Exercices corrigés : mouvement harmonique simple et ondes mécaniques (203-SN3-RE, ancien 203-NYC)

a) $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{200}{0{,}50}}=20$ rad/s. Période : $T=\frac{2\pi}{\omega}\approx 0{,}31$ s; fréquence : $f=\frac{1}{T}\approx 3{,}2$ Hz.

b) Lâché sans vitesse à l'élongation maximale : $x(t)=A\cos(\omega t)=0{,}080\cos(20t)$ (en mètres, $t$ en secondes). Le cosinus s'impose parce qu'à $t=0$, $x=+A$ et $v=0$.

c) $v_{max}=A\omega=(0{,}080)(20)=1{,}6$ m/s, atteinte au passage par la position d'ÉQUILIBRE (là où toute l'énergie est cinétique). $a_{max}=A\omega^{2}=(0{,}080)(400)=32$ m/s², plus de trois fois $g$, atteinte aux EXTRÉMITÉS, là où le ressort tire ou pousse le plus fort et où, justement, la vitesse s'annule.

d) $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}=20\sqrt{(0{,}080)^{2}-(0{,}040)^{2}}=20\sqrt{0{,}0048}\approx 1{,}39$ m/s. Énergie : $E=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}(200)(0{,}0064)=0{,}64$ J; en $x=0{,}040$ m, $E_{p}=\frac{1}{2}(200)(0{,}0016)=0{,}16$ J, donc $E_{k}=0{,}48$ J et $v=\sqrt{\frac{2(0{,}48)}{0{,}50}}\approx 1{,}39$ m/s : les deux voies concordent. À mi-amplitude, il reste les trois quarts de l'énergie en forme cinétique, pas la moitié : l'énergie va comme le CARRÉ de l'élongation.

a) À l'équilibre, le ressort tire autant que le poids pousse : $kx_{eq}=mg$, donc $x_{eq}=\frac{mg}{k}=\frac{(0{,}40)(9{,}8)}{25}\approx 0{,}157$ m, soit environ 15,7 cm.

b) Posons $X$ la position comptée depuis la NOUVELLE position d'équilibre. L'allongement total est alors $x_{eq}+X$, et la force résultante vaut $mg-k(x_{eq}+X)=mg-kx_{eq}-kX=-kX$, puisque $mg=kx_{eq}$. Le poids a donc entièrement disparu de l'équation : il ne fait que DÉPLACER le centre des oscillations, sans rien changer à la force de rappel. On retrouve $ma=-kX$, donc $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{25}{0{,}40}}\approx 7{,}91$ rad/s et $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\approx 0{,}795$ s. Vérification élégante : comme $\frac{m}{k}=\frac{x_{eq}}{g}$, on a aussi $T=2\pi\sqrt{\frac{x_{eq}}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}157}{9{,}8}}\approx 0{,}795$ s. Un ressort vertical est donc un pendule dont la longueur est son propre allongement statique : mesurer cet allongement à la règle suffit à prédire la période.

c) En PARALLÈLE, les deux ressorts subissent le même allongement et leurs forces s'additionnent : $k_{eq}=k_{1}+k_{2}=50$ N/m, d'où $T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}40}{50}}\approx 0{,}562$ s, la période initiale divisée par $\sqrt{2}$. En SÉRIE, les deux ressorts subissent la même force (celle du poids, transmise de l'un à l'autre) et leurs allongements s'additionnent : $\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}$, donc $k_{eq}=12{,}5$ N/m et $T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}40}{12{,}5}}\approx 1{,}124$ s, la période initiale multipliée par $\sqrt{2}$. Remarquez la parenté avec les condensateurs : la grandeur qui s'additionne en parallèle est celle qui se place au NUMÉRATEUR de la force.

d) Chaque moitié a une constante de 50 N/m, le DOUBLE. Sous une force donnée, le ressort entier s'allonge d'une certaine quantité, répartie également sur ses deux moitiés : chaque moitié ne s'allonge que de la moitié du total, tout en supportant la même force. Deux fois moins d'allongement pour la même force, c'est deux fois plus raide. C'est d'ailleurs le résultat du c) lu à l'envers : le ressort entier N'EST QUE deux demi-ressorts en série.

e) $E=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}(25)(0{,}050)^{2}\approx 3{,}13\times 10^{-2}$ J, et $v_{max}=A\omega=(0{,}050)(7{,}91)\approx 0{,}395$ m/s. Vérification : $\frac{1}{2}mv_{max}^{2}=\frac{1}{2}(0{,}40)(0{,}395)^{2}\approx 3{,}13\times 10^{-2}$ J. La gravité est absente du bilan pour la même raison qu'au b) : en développant la somme de l'énergie de pesanteur et de l'énergie élastique autour de la nouvelle position d'équilibre, les termes linéaires en $X$ se compensent exactement et il ne reste que $\frac{1}{2}kX^{2}$, à une constante près qui ne joue aucun rôle. Le ressort vertical est un ressort horizontal déguisé, en énergie comme en dynamique.

a) $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ donne $L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}=9{,}8\times\frac{1}{\pi^{2}}\approx 0{,}99$ m. Presque exactement un mètre : ce n'est pas un hasard historique, une des premières définitions envisagées pour le mètre était justement la longueur du pendule battant la seconde.

b) $T\propto\frac{1}{\sqrt{g}}$ : $T_{Lune}=T\sqrt{6}=2{,}0\times 2{,}449\approx 4{,}9$ s. Sur la Lune, le même pendule oscille au ralenti, presque deux fois et demie plus lentement.

c) Pour le pendule, la force de rappel EST le poids (sa composante tangentielle $mg\sin\theta$) : la masse apparaît dans la force ET dans l'inertie, et se simplifie, exactement comme en chute libre. Pour le ressort, la force de rappel $kx$ ne dépend pas de la masse : l'inertie reste seule en jeu et la masse survit dans $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

d) En altitude, $g$ diminue, donc $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ augmente : chaque balancement dure plus longtemps, l'horloge RETARDE. Pour corriger, il faut raccourcir le balancier (remonter la lentille de réglage) afin de ramener $T$ à sa valeur : une horloge à pendule est, au fond, un gravimètre qui s'ignore.

a) Par identification avec $A\cos(\omega t)$ : $A=0{,}060$ m, $\omega=10$ rad/s, $T=\frac{2\pi}{10}\approx 0{,}63$ s, $f=\frac{1}{T}\approx 1{,}6$ Hz.

b) $v(t)=\frac{dx}{dt}=-0{,}60\sin(10t)$ m/s et $a(t)=\frac{dv}{dt}=-6{,}0\cos(10t)$ m/s². Maxima : $v_{max}=A\omega=0{,}60$ m/s et $a_{max}=A\omega^{2}=6{,}0$ m/s².

c) $a(t)=-6{,}0\cos(10t)=-(10)^{2}\times 0{,}060\cos(10t)=-\omega^{2}x(t)$. Cette relation dit exactement que la force de rappel est proportionnelle et opposée à l'élongation ($F=ma=-m\omega^{2}x$, la loi de Hooke) : tout système qui la vérifie, quel qu'il soit (ressort, pendule aux petits angles, circuit LC, molécule qui vibre), oscille sinusoïdalement. C'est pour cela qu'on la prend comme définition : elle est le portrait mécanique commun de tous les oscillateurs harmoniques.

d) $x=0$ quand $\cos(10t)=0$, soit $10t=\frac{\pi}{2}$ : $t=\frac{\pi}{20}\approx 0{,}16$ s, un quart de période après le départ. Vitesse : $v=-0{,}60\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}60$ m/s, la vitesse maximale (en grandeur), dirigée vers les $x$ négatifs. Au passage par l'équilibre, toute l'énergie est cinétique et la force de rappel s'annule : la vitesse ne peut qu'y culminer.

a) $\mu=\frac{m}{L}=\frac{0{,}050}{2{,}0}=0{,}025$ kg/m. Vitesse : $v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}=\sqrt{\frac{90}{0{,}025}}=\sqrt{3600}=60$ m/s.

b) $\lambda=\frac{v}{f}=\frac{60}{120}=0{,}50$ m.

c) La vitesse est une propriété du MILIEU : $v'=\sqrt{2}\,v\approx 85$ m/s. La fréquence appartient à la SOURCE, le vibreur n'a pas changé : $f=120$ Hz toujours. La longueur d'onde suit : $\lambda'=\frac{v'}{f}=\sqrt{2}\,\lambda\approx 0{,}71$ m. Retenez la chaîne causale : la tension change le milieu, le milieu change $v$, et $\lambda$ s'ajuste; $f$ ne bouge jamais en cours de propagation.

d) $k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0{,}50}\approx 12{,}6$ rad/m et $\omega=2\pi f\approx 754$ rad/s. D'où $y(x;\ t)=0{,}0040\sin(12{,}6x-754t)$ (unités SI), le signe MOINS devant $\omega t$ signant la propagation vers les $x$ positifs. Vérification : $\frac{\omega}{k}=\frac{754}{12{,}6}\approx 60$ m/s, la vitesse retrouvée.

a) $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{80}{0{,}80}}=10$ rad/s. Toute l'énergie initiale est cinétique : $E=\frac{1}{2}mv_{max}^{2}=\frac{1}{2}(0{,}80)(0{,}50)^{2}=0{,}10$ J. Aux extrémités elle est toute potentielle : $\frac{1}{2}kA^{2}=E$ donne $A=\sqrt{\frac{2E}{k}}=\sqrt{\frac{0{,}20}{80}}=0{,}050$ m. (Ou directement $A=\frac{v_{max}}{\omega}=\frac{0{,}50}{10}=0{,}050$ m : cohérent.)

b) À $t=0$ : $x=0$ et $v>0$ : c'est un SINUS qui s'impose : $x(t)=0{,}050\sin(10t)$ (unités SI).

c) $E_{k}=E_{p}$ signifie $E_{p}=\frac{E}{2}$ : $\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}kA^{2}\right)$, donc $x^{2}=\frac{A^{2}}{2}$ et $x=\frac{A}{\sqrt{2}}\approx 0{,}035$ m, soit 3,5 cm : à environ 71 % de l'amplitude, pas à la moitié.

d) $\sin(10t)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ donne $10t=\frac{\pi}{4}$, donc $t=\frac{\pi}{40}\approx 0{,}079$ s. Avec $T=\frac{2\pi}{10}\approx 0{,}63$ s, cela fait exactement $t=\frac{T}{8}$ : le partage équitable tombe au huitième de période, à mi-chemin (en TEMPS) entre le passage à l'équilibre et l'extrémité. L'angle $\frac{\pi}{4}$, moitié de $\frac{\pi}{2}$, se lit directement sur le cercle de référence : le MHS récompense ceux qui pensent en phase plutôt qu'en position.

e) L'énergie potentielle va comme le CARRÉ de la position : en $x=\frac{A}{2}$, $E_{p}=\frac{1}{2}k\frac{A^{2}}{4}=\frac{E}{4}$ seulement, et $E_{k}=\frac{3E}{4}$. La moitié du chemin ne stocke que le quart de l'énergie : penser "moitié de la distance = moitié de l'énergie" est le piège linéaire classique dans un monde quadratique.

a) Pour une tige suspendue par un bout : $I=\frac{mL^{2}}{3}$ et $d=\frac{L}{2}$. Donc $T=2\pi\sqrt{\frac{mL^{2}/3}{mg(L/2)}}=2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}=2\pi\sqrt{\frac{2(1{,}20)}{3(9{,}8)}}\approx 1{,}80$ s. La masse disparaît parce qu'elle figure à la fois au numérateur (dans $I$, l'inertie qui résiste) et au dénominateur (dans $mgd$, le poids qui rappelle) : les deux effets se compensent exactement, tout comme pour le pendule simple et pour la chute libre.

b) Pendule simple de même longueur : $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{1{,}20}{9{,}8}}\approx 2{,}20$ s. La TIGE est nettement plus rapide, dans le rapport $\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 0{,}82$. La raison est que la masse d'une tige est répartie sur toute sa longueur, donc en moyenne bien plus PRÈS de l'axe que la bille d'un pendule simple, qui est tout entière au bout. Moins d'inertie à faire tourner pour un rappel comparable : le mouvement est plus vif.

c) Il faudrait la placer à $L_{eq}=\frac{2L}{3}=0{,}80$ m de l'axe : c'est la longueur du pendule simple synchrone. Ce point s'appelle le CENTRE D'OSCILLATION, ou centre de percussion. Sa manifestation la plus connue est le point idéal d'un bâton de baseball ou d'une raquette : frapper la balle exactement là ne transmet aucune secousse aux mains, parce que le choc n'y produit pas de réaction sur l'axe de rotation. Frapper ailleurs, et les mains encaissent la vibration.

d) $I=\frac{1}{2}MR^{2}=\frac{1}{2}(0{,}50)(0{,}080)^{2}=1{,}6\times 10^{-3}$ kg·m². Période : $T=2\pi\sqrt{\frac{1{,}6\times 10^{-3}}{0{,}025}}=2\pi\sqrt{0{,}064}\approx 1{,}59$ s. L'intérêt du pendule de torsion est double : sa période ne dépend ni de l'amplitude (le fil obéit à une loi de Hooke angulaire) ni de la gravité, et sa constante de torsion peut être rendue minuscule, donc la période très longue et le dispositif extraordinairement sensible aux couples les plus faibles. C'est ce qui a permis à Cavendish de mesurer l'attraction gravitationnelle entre deux boules de plomb, et c'est le même principe qui, avec un ressort spiral remplaçant le fil, fait battre le balancier d'une montre mécanique à un rythme insensible à l'orientation du poignet.

e) Si l'axe passe par le centre de masse, $d=0$ : le poids ne crée plus aucun couple de rappel, la tige reste en équilibre indifférent dans toutes les positions et n'oscille pas du tout ($T\to\infty$). Dans le cas général, $T=2\pi\sqrt{\frac{\frac{L^{2}}{12}+d^{2}}{gd}}$. Minimiser $T$ revient à minimiser $\frac{L^{2}}{12d}+d$, dont la dérivée $-\frac{L^{2}}{12d^{2}}+1$ s'annule pour $d=\frac{L}{\sqrt{12}}=\frac{1{,}20}{3{,}464}\approx 0{,}346$ m. La période y vaut $2\pi\sqrt{\frac{0{,}12+0{,}12}{(9{,}8)(0{,}346)}}\approx 1{,}67$ s, plus courte que celle de la suspension par le bout. Il existe donc un point de suspension optimal, ni trop près du centre (plus de rappel) ni trop loin (trop d'inertie) : c'est le compromis que règlent les horlogers.

a) $\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{200}{0{,}50}}=20$ rad/s. $\gamma=\frac{b}{2m}=\frac{0{,}80}{1{,}0}=0{,}80$ s$^{-1}$. $\omega'=\sqrt{400-0{,}64}=\sqrt{399{,}36}\approx 19{,}98$ rad/s : le rythme n'a baissé que de 0,08 %, huit centièmes de pour cent. Comme pour le circuit RLC, l'amortissement s'attaque d'abord et presque uniquement à l'AMPLITUDE; il faut un frottement énorme pour qu'il touche à la période.

b) $e^{-\gamma t}=\frac{1}{2}$ donne $t=\frac{\ln 2}{\gamma}=\frac{0{,}693}{0{,}80}\approx 0{,}87$ s. Pendant ce temps, avec $T'=\frac{2\pi}{\omega'}\approx 0{,}314$ s, le bloc a effectué $\frac{0{,}87}{0{,}314}\approx 2{,}8$ oscillations. Autrement dit, il ne faut même pas trois allers-retours pour perdre la moitié de l'amplitude, alors que la période, elle, n'a pratiquement pas bougé.

c) $b_{c}=2\sqrt{km}=2\sqrt{(200)(0{,}50)}=2\sqrt{100}=20$ kg/s. Notre $b=0{,}80$ kg/s en est vingt-cinq fois plus petit : le système est très largement SOUS-AMORTI. Les trois régimes : sous-amorti ($b<b_{c}$, oscillations sous une enveloppe décroissante), critique ($b=b_{c}$, retour à l'équilibre le plus rapide possible sans jamais osciller) et sur-amorti ($b>b_{c}$, retour lent et sans oscillation). C'est mot pour mot le circuit RLC série de 203-SN2-RE, avec $L$ à la place de $m$, $\frac{1}{C}$ à la place de $k$ et $R$ à la place de $b$; la résistance critique $R_{c}=2\sqrt{\frac{L}{C}}$ est l'exacte transposition de $b_{c}=2\sqrt{km}$.

d) $A=\frac{F_{0}}{b\omega_{0}}=\frac{2{,}0}{(0{,}80)(20)}=0{,}125$ m, soit 12,5 cm. La même force appliquée de façon CONSTANTE ne déplacerait le bloc que de $\frac{F_{0}}{k}=\frac{2{,}0}{200}=0{,}010$ m, un centimètre. Le facteur d'amplification est donc de $\frac{0{,}125}{0{,}010}=12{,}5$, et l'on vérifie que $Q=\frac{\omega_{0}m}{b}=\frac{(20)(0{,}50)}{0{,}80}=12{,}5$ : à la résonance, l'oscillateur amplifie exactement $Q$ fois. Une force minuscule, mais appliquée EN CADENCE, produit un effet que la même force appliquée en continu ne produirait jamais. C'est toute la mécanique de la balançoire d'enfant.

e) Une troupe qui marche au pas impose une force périodique très régulière, de fréquence proche de celle de certains modes propres d'un pont; l'amplification par $Q$ peut alors transformer des poussées modestes en oscillations destructrices, d'où l'ordre de rompre le pas. Le pont de Tacoma est un cas plus subtil mais de même famille : le vent, en se détachant du tablier, y entretenait un couple de torsion en phase avec le mouvement, si bien que l'apport d'énergie dépassait sans cesse le peu que l'amortissement dissipait, jusqu'à la rupture. À l'inverse, l'automobile est un cas où l'on ne veut SURTOUT PAS de résonance : une suspension trop peu amortie ferait rebondir la caisse plusieurs fois après chaque bosse, et amplifierait tout défaut de route à la bonne fréquence. On règle donc l'amortisseur juste en dessous du critique, assez pour que la caisse revienne vite au repos sans osciller, mais pas au point de rendre la voiture inconfortable. Résonance recherchée ou fuie, c'est toujours le même $Q$ qu'on ajuste.

a) Par identification avec $A\sin(kx-\omega t)$ : $A=0{,}020$ m; $k=8\pi$ rad/m donne $\lambda=\frac{2\pi}{k}=0{,}25$ m; $\omega=200\pi$ rad/s donne $f=\frac{\omega}{2\pi}=100$ Hz; $v=\frac{\omega}{k}=\frac{200\pi}{8\pi}=25$ m/s; le signe moins devant $\omega t$ indique une propagation vers les $x$ POSITIFS.

b) Chaque point de la corde décrit un MHS vertical d'amplitude $A$ et de pulsation $\omega$ : $v_{trans,max}=A\omega=(0{,}020)(200\pi)\approx 13$ m/s, à comparer aux 25 m/s de propagation. Les deux vitesses mesurent des choses différentes : l'une est celle de la MATIÈRE (le point monte et descend, sans avancer), l'autre celle du MOTIF (la forme qui court le long de la corde). L'une dépend de l'amplitude, l'autre pas : les additionner ou les confondre est LE piège de ce chapitre.

c) $v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}$ donne $F=\mu v^{2}=(0{,}010)(25)^{2}=6{,}3$ N.

d) Même corde, même tension : $v=25$ m/s inchangée (propriété du milieu). La fréquence double, $f=200$ Hz, donc $\lambda$ est divisée par deux : $0{,}125$ m et $k$ double : $16\pi$ rad/m; $\omega$ double : $400\pi$ rad/s. Nouvelle équation (même amplitude) : $y=0{,}020\sin(16\pi x-400\pi t)$. On vérifie : $\frac{\omega}{k}=\frac{400\pi}{16\pi}=25$ m/s, toujours. La source dicte $f$, le milieu dicte $v$, et $\lambda$ obéit.

a) $\omega=2\pi f=2\pi(120)\approx 754$ rad/s. Puissance : $P=\frac{1}{2}(0{,}025)(60)(754)^{2}(4{,}0\times 10^{-3})^{2}=\frac{1}{2}(0{,}025)(60)(5{,}685\times 10^{5})(1{,}6\times 10^{-5})\approx 6{,}8$ W. Presque sept watts pour une corde qui ondule de quatre millimètres : une onde transporte beaucoup plus d'énergie qu'on ne l'imagine en la regardant.

b) La puissance dépend du CARRÉ de l'amplitude et du CARRÉ de la pulsation. Doubler l'amplitude la multiplie donc par 4, soit environ 27 W. Doubler la fréquence la multiplie AUSSI par 4, pour la même raison, soit environ 27 W également. Les deux paramètres sont sur un pied d'égalité dans le bilan d'énergie, ce qui n'a rien d'évident : on croit spontanément qu'une onde plus ample transporte plus qu'une onde plus rapide, alors que les deux comptent exactement pareil.

c) Il faut compenser un facteur 4 en fréquence par un facteur $\frac{1}{4}$ en amplitude au carré, donc diviser l'amplitude par 2 : $A'=2{,}0$ mm. Vérification : $\left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^{2}\left(\frac{A'}{A}\right)^{2}=(2)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1$, la puissance est bien inchangée.

d) L'énergie émise par la source traverse chaque seconde une sphère de rayon $r$ et d'aire $4\pi r^{2}$; en l'absence d'absorption, la puissance qui la traverse est toujours la même. D'où l'intensité $I=\frac{P}{4\pi r^{2}}$. À 2,0 m : $I=\frac{0{,}50}{4\pi(4{,}0)}\approx 9{,}9\times 10^{-3}$ W/m². À 6,0 m : $I=\frac{0{,}50}{4\pi(36)}\approx 1{,}1\times 10^{-3}$ W/m². Le rapport est de 9, soit le carré du rapport des distances : triple distance, neuf fois moins d'intensité. Comme $I\propto A^{2}$, les amplitudes, elles, ne sont que dans le rapport 3 : l'amplitude décroît en $\frac{1}{r}$, l'intensité en $\frac{1}{r^{2}}$.

e) Tout tient à la DIMENSION dans laquelle l'énergie se répand. Une corde est unidimensionnelle : toute l'énergie reste confinée dans la corde et traverse chaque section successive en entier, sans jamais s'étaler; l'amplitude n'a donc aucune raison de décroître. Le son d'une source ponctuelle se répand dans trois dimensions : la même énergie doit se partager sur une sphère dont l'aire croît en $r^{2}$, d'où l'affaiblissement en $\frac{1}{r^{2}}$. Une vague à la surface de l'eau est un cas intermédiaire, bidimensionnel : l'énergie se répartit sur un cercle de circonférence $2\pi r$, donc l'intensité décroît en $\frac{1}{r}$ et l'amplitude en $\frac{1}{\sqrt{r}}$, ce qui explique qu'une ride reste visible bien plus loin qu'un son ne s'entend. Reste que sur une corde réelle, l'onde finit tout de même par mourir : non pas par étalement géométrique, mais par DISSIPATION, les frottements internes du matériau et la résistance de l'air convertissant peu à peu l'énergie de l'onde en chaleur. Deux causes d'affaiblissement bien distinctes, qu'un examen aime confondre.