Exercices corrigés : quantité de mouvement, impulsion et collisions (203-NYA)

a) Avec l'axe orienté dans le sens du renvoi : vitesse initiale $-12$ m/s, finale $+18$ m/s. $\Delta p=m(v_{f}-v_{i})=0{,}45(18-(-12))=0{,}45(30)=13{,}5$ kg·m/s. L'erreur classique est de soustraire les modules ($18-12=6$) : le ballon change de SENS, les vitesses ont des signes opposés.

b) $F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{13{,}5}{0{,}010}=1350$ N.

c) Poids : $mg=(0{,}45)(9{,}8)\approx 4{,}4$ N. La force d'impact vaut environ 300 fois le poids : pendant les 10 ms du contact, l'impulsion de la gravité ($4{,}4\times 0{,}010=0{,}044$ kg·m/s) est invisible devant celle du pied (13,5 kg·m/s). Pendant le vol, au contraire, la gravité est la SEULE force et agit pendant des secondes entières : c'est la durée d'action, pas la grandeur seule, qui décide de ce qu'on néglige.

d) Dans les deux cas, la variation de quantité de mouvement $\Delta p$ est imposée (passer de la vitesse d'impact à l'arrêt) : elle ne change pas. Ce qui change, c'est la durée $\Delta t$ sur laquelle elle s'étale. Genoux pliés ou coussin gonflable allongent $\Delta t$, et comme $F=\frac{\Delta p}{\Delta t}$, la force moyenne diminue d'autant. On ne réduit pas le choc, on le dilue dans le temps.

a) Pendant la fraction de seconde de l'accrochage, les forces entre wagons (intérieures au système) sont énormes devant le frottement des rails (force extérieure) : l'impulsion du frottement sur cette durée est négligeable. La conservation s'applique à l'échelle du choc, pas à l'échelle de la journée.

b) $v'=\frac{m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{(2000)(3)}{5000}=1{,}2$ m/s.

c) Avant : $E_{k}=\frac{1}{2}(2000)(3)^{2}=9000$ J. Après : $\frac{1}{2}(5000)(1{,}2)^{2}=3600$ J. Perte : 5400 J, soit 60 % de l'énergie initiale, partie en déformation des attelages, bruit et chaleur. La quantité de mouvement, elle, est intégralement transmise : 6000 kg·m/s avant comme après.

d) Avec $v'=\frac{m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}$ : $\frac{E_{k}'}{E_{k}}=\frac{\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v'^{2}}{\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}}=\frac{(m_{1}+m_{2})}{m_{1}v_{1}^{2}}\cdot\frac{m_{1}^{2}v_{1}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}$. La fraction perdue est donc $1-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ : la vitesse a disparu du résultat. Ici : $\frac{3000}{5000}=60$ %, conforme au c). Si $m_{2}\gg m_{1}$ (une balle de mastic contre un mur), la fraction tend vers 100 % : presque toute l'énergie est dissipée, ce qui correspond bien à l'intuition.

a) Quantité de mouvement : $m_{1}v_{1}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'$, soit $4=v_{1}'+3v_{2}'$. Énergie cinétique (choc élastique) : $\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2}$, soit $16=v_{1}'^{2}+3v_{2}'^{2}$.

b) Pour un projectile frappant une cible immobile, la résolution du système donne $v_{1}'=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}=\frac{1-3}{4}(4)=-2$ m/s et $v_{2}'=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}=\frac{2}{4}(4)=2$ m/s. Le chariot léger REBONDIT en arrière ($v_{1}'<0$) : il frappe plus lourd que lui; le chariot lourd part vers l'avant à 2 m/s.

c) Quantité de mouvement : avant $(1)(4)=4$ kg·m/s; après $(1)(-2)+(3)(2)=4$ kg·m/s. Énergie : avant $\frac{1}{2}(1)(16)=8$ J; après $\frac{1}{2}(1)(4)+\frac{1}{2}(3)(4)=2+6=8$ J. Les deux lois sont vérifiées.

d) Avant : $v_{1}-v_{2}=4$ m/s (rapprochement). Après : $v_{1}'-v_{2}'=-2-2=-4$ m/s (éloignement à la même cadence) : la vitesse relative s'est bien inversée. Cette relation est LINÉAIRE : combinée à la conservation de $p$ (linéaire aussi), elle remplace l'équation d'énergie (quadratique) et donne un système de deux équations du premier degré, immédiat à résoudre. C'est l'astuce standard des chocs élastiques en une dimension : l'équation quadratique n'a servi qu'à établir la propriété une fois pour toutes.

a) Dans l'espace, aucune force extérieure horizontale n'agit sur le système astronaute-clé : ni frottement, ni support. Les forces du lancer sont intérieures au système : $P$ totale reste ce qu'elle était, c'est-à-dire nulle.

b) $0=m_{a}v_{a}+m_{c}v_{c}$, donc $v_{a}=-\frac{(2)(8)}{80}=-0{,}2$ m/s : l'astronaute recule à 0,2 m/s vers la station. Temps : $t=\frac{30}{0{,}2}=150$ s, soit 2 min 30 s. Le voyage est lent mais sûr : rien ne viendra le freiner.

c) $E_{k}=\frac{1}{2}(2)(8)^{2}+\frac{1}{2}(80)(0{,}2)^{2}=64+1{,}6=65{,}6$ J. Aucune violation : la conservation de l'énergie CINÉTIQUE n'est une loi que pour les chocs élastiques. Ici, l'énergie vient de l'énergie chimique des muscles de l'astronaute : le lancer est une anti-collision, une explosion en miniature qui CRÉE de l'énergie cinétique à partir d'une autre forme.

d) À vitesse de lancer $v$ fixée, le recul vaut $v_{a}=\frac{m_{c}v}{m_{a}}$ : il croît avec la masse lancée, donc lancer lourd est plus efficace. La répartition de l'énergie suit les vitesses : la clé emporte $\frac{64}{65{,}6}\approx 97{,}6$ % de l'énergie produite, l'astronaute n'en récupère que 2,4 %. C'est général : quand $P$ totale est nulle, les énergies sont dans le rapport inverse des masses ($E=\frac{p^{2}}{2m}$ avec le même $p$) : le corps léger emporte presque tout. Les muscles paient cher chaque m/s de recul, et c'est exactement le problème que résout un vrai propulseur... ou une fusée, qui lance du gaz très vite et en continu.

a) $P_{x}=(1200)(20)=24\,000$ kg·m/s (est); $P_{y}=(1600)(15)=24\,000$ kg·m/s (nord). Chaque voiture n'alimente qu'un seul axe : c'est ce qui rend le problème lisible composante par composante.

b) Masse totale 2800 kg, et chaque composante se conserve : $v_{x}=\frac{24\,000}{2800}\approx 8{,}57$ m/s, $v_{y}\approx 8{,}57$ m/s. Module : $v'=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\approx 12{,}1$ m/s; direction : $\tan\alpha=\frac{P_{y}}{P_{x}}=1$, soit 45° au nord de l'est.

c) Avant : $\frac{1}{2}(1200)(20)^{2}+\frac{1}{2}(1600)(15)^{2}=240\,000+180\,000=420\,000$ J. Après : $\frac{1}{2}(2800)(12{,}12)^{2}\approx 205\,700$ J. Perte : environ 214 000 J, soit 51 % : la moitié de l'énergie est partie en tôle froissée, un ordre de grandeur typique des collisions urbaines perpendiculaires.

d) La direction de l'épave encode le rapport des quantités de mouvement : $\tan 38^{\circ}=\frac{P_{y}}{P_{x}}=\frac{(1600)(15)}{1200\,v_{1}}$, donc $v_{1}=\frac{24\,000}{1200\tan 38^{\circ}}=\frac{20}{0{,}781}\approx 25{,}6$ m/s, soit environ 92 km/h. La limite de 50 km/h correspond à 13,9 m/s : l'angle relevé exige presque le double. Les traces contredisent le conducteur : plus l'épave part PRÈS de l'axe est, plus la voiture venant de l'ouest était rapide. C'est exactement ainsi que la quantité de mouvement sert d'expert-témoin dans les reconstitutions d'accident.

a) Phase 1, l'impact (bref, violent) : la quantité de mouvement se conserve (forces extérieures négligeables pendant la milliseconde du choc), mais PAS l'énergie cinétique : le projectile se loge dans le bois, choc parfaitement inélastique. Phase 2, la montée (lente, sans choc) : l'énergie mécanique se conserve (la tension des fils ne travaille pas), mais la quantité de mouvement NE se conserve PAS : la gravité et la tension, forces extérieures, agissent pendant toute la montée et finissent par arrêter le bloc.

b) Montée : $\frac{1}{2}(M+m)V^{2}=(M+m)gh$, donc $V=\sqrt{2(9{,}8)(0{,}050)}=\sqrt{0{,}98}\approx 0{,}99$ m/s.

c) Impact : $mv=(M+m)V$, donc $v=\frac{2{,}50}{0{,}010}(0{,}99)\approx 247$ m/s. Le pendule balistique transforme une vitesse immesurable directement (247 m/s) en une hauteur de 5 cm, mesurable au réglet : c'est un démultiplicateur.

d) $\frac{E_{k}'}{E_{k}}=\frac{\frac{1}{2}(M+m)V^{2}}{\frac{1}{2}mv^{2}}$ avec $V=\frac{mv}{M+m}$ donne $\frac{m}{M+m}=\frac{0{,}010}{2{,}50}=0{,}4$ %. Donc 99,6 % de l'énergie du projectile disparaît dans le bois (échauffement, déchirure des fibres) : seule la fraction $\frac{m}{M+m}$ survit, la fraction perdue vaut bien $\frac{M}{M+m}$. Si on écrivait naïvement $\frac{1}{2}mv^{2}=(M+m)gh$ (conservation de l'énergie de bout en bout), on trouverait $v=\sqrt{2(9{,}8)(0{,}050)\times 250}\approx 16$ m/s, quinze fois trop faible : on aurait ignoré les 99,6 % d'énergie avalés par l'impact. D'où la règle du chapitre : la quantité de mouvement enjambe le choc, l'énergie enjambe la montée, jamais l'inverse.