Exercices corrigés : la physique moderne (203-NYC)

a) $E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{(6{,}63\times 10^{-34})(3{,}0\times 10^{8})}{500\times 10^{-9}}\approx 4{,}0\times 10^{-19}$ J, soit $\frac{3{,}98\times 10^{-19}}{1{,}6\times 10^{-19}}\approx 2{,}5$ eV. (Raccourci : $\frac{1240}{500}=2{,}48$ eV.) Les photons du visible vivent tous entre 1,8 et 3,1 eV : la même échelle que les liaisons chimiques, ce qui explique que la lumière visible pilote la photosynthèse et la vision.

b) $E=hf=(6{,}63\times 10^{-34})(1{,}0\times 10^{8})=6{,}6\times 10^{-26}$ J $\approx 4{,}1\times 10^{-7}$ eV : six millions de fois moins qu'un photon visible. Un récepteur radio absorbe des flots de milliards de milliards de photons : le grain est si fin que l'énergie paraît parfaitement continue, comme une plage vue de loin paraît lisse.

c) Énergie d'un photon rouge : $E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1{,}989\times 10^{-25}}{650\times 10^{-9}}\approx 3{,}1\times 10^{-19}$ J. Débit : $N=\frac{P}{E}=\frac{1{,}0\times 10^{-3}}{3{,}06\times 10^{-19}}\approx 3{,}3\times 10^{15}$ photons par seconde : trois millions de milliards, pour le plus modeste des pointeurs.

d) Tout dépend du rapport entre le quantum $hf$ et les énergies mises en jeu. En radio, $hf\approx 10^{-7}$ eV est infime devant tout : les échanges par milliards de photons se moyennent en une onde continue, la description classique suffit. Un photon X porte $10^{4}$ à $10^{5}$ eV : UN seul suffit à ioniser un atome, à casser une liaison, à noircir un grain de pellicule : l'interaction est un événement individuel, discret, qu'aucune onde continue ne peut décrire. La frontière classique-quantique n'est pas une question de taille, mais de granularité relative.

a) Premièrement, l'existence d'un SEUIL en fréquence : sous $f_{0}$, aucun électron ne sort, même sous une lumière aveuglante, alors qu'une onde devrait pouvoir accumuler l'énergie nécessaire en insistant. Deuxièmement, l'émission INSTANTANÉE, même en lumière très faible, là où une onde diluée devrait mettre des minutes à charger un électron. Avec le photon, tout s'éclaire : l'échange se fait par paquets $hf$, un électron absorbe UN photon; si $hf<W_{0}$, le paquet est trop petit, aucune accumulation possible; s'il suffit, l'éjection est immédiate. L'énergie de la lumière n'est pas dans son intensité mais dans sa fréquence : c'est le renversement d'Einstein (1905).

b) Photon de 400 nm : $E=\frac{1240}{400}=3{,}1$ eV. Bilan : $E_{k,max}=E-W_{0}=3{,}1-2{,}0=1{,}1$ eV. Potentiel d'arrêt : $V_{a}=\frac{E_{k,max}}{e}=1{,}1$ V : la tension qui annule le courant mesure directement, en volts, l'énergie en eV.

c) $\lambda_{0}=\frac{hc}{W_{0}}=\frac{1240}{2{,}0}=620$ nm : un rouge-orangé. À 700 nm, chaque photon ne porte que $\frac{1240}{700}\approx 1{,}8$ eV $<2{,}0$ eV : AUCUN électron ne sort, quelle que soit l'intensité; multiplier les photons trop faibles ne fabrique pas un photon assez fort.

d) Doubler l'intensité à 400 nm double le NOMBRE de photons par seconde : deux fois plus d'électrons éjectés (courant double), mais chacun avec la même énergie maximale de 1,1 eV : le potentiel d'arrêt ne bouge pas. Passer à 350 nm change le photon lui-même : $E=\frac{1240}{350}\approx 3{,}5$ eV, donc $E_{k,max}\approx 1{,}5$ eV et $V_{a}\approx 1{,}5$ V, courant comparable. Intensité et fréquence agissent sur deux boutons différents : c'est exactement la signature corpusculaire.

a) $E_{1}=-13{,}6$ eV, $E_{2}=-\frac{13{,}6}{4}=-3{,}40$ eV, $E_{3}=-\frac{13{,}6}{9}\approx-1{,}51$ eV. Le zéro est la référence : électron arraché, immobile, infiniment loin du proton. Les énergies liées sont négatives parce qu'il FAUT fournir de l'énergie pour libérer l'électron : le signe moins mesure la profondeur du puits.

b) $\Delta E=E_{3}-E_{2}=-1{,}51-(-3{,}40)=1{,}89$ eV. Longueur d'onde : $\lambda=\frac{1240}{1{,}89}\approx 657$ nm : la raie ROUGE de la série de Balmer (H$\alpha$), celle qui colore les nébuleuses en rose. Un calcul de tête retrouve la couleur du ciel profond : c'est le triomphe du modèle de Bohr (1913).

c) Depuis le fondamental, il faut combler $13{,}6$ eV. Longueur d'onde maximale : $\lambda=\frac{1240}{13{,}6}\approx 91$ nm : de l'ultraviolet lointain. Tout photon plus court ionise aussi (le surplus part en énergie cinétique de l'électron); tout photon plus long en est incapable... sauf à trouver l'atome déjà excité.

d) L'électron n'a pas accès à un continuum d'énergies : seuls les niveaux $E_{n}$ existent, donc seules les DIFFÉRENCES $E_{n_{i}}-E_{n_{f}}$ peuvent sortir en photons : un peigne de raies, empreinte digitale de l'élément. En absorption, le mécanisme joue à l'envers : l'atome ne peut avaler QUE les photons dont l'énergie correspond exactement à un saut permis : mêmes différences, mêmes longueurs d'onde, raies sombres sur fond continu. C'est ainsi qu'on lit la composition du Soleil sans y aller : ses raies d'absorption sont les mêmes que celles de nos lampes à hydrogène.

a) $\frac{1}{2}mv^{2}=eV$ donne $v=\sqrt{\frac{2(1{,}6\times 10^{-19})(100)}{9{,}11\times 10^{-31}}}\approx 5{,}9\times 10^{6}$ m/s. Quantité de mouvement : $p=mv\approx(9{,}11\times 10^{-31})(5{,}93\times 10^{6})\approx 5{,}4\times 10^{-24}$ kg·m/s. D'où $\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}63\times 10^{-34}}{5{,}4\times 10^{-24}}\approx 1{,}2\times 10^{-10}$ m : 0,12 nm.

b) $p=mv=(0{,}145)(40)=5{,}8$ kg·m/s, donc $\lambda=\frac{6{,}63\times 10^{-34}}{5{,}8}\approx 1{,}1\times 10^{-34}$ m.

c) La longueur d'onde de l'électron (100 V, à peine une pile) tombe PILE à l'échelle atomique : les plans d'un cristal, espacés d'environ $10^{-10}$ m, forment pour lui un réseau de diffraction naturel : c'est l'expérience de Davisson et Germer (1927), qui a confirmé de Broglie en observant des électrons interférer comme des rayons X. La balle, elle, est à $10^{-34}$ m : vingt-quatre ordres de grandeur sous la taille d'un atome; aucune ouverture dans l'univers n'est assez fine pour révéler son onde. La dualité est universelle en principe, invisible en pratique dès que $h$ est écrasé par $p$.

d) La diffraction interdit de résoudre des détails plus petits qu'environ une longueur d'onde : l'optique visible bute vers 400 nm, quelques milliers d'atomes. Les électrons du a), avec 0,12 nm sous une tension modeste (et bien moins encore sous 100 kV), abaissent cette limite de plusieurs ordres de grandeur : le microscope électronique ne gagne pas par de meilleures lentilles, il gagne en changeant d'onde. Voir petit, c'est d'abord éclairer court.

a) Le carbone 14 se désintègre en permanence, mais le vivant le renouvelle en respirant et en mangeant : l'équilibre entre pertes et apports fixe la proportion. À la mort, les échanges cessent, les pertes continuent : la proportion décroît exponentiellement, et son niveau actuel mesure le temps écoulé. Un organisme mort est un sablier qu'on ne retourne plus.

b) $25\ \%=\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$ : exactement DEUX demi-vies. Âge : $2\times 5730=11\,460$ ans : la fin de la dernière glaciation.

c) $\lambda=\frac{\ln 2}{T}=\frac{0{,}693}{5730}\approx 1{,}21\times 10^{-4}$ an$^{-1}$. Puis $N=N_{0}e^{-\lambda t}$ donne $t=\frac{\ln(N_{0}/N)}{\lambda}=\frac{\ln(1/0{,}30)}{1{,}21\times 10^{-4}}=\frac{1{,}204}{1{,}21\times 10^{-4}}\approx 9950$ ans. Cohérent : 30 % se situe entre une demi-vie (50 %) et deux (25 %), donc entre 5730 et 11 460 ans, plus près du second.

d) À 66 millions d'années, il s'est écoulé plus de 11 000 demi-vies : la fraction restante vaut $\left(\frac{1}{2}\right)^{11\,500}$, zéro à toute précision physique : il ne reste littéralement pas un atome à compter, et le moindre gramme de contamination moderne domine le signal. À 50 ans, à l'inverse, il ne s'est désintégré qu'environ 0,6 % du stock : la variation est noyée dans les incertitudes. La méthode est fiable, grosso modo, de quelques siècles à 50 000 ans : l'horloge doit avoir tourné, mais pas fini de tourner.

e) Il faut un isotope dont la demi-vie soit comparable à l'âge visé : pour les dinosaures, les couples géologiques comme potassium-argon ($T\approx 1{,}25$ milliard d'années) ou uranium-plomb, appliqués aux roches qui encadrent le fossile. Règle générale : on choisit son sablier à la taille de la durée à mesurer, comme on ne chronomètre pas un marathon avec un sablier de trois minutes.

a) Masse et énergie sont deux visages de la même grandeur : toute énergie possède une masse, toute masse est de l'énergie condensée, au taux de change $c^{2}=9{,}0\times 10^{16}$ J/kg. Ce facteur colossal explique la dissymétrie du quotidien : des énergies énormes correspondent à des masses infimes, c'est pourquoi personne n'avait remarqué l'équivalence avant 1905.

b) $\frac{\Delta m}{\Delta t}=\frac{P}{c^{2}}=\frac{3{,}8\times 10^{26}}{9{,}0\times 10^{16}}\approx 4{,}2\times 10^{9}$ kg/s : plus de quatre millions de tonnes par seconde, converties en lumière par la fusion de l'hydrogène en hélium.

c) Durée : $4{,}5\times 10^{9}\times 3{,}16\times 10^{7}\approx 1{,}4\times 10^{17}$ s. Masse rayonnée : $(4{,}22\times 10^{9})(1{,}42\times 10^{17})\approx 6{,}0\times 10^{26}$ kg. Fraction : $\frac{6{,}0\times 10^{26}}{2{,}0\times 10^{30}}=3{,}0\times 10^{-4}$ : trois centièmes de pour cent en quatre milliards et demi d'années. Le régime le plus extrême de l'univers ne fait perdre au Soleil presque rien : voilà, en un nombre, la puissance du taux de change $c^{2}$.

d) $\frac{200\times 10^{6}\ \mathrm{eV}}{4\ \mathrm{eV}}\approx 5\times 10^{7}$ : le nucléaire libère des dizaines de millions de fois plus d'énergie par réaction que la chimie. La raison tient aux échelles du chapitre : la chimie remanie les ÉLECTRONS, liés à quelques eV; le nucléaire remanie le NOYAU, dont les liaisons se comptent en MeV, et la différence de masse correspondante, environ un millième de la masse du noyau, part en énergie via $E=mc^{2}$. Un gramme de combustible nucléaire vaut ainsi des tonnes de combustible chimique : même équation, étage supérieur de l'édifice atomique.