Exercices corrigés : le son et les ondes stationnaires (203-NYC)

a) $\lambda=\frac{v}{f}$ : à 440 Hz, $\lambda=\frac{343}{440}\approx 0{,}78$ m; à 20 kHz, $\lambda=\frac{343}{20\,000}\approx 1{,}7$ cm. L'audible s'étend ainsi du centimètre à la dizaine de mètres (17 m à 20 Hz) : trois ordres de grandeur, c'est pourquoi les graves contournent les obstacles (diffraction) bien mieux que les aigus.

b) Le son fait l'aller-retour : $d=\frac{v\,t}{2}=\frac{(343)(1{,}2)}{2}\approx 206$ m.

c) $d=v\,t=(343)(3{,}0)=1029$ m, environ un kilomètre (d'où la règle des trois secondes par kilomètre). La lumière parcourt ce kilomètre en $\frac{1029}{3{,}0\times 10^{8}}\approx 3\times 10^{-6}$ s : un million de fois plus court que les 3 s du son, l'éclair est bien un "top zéro" instantané.

d) $v=331+0{,}6\times 35\approx 352$ m/s. Dans un tuyau, les fréquences propres valent $f=n\frac{v}{2L}$ (ou $\frac{v}{4L}$) : si $v$ augmente de 3 % avec la chaleur, TOUTES les notes montent de 3 % : l'instrument à vent monte quand la salle chauffe. La guitare, elle, dépend de $v=\sqrt{F/\mu}$ dans la corde : la chaleur dilate la corde, la tension $F$ baisse, et la guitare DESCEND : les deux familles d'instruments dérivent en sens opposés, le cauchemar des concerts d'été.

a) $I=\frac{P}{4\pi r^{2}}=\frac{0{,}50}{4\pi(10)^{2}}\approx 4{,}0\times 10^{-4}$ W/m². Niveau : $\beta=10\log\frac{4{,}0\times 10^{-4}}{10^{-12}}=10\log(4{,}0\times 10^{8})\approx 86$ dB : le niveau d'une rue très bruyante.

b) À distance double, $I$ est divisée par 4 (loi en $\frac{1}{r^{2}}$) : $\beta'=\beta-10\log 4\approx 86-6{,}0=80$ dB. Règle générale : chaque doublement de distance retire 6 dB, quelle que soit la source ponctuelle.

c) L'intensité double : $\beta$ monte de $10\log 2\approx 3{,}0$ dB, à 89 dB. Doubler la puissance ne produit qu'un gain à peine perceptible (3 dB est proche du plus petit écart net à l'oreille) : l'échelle logarithmique compresse énormément; pour un son "deux fois plus fort" subjectivement, il faut environ dix fois la puissance.

d) $\Delta\beta=50$ dB correspond à $\frac{I_{concert}}{I_{conversation}}=10^{50/10}=10^{5}$ : cent mille fois plus intense. L'oreille couvre ainsi douze ordres de grandeur entre le seuil d'audibilité et le seuil de douleur : seule une perception logarithmique peut embrasser une telle plage, et c'est précisément pour épouser l'oreille que le décibel est logarithmique.

a) Source qui s'approche : $f'=f\,\frac{v}{v-v_{s}}=800\times\frac{343}{343-25}=800\times\frac{343}{318}\approx 863$ Hz. La source rattrape ses propres fronts d'onde : ceux-ci s'entassent devant elle, la longueur d'onde y est comprimée, et l'oreille, qui reçoit des fronts plus rapprochés, entend plus aigu.

b) Source qui s'éloigne : $f'=800\times\frac{343}{343+25}=800\times\frac{343}{368}\approx 746$ Hz. Au passage, la hauteur chute d'environ $863-746\approx 117$ Hz d'un coup, presque deux tons : c'est le "iiiii-ooooo" caractéristique.

c) Observateur qui s'approche d'une source fixe : $f'=f\,\frac{v+v_{o}}{v}=800\times\frac{368}{343}\approx 858$ Hz : proche de 863 Hz, mais PAS égal. L'asymétrie vient du milieu : le son se propage dans l'air, qui constitue une référence physique. Source mobile : la longueur d'onde elle-même change dans l'air. Observateur mobile : les ondes sont intactes, c'est leur vitesse RELATIVE de réception qui change. Deux mécanismes différents, deux formules différentes : les confondre coûte cher en examen.

d) La lumière du gyrophare d'une ambulance immobile ne subit aucun décalage : pas de mouvement relatif (et pour la lumière, seul le mouvement relatif compte, il n'y a pas de milieu). Le passager dans l'ambulance, lui, voyage AVEC la source : aucun mouvement relatif non plus, il entend 800 Hz exactement, pendant que le piéton entend la sirène monter puis descendre. L'effet Doppler est dans la relation source-récepteur, pas dans la sirène.

a) Deux nœuds aux extrémités : $\lambda_{1}=2L=1{,}30$ m. Vitesse dans la corde : $v=f_{1}\lambda_{1}=(220)(1{,}30)=286$ m/s. (Attention : c'est la vitesse DANS LA CORDE; le son émis dans l'air garde 220 Hz mais avec la longueur d'onde de l'air, $\frac{343}{220}\approx 1{,}56$ m.)

b) $f_{n}=nf_{1}$ : $f_{2}=440$ Hz et $f_{3}=660$ Hz. L'harmonique $n$ compte $n$ ventres et $n+1$ nœuds (extrémités comprises) : $f_{2}$ a un nœud supplémentaire au MILIEU de la corde, $f_{3}$ en a deux, aux tiers.

c) $f_{1}=\frac{v}{2L}$ : diviser $L$ par deux double la fréquence : 440 Hz. C'est l'OCTAVE, et la raison géométrique pour laquelle la douzième frette est toujours à mi-longueur de corde, sur toutes les guitares.

d) $f=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}}$ : la fréquence va comme la racine de la tension, donc $\frac{F'}{F}=\left(\frac{233}{220}\right)^{2}\approx 1{,}12$ : il faut environ 12 % de tension en plus pour un demi-ton de 6 %. Le carré double la note à payer : c'est pourquoi accorder trop haut casse les cordes bien plus vite qu'on ne s'y attend.

a) Aux extrémités ouvertes, l'air communique avec l'extérieur : la pression y reste celle de l'atmosphère et le déplacement de l'air y est maximal : VENTRE de déplacement aux deux bouts. Il faut donc $L=n\frac{\lambda}{2}$ : $f_{n}=n\frac{v}{2L}$. Fondamental : $f_{1}=\frac{343}{2(0{,}50)}=343$ Hz, puis $f_{2}=686$ Hz et $f_{3}=1029$ Hz : tous les harmoniques.

b) Au bout fermé, l'air ne peut pas osciller le long de l'axe : NŒUD de déplacement; au bout ouvert : ventre. La plus grande longueur d'onde qui loge un quart de motif est $\lambda_{1}=4L$ : $f_{1}=\frac{v}{4L}=\frac{343}{2{,}0}=171{,}5$ Hz. Les modes suivants doivent garder nœud d'un côté et ventre de l'autre : seuls les multiples IMPAIRS conviennent : $f_{3}=3f_{1}=514{,}5$ Hz et $f_{5}=5f_{1}=857{,}5$ Hz.

c) Le tuyau fermé sonne une OCTAVE PLUS BAS (171,5 contre 343 Hz : moitié) et ne produit que les harmoniques impairs. Les deux différences sortent de la même contrainte géométrique : remplacer un ventre par un nœud à une extrémité force le motif à entrer en quarts de longueur d'onde plutôt qu'en demis, ce qui double la longueur d'onde fondamentale et interdit les rangs pairs.

d) Fermé : $L=\frac{v}{4f}=\frac{343}{4(27{,}5)}\approx 3{,}1$ m. Ouvert : $L=\frac{v}{2f}\approx 6{,}2$ m. Le facteur choisit le tuyau FERMÉ (bourdon) : moitié moins de hauteur, de métal et de coût pour la même note grave : les grands bourdons d'orgue sont fermés précisément pour cette économie.

e) La note commune fixe le fondamental, mais le TIMBRE vient du cocktail d'harmoniques superposés. La flûte, tuyau ouvert, nourrit tous les rangs (1, 2, 3, 4...) : son rond et plein. La clarinette, fermée au bec, saute les rangs pairs dans son registre grave (1, 3, 5...) : c'est ce spectre "creux" qui fait son timbre boisé et un peu nasal. Même physique, mêmes formules : ce que l'oreille appelle timbre, l'équation l'appelle conditions aux limites.

a) Il entend UNE hauteur, la moyenne, 442 Hz (l'oreille ne sépare pas deux fréquences si voisines), dont l'intensité pulse : ce sont les battements, à $f_{batt}=|444-440|=4{,}0$ Hz, soit un maximum d'intensité toutes les $\frac{1}{4{,}0}=0{,}25$ s.

b) À un instant donné, les deux ondes sont en phase : leurs amplitudes s'ajoutent, le son est fort (interférence constructive). Mais leurs fréquences diffèrent : l'une prend peu à peu de l'avance et, une demi-période de battement plus tard, elles sont en opposition : les amplitudes se soustraient, le son s'éteint presque (destructive). Le cycle accord-désaccord se répète $|f_{1}-f_{2}|$ fois par seconde : le battement est une interférence dans le TEMPS.

c) $|f-440|=3{,}0$ : la corde est à 437 Hz ou à 443 Hz. Le battement ne donne que l'ÉCART en valeur absolue : trop grave ou trop aiguë produisent exactement le même comptage, l'information de signe est perdue.

d) Tendre la corde augmente sa fréquence. Les battements se sont ACCÉLÉRÉS : l'écart avec 440 Hz a grandi, donc la corde s'ÉLOIGNAIT du diapason en montant : elle était déjà au-dessus, à 443 Hz. S'ils avaient ralenti, la corde se serait rapprochée de 440 Hz par le bas : 437 Hz, et il suffisait de continuer à tendre jusqu'au silence des battements. Accorder, c'est littéralement chercher $f_{batt}=0$ : l'accordeur n'écoute pas la note, il écoute la disparition du battement.