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Cégep • Montréal

Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Le calcul différentiel du profil « avec mathématiques » suit la même progression que celui de sciences de la nature, des limites à l'optimisation, mais il se termine sur l'économie plutôt que sur la physique. Chaque chapitre a sa propre série, écrite sur le découpage du devis de sciences humaines et non sur celui du 201-SN2-RE (ancien 201-NYA), jusqu'à l'analyse marginale et à l'élasticité qui terminent le cours.

12 séries d'exercices entièrement corrigés (132 exercices), 12 fiches de révision, un examen blanc. Gratuit, sans compte. Le même cours en anglais.

Fonctions, limites et continuité

  1. 1 Les fonctions et leur domaine Le test de la droite verticale sur un modèle de chômage, les trois seuls interdits du domaine algébrique, un forfait par tranches et son point de discontinuité, le domaine qui rétrécit quand on divise deux fonctions, la composition de deux modèles économiques. Puis une partie niveau examen : la demande et sa réciproque, les trois familles de modèles linéaire, exponentiel et logistique avec leurs asymptotes, cinq affirmations à corriger, une grille tarifaire de service de garde progressive en dollars et régressive en pourcentage, et un rapport de bibliothèque à mettre en équations. En ouverture, un exercice de calculs : douze domaines à déterminer directement, de la fraction rationnelle à la fonction définie par morceaux. Fiche
  2. 2 Les limites et la continuité Lire des limites unilatérales sur un graphique à trou et à saut, lever une indétermination zéro sur zéro par factorisation, développement et conjugué, le terme dominant et les asymptotes horizontales, deux budgets dont l'écart absolu explose et l'écart relatif s'annule, le taux de récupération qui rend un barème d'aide continu. Puis une partie niveau examen : le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à un seuil de population, l'asymptote verticale du temps d'attente à un guichet, cinq affirmations à corriger, le coût moyen d'un sondage entre son explosion en zéro et son plancher à l'infini, et un rapport municipal qui confond croissant et non borné. En ouverture, un exercice de calculs : douze limites à calculer directement, de la substitution à la forme infini moins infini. Fiche

La dérivée et ses règles

  1. 3 La dérivée et les règles de dérivation Le taux moyen qui devient instantané et le trou en h égale zéro, les règles de puissance, de produit et de quotient avec leurs deux pièges de signe, la règle de chaîne sur une chaîne de modèles, la tangente et les unités d'une dérivée première et seconde, et la différence entre une hausse qui ralentit et une baisse. Puis une partie niveau examen : les trois façons de perdre sa dérivée dont la pointe d'un barème à tranches, le taux de variation relatif en pourcentage par année, cinq affirmations à corriger, un taux de diplomation ajusté depuis un tableau de données, et une campagne de financement où donateurs et don moyen évoluent en sens contraires. En ouverture, deux exercices de calculs, douze dérivées à calculer directement avec les formules et dix tangentes à écrire. Fiche
  2. 4 Exponentielle et logarithme La dérivée de l'exponentielle et le facteur laissé par la base, le logarithme dont le domaine se lit avant la dérivée, la règle de chaîne sur les modèles emboîtés, le taux relatif constant qui signe une exponentielle, et le temps de doublement avec la règle de 70 des économistes. Puis une partie niveau examen : l'échelle semi-logarithmique où une exponentielle devient une droite, la dérivation logarithmique et les taux relatifs qui s'additionnent, cinq affirmations à corriger, l'intérêt composé jusqu'à la capitalisation continue et son taux effectif, et la courbe de l'oubli d'Ebbinghaus. En ouverture, un exercice de calculs : douze dérivées à calculer directement, de l'exponentielle de base quelconque à la puissance d'un logarithme. Fiche
  3. 5 La dérivation implicite La technique au complet sur des contraintes d'équilibre : une courbe d'offre de travail qui se retourne et dont le salaire n'est fonction de rien, l'endroit exact où naît le facteur que tout le monde oublie, la voie implicite opposée à la voie explicite quand les deux sont possibles, le taux marginal de transformation sur une frontière des possibilités de production et la dérivation logarithmique sur une fonction de production. Puis une partie niveau examen : le taux marginal de substitution démontré puis chiffré en quatre points, trois familles de préférences et trois comportements de ce taux, cinq affirmations à corriger, le ratio de sacrifice d'une courbe de Phillips, et le choix du consommateur bouclé. En ouverture, un exercice de calculs : dix dérivées implicites à calculer directement, du cercle à la dérivation logarithmique. Fiche

Applications de la dérivée

  1. 6 Les taux de variation liés La méthode en cinq gestes sur le délai de traitement d'un service, l'erreur de la substitution avant dérivation sur un salaire moyen qui baisse pendant que la masse salariale monte, un produit dont le prix baisse et le volume monte, un stock et ses flux démographiques, et une chaîne à trois maillons qui va de l'investissement au temps d'attente. Puis une partie niveau examen : la règle des taux relatifs démontrée, une part de marché plafonnée dont la contribution s'inverse, cinq affirmations à corriger, la densité d'une ville qui s'étale, et un taux de chômage qui baisse sans qu'aucun emploi n'ait été créé. En ouverture, un exercice de calculs : dix relations à dériver directement par rapport au temps, de la somme pondérée au taux relatif d'un produit de puissances. Fiche
  2. 7 La différentielle et l'approximation La différentielle comparée à l'accroissement réel sur un budget de programme, la linéarisation qui prévoit sans recalculer, les erreurs relatives qui s'additionnent dans un produit comme dans un quotient, la sensibilité d'un placement au taux d'intérêt, et le cas où l'approximation linéaire s'effondre près d'une asymptote. Puis une partie niveau examen : la marge d'incertitude d'un taux de chômage et ce qu'un rapport a le droit de commenter, le problème inverse de la précision à exiger, cinq affirmations à corriger, l'indice des prix contre le salaire nominal, et le choix de la variable sur laquelle porter l'effort de mesure. En ouverture, un exercice de calculs : dix différentielles et estimations à calculer directement, de la racine carrée aux erreurs relatives. Fiche
  3. 8 L'étude complète de fonction Le domaine et les trois types d'asymptotes dont l'oblique, le tableau de variation complet d'un coût d'infrastructure par logement, le test de la dérivée première sur un indicateur cubique, la concavité avec le cas où le test de la dérivée seconde reste muet, et l'étude d'un modèle logistique d'adoption. Puis une partie niveau examen : remonter de la dérivée publiée à la fonction, les trois sortes de candidats à un extremum absolu, cinq affirmations à corriger, l'étude complète d'une courbe de recette fiscale, et la critique d'un tableau de variation publié dans un rapport. En ouverture, un exercice de calculs : dix fonctions dont on trouve directement les nombres critiques et les points d'inflexion, de la parabole à la fonction avec racine. Fiche
  4. 9 L'optimisation appliquée Le partage d'un budget entre prévention et traitement, deux coûts opposés qui donnent un nombre optimal de points de service, la taille d'échantillon qui minimise le coût total d'une enquête, la durée optimale d'une formation, et le cas où un plafond réglementaire déplace l'optimum à la borne. Puis une partie niveau examen : un optimum en nombre entier où l'arrondi se trompe, le rendement par dollar opposé à l'effet net, cinq affirmations à corriger, le nombre de places d'un service de garde subventionné, et l'arbitrage entre couverture et profondeur d'un programme. Fiche

Fonctions trigonométriques

  1. 10 Les fonctions trigonométriques et leurs dérivées Le cercle, les radians et les identités en rappel, la limite de sinus sur x qui est une forme indéterminée 0 sur 0 et d'où sort toute la table, les quatre paramètres d'un modèle périodique lus sur douze mois de ventes réelles, et les dérivées du sinus, du cosinus et de la tangente établies puis vérifiées par l'identité de duplication. Puis une partie niveau examen : la règle de chaîne sur un modèle saisonnier et le facteur qu'on oublie, le mois où la croissance est la plus rapide qui n'est jamais celui du pic, cinq affirmations à corriger, l'affluence d'une urgence sur sept jours avec son tableau de variation, et deux cycles superposés ramenés à un seul par l'identité d'addition. En ouverture, un exercice de calculs : dix dérivées de sinus, cosinus et tangente à calculer directement, de la composée au produit de deux fonctions trigonométriques. Fiche

Le calcul en économie

  1. 11 L'analyse marginale Coût fixe, coût variable et coût marginal comme dérivée, la fonction de demande et le revenu marginal qui décroît deux fois plus vite que le prix, la règle du revenu marginal égal au coût marginal, le coût moyen minimal là où il croise le coût marginal, la dérivée comme approximation de l'unité suivante. Puis une partie niveau examen : les deux seuils de rentabilité par une étude de signe, les rendements décroissants et le point d'inflexion, cinq affirmations à corriger, une coopérative étudiante traitée de bout en bout, et un article de gestion dont chaque calcul est faux. En ouverture, un exercice de calculs : dix grandeurs marginales à calculer directement, du coût marginal au revenu marginal égal au coût marginal. Fiche
  2. 12 Élasticité et optimisation économique L'élasticité-prix de la demande et son calcul point par point, la règle qui relie élasticité et revenu total, les élasticités revenu et croisée avec leurs classifications de biens, l'optimisation sous contrainte en quatre étapes, les taux liés appliqués au coût et au profit. Puis une partie niveau examen : la démonstration qu'un optimum de profit se situe toujours en zone élastique, une taxe unitaire avec son partage et ses recettes maximales, cinq affirmations à corriger, la décision de prix d'une cafétéria chiffrée scénario par scénario, et une note d'analyse fiscale à réécrire. En ouverture, un exercice de calculs : dix élasticités à calculer directement, de la demande affine à l'élasticité-arc. Fiche

Quand les chapitres sont faits

Une épreuve complète, en conditions d'examen. À faire une fois derrière vous les chapitres qu'elle couvre : elle mesure ce que vous savez faire sur une question jamais vue.

Examen blanc

Examen blanc de synthèse

Trois heures et dix exercices sur tout le cours : quatre limites et une continuité par prolongement, les règles du produit, du quotient et de la chaîne, exponentielle et logarithme en croissance et rendement décroissant, l'étude complète d'une cubique avec ses bornes, l'optimisation d'un conteneur sous contrainte de volume. Puis l'analyse marginale menée jusqu'au coût moyen, l'élasticité et la comparaison des prix de revenu et de profit maximaux, les taux liés, cinq affirmations à corriger, et un rapport de comité qui confond coût moyen et coût marginal.

  • 10 exercices
  • 100 points
  • 180 minutes
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Ce qu'il faut tenir avant

Le programme de Calcul différentiel, Sciences humaines (201-103) s'appuie sur 4 chapitres venus d'avant. Ce ne sont pas des révisions de confort : chacun est le point d'appui d'un chapitre listé ci-dessus, et un élève qui décroche en cours d'année décroche presque toujours sur l'un d'eux. Tous ont leur fiche de révision, à lire d'une traite avant la rentrée.

Secondaire 5, Mathématiques

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