Exercices corrigés : la physique moderne (203-SN3-RE, ancien 203-NYC)

a) Soleil : $\lambda_{max}=\frac{2{,}898\times 10^{-3}}{5800}\approx 5{,}00\times 10^{-7}$ m, soit 500 nm, en plein milieu du visible, dans le vert. Corps humain : $\lambda_{max}=\frac{2{,}898\times 10^{-3}}{310}\approx 9{,}35\times 10^{-6}$ m, soit 9,3 μm, dans l'infrarouge lointain, totalement invisible à l'œil mais parfaitement capté par une caméra thermique. La coïncidence entre le maximum solaire et le pic de sensibilité de l'œil, autour de 555 nm, n'en est évidemment pas une : l'œil a évolué sous cette lumière et s'est ajusté à ce qui était le plus abondant.

b) $\lambda_{max}=\frac{2{,}898\times 10^{-3}}{2500}\approx 1{,}16\times 10^{-6}$ m, soit 1,16 μm : le maximum tombe dans l'INFRAROUGE, hors du visible. Une ampoule à incandescence émet donc l'essentiel de son rayonnement sous forme de chaleur invisible, et seule la frange courte de sa distribution atteint le visible; son rendement lumineux plafonne autour de 5 %. Pour faire mieux, il faudrait monter la température, mais le tungstène fond à 3695 K : la physique du corps noir condamnait l'ampoule à filament bien avant que la réglementation ne s'en mêle.

c) $P=\sigma A(T^{4}-T_{0}^{4})=(5{,}67\times 10^{-8})(1{,}8)(306^{4}-293^{4})\approx 1{,}4\times 10^{2}$ W. Environ 140 W, soit davantage que le métabolisme de base d'un adulte au repos, ce qui explique qu'on se refroidisse très vite, nu, dans une pièce pourtant à 20 °C. La puissance nette est proportionnelle à la DIFFÉRENCE des puissances quatrièmes, jamais à la différence des températures : c'est pourquoi un écart de 13 degrés suffit à évacuer autant d'énergie. Les vêtements n'agissent pas en supprimant ce rayonnement mais en interposant une surface intermédiaire, plus froide côté extérieur.

d) La physique classique traitait le rayonnement comme un ensemble de modes d'oscillation dans une cavité, et le théorème d'équipartition attribuait à chacun la même énergie moyenne $kT$. Or le nombre de modes croît sans limite quand la longueur d'onde diminue : le total divergeait, et l'on prédisait qu'un four ouvert devrait émettre une bouffée mortelle d'ultraviolets. Planck a supposé que l'énergie d'un mode de fréquence $f$ ne peut valoir que $nhf$, un multiple entier. Aux hautes fréquences, le PREMIER quantum $hf$ devient déjà bien plus grand que l'énergie thermique typique $kT$ : ces modes ne peuvent tout simplement pas être excités, ils restent gelés et cessent de contribuer. La divergence disparaît, et la courbe calculée épouse exactement l'expérience. Planck tenait cela pour un artifice mathématique; c'est Einstein qui, cinq ans plus tard, en a fait une réalité physique avec le photon.

e) Le maximum d'émission est inversement proportionnel à $T$ : il est donc divisé par deux, soit 250 nm, dans l'ultraviolet, et l'étoile paraît bleu-blanc puisqu'il ne nous reste que le bord de sa distribution. La puissance par mètre carré, elle, va comme $T^{4}$ : elle est multipliée par $2^{4}=16$. C'est la même loi qui classe les couleurs des objets chauffés : une braise rouge rayonne autour de 1000 K, un fer chauffé au blanc dépasse 1500 K, et sa couleur pâle signale non pas une nuance décorative mais un maximum d'émission déplacé vers le bleu et une puissance cinq fois supérieure. En astronomie, la couleur d'une étoile est un thermomètre.

a) $E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{(6{,}63\times 10^{-34})(3{,}0\times 10^{8})}{500\times 10^{-9}}\approx 4{,}0\times 10^{-19}$ J, soit $\frac{3{,}98\times 10^{-19}}{1{,}6\times 10^{-19}}\approx 2{,}5$ eV. (Raccourci : $\frac{1240}{500}=2{,}48$ eV.) Les photons du visible vivent tous entre 1,8 et 3,1 eV : la même échelle que les liaisons chimiques, ce qui explique que la lumière visible pilote la photosynthèse et la vision.

b) $E=hf=(6{,}63\times 10^{-34})(1{,}0\times 10^{8})=6{,}6\times 10^{-26}$ J $\approx 4{,}1\times 10^{-7}$ eV : six millions de fois moins qu'un photon visible. Un récepteur radio absorbe des flots de milliards de milliards de photons : le grain est si fin que l'énergie paraît parfaitement continue, comme une plage vue de loin paraît lisse.

c) Énergie d'un photon rouge : $E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1{,}989\times 10^{-25}}{650\times 10^{-9}}\approx 3{,}1\times 10^{-19}$ J. Débit : $N=\frac{P}{E}=\frac{1{,}0\times 10^{-3}}{3{,}06\times 10^{-19}}\approx 3{,}3\times 10^{15}$ photons par seconde : trois millions de milliards, pour le plus modeste des pointeurs.

d) Tout dépend du rapport entre le quantum $hf$ et les énergies mises en jeu. En radio, $hf\approx 10^{-7}$ eV est infime devant tout : les échanges par milliards de photons se moyennent en une onde continue, la description classique suffit. Un photon X porte $10^{4}$ à $10^{5}$ eV : UN seul suffit à ioniser un atome, à casser une liaison, à noircir un grain de pellicule : l'interaction est un événement individuel, discret, qu'aucune onde continue ne peut décrire. La frontière classique-quantique n'est pas une question de taille, mais de granularité relative.

a) Premièrement, l'existence d'un SEUIL en fréquence : sous $f_{0}$, aucun électron ne sort, même sous une lumière aveuglante, alors qu'une onde devrait pouvoir accumuler l'énergie nécessaire en insistant. Deuxièmement, l'émission INSTANTANÉE, même en lumière très faible, là où une onde diluée devrait mettre des minutes à charger un électron. Avec le photon, tout s'éclaire : l'échange se fait par paquets $hf$, un électron absorbe UN photon; si $hf<W_{0}$, le paquet est trop petit, aucune accumulation possible; s'il suffit, l'éjection est immédiate. L'énergie de la lumière n'est pas dans son intensité mais dans sa fréquence : c'est le renversement d'Einstein (1905).

b) Photon de 400 nm : $E=\frac{1240}{400}=3{,}1$ eV. Bilan : $E_{k,max}=E-W_{0}=3{,}1-2{,}0=1{,}1$ eV. Potentiel d'arrêt : $V_{a}=\frac{E_{k,max}}{e}=1{,}1$ V : la tension qui annule le courant mesure directement, en volts, l'énergie en eV.

c) $\lambda_{0}=\frac{hc}{W_{0}}=\frac{1240}{2{,}0}=620$ nm : un rouge-orangé. À 700 nm, chaque photon ne porte que $\frac{1240}{700}\approx 1{,}8$ eV $<2{,}0$ eV : AUCUN électron ne sort, quelle que soit l'intensité; multiplier les photons trop faibles ne fabrique pas un photon assez fort.

d) Doubler l'intensité à 400 nm double le NOMBRE de photons par seconde : deux fois plus d'électrons éjectés (courant double), mais chacun avec la même énergie maximale de 1,1 eV : le potentiel d'arrêt ne bouge pas. Passer à 350 nm change le photon lui-même : $E=\frac{1240}{350}\approx 3{,}5$ eV, donc $E_{k,max}\approx 1{,}5$ eV et $V_{a}\approx 1{,}5$ V, courant comparable. Intensité et fréquence agissent sur deux boutons différents : c'est exactement la signature corpusculaire.

a) $E_{1}=-13{,}6$ eV, $E_{2}=-\frac{13{,}6}{4}=-3{,}40$ eV, $E_{3}=-\frac{13{,}6}{9}\approx-1{,}51$ eV. Le zéro est la référence : électron arraché, immobile, infiniment loin du proton. Les énergies liées sont négatives parce qu'il FAUT fournir de l'énergie pour libérer l'électron : le signe moins mesure la profondeur du puits.

b) $\Delta E=E_{3}-E_{2}=-1{,}51-(-3{,}40)=1{,}89$ eV. Longueur d'onde : $\lambda=\frac{1240}{1{,}89}\approx 657$ nm : la raie ROUGE de la série de Balmer (H$\alpha$), celle qui colore les nébuleuses en rose. Un calcul de tête retrouve la couleur du ciel profond : c'est le triomphe du modèle de Bohr (1913).

c) Depuis le fondamental, il faut combler $13{,}6$ eV. Longueur d'onde maximale : $\lambda=\frac{1240}{13{,}6}\approx 91$ nm : de l'ultraviolet lointain. Tout photon plus court ionise aussi (le surplus part en énergie cinétique de l'électron); tout photon plus long en est incapable... sauf à trouver l'atome déjà excité.

d) L'électron n'a pas accès à un continuum d'énergies : seuls les niveaux $E_{n}$ existent, donc seules les DIFFÉRENCES $E_{n_{i}}-E_{n_{f}}$ peuvent sortir en photons : un peigne de raies, empreinte digitale de l'élément. En absorption, le mécanisme joue à l'envers : l'atome ne peut avaler QUE les photons dont l'énergie correspond exactement à un saut permis : mêmes différences, mêmes longueurs d'onde, raies sombres sur fond continu. C'est ainsi qu'on lit la composition du Soleil sans y aller : ses raies d'absorption sont les mêmes que celles de nos lampes à hydrogène.

a) $\frac{1}{2}mv^{2}=eV$ donne $v=\sqrt{\frac{2(1{,}6\times 10^{-19})(100)}{9{,}11\times 10^{-31}}}\approx 5{,}9\times 10^{6}$ m/s. Quantité de mouvement : $p=mv\approx(9{,}11\times 10^{-31})(5{,}93\times 10^{6})\approx 5{,}4\times 10^{-24}$ kg·m/s. D'où $\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}63\times 10^{-34}}{5{,}4\times 10^{-24}}\approx 1{,}2\times 10^{-10}$ m : 0,12 nm.

b) $p=mv=(0{,}145)(40)=5{,}8$ kg·m/s, donc $\lambda=\frac{6{,}63\times 10^{-34}}{5{,}8}\approx 1{,}1\times 10^{-34}$ m.

c) La longueur d'onde de l'électron (100 V, à peine une pile) tombe PILE à l'échelle atomique : les plans d'un cristal, espacés d'environ $10^{-10}$ m, forment pour lui un réseau de diffraction naturel : c'est l'expérience de Davisson et Germer (1927), qui a confirmé de Broglie en observant des électrons interférer comme des rayons X. La balle, elle, est à $10^{-34}$ m : vingt-quatre ordres de grandeur sous la taille d'un atome; aucune ouverture dans l'univers n'est assez fine pour révéler son onde. La dualité est universelle en principe, invisible en pratique dès que $h$ est écrasé par $p$.

d) La diffraction interdit de résoudre des détails plus petits qu'environ une longueur d'onde : l'optique visible bute vers 400 nm, quelques milliers d'atomes. Les électrons du a), avec 0,12 nm sous une tension modeste (et bien moins encore sous 100 kV), abaissent cette limite de plusieurs ordres de grandeur : le microscope électronique ne gagne pas par de meilleures lentilles, il gagne en changeant d'onde. Voir petit, c'est d'abord éclairer court.

a) $\frac{h}{m_{e}c}=\frac{6{,}63\times 10^{-34}}{(9{,}11\times 10^{-31})(3{,}0\times 10^{8})}\approx 2{,}43\times 10^{-12}$ m, soit 2,43 pm. À 90°, $\cos\theta=0$ et $\Delta\lambda=2{,}43$ pm. À 180°, rétrodiffusion, $\cos\theta=-1$ et $\Delta\lambda=4{,}85$ pm, le maximum possible. C'est la signature d'un choc : le photon cède le plus d'énergie quand il repart en arrière, exactement comme une bille qui rebondit de plein fouet.

b) Photon incident : $E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{(6{,}63\times 10^{-34})(3{,}0\times 10^{8})}{71{,}0\times 10^{-12}}\approx 2{,}80\times 10^{-15}$ J, soit $\frac{2{,}80\times 10^{-15}}{1{,}6\times 10^{-19}}\approx 17{,}5$ keV. Photon diffusé, de longueur d'onde $71{,}0+2{,}43=73{,}4$ pm : $E'\approx 2{,}71\times 10^{-15}$ J, soit 16,9 keV. Par conservation de l'énergie, l'électron emporte la différence : $E-E'\approx 5{,}8\times 10^{2}$ eV, environ 578 eV. Notez la modestie du transfert, à peine 3 % : le photon rebondit sur une particule bien plus massive que lui, du moins en équivalent d'inertie.

c) Le décalage est ABSOLU, toujours de quelques picomètres, jamais proportionnel à $\lambda$. Pour un rayon X de 71 pm, il représente $\frac{2{,}43}{71{,}0}\approx 3{,}4$ %, largement mesurable. Pour de la lumière visible à 500 nm, il ne représente que $\frac{2{,}43\times 10^{-12}}{5{,}0\times 10^{-7}}\approx 4{,}9\times 10^{-6}$, cinq millionièmes, indétectable avec les moyens de l'époque comme avec un spectromètre ordinaire aujourd'hui. Voilà pourquoi l'effet est resté invisible tant qu'on n'a travaillé qu'en lumière visible, et pourquoi il fallait des rayons X pour le révéler : il fallait un photon dont l'énergie soit comparable à l'énergie de masse de l'électron.

d) L'effet photoélectrique établissait que la lumière échange son énergie par paquets $hf$. Il restait possible de sauver l'idée d'une onde en attribuant la granularité au métal plutôt qu'à la lumière. Compton ferme cette porte : pour rendre compte du décalage angulaire, il faut appliquer au photon la conservation de la QUANTITÉ DE MOUVEMENT, avec $p=\frac{h}{\lambda}$, exactement comme dans un choc élastique à deux corps de mécanique. Le photon n'est donc pas seulement un grain d'énergie, c'est un grain doté d'une impulsion, qui rebondit, transfère et recule. C'est le point où le photon cesse d'être une commodité de calcul pour devenir une particule, et Compton reçoit le Nobel en 1927.

e) Dans l'atome : $p\approx\frac{\hbar}{\Delta x}=\frac{1{,}055\times 10^{-34}}{1{,}0\times 10^{-10}}\approx 1{,}06\times 10^{-24}$ kg·m/s, d'où $E_{k}=\frac{p^{2}}{2m_{e}}\approx 6{,}1\times 10^{-19}$ J, soit environ 3,8 eV. C'est le même ordre de grandeur que les 13,6 eV qui lient réellement l'électron : le principe d'incertitude explique donc la TAILLE de l'atome. Comprimer l'électron plus près du noyau réduirait son énergie potentielle, mais au prix d'une énergie cinétique de confinement qui croît en $\frac{1}{\Delta x^{2}}$, donc plus vite : il existe un rayon d'équilibre, et l'atome ne s'effondre pas. Dans le noyau : $p\approx\frac{1{,}055\times 10^{-34}}{1{,}0\times 10^{-15}}\approx 1{,}06\times 10^{-19}$ kg·m/s, et comme cette valeur est ultrarelativiste, $E\approx pc\approx 3{,}2\times 10^{-11}$ J, soit près de 200 MeV. Or aucune force nucléaire ne lie quoi que ce soit avec une énergie pareille, les énergies de liaison par nucléon étant de l'ordre de 8 MeV. Conclusion : un électron ne peut PAS résider dans un noyau, ce qui a définitivement écarté le modèle des électrons nucléaires et imposé, après la découverte du neutron en 1932, le noyau fait de protons et de neutrons. Les électrons de la radioactivité bêta ne préexistent pas dans le noyau, ils y sont créés au moment de la désintégration.

a) Le carbone 14 se désintègre en permanence, mais le vivant le renouvelle en respirant et en mangeant : l'équilibre entre pertes et apports fixe la proportion. À la mort, les échanges cessent, les pertes continuent : la proportion décroît exponentiellement, et son niveau actuel mesure le temps écoulé. Un organisme mort est un sablier qu'on ne retourne plus.

b) $25\ \%=\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$ : exactement DEUX demi-vies. Âge : $2\times 5730=11\,460$ ans : la fin de la dernière glaciation.

c) $\lambda=\frac{\ln 2}{T}=\frac{0{,}693}{5730}\approx 1{,}21\times 10^{-4}$ an$^{-1}$. Puis $N=N_{0}e^{-\lambda t}$ donne $t=\frac{\ln(N_{0}/N)}{\lambda}=\frac{\ln(1/0{,}30)}{1{,}21\times 10^{-4}}=\frac{1{,}204}{1{,}21\times 10^{-4}}\approx 9950$ ans. Cohérent : 30 % se situe entre une demi-vie (50 %) et deux (25 %), donc entre 5730 et 11 460 ans, plus près du second.

d) À 66 millions d'années, il s'est écoulé plus de 11 000 demi-vies : la fraction restante vaut $\left(\frac{1}{2}\right)^{11\,500}$, zéro à toute précision physique : il ne reste littéralement pas un atome à compter, et le moindre gramme de contamination moderne domine le signal. À 50 ans, à l'inverse, il ne s'est désintégré qu'environ 0,6 % du stock : la variation est noyée dans les incertitudes. La méthode est fiable, grosso modo, de quelques siècles à 50 000 ans : l'horloge doit avoir tourné, mais pas fini de tourner.

e) Il faut un isotope dont la demi-vie soit comparable à l'âge visé : pour les dinosaures, les couples géologiques comme potassium-argon ($T\approx 1{,}25$ milliard d'années) ou uranium-plomb, appliqués aux roches qui encadrent le fossile. Règle générale : on choisit son sablier à la taille de la durée à mesurer, comme on ne chronomètre pas un marathon avec un sablier de trois minutes.

a) Somme des nucléons libres : $2(1{,}00728)+2(1{,}00866)=4{,}03188$ u. Défaut de masse : $\Delta m=4{,}03188-4{,}00151=0{,}03037$ u. Énergie de liaison : $E=(0{,}03037)(931{,}5)\approx 28{,}3$ MeV, soit $\frac{28{,}3}{4}\approx 7{,}07$ MeV par nucléon. Autrement dit, assembler un noyau d'hélium libère 28 MeV, et il faudrait fournir autant pour le démonter. Rapporté au total, le défaut ne représente que 0,75 % de la masse : la masse d'un objet n'est pas la somme des masses de ses parties, elle inclut l'énergie de liaison, comptée négativement.

b) Un noyau situé à GAUCHE du maximum peut gagner de l'énergie de liaison par nucléon en fusionnant avec un autre : il se rapproche du sommet, et l'excédent est libéré. Un noyau situé à DROITE gagne au contraire à se casser en deux morceaux plus proches du fer : c'est la fission. Les deux processus vont donc dans le même sens, celui de la montée vers le maximum, mais partent de côtés opposés. Le fer 56, au sommet, est le noyau le plus lié qui soit : ni le fusionner ni le fissionner ne rapporte quoi que ce soit, il faut au contraire payer dans les deux cas. C'est pourquoi une étoile massive, qui fabrique des éléments de plus en plus lourds par fusions successives, s'arrête net quand son cœur devient du fer : la source d'énergie qui la soutenait contre sa propre gravité s'éteint, et l'effondrement qui suit produit une supernova. Tous les éléments plus lourds que le fer ont d'ailleurs été forgés dans ces cataclysmes, à contre-courant énergétique.

c) $\Delta m=\frac{200}{931{,}5}\approx 0{,}215$ u sur les 235 de départ, soit environ 0,09 % de la masse. Nombre de noyaux dans un kilogramme : $\frac{1000}{235}\times 6{,}022\times 10^{23}\approx 2{,}56\times 10^{24}$. Énergie totale : $(2{,}56\times 10^{24})(200\times 10^{6})(1{,}6\times 10^{-19})\approx 8{,}2\times 10^{13}$ J/kg. Le charbon fournit $3\times 10^{7}$ J/kg : le rapport est de l'ordre de $2{,}7\times 10^{6}$, presque trois millions. Un kilogramme d'uranium remplace environ 2700 tonnes de charbon, et cette disproportion tient entièrement au fait que les énergies nucléaires se comptent en MeV quand les énergies chimiques se comptent en eV.

d) $\frac{1000}{5}\times 6{,}022\times 10^{23}\approx 1{,}20\times 10^{26}$ réactions par kilogramme, chacune à 17,6 MeV : $(1{,}20\times 10^{26})(17{,}6\times 10^{6})(1{,}6\times 10^{-19})\approx 3{,}4\times 10^{14}$ J/kg, soit environ QUATRE fois la fission. La raison est directement lisible sur la courbe du b) : la fission gagne $\frac{200}{236}\approx 0{,}85$ MeV par nucléon, la fusion D-T en gagne $\frac{17{,}6}{5}\approx 3{,}5$ MeV, quatre fois plus, parce que la pente de la courbe est bien plus raide du côté des noyaux légers.

e) $U=\frac{ke^{2}}{r}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(1{,}6\times 10^{-19})^{2}}{3{,}0\times 10^{-15}}\approx 7{,}7\times 10^{-14}$ J, soit environ 480 keV. Énergie thermique au cœur du Soleil : $kT=(1{,}38\times 10^{-23})(1{,}5\times 10^{7})\approx 2{,}1\times 10^{-16}$ J, soit 1,3 keV seulement : la barrière est près de QUATRE CENTS fois trop haute. Classiquement, le Soleil ne devrait pas briller. Deux effets quantiques et statistiques sauvent la mise. D'abord, la distribution de Maxwell-Boltzmann possède une queue : une fraction infime des noyaux, mais non nulle, se déplace bien plus vite que la moyenne. Ensuite et surtout, l'effet TUNNEL permet à un noyau de franchir la barrière sans avoir l'énergie de la surmonter, avec une probabilité minuscule mais qui, multipliée par le nombre colossal de noyaux et par les milliards d'années disponibles, suffit amplement. C'est d'ailleurs cette improbabilité qui fait la chance de l'humanité : si la fusion était facile, le Soleil aurait brûlé tout son hydrogène en quelques millions d'années au lieu de dix milliards.

a) Masse et énergie sont deux visages de la même grandeur : toute énergie possède une masse, toute masse est de l'énergie condensée, au taux de change $c^{2}=9{,}0\times 10^{16}$ J/kg. Ce facteur colossal explique la dissymétrie du quotidien : des énergies énormes correspondent à des masses infimes, c'est pourquoi personne n'avait remarqué l'équivalence avant 1905.

b) $\frac{\Delta m}{\Delta t}=\frac{P}{c^{2}}=\frac{3{,}8\times 10^{26}}{9{,}0\times 10^{16}}\approx 4{,}2\times 10^{9}$ kg/s : plus de quatre millions de tonnes par seconde, converties en lumière par la fusion de l'hydrogène en hélium.

c) Durée : $4{,}5\times 10^{9}\times 3{,}16\times 10^{7}\approx 1{,}4\times 10^{17}$ s. Masse rayonnée : $(4{,}22\times 10^{9})(1{,}42\times 10^{17})\approx 6{,}0\times 10^{26}$ kg. Fraction : $\frac{6{,}0\times 10^{26}}{2{,}0\times 10^{30}}=3{,}0\times 10^{-4}$ : trois centièmes de pour cent en quatre milliards et demi d'années. Le régime le plus extrême de l'univers ne fait perdre au Soleil presque rien : voilà, en un nombre, la puissance du taux de change $c^{2}$.

d) $\frac{200\times 10^{6}\ \mathrm{eV}}{4\ \mathrm{eV}}\approx 5\times 10^{7}$ : le nucléaire libère des dizaines de millions de fois plus d'énergie par réaction que la chimie. La raison tient aux échelles du chapitre : la chimie remanie les ÉLECTRONS, liés à quelques eV; le nucléaire remanie le NOYAU, dont les liaisons se comptent en MeV, et la différence de masse correspondante, environ un millième de la masse du noyau, part en énergie via $E=mc^{2}$. Un gramme de combustible nucléaire vaut ainsi des tonnes de combustible chimique : même équation, étage supérieur de l'édifice atomique.

a) $\gamma(0{,}60c)=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}36}}=\frac{1}{0{,}80}=1{,}25$; $\gamma(0{,}90c)=\frac{1}{\sqrt{0{,}19}}\approx 2{,}29$; $\gamma(0{,}99c)=\frac{1}{\sqrt{0{,}0199}}\approx 7{,}09$. La croissance n'est pas régulière : $\gamma$ reste proche de 1 sur presque tout le domaine, puis explose dans les derniers pour cent. À 60 % de la vitesse de la lumière, les effets ne dépassent pas 25 %, ce qui explique qu'ils soient restés invisibles pendant trois siècles de mécanique.

b) $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}998^{2}}}\approx 15{,}8$. Sans relativité, le muon parcourrait $d=vt=(0{,}998)(3{,}0\times 10^{8})(2{,}2\times 10^{-6})\approx 659$ m : il ne franchirait qu'un quinzième du trajet et pratiquement aucun muon n'atteindrait le sol. Avec la dilatation du temps, sa durée de vie mesurée DEPUIS LE SOL vaut $\gamma(2{,}2\ \mu\text{s})\approx 34{,}8$ μs, et la distance parcourue $\approx 1{,}04\times 10^{4}$ m, soit plus de 10 km : les muons arrivent en abondance, ce que l'on mesure effectivement au niveau de la mer. Dans le référentiel du MUON, rien n'est dilaté, sa vie dure bel et bien 2,2 μs; mais c'est l'atmosphère qui défile, et son épaisseur est CONTRACTÉE : $\frac{10\ 000}{15{,}8}\approx 632$ m, qu'il traverse en $\frac{632}{0{,}998\times 3{,}0\times 10^{8}}\approx 2{,}1$ μs, soit à peu près une durée de vie. Les deux descriptions, l'une en temps dilaté, l'autre en longueur contractée, sont incompatibles en apparence et donnent pourtant exactement la même prédiction observable. C'est le cœur de la relativité : ce qui se conserve n'est ni la durée ni la longueur, mais l'accord sur les FAITS.

c) $E=\gamma mc^{2}=(7{,}089)(0{,}511)\approx 3{,}62$ MeV. Énergie cinétique : $K=(\gamma-1)mc^{2}=(6{,}089)(0{,}511)\approx 3{,}11$ MeV. La formule classique donnerait $\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}(0{,}511)(0{,}99)^{2}\approx 0{,}250$ MeV, soit douze fois moins. À cette vitesse, la mécanique de Newton ne se trompe pas d'un peu, elle se trompe d'un ordre de grandeur, et c'est pourquoi tout accélérateur de particules est conçu de bout en bout sur les formules relativistes.

d) $E=\gamma mc^{2}$ et $\gamma\to\infty$ quand $v\to c$ : atteindre exactement $c$ exigerait une énergie INFINIE pour toute masse non nulle. Quelle que soit la puissance investie, on ne fait donc que grignoter les décimales : au Grand collisionneur de hadrons, les protons atteignent $0{,}999999991c$, avec $\gamma\approx 7500$, et l'essentiel de l'énergie fournie ne sert plus à les accélérer mais à augmenter leur inertie. La vitesse de la lumière n'est pas une limite de vitesse au sens d'une règle qu'on pourrait enfreindre : c'est une asymptote inscrite dans la structure de l'espace-temps.

e) Au repos, $p=0$ et la relation donne $E^{2}=(mc^{2})^{2}$, donc $E=mc^{2}$ : l'énergie de masse est retrouvée comme cas particulier. Pour un photon, $m=0$, il reste $E=pc$, soit $p=\frac{E}{c}=\frac{hf}{c}=\frac{h}{\lambda}$ : la quantité de mouvement du photon, postulée par de Broglie et vérifiée par Compton, sort directement de la relativité, sans hypothèse supplémentaire. La boucle est bouclée : c'est la même relation $p=\frac{h}{\lambda}$ qui décrit la matière comme onde chez de Broglie et la lumière comme particule chez Compton. Elle explique aussi que le photon puisse transporter une impulsion sans posséder la moindre masse, ce qui rend possibles la pression de radiation, les voiles solaires et le refroidissement d'atomes par laser.