Exercices corrigés : mesure, incertitudes et chiffres significatifs

a) $12{,}34$ compte $4$ chiffres significatifs : tous les chiffres non nuls comptent. $0{,}00250$ en compte $3$, à savoir $2$, $5$ et le $0$ final ; les zéros de tête ne servent qu'à placer la virgule et ne comptent jamais, tandis que le zéro final APRÈS la virgule compte, puisque rien n'obligeait à l'écrire. $100{,}0$ en compte $4$ : la virgule suivie d'un zéro indique que la précision descend au dixième, donc les deux zéros intermédiaires sont significatifs eux aussi.

b) La question est mal posée parce que $1200$ est AMBIGU. Selon l'instrument utilisé, cette écriture peut signifier $2$ chiffres significatifs, si l'on a mesuré au bloc de cent près, $3$ si l'on a mesuré à la dizaine près, ou $4$ si l'on a mesuré à l'unité près. L'écriture décimale ordinaire ne permet pas de trancher, car les zéros finaux d'un entier peuvent être significatifs ou simples marqueurs d'ordre de grandeur. C'est précisément le défaut que la notation scientifique corrige.

c) Avec $2$ chiffres significatifs : $1{,}2\times 10^{3}$. Avec $3$ : $1{,}20\times 10^{3}$. Avec $4$ : $1{,}200\times 10^{3}$. Les trois écritures désignent le même nombre mais PAS la même mesure : la troisième affirme une précision cent fois meilleure que la première. C'est pour cette raison qu'un résultat expérimental se donne toujours en notation scientifique dès qu'il y a le moindre risque d'ambiguïté.

d) Les quatre règles. Premièrement, tout chiffre non nul est significatif. Deuxièmement, les zéros situés ENTRE des chiffres non nuls le sont aussi, comme dans $205$ qui en compte $3$. Troisièmement, les zéros de TÊTE ne le sont jamais, ils ne font que positionner la virgule, comme dans $0{,}0034$ qui en compte $2$. Quatrièmement, les zéros de QUEUE sont significatifs si et seulement si une virgule est présente : $2{,}500$ en compte $4$, alors que $2500$ est ambigu.

e) Écrire $2{,}50$ m affirme que la mesure est fiable jusqu'au CENTIMÈTRE : la vraie valeur est comprise entre environ $2{,}495$ et $2{,}505$ m. Écrire $2{,}5$ m n'affirme la fiabilité qu'au décimètre, soit une vraie valeur entre $2{,}45$ et $2{,}55$ m, un intervalle dix fois plus large.

Le chiffre significatif est donc une INFORMATION SUR L'INSTRUMENT, pas une décoration. Ajouter des chiffres qu'on n'a pas mesurés revient à mentir sur la qualité du matériel, et c'est sanctionné à l'examen au même titre qu'une erreur de calcul. À l'inverse, en retirer revient à jeter de l'information qu'on avait payée. La règle de conduite est simple : le résultat porte exactement les chiffres que la mesure justifie, ni plus ni moins.

a) La calculatrice donne $2{,}5\times 3{,}42=8{,}55$. Pour un PRODUIT, le résultat porte autant de chiffres significatifs que le facteur qui en a le MOINS : $2{,}5$ en a $2$ et $3{,}42$ en a $3$, donc le résultat en aura $2$. On arrondit : $8{,}6$. Écrire $8{,}55$ prétendrait à une précision de trois chiffres qu'aucun des facteurs ne possède.

b) La calculatrice donne $12{,}4+0{,}057=12{,}457$. Pour une SOMME, la règle porte non pas sur les chiffres significatifs mais sur les DÉCIMALES : le résultat en garde autant que le terme qui en a le moins. Ici $12{,}4$ n'a qu'une décimale et $0{,}057$ en a trois, donc le résultat n'en garde qu'une : $12{,}5$. Notez que le résultat compte $3$ chiffres significatifs alors que l'un des termes n'en avait que $2$ : la règle du produit ne s'applique pas ici, et l'appliquer donnerait $12$, une réponse fausse.

c) Règle du produit et du quotient : on compte les CHIFFRES SIGNIFICATIFS et l'on garde le minimum. Règle de la somme et de la différence : on compte les DÉCIMALES et l'on garde le minimum. Elles diffèrent parce que l'incertitude ne se propage pas de la même façon. Dans un produit, ce sont les incertitudes RELATIVES qui s'ajoutent, et le chiffre significatif mesure justement une précision relative. Dans une somme, ce sont les incertitudes ABSOLUES qui s'ajoutent, et c'est la position de la dernière décimale fiable qui compte. On le voit sur b) : ajouter $0{,}057$ à une valeur connue au dixième près ne peut rien apprendre de nouveau au-delà du dixième.

d) $\rho=\frac{m}{V}=\frac{2{,}0}{0{,}625}=3{,}2$ kg/L. C'est un quotient, donc la règle des chiffres significatifs s'applique : $2{,}0$ en a $2$, $0{,}625$ en a $3$, on garde $2$. La calculatrice affichait $3{,}2$ exactement, mais si elle avait affiché $3{,}2456$, il aurait fallu écrire $3{,}2$. En unités du système international : $3{,}2$ kg/L $=3{,}2\times 10^{3}$ kg/m$^{3}$, puisqu'un litre vaut $10^{-3}$ m$^{3}$.

e) NON, il ne faut jamais arrondir en cours de route. On conserve tous les chiffres de la calculatrice pendant les étapes intermédiaires et l'on n'arrondit qu'au RÉSULTAT FINAL. Arrondir à chaque étape fait s'accumuler les erreurs d'arrondi, et sur un calcul en quatre ou cinq étapes cela peut déplacer le dernier chiffre significatif.

Illustration du danger : $\left(\frac{1}{3}\right)\times 3$ vaut exactement $1$, mais en arrondissant l'étape intermédiaire à $0{,}33$ on obtient $0{,}99$, et le résultat est faux dès la deuxième décimale. La bonne pratique consiste donc à garder la valeur exacte en mémoire dans la calculatrice, et à ne mettre en forme qu'à la toute fin, une fois le calcul terminé.

a) $0{,}000045=4{,}5\times 10^{-5}$ : on déplace la virgule de $5$ rangs vers la droite, donc l'exposant est $-5$. $6\,780\,000=6{,}78\times 10^{6}$ : la virgule recule de $6$ rangs, l'exposant est $+6$. $0{,}0301=3{,}01\times 10^{-2}$, en conservant le zéro intermédiaire qui est significatif. La règle de forme est que la mantisse doit être comprise entre $1$ inclus et $10$ exclu : écrire $45\times 10^{-6}$ ou $0{,}45\times 10^{-4}$ désigne le bon nombre mais n'est pas de la notation scientifique.

b) L'ordre de grandeur de $4{,}5\times 10^{-5}$ est $10^{-4}$, et celui de $2{,}1\times 10^{-5}$ est $10^{-5}$. Ils diffèrent alors que les deux nombres ont le même exposant, ce qui surprend souvent. La règle est que l'on compare la mantisse à $\sqrt{10}\approx 3{,}16$, valeur qui se trouve à mi-chemin des deux puissances sur une échelle multiplicative. Si la mantisse dépasse $3{,}16$, on arrondit à la puissance SUPÉRIEURE ; sinon on garde la puissance affichée. Ici $4{,}5>3{,}16$ donc on monte à $10^{-4}$, tandis que $2{,}1<3{,}16$ donc on reste à $10^{-5}$.

c) On divise : $\frac{10^{-10}}{10^{-15}}=10^{-10-(-15)}=10^{5}$. L'atome est donc environ CENT MILLE fois plus grand que son noyau. Cette division d'ordres de grandeur se fait par simple soustraction des exposants, sans calculatrice, et c'est le principal usage pratique de la notation scientifique.

d) Le rapport reste le même, $10^{5}$. Si l'atome mesure $100$ m, le noyau mesure $\frac{100}{10^{5}}=10^{-3}$ m, soit UN MILLIMÈTRE. Autrement dit, un noyau de la taille d'une tête d'épingle au centre d'un stade, et absolument rien entre les deux hormis les électrons. C'est l'image qui fait comprendre que la matière est essentiellement du vide, et elle serait impossible à saisir à partir des seuls nombres $10^{-10}$ et $10^{-15}$.

e) Un ordre de grandeur sert à trois choses, et aucune ne demande de précision. D'abord à VÉRIFIER un résultat : si l'on calcule la masse d'un atome et qu'on trouve $10^{-3}$ kg, on sait sans rien recalculer que c'est faux, une telle masse étant celle d'un objet macroscopique. Ensuite à COMPARER deux grandeurs sans les mesurer finement, comme en c). Enfin à DÉCIDER si un effet est négligeable : en physique, on néglige couramment une contribution inférieure de deux ordres de grandeur à l'effet principal, c'est-à-dire cent fois plus petite.

C'est pour cette raison qu'un problème de concours commence souvent par une estimation en ordre de grandeur avant tout calcul détaillé : elle coûte trente secondes et elle indique immédiatement si la suite vaut la peine d'être menée.

a) Le point clé est que le facteur de conversion s'élève à la même puissance que l'unité. Comme $1$ cm $=10^{-2}$ m, on a $1$ cm$^{2}=\left(10^{-2}\right)^{2}$ m$^{2}=10^{-4}$ m$^{2}$, et non $10^{-2}$. De même $1$ cm$^{3}=\left(10^{-2}\right)^{3}$ m$^{3}=10^{-6}$ m$^{3}$. Contrôle de bon sens : un carré d'un centimètre de côté est tout petit comparé à un carré d'un mètre de côté, et le rapport est bien de dix mille, puisqu'il faut cent carrés en longueur et cent en largeur.

b) Par définition, $1$ L $=1$ dm$^{3}$. Comme $1$ dm $=10^{-1}$ m, on obtient $1$ L $=\left(10^{-1}\right)^{3}$ m$^{3}=10^{-3}$ m$^{3}$. Autrement dit un mètre cube contient mille litres, ce qui se retient facilement en imaginant un cube d'un mètre de côté rempli de briques de lait.

c) On convertit numérateur et dénominateur séparément. Au numérateur, $1{,}0$ g $=1{,}0\times 10^{-3}$ kg. Au dénominateur, $1$ cm$^{3}=10^{-6}$ m$^{3}$ d'après a). Donc $1{,}0$ g/cm$^{3}=\frac{10^{-3}}{10^{-6}}$ kg/m$^{3}=10^{3}$ kg/m$^{3}$. La masse volumique de l'eau vaut donc $1000$ kg/m$^{3}$, ce qui est la valeur à connaître et qui sert de contrôle à toute conversion de ce type.

d) $72$ km/h $=\frac{72\times 10^{3}\ \text{m}}{3600\ \text{s}}=\frac{72\,000}{3600}=20$ m/s. Le raccourci consiste à diviser par $3{,}6$, puisque $\frac{10^{3}}{3600}=\frac{1}{3{,}6}$. Contrôle de plausibilité : $20$ m/s est bien inférieur à $72$, ce qui est normal puisque la seconde est une unité de temps beaucoup plus courte que l'heure.

e) La méthode sûre consiste à écrire la conversion comme une MULTIPLICATION PAR UN, en fabriquant une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont égaux. Pour convertir $72$ km/h, on écrit $72\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\times\frac{10^{3}\ \text{m}}{1\ \text{km}}\times\frac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}}$ : chaque fraction vaut $1$, donc la valeur physique ne change pas, et les unités indésirables se SIMPLIFIENT comme des variables algébriques. Il ne reste que des mètres par seconde.

L'avantage décisif de cette méthode est qu'elle rend l'erreur de sens impossible : si l'on place le facteur à l'envers, les unités ne se simplifient pas et l'on obtient un résultat en km$^{2}$/(h·m) ou une aberration du même genre, ce qui saute aux yeux. Elle gère aussi les puissances toute seule, puisque $\frac{10^{-2}\ \text{m}}{1\ \text{cm}}$ élevé au carré donne bien $10^{-4}$.

a) On calcule la dimension du contenu de la racine. Une longueur a pour dimension $L$. Une accélération est une vitesse par unité de temps, donc $\left[g\right]=L\cdot T^{-2}$. Le quotient vaut $\left[\frac{\ell}{g}\right]=\frac{L}{L\cdot T^{-2}}=T^{2}$, les longueurs se simplifiant. La racine carrée donne $T$, c'est-à-dire une durée. Le facteur $2\pi$ est un nombre pur, sans dimension, et ne change donc rien. La formule est homogène ✓. Contrôle numérique avec $\ell=1{,}0$ m et $g=9{,}81$ m/s$^{2}$ : $T=2\pi\sqrt{\frac{1{,}0}{9{,}81}}\approx 2{,}0$ s, une valeur plausible pour un pendule d'un mètre.

b) On isole la constante : $G=\frac{F\,r^{2}}{m_{1}m_{2}}$. En unités, une force se mesure en newtons, une distance en mètres, une masse en kilogrammes, donc $G$ s'exprime en $\mathrm{N\cdot m^{2}\cdot kg^{-2}}$. On peut aller plus loin en décomposant le newton, puisque $1\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}}$ d'après la deuxième loi de Newton : $G$ s'exprime alors en $\mathrm{m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$. Les deux écritures sont correctes et équivalentes, la seconde étant celle qui figure dans les tables.

c) On compare les dimensions des deux membres. Une énergie est le produit d'une force par une longueur, donc $\left[E\right]=M\cdot L\cdot T^{-2}\times L=M\cdot L^{2}\cdot T^{-2}$. Le membre proposé donne $\left[\frac{1}{2}mv\right]=M\times L\cdot T^{-1}=M\cdot L\cdot T^{-1}$. Les deux ne coïncident pas : il manque un facteur $L\cdot T^{-1}$, c'est-à-dire précisément une vitesse. La formule est donc FAUSSE, et l'analyse dimensionnelle indique même la nature de l'erreur, à savoir qu'il faut une vitesse de plus, ce qui oriente vers $\frac{1}{2}mv^{2}$ ✓.

d) NON, et c'est la limite essentielle de la méthode. L'analyse dimensionnelle ne teste que les dimensions, et elle est donc AVEUGLE à tout facteur numérique sans dimension. Les formules $E_{c}=\frac{1}{2}mv^{2}$, $E=mv^{2}$ et $E=17mv^{2}$ sont toutes trois parfaitement homogènes, alors qu'une seule est juste.

L'analyse dimensionnelle est donc un test de RÉFUTATION, jamais de validation : elle permet d'éliminer une formule à coup sûr, mais jamais de la confirmer. C'est exactement la même asymétrie que celle du contre-exemple en mathématiques, où un seul cas réfute alors qu'aucun nombre de cas ne démontre. Son usage pratique en examen est double : vérifier une formule qu'on a reconstituée de mémoire, et retrouver l'unité d'une constante qu'on a oubliée, comme en b).

a) On arrondit d'abord l'INCERTITUDE, à deux chiffres significatifs ici : $u(L)=0{,}023$ m, qui est déjà sous cette forme. On arrondit ensuite la VALEUR à la même position décimale, c'est-à-dire au millième : $12{,}3456$ devient $12{,}346$. Résultat : $L=(12{,}346\pm 0{,}023)$ m. Erreur classique à éviter : écrire $L=12{,}3456\pm 0{,}023$ m, qui annonce une valeur au dixième de millimètre tout en avouant une incertitude de $23$ millimètres. Les deux affirmations se contredisent.

b) L'incertitude $0{,}148$ s s'arrondit à $0{,}15$ s avec deux chiffres significatifs. La valeur doit alors être donnée au centième, or elle n'est connue qu'au dixième : on l'écrit $3{,}70$ s. Résultat : $t=(3{,}70\pm 0{,}15)$ s. Ce cas montre qu'il faut parfois AJOUTER un zéro à la valeur pour l'aligner sur l'incertitude, et ce zéro est significatif.

c) Première règle : l'incertitude s'écrit avec un ou deux chiffres significatifs, jamais davantage, car une incertitude est elle-même une estimation et lui donner cinq chiffres n'aurait aucun sens. Deuxième règle : la valeur mesurée s'arrondit à la MÊME position décimale que l'incertitude, ni plus précisément ni moins. Ces deux règles se contrôlent d'un coup d'œil : dans un résultat correctement écrit, le dernier chiffre de la valeur et le dernier chiffre de l'incertitude occupent la même colonne.

d) Cela signifie que la vraie valeur de la longueur n'est pas connue exactement, mais qu'elle se situe très probablement dans l'intervalle $[12{,}323\ ;\ 12{,}369]$ m, obtenu en retranchant puis en ajoutant l'incertitude.

Deux précisions importantes sur ce que l'écriture ne dit PAS. Elle n'affirme pas que la vraie valeur est forcément dans l'intervalle : avec une incertitude-type simple, la probabilité est d'environ $68$ pour cent, et l'on double l'incertitude pour atteindre environ $95$ pour cent. Elle n'affirme pas non plus que $12{,}346$ est plus probable que $12{,}340$ : l'incertitude décrit un intervalle de valeurs compatibles avec la mesure, pas une valeur vraie assortie d'une marge décorative. C'est cette lecture en intervalle qui permettra, à l'exercice 8, de décider si deux mesures sont compatibles entre elles.

a) L'incertitude relative est le quotient de l'incertitude par la valeur, et c'est un nombre SANS UNITÉ, souvent exprimé en pourcentage. Pour la masse : $\frac{u(m)}{m}=\frac{0{,}1}{25{,}0}=0{,}0040$, soit $0{,}40$ pour cent. Pour le volume : $\frac{u(V)}{V}=\frac{0{,}2}{10{,}0}=0{,}020$, soit $2{,}0$ pour cent. La comparaison est déjà parlante : le volume est mesuré cinq fois moins précisément que la masse.

b) La masse volumique vaut $\rho=\frac{25{,}0}{10{,}0}=2{,}50$ g/mL. Pour l'incertitude relative, on compose en quadrature : $\frac{u(\rho)}{\rho}=\sqrt{0{,}0040^{2}+0{,}020^{2}}=\sqrt{1{,}6\times 10^{-5}+4{,}0\times 10^{-4}}=\sqrt{4{,}16\times 10^{-4}}\approx 0{,}0204$, soit environ $2{,}0$ pour cent. Observez le résultat : la composition en quadrature donne $2{,}04$ pour cent alors que le seul volume en apportait déjà $2{,}0$. La petite incertitude n'a presque rien ajouté.

c) On revient à l'incertitude ABSOLUE en multipliant par la valeur : $u(\rho)=2{,}50\times 0{,}0204\approx 0{,}051$ g/mL. On arrondit l'incertitude à $0{,}05$ g/mL, puis la valeur à la même position décimale : $\rho=(2{,}50\pm 0{,}05)$ g/mL. Notez le passage systématique relatif vers absolu à la fin : on compose en relatif parce que c'est la règle du produit, mais on ÉCRIT toujours le résultat en absolu.

d) C'est le VOLUME qui limite tout, avec ses $2{,}0$ pour cent contre $0{,}40$ pour cent pour la masse. La quadrature explique pourquoi de façon frappante : $\sqrt{0{,}0040^{2}+0{,}020^{2}}=0{,}0204$, à comparer aux $0{,}020$ qu'on obtiendrait en ignorant complètement la masse. L'incertitude sur la masse ne contribue qu'à hauteur de $0{,}0004$, soit deux pour cent de l'incertitude totale.

La conséquence pratique est nette, et c'est le vrai enseignement de l'exercice : acheter une balance dix fois plus précise ne changerait quasiment RIEN au résultat final, alors que passer de l'éprouvette graduée à une pipette jaugée le diviserait presque par cinq. C'est la règle générale de la propagation en quadrature : le terme le plus grand écrase les autres, et l'on améliore une mesure en s'attaquant à son maillon faible, jamais en perfectionnant ce qui est déjà bon. La figure du corrigé pose les deux incertitudes relatives sur les côtés d'un triangle rectangle : l'incertitude totale en est l'hypoténuse, et elle dépasse à peine le grand côté.

a) On calcule l'écart normalisé : $z=\frac{|9{,}75-9{,}81|}{0{,}08}=\frac{0{,}06}{0{,}08}=0{,}75$. Comme $z=0{,}75\leq 2$, les deux valeurs sont COMPATIBLES. L'écart observé de $0{,}06$ m/s$^{2}$ s'explique entièrement par l'incertitude de la mesure, il n'y a rien à expliquer de plus. On peut le voir autrement : l'intervalle $[9{,}67\ ;\ 9{,}83]$ contient bien la valeur de référence $9{,}81$.

b) $z=\frac{|9{,}55-9{,}81|}{0{,}08}=\frac{0{,}26}{0{,}08}=3{,}25$. Comme $z>2$, les valeurs ne sont PAS compatibles : l'écart est trop grand pour être attribué au hasard des mesures. Il faut donc chercher une cause, et le vocabulaire compte ici. On ne dit pas que la mesure est fausse, on dit qu'elle révèle probablement une ERREUR SYSTÉMATIQUE, c'est-à-dire un biais qui décale toutes les mesures dans le même sens : un chronomètre déclenché en retard, une longueur mesurée depuis le mauvais point d'attache, un instrument mal étalonné.

c) Parce qu'une incertitude-type ne délimite pas un intervalle certain. Avec $z\leq 1$, la vraie valeur n'a qu'environ $68$ pour cent de chances de se trouver dans l'intervalle, si bien qu'une mesure correcte sur trois serait déclarée incompatible à tort : le critère rejetterait des mesures parfaitement bonnes. Le seuil $z\leq 2$ correspond à environ $95$ pour cent, ce qui ramène ce risque à une mesure sur vingt. C'est le compromis retenu par convention en physique-chimie au lycée, et il faut savoir le citer.

d) La conclusion est trompeuse, et c'est le piège de la question. L'écart normalisé vaut certes $z=\frac{|9{,}810-9{,}81|}{0{,}200}=0$, ce qui est parfait en apparence. Mais l'incertitude annoncée, $0{,}200$ m/s$^{2}$, est ÉNORME : elle vaut $2$ pour cent de la valeur, et l'intervalle $[9{,}61\ ;\ 10{,}01]$ est si large qu'il aurait contenu la référence quelle que soit à peu près la mesure obtenue.

Une mesure imprécise est donc facilement compatible avec tout, et cela ne prouve rien. On voit ici que l'écart normalisé ne se lit jamais seul : il faut le lire AVEC l'incertitude. Un $z$ petit obtenu avec une grande incertitude est un non-résultat, tandis qu'un $z$ petit obtenu avec une petite incertitude est un résultat solide. Notez au passage l'incohérence d'écriture de l'énoncé : une incertitude écrite $0{,}200$, avec trois chiffres significatifs, viole la première règle de l'exercice 6. L'écriture correcte, $g=(9{,}8\pm 0{,}2)$ m/s$^{2}$, montre aussitôt la faiblesse de la mesure, et c'est le premier indice qui aurait dû mettre la puce à l'oreille.

a) La moyenne vaut $\frac{24{,}1+24{,}3+24{,}0+24{,}2+24{,}4+24{,}0}{6}=\frac{145{,}0}{6}\approx 24{,}17$ cm. Les six valeurs se répartissent de part et d'autre de cette moyenne, certaines au-dessus et d'autres en dessous, sans direction privilégiée : c'est la signature d'une ERREUR ALÉATOIRE. Elle provient du hasard de la lecture, de la position de l'œil, de la coïncidence imparfaite du zéro avec le bord de l'objet. Sa propriété essentielle est qu'elle se compense en moyenne, et c'est pourquoi répéter la mesure améliore le résultat : l'incertitude sur la moyenne décroît comme $\frac{1}{\sqrt{n}}$, donc quatre fois plus de mesures divisent l'incertitude par deux.

b) C'est une ERREUR SYSTÉMATIQUE, un biais qui affecte TOUTES les mesures de la même façon et dans le même sens. Toutes les valeurs sont trop grandes de $0{,}5$ cm, puisqu'on a compté une demi-longueur qui n'existe pas. La vraie longueur est donc $24{,}17-0{,}50\approx 23{,}67$ cm. Notez que la dispersion des six mesures, elle, n'a pas changé du tout : le biais a déplacé l'ensemble du nuage sans l'élargir.

c) NON, absolument pas, et c'est le point central de l'exercice. Répéter la mesure ne réduit que la part ALÉATOIRE. Avec cent mesures, la moyenne se serait resserrée autour de $24{,}17$ cm avec une incertitude très faible, et l'on aurait obtenu un résultat très PRÉCIS et pourtant FAUX de $0{,}5$ cm. Pire encore, la petite incertitude affichée aurait donné une fausse confiance dans un résultat biaisé. Précision et justesse sont donc deux qualités distinctes : la précision mesure la reproductibilité, la justesse mesure l'accord avec la vraie valeur, et l'on peut être très précis tout en étant nettement à côté. La figure du corrigé pose les quatre cas sur une cible : la dispersion des impacts dit la fidélité, leur décalage moyen dit la justesse.

d) Justement pas en regardant la dispersion, qui n'en garde aucune trace. Trois moyens existent, et ils sont tous des recoupements EXTÉRIEURS à la série de mesures. Le premier est de comparer à une valeur de référence connue par l'écart normalisé de l'exercice 8 : un $z$ élevé malgré une petite incertitude est la signature typique d'un biais. Le deuxième est de changer d'instrument ou de méthode : si une seconde règle donne $23{,}7$ cm là où la première donnait $24{,}2$ cm, le désaccord dénonce l'une des deux. Le troisième est de vérifier l'étalonnage avant de commencer, en mesurant un objet de dimension connue, ce qui est la raison d'être du zéro d'une balance et des solutions étalons en chimie.

Résumé à retenir : l'erreur aléatoire se combat en RÉPÉTANT, l'erreur systématique en RECOUPANT. Confondre les deux conduit à passer un temps considérable à améliorer une précision qui n'était pas le problème.

a) La vitesse vaut $v=\frac{d}{t}=\frac{100{,}0}{0{,}294}\approx 340{,}14$ m/s, valeur qu'on conserve entière pour l'instant sans arrondir, conformément à l'exercice 2. Incertitudes relatives : $\frac{u(d)}{d}=\frac{0{,}5}{100{,}0}=0{,}0050$, soit $0{,}50$ pour cent, et $\frac{u(t)}{t}=\frac{0{,}004}{0{,}294}\approx 0{,}0136$, soit $1{,}4$ pour cent. La durée est donc mesurée près de trois fois moins précisément que la distance.

b) La vitesse est un quotient, on compose donc en quadrature comme à l'exercice 7 : $\frac{u(v)}{v}=\sqrt{0{,}0050^{2}+0{,}0136^{2}}=\sqrt{2{,}5\times 10^{-5}+1{,}85\times 10^{-4}}=\sqrt{2{,}10\times 10^{-4}}\approx 0{,}0145$, soit environ $1{,}4$ pour cent. On revient ensuite à l'absolu : $u(v)=340{,}14\times 0{,}0145\approx 4{,}9$ m/s.

c) On arrondit l'incertitude à deux chiffres significatifs, $u(v)\approx 4{,}9$ m/s, que l'on peut ramener à $5$ m/s avec un seul chiffre. En alignant la valeur sur la même position décimale : $v=(340\pm 5)$ m/s. Il serait incorrect d'écrire $v=340{,}14\pm 4{,}9$ m/s, qui annonce le centième de mètre par seconde tout en avouant une incertitude de cinq unités.

d) Écart normalisé : $z=\frac{|340{,}14-343|}{4{,}9}=\frac{2{,}86}{4{,}9}\approx 0{,}58$. Comme $z\leq 2$, la mesure est COMPATIBLE avec la valeur de référence. L'écart de près de $3$ m/s observé s'explique entièrement par l'incertitude expérimentale, et il n'y a aucune erreur systématique à soupçonner.

Pour gagner en précision, il faut s'attaquer au maillon faible, qui est ici la DURÉE avec ses $1{,}4$ pour cent contre $0{,}50$ pour cent pour la distance. Améliorer la mesure de distance ne servirait presque à rien, la quadrature montrant que sa contribution est déjà écrasée. Deux voies concrètes s'offrent : repérer l'émission et l'écho sur l'enregistrement d'un microphone plutôt que de déclencher un chronomètre à la main, le temps de réaction humain, de l'ordre de $0{,}2$ s, étant cinquante fois l'incertitude annoncée, ou bien allonger la distance pour que la durée mesurée soit plus grande, l'incertitude absolue de déclenchement restant la même tandis que la durée augmente. Doubler la distance diviserait ainsi par deux l'incertitude relative sur le temps, et c'est la solution la moins coûteuse.

a) La somme des seize valeurs vaut $226{,}40$ mL, donc $\bar{V}_{E}=\frac{226{,}40}{16}=14{,}15$ mL. On garde toutes les décimales de la moyenne pour la suite : c'est un résultat intermédiaire, et on n'arrondit que le résultat final.

b) On compte classe par classe, en surveillant les valeurs qui tombent PILE sur une borne. $[14{,}00\,;14{,}10[$ contient $14{,}00$ et les deux $14{,}05$ : effectif $3$. Les quatre $14{,}10$ ne vont PAS dans cette classe, puisque sa borne de droite est exclue : avec les trois $14{,}15$, ils font $7$ valeurs dans $[14{,}10\,;14{,}20[$. Puis $5$ valeurs dans $[14{,}20\,;14{,}30[$ (trois $14{,}20$, deux $14{,}25$) et $1$ dans $[14{,}30\,;14{,}40[$. Contrôle : $3+7+5+1=16$. Les classes ont toutes la même largeur, donc chaque rectangle a pour hauteur l'effectif de sa classe, et les rectangles sont accolés. L'histogramme a une forme en cloche, un peu dissymétrique, avec un maximum au milieu : c'est la signature d'erreurs ALÉATOIRES, qui écartent les résultats de part et d'autre d'une valeur centrale.

c) Les écarts à la moyenne au carré totalisent $\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}=0{,}1200\ \mathrm{mL^{2}}$, donc $s=\sqrt{\frac{0{,}1200}{15}}=\sqrt{0{,}008}\approx 0{,}089$ mL, dans l'unité des mesures. L'écart-type mesure la DISPERSION d'une mesure individuelle : un binôme pris au hasard s'écarte typiquement de $0{,}09$ mL de la moyenne de la classe. Piège de calculatrice : la touche qui divise par $n=16$ au lieu de $n-1=15$ donne $0{,}087$ mL. Le programme demande l'écart-type EXPÉRIMENTAL, divisé par $n-1$ (noté $s$, $s_{x}$ ou $\sigma_{n-1}$ selon les modèles).

d) L'intervalle $[\bar{V}_{E}-s\,;\bar{V}_{E}+s]$ va de $14{,}061$ à $14{,}239$ mL : il contient les quatre $14{,}10$, les trois $14{,}15$ et les trois $14{,}20$, soit $10$ valeurs sur $16$, c'est-à-dire $62{,}5\ \%$. L'intervalle à $2s$ va de $13{,}971$ à $14{,}329$ mL : seul $14{,}35$ en sort, donc $15$ valeurs sur $16$, soit $93{,}75\ \%$. Ces proportions sont proches de celles d'une distribution en cloche idéale, environ $68\ \%$ à $1s$ et $95\ \%$ à $2s$, et avec seize valeurs on ne peut pas espérer un meilleur accord : un binôme de plus ou de moins dans l'intervalle déplace le pourcentage de six points.

e) Avec dix-sept valeurs, la somme devient $226{,}40+14{,}90=241{,}30$ mL, la moyenne $\frac{241{,}30}{17}\approx 14{,}19$ mL et l'écart-type $s\approx 0{,}20$ mL : UNE seule valeur fait plus que doubler la dispersion. Elle se trouve à $\frac{14{,}90-14{,}15}{0{,}089}\approx 8{,}4$ écarts-types de la moyenne, alors qu'aucune des seize autres n'en est à plus de $2{,}3$. Il ne faut pas l'ajouter, et la raison n'est pas qu'elle « dérange » : une série statistique réunit des mesures indépendantes d'une même grandeur faites avec le MÊME protocole. Ce binôme a changé d'instrument, l'éprouvette graduée étant bien moins précise que la pipette jaugée, et sa valeur mesure donc autre chose. On la traite à part, en discutant l'influence de l'instrument, comme le demande le programme.

À retenir : la moyenne dit où se trouve la valeur, l'écart-type dit à quel point une mesure isolée est fiable, et l'histogramme dit si la dispersion ressemble à du hasard. Aucun des trois ne se calcule sur un mélange de protocoles.