Exercices corrigés : charge, champ et potentiel électriques (203-NYB)

a) $n=\frac{|q|}{e}=\frac{4{,}8\times 10^{-9}}{1{,}6\times 10^{-19}}=3{,}0\times 10^{10}$ électrons, trente milliards : une charge macroscopique minuscule cache déjà un nombre astronomique de porteurs.

b) $F=\frac{k|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(4{,}0\times 10^{-6})(2{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}060)^{2}}=20$ N, attractive (signes opposés). Non : troisième loi de Newton, les deux forces ont exactement la même grandeur, quelle que soit la disproportion des charges. Le produit $|q_{1}||q_{2}|$ est le même vu des deux côtés.

c) Électrique : $F_{e}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(1{,}6\times 10^{-19})^{2}}{(5{,}3\times 10^{-11})^{2}}\approx 8{,}2\times 10^{-8}$ N. Gravitationnelle : $F_{g}=\frac{(6{,}67\times 10^{-11})(1{,}67\times 10^{-27})(9{,}11\times 10^{-31})}{(5{,}3\times 10^{-11})^{2}}\approx 3{,}6\times 10^{-47}$ N.

d) $\frac{F_{e}}{F_{g}}\approx 2{,}3\times 10^{39}$ : la gravitation est totalement négligeable dans l'atome, et c'est la force électrique qui fait toute la cohésion de la matière (liaisons, contacts, frottements). Si la gravitation gagne à l'échelle des planètes, c'est que la matière y est électriquement NEUTRE : les charges + et − se compensent et la force électrique résultante s'annule, alors que les masses, elles, ne se compensent jamais : la gravitation, si faible soit-elle, est la seule à s'additionner sans limite.

a) $E_{1}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(4{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}20)^{2}}=9{,}0\times 10^{5}$ N/C, dirigé vers les $x$ positifs (en s'éloignant de la charge positive $q_{1}$).

b) Entre les charges, les deux champs sont opposés. Égalité des grandeurs : $\frac{4k}{x^{2}}=\frac{9k}{(0{,}50-x)^{2}}$. En prenant la racine : $\frac{2}{x}=\frac{3}{0{,}50-x}$, donc $2(0{,}50-x)=3x$, d'où $x=0{,}20$ m. Le champ total est nul à 20 cm de $q_{1}$.

c) À l'extérieur du segment, les deux champs pointent dans le MÊME sens (tous deux s'éloignent des charges positives) : ils ne peuvent pas s'annuler. Entre les charges, ils s'opposent; l'équilibre exige d'être plus près de la petite charge pour compenser sa faiblesse par la distance. Pour des charges de signes OPPOSÉS, c'est l'inverse : entre elles, les champs s'ajoutent; le point de champ nul se trouve à l'EXTÉRIEUR, du côté de la charge la plus petite.

d) En $x=0{,}25$ m : $E_{1}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(4{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}25)^{2}}=5{,}76\times 10^{5}$ N/C vers $+x$; $E_{2}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(9{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}25)^{2}}=1{,}296\times 10^{6}$ N/C vers $-x$. Champ résultant : $7{,}2\times 10^{5}$ N/C vers $-x$ (vers $q_{1}$). Force sur $q_{0}<0$ : $F=|q_{0}|E=(5{,}0\times 10^{-6})(7{,}2\times 10^{5})=3{,}6$ N, dirigée à l'OPPOSÉ du champ, donc vers $+x$, c'est-à-dire vers $q_{2}$. Le signe négatif de la charge renverse le sens : oublier ce renversement est le piège classique.

a) $V=\frac{kq}{r}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(2{,}0\times 10^{-6})}{0{,}30}=6{,}0\times 10^{4}$ V, soit 60 kV.

b) $W=q_{0}V=(3{,}0\times 10^{-6})(6{,}0\times 10^{4})=0{,}18$ J. Positif : les deux charges se repoussent, l'opérateur doit pousser contre la répulsion et fournir de l'énergie, stockée en énergie potentielle électrique.

c) Potentiel (scalaire, avec les signes) : $V=\frac{kq_{A}}{0{,}20}+\frac{kq_{B}}{0{,}20}=9{,}0\times 10^{4}-9{,}0\times 10^{4}=0$ V. Champ (vecteur) : les deux champs pointent tous deux de $q_{A}$ vers $q_{B}$ (le champ s'éloigne du + et se dirige vers le −) : $E=2\times\frac{(9{,}0\times 10^{9})(2{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}20)^{2}}=9{,}0\times 10^{5}$ N/C. Constat capital : $V=0$ n'implique PAS $E=0$. Le potentiel nul dit qu'amener une charge en ce point ne coûte aucun travail net; le champ non nul dit qu'une fois là, elle subit une force bien réelle.

d) $\frac{1}{2}m_{e}v^{2}=e\,\Delta V$, donc $v=\sqrt{\frac{2(1{,}6\times 10^{-19})(100)}{9{,}11\times 10^{-31}}}\approx 5{,}9\times 10^{6}$ m/s, soit 2 % de la vitesse de la lumière pour 100 V à peine. La méthode énergétique ne demande ni la géométrie des plaques, ni le détail du champ le long du trajet : seule compte la différence de potentiel entre départ et arrivée, exactement comme la dénivelée en mécanique.

a) $a=\frac{eE}{m_{e}}=\frac{(1{,}6\times 10^{-19})(2{,}0\times 10^{4})}{9{,}11\times 10^{-31}}\approx 3{,}5\times 10^{15}$ m/s². L'électron, chargé négativement, accélère dans le sens CONTRAIRE au champ : le champ va du + vers le −, l'électron remonte du − vers le +.

b) MRUA depuis le repos sur $d=0{,}020$ m : $v=\sqrt{2ad}=\sqrt{2(3{,}51\times 10^{15})(0{,}020)}\approx 1{,}19\times 10^{7}$ m/s. Durée : $t=\frac{v}{a}\approx\frac{1{,}19\times 10^{7}}{3{,}51\times 10^{15}}\approx 3{,}4\times 10^{-9}$ s, quelques nanosecondes.

c) $\Delta V=E\,d=(2{,}0\times 10^{4})(0{,}020)=400$ V. Puis $\frac{1}{2}m_{e}v^{2}=e\,\Delta V$ : $v=\sqrt{\frac{2(1{,}6\times 10^{-19})(400)}{9{,}11\times 10^{-31}}}\approx 1{,}19\times 10^{7}$ m/s. Les deux méthodes concordent exactement : ce sont les deux mêmes lois vues de la mécanique.

d) $\frac{a}{g}=\frac{3{,}5\times 10^{15}}{9{,}8}\approx 3{,}6\times 10^{14}$ : la gravité est quelques centaines de billions de fois plus faible, la négliger est plus que justifié. Le proton subit la même force (même $e$, même $E$) mais porte une masse 1836 fois plus grande : accélération 1836 fois plus faible. Par la méthode énergétique, il gagne la MÊME énergie cinétique $e\Delta V$, donc arrive avec $\frac{1}{2}mv^{2}$ égal mais une vitesse $\sqrt{1836}\approx 43$ fois plus faible. Moins vite, donc, mais avec la même énergie : distinguer les deux est exactement l'esprit du chapitre.

a) Chaque charge est à 25 cm de $P$ : $E=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(3{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}25)^{2}}=4{,}32\times 10^{5}$ N/C.

b) Chaque champ pointe de sa charge vers $P$ (charges positives). Composantes : pour $A$, $(+E\cos\theta;\ +E\sin\theta)$; pour $B$, $(-E\cos\theta;\ +E\sin\theta)$. Par symétrie, les composantes horizontales s'annulent; les verticales s'ajoutent : $E_{tot}=2E\sin\theta=2(4{,}32\times 10^{5})(0{,}6)=5{,}2\times 10^{5}$ N/C, dirigé verticalement vers le haut (selon $+y$, le long de la médiatrice).

c) $F=|q_{0}|E_{tot}=(2{,}0\times 10^{-6})(5{,}18\times 10^{5})\approx 1{,}0$ N. La charge est négative : la force est opposée au champ, donc verticale vers le BAS, vers le milieu du segment $AB$.

d) Potentiel, somme scalaire : $V_{P}=2\times\frac{(9{,}0\times 10^{9})(3{,}0\times 10^{-6})}{0{,}25}=2{,}16\times 10^{5}$ V. Travail : $W=q_{0}V_{P}=(-2{,}0\times 10^{-6})(2{,}16\times 10^{5})=-0{,}43$ J. Négatif : la charge négative est ATTIRÉE par les deux charges positives, le champ fait le travail à la place de l'opérateur, qui doit plutôt retenir. Aucune décomposition, parce que le potentiel est un scalaire : c'est tout l'avantage de la voie énergétique.

e) Par symétrie, le champ est nul au milieu du segment, $(0{,}20;\ 0)$ : les deux champs s'y compensent exactement. L'équilibre y est toutefois STABLE le long de l'axe $x$ pour une charge positive (repoussée par la charge dont elle s'approche, elle est ramenée au centre)... mais une analyse hors de l'axe montrerait qu'il est instable selon $y$ : aucun point de l'espace vide ne piège une charge en équilibre stable dans toutes les directions (théorème d'Earnshaw, hors programme mais bon à savoir).

a) Deux forces : le poids $mg$ vers le bas et la force électrique $qE$ qui doit pointer vers le haut. Équilibre : $|q|E=mg$.

b) $E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{392}{0{,}010}=3{,}92\times 10^{4}$ V/m.

c) $|q|=\frac{mg}{E}=\frac{(1{,}92\times 10^{-15})(9{,}8)}{3{,}92\times 10^{4}}=4{,}8\times 10^{-19}$ C. Nombre de charges élémentaires : $n=\frac{4{,}8\times 10^{-19}}{1{,}6\times 10^{-19}}=3$ : la gouttelette porte exactement trois électrons excédentaires.

d) La gouttelette est négative et la force électrique doit être vers le haut : la force sur une charge négative est opposée au champ, donc le champ pointe vers le BAS. Le champ va toujours de la plaque au potentiel élevé vers la plaque au potentiel faible : c'est donc la plaque du HAUT qui est au potentiel le plus élevé (chargée positivement, elle attire d'ailleurs les électrons de la gouttelette vers le haut, l'image est cohérente).

e) En mesurant la charge de milliers de gouttelettes, Millikan a constaté que toutes les valeurs étaient des multiples ENTIERS d'une même quantité, $1{,}6\times 10^{-19}$ C, jamais une fraction : 3$e$, 5$e$, 8$e$..., jamais 2,7$e$. La charge n'est pas un fluide continu mais un empilement de grains identiques : c'est la quantification de la charge, et la première mesure précise de $e$, qui lui valut le prix Nobel de 1923.