Exercices corrigés : dynamique, lois de Newton et frottement (203-NYA)

a) Trois forces s'exercent sur le feu : son poids $F_{g}=mg=(12)(9{,}8)=117{,}6$ N vers le bas, la tension $T_{1}$ le long du câble 1 (vers le haut-gauche, à 30° de l'horizontale) et la tension $T_{2}$ le long du câble 2 (vers le haut-droite, à 45°).

b) Équilibre : $\Sigma F_{x}=0$ donne $T_{2}\cos 45^{\circ}-T_{1}\cos 30^{\circ}=0$; $\Sigma F_{y}=0$ donne $T_{1}\sin 30^{\circ}+T_{2}\sin 45^{\circ}-117{,}6=0$.

c) De la première équation : $T_{2}=T_{1}\frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}$. En substituant dans la seconde : $T_{1}(\sin 30^{\circ}+\cos 30^{\circ}\tan 45^{\circ})=117{,}6$, soit $T_{1}(0{,}5+0{,}866)=117{,}6$, donc $T_{1}\approx 86{,}1$ N et $T_{2}\approx 105{,}4$ N. Le câble à 45° est le plus tendu : plus un câble est proche de la verticale, plus grande est la part du poids qu'il reprend. Remarquez que $T_{1}+T_{2}\approx 191{,}5$ N dépasse largement le poids : les composantes horizontales, qui s'annulent entre elles, ne portent rien mais tendent quand même les câbles.

d) Par symétrie, chaque câble reprend la moitié du poids en vertical : $2T\sin 5^{\circ}=117{,}6$, donc $T=\frac{117{,}6}{2\sin 5^{\circ}}\approx 675$ N, presque six fois le poids du feu. Quand l'angle tend vers 0, $\sin\theta$ tend vers 0 et la tension diverge : un câble horizontal n'a aucune composante verticale et ne peut donc reprendre aucun poids, si tendu soit-il. C'est pourquoi les câbles porteurs présentent toujours un fléchissement.

a) Seuil de glissement : $f_{s,max}=\mu_{s}N=\mu_{s}mg=(0{,}50)(20)(9{,}8)=98$ N. Comme 90 N $<$ 98 N, la caisse ne bouge pas. Le frottement vaut alors exactement 90 N (et non 98 N !) : le frottement statique s'ajuste pour annuler la résultante, il n'atteint son maximum qu'au seuil du glissement.

b) 120 N $>$ 98 N : la caisse glisse, le frottement devient cinétique : $f_{k}=\mu_{k}mg=(0{,}30)(196)=58{,}8$ N. Newton : $a=\frac{120-58{,}8}{20}=3{,}06$ m/s².

c) À vitesse constante, $\Sigma F=0$ : il suffit de compenser $f_{k}$, donc 58,8 N. C'est moins que les 98 N nécessaires pour démarrer : voilà pourquoi le plus dur est de mettre un objet en mouvement, pas de l'y maintenir.

d) De 0 à 98 N, le graphique suit la droite $f=F$ (le frottement statique égale la force appliquée : équilibre). À 98 N, le glissement s'amorce et le frottement chute brusquement à 58,8 N, puis reste constant à cette valeur quelle que soit la force appliquée. La discontinuité traduit le passage du régime statique ($\mu_{s}$) au régime cinétique ($\mu_{k}<\mu_{s}$).

e) En poussant à 20° sous l'horizontale, la composante verticale $F\sin 20^{\circ}$ s'ajoute au poids : $N=mg+F\sin 20^{\circ}$. Le seuil devient $F\cos 20^{\circ}=\mu_{s}(mg+F\sin 20^{\circ})$, d'où $F=\frac{\mu_{s}mg}{\cos 20^{\circ}-\mu_{s}\sin 20^{\circ}}=\frac{98}{0{,}940-0{,}171}\approx 127{,}5$ N. Il faut environ 30 % de plus qu'à l'horizontale : en poussant vers le bas, on augmente la normale, donc le frottement à vaincre. Pousser vers le bas travaille contre soi.

a) En montée, trois forces : le poids (composantes $-mg\sin\theta$ le long de la pente et $-mg\cos\theta$ perpendiculairement), la normale $N=mg\cos\theta$, et le frottement cinétique $f_{k}=\mu_{k}N$ dirigé vers le BAS de la pente (il s'oppose au glissement, qui se fait vers le haut). Newton le long de la pente : $ma=-mg\sin\theta-\mu_{k}mg\cos\theta$, la masse se simplifie : $a=-9{,}8(0{,}5+0{,}25\times 0{,}866)\approx -7{,}02$ m/s².

b) Avec $v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x$ : $0=64-2(7{,}02)\Delta x$, donc $\Delta x=\frac{64}{14{,}04}\approx 4{,}56$ m.

c) Il repart. Critère : le bloc immobile reste en place si $\tan\theta\leq\mu_{s}$. Or $\tan 30^{\circ}\approx 0{,}577>0{,}30$ : le frottement statique maximal ($\mu_{s}mg\cos\theta$) ne suffit pas à retenir la composante du poids ($mg\sin\theta$), le bloc redescend.

d) En descente, le glissement se fait vers le bas, donc le frottement pointe maintenant vers le HAUT de la pente : $a=g(\sin\theta-\mu_{k}\cos\theta)=9{,}8(0{,}5-0{,}217)\approx 2{,}78$ m/s² (dirigée vers le bas). Vitesse au retour : $v=\sqrt{2(2{,}78)(4{,}56)}\approx 5{,}0$ m/s.

e) Le poids ne change pas, mais le frottement change de sens : il s'oppose toujours au glissement. En montée, poids et frottement tirent tous deux vers le bas de la pente (ils s'additionnent : décélération forte); en descente, ils s'opposent (accélération faible). Sur l'aller-retour, le frottement a travaillé contre le mouvement dans les deux sens : l'énergie cinétique du retour (environ 12,7 J par kg... rapport $\frac{5{,}0^{2}}{8^{2}}\approx 40$ %) est amputée de l'énergie dissipée en chaleur, d'où un retour plus lent que le départ.

a) Bloc de 6 kg (sur la table) : poids 58,8 N vers le bas, normale $N$ vers le haut, tension $T$ horizontale vers la poulie, frottement cinétique $f_{k}$ opposé au mouvement. Bloc de 4 kg (suspendu) : poids 39,2 N vers le bas, tension $T$ vers le haut.

b) La corde est inextensible : les deux blocs parcourent la même distance dans le même temps, donc même grandeur d'accélération $a$. La poulie est idéale (sans masse ni frottement) : elle change la direction de la tension sans en changer la grandeur, donc même $T$ aux deux bouts. Bloc sur la table (axe vers la poulie) : $T-\mu_{k}m_{1}g=m_{1}a$. Bloc suspendu (axe vers le bas) : $m_{2}g-T=m_{2}a$.

c) En additionnant les deux équations, $T$ s'élimine : $m_{2}g-\mu_{k}m_{1}g=(m_{1}+m_{2})a$, donc $a=\frac{39{,}2-(0{,}20)(58{,}8)}{10}=\frac{39{,}2-11{,}76}{10}\approx 2{,}74$ m/s². Tension : $T=m_{2}(g-a)=4(9{,}8-2{,}744)\approx 28{,}2$ N. Vérification avec l'autre bloc : $28{,}2-11{,}76=16{,}5\approx(6)(2{,}744)$, cohérent.

d) Si $T$ valait 39,2 N, le bloc suspendu subirait une résultante $m_{2}g-T=0$ : il descendrait à vitesse constante, pas en accélérant depuis le repos... et le bloc de la table, lui, accélérerait. Les deux blocs auraient des mouvements incompatibles avec une corde inextensible : contradiction. L'erreur : $T=m_{2}g$ n'est vraie qu'à l'équilibre ($a=0$). Dès que le système accélère, la tension est strictement comprise entre la valeur qui retiendrait le bloc suspendu (39,2 N) et la force de frottement (11,8 N).

e) Immobile si le frottement statique peut compenser la tension, qui vaut alors $T=m_{2}g=39{,}2$ N : il faut $\mu_{s}m_{1}g\geq 39{,}2$, donc $\mu_{s}\geq\frac{m_{2}}{m_{1}}=\frac{4}{6}\approx 0{,}67$.

a) Axes : horizontal (vers le centre du virage) et vertical. La normale, perpendiculaire à la chaussée inclinée, a une composante horizontale $N\sin\theta$ (vers le centre) et une composante verticale $N\cos\theta$. Verticalement, pas d'accélération : $N\cos\theta=mg$. Horizontalement, la résultante fournit l'accélération centripète : $N\sin\theta=\frac{mv^{2}}{r}$. En divisant les deux équations : $\tan\theta=\frac{v^{2}}{gr}$, donc $v=\sqrt{gr\tan\theta}=\sqrt{(9{,}8)(50)(0{,}40)}=\sqrt{196}=14$ m/s (50,4 km/h). La masse a disparu : le relèvement fait tourner N'IMPORTE quel véhicule à cette vitesse sans exiger le moindre frottement, d'où son intérêt sur glace ou sous la pluie.

b) Sous la vitesse idéale, la composante horizontale de la normale est trop grande pour la courbure demandée : la voiture tend à glisser vers l'intérieur (vers le bas de la pente), donc le frottement agit vers le HAUT de la pente. Au-dessus de la vitesse idéale, c'est l'inverse : la voiture tend à glisser vers l'extérieur, le frottement agit vers le BAS de la pente, ajoutant sa contribution centripète à celle de la normale.

c) Au seuil de dérapage vers l'extérieur, $f_{s}=\mu_{s}N$ pointe vers le bas de la pente. Ses composantes : $\mu_{s}N\cos\theta$ horizontale (vers le centre) et $\mu_{s}N\sin\theta$ verticale (vers le bas). Les équations deviennent : verticale $N\cos\theta-\mu_{s}N\sin\theta=mg$; horizontale $N\sin\theta+\mu_{s}N\cos\theta=\frac{mv_{max}^{2}}{r}$. En divisant la seconde par la première, $N$ et $m$ disparaissent : $\frac{v_{max}^{2}}{gr}=\frac{\sin\theta+\mu_{s}\cos\theta}{\cos\theta-\mu_{s}\sin\theta}=\frac{\tan\theta+\mu_{s}}{1-\mu_{s}\tan\theta}$. Numériquement : $v_{max}=\sqrt{(9{,}8)(50)\times\frac{0{,}40+0{,}40}{1-(0{,}40)(0{,}40)}}=\sqrt{490\times\frac{0{,}80}{0{,}84}}\approx 21{,}6$ m/s (environ 78 km/h).

d) Sur glace, la voiture ne peut compter que sur le relèvement, qui n'assure la trajectoire qu'à la vitesse idéale de 14 m/s. À 20 m/s, il manque de la force centripète : la voiture dérape vers l'extérieur du virage (elle poursuit une trajectoire trop peu incurvée). Conclusion : le relèvement garantit un virage sûr à UNE vitesse de conception; le frottement offre la marge autour de cette vitesse, ici de 14 jusqu'à 21,6 m/s sur chaussée sèche, marge qui disparaît avec lui.

a) La seule force horizontale sur le bloc du haut est le frottement exercé par le bloc du bas, dirigé VERS L'AVANT (dans le sens de $F$). Sans lui, le bloc du bas glisserait sous le bloc du haut, qui resterait sur place : le glissement relatif du haut par rapport au bas serait vers l'arrière, et le frottement s'oppose à ce glissement relatif, donc pousse le bloc du haut vers l'avant. Le frottement s'oppose au glissement ENTRE les surfaces, pas au mouvement en général.

b) Pour le bloc du haut seul, Newton donne $f_{s}=m_{h}a$. Le frottement statique est plafonné : $f_{s}\leq\mu_{s}m_{h}g$, donc $a\leq\mu_{s}g=(0{,}60)(9{,}8)=5{,}88$ m/s², indépendamment des masses. Pour l'ensemble (8 kg, sol sans frottement) : $F_{max}=(m_{h}+m_{b})\,a_{max}=(8)(5{,}88)\approx 47{,}0$ N.

c) $60>47{,}0$ N : le bloc du haut ne peut plus suivre, ça glisse. Le frottement devient cinétique : $f_{k}=\mu_{k}m_{h}g=(0{,}40)(2)(9{,}8)=7{,}84$ N. Bloc du haut : $a_{h}=\frac{7{,}84}{2}=3{,}92$ m/s². Bloc du bas : il subit $F=60$ N vers l'avant et la réaction du frottement, 7,84 N vers l'arrière : $a_{b}=\frac{60-7{,}84}{6}\approx 8{,}69$ m/s². Le bloc du bas file devant ($a_{b}>a_{h}$) : le bloc du haut recule par rapport à lui et finira par tomber à l'arrière.

d) Le bloc du haut exerce sur le bloc du bas : verticalement son appui de $m_{h}g=19{,}6$ N vers le bas, et horizontalement 7,84 N vers l'ARRIÈRE. Cette dernière est la réaction (troisième loi de Newton) du frottement de 7,84 N vers l'avant que le bas exerce sur le haut : même grandeur, sens opposés, appliquées sur deux corps différents. C'est bien pour cela qu'elle freine le bloc du bas dans le calcul de $a_{b}$.