Exercices corrigés : les paramètres des fonctions (math SN5)

a) $a=-1$, $h=3$, $k=2$. Sommet $(h;\ k)=(3;\ 2)$. Comme $a=-1<0$, la parabole ouvre vers le BAS (le sommet est un maximum).

b) $(2;4)\mapsto\big(3+2;\ 2+(-1)(4)\big)=(5;\ -2)$.

c) $f(5)=-(5-3)^{2}+2=-(4)+2=-2$ : le point $(5;\ -2)$ est bien sur $f$. (De même $f(1)=-(1-3)^{2}+2=-2$, le symétrique par rapport à l'axe $x=3$.)

d) On part de $y=x^{2}$ : réflexion par rapport à l'axe horizontal ($a=-1$), puis translation de 3 vers la droite ($h=3$) et de 2 vers le haut ($k=2$).

a) Translation de 4 à droite : $x\to x-4$ ; de 1 vers le bas : $-1$. Règle : $y=|x-4|-1$.

b) Réflexion par rapport à l'axe des $x$ : on multiplie par $-1$. Règle : $y=-|x|$.

c) $a=-1$, $h=2$, $k=3$. Sommet $(2;\ 3)$. Comme $a<0$, le V est renversé : il ouvre vers le BAS (le sommet est un maximum).

d) $h=2$ déplace le sommet de 2 vers la droite et $k=3$ le déplace de 3 vers le haut : de $(0;0)$ on arrive à $(0+2;\ 0+3)=(2;\ 3)$, exactement le sommet du schéma.

a) $a=3>1$ : étirement VERTICAL (la courbe est 3 fois plus haute). Le point $(2;4)$ devient $(2;\ 3\times 4)=(2;\ 12)$.

b) $a=\tfrac{1}{2}$, avec $0<a<1$ : compression VERTICALE (courbe aplatie). $(2;4)\mapsto(2;\ \tfrac{1}{2}\times 4)=(2;\ 2)$.

c) $b=2>1$ : compression HORIZONTALE (courbe resserrée). Le point de hauteur 4 se rapproche de l'axe : l'abscisse est divisée par $b$, donc $(2;4)\mapsto(\tfrac{2}{2};\ 4)=(1;\ 4)$. (En effet $(2\cdot 1)^{2}=4$.)

d) Parce que $a$ multiplie la sortie de la fonction (la valeur $y$), tandis que $b$ multiplie l'entrée (le $x$) AVANT que la fonction n'agisse : modifier l'entrée revient à changer l'échelle horizontale, modifier la sortie change l'échelle verticale.

a) $a=2$, $h=-3$, $k=-5$. Sommet $(-3;\ -5)$ (parabole ouvrant vers le haut car $a>0$).

b) $h=4$, $k=1$. Point de départ $(4;\ 1)$. La racine impose $x-4\geq 0$, donc domaine $[4;\ +\infty[$.

c) $a=-1$, $h=-1$, $k=6$. Sommet $(-1;\ 6)$. Comme $a<0$, le V ouvre vers le bas : le sommet est un maximum, donc l'image est $]-\infty;\ 6]$.

d) Dans la forme canonique, le paramètre apparaît sous la forme $(x-h)$. Or $(x+3)=(x-(-3))$, donc $h=-3$ : le signe s'inverse. Le sommet est bien à gauche de l'origine, en $x=-3$.

a) $(0;0)\mapsto\big(2+\tfrac{0}{1};\ -1+3\times 0\big)=(2;\ -1)$ : le point de départ est $(2;\ -1)$.

b) $(4;2)\mapsto\big(2+\tfrac{4}{1};\ -1+3\times 2\big)=(6;\ 5)$.

c) $f(6)=3\sqrt{6-2}-1=3\sqrt{4}-1=3(2)-1=5$ : le point $(6;\ 5)$ est bien sur $f$.

d) La racine impose $x-2\geq 0$, donc domaine $[2;\ +\infty[$. Comme $a=3>0$, la courbe monte à partir du point de départ $(2;-1)$ : image $[-1;\ +\infty[$.

a) L'asymptote horizontale est $y=k=-4$. $E(1)=2\cdot 3^{0}-4=2-4=-2$ ; $E(2)=2\cdot 3^{1}-4=6-4=2$.

b) Quand $x\to-\infty$, $3^{\,x-1}\to 0$, donc $E(x)\to 2\cdot 0-4=-4$ : la courbe se rapproche de $y=-4$. L'asymptote dépend donc de $k$ (le décalage vertical), pas de $a$ (qui ne change que la vitesse de croissance).

c) $\log_{2}(x-3)$ exige $x-3>0$, donc domaine $]3;\ +\infty[$ et asymptote verticale $x=3$. $L(4)=\log_{2}(1)+1=0+1=1$ ; $L(5)=\log_{2}(2)+1=1+1=2$.

d) C'est $h$ : le logarithme n'existe que si son argument $(x-h)$ est strictement positif, soit $x>h$. L'asymptote verticale est donc la droite $x=h$.

a) Point de départ $(h;k)=(-1;\ 3)$. La racine impose $x+1\geq 0$, donc domaine $[-1;\ +\infty[$. Comme $a=-2<0$, la courbe DESCEND à partir du départ : elle est décroissante, et l'image est $]-\infty;\ 3]$.

b) $R(3)=-2\sqrt{3+1}+3=-2\sqrt{4}+3=-2(2)+3=-1$. On a $-1<3$ : la fonction a bien baissé depuis son point de départ $(-1;3)$, cohérent avec la décroissance.

c) $V(x)=2|x-2|-1$ : sommet $(2;\ -1)$. Comme $a=2>0$, le V ouvre vers le haut (sommet = minimum), donc l'image est $[-1;\ +\infty[$.

d) $a$ ne change PAS le domaine de $R$ : le domaine ne dépend que de la condition $x+1\geq 0$, c'est-à-dire de $h$ (et du sens de $b$). Mais $a$ change l'IMAGE : son signe décide si la courbe monte ou descend depuis $(h;k)$, donc si l'image est $[k;+\infty[$ ou $]-\infty;k]$.

a) Amplitude $|a|=3$. Période $\dfrac{2\pi}{|b|}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$. Axe médian $y=k=1$. Maximum $=k+|a|=1+3=4$ ; minimum $=k-|a|=1-3=-2$.

b) Déphasage $h=\dfrac{\pi}{6}$ (vers la droite). Au point $x=\dfrac{\pi}{6}$ : $f=3\sin\big(2(0)\big)+1=3\sin 0+1=1$, soit exactement l'axe médian (le point de départ de la sinusoïde).

c) La période est inversement proportionnelle à $|b|$ : en doublant $b$, la période est DIVISÉE par 2, elle passe de $\pi$ à $\dfrac{\pi}{2}$. Remplacer $a=3$ par $a=-3$ ne change pas l'amplitude ($|-3|=3$) : la courbe est simplement RÉFLÉCHIE par rapport à l'axe médian (elle commence par descendre au lieu de monter).

d) Maximum $=k+|a|=-2+5=3$ ; minimum $=k-|a|=-2-5=-7$. Période $\dfrac{2\pi}{|b|}=\pi$ donne $|b|=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$.

a) Le point de départ d'une racine transformée est $(h;\ k)$. Ici c'est $(1;\ 3)$, donc $h=1$ et $k=3$.

b) On remplace le point $(5;-1)$ dans $f(x)=a\sqrt{x-1}+3$ : $-1=a\sqrt{5-1}+3=a\sqrt{4}+3=2a+3$. Donc $2a=-4$ et $a=-2$.

c) Règle : $f(x)=-2\sqrt{x-1}+3$. Vérification : $f(1)=-2\sqrt{0}+3=3$ ✓ et $f(5)=-2\sqrt{4}+3=-4+3=-1$ ✓.

d) Oui : $a=-2<0$ signifie une réflexion vers le bas, donc une courbe décroissante à partir de $(1;3)$, exactement ce que montre le schéma.

a) Asymptote $y=k=5$. Quand $x\to-\infty$, $2^{x}\to 0$ et $E\to 5$ ; quand $x$ grandit, $-3\cdot 2^{x}$ devient très négatif : $E$ est DÉCROISSANTE (car $a=-3<0$). L'image est $]-\infty;\ 5[$ (la courbe reste sous l'asymptote).

b) Le domaine est fixé par $h$ (la condition $x-h\geq 0$) ; l'image est fixée par $k$ (et le signe de $a$, qui décide si l'image est $[k;+\infty[$ ou $]-\infty;k]$).

c) Le déphasage $h$ : il glisse la sinusoïde horizontalement sans toucher à l'axe médian $k$ ni à l'amplitude $|a|$, donc le maximum $k+|a|$ et le minimum $k-|a|$ restent identiques.