Exercices corrigés : charge, champ et potentiel électriques (203-SN2-RE, ancien 203-NYB)

a) $n=\frac{|q|}{e}=\frac{4{,}8\times 10^{-9}}{1{,}6\times 10^{-19}}=3{,}0\times 10^{10}$ électrons, trente milliards : une charge macroscopique minuscule cache déjà un nombre astronomique de porteurs.

b) $F=\frac{k|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(4{,}0\times 10^{-6})(2{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}060)^{2}}=20$ N, attractive (signes opposés). Non : troisième loi de Newton, les deux forces ont exactement la même grandeur, quelle que soit la disproportion des charges. Le produit $|q_{1}||q_{2}|$ est le même vu des deux côtés.

c) Électrique : $F_{e}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(1{,}6\times 10^{-19})^{2}}{(5{,}3\times 10^{-11})^{2}}\approx 8{,}2\times 10^{-8}$ N. Gravitationnelle : $F_{g}=\frac{(6{,}67\times 10^{-11})(1{,}67\times 10^{-27})(9{,}11\times 10^{-31})}{(5{,}3\times 10^{-11})^{2}}\approx 3{,}6\times 10^{-47}$ N.

d) $\frac{F_{e}}{F_{g}}\approx 2{,}3\times 10^{39}$ : la gravitation est totalement négligeable dans l'atome, et c'est la force électrique qui fait toute la cohésion de la matière (liaisons, contacts, frottements). Si la gravitation gagne à l'échelle des planètes, c'est que la matière y est électriquement NEUTRE : les charges + et − se compensent et la force électrique résultante s'annule, alors que les masses, elles, ne se compensent jamais : la gravitation, si faible soit-elle, est la seule à s'additionner sans limite.

a) $E_{1}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(4{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}20)^{2}}=9{,}0\times 10^{5}$ N/C, dirigé vers les $x$ positifs (en s'éloignant de la charge positive $q_{1}$).

b) Entre les charges, les deux champs sont opposés. Égalité des grandeurs : $\frac{4k}{x^{2}}=\frac{9k}{(0{,}50-x)^{2}}$. En prenant la racine : $\frac{2}{x}=\frac{3}{0{,}50-x}$, donc $2(0{,}50-x)=3x$, d'où $x=0{,}20$ m. Le champ total est nul à 20 cm de $q_{1}$.

c) À l'extérieur du segment, les deux champs pointent dans le MÊME sens (tous deux s'éloignent des charges positives) : ils ne peuvent pas s'annuler. Entre les charges, ils s'opposent; l'équilibre exige d'être plus près de la petite charge pour compenser sa faiblesse par la distance. Pour des charges de signes OPPOSÉS, c'est l'inverse : entre elles, les champs s'ajoutent; le point de champ nul se trouve à l'EXTÉRIEUR, du côté de la charge la plus petite.

d) En $x=0{,}25$ m : $E_{1}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(4{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}25)^{2}}=5{,}76\times 10^{5}$ N/C vers $+x$; $E_{2}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(9{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}25)^{2}}=1{,}296\times 10^{6}$ N/C vers $-x$. Champ résultant : $7{,}2\times 10^{5}$ N/C vers $-x$ (vers $q_{1}$). Force sur $q_{0}<0$ : $F=|q_{0}|E=(5{,}0\times 10^{-6})(7{,}2\times 10^{5})=3{,}6$ N, dirigée à l'OPPOSÉ du champ, donc vers $+x$, c'est-à-dire vers $q_{2}$. Le signe négatif de la charge renverse le sens : oublier ce renversement est le piège classique.

a) $V=\frac{kq}{r}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(2{,}0\times 10^{-6})}{0{,}30}=6{,}0\times 10^{4}$ V, soit 60 kV.

b) $W=q_{0}V=(3{,}0\times 10^{-6})(6{,}0\times 10^{4})=0{,}18$ J. Positif : les deux charges se repoussent, l'opérateur doit pousser contre la répulsion et fournir de l'énergie, stockée en énergie potentielle électrique.

c) Potentiel (scalaire, avec les signes) : $V=\frac{kq_{A}}{0{,}20}+\frac{kq_{B}}{0{,}20}=9{,}0\times 10^{4}-9{,}0\times 10^{4}=0$ V. Champ (vecteur) : les deux champs pointent tous deux de $q_{A}$ vers $q_{B}$ (le champ s'éloigne du + et se dirige vers le −) : $E=2\times\frac{(9{,}0\times 10^{9})(2{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}20)^{2}}=9{,}0\times 10^{5}$ N/C. Constat capital : $V=0$ n'implique PAS $E=0$. Le potentiel nul dit qu'amener une charge en ce point ne coûte aucun travail net; le champ non nul dit qu'une fois là, elle subit une force bien réelle.

d) $\frac{1}{2}m_{e}v^{2}=e\,\Delta V$, donc $v=\sqrt{\frac{2(1{,}6\times 10^{-19})(100)}{9{,}11\times 10^{-31}}}\approx 5{,}9\times 10^{6}$ m/s, soit 2 % de la vitesse de la lumière pour 100 V à peine. La méthode énergétique ne demande ni la géométrie des plaques, ni le détail du champ le long du trajet : seule compte la différence de potentiel entre départ et arrivée, exactement comme la dénivelée en mécanique.

a) Pour $q_{1}$ : le travail est NUL, il n'y a encore aucun champ dans l'espace, rien ne s'oppose au déplacement. Pour $q_{2}$ : $W_{2}=q_{2}V_{1}(B)=\frac{kq_{1}q_{2}}{r_{12}}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(2{,}0\times 10^{-6})(2{,}0\times 10^{-6})}{0{,}30}=+0{,}12$ J. Positif : les deux charges sont positives et se repoussent, l'opérateur pousse contre la répulsion et dépense de l'énergie, stockée dans le système.

b) Le triangle est un 3-4-5 : $r_{13}=\sqrt{0{,}30^{2}+0{,}40^{2}}=0{,}50$ m et $r_{23}=0{,}40$ m. En $C$, le potentiel créé par les deux premières charges vaut $V=\frac{kq_{1}}{0{,}50}+\frac{kq_{2}}{0{,}40}=3{,}6\times 10^{4}+4{,}5\times 10^{4}=8{,}1\times 10^{4}$ V. Donc $W_{3}=q_{3}V=(-3{,}0\times 10^{-6})(8{,}1\times 10^{4})=-0{,}243$ J, négatif : $q_{3}$ est attirée, c'est le champ qui travaille et l'opérateur doit retenir. Énergie totale : $U=W_{2}+W_{3}=0{,}12-0{,}243=-0{,}123$ J.

c) Les trois termes obtenus sont $U_{12}=+0{,}120$ J, $U_{13}=-0{,}108$ J et $U_{23}=-0{,}135$ J : un terme par PAIRE, et chaque terme $\frac{kq_{i}q_{j}}{r_{ij}}$ ne dépend que de la paire, pas de l'instant où elle s'est formée. Changer l'ordre d'assemblage change la répartition des travaux successifs, jamais leur somme. Règle : $U=\sum \frac{kq_{i}q_{j}}{r_{ij}}$ sur toutes les paires, avec les SIGNES des charges, et chaque paire comptée une seule fois (3 termes pour 3 charges, 6 pour 4 charges).

d) $U<0$ : le système est lié, il faudrait fournir $+0{,}123$ J pour l'éparpiller à l'infini. Si toute cette énergie devenait cinétique pour $q_{3}$ : $v=\sqrt{\frac{2U'}{m}}=\sqrt{\frac{2(0{,}123)}{1{,}0\times 10^{-6}}}\approx 4{,}96\times 10^{2}$ m/s, environ 500 m/s pour un grain de poussière chargé. Le signe de $U$ se lit exactement comme en gravitation : négatif veut dire lié, positif veut dire que le système se disperse tout seul.

e) $E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{120}{0{,}040}=3{,}0\times 10^{3}$ V/m. Entre deux équipotentielles distantes de 5,0 mm : $\Delta V=E\,\Delta d=(3000)(0{,}0050)=15$ V. Le travail est nul le long d'une équipotentielle parce que $W=q\,\Delta V$ et que $\Delta V=0$ par définition de la surface. Et c'est précisément ce qui impose la perpendicularité : si le champ avait la moindre composante le long de la surface, déplacer une charge sur cette surface coûterait un travail non nul, ce qui contredirait $\Delta V=0$. Le champ ne peut donc être que normal à l'équipotentielle, et il pointe toujours vers les potentiels DÉCROISSANTS, d'où le signe de $E=-\frac{\Delta V}{\Delta d}$.

a) $a=\frac{eE}{m_{e}}=\frac{(1{,}6\times 10^{-19})(2{,}0\times 10^{4})}{9{,}11\times 10^{-31}}\approx 3{,}5\times 10^{15}$ m/s². L'électron, chargé négativement, accélère dans le sens CONTRAIRE au champ : le champ va du + vers le −, l'électron remonte du − vers le +.

b) MRUA depuis le repos sur $d=0{,}020$ m : $v=\sqrt{2ad}=\sqrt{2(3{,}51\times 10^{15})(0{,}020)}\approx 1{,}19\times 10^{7}$ m/s. Durée : $t=\frac{v}{a}\approx\frac{1{,}19\times 10^{7}}{3{,}51\times 10^{15}}\approx 3{,}4\times 10^{-9}$ s, quelques nanosecondes.

c) $\Delta V=E\,d=(2{,}0\times 10^{4})(0{,}020)=400$ V. Puis $\frac{1}{2}m_{e}v^{2}=e\,\Delta V$ : $v=\sqrt{\frac{2(1{,}6\times 10^{-19})(400)}{9{,}11\times 10^{-31}}}\approx 1{,}19\times 10^{7}$ m/s. Les deux méthodes concordent exactement : ce sont les deux mêmes lois vues de la mécanique.

d) $\frac{a}{g}=\frac{3{,}5\times 10^{15}}{9{,}8}\approx 3{,}6\times 10^{14}$ : la gravité est quelques centaines de billions de fois plus faible, la négliger est plus que justifié. Le proton subit la même force (même $e$, même $E$) mais porte une masse 1836 fois plus grande : accélération 1836 fois plus faible. Par la méthode énergétique, il gagne la MÊME énergie cinétique $e\Delta V$, donc arrive avec $\frac{1}{2}mv^{2}$ égal mais une vitesse $\sqrt{1836}\approx 43$ fois plus faible. Moins vite, donc, mais avec la même énergie : distinguer les deux est exactement l'esprit du chapitre.

a) Chaque charge est à 25 cm de $P$ : $E=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(3{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}25)^{2}}=4{,}32\times 10^{5}$ N/C.

b) Chaque champ pointe de sa charge vers $P$ (charges positives). Composantes : pour $A$, $(+E\cos\theta;\ +E\sin\theta)$; pour $B$, $(-E\cos\theta;\ +E\sin\theta)$. Par symétrie, les composantes horizontales s'annulent; les verticales s'ajoutent : $E_{tot}=2E\sin\theta=2(4{,}32\times 10^{5})(0{,}6)=5{,}2\times 10^{5}$ N/C, dirigé verticalement vers le haut (selon $+y$, le long de la médiatrice).

c) $F=|q_{0}|E_{tot}=(2{,}0\times 10^{-6})(5{,}18\times 10^{5})\approx 1{,}0$ N. La charge est négative : la force est opposée au champ, donc verticale vers le BAS, vers le milieu du segment $AB$.

d) Potentiel, somme scalaire : $V_{P}=2\times\frac{(9{,}0\times 10^{9})(3{,}0\times 10^{-6})}{0{,}25}=2{,}16\times 10^{5}$ V. Travail : $W=q_{0}V_{P}=(-2{,}0\times 10^{-6})(2{,}16\times 10^{5})=-0{,}43$ J. Négatif : la charge négative est ATTIRÉE par les deux charges positives, le champ fait le travail à la place de l'opérateur, qui doit plutôt retenir. Aucune décomposition, parce que le potentiel est un scalaire : c'est tout l'avantage de la voie énergétique.

e) Par symétrie, le champ est nul au milieu du segment, $(0{,}20;\ 0)$ : les deux champs s'y compensent exactement. L'équilibre y est toutefois STABLE le long de l'axe $x$ pour une charge positive (repoussée par la charge dont elle s'approche, elle est ramenée au centre)... mais une analyse hors de l'axe montrerait qu'il est instable selon $y$ : aucun point de l'espace vide ne piège une charge en équilibre stable dans toutes les directions (théorème d'Earnshaw, hors programme mais bon à savoir).

a) À chaque élément de l'anneau correspond l'élément diamétralement opposé : leurs champs ont la même grandeur et leurs composantes perpendiculaires à l'axe sont opposées, donc elles s'annulent deux à deux. Seule survit la composante axiale. Chaque élément $dq$ est à la distance $r=\sqrt{x^{2}+a^{2}}$ et sa composante axiale vaut $\frac{k\,dq}{r^{2}}\cos\theta$ avec $\cos\theta=\frac{x}{r}$. Comme $r$ et $\cos\theta$ sont les MÊMES pour tous les éléments, ils sortent de l'intégrale : $E=\frac{kx}{r^{3}}\int dq=\frac{kQx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}$. En $x=0{,}20$ m : $E=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(6{,}0\times 10^{-9})(0{,}20)}{(0{,}05)^{3/2}}\approx 9{,}7\times 10^{2}$ N/C. Potentiel : tous les éléments sont à la même distance $r$, donc $V=\frac{kQ}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\frac{54}{0{,}2236}\approx 2{,}4\times 10^{2}$ V, sans aucune décomposition.

b) Au centre, $x=0$ donne $E=0$ : par symétrie, chaque élément est compensé par son opposé, y compris axialement. Le maximum s'obtient en annulant la dérivée : $\frac{dE}{dx}=0$ mène à $(x^{2}+a^{2})-3x^{2}=0$, soit $x=\frac{a}{\sqrt{2}}\approx 7{,}07$ cm. La valeur y est $E_{max}=\frac{2kQ}{3\sqrt{3}\,a^{2}}\approx 2{,}1\times 10^{3}$ N/C. Le champ part donc de zéro au centre, monte jusqu'à ce maximum, puis retombe : un anneau chargé n'a pas son champ le plus fort là où l'on croit.

c) Si $x\gg a$, alors $(x^{2}+a^{2})^{3/2}\to x^{3}$ et $E\to\frac{kQx}{x^{3}}=\frac{kQ}{x^{2}}$ : de loin, l'anneau est indiscernable d'une charge ponctuelle, comme il se doit. En $x=2{,}0$ m : exact $\frac{(54)(2{,}0)}{(4{,}01)^{3/2}}\approx 13{,}45$ N/C, approximation $\frac{54}{4{,}0}=13{,}5$ N/C. L'écart est de 0,4 % : à vingt rayons de distance, la structure de l'objet a déjà disparu.

d) Tous les éléments de la tige sont alignés avec $P$ : les champs sont tous colinéaires, l'intégrale est scalaire. Avec $\lambda=\frac{Q'}{L}$ et $x$ mesuré depuis $P$ : $E=\int_{d}^{d+L}\frac{k\lambda\,dx}{x^{2}}=k\lambda\left[\frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}\right]=\frac{k\lambda L}{d(d+L)}=\frac{kQ'}{d(d+L)}$. Numériquement : $E=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(9{,}0\times 10^{-9})}{(0{,}25)(0{,}75)}=\frac{81}{0{,}1875}=4{,}32\times 10^{2}$ N/C. Remarquez la forme : ce n'est pas $\frac{kQ'}{r^{2}}$ mais un produit des distances aux DEUX extrémités.

e) Le milieu de la tige est à $0{,}25+0{,}25=0{,}50$ m de $P$, ce qui donne $\frac{81}{0{,}50^{2}}=3{,}24\times 10^{2}$ N/C : 25 % TROP FAIBLE. La raison est la convexité du $\frac{1}{r^{2}}$ : la moitié proche de la tige gagne bien plus que ce que la moitié lointaine perd, donc la moyenne des contributions dépasse la contribution de la charge moyenne. L'approximation ponctuelle n'est légitime que loin de l'objet, or ici $d$ est du même ordre que $L$. Potentiel : $V=\int_{d}^{d+L}\frac{k\lambda\,dx}{x}=k\lambda\ln\frac{d+L}{d}=(9{,}0\times 10^{9})(1{,}8\times 10^{-8})\ln 3\approx 1{,}8\times 10^{2}$ V. Vérification : $-\frac{dV}{dd}=-k\lambda\left[\frac{1}{d+L}-\frac{1}{d}\right]=\frac{k\lambda L}{d(d+L)}$, exactement le champ de la question d). Le champ est bien la pente du potentiel, changée de signe.

a) $\Phi_{E}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}=\frac{5{,}0\times 10^{-9}}{8{,}85\times 10^{-12}}\approx 565$ N·m²/C. Par symétrie, les six faces se partagent également ce flux : $\frac{565}{6}\approx 94$ N·m²/C par face. Doubler l'arête ne change RIEN au flux total : il ne dépend que de la charge enfermée, jamais de la forme ni de la taille de la surface. Décentrer la charge ne change pas non plus le total, mais détruit la symétrie : les faces proches reçoivent plus de flux que les faces lointaines, et le calcul par face n'est alors plus faisable sans intégrale.

b) À l'extérieur, la sphère se comporte comme une charge ponctuelle placée au centre : $E(0{,}20)=\frac{kQ}{r^{2}}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(8{,}0\times 10^{-9})}{0{,}20^{2}}=1{,}8\times 10^{3}$ N/C. À la surface : $E(R)=\frac{72}{0{,}010}=7{,}2\times 10^{3}$ N/C. À l'intérieur, la surface de Gauss de rayon $r$ n'enferme que la fraction $\frac{r^{3}}{R^{3}}$ de la charge, d'où $E=\frac{kQr}{R^{3}}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(8{,}0\times 10^{-9})(0{,}050)}{(0{,}10)^{3}}=3{,}6\times 10^{3}$ N/C. Allure : $E$ croît LINÉAIREMENT de 0 au centre jusqu'au maximum $7{,}2\times 10^{3}$ N/C à la surface, puis décroît en $\frac{1}{r^{2}}$. Le champ est maximal sur la surface, pas au centre : c'est le contraire de l'intuition.

c) À $r=20$ cm : exactement la même valeur, $1{,}8\times 10^{3}$ N/C. Gauss ne connaît que la charge enfermée et la symétrie sphérique : la façon dont la charge est répartie à l'intérieur est invisible de l'extérieur. À $r=5{,}0$ cm : $E=0$. Dans un conducteur à l'équilibre, toute la charge migre sur la surface extérieure, donc une surface de Gauss intérieure n'enferme aucune charge. Réciproquement, si le champ n'était pas nul dans le métal, les électrons libres se déplaceraient et l'équilibre ne serait pas atteint.

d) Plaque seule : la surface de Gauss est un cylindre qui la traverse, le flux sort par les DEUX bases, d'où $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=\frac{2{,}0\times 10^{-8}}{2(8{,}85\times 10^{-12})}\approx 1{,}13\times 10^{3}$ N/C, uniforme et indépendant de la distance. Avec la seconde plaque $-\sigma$ : entre les plaques, les deux champs pointent dans le même sens et s'ajoutent, $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\approx 2{,}3\times 10^{3}$ N/C; à l'extérieur, ils sont opposés et se compensent, $E\approx 0$. C'est ce champ uniforme confiné entre les armatures qui donne $\Delta V=Ed$, donc $E=\frac{\Delta V}{d}$ : la formule du condensateur plan n'est pas un axiome, elle sort de Gauss.

e) Paroi intérieure : $-3{,}0$ nC; surface extérieure : $+3{,}0$ nC. Justification : on trace une surface de Gauss entièrement dans le métal, où $E=0$ partout, donc $\Phi_{E}=0$, donc $Q_{int}=0$; comme elle enferme la charge $+3{,}0$ nC et la paroi intérieure, cette paroi porte forcément $-3{,}0$ nC. Le conducteur étant neutre au total, le $+3{,}0$ nC manquant se retrouve sur la face externe. Oui, le flux peut être nul sans que le champ le soit : placez une surface fermée dans le champ uniforme d'un condensateur, le flux entrant compense exactement le flux sortant. Flux nul signifie charge enfermée nulle, pas champ nul, et c'est la confusion la plus fréquente du chapitre.

a) Deux forces : le poids $mg$ vers le bas et la force électrique $qE$ qui doit pointer vers le haut. Équilibre : $|q|E=mg$.

b) $E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{392}{0{,}010}=3{,}92\times 10^{4}$ V/m.

c) $|q|=\frac{mg}{E}=\frac{(1{,}92\times 10^{-15})(9{,}8)}{3{,}92\times 10^{4}}=4{,}8\times 10^{-19}$ C. Nombre de charges élémentaires : $n=\frac{4{,}8\times 10^{-19}}{1{,}6\times 10^{-19}}=3$ : la gouttelette porte exactement trois électrons excédentaires.

d) La gouttelette est négative et la force électrique doit être vers le haut : la force sur une charge négative est opposée au champ, donc le champ pointe vers le BAS. Le champ va toujours de la plaque au potentiel élevé vers la plaque au potentiel faible : c'est donc la plaque du HAUT qui est au potentiel le plus élevé (chargée positivement, elle attire d'ailleurs les électrons de la gouttelette vers le haut, l'image est cohérente).

e) En mesurant la charge de milliers de gouttelettes, Millikan a constaté que toutes les valeurs étaient des multiples ENTIERS d'une même quantité, $1{,}6\times 10^{-19}$ C, jamais une fraction : 3$e$, 5$e$, 8$e$..., jamais 2,7$e$. La charge n'est pas un fluide continu mais un empilement de grains identiques : c'est la quantification de la charge, et la première mesure précise de $e$, qui lui valut le prix Nobel de 1923.

a) Toute l'énergie électrique devient cinétique : $\frac{1}{2}m v_{0}^{2}=eV_{0}$, donc $v_{0}=\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}}=\sqrt{\frac{2(1{,}6\times 10^{-19})(2000)}{9{,}11\times 10^{-31}}}\approx 2{,}65\times 10^{7}$ m/s, soit environ 9 % de la vitesse de la lumière.