

Cet exercice ne demande presque aucun calcul numérique : on y manipule les vecteurs eux-mêmes. Soit u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls de l'espace, et θ\theta l'angle entre eux.

  • a) En partant de u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta et de ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta, montrez que ∥u⃗×v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2 ∥v⃗∥2\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}+(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}. Cette égalité est l'identité de Lagrange.
  • b) Vérifiez cette identité sur les vecteurs u⃗=(2; −1; 3)\vec{u}=(2;\ -1;\ 3) et v⃗=(1; 4; −2)\vec{v}=(1;\ 4;\ -2) de la partie A.
  • c) Déduisez de l'identité de Lagrange que si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux, alors ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|. Interprétez géométriquement ce résultat en termes d'aire.
  • d) Montrez que trois vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} de l'espace sont coplanaires si et seulement si u⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0. On raisonnera sur la direction de v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w}.
Voir la correction

a) On élève les deux relations au carré : (u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2cos⁡2θ(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}\cos^{2}\theta et ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2sin⁡2θ\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}\sin^{2}\theta. En additionnant : ∥u⃗×v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=∥u⃗∥2∥v⃗∥2\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}+(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}, puisque sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. L'identité est démontrée.

b) On a u⃗×v⃗=(−10; 7; 9)\vec{u}\times\vec{v}=(-10;\ 7;\ 9) donc ∥u⃗×v⃗∥2=230\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}=230, et u⃗⋅v⃗=−8\vec{u}\cdot\vec{v}=-8 donc (u⃗⋅v⃗)2=64(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}=64. La somme vaut 230+64=294230+64=294. Par ailleurs ∥u⃗∥2=14\|\vec{u}\|^{2}=14 et ∥v⃗∥2=21\|\vec{v}\|^{2}=21, donc ∥u⃗∥2∥v⃗∥2=14×21=294\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}=14\times 21=294. Les deux membres sont égaux : l'identité est vérifiée.

c) Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux, alors u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0, et l'identité devient ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}, d'où ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| (les normes étant positives). Géométriquement : le parallélogramme construit sur deux vecteurs orthogonaux est un rectangle, et son aire est bien le produit des deux côtés. À θ\theta fixé, l'aire est maximale quand les vecteurs sont perpendiculaires.

d) Le vecteur v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w} est orthogonal au plan engendré par v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w}. Dire que u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont coplanaires revient à dire que u⃗\vec{u} appartient à ce plan, c'est-à-dire que u⃗\vec{u} est orthogonal à la normale v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w}, ce qui s'écrit exactement u⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0. Réciproquement, si ce produit scalaire est nul, u⃗\vec{u} est orthogonal à v⃗×w⃗\vec{v}\times\vec{w} donc appartient au plan de v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} : les trois vecteurs sont coplanaires. Lecture équivalente : le volume du parallélépipède est nul, donc le solide est aplati.

Exercice 6 : Problème : le tétraèdre, deux méthodes pour une hauteur

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le tétraèdre de sommets P(1; 1; 1)P(1;\ 1;\ 1), Q(3; 2; 1)Q(3;\ 2;\ 1), R(2; 4; 3)R(2;\ 4;\ 3) et S(4; 3; 5)S(4;\ 3;\ 5).

L'objectif est de calculer la hauteur du tétraèdre issue de SS, c'est-à-dire la distance de SS au plan PQRPQR, par deux chemins indépendants qui doivent donner le même nombre.

  • a) Déterminez les composantes de PQ⃗\vec{PQ}, PR⃗\vec{PR} et PS⃗\vec{PS}.
  • b) Calculez PQ⃗×PR⃗\vec{PQ}\times\vec{PR}, puis l'aire du triangle PQRPQR.
  • c) Calculez le volume du tétraèdre PQRSPQRS.
  • d) Première méthode : déduisez de b) et c) la hauteur hh issue de SS, en utilisant V=13×Abase×hV=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}_{base}\times h.
  • e) Deuxième méthode : déterminez une équation cartésienne du plan PQRPQR, puis calculez la distance de SS à ce plan. Vérifiez que vous retrouvez la hauteur de d).
  • f) Le point T(0; 5; 1)T(0;\ 5;\ 1) appartient-il au plan PQRPQR ? Si oui, que vaut le volume du tétraèdre PQRTPQRT, et pourquoi pouviez-vous le prévoir sans aucun calcul de volume ?
Voir la correction

a) PQ⃗=(3−1; 2−1; 1−1)=(2; 1; 0)\vec{PQ}=(3-1;\ 2-1;\ 1-1)=(2;\ 1;\ 0), PR⃗=(2−1; 4−1; 3−1)=(1; 3; 2)\vec{PR}=(2-1;\ 4-1;\ 3-1)=(1;\ 3;\ 2) et PS⃗=(4−1; 3−1; 5−1)=(3; 2; 4)\vec{PS}=(4-1;\ 3-1;\ 5-1)=(3;\ 2;\ 4).

b) PQ⃗×PR⃗=((1)(2)−(0)(3); (0)(1)−(2)(2); (2)(3)−(1)(1))=(2; −4; 5)\vec{PQ}\times\vec{PR}=((1)(2)-(0)(3);\ (0)(1)-(2)(2);\ (2)(3)-(1)(1))=(2;\ -4;\ 5). Sa norme vaut 4+16+25=45=35\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}. L'aire du triangle PQRPQR est la moitié de l'aire du parallélogramme : APQR=352≈3,35\mathcal{A}_{PQR}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\approx 3{,}35 unités d'aire.

c) Produit mixte : (PQ⃗×PR⃗)⋅PS⃗=(2)(3)+(−4)(2)+(5)(4)=6−8+20=18(\vec{PQ}\times\vec{PR})\cdot\vec{PS}=(2)(3)+(-4)(2)+(5)(4)=6-8+20=18. Le volume du tétraèdre vaut V=∣18∣6=3V=\dfrac{|18|}{6}=3 unités de volume.

d) De V=13APQR hV=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{PQR}\,h on tire h=3VAPQR=3×3352=9×235=1835=65=655≈2,68h=\dfrac{3V}{\mathcal{A}_{PQR}}=\dfrac{3\times 3}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{9\times 2}{3\sqrt{5}}=\dfrac{18}{3\sqrt{5}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\approx 2{,}68.

e) Le vecteur n⃗=PQ⃗×PR⃗=(2; −4; 5)\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=(2;\ -4;\ 5) est normal au plan PQRPQR, qui passe par P(1; 1; 1)P(1;\ 1;\ 1). Son équation est 2(x−1)−4(y−1)+5(z−1)=02(x-1)-4(y-1)+5(z-1)=0, soit 2x−4y+5z−3=02x-4y+5z-3=0. Vérification rapide sur QQ : 6−8+5−3=06-8+5-3=0, et sur RR : 4−16+15−3=04-16+15-3=0. Distance de S(4; 3; 5)S(4;\ 3;\ 5) : d=∣2(4)−4(3)+5(5)−3∣22+(−4)2+52=∣8−12+25−3∣45=1835=655≈2,68d=\dfrac{|2(4)-4(3)+5(5)-3|}{\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+5^{2}}}=\dfrac{|8-12+25-3|}{\sqrt{45}}=\dfrac{18}{3\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\approx 2{,}68. On retrouve exactement la hauteur de d), ce qui valide les deux chemins.

f) On teste T(0; 5; 1)T(0;\ 5;\ 1) dans l'équation du plan : 2(0)−4(5)+5(1)−3=0−20+5−3=−18≠02(0)-4(5)+5(1)-3=0-20+5-3=-18\neq 0. Donc TT n'appartient PAS au plan PQRPQR. Le volume du tétraèdre PQRTPQRT n'est donc pas nul : PT⃗=(−1; 4; 0)\vec{PT}=(-1;\ 4;\ 0) et (PQ⃗×PR⃗)⋅PT⃗=(2)(−1)+(−4)(4)+(5)(0)=−2−16=−18(\vec{PQ}\times\vec{PR})\cdot\vec{PT}=(2)(-1)+(-4)(4)+(5)(0)=-2-16=-18, d'où V=∣−18∣6=3V=\dfrac{|-18|}{6}=3 unités de volume. La prévision sans calcul de volume était possible : la valeur −18-18 obtenue en testant TT dans l'équation du plan EST le produit mixte, au signe près, car l'équation du plan est construite sur le même vecteur normal. Un point hors du plan donne un volume non nul ; seul un point du plan aurait donné un volume nul.

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