Exercices corrigés : mouvement harmonique simple et ondes mécaniques (203-NYC)

a) $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{200}{0{,}50}}=20$ rad/s. Période : $T=\frac{2\pi}{\omega}\approx 0{,}31$ s; fréquence : $f=\frac{1}{T}\approx 3{,}2$ Hz.

b) Lâché sans vitesse à l'élongation maximale : $x(t)=A\cos(\omega t)=0{,}080\cos(20t)$ (en mètres, $t$ en secondes). Le cosinus s'impose parce qu'à $t=0$, $x=+A$ et $v=0$.

c) $v_{max}=A\omega=(0{,}080)(20)=1{,}6$ m/s, atteinte au passage par la position d'ÉQUILIBRE (là où toute l'énergie est cinétique). $a_{max}=A\omega^{2}=(0{,}080)(400)=32$ m/s², plus de trois fois $g$, atteinte aux EXTRÉMITÉS, là où le ressort tire ou pousse le plus fort et où, justement, la vitesse s'annule.

d) $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}=20\sqrt{(0{,}080)^{2}-(0{,}040)^{2}}=20\sqrt{0{,}0048}\approx 1{,}39$ m/s. Énergie : $E=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}(200)(0{,}0064)=0{,}64$ J; en $x=0{,}040$ m, $E_{p}=\frac{1}{2}(200)(0{,}0016)=0{,}16$ J, donc $E_{k}=0{,}48$ J et $v=\sqrt{\frac{2(0{,}48)}{0{,}50}}\approx 1{,}39$ m/s : les deux voies concordent. À mi-amplitude, il reste les trois quarts de l'énergie en forme cinétique, pas la moitié : l'énergie va comme le CARRÉ de l'élongation.

a) $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ donne $L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}=9{,}8\times\frac{1}{\pi^{2}}\approx 0{,}99$ m. Presque exactement un mètre : ce n'est pas un hasard historique, une des premières définitions envisagées pour le mètre était justement la longueur du pendule battant la seconde.

b) $T\propto\frac{1}{\sqrt{g}}$ : $T_{Lune}=T\sqrt{6}=2{,}0\times 2{,}449\approx 4{,}9$ s. Sur la Lune, le même pendule oscille au ralenti, presque deux fois et demie plus lentement.

c) Pour le pendule, la force de rappel EST le poids (sa composante tangentielle $mg\sin\theta$) : la masse apparaît dans la force ET dans l'inertie, et se simplifie, exactement comme en chute libre. Pour le ressort, la force de rappel $kx$ ne dépend pas de la masse : l'inertie reste seule en jeu et la masse survit dans $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

d) En altitude, $g$ diminue, donc $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ augmente : chaque balancement dure plus longtemps, l'horloge RETARDE. Pour corriger, il faut raccourcir le balancier (remonter la lentille de réglage) afin de ramener $T$ à sa valeur : une horloge à pendule est, au fond, un gravimètre qui s'ignore.

a) Par identification avec $A\cos(\omega t)$ : $A=0{,}060$ m, $\omega=10$ rad/s, $T=\frac{2\pi}{10}\approx 0{,}63$ s, $f=\frac{1}{T}\approx 1{,}6$ Hz.

b) $v(t)=\frac{dx}{dt}=-0{,}60\sin(10t)$ m/s et $a(t)=\frac{dv}{dt}=-6{,}0\cos(10t)$ m/s². Maxima : $v_{max}=A\omega=0{,}60$ m/s et $a_{max}=A\omega^{2}=6{,}0$ m/s².

c) $a(t)=-6{,}0\cos(10t)=-(10)^{2}\times 0{,}060\cos(10t)=-\omega^{2}x(t)$. Cette relation dit exactement que la force de rappel est proportionnelle et opposée à l'élongation ($F=ma=-m\omega^{2}x$, la loi de Hooke) : tout système qui la vérifie, quel qu'il soit (ressort, pendule aux petits angles, circuit LC, molécule qui vibre), oscille sinusoïdalement. C'est pour cela qu'on la prend comme définition : elle est le portrait mécanique commun de tous les oscillateurs harmoniques.

d) $x=0$ quand $\cos(10t)=0$, soit $10t=\frac{\pi}{2}$ : $t=\frac{\pi}{20}\approx 0{,}16$ s, un quart de période après le départ. Vitesse : $v=-0{,}60\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}60$ m/s, la vitesse maximale (en grandeur), dirigée vers les $x$ négatifs. Au passage par l'équilibre, toute l'énergie est cinétique et la force de rappel s'annule : la vitesse ne peut qu'y culminer.

a) $\mu=\frac{m}{L}=\frac{0{,}050}{2{,}0}=0{,}025$ kg/m. Vitesse : $v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}=\sqrt{\frac{90}{0{,}025}}=\sqrt{3600}=60$ m/s.

b) $\lambda=\frac{v}{f}=\frac{60}{120}=0{,}50$ m.

c) La vitesse est une propriété du MILIEU : $v'=\sqrt{2}\,v\approx 85$ m/s. La fréquence appartient à la SOURCE, le vibreur n'a pas changé : $f=120$ Hz toujours. La longueur d'onde suit : $\lambda'=\frac{v'}{f}=\sqrt{2}\,\lambda\approx 0{,}71$ m. Retenez la chaîne causale : la tension change le milieu, le milieu change $v$, et $\lambda$ s'ajuste; $f$ ne bouge jamais en cours de propagation.

d) $k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0{,}50}\approx 12{,}6$ rad/m et $\omega=2\pi f\approx 754$ rad/s. D'où $y(x;\ t)=0{,}0040\sin(12{,}6x-754t)$ (unités SI), le signe MOINS devant $\omega t$ signant la propagation vers les $x$ positifs. Vérification : $\frac{\omega}{k}=\frac{754}{12{,}6}\approx 60$ m/s, la vitesse retrouvée.

a) $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{80}{0{,}80}}=10$ rad/s. Toute l'énergie initiale est cinétique : $E=\frac{1}{2}mv_{max}^{2}=\frac{1}{2}(0{,}80)(0{,}50)^{2}=0{,}10$ J. Aux extrémités elle est toute potentielle : $\frac{1}{2}kA^{2}=E$ donne $A=\sqrt{\frac{2E}{k}}=\sqrt{\frac{0{,}20}{80}}=0{,}050$ m. (Ou directement $A=\frac{v_{max}}{\omega}=\frac{0{,}50}{10}=0{,}050$ m : cohérent.)

b) À $t=0$ : $x=0$ et $v>0$ : c'est un SINUS qui s'impose : $x(t)=0{,}050\sin(10t)$ (unités SI).

c) $E_{k}=E_{p}$ signifie $E_{p}=\frac{E}{2}$ : $\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}kA^{2}\right)$, donc $x^{2}=\frac{A^{2}}{2}$ et $x=\frac{A}{\sqrt{2}}\approx 0{,}035$ m, soit 3,5 cm : à environ 71 % de l'amplitude, pas à la moitié.

d) $\sin(10t)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ donne $10t=\frac{\pi}{4}$, donc $t=\frac{\pi}{40}\approx 0{,}079$ s. Avec $T=\frac{2\pi}{10}\approx 0{,}63$ s, cela fait exactement $t=\frac{T}{8}$ : le partage équitable tombe au huitième de période, à mi-chemin (en TEMPS) entre le passage à l'équilibre et l'extrémité. L'angle $\frac{\pi}{4}$, moitié de $\frac{\pi}{2}$, se lit directement sur le cercle de référence : le MHS récompense ceux qui pensent en phase plutôt qu'en position.

e) L'énergie potentielle va comme le CARRÉ de la position : en $x=\frac{A}{2}$, $E_{p}=\frac{1}{2}k\frac{A^{2}}{4}=\frac{E}{4}$ seulement, et $E_{k}=\frac{3E}{4}$. La moitié du chemin ne stocke que le quart de l'énergie : penser "moitié de la distance = moitié de l'énergie" est le piège linéaire classique dans un monde quadratique.

a) Par identification avec $A\sin(kx-\omega t)$ : $A=0{,}020$ m; $k=8\pi$ rad/m donne $\lambda=\frac{2\pi}{k}=0{,}25$ m; $\omega=200\pi$ rad/s donne $f=\frac{\omega}{2\pi}=100$ Hz; $v=\frac{\omega}{k}=\frac{200\pi}{8\pi}=25$ m/s; le signe moins devant $\omega t$ indique une propagation vers les $x$ POSITIFS.

b) Chaque point de la corde décrit un MHS vertical d'amplitude $A$ et de pulsation $\omega$ : $v_{trans,max}=A\omega=(0{,}020)(200\pi)\approx 13$ m/s, à comparer aux 25 m/s de propagation. Les deux vitesses mesurent des choses différentes : l'une est celle de la MATIÈRE (le point monte et descend, sans avancer), l'autre celle du MOTIF (la forme qui court le long de la corde). L'une dépend de l'amplitude, l'autre pas : les additionner ou les confondre est LE piège de ce chapitre.

c) $v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}$ donne $F=\mu v^{2}=(0{,}010)(25)^{2}=6{,}3$ N.

d) Même corde, même tension : $v=25$ m/s inchangée (propriété du milieu). La fréquence double, $f=200$ Hz, donc $\lambda$ est divisée par deux : $0{,}125$ m et $k$ double : $16\pi$ rad/m; $\omega$ double : $400\pi$ rad/s. Nouvelle équation (même amplitude) : $y=0{,}020\sin(16\pi x-400\pi t)$. On vérifie : $\frac{\omega}{k}=\frac{400\pi}{16\pi}=25$ m/s, toujours. La source dicte $f$, le milieu dicte $v$, et $\lambda$ obéit.