Exercices corrigés : le son et les ondes stationnaires (203-SN3-RE, ancien 203-NYC)

$\lambda=\frac{v}{f}$ : à 440 Hz, $\lambda=\frac{343}{440}\approx 0{,}78$ m; à 20 kHz, $\lambda=\frac{343}{20\,000}\approx 1{,}7$ cm. L'audible s'étend ainsi du centimètre à la dizaine de mètres (17 m à 20 Hz) : trois ordres de grandeur, c'est pourquoi les graves contournent les obstacles (diffraction) bien mieux que les aigus.

Le son fait l'aller-retour : $d=\frac{v\,t}{2}=\frac{(343)(1{,}2)}{2}\approx 206$ m.

$d=v\,t=(343)(3{,}0)=1029$ m, environ un kilomètre (d'où la règle des trois secondes par kilomètre). La lumière parcourt ce kilomètre en $\frac{1029}{3{,}0\times 10^{8}}\approx 3\times 10^{-6}$ s : un million de fois plus court que les 3 s du son, l'éclair est bien un "top zéro" instantané.

$v=331+0{,}6\times 35\approx 352$ m/s. Dans un tuyau, les fréquences propres valent $f=n\frac{v}{2L}$ (ou $\frac{v}{4L}$) : si $v$ augmente de 3 % avec la chaleur, TOUTES les notes montent de 3 % : l'instrument à vent monte quand la salle chauffe. La guitare, elle, dépend de $v=\sqrt{F/\mu}$ dans la corde : la chaleur dilate la corde, la tension $F$ baisse, et la guitare DESCEND : les deux familles d'instruments dérivent en sens opposés, le cauchemar des concerts d'été.

$\Delta P_{max}=\sqrt{2\rho v I}=\sqrt{2(1{,}20)(343)(1{,}0\times 10^{-12})}\approx 2{,}87\times 10^{-5}$ Pa. Puis $s_{max}=\frac{\Delta P_{max}}{\rho v\omega}=\frac{2{,}87\times 10^{-5}}{(1{,}20)(343)(2\pi\times 1000)}\approx 1{,}11\times 10^{-11}$ m. C'est environ un DIXIÈME du diamètre d'un atome : au seuil de l'audition, l'oreille détecte un mouvement d'air plus petit que la taille des molécules qui le portent. Il n'y a là aucune contradiction, car $s_{max}$ décrit le déplacement MOYEN d'un très grand nombre de molécules, pas celui d'une molécule isolée; l'oreille est simplement l'un des détecteurs les plus sensibles de tout le corps.

$\Delta P_{max}=\sqrt{2(1{,}20)(343)(1{,}0)}\approx 28{,}7$ Pa, et $s_{max}\approx 1{,}11\times 10^{-5}$ m, soit 11 μm. Les deux ont été multipliés par un million, comme il se doit puisque l'intensité a été multipliée par $10^{12}$ et que les amplitudes vont comme sa racine. Remarquez l'ordre de grandeur : même à la limite de la douleur, la surpression ne représente que $\frac{28{,}7}{1{,}0\times 10^{5}}\approx 3\times 10^{-4}$ de la pression atmosphérique. Le son n'est qu'une ridicule ondulation superposée à une pression énorme et constante.

Regardez une tranche d'air située à un ventre de DÉPLACEMENT : elle bouge beaucoup, mais ses deux voisines bougent presque autant et dans le même sens, si bien qu'elle n'est ni comprimée ni dilatée; la surpression y est nulle. Regardez au contraire une tranche qui ne bouge PAS : ses voisines, elles, se dirigent vers elle d'un côté et s'en éloignent de l'autre, ou convergent des deux côtés à la fois; c'est donc là que l'air se comprime et se raréfie le plus. Un nœud de déplacement est un ventre de pression, et réciproquement. Cela tient au fait que la surpression est proportionnelle au TAUX DE VARIATION SPATIAL du déplacement, et qu'une fonction sinusoïdale a sa dérivée maximale là où elle s'annule.

L'oreille couvre un domaine de pressions allant de $3\times 10^{-5}$ Pa à environ 30 Pa, soit un facteur un MILLION en pression et $10^{12}$ en intensité. Aucune échelle linéaire ne peut représenter commodément une telle étendue : un graphique où le seuil de la douleur ferait un mètre placerait le seuil d'audition à un micromètre du zéro. De plus, la sensation perçue croît approximativement comme le logarithme de l'excitation, si bien qu'un même écart en décibels correspond à un même écart de sensation, quel que soit le niveau de départ. L'échelle $\beta=10\log\frac{I}{I_{0}}$ comprime les $10^{12}$ en 120 unités commodes et colle à la perception : c'est à la fois une commodité mathématique et un fait physiologique.

Eau : $\Delta P_{max}=\sqrt{2(1000)(1480)(1{,}0\times 10^{-12})}\approx 1{,}72\times 10^{-3}$ Pa, soixante fois plus qu'en l'air, tandis que $s_{max}=\frac{1{,}72\times 10^{-3}}{(1000)(1480)(6283)}\approx 1{,}85\times 10^{-13}$ m, soixante fois MOINS. Un milieu dense et rapide transmet la même énergie avec beaucoup de pression et très peu de mouvement. Impédances : $Z_{air}=(1{,}20)(343)\approx 412$ rayls et $Z_{eau}=(1000)(1480)=1{,}48\times 10^{6}$ rayls, un rapport de 3600. Coefficient de transmission : $\frac{4(412)(1{,}48\times 10^{6})}{(1{,}48\times 10^{6}+412)^{2}}\approx 1{,}1\times 10^{-3}$, soit à peine 0,11 % de l'énergie transmise, et donc 99,89 % réfléchie. C'est pourquoi un nageur immergé n'entend presque rien de ce qui se crie au bord, et pourquoi l'échographie exige un gel : sans lui, la mince couche d'air entre la sonde et la peau renverrait presque tout le faisceau. L'adaptation d'impédance est aussi la fonction des osselets de l'oreille moyenne, qui font passer le son de l'air à la lymphe de la cochlée.

$I=\frac{P}{4\pi r^{2}}=\frac{0{,}50}{4\pi(10)^{2}}\approx 4{,}0\times 10^{-4}$ W/m². Niveau : $\beta=10\log\frac{4{,}0\times 10^{-4}}{10^{-12}}=10\log(4{,}0\times 10^{8})\approx 86$ dB : le niveau d'une rue très bruyante.

À distance double, $I$ est divisée par 4 (loi en $\frac{1}{r^{2}}$) : $\beta'=\beta-10\log 4\approx 86-6{,}0=80$ dB. Règle générale : chaque doublement de distance retire 6 dB, quelle que soit la source ponctuelle.

L'intensité double : $\beta$ monte de $10\log 2\approx 3{,}0$ dB, à 89 dB. Doubler la puissance ne produit qu'un gain à peine perceptible (3 dB est proche du plus petit écart net à l'oreille) : l'échelle logarithmique compresse énormément; pour un son "deux fois plus fort" subjectivement, il faut environ dix fois la puissance.

$\Delta\beta=50$ dB correspond à $\frac{I_{concert}}{I_{conversation}}=10^{50/10}=10^{5}$ : cent mille fois plus intense. L'oreille couvre ainsi douze ordres de grandeur entre le seuil d'audibilité et le seuil de douleur : seule une perception logarithmique peut embrasser une telle plage, et c'est précisément pour épouser l'oreille que le décibel est logarithmique.

Source qui s'approche : $f'=f\,\frac{v}{v-v_{s}}=800\times\frac{343}{343-25}=800\times\frac{343}{318}\approx 863$ Hz. La source rattrape ses propres fronts d'onde : ceux-ci s'entassent devant elle, la longueur d'onde y est comprimée, et l'oreille, qui reçoit des fronts plus rapprochés, entend plus aigu.

Source qui s'éloigne : $f'=800\times\frac{343}{343+25}=800\times\frac{343}{368}\approx 746$ Hz. Au passage, la hauteur chute d'environ $863-746\approx 117$ Hz d'un coup, un peu plus d'un ton (le rapport $863/746$ vaut environ $1{,}16$, soit près de deux demi-tons et demi) : c'est le "iiiii-ooooo" caractéristique.

Observateur qui s'approche d'une source fixe : $f'=f\,\frac{v+v_{o}}{v}=800\times\frac{368}{343}\approx 858$ Hz : proche de 863 Hz, mais PAS égal. L'asymétrie vient du milieu : le son se propage dans l'air, qui constitue une référence physique. Source mobile : la longueur d'onde elle-même change dans l'air. Observateur mobile : les ondes sont intactes, c'est leur vitesse RELATIVE de réception qui change. Deux mécanismes différents, deux formules différentes : les confondre coûte cher en examen.

La lumière du gyrophare d'une ambulance immobile ne subit aucun décalage : pas de mouvement relatif (et pour la lumière, seul le mouvement relatif compte, il n'y a pas de milieu). Le passager dans l'ambulance, lui, voyage AVEC la source : aucun mouvement relatif non plus, il entend 800 Hz exactement, pendant que le piéton entend la sirène monter puis descendre. L'effet Doppler est dans la relation source-récepteur, pas dans la sirène.

Deux nœuds aux extrémités : $\lambda_{1}=2L=1{,}30$ m. Vitesse dans la corde : $v=f_{1}\lambda_{1}=(220)(1{,}30)=286$ m/s. (Attention : c'est la vitesse DANS LA CORDE; le son émis dans l'air garde 220 Hz mais avec la longueur d'onde de l'air, $\frac{343}{220}\approx 1{,}56$ m.)

$f_{n}=nf_{1}$ : $f_{2}=440$ Hz et $f_{3}=660$ Hz. L'harmonique $n$ compte $n$ ventres et $n+1$ nœuds (extrémités comprises) : $f_{2}$ a un nœud supplémentaire au MILIEU de la corde, $f_{3}$ en a deux, aux tiers.

$f_{1}=\frac{v}{2L}$ : diviser $L$ par deux double la fréquence : 440 Hz. C'est l'OCTAVE, et la raison géométrique pour laquelle la douzième frette est toujours à mi-longueur de corde, sur toutes les guitares.

$f=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}}$ : la fréquence va comme la racine de la tension, donc $\frac{F'}{F}=\left(\frac{233}{220}\right)^{2}\approx 1{,}12$ : il faut environ 12 % de tension en plus pour un demi-ton de 6 %. Le carré double la note à payer : c'est pourquoi accorder trop haut casse les cordes bien plus vite qu'on ne s'y attend.

Bout FIXE : le mur ne peut pas bouger, donc le déplacement y est forcément nul à tout instant. Pour que la somme de l'onde incidente et de l'onde réfléchie s'annule en permanence en ce point, il faut que la réfléchie soit à chaque instant l'OPPOSÉE de l'incidente : elle revient donc inversée, avec un déphasage de $\pi$. Une lecture dynamique dit la même chose : l'onde tire le mur vers le haut, le mur réagit en tirant la corde vers le bas (troisième loi de Newton), et c'est cette réaction qui engendre l'onde retour, dirigée vers le bas. Bout LIBRE : rien ne s'oppose au mouvement, l'extrémité peut au contraire dépasser, elle se comporte comme un ventre et la réflexion se fait SANS inversion.

$y_{1}+y_{2}=A[\sin(kx-\omega t)+\sin(kx+\omega t)]=2A\sin\left(\frac{2kx}{2}\right)\cos\left(\frac{-2\omega t}{2}\right)=2A\sin(kx)\cos(\omega t)$, en utilisant la parité du cosinus. La différence est capitale : dans une onde progressive, $x$ et $t$ apparaissent ENSEMBLE dans un même argument $(kx-\omega t)$, et c'est ce couplage qui fait voyager le motif. Ici, ils sont SÉPARÉS en un produit : $\sin(kx)$ fixe une fois pour toutes la forme dans l'espace, $\cos(\omega t)$ ne fait que la faire respirer en amplitude. Rien n'avance : chaque point oscille sur place, avec une amplitude propre $2A\sin(kx)$ qui dépend de l'endroit et de rien d'autre.

Nœuds là où $\sin(kx)=0$, donc $kx=n\pi$ et $x=n\frac{\lambda}{2}$; ventres à mi-chemin, $x=(2n+1)\frac{\lambda}{4}$. Deux nœuds consécutifs sont donc séparés d'une DEMI-longueur d'onde, et non d'une longueur d'onde : c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre. Pour la corde : $f_{n}=n\frac{v}{2L}=n\frac{240}{2{,}40}=100n$ Hz, soit 100 Hz, 200 Hz et 300 Hz. Au troisième mode, $\lambda_{3}=\frac{2L}{3}=0{,}800$ m, les nœuds sont espacés de 0,400 m et se trouvent en $x=0$; 0,400; 0,800 et 1,20 m, soit quatre nœuds encadrant trois ventres.

Chacune des deux ondes progressives transporte une puissance $\frac{1}{2}\mu v\omega^{2}A^{2}$, mais elles vont en sens OPPOSÉS : les deux flux d'énergie sont égaux et contraires, et leur somme est nulle. Autre façon de le voir : aux nœuds, l'amplitude est nulle en permanence, donc la corde y est immobile et ne peut transmettre aucune puissance à travers ce point, à aucun instant. L'énergie est donc PIÉGÉE entre deux nœuds consécutifs, et elle y oscille : entièrement cinétique quand la corde passe par sa position droite (tous les points à vitesse maximale), entièrement potentielle élastique quand la corde atteint sa déformation extrême (tous les points arrêtés). Deux fois par période, l'énergie bascule d'une forme à l'autre sans jamais franchir un nœud.

Les nœuds étant séparés de $\frac{\lambda}{2}$, on a $\lambda=2(0{,}100)=0{,}200$ m. Vitesse : $v=\lambda f=(0{,}200)(1700)=340$ m/s. Température : $340=331+0{,}6T$ donne $T=\frac{9}{0{,}6}=15$ °C. C'est là toute l'astuce du tube de Kundt : mesurer une vitesse de propagation, chose difficile en soi, en se ramenant à une simple mesure de LONGUEUR à la règle, sur des tas de poussière immobiles.

Aux extrémités ouvertes, l'air communique avec l'extérieur : la pression y reste celle de l'atmosphère et le déplacement de l'air y est maximal : VENTRE de déplacement aux deux bouts. Il faut donc $L=n\frac{\lambda}{2}$ : $f_{n}=n\frac{v}{2L}$. Fondamental : $f_{1}=\frac{343}{2(0{,}50)}=343$ Hz, puis $f_{2}=686$ Hz et $f_{3}=1029$ Hz : tous les harmoniques.

Au bout fermé, l'air ne peut pas osciller le long de l'axe : NŒUD de déplacement; au bout ouvert : ventre. La plus grande longueur d'onde qui loge un quart de motif est $\lambda_{1}=4L$ : $f_{1}=\frac{v}{4L}=\frac{343}{2{,}0}=171{,}5$ Hz. Les modes suivants doivent garder nœud d'un côté et ventre de l'autre : seuls les multiples IMPAIRS conviennent : $f_{3}=3f_{1}=514{,}5$ Hz et $f_{5}=5f_{1}=857{,}5$ Hz.

Le tuyau fermé sonne une OCTAVE PLUS BAS (171,5 contre 343 Hz : moitié) et ne produit que les harmoniques impairs. Les deux différences sortent de la même contrainte géométrique : remplacer un ventre par un nœud à une extrémité force le motif à entrer en quarts de longueur d'onde plutôt qu'en demis, ce qui double la longueur d'onde fondamentale et interdit les rangs pairs.

Fermé : $L=\frac{v}{4f}=\frac{343}{4(27{,}5)}\approx 3{,}1$ m. Ouvert : $L=\frac{v}{2f}\approx 6{,}2$ m. Le facteur choisit le tuyau FERMÉ (bourdon) : moitié moins de hauteur, de métal et de coût pour la même note grave : les grands bourdons d'orgue sont fermés précisément pour cette économie.

La note commune fixe le fondamental, mais le TIMBRE vient du cocktail d'harmoniques superposés. La flûte, tuyau ouvert, nourrit tous les rangs (1, 2, 3, 4...) : son rond et plein. La clarinette, fermée au bec, saute les rangs pairs dans son registre grave (1, 3, 5...) : c'est ce spectre "creux" qui fait son timbre boisé et un peu nasal. Même physique, mêmes formules : ce que l'oreille appelle timbre, l'équation l'appelle conditions aux limites.

$\lambda=\frac{v}{f}=\frac{343}{686}=0{,}500$ m. Les deux sources émettant en phase, c'est le seul trajet qui décale les ondes : interférence CONSTRUCTIVE si $\Delta=n\lambda$ (les deux ondes arrivent en phase, l'amplitude double et l'intensité quadruple), DESTRUCTIVE si $\Delta=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda$ (elles arrivent en opposition et s'annulent, à amplitudes égales).

Ce point est équidistant des deux haut-parleurs : $\Delta=0$, donc interférence constructive d'ordre zéro. L'auditeur y entend un MAXIMUM, et ce quelle que soit la fréquence, ce qui fait de cette position centrale la seule qui soit correcte pour toutes les notes à la fois. C'est la raison pour laquelle une écoute stéréo se juge assis au sommet du triangle isocèle formé avec les enceintes.

Premier minimum : $\Delta=\frac{\lambda}{2}=0{,}250$ m, donc $\sin\theta=\frac{0{,}250}{3{,}00}=0{,}0833$ et $\theta\approx 4{,}78°$. Position le long de la droite d'écoute : $y=D\tan\theta=(8{,}00)(0{,}0836)\approx 0{,}669$ m. Il suffit donc de se décaler de 67 cm, moins que la largeur d'un fauteuil, pour passer d'un maximum à un silence quasi total : ce genre de zone morte est parfaitement audible dans une salle réelle, et beaucoup d'auditeurs l'attribuent à tort à un défaut du matériel.

La différence de marche ne peut jamais dépasser la distance entre les sources, $\Delta\leq d=3{,}00$ m, soit $6\lambda$. La condition $\left(n+\frac{1}{2}\right)(0{,}500)\leq 3{,}00$ donne $n+\frac{1}{2}\leq 6$, donc $n\leq 5{,}5$ : les ordres $n=0$ à $5$ sont possibles, soit SIX minima de chaque côté du point central. En pratique, l'auditeur qui longe la droite d'écoute traverse donc une douzaine de zones sourdes, alternant avec autant de renforcements.

À 100 Hz, $\lambda=\frac{343}{100}=3{,}43$ m et $\frac{\lambda}{2}=1{,}72$ m, qui reste inférieur à $d=3{,}00$ m : il n'existe qu'UN seul minimum de chaque côté, à $\sin\theta=\frac{1{,}72}{3{,}00}=0{,}572$, soit $\theta\approx 34{,}9°$, très loin de l'axe. À 50 Hz, $\frac{\lambda}{2}=3{,}43$ m dépasse déjà $d$ : la condition d'annulation ne peut être satisfaite NULLE PART, il n'y a aucun minimum. Le principe général est que le nombre de zones d'interférence est fixé par le rapport $\frac{d}{\lambda}$ : plus la longueur d'onde est grande devant l'écartement des sources, moins le champ sonore est structuré. Aux basses fréquences, la pièce entière est essentiellement en phase, aucune zone morte ne se forme et l'oreille perd d'ailleurs tout repère de direction, faute de différence perceptible entre les deux oreilles. Le caisson de basses peut donc être posé où l'on veut, alors qu'un haut-parleur d'aigus, dont la longueur d'onde se compte en centimètres, crée un champ finement découpé et exige un placement précis, tout comme le point d'écoute.

Il entend UNE hauteur, la moyenne, 442 Hz (l'oreille ne sépare pas deux fréquences si voisines), dont l'intensité pulse : ce sont les battements, à $f_{batt}=|444-440|=4{,}0$ Hz, soit un maximum d'intensité toutes les $\frac{1}{4{,}0}=0{,}25$ s.

À un instant donné, les deux ondes sont en phase : leurs amplitudes s'ajoutent, le son est fort (interférence constructive). Mais leurs fréquences diffèrent : l'une prend peu à peu de l'avance et, une demi-période de battement plus tard, elles sont en opposition : les amplitudes se soustraient, le son s'éteint presque (destructive). Le cycle accord-désaccord se répète $|f_{1}-f_{2}|$ fois par seconde : le battement est une interférence dans le TEMPS.

$|f-440|=3{,}0$ : la corde est à 437 Hz ou à 443 Hz. Le battement ne donne que l'ÉCART en valeur absolue : trop grave ou trop aiguë produisent exactement le même comptage, l'information de signe est perdue.

Tendre la corde augmente sa fréquence. Les battements se sont ACCÉLÉRÉS : l'écart avec 440 Hz a grandi, donc la corde s'ÉLOIGNAIT du diapason en montant : elle était déjà au-dessus, à 443 Hz. S'ils avaient ralenti, la corde se serait rapprochée de 440 Hz par le bas : 437 Hz, et il suffisait de continuer à tendre jusqu'au silence des battements. Accorder, c'est littéralement chercher $f_{batt}=0$ : l'accordeur n'écoute pas la note, il écoute la disparition du battement.

$v=M\,v_{son}=(1{,}60)(340)=544$ m/s, soit $(544)(3{,}6)\approx 1{,}96\times 10^{3}$ km/h.

Pendant une durée $t$, l'avion parcourt $v_{avion}t$ tandis que le front d'onde émis au point de départ s'est étendu en une sphère de rayon $v_{son}t$. Toutes ces sphères, émises à des instants différents, ont exactement la même enveloppe : un cône dont l'avion occupe le sommet. Dans le triangle rectangle formé par le rayon de la sphère (côté opposé) et le trajet de l'avion (hypoténuse), $\sin\theta=\frac{v_{son}t}{v_{avion}t}=\frac{v_{son}}{v_{avion}}=\frac{1}{M}$. Ici $\sin\theta=\frac{1}{1{,}60}=0{,}625$, donc $\theta\approx 38{,}7°$. Sur ce cône, une infinité de fronts d'onde se superposent au même endroit : la surpression y est brutale, c'est l'onde de choc.

L'observateur entend le bang à l'instant où la SURFACE du cône l'atteint. Le sommet du cône étant sur l'avion, la distance horizontale entre l'avion et l'observateur vaut alors $x=\frac{h}{\tan\theta}=\frac{12000}{0{,}801}\approx 1{,}50\times 10^{4}$ m, soit environ 15,0 km. L'avion est donc déjà quinze kilomètres PLUS LOIN quand le bruit arrive. En temps : $t=\frac{x}{v_{avion}}=\frac{14988}{544}\approx 27{,}6$ s après le passage à la verticale. Près d'une demi-minute de silence sépare le survol du bang.

Le cône accompagne l'avion en permanence, aussi longtemps qu'il vole plus vite que le son : ce n'est pas un événement mais un régime. Sa trace au sol est une ligne continue qui balaie le sol tout le long de la trajectoire, le fameux tapis de bang, et chaque personne située sous cette bande entend la détonation à SON tour, au moment où le cône la traverse, c'est-à-dire toujours après le passage de l'avion. Un avion qui resterait supersonique pendant une heure produirait un bang sur mille kilomètres de terrain, et non un unique claquement au moment de franchir Mach 1. C'est d'ailleurs cette nuisance étalée, et non le bruit des moteurs, qui a fait interdire le vol supersonique au-dessus des terres habitées.

Quand $v_{s}\to v$, le dénominateur $v-v_{s}$ tend vers zéro et $f'\to\infty$ : la formule diverge. Elle dit exactement ce que montre la géométrie du b) : l'avion rattrape ses propres fronts d'onde, qui s'empilent tous sur une même surface au lieu de se succéder. Une fréquence infinie n'a évidemment pas de sens physique, et c'est le signe que le modèle linéaire de l'onde sonore cesse d'être valable : la surpression devient trop grande, et l'on entre dans le domaine des ondes de choc. Au-delà, pour $v_{s}>v$, la formule n'a tout simplement plus cours. Un observateur situé DEVANT l'avion, hors du cône, n'entend absolument RIEN : aucun son émis par l'appareil ne peut le devancer, puisque l'appareil va plus vite qu'eux tous. Il voit donc l'avion passer en silence, puis entend le bang, puis seulement le bruit des moteurs. Le silence qui précède un avion supersonique n'est pas une impression, c'est une conséquence directe de la cinématique.