Exercices corrigés : l'optique ondulatoire (203-NYC)

a) Brillante : $\delta=m\lambda$ (les deux ondes arrivent en phase, crête sur crête). Sombre : $\delta=(m+\frac{1}{2})\lambda$ (opposition de phase, crête sur creux). Une frange sombre est un endroit où de la lumière PLUS de la lumière produit de l'obscurité : l'énergie n'est pas détruite, elle est redistribuée vers les franges brillantes; c'est la signature d'une onde, inexplicable avec des particules classiques.

b) $i=\frac{\lambda L}{d}=\frac{(600\times 10^{-9})(2{,}0)}{0{,}20\times 10^{-3}}=6{,}0\times 10^{-3}$ m, soit 6,0 mm : mesurable à la règle, alors que $\lambda$ est submicronique : le dispositif est un amplificateur géométrique.

c) Franges brillantes en $y_{m}=mi$ : la troisième est à $y_{3}=18$ mm. Franges sombres en $y=(m+\frac{1}{2})i$ : la première ($m=0$) à 3,0 mm, la deuxième ($m=1$) à $1{,}5\,i=9{,}0$ mm.

d) Dans l'eau, la lumière ralentit : $v=\frac{c}{n}$, et comme la fréquence est fixée par la source (elle ne change JAMAIS en changeant de milieu), c'est la longueur d'onde qui rétrécit : $\lambda'=\frac{\lambda}{n}$. L'interfrange suit : $i'=\frac{i}{n}=\frac{6{,}0}{1{,}33}\approx 4{,}5$ mm. Les franges se resserrent d'un tiers, la figure entière se contracte, et la couleur perçue, qui dépend de la fréquence, reste la même.

a) $d=\frac{1}{500}$ mm $=2{,}0\times 10^{-6}$ m, soit 2,0 μm : à peine trois longueurs d'onde.

b) $d\sin\theta_{m}=m\lambda$. Ordre 1 : $\sin\theta_{1}=\frac{600\times 10^{-9}}{2{,}0\times 10^{-6}}=0{,}30$, donc $\theta_{1}\approx 17{,}5^{\circ}$. Ordre 2 : $\sin\theta_{2}=0{,}60$, donc $\theta_{2}\approx 36{,}9^{\circ}$. Les angles ne sont PAS proportionnels à l'ordre : c'est le sinus qui l'est.

c) Il faut $\sin\theta_{m}=\frac{m\lambda}{d}\leq 1$, soit $m\leq\frac{d}{\lambda}=\frac{2{,}0\times 10^{-6}}{600\times 10^{-9}}\approx 3{,}3$ : les ordres 1, 2 et 3 existent ($\sin\theta_{3}=0{,}90$, $\theta_{3}\approx 64^{\circ}$), l'ordre 4 exigerait $\sin\theta=1{,}2$ : impossible. Trois ordres de chaque côté, sept taches en tout avec le faisceau central.

d) Avec des milliers de fentes, la condition de phase doit être satisfaite par TOUTES à la fois : au moindre écart d'angle, les milliers d'ondes se brouillent mutuellement et l'intensité s'effondre : les maxima deviennent des aiguilles fines et brillantes. Des raies fines, c'est la capacité de séparer deux longueurs d'onde voisines : la spectroscopie. Et comme $\sin\theta=\frac{m\lambda}{d}$ croît avec $\lambda$, le ROUGE sort plus loin que le bleu, l'inverse exact du prisme : un moyen infaillible de savoir lequel des deux instruments a dispersé la lumière.

a) Minima en $a\sin\theta=m\lambda$ ($m=1;\ 2;\ldots$). La formule RESSEMBLE à celle des maxima de Young, mais elle donne ici les zéros d'intensité : dans la fente unique, quand la marche entre les deux bords vaut $\lambda$, chaque rayon de la moitié haute trouve dans la moitié basse un partenaire en opposition de phase, et tout s'éteint. Même géométrie, physique opposée : réciter la formule sans son sens mène droit au contresens.

b) Premier minimum : $\sin\theta=\frac{\lambda}{a}=\frac{500\times 10^{-9}}{0{,}10\times 10^{-3}}=5{,}0\times 10^{-3}$ (angle petit). Position : $y=L\tan\theta\approx(3{,}0)(5{,}0\times 10^{-3})=15$ mm. La tache centrale s'étend d'un minimum à l'autre : $30$ mm de largeur.

c) $a$ est au dénominateur : fente deux fois plus étroite, tache deux fois plus large, 60 mm. Règle générale : plus on serre l'ouverture, plus la lumière s'étale. C'est l'inverse de l'ombre géométrique (où rétrécir le trou rétrécit la tache) : en dessous d'une certaine taille, vouloir confiner une onde la fait diverger : il y a une limite fondamentale à la finesse d'un faisceau.

d) La diffraction n'est marquée que si l'ouverture est comparable à la longueur d'onde. Pour une porte de 1 m : la lumière ($\lambda\approx 5\times 10^{-7}$ m) donne $\frac{\lambda}{a}\approx 5\times 10^{-7}$ : un étalement de l'ordre du dix-millionième de radian, invisible : la lumière file droit et fait des ombres nettes. Le son ($\lambda\approx 1$ m pour 343 Hz) a $\frac{\lambda}{a}\approx 1$ : il s'évase largement derrière la porte. Voilà pourquoi on entend une conversation depuis le couloir sans voir les interlocuteurs.

a) Les deux réflexions se font chacune sur un milieu PLUS réfringent (air 1,00 vers couche 1,38, puis couche 1,38 vers verre 1,50) : chacune subit le déphasage d'une demi-longueur d'onde. Les deux inversions se compensent : il ne reste que la différence de marche $2nt$ dans la couche. C'est le cas particulier recherché par les opticiens, précisément parce qu'il rend la condition simple : le choix $n_{couche}$ entre $n_{air}$ et $n_{verre}$ n'est pas un hasard.

b) Sans déphasage net, la destruction exige $2nt=(m+\frac{1}{2})\lambda$. Épaisseur minimale ($m=0$) : $t=\frac{\lambda}{4n}=\frac{550}{4(1{,}38)}\approx 100$ nm : la fameuse couche "quart d'onde", cent millionièmes de millimètre déposés sur chaque verre de lunettes.

c) La condition n'est exacte QUE pour 550 nm (le vert-jaune, au sommet de la sensibilité de l'œil). Aux deux extrémités du spectre, rouge et bleu-violet, la destruction n'est que partielle : un peu de ces couleurs se réfléchit encore. Leur mélange donne le reflet pourpre-violacé caractéristique des optiques traitées : la teinte n'est pas un défaut, c'est la signature du traitement.

d) La bulle (film d'eau savonneuse dans l'air) n'a qu'UNE réflexion inversée : celle de la face externe (air vers eau); la face interne (eau vers air) réfléchit sans déphasage. Quand le film s'amincit et que $t$ tend vers zéro, la différence de marche $2nt$ devient négligeable : il ne reste que la demi-longueur d'onde de l'inversion, et les deux réflexions s'annulent POUR TOUTES les longueurs d'onde à la fois : plus aucune réflexion, le film paraît noir sur fond sombre. La bulle noire est un film bien plus mince que la lumière elle-même ($t\ll\lambda$), à quelques dizaines de nanomètres de la rupture.

a) L'incertitude du réglet (environ un demi-millimètre) pèse dix fois moins si on la répartit sur dix intervalles : mesurer long pour connaître court est le premier réflexe expérimental. Interfrange : $i=\frac{45}{10}=4{,}5$ mm.

b) $i=\frac{\lambda L}{d}$ donne $\lambda=\frac{i\,d}{L}=\frac{(4{,}5\times 10^{-3})(0{,}25\times 10^{-3})}{1{,}8}=6{,}25\times 10^{-7}$ m $=625$ nm : un rouge-orangé. Une règle graduée au millimètre vient de mesurer une longueur inférieure au micromètre : toute la puissance du montage tient dans le levier $\frac{L}{d}$, ici 7200.

c) $i=\frac{(450\times 10^{-9})(1{,}8)}{0{,}25\times 10^{-3}}=3{,}24$ mm. L'interfrange est proportionnel à $\lambda$ : le bleu, plus court, resserre les franges. La géométrie n'a pas bougé, seule la lumière a changé : la figure d'interférence est un portrait de la longueur d'onde.

d) La frange centrale est BLANCHE : en $y=0$, la différence de marche est nulle pour toutes les couleurs à la fois, toutes y sont constructives. Dès qu'on s'écarte, chaque couleur a son propre interfrange ($i\propto\lambda$) : les franges bleues se serrent, les rouges s'espacent : les premières franges sont irisées, bleu vers l'intérieur, rouge vers l'extérieur. Plus loin, les systèmes de toutes les couleurs se chevauchent en désordre et l'écran redevient uniformément blanc : le brouillage remplace le contraste.

e) Deux faisceaux lumineux peuvent s'ADDITIONNER pour produire de l'obscurité, ce que des corpuscules qui s'accumulent ne peuvent jamais faire : seule une onde, capable d'opposition de phase, explique les franges sombres.

a) $\frac{I_{0}}{2}$. La lumière naturelle contient toutes les directions de polarisation à parts égales : en moyennant la loi de Malus sur tous les angles, $\langle\cos^{2}\theta\rangle=\frac{1}{2}$. L'orientation de l'axe ne change rien à cette moyenne : c'est le propre du désordre parfait.

b) Après le premier polariseur, la lumière est polarisée le long de son axe, avec $\frac{I_{0}}{2}$. Malus au second : $I=\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}30^{\circ}=\frac{I_{0}}{2}\times\frac{3}{4}=0{,}375\,I_{0}$.

c) Sans le polariseur du milieu : $\cos^{2}90^{\circ}=0$, noir complet. Avec lui : le premier donne $\frac{I_{0}}{2}$ polarisé à 0°; le filtre à 45° en transmet $\cos^{2}45^{\circ}=\frac{1}{2}$, ET REPOLARISE la lumière à 45°; le dernier, à 45° de cette nouvelle direction, en transmet encore $\frac{1}{2}$. Bilan : $\frac{I_{0}}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{I_{0}}{8}$. Le paradoxe se dissout dès qu'on admet qu'un polariseur ne fait pas que filtrer : il PROJETTE. La polarisation à 45° possède une composante sur 90°, que la lumière initiale, polarisée à 0°, n'avait pas. Mesurer, ici, transforme l'état : cette idée reviendra telle quelle en physique quantique.

d) La lumière réfléchie par une surface horizontale (eau, chaussée) est partiellement polarisée HORIZONTALEMENT, c'est-à-dire parallèlement à la surface (totalement, à l'angle de Brewster). Les lunettes placent donc leur axe de transmission VERTICAL : les reflets horizontaux sont presque éteints par la loi de Malus, pendant que le reste de la scène, non polarisé, ne perd que sa moitié réglementaire. C'est pourquoi le pêcheur voit soudain SOUS la surface de l'eau : le reflet du ciel, qui masquait tout, a été filtré.