Exercices corrigés : les opérations sur les fonctions (math SN5)

a) La somme et la différence de deux fonctions se calculent TERME À TERME, exactement comme on additionne deux polynômes. $(f+g)(x)=(2x+1)+(x^{2}-4)=x^{2}+2x+1-4=x^{2}+2x-3$. Pour la différence, il faut distribuer le signe moins sur les DEUX termes de $g$, ce qui est le piège de la question : $(f-g)(x)=(2x+1)-(x^{2}-4)=2x+1-x^{2}+4=-x^{2}+2x+5$. Notez que le $-4$ devient $+4$. Observation graphique : la somme d'une droite et d'une parabole reste une parabole, mais la différence en RETOURNE l'ouverture, puisque le coefficient dominant passe de $+1$ à $-1$.

b) $(f\cdot g)(x)=(2x+1)(x^{2}-4)$. On distribue chaque terme du premier facteur : $2x\times x^{2}=2x^{3}$, $2x\times(-4)=-8x$, $1\times x^{2}=x^{2}$, $1\times(-4)=-4$. En ordonnant selon les puissances décroissantes : $2x^{3}+x^{2}-8x-4$. Le produit d'un polynôme de degré $1$ par un de degré $2$ donne un degré $3$, ce qui fournit un contrôle immédiat du résultat.

c) $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{2x+1}{x^{2}-4}$. Le domaine exige un dénominateur non nul : $x^{2}-4=0$ donne $(x-2)(x+2)=0$, donc $x=2$ ou $x=-2$. Domaine : $\mathbb{R}\setminus\{-2\,;2\}$. Le quotient est la SEULE des quatre opérations qui restreigne le domaine : somme, différence et produit de deux polynômes sont définis partout. Notez que ce sont les zéros de $g$, la fonction du DÉNOMINATEUR, qui sont exclus ; ceux de $f$ ne posent aucun problème et donnent simplement un quotient nul.

d) On calcule d'abord les valeurs séparément, ce qui est bien plus rapide que de passer par les règles combinées : $f(3)=2\times 3+1=7$ et $g(3)=3^{2}-4=5$. Alors $(f+g)(3)=7+5=12$, $(f\cdot g)(3)=7\times 5=35$ et $\left(\frac{f}{g}\right)(3)=\frac{7}{5}=1{,}4$. Contrôle par les règles trouvées : $3^{2}+2\times 3-3=9+6-3=12$ ✓ et $2\times 27+9-24-4=54+9-28=35$ ✓. Retenez le principe qui gouverne toute la partie A : évaluer une opération en un point revient à opérer sur les VALEURS, il n'est jamais nécessaire de construire la règle combinée pour répondre à une question numérique.

a) Composer, c'est enchaîner : dans $(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)$, on applique d'abord la fonction de DROITE, $g$, puis on donne son résultat à manger à $f$. L'ordre de lecture est donc inverse de l'ordre d'écriture, et c'est la source de la moitié des erreurs. Ici $g(x)=3x-2$, qu'on substitue partout où $f$ attend son argument : $f(3x-2)=(3x-2)^{2}+1$. On développe le carré sans oublier le double produit : $(3x-2)^{2}=9x^{2}-12x+4$, donc $(f\circ g)(x)=9x^{2}-12x+5$.

b) Dans l'autre sens, on applique d'abord $f$ : $(g\circ f)(x)=g\big(x^{2}+1\big)=3\left(x^{2}+1\right)-2=3x^{2}+3-2=3x^{2}+1$. Attention à distribuer le $3$ sur les deux termes de la parenthèse.

c) Deux chemins mènent au résultat, et le second est bien plus rapide en examen. Par la règle développée : $(f\circ g)(1)=9-12+5=2$. Par la voie directe, en enchaînant les valeurs : $g(1)=3\times 1-2=1$, puis $f(1)=1^{2}+1=2$ ✓. De même $(g\circ f)(1)$ : par la règle, $3\times 1+1=4$ ; directement, $f(1)=2$ puis $g(2)=3\times 2-2=4$ ✓. Quand une question ne demande qu'une VALEUR, il ne faut jamais construire la règle composée : deux substitutions numériques suffisent.

d) Non, la composition n'est PAS commutative. Les deux règles diffèrent, $9x^{2}-12x+5$ contre $3x^{2}+1$, et il suffit d'un contre-exemple pour le prouver définitivement : en $x=1$, l'une vaut $2$ et l'autre $4$. Ce n'est pas une bizarrerie mais la règle générale, et l'intuition est simple : élever au carré puis multiplier par $3$ ne donne pas la même chose que multiplier par $3$ puis élever au carré, car le carré amplifie le facteur. On peut d'ailleurs comparer les coefficients dominants, $9$ contre $3$ : dans $f\circ g$, le facteur $3$ de $g$ est passé DANS le carré et est devenu $9$. Les cas où la commutativité tient existent mais sont exceptionnels, par exemple avec la fonction identité, comme le montrera l'exercice 10.

a) $(f\circ g)(x)=f(x-3)=\sqrt{x-3}$. Le domaine se lit sur la contrainte de la fonction EXTÉRIEURE appliquée à l'expression intérieure : la racine exige $x-3\geq 0$, donc $x\geq 3$. Domaine : $[3\,;+\infty[$.

b) $(g\circ f)(x)=g\left(\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}-3$. Ici la racine porte directement sur $x$, et la soustraction de $3$ vient après, sans rien exiger : la seule contrainte est $x\geq 0$. Domaine : $[0\,;+\infty[$. La comparaison avec a) est instructive : les deux règles sont différentes, $\sqrt{x-3}$ contre $\sqrt{x}-3$, et leurs domaines aussi, $[3\,;+\infty[$ contre $[0\,;+\infty[$. L'ordre de composition change donc à la fois la règle ET le domaine, et il ne suffit pas de comparer les formules pour s'en apercevoir.

c) $(f\circ g)(x)=\sqrt{4-x^{2}}$. La racine exige $4-x^{2}\geq 0$, soit $x^{2}\leq 4$. Cette inéquation se lit comme une condition de distance : $|x|\leq 2$, donc $-2\leq x\leq 2$. Domaine : $[-2\,;2]$. Le schéma le confirme visuellement : la parabole $g(x)=4-x^{2}$ est au-dessus de l'axe des $x$ exactement entre ses deux zéros $-2$ et $2$, et c'est précisément là que la racine existe. Attention à ne pas conclure $x\leq 2$ seul, ce qui oublierait la borne de gauche : passer d'un carré à la variable exige toujours de considérer les deux signes.

d) La règle générale se formule en deux temps, et il faut les énoncer tous les deux. Premièrement, $x$ doit appartenir au domaine de la fonction INTÉRIEURE $g$, sans quoi $g(x)$ n'existe même pas. Deuxièmement, la valeur obtenue $g(x)$ doit appartenir au domaine de la fonction EXTÉRIEURE $f$, sans quoi $f$ ne peut pas l'accepter. Le domaine de $f\circ g$ est l'intersection de ces deux conditions. En pratique, la seconde se traduit selon la nature de $f$ : $g(x)\geq 0$ sous une racine carrée, $g(x)>0$ dans un logarithme, $g(x)\neq 0$ au dénominateur, et aucune condition pour une exponentielle ou un polynôme. Erreur à éviter absolument : lire le domaine sur la forme SIMPLIFIÉE de la composée. En a), $\sqrt{x-3}$ affiche bien sa contrainte, mais dans un cas comme $\left(\sqrt{x}\right)^{2}$, la simplification en $x$ ferait disparaître la condition $x\geq 0$ qui reste pourtant valable.

Méthode pour décomposer : on cherche ce que l'on ferait EN DERNIER si l'on calculait $h(x)$ à la calculatrice. Cette dernière opération est la fonction EXTÉRIEURE $f$, et tout ce qui la précède constitue la fonction intérieure $g$.

a) Pour calculer $\sqrt{2x+1}$, on calcule d'abord $2x+1$, puis on prend la racine. La dernière opération est la racine : $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=2x+1$. Vérification : $f\big(g(x)\big)=\sqrt{2x+1}=h(x)$ ✓.

b) Pour $(3x-5)^{2}$, on calcule $3x-5$ puis on élève au carré : $g(x)=3x-5$ et $f(x)=x^{2}$. Vérification : $f\big(g(x)\big)=(3x-5)^{2}=k(x)$ ✓.

c) Pour $\frac{1}{x^{2}+1}$, on calcule $x^{2}+1$ puis on prend l'inverse : $g(x)=x^{2}+1$ et $f(x)=\frac{1}{x}$. Vérification : $f\big(g(x)\big)=\frac{1}{x^{2}+1}=m(x)$ ✓. Remarquez au passage que la composée est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, bien que $f$ exclue $0$ : c'est que $g(x)=x^{2}+1$ ne vaut jamais $0$, il est toujours au moins $1$. Une contrainte de la fonction extérieure peut donc ne restreindre rien du tout.

d) Une autre décomposition de $k(x)=(3x-5)^{2}$ : posons $g(x)=3x$ et $f(x)=(x-5)^{2}$. Alors $f\big(g(x)\big)=(3x-5)^{2}=k(x)$ ✓, tout aussi valable. On pourrait en construire une infinité, par exemple $g(x)=3x-5$ suivi de $f(x)=x^{2}$, ou $g(x)=9x^{2}$ suivi d'une fonction plus tordue. La décomposition n'est donc PAS unique, et c'est une différence importante avec la composition elle-même, qui donne toujours un résultat unique. En pratique, on choisit la décomposition la plus NATURELLE, celle qui isole une fonction de référence du cours, ici le carré. Un dernier point utile en analyse : décomposer sert avant tout à repérer la structure d'une fonction, par exemple pour appliquer une règle qui ne vaut que sur les fonctions de base.

a) On lit les valeurs dans la table et on opère sur elles, sans avoir besoin des règles. $(f+g)(2)=f(2)+g(2)=3+2=5$. $(f-g)(3)=f(3)-g(3)=4-1=3$. $(f\cdot g)(1)=f(1)\times g(1)=2\times 3=6$. Chaque opération se fait POINT PAR POINT : c'est la définition même de la somme, de la différence et du produit de deux fonctions.

b) Une composition se lit de l'intérieur vers l'extérieur, en deux lectures successives de la table. $(f\circ g)(1)$ : on cherche d'abord $g(1)=3$, puis on cherche $f$ de ce résultat, $f(3)=4$. Donc $(f\circ g)(1)=4$. $(g\circ f)(2)$ : d'abord $f(2)=3$, puis $g(3)=1$. Donc $(g\circ f)(2)=1$. Le résultat intermédiaire doit être traité comme une nouvelle entrée, et l'erreur classique consiste à relire la même colonne au lieu de changer de fonction.

c) La somme $(f+g)(x)$ vaut $5$ pour TOUTES les valeurs de la table : elle est constante. L'explication se lit sur le graphique : les deux droites ont des pentes OPPOSÉES, $+1$ pour $f$ et $-1$ pour $g$. Quand $x$ augmente d'une unité, $f$ monte de $1$ et $g$ descend de $1$, si bien que leur somme ne bouge pas. Algébriquement, la table donne $f(x)=x+1$ et $g(x)=4-x$, dont la somme vaut $x+1+4-x=5$, les termes en $x$ s'annulant ✓. Retenez le principe : la pente d'une somme est la SOMME des pentes, donc deux pentes opposées donnent une somme de pente nulle, c'est-à-dire une constante.

d) $(f\circ g)(x)=2$ signifie $f\big(g(x)\big)=2$. On remonte la chaîne à l'envers, en deux temps. D'abord, pour quelle entrée $f$ vaut-elle $2$ ? La table donne $f(1)=2$, donc il faut $g(x)=1$. Ensuite, pour quel $x$ a-t-on $g(x)=1$ ? La table donne $g(3)=1$, donc $x=3$. Vérification en refaisant le trajet dans le bon sens : $g(3)=1$, puis $f(1)=2$ ✓. Cette résolution à rebours est la difficulté propre aux équations avec composition : on part de la sortie et l'on remonte, alors que le calcul direct part de l'entrée.

a) $(f\circ g)(x)=f(x-3)=2^{x-3}$. Une exponentielle accepte N'IMPORTE QUEL exposant réel, positif, négatif ou nul : elle n'impose aucune contrainte. Le domaine est donc celui de $g$ seule, c'est-à-dire $\mathbb{R}$. Évaluation : $(f\circ g)(5)=2^{5-3}=2^{2}=4$.

b) $(f\circ g)(x)=\log\left(x^{2}-9\right)$. Le logarithme exige un argument STRICTEMENT positif : $x^{2}-9>0$, soit $x^{2}>9$. En repassant à la variable, cela signifie $|x|>3$, donc $x<-3$ ou $x>3$. Domaine : $]-\infty\,;-3[\,\cup\,]3\,;+\infty[$, une réunion de deux intervalles avec des bornes OUVERTES.

c) $(f\circ g)(x)=\sqrt{x^{2}-9}$. La racine carrée, elle, accepte le zéro : la condition est $x^{2}-9\geq 0$, donc $|x|\geq 3$ et $x\leq -3$ ou $x\geq 3$. Domaine : $]-\infty\,;-3]\,\cup\,[3\,;+\infty[$. Comparez soigneusement avec b) : la seule différence est le type de crochet aux bornes $\pm 3$, fermé ici parce que $\sqrt{0}=0$ existe, ouvert là parce que $\log 0$ n'existe pas. Cette nuance est un point de barème classique, et elle distingue les deux fonctions.

d) $(f\circ g)(x)=\sqrt{9-x^{2}}$. La condition devient $9-x^{2}\geq 0$, soit $x^{2}\leq 9$, donc $-3\leq x\leq 3$. Domaine : $[-3\,;3]$, un intervalle unique et BORNÉ. Le contraste avec c) est frappant : en changeant $x^{2}-9$ en $9-x^{2}$, on a inversé la condition, et le domaine est passé de l'EXTÉRIEUR de $[-3\,;3]$ à son INTÉRIEUR. Les deux domaines sont complémentaires l'un de l'autre, aux bornes près qui appartiennent aux deux puisque l'expression y est nulle. La leçon : le domaine d'une composée dépend de façon décisive du SIGNE de l'expression intérieure, et il faut résoudre l'inéquation plutôt que la deviner.

a) On compose le coût avec la production : $(C\circ n)(t)=C\big(n(t)\big)$. On substitue $n(t)=15t$ dans $C(n)=200+8n$ : $C(15t)=200+8\times 15t=200+120t$ dollars. Interprétation des deux termes, qui est le vrai contenu du modèle : les $200$ dollars sont un coût FIXE, payé même sans produire, tandis que les $120$ dollars par heure sont le coût VARIABLE, produit du coût unitaire $8$ dollars par la cadence de $15$ tabourets à l'heure. Après $6$ heures : $200+120\times 6=200+720=920$ dollars.

b) Le profit est la différence entre ce qui rentre et ce qui sort : $P(n)=R(n)-C(n)=20n-(200+8n)$. On distribue le signe moins sur les deux termes : $20n-200-8n=12n-200$. Le coefficient $12$ est la MARGE unitaire, soit $20$ dollars de vente moins $8$ dollars de fabrication : chaque tabouret supplémentaire rapporte $12$ dollars nets. Le $-200$ est le coût fixe qu'il faut d'abord rembourser.

c) Le seuil de rentabilité est atteint quand le profit devient positif : $12n-200>0$, donc $n>\frac{200}{12}\approx 16{,}67$. Le nombre de tabourets étant nécessairement ENTIER, il faut en vendre au moins $17$. Vérification aux deux entiers voisins, qui est ce qui prouve la minimalité : $P(16)=12\times 16-200=192-200=-8$ dollars, encore une perte ✗ ; $P(17)=204-200=4$ dollars, un profit ✓. Arrondir $16{,}67$ à $17$ donne ici la bonne réponse, mais c'est le contrôle par encadrement qui la justifie, pas l'arrondi.

d) On compose à nouveau : $(P\circ n)(t)=P\big(n(t)\big)=12\times 15t-200=180t-200$ dollars. Après $6$ heures : $180\times 6-200=1080-200=880$ dollars. Contrôle par un chemin totalement différent, qui valide toute la chaîne : en $6$ heures on produit $n=15\times 6=90$ tabourets, dont le revenu est $20\times 90=1800$ dollars et le coût $920$ dollars d'après a), soit un profit de $1800-920=880$ dollars ✓. On peut aussi lire le seuil de rentabilité en TEMPS : $180t-200>0$ donne $t>\frac{200}{180}\approx 1{,}11$ heure, soit environ $1$ h $7$ min de production avant que l'atelier ne devienne rentable.

a) Deux contraintes se cumulent et il faut les poser séparément. La racine du numérateur exige $x+2\geq 0$, donc $x\geq -2$. Le dénominateur exige $x-1\neq 0$, donc $x\neq 1$. En combinant : le domaine est $[-2\,;+\infty[$ privé du point $1$, ce qui s'écrit $[-2\,;1[\,\cup\,]1\,;+\infty[$. Notez que la borne $-2$ est INCLUSE, car $\sqrt{0}=0$ existe et le dénominateur y vaut $-3\neq 0$ : la fonction y prend simplement la valeur $0$.

b) Ici la racine est au DÉNOMINATEUR, ce qui change tout. Il faut à la fois que la racine existe, $x+2\geq 0$, et qu'elle ne soit pas nulle, $\sqrt{x+2}\neq 0$, c'est-à-dire $x+2\neq 0$. Les deux conditions se fondent en une seule, STRICTE : $x+2>0$, donc $x>-2$. Domaine : $]-2\,;+\infty[$. La borne $-2$ est exclue ici alors qu'elle était incluse en a), et c'est exactement le point de la question : ce n'est pas la racine qui l'exclut, c'est le fait qu'elle se trouve au dénominateur. Une racine au dénominateur transforme systématiquement une inégalité large en inégalité stricte.

c) $(f\circ g)(x)=f(x-1)=\sqrt{(x-1)+2}=\sqrt{x+1}$. La simplification $x-1+2=x+1$ doit être faite AVANT de poser la condition, sinon on risque de la poser sur la mauvaise expression. Il faut $x+1\geq 0$, donc $x\geq -1$. Domaine : $[-1\,;+\infty[$.

d) $(g\circ f)(x)=g\left(\sqrt{x+2}\right)=\sqrt{x+2}-1$. La soustraction de $1$ intervient APRÈS la racine et n'ajoute aucune contrainte : seule subsiste $x+2\geq 0$, donc $x\geq -2$. Domaine : $[-2\,;+\infty[$. Bilan des quatre domaines obtenus, tous différents à partir des deux mêmes fonctions : $[-2\,;1[\cup]1\,;+\infty[$, $]-2\,;+\infty[$, $[-1\,;+\infty[$ et $[-2\,;+\infty[$. C'est la meilleure illustration possible du principe du chapitre : le domaine d'une fonction construite à partir d'autres ne se devine pas, il se calcule à partir de la POSITION exacte de chaque contrainte dans l'expression.