Exercices corrigés : magnétisme et induction électromagnétique (203-NYB)

a) $v$ et $B$ sont perpendiculaires : $F=qvB=(1{,}6\times 10^{-19})(2{,}0\times 10^{6})(0{,}50)=1{,}6\times 10^{-13}$ N. Main droite : doigts vers l'est ($v$), rabattus vers le nord ($B$), le pouce pointe VERS LE HAUT : la force est verticale ascendante.

b) Poids : $mg=(1{,}67\times 10^{-27})(9{,}8)\approx 1{,}6\times 10^{-26}$ N. Rapport : $\frac{F}{mg}\approx 10^{13}$ : dix mille milliards de fois le poids. La gravité est totalement négligeable dans la dynamique des particules chargées, comme en électrostatique.

c) Même grandeur ($|q|$ identique, même vitesse, même champ), mais direction OPPOSÉE : la charge négative renverse le sens, la force sur l'électron pointe verticalement vers le bas.

d) $F=qvB\sin 30^{\circ}=(1{,}6\times 10^{-13})(0{,}5)=8{,}0\times 10^{-14}$ N. La force s'annule quand la vitesse est PARALLÈLE (ou antiparallèle) au champ : $\sin 0^{\circ}=0$; une particule qui file le long des lignes de champ ne sent rien. Enfin, la force magnétique reste à chaque instant perpendiculaire à la vitesse : son travail $W=Fd\cos 90^{\circ}$ est toujours nul, donc l'énergie cinétique, et avec elle la grandeur de la vitesse, ne peut pas changer. Le champ magnétique est un volant, pas un accélérateur.

a) La force $qvB$, perpendiculaire à la vitesse, a une grandeur constante ($v$ et $B$ ne changent pas). Une force de grandeur constante toujours perpendiculaire à la vitesse est exactement une force centripète : elle courbe la trajectoire en cercle sans modifier la grandeur de la vitesse.

b) Newton avec l'accélération centripète : $qvB=\frac{mv^{2}}{r}$. En isolant : $r=\frac{mv}{qB}$. Plus la particule est rapide ou massive, plus le cercle est grand; plus le champ est fort, plus il est serré.

c) $r=\frac{(1{,}67\times 10^{-27})(2{,}0\times 10^{6})}{(1{,}6\times 10^{-19})(0{,}50)}\approx 4{,}2\times 10^{-2}$ m, soit environ 4,2 cm. Période : $T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi(1{,}67\times 10^{-27})}{(1{,}6\times 10^{-19})(0{,}50)}\approx 1{,}3\times 10^{-7}$ s.

d) Dans $T=\frac{2\pi m}{qB}$, la vitesse s'est simplifiée : une particule rapide parcourt un grand cercle, une lente un petit, mais toutes deux bouclent leur tour dans le MÊME temps. Le cyclotron exploite cette synchronisation : une tension alternative de fréquence fixe peut accélérer la particule à chaque demi-tour, sans jamais se désynchroniser pendant que le rayon grandit. Pour un électron : masse 1836 fois plus petite, donc rayon 1836 fois plus petit (environ 23 μm) et période 1836 fois plus courte, avec une rotation en sens inverse (charge négative).

a) L'ion subit la force électrique $qE$ et la force magnétique $qvB$, montées en opposition. Il traverse sans dévier si elles se compensent : $qE=qvB$, d'où $v=\frac{E}{B}=\frac{8{,}0\times 10^{4}}{0{,}40}=2{,}0\times 10^{5}$ m/s. La charge s'est simplifiée : le sélecteur trie sur la vitesse seule, quelle que soit la masse ou la charge.

b) La force électrique $qE$ ne dépend pas de la vitesse, mais la force magnétique $qvB$ croît avec elle : pour un ion trop rapide, le magnétisme l'emporte, l'ion est dévié du côté de la force MAGNÉTIQUE. Trop lent, c'est l'électrique qui gagne.

c) Dans la seconde région : $r=\frac{mv}{qB_{2}}$, donc $m=\frac{rqB_{2}}{v}=\frac{(0{,}050)(1{,}6\times 10^{-19})(0{,}50)}{2{,}0\times 10^{5}}=2{,}0\times 10^{-26}$ kg. En unités atomiques : $\frac{2{,}0\times 10^{-26}}{1{,}66\times 10^{-27}}\approx 12$ u : c'est très vraisemblablement du carbone 12 (ionisé une fois).

d) Le rayon est proportionnel à la masse ($v$, $q$ et $B_{2}$ inchangés) : $r_{14}=5{,}0\times\frac{14}{12}\approx 5{,}8$ cm. Les deux isotopes, chimiquement identiques (mêmes électrons), frappent le détecteur à des positions distinctes, séparées de quelques millimètres : le spectromètre trie par l'INERTIE ce que la chimie ne peut pas trier. C'est le principe de la datation au carbone 14 et de l'analyse isotopique.

a) $F=BIL=(0{,}20)(8{,}0)(1{,}5)=2{,}4$ N : une force très réelle, c'est elle qui fait tourner les moteurs électriques.

b) $B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi d}=\frac{(4\pi\times 10^{-7})(20)}{2\pi(0{,}10)}=4{,}0\times 10^{-5}$ T : comparable au champ terrestre. Un simple courant domestique intense crée, à distance de main, un champ du même ordre que celui de la planète entière : le magnétisme des courants est étonnamment accessible.

c) Le fil 1 crée en position du fil 2 le champ $B_{1}=4{,}0\times 10^{-5}$ T (calculé en b). Force sur 1 m du fil 2 : $\frac{F}{L}=B_{1}I_{2}=(4{,}0\times 10^{-5})(20)=8{,}0\times 10^{-4}$ N/m. Main droite : le champ de 1 encercle le fil; au niveau du fil 2, la force $IL\times B$ pointe VERS le fil 1. Par symétrie (et troisième loi de Newton), le fil 1 est tiré vers le fil 2 : courants de même sens S'ATTIRENT.

d) La force ne dépend que des courants et de la géométrie : $\frac{F}{L}=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi d}$. L'ancienne définition de l'ampère s'appuyait dessus : un ampère est le courant qui, dans deux fils parallèles distants d'un mètre, produit $2\times 10^{-7}$ N par mètre : une définition purement mécanique, mesurable à la balance. Si l'on renverse un courant, la règle de la main droite renverse la force : les courants opposés SE REPOUSSENT, même grandeur, sens contraire.

a) $\varepsilon=BLv=(0{,}50)(0{,}40)(5{,}0)=1{,}0$ V. Physiquement, chaque charge libre de la tige, entraînée à la vitesse $v$ dans le champ $B$, subit une force magnétique $qvB$ le long de la tige : c'est cette force qui sépare les charges et joue le rôle de générateur. De façon équivalente, l'aire du circuit croît, donc le flux $\Phi=BA$ croît, et Faraday donne $\varepsilon=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=BLv$.

b) $I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{1{,}0}{0{,}80}=1{,}25$ A. Loi de Lenz : le courant induit s'oppose à la CAUSE qui le crée, c'est-à-dire au mouvement de la tige. Le courant, traversant la tige dans le champ, produit une force de Laplace dirigée CONTRE la vitesse : un freinage magnétique.

c) Pour une vitesse constante, l'opérateur doit compenser exactement ce freinage : $F=BIL=(0{,}50)(1{,}25)(0{,}40)=0{,}25$ N.

d) Mécanique : $P=Fv=(0{,}25)(5{,}0)=1{,}25$ W. Électrique : $P=\varepsilon I=(1{,}0)(1{,}25)=1{,}25$ W (ou $RI^{2}=(0{,}80)(1{,}5625)=1{,}25$ W). Égalité exacte : chaque joule fourni par le muscle ressort en chaleur dans la résistance. La tige sur rails est un alternateur réduit à l'essentiel : un convertisseur mécanique-électrique, sans perte ici puisque rien d'autre ne frotte.

e) Sans opérateur, la force de freinage $BIL$ subsiste tant que la tige bouge : la tige décélère, la fem et le courant diminuent avec $v$, donc le freinage faiblit aussi : la vitesse décroît exponentiellement, sans jamais s'inverser. La loi de Lenz garantit ce signe : si le courant induit POUSSAIT la tige au lieu de la freiner, elle accélérerait seule, créant de l'énergie de nulle part : la loi de Lenz est la conservation de l'énergie déguisée en règle de signe.

a) $\Delta\Phi=\Delta B\times A=(0{,}60)(50\times 10^{-4})=3{,}0\times 10^{-3}$ Wb par spire.

b) Faraday, avec les 200 spires en série : $\varepsilon=N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=200\times\frac{3{,}0\times 10^{-3}}{0{,}30}=2{,}0$ V. Courant : $I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{2{,}0}{8{,}0}=0{,}25$ A.

c) $Q=I\,\Delta t=(0{,}25)(0{,}30)=0{,}075$ C. En général : $Q=I\,\Delta t=\frac{\varepsilon}{R}\Delta t=\frac{N\Delta\Phi}{R\,\Delta t}\Delta t=\frac{N\Delta\Phi}{R}$ : la durée s'est simplifiée. Vérification : $\frac{(200)(3{,}0\times 10^{-3})}{8{,}0}=0{,}075$ C. L'étonnant : que le champ monte en 0,3 s ou en 3 minutes, la MÊME charge circule; seul le courant (le débit) change. C'est le principe du fluxmètre balistique : mesurer une charge pour connaître une variation de flux, sans chronomètre.

d) Le flux croît vers l'avant de la bobine : par Lenz, le courant induit crée son propre champ OPPOSÉ à cette croissance, il circule donc dans le sens qui, vu depuis la source du champ, est le sens horaire (règle de la main droite inversée sur la normale). Tourner la bobine d'un quart de tour dans un champ fixe annule aussi le flux ($\cos 90^{\circ}=0$) : même $\Delta\Phi$, même physique : une fem apparaît PENDANT la rotation. Répéter cette rotation en continu, c'est exactement un alternateur : toute l'électricité du réseau vient de bobines qu'on fait tourner dans des champs.