Exercices corrigés : les paramètres des fonctions (math SN5)

a) On compare $f(x)=-(x-3)^{2}+2$ à la forme $a(x-h)^{2}+k$. Le coefficient devant la parenthèse est $-1$, souvent sous-entendu quand seul un signe moins apparaît : $a=-1$. Puis $h=3$, lu directement dans $(x-3)$, et $k=2$. Le sommet est $(h\,;k)=(3\,;2)$. Comme $a=-1<0$, la parabole ouvre vers le BAS et son sommet est un MAXIMUM. Ne lisez pas $a=0$ parce qu'aucun chiffre n'est écrit : un signe moins seul vaut $-1$.

b) La transformation agit séparément sur chaque coordonnée. L'abscisse est décalée de $h$, ce qui donne $3+2=5$. L'ordonnée subit d'abord le facteur $a$, puis le décalage $k$, dans cet ordre : $2+(-1)\times 4=2-4=-2$. Le point image est donc $(5\,;-2)$. L'ordre des deux opérations verticales compte : si l'on ajoutait $k$ AVANT de multiplier par $a$, on obtiendrait $-1\times(4+2)=-6$, une valeur fausse. La règle est toujours de multiplier d'abord, décaler ensuite, ce qui reflète l'ordre des opérations dans l'écriture $a\,y_{0}+k$.

c) Vérification par le calcul direct : $f(5)=-(5-3)^{2}+2=-(2)^{2}+2=-4+2=-2$ ✓, le point $(5\,;-2)$ est bien sur la parabole. On peut ajouter un contrôle par la symétrie, qui coûte une ligne et sécurise le résultat : le symétrique de $5$ par rapport à l'axe $x=3$ est $1$, et $f(1)=-(1-3)^{2}+2=-4+2=-2$, la même ordonnée ✓. Toute parabole étant symétrique par rapport à son axe vertical, deux abscisses équidistantes du sommet donnent toujours la même image.

d) En partant de $y=x^{2}$, trois transformations se succèdent. La RÉFLEXION par rapport à l'axe horizontal, due à $a=-1$, qui retourne la courbe vers le bas. Puis la TRANSLATION de $3$ unités vers la DROITE, due à $h=3$. Puis la translation de $2$ unités vers le HAUT, due à $k=2$. L'ordre entre les deux translations est indifférent, l'une étant horizontale et l'autre verticale, mais la réflexion doit précéder la translation verticale : appliquer $k$ d'abord puis retourner donnerait $-\left((x-3)^{2}+2\right)=-(x-3)^{2}-2$, une courbe située $4$ unités plus bas. C'est exactement la même subtilité qu'en b), vue cette fois sur la courbe entière plutôt que sur un point.

a) Une translation HORIZONTALE agit sur l'argument, et son signe apparaît INVERSÉ dans la règle : aller de $4$ unités vers la droite s'écrit $x-4$. Une translation verticale, elle, s'écrit dans le sens naturel : descendre de $1$ s'écrit $-1$. Règle : $y=|x-4|-1$, de sommet $(4\,;-1)$. Retenez l'asymétrie : les transformations HORIZONTALES s'écrivent à l'envers, les VERTICALES à l'endroit. La raison est qu'un décalage horizontal agit sur l'ENTRÉE avant que la fonction n'opère, alors qu'un décalage vertical agit sur la SORTIE après.

b) Une réflexion par rapport à l'axe des $x$ change le signe de toutes les ordonnées, donc multiplie la fonction entière par $-1$ : $y=-|x|$. Le V est retourné, il ouvre vers le bas, et le sommet reste à l'origine puisque le point $(0\,;0)$ est son propre symétrique. À ne pas confondre avec la réflexion par rapport à l'axe des $y$, qui s'écrirait $y=|-x|$ et qui, ici, ne changerait rien du tout, la valeur absolue étant paire.

c) Sur $h(x)=-|x-2|+3$ : le coefficient devant la valeur absolue est $-1$, donc $a=-1$ ; puis $h=2$ et $k=3$. Sommet $(2\,;3)$. Comme $a<0$, le V est renversé et ouvre vers le BAS, son sommet étant un maximum. L'image est donc $]-\infty\,;3]$.

d) Le sommet de la base $|x|$ est à l'origine $(0\,;0)$. Le paramètre $h=2$ le déplace de $2$ unités vers la droite, et $k=3$ de $3$ unités vers le haut : on arrive en $(0+2\,;0+3)=(2\,;3)$, exactement le sommet lu sur le schéma ✓. C'est la propriété la plus utile du chapitre : le couple $(h\,;k)$ est TOUJOURS le point image du point remarquable de la fonction de base, quelle que soit la famille. Pour la valeur absolue et la parabole c'est le sommet, pour la racine carrée le point de départ, pour l'exponentielle le point d'ancrage sur l'asymptote. Le paramètre $a$, lui, ne déplace jamais ce point : il ne fait que modifier la forme de la courbe autour de lui, ce qui explique que le sommet ne dépende que de $h$ et $k$.

a) Le coefficient $a=3$ est supérieur à $1$ : c'est un ÉTIREMENT vertical, la courbe est trois fois plus haute à chaque abscisse. Le point $(2\,;4)$ garde son abscisse et voit son ordonnée multipliée par $3$ : il devient $(2\,;12)$. Vérification directe : $3\times 2^{2}=12$ ✓.

b) Ici $a=\frac{1}{2}$, compris strictement entre $0$ et $1$ : c'est une COMPRESSION verticale, la courbe est aplatie vers l'axe des $x$. Le point $(2\,;4)$ devient $\left(2\,;\frac{1}{2}\times 4\right)=(2\,;2)$. Vérification : $\frac{1}{2}\times 4=2$ ✓. Retenez le critère par la valeur absolue : $|a|>1$ étire, $|a|<1$ comprime, et $|a|=1$ ne change rien à l'échelle. Le SIGNE de $a$, lui, est une question distincte, celle de la réflexion.

c) Le paramètre $b=2$ agit horizontalement, et son effet est INVERSE de celui de $a$ : un $b>1$ produit une COMPRESSION horizontale, la courbe est resserrée vers l'axe vertical. Pour trouver l'image du point, on divise l'abscisse par $b$ : $(2\,;4)\mapsto\left(\frac{2}{2}\,;4\right)=(1\,;4)$. Vérification : $(2\times 1)^{2}=2^{2}=4$ ✓, l'ordonnée est bien conservée. C'est le point qui déroute le plus : on multiplie par $b$ dans l'écriture, mais on DIVISE par $b$ sur le graphique.

d) La différence tient à l'endroit où chaque paramètre intervient dans la chaîne de calcul. Le paramètre $a$ multiplie la SORTIE de la fonction, c'est-à-dire la valeur $y$ déjà calculée : il change donc directement l'échelle verticale, et dans le même sens que sa valeur. Le paramètre $b$, lui, multiplie l'ENTRÉE, c'est-à-dire le $x$, AVANT que la fonction n'agisse. Pour que la fonction atteigne la même sortie, il faut donc lui fournir une entrée plus petite, divisée par $b$ : d'où la compression et l'inversion apparente. Formulé autrement : $y=f(bx)$ atteint en $x=\frac{x_{0}}{b}$ la valeur que $y=f(x)$ atteignait en $x_{0}$. Cette inversion est la même que celle du paramètre $h$, et pour la même raison, les deux agissant sur l'entrée.

a) $q(x)=2(x+3)^{2}-5$ : le coefficient devant la parenthèse donne $a=2$, le terme final donne $k=-5$, et pour $h$ il faut réécrire $(x+3)=(x-(-3))$, d'où $h=-3$. Sommet $(-3\,;-5)$. Comme $a=2>0$, la parabole ouvre vers le haut et le sommet est un minimum.

b) $r(x)=\sqrt{x-4}+1$ : ici $h=4$, lu directement puisque le signe est déjà un moins, et $k=1$. Le coefficient devant la racine vaut $1$. Le point de départ, analogue du sommet pour une racine carrée, est $(h\,;k)=(4\,;1)$ : c'est l'endroit où le radicande s'annule et où la courbe commence. Le domaine s'en déduit : la racine exige $x-4\geq 0$, donc $[4\,;+\infty[$. Notez que la borne du domaine est exactement l'abscisse du point de départ, ce qui est général pour cette famille.

c) $s(x)=-|x+1|+6$ : le signe moins seul donne $a=-1$, la réécriture $(x+1)=(x-(-1))$ donne $h=-1$, et $k=6$. Sommet $(-1\,;6)$. Comme $a<0$, le V ouvre vers le BAS, donc $k=6$ est un MAXIMUM et l'image est $]-\infty\,;6]$. Le crochet est fermé en $6$ parce que cette valeur est atteinte, précisément au sommet.

d) La forme canonique s'écrit toujours avec une SOUSTRACTION, $(x-h)$. Quand l'énoncé affiche $(x+3)$, il faut le relire comme $(x-(-3))$ pour identifier $h$, d'où $h=-3$ et non $+3$. Le contrôle qui lève tout doute en trois secondes : le sommet est là où la parenthèse S'ANNULE. Ici $x+3=0$ donne $x=-3$, donc le sommet est bien à gauche de l'origine ✓. Ce contrôle ne demande aucune mémorisation de règle de signe et fonctionne pour les quatre familles du chapitre : cherchez l'abscisse qui annule l'expression entre parenthèses, c'est $h$.

a) Le point remarquable de la base $\sqrt{x}$ est son point de départ $(0\,;0)$. On lui applique la formule : l'abscisse devient $h+\frac{x_{0}}{b}=2+\frac{0}{1}=2$, et l'ordonnée devient $k+a\,y_{0}=-1+3\times 0=-1$. Le point de départ de $f$ est donc $(2\,;-1)$. C'est cohérent avec la lecture directe des paramètres, puisque le point de départ vaut toujours $(h\,;k)$ ✓, et le calcul le confirme parce que $x_{0}$ et $y_{0}$ sont tous deux nuls.

b) Pour $(4\,;2)$ : l'abscisse devient $2+\frac{4}{1}=6$, et l'ordonnée $-1+3\times 2=-1+6=5$. Le point image est $(6\,;5)$. Notez que le déplacement n'est pas le même dans les deux directions : l'abscisse a simplement été décalée de $2$, tandis que l'ordonnée a d'abord été triplée puis décalée de $-1$.

c) Vérification par le calcul direct, qui est le seul vrai contrôle : $f(6)=3\sqrt{6-2}-1=3\sqrt{4}-1=3\times 2-1=6-1=5$ ✓. Le point $(6\,;5)$ est bien sur la courbe. On peut vérifier un troisième point pour plus de sûreté : la base passe par $(9\,;3)$, dont l'image serait $\left(2+9\,;-1+9\right)=(11\,;8)$, et effectivement $f(11)=3\sqrt{9}-1=9-1=8$ ✓.

d) Le domaine vient de la racine : $x-2\geq 0$, donc $[2\,;+\infty[$. L'image se déduit du point de départ et du signe de $a$ : la courbe part de l'ordonnée $k=-1$, et comme $a=3>0$ elle MONTE indéfiniment à partir de là. L'image est donc $[-1\,;+\infty[$, borne fermée puisque la valeur $-1$ est atteinte au point de départ. Résumé des rôles pour cette famille, à retenir : $h$ fixe la borne du domaine, $k$ fixe la borne de l'image, et le SIGNE de $a$ décide de quel côté part l'image, vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.

a) L'asymptote horizontale d'une exponentielle transformée est $y=k$, le terme ajouté hors de la puissance : ici $y=-4$. Évaluations : $E(1)=2\cdot 3^{1-1}-4=2\cdot 3^{0}-4=2\times 1-4=-2$, en se rappelant que toute puissance d'exposant nul vaut $1$. Et $E(2)=2\cdot 3^{2-1}-4=2\times 3-4=6-4=2$.

b) L'asymptote dépend de $k$, et de lui seul. La justification passe par le comportement à l'infini : quand $x\to-\infty$, l'exposant $x-1$ devient très négatif et $3^{\,x-1}$ tend vers $0$, donc $E(x)\to 2\times 0-4=-4$. Le facteur $a=2$ multiplie une quantité qui tend vers zéro, ce qui donne encore zéro : il ne peut donc pas déplacer l'asymptote, quelle que soit sa valeur. Il ne fait que modifier la VITESSE à laquelle la courbe s'écarte de l'asymptote du côté opposé. Chiffrons-le : $E(-10)=2\times 3^{-11}-4\approx -3{,}99999$, déjà indiscernable de $-4$ ✓.

c) $\log_{2}(x-3)$ exige un argument strictement positif : $x-3>0$, donc $x>3$ et le domaine est $]3\,;+\infty[$. L'asymptote verticale est la frontière de ce domaine, la droite $x=3$. Évaluations : $L(4)=\log_{2}(4-3)+1=\log_{2}1+1=0+1=1$, puisque $\log_{a}1=0$ dans toute base. Et $L(5)=\log_{2}(5-3)+1=\log_{2}2+1=1+1=2$.

d) C'est le paramètre $h$ qui déplace l'asymptote verticale, et la raison est directe : le logarithme n'existe que si son argument $(x-h)$ est strictement positif, c'est-à-dire si $x>h$. La droite $x=h$ est donc à la fois la frontière du domaine et l'asymptote verticale, les deux notions coïncidant pour cette famille. Notez la symétrie remarquable entre les deux fonctions de cet exercice, qui sont réciproques l'une de l'autre : pour l'exponentielle, c'est $k$ qui fixe une asymptote HORIZONTALE ; pour le logarithme, c'est $h$ qui fixe une asymptote VERTICALE. L'échange des rôles de $h$ et $k$ traduit exactement la symétrie par rapport à la droite $y=x$ qui relie les deux courbes.

a) $R(x)=-2\sqrt{x+1}+3$ : on lit $a=-2$, puis $(x+1)=(x-(-1))$ donne $h=-1$, et $k=3$. Le point de départ est $(h\,;k)=(-1\,;3)$. Le domaine vient de la racine, $x+1\geq 0$, donc $[-1\,;+\infty[$. Comme $a=-2<0$, la courbe DESCEND à partir du point de départ : elle est décroissante sur tout son domaine, et l'image est $]-\infty\,;3]$, la valeur $3$ étant le MAXIMUM atteint au départ.

b) $R(3)=-2\sqrt{3+1}+3=-2\sqrt{4}+3=-2\times 2+3=-4+3=-1$. Cohérence avec la décroissance : on est parti de $3$ en $x=-1$ et l'on est descendu à $-1$ en $x=3$ ✓, la fonction a bien baissé quand $x$ a augmenté. Ce contrôle sur un point est le moyen le plus rapide de vérifier qu'on n'a pas confondu le sens de variation.

c) $V(x)=2|x-2|-1$ : $a=2$, $h=2$, $k=-1$. Sommet $(2\,;-1)$. Comme $a=2>0$, le V ouvre vers le HAUT, le sommet est un minimum, et l'image est $[-1\,;+\infty[$. Notez la différence structurelle avec la racine de a) : une valeur absolue a DEUX branches et son image est bornée d'un seul côté par le sommet, atteint une seule fois, alors qu'une racine n'a qu'une branche partant de son point de départ.

d) Le paramètre $a$ ne change PAS le domaine de $R$. Le domaine ne dépend que de la condition d'existence de la racine, $x-h\geq 0$ lorsque $b>0$, donc uniquement de $h$ et du signe de $b$ : multiplier la sortie par $a$ n'interdit aucune entrée. En revanche $a$ change bel et bien l'IMAGE, et de façon décisive par son SIGNE : si $a>0$ la courbe monte depuis $(h\,;k)$ et l'image est $[k\,;+\infty[$ ; si $a<0$ elle descend et l'image est $]-\infty\,;k]$. La valeur absolue de $a$, elle, ne change pas l'image de cette famille, seulement la rapidité de la montée ou de la descente. Résumé du partage des rôles : $h$ et $b$ gouvernent l'axe des $x$ donc le domaine, $k$ et $a$ gouvernent l'axe des $y$ donc l'image.

a) Sur $f(x)=3\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)+1$ : l'amplitude est $|a|=3$ ; la période vaut $\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{2}=\pi$ ; l'axe médian est $y=k=1$. Le maximum est $k+|a|=1+3=4$ et le minimum $k-|a|=1-3=-2$. Contrôle : la moyenne du maximum et du minimum doit redonner l'axe médian, et $\frac{4+(-2)}{2}=1$ ✓.

b) Le déphasage est $h=\frac{\pi}{6}$, vers la DROITE puisque la forme canonique écrit $(x-h)$. Au point $x=\frac{\pi}{6}$, l'argument du sinus s'annule : $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=3\sin\left(2\times 0\right)+1=3\times 0+1=1$, soit exactement l'axe médian. Ce point est le point de DÉPART de la sinusoïde, l'analogue du sommet pour une parabole : c'est là que la courbe traverse son axe médian en montant, et tout le tracé se construit à partir de lui en découpant la période en quarts.

c) La période est INVERSEMENT proportionnelle à $|b|$ : en doublant $b$ de $2$ à $4$, la période est DIVISÉE par deux et passe de $\pi$ à $\frac{\pi}{2}$. La courbe oscille donc deux fois plus vite. Remplacer $a=3$ par $a=-3$ ne change pas l'amplitude, puisque $|-3|=3$, ni le maximum, ni le minimum, ni l'axe médian : la courbe est simplement RÉFLÉCHIE par rapport à son axe médian, si bien qu'elle commence par descendre au lieu de monter. Les deux paramètres agissent donc sur des aspects totalement indépendants, l'un sur le rythme, l'autre sur le sens.

d) Maximum $=k+|a|=-2+5=3$ ; minimum $=k-|a|=-2-5=-7$. Pour $|b|$, on part de la période : $\frac{2\pi}{|b|}=\pi$ donne $|b|=\frac{2\pi}{\pi}=2$. Contrôle de cohérence sur l'amplitude, en sens inverse : la demi-différence des extremums doit redonner l'amplitude, et $\frac{3-(-7)}{2}=\frac{10}{2}=5$ ✓ ; leur moyenne doit redonner l'axe médian, et $\frac{3+(-7)}{2}=-2$ ✓. Ces deux relations inverses sont exactement celles qu'on utilise pour lire une sinusoïde sur un graphique.