Exercices corrigés : magnétisme et induction électromagnétique (203-SN2-RE, ancien 203-NYB)

a) $v$ et $B$ sont perpendiculaires : $F=qvB=(1{,}6\times 10^{-19})(2{,}0\times 10^{6})(0{,}50)=1{,}6\times 10^{-13}$ N. Main droite : doigts vers l'est ($v$), rabattus vers le nord ($B$), le pouce pointe VERS LE HAUT : la force est verticale ascendante.

b) Poids : $mg=(1{,}67\times 10^{-27})(9{,}8)\approx 1{,}6\times 10^{-26}$ N. Rapport : $\frac{F}{mg}\approx 10^{13}$ : dix mille milliards de fois le poids. La gravité est totalement négligeable dans la dynamique des particules chargées, comme en électrostatique.

c) Même grandeur ($|q|$ identique, même vitesse, même champ), mais direction OPPOSÉE : la charge négative renverse le sens, la force sur l'électron pointe verticalement vers le bas.

d) $F=qvB\sin 30^{\circ}=(1{,}6\times 10^{-13})(0{,}5)=8{,}0\times 10^{-14}$ N. La force s'annule quand la vitesse est PARALLÈLE (ou antiparallèle) au champ : $\sin 0^{\circ}=0$; une particule qui file le long des lignes de champ ne sent rien. Enfin, la force magnétique reste à chaque instant perpendiculaire à la vitesse : son travail $W=Fd\cos 90^{\circ}$ est toujours nul, donc l'énergie cinétique, et avec elle la grandeur de la vitesse, ne peut pas changer. Le champ magnétique est un volant, pas un accélérateur.

a) La force $qvB$, perpendiculaire à la vitesse, a une grandeur constante ($v$ et $B$ ne changent pas). Une force de grandeur constante toujours perpendiculaire à la vitesse est exactement une force centripète : elle courbe la trajectoire en cercle sans modifier la grandeur de la vitesse.

b) Newton avec l'accélération centripète : $qvB=\frac{mv^{2}}{r}$. En isolant : $r=\frac{mv}{qB}$. Plus la particule est rapide ou massive, plus le cercle est grand; plus le champ est fort, plus il est serré.

c) $r=\frac{(1{,}67\times 10^{-27})(2{,}0\times 10^{6})}{(1{,}6\times 10^{-19})(0{,}50)}\approx 4{,}2\times 10^{-2}$ m, soit environ 4,2 cm. Période : $T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi(1{,}67\times 10^{-27})}{(1{,}6\times 10^{-19})(0{,}50)}\approx 1{,}3\times 10^{-7}$ s.

d) Dans $T=\frac{2\pi m}{qB}$, la vitesse s'est simplifiée : une particule rapide parcourt un grand cercle, une lente un petit, mais toutes deux bouclent leur tour dans le MÊME temps. Le cyclotron exploite cette synchronisation : une tension alternative de fréquence fixe peut accélérer la particule à chaque demi-tour, sans jamais se désynchroniser pendant que le rayon grandit. Pour un électron : masse 1836 fois plus petite, donc rayon 1836 fois plus petit (environ 23 μm) et période 1836 fois plus courte, avec une rotation en sens inverse (charge négative).

a) L'ion subit la force électrique $qE$ et la force magnétique $qvB$, montées en opposition. Il traverse sans dévier si elles se compensent : $qE=qvB$, d'où $v=\frac{E}{B}=\frac{8{,}0\times 10^{4}}{0{,}40}=2{,}0\times 10^{5}$ m/s. La charge s'est simplifiée : le sélecteur trie sur la vitesse seule, quelle que soit la masse ou la charge.

b) La force électrique $qE$ ne dépend pas de la vitesse, mais la force magnétique $qvB$ croît avec elle : pour un ion trop rapide, le magnétisme l'emporte, l'ion est dévié du côté de la force MAGNÉTIQUE. Trop lent, c'est l'électrique qui gagne.

c) Dans la seconde région : $r=\frac{mv}{qB_{2}}$, donc $m=\frac{rqB_{2}}{v}=\frac{(0{,}050)(1{,}6\times 10^{-19})(0{,}50)}{2{,}0\times 10^{5}}=2{,}0\times 10^{-26}$ kg. En unités atomiques : $\frac{2{,}0\times 10^{-26}}{1{,}66\times 10^{-27}}\approx 12$ u : c'est très vraisemblablement du carbone 12 (ionisé une fois).

d) Le rayon est proportionnel à la masse ($v$, $q$ et $B_{2}$ inchangés) : $r_{14}=5{,}0\times\frac{14}{12}\approx 5{,}8$ cm. Les deux isotopes, chimiquement identiques (mêmes électrons), frappent le détecteur à des positions distinctes, séparées de quelques millimètres : le spectromètre trie par l'INERTIE ce que la chimie ne peut pas trier. C'est le principe de la datation au carbone 14 et de l'analyse isotopique.

a) $F=BIL=(0{,}20)(8{,}0)(1{,}5)=2{,}4$ N : une force très réelle, c'est elle qui fait tourner les moteurs électriques.

b) $B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi d}=\frac{(4\pi\times 10^{-7})(20)}{2\pi(0{,}10)}=4{,}0\times 10^{-5}$ T : comparable au champ terrestre. Un simple courant domestique intense crée, à distance de main, un champ du même ordre que celui de la planète entière : le magnétisme des courants est étonnamment accessible.

c) Le fil 1 crée en position du fil 2 le champ $B_{1}=4{,}0\times 10^{-5}$ T (calculé en b). Force sur 1 m du fil 2 : $\frac{F}{L}=B_{1}I_{2}=(4{,}0\times 10^{-5})(20)=8{,}0\times 10^{-4}$ N/m. Main droite : le champ de 1 encercle le fil; au niveau du fil 2, la force $IL\times B$ pointe VERS le fil 1. Par symétrie (et troisième loi de Newton), le fil 1 est tiré vers le fil 2 : courants de même sens S'ATTIRENT.

d) La force ne dépend que des courants et de la géométrie : $\frac{F}{L}=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi d}$. L'ancienne définition de l'ampère s'appuyait dessus : un ampère est le courant qui, dans deux fils parallèles distants d'un mètre, produit $2\times 10^{-7}$ N par mètre : une définition purement mécanique, mesurable à la balance. Si l'on renverse un courant, la règle de la main droite renverse la force : les courants opposés SE REPOUSSENT, même grandeur, sens contraire.

a) Aire d'une spire : $A=(0{,}080)(0{,}120)=9{,}6\times 10^{-3}$ m². Moment magnétique : $\mu=NIA=(50)(2{,}0)(9{,}6\times 10^{-3})=0{,}96$ A·m². Le couple $\tau=\mu B\sin\theta$ est maximal pour $\theta=90°$, c'est-à-dire quand le plan de la bobine CONTIENT le champ (la normale lui est perpendiculaire), et nul pour $\theta=0°$ ou $180°$, quand la normale est alignée avec le champ.

b) $\tau_{max}=\mu B=(0{,}96)(0{,}30)=0{,}288$ N·m. À $\theta=30°$ : $\tau=(0{,}288)(0{,}500)=0{,}144$ N·m. Le couple tend toujours à RÉDUIRE $\theta$, donc à aligner le moment magnétique sur le champ : la bobine pivote comme une aiguille de boussole qui cherche le nord.

c) $U=-\mu B\cos\theta$ est minimale en $\theta=0°$, avec $U=-0{,}288$ J : c'est l'équilibre STABLE, moment aligné sur le champ. Elle est maximale en $\theta=180°$, avec $U=+0{,}288$ J : équilibre INSTABLE, moment antiparallèle. Travail pour retourner la bobine : $W=\Delta U=0{,}288-(-0{,}288)=0{,}576$ J, soit $2\mu B$.

d) Le couple s'annule justement à l'alignement, et surtout il CHANGE DE SIGNE si la bobine dépasse cette position : au-delà, il la ramène en arrière. Livrée à elle-même, la bobine oscillerait autour de $\theta=0°$ puis s'immobiliserait, un quart de tour après le départ. Le collecteur à balais inverse le sens du courant à chaque demi-tour, exactement au passage par l'alignement : le moment magnétique se retourne, le couple reste dans le même sens de rotation, et le mouvement devient continu. Le moteur à courant continu est donc, avant tout, un interrupteur qui bascule au bon moment.

e) À l'équilibre de l'aiguille, le couple magnétique équilibre le rappel du ressort : $NIAB\sin\theta=k\alpha$. Si l'on s'arrange pour que $\sin\theta=1$ en permanence, il reste $\alpha=\frac{NAB}{k}I$ : la déviation est strictement proportionnelle au courant, et le cadran peut être gradué linéairement. Or $\sin\theta$ ne reste égal à 1 que si le champ demeure parallèle au plan de la bobine quelle que soit sa rotation : c'est précisément ce que produisent des pièces polaires creusées en arc de cercle, qui rendent le champ RADIAL dans l'entrefer. Sans elles, la graduation serait en $\sin\theta$ et l'échelle se tasserait aux grandes déviations.

a) Les porteurs qui composent le courant se déplacent à la vitesse de dérive $v_{d}$; le champ magnétique exerce sur eux une force $qv_{d}B$ perpendiculaire à la fois au courant et au champ, donc dirigée en travers du ruban. Ils s'accumulent sur un bord, laissant l'autre bord de charge opposée. Cette séparation crée un champ électrique transversal $E_{H}$ qui repousse les porteurs suivants : l'accumulation cesse quand les deux forces s'équilibrent, $qE_{H}=qv_{d}B$, soit $E_{H}=v_{d}B$. La tension entre les bords vaut alors $V_{H}=E_{H}w=v_{d}Bw$. Comme $I=nqv_{d}A=nqv_{d}(wt)$, on tire $v_{d}=\frac{I}{nqwt}$ et donc $V_{H}=\frac{IB}{nqt}$ : la largeur disparaît.

b) $v_{d}=\frac{I}{nq\,wt}=\frac{10}{(8{,}5\times 10^{28})(1{,}6\times 10^{-19})(0{,}020)(1{,}0\times 10^{-4})}\approx 3{,}68\times 10^{-4}$ m/s. Tension : $V_{H}=\frac{IB}{nqt}=\frac{(10)(1{,}2)}{(8{,}5\times 10^{28})(1{,}6\times 10^{-19})(1{,}0\times 10^{-4})}\approx 8{,}8\times 10^{-6}$ V, soit neuf microvolts pour dix ampères et plus d'un tesla. C'est minuscule, à la limite du bruit d'un montage ordinaire : dans un métal, la densité de porteurs est si énorme que chacun se déplace très lentement, et la tension de Hall avec lui.

c) Prenons le courant vers la droite et le champ sortant de la feuille. Des charges POSITIVES iraient vers la droite et seraient poussées, disons, vers le haut : le bord haut devient positif. Des ÉLECTRONS produisent le même courant en allant vers la gauche; la vitesse change de sens ET la charge change de signe, donc la force $q\vec{v}\times\vec{B}$ garde exactement la même direction : les électrons sont poussés vers le haut eux aussi. Mais cette fois le bord haut devient NÉGATIF. Les deux hypothèses donnent donc des tensions de Hall de SIGNES OPPOSÉS : la polarité mesurée révèle directement le signe des porteurs, ce qu'aucune mesure de résistance ne peut faire. Historiquement, c'est ainsi qu'on a confirmé que le courant des métaux usuels est porté par des charges négatives, et découvert que certains métaux, comme le zinc ou le béryllium, donnent un coefficient de Hall POSITIF : leurs porteurs se comportent comme des charges positives, les trous, ce que seule la physique quantique des bandes explique.

d) $V_{H}=\frac{(0{,}010)(1{,}2)}{(1{,}0\times 10^{22})(1{,}6\times 10^{-19})(1{,}0\times 10^{-4})}=\frac{0{,}012}{0{,}16}=7{,}5\times 10^{-2}$ V, soit 75 mV : un signal confortable, lisible sans amplificateur. Le cuivre, sous les mêmes 10 mA, donnerait $8{,}8\times 10^{-9}$ V, huit millions de fois moins. Tout tient au $n$ au dénominateur : un semi-conducteur a des porteurs des millions de fois moins nombreux, donc bien plus rapides à courant égal, donc une tension de Hall exploitable. C'est pour cela que toutes les sondes de Hall, les capteurs de position des moteurs sans balais et les capteurs de vilebrequin sont en semi-conducteur.

e) $B=\frac{V_{H}nqt}{I}=\frac{(0{,}045)(1{,}0\times 10^{22})(1{,}6\times 10^{-19})(1{,}0\times 10^{-4})}{0{,}010}=\frac{(0{,}045)(0{,}16)}{0{,}010}=0{,}72$ T. Dans $V_{H}=\frac{IB}{nqt}$, ni la longueur ni la résistance n'apparaissent : la longueur ne fixe que la tension LONGITUDINALE qu'il faut appliquer pour obtenir le courant voulu, alors que la tension de Hall est transversale et n'est réglée que par l'équilibre entre force magnétique et force électrique. Tant qu'on impose le courant, la sonde donne le même $V_{H}$ qu'elle soit courte ou longue, chaude ou froide : c'est ce qui en fait un instrument de mesure fiable.

a) $v_{\parallel}=v\cos 30°=(4{,}0\times 10^{6})(0{,}866)\approx 3{,}46\times 10^{6}$ m/s et $v_{\perp}=v\sin 30°=2{,}0\times 10^{6}$ m/s. La force magnétique vaut $qvB\sin\theta$ et n'agit que sur la composante PERPENDICULAIRE : la composante parallèle au champ ne produit aucune force et reste donc constante. Le mouvement est la superposition d'un cercle uniforme dans le plan perpendiculaire et d'une translation uniforme le long du champ : une hélice, comme un pas de vis.

b) $r=\frac{mv_{\perp}}{qB}=\frac{(1{,}67\times 10^{-27})(2{,}0\times 10^{6})}{(1{,}6\times 10^{-19})(0{,}20)}\approx 0{,}104$ m. Période : $T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi(1{,}67\times 10^{-27})}{(1{,}6\times 10^{-19})(0{,}20)}\approx 3{,}28\times 10^{-7}$ s, indépendante de l'angle d'entrée comme de la vitesse. Pas de l'hélice : $p=v_{\parallel}T=(3{,}46\times 10^{6})(3{,}28\times 10^{-7})\approx 1{,}14$ m.

c) Là où les lignes de champ se resserrent, elles ne sont plus rigoureusement parallèles : elles convergent, et la force $q\vec{v}\times\vec{B}$ acquiert une composante dirigée VERS LA ZONE DE CHAMP FAIBLE, qui freine le mouvement le long de l'axe. Par ailleurs, la force magnétique ne travaillant pas, la vitesse totale est fixe : à mesure que le champ augmente, la partie perpendiculaire du mouvement s'intensifie et la partie parallèle s'épuise, jusqu'à s'annuler puis changer de signe. La particule rebondit : c'est le miroir magnétique. Le champ terrestre, plus intense près des pôles, forme précisément deux miroirs face à face : les particules du vent solaire capturées y font la navette d'un hémisphère à l'autre, ce sont les ceintures de Van Allen. Celles qui plongent assez bas pour heurter la haute atmosphère y excitent l'oxygène et l'azote, qui rayonnent : les aurores polaires.

d) Fréquence cyclotron : $f=\frac{1}{T}=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{(1{,}6\times 10^{-19})(1{,}5)}{2\pi(1{,}67\times 10^{-27})}\approx 2{,}29\times 10^{7}$ Hz, soit environ 23 MHz. Vitesse de sortie, atteinte au rayon maximal : $v=\frac{qBR}{m}=\frac{(1{,}6\times 10^{-19})(1{,}5)(0{,}50)}{1{,}67\times 10^{-27}}\approx 7{,}19\times 10^{7}$ m/s. Énergie : $K=\frac{1}{2}mv^{2}\approx 4{,}31\times 10^{-12}$ J, soit $\frac{4{,}31\times 10^{-12}}{1{,}6\times 10^{-13}}\approx 27$ MeV.

e) $\frac{v}{c}=\frac{7{,}19\times 10^{7}}{3{,}0\times 10^{8}}\approx 0{,}24$ : le proton file déjà à près du quart de la vitesse de la lumière, et sa masse effective a augmenté de quelques pour cent. Or toute la magie du cyclotron repose sur une période $T=\frac{2\pi m}{qB}$ CONSTANTE, qui permet une tension accélératrice de fréquence fixe. Dès que la masse relativiste croît, la période s'allonge, la particule arrive en retard au passage suivant et finit par être freinée au lieu d'être accélérée : le cyclotron classique plafonne vers quelques dizaines de MeV pour les protons. Le synchrocyclotron abaisse progressivement la fréquence accélératrice au cours du cycle pour rester synchronisé, au prix d'un faisceau non plus continu mais pulsé. Quant aux électrons, leur masse est 1836 fois plus faible : ils deviennent relativistes dès quelques centaines de keV, c'est-à-dire pratiquement dès le départ, et l'on préfère pour eux le bêtatron ou l'accélérateur linéaire.

a) $\varepsilon=BLv=(0{,}50)(0{,}40)(5{,}0)=1{,}0$ V. Physiquement, chaque charge libre de la tige, entraînée à la vitesse $v$ dans le champ $B$, subit une force magnétique $qvB$ le long de la tige : c'est cette force qui sépare les charges et joue le rôle de générateur. De façon équivalente, l'aire du circuit croît, donc le flux $\Phi=BA$ croît, et Faraday donne $\varepsilon=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=BLv$.

b) $I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{1{,}0}{0{,}80}=1{,}25$ A. Loi de Lenz : le courant induit s'oppose à la CAUSE qui le crée, c'est-à-dire au mouvement de la tige. Le courant, traversant la tige dans le champ, produit une force de Laplace dirigée CONTRE la vitesse : un freinage magnétique.

c) Pour une vitesse constante, l'opérateur doit compenser exactement ce freinage : $F=BIL=(0{,}50)(1{,}25)(0{,}40)=0{,}25$ N.

d) Mécanique : $P=Fv=(0{,}25)(5{,}0)=1{,}25$ W. Électrique : $P=\varepsilon I=(1{,}0)(1{,}25)=1{,}25$ W (ou $RI^{2}=(0{,}80)(1{,}5625)=1{,}25$ W). Égalité exacte : chaque joule fourni par le muscle ressort en chaleur dans la résistance. La tige sur rails est un alternateur réduit à l'essentiel : un convertisseur mécanique-électrique, sans perte ici puisque rien d'autre ne frotte.

e) Sans opérateur, la force de freinage $BIL$ subsiste tant que la tige bouge : la tige décélère, la fem et le courant diminuent avec $v$, donc le freinage faiblit aussi : la vitesse décroît exponentiellement, sans jamais s'inverser. La loi de Lenz garantit ce signe : si le courant induit POUSSAIT la tige au lieu de la freiner, elle accélérerait seule, créant de l'énergie de nulle part : la loi de Lenz est la conservation de l'énergie déguisée en règle de signe.

a) $\Delta\Phi=\Delta B\times A=(0{,}60)(50\times 10^{-4})=3{,}0\times 10^{-3}$ Wb par spire.

b) Faraday, avec les 200 spires en série : $\varepsilon=N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=200\times\frac{3{,}0\times 10^{-3}}{0{,}30}=2{,}0$ V. Courant : $I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{2{,}0}{8{,}0}=0{,}25$ A.

c) $Q=I\,\Delta t=(0{,}25)(0{,}30)=0{,}075$ C. En général : $Q=I\,\Delta t=\frac{\varepsilon}{R}\Delta t=\frac{N\Delta\Phi}{R\,\Delta t}\Delta t=\frac{N\Delta\Phi}{R}$ : la durée s'est simplifiée. Vérification : $\frac{(200)(3{,}0\times 10^{-3})}{8{,}0}=0{,}075$ C. L'étonnant : que le champ monte en 0,3 s ou en 3 minutes, la MÊME charge circule; seul le courant (le débit) change. C'est le principe du fluxmètre balistique : mesurer une charge pour connaître une variation de flux, sans chronomètre.

d) Le flux croît vers l'avant de la bobine : par Lenz, le courant induit crée son propre champ OPPOSÉ à cette croissance, il circule donc dans le sens qui, vu depuis la source du champ, est le sens horaire (règle de la main droite inversée sur la normale). Tourner la bobine d'un quart de tour dans un champ fixe annule aussi le flux ($\cos 90^{\circ}=0$) : même $\Delta\Phi$, même physique : une fem apparaît PENDANT la rotation. Répéter cette rotation en continu, c'est exactement un alternateur : toute l'électricité du réseau vient de bobines qu'on fait tourner dans des champs.

a) $\Phi=BA\cos\omega t$ pour une spire, donc $N\Phi=NBA\cos\omega t$. Faraday : $\varepsilon=-\frac{d(N\Phi)}{dt}=NBA\omega\sin\omega t$ : la fem est sinusoïdale, maximale quand le flux est NUL (bobine dans le plan du champ, là où le flux varie le plus vite) et nulle quand le flux est maximal. Vitesse angulaire : $\omega=\frac{2\pi(3600)}{60}\approx 377$ rad/s, soit $f=60$ Hz, la fréquence du réseau nord-américain. Amplitude : $\varepsilon_{max}=NBA\omega=(100)(0{,}25)(0{,}0200)(377)\approx 1{,}88\times 10^{2}$ V.

b) $\varepsilon_{eff}=\frac{\varepsilon_{max}}{\sqrt{2}}=\frac{188{,}5}{1{,}414}\approx 1{,}33\times 10^{2}$ V. La valeur efficace est celle qui, en courant continu, dissiperait la MÊME puissance moyenne dans une résistance : c'est donc la seule qui permette de comparer alternatif et continu, et c'est elle qu'on affiche. Une prise à 120 V efficaces oscille bel et bien entre $+170$ V et $-170$ V, ce qui explique que l'isolation doive tenir la valeur de pointe, pas la valeur affichée.

c) $I_{max}=\frac{\varepsilon_{max}}{R}=\frac{188{,}5}{50}\approx 3{,}77$ A. Puissance moyenne : $P=\frac{\varepsilon_{eff}^{2}}{R}=\frac{\varepsilon_{max}^{2}}{2R}=\frac{35531}{100}\approx 3{,}55\times 10^{2}$ W (le facteur 2 vient de la moyenne de $\sin^{2}$, qui vaut $\frac{1}{2}$). Couple moyen : la turbine fournit toute cette puissance mécaniquement, $P=\tau\omega$, donc $\tau=\frac{355{,}3}{377}\approx 0{,}94$ N·m. Plus on tire de courant, plus la turbine force : c'est physiquement pour cela qu'une centrale consomme davantage de vapeur quand la demande augmente.

d) En descendant, l'aimant fait varier le flux à travers chaque tranche horizontale du tube. Faraday y induit des courants circulaires, les courants de Foucault, et Lenz impose leur sens : ils créent un champ qui s'oppose à la VARIATION, donc repoussent l'aimant par le bas et le retiennent par le haut. Il en résulte une force de freinage qui croît avec la vitesse, jusqu'à équilibrer le poids : l'aimant descend alors à vitesse limite, lentement. Le cuivre n'a nul besoin d'être magnétique : il lui suffit d'être un bon CONDUCTEUR pour que les courants induits y soient intenses; dans le plastique, isolant, aucun courant ne peut circuler et la chute est libre. Même mécanisme dans un transformateur : le noyau massif serait le siège de courants de Foucault qui le chaufferaient en pure perte. On le feuillette en tôles isolées les unes des autres, perpendiculairement au trajet de ces courants, ce qui les fragmente et réduit drastiquement les pertes.

e) Le freinage vient de BOUCLES de courant fermées dans le disque. Les fentes radiales coupent ces boucles : les courants ne peuvent plus faire le tour, leur intensité s'effondre, et avec elle la force de freinage. Le disque continue de tourner presque librement, ce qui prouve au passage que c'est bien la circulation du courant, et non l'aimantation du métal, qui freinait. À l'inverse, une plaque à induction cherche justement à maximiser ces courants : une bobine parcourue par un courant alternatif de quelques dizaines de kilohertz induit dans le fond ferromagnétique de la casserole des courants de Foucault très intenses, qui la chauffent par effet Joule. La chaleur naît DANS le récipient, pas sous lui : c'est le même phénomène, une fois considéré comme une perte, une fois exploité comme un chauffage.