Exercices corrigés : les limites et la continuité (201-103)

a) En approchant 2 par la GAUCHE, on suit la branche $x+3$, qui tend vers $2+3=5$. En approchant par la DROITE, on suit la branche $7-x$, qui tend vers $7-2=5$. Les deux limites unilatérales sont égales, donc $\lim_{x\to 2}f(x)=5$. Mais le rond plein est en $(2\,;3)$ : $f(2)=3$. La limite existe et vaut 5, la valeur existe et vaut 3, et elles diffèrent. C'est le cas qui justifie à lui seul qu'on ait inventé la notion de limite : la fonction sait où elle va sans y être.

b) À gauche de 5, on suit $7-x$, qui tend vers $7-5=2$. À droite, la branche est constante à 4, donc la limite à droite vaut 4. $f(5)=2$, le rond plein. Les deux limites unilatérales sont DIFFÉRENTES, donc $\lim_{x\to 5}f(x)$ N'EXISTE PAS. Écrire « la limite vaut 2 parce que $f(5)=2$ » est l'erreur type : la valeur en un point n'a jamais servi à calculer une limite.

c) En $x=2$, la limite existe mais ne vaut pas $f(2)$ : discontinuité PAR POINT. En $x=5$, les deux limites unilatérales existent et diffèrent : discontinuité PAR SAUT, de hauteur $4-2=2$. Aucune des deux n'est infinie, puisque la fonction reste bornée.

d) Les trois conditions de continuité en $a$ : premièrement $f(a)$ doit exister ; deuxièmement $\lim_{x\to a}f(x)$ doit exister, donc les deux limites unilatérales doivent être égales ; troisièmement les deux doivent coïncider, $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. En $x=2$, les deux premières sont remplies, $f(2)=3$ existe et la limite vaut 5 : c'est la TROISIÈME qui échoue. Nommer laquelle des trois tombe est ce qu'un correcteur cherche dans la copie, pas le mot « discontinue ».

e) Parce qu'une discontinuité par point tient à UNE seule valeur mal placée : en posant $f(2)=5$ au lieu de 3, on obtient une fonction continue en 2 sans toucher à rien d'autre. Le saut, lui, tient à deux limites unilatérales différentes, et aucune valeur choisie en $x=5$ ne peut être à la fois égale à 2 et à 4. On dit que la discontinuité par point est ÉLIMINABLE. C'est exactement ce qu'on fera au chapitre suivant en simplifiant une fraction : la simplification comble le trou, et c'est ce qui rend la dérivée calculable.

a) Substituer donne $\dfrac{0}{0}$. On factorise le numérateur : $q^{2}-16=(q-4)(q+4)$, donc pour $q\ne 4$ la fraction vaut $q+4$. La limite est $4+4=8$. La simplification est licite parce qu'on ne calcule PAS la valeur en 4, on calcule ce qui se passe autour : $q-4$ est non nul tant qu'on n'est pas arrivé.

b) Substituer donne encore $\dfrac{0}{0}$. On factorise les deux : $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ et $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$. Le facteur $(x-3)$ se simplifie et il reste $\dfrac{x-2}{x+3}$, dont la limite en 3 vaut $\dfrac{1}{6}$. Le fait que le facteur commun soit $(x-3)$ n'est pas un hasard : il était garanti par la forme $\dfrac{0}{0}$, puisque 3 annule les deux polynômes.

c) Substituer donne $\dfrac{0}{0}$. On développe : $(5+h)^{2}-25=25+10h+h^{2}-25=10h+h^{2}=h(10+h)$. La fraction vaut donc $10+h$ pour $h\ne 0$, et la limite est 10. Cette limite porte un nom que le chapitre suivant donnera : c'est la DÉRIVÉE de $x^{2}$ en $x=5$. Toute la construction de la dérivée est une indétermination $\dfrac{0}{0}$ levée par factorisation.

d) Substituer donne $\dfrac{0}{0}$, et rien ne se factorise à vue. On multiplie haut et bas par le CONJUGUÉ $\sqrt{x}+1$ : le numérateur devient $(\sqrt{x})^{2}-1^{2}=x-1$, et la fraction vaut $\dfrac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}$. La limite est $\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$. Le conjugué est le troisième outil du chapitre, après la factorisation et le développement, et il se reconnaît à la présence d'une racine dans une différence.

e) Parce que $\dfrac{0}{0}$ n'est pas une valeur, c'est un CONSTAT D'ÉCHEC de la substitution. Les quatre questions précédentes le montrent : la même forme a donné 8, puis $\dfrac{1}{6}$, puis 10, puis $\dfrac{1}{2}$. Une forme qui peut donner n'importe quel nombre ne peut en désigner aucun, d'où le mot INDÉTERMINÉE. Elle n'annonce pas non plus l'absence de limite : les quatre limites existent. Ce qu'elle annonce est plus modeste et plus utile : numérateur et dénominateur s'annulent ensemble, donc ils partagent un facteur, donc il y a quelque chose à simplifier.

a) Les deux degrés valent 2. On divise haut et bas par $x^{2}$ : $\dfrac{3+\dfrac{5}{x}}{2-\dfrac{7}{x^{2}}}$. Les deux fractions tendent vers 0, donc la limite vaut $\dfrac{3}{2}=1{,}5$. Le raccourci, une fois la méthode comprise, est le RAPPORT DES COEFFICIENTS DOMINANTS, ici $\dfrac{3}{2}$. Les termes $5x$ et $-7$ ne disparaissent pas parce qu'ils sont petits, mais parce qu'ils sont négligeables DEVANT $x^{2}$ quand $x$ grandit.

b) Le degré du haut, 1, est inférieur à celui du bas, 2. Le dénominateur l'emporte, donc la limite vaut 0. Asymptote horizontale $y=0$. Autrement dit, une grandeur qui croît linéairement finit toujours par être écrasée par une grandeur qui croît de façon quadratique, si loin qu'on doive aller.

c) Le degré du haut, 3, dépasse celui du bas, 2. Le numérateur l'emporte et la limite vaut $+\infty$ : il n'y a AUCUNE asymptote horizontale. Écrire $\dfrac{2}{5}$ par automatisme est l'erreur la plus fréquente du chapitre ; le rapport des coefficients ne vaut que si les degrés sont ÉGAUX.

d) $M(12)=\dfrac{960}{24}=40$ %, $M(36)=\dfrac{2\,880}{48}=60$ %. Les degrés du haut et du bas valent tous deux 1, donc la limite est le rapport des coefficients dominants, $\dfrac{80}{1}=80$ %. L'asymptote horizontale est $y=80$. Lecture du modèle : la part de marché grimpe vite au début, 40 % au bout d'un an, puis plafonne à 80 % sans jamais les atteindre. Le paramètre 12 est le délai au bout duquel la MOITIÉ du plafond est acquise, ce qui donne le bon ordre de grandeur d'une campagne.

e) Trois cas, et trois lectures. Degré du haut INFÉRIEUR : limite 0, asymptote $y=0$, le modèle s'éteint. Degrés ÉGAUX : limite égale au rapport des coefficients dominants, asymptote horizontale non nulle, le modèle plafonne. Degré du haut SUPÉRIEUR : limite infinie, aucune asymptote horizontale, le modèle explose. Le troisième cas est un signal d'alarme en sciences humaines : une part de marché, un taux, une proportion ne peuvent pas dépasser 100, donc un modèle qui explose est un modèle mal choisi, pas une prédiction.

a) La forme est $\infty-\infty$. On multiplie et divise par le conjugué $\sqrt{x^{2}+6x}+x$ : le numérateur devient $(x^{2}+6x)-x^{2}=6x$, donc l'expression vaut $\dfrac{6x}{\sqrt{x^{2}+6x}+x}$. En divisant haut et bas par $x$, positif à l'infini : $\dfrac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}$, dont la limite est $\dfrac{6}{2}=3$. Le raccourci à retenir pour la suite : $\sqrt{x^{2}+bx}-x$ tend vers $\dfrac{b}{2}$.

b) Même méthode avec le conjugué $x+\sqrt{x^{2}-4x}$ : le numérateur devient $x^{2}-(x^{2}-4x)=4x$, et l'expression vaut $\dfrac{4x}{x+\sqrt{x^{2}-4x}}$, de limite $\dfrac{4}{2}=2$. On retrouve $\dfrac{b}{2}$ au signe près, et l'on voit que la forme $\infty-\infty$ peut parfaitement tendre vers un nombre FINI non nul.

c) $A(t)-B(t)=0{,}5t^{2}+300t-0{,}5t^{2}-280t-5\,000=20t-5\,000$. Les termes quadratiques se détruisent exactement, ce qui était l'indétermination. La limite vaut $+\infty$ : l'écart se creuse sans borne. Il s'annule en $t=\dfrac{5\,000}{20}=250$ ans : avant la 250e année, $B$ a coûté plus cher ; après, c'est $A$. Le montant fixe de 5 000 est absorbé en deux siècles et demi par un écart de 20 par année.

d) $\dfrac{A(t)}{B(t)}=\dfrac{0{,}5t^{2}+300t}{0{,}5t^{2}+280t+5\,000}$. Les deux degrés valent 2, donc la limite est le rapport des coefficients dominants, $\dfrac{0{,}5}{0{,}5}=1$. Les deux programmes finissent donc par coûter la MÊME CHOSE en proportion : leur rapport tend vers 1, c'est-à-dire vers un écart relatif de 0 %.

e) Elles ne sont pas contradictoires, elles ne mesurent pas la même chose. L'écart ABSOLU $A-B$ croît comme $20t$, l'écart RELATIF $\dfrac{A-B}{B}$ se comporte comme $\dfrac{20t}{0{,}5t^{2}}=\dfrac{40}{t}$, qui tend vers 0. Un écart qui grandit en dollars peut devenir négligeable en pourcentage, simplement parce que les deux budgets grandissent plus vite que leur différence. Toute la rhétorique budgétaire tient dans ce choix : celui qui veut alarmer cite les millions d'écart, celui qui veut rassurer cite le pourcentage, et les deux disent la vérité. Savoir lequel des deux quotients a été calculé est exactement ce que le cours apprend à demander.

a) $S$ est continue en $R_{0}$ si $S(R_{0})$ existe, si $\lim_{R\to R_{0}}S(R)$ existe, ce qui exige l'égalité des deux limites unilatérales, et si ces deux nombres coïncident. Sur une fonction par morceaux, cela revient toujours au même calcul : les deux formules qui se rencontrent au point de raccord doivent y donner la même valeur.

b) En $R=70$, la limite à gauche vaut $4\,500-a(70-25)=4\,500-45a$ et la limite à droite vaut 0. L'égalité donne $45a=4\,500$, donc $a=100$. Le barème continu est donc celui qui retire 100 dollars d'aide par millier de dollars de revenu supplémentaire, soit 10 cents par dollar gagné.

c) En $R=25$ : la première formule donne $4\,500$ ; la deuxième donne $4\,500-100\times(25-25)=4\,500$. Les deux coïncident, donc $S$ est continue en 25. La continuité y était acquise d'avance, par la forme même de l'écriture $R-25$ : c'est pour cette raison que les barèmes s'écrivent toujours avec l'écart à la borne inférieure de la tranche, et non avec le revenu brut.

d) $S(50)=4\,500-100\times(50-25)=4\,500-2\,500=2\,000$ dollars. Le nombre $a=100$ est le TAUX DE RÉCUPÉRATION : chaque millier de dollars gagné en plus coûte 100 dollars d'aide. Formulé par dollar, la famille conserve 90 cents sur chaque dollar supplémentaire, les 10 autres étant repris par le barème.

e) Avec $a=120$, la deuxième formule s'annule en $R=25+\dfrac{4\,500}{120}=62{,}5$, puis devient NÉGATIVE entre 62,5 et 70, où elle atteint $4\,500-120\times 45=-900$ dollars. Deux défauts, et le second est le pire. D'abord une aide négative n'a pas de sens : il faudrait tronquer la formule à zéro, donc réécrire le barème. Ensuite, si on ne tronque pas, $S$ présente en $R=70$ un SAUT de $-900$ à 0, c'est-à-dire qu'un ménage à 70 000 dollars de revenu serait mieux traité qu'un ménage à 69 000. Une discontinuité dans un barème public crée toujours une zone où gagner plus fait perdre plus, et c'est exactement ce que la condition de continuité sert à écarter.

a) Si $f$ est CONTINUE sur un intervalle FERMÉ $[a\,;b]$, et si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un $c$ dans $[a\,;b]$ tel que $f(c)=k$. Trois hypothèses, et aucune n'est décorative : la continuité, l'intervalle fermé, et l'encadrement de $k$ par les deux valeurs aux bornes. La conclusion est une EXISTENCE, jamais une valeur.

b) $P(8)=-0{,}2\times 512+6\times 64+160+4\,000=-102{,}4+384+160+4\,000=4\,441{,}6$. $P(9)=-0{,}2\times 729+6\times 81+180+4\,000=-145{,}8+486+180+4\,000=4\,520{,}2$. $P$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[8\,;9]$. Comme $4\,441{,}6<4\,500<4\,520{,}2$, le théorème donne l'existence d'un $t$ dans $[8\,;9]$ tel que $P(t)=4\,500$ : la commune a franchi le seuil entre 2018 et 2019.

c) $P(8{,}5)=-0{,}2\times 614{,}125+6\times 72{,}25+170+4\,000=-122{,}825+433{,}5+170+4\,000=4\,480{,}675$, encore sous le seuil. On applique le théorème à $[8{,}5\,;9]$. Puis $P(8{,}75)=-0{,}2\times 669{,}921\,875+6\times 76{,}562\,5+175+4\,000=-133{,}984+459{,}375+175+4\,000=4\,500{,}39$, cette fois au-dessus. Le moment cherché est donc dans $[8{,}5\,;8{,}75]$, et même très près de 8,75. Deux applications du théorème ont divisé l'incertitude par quatre, sans jamais résoudre l'équation du troisième degré.

d) Non. Le théorème donne « il existe AU MOINS un $c$ » : il ne dit rien du nombre de solutions. Ici la courbe monte sans redescendre sur $[8\,;9]$, ce qui assure l'unicité, mais cette information vient de la MONOTONIE, pas du théorème. Un modèle qui franchirait le seuil, redescendrait, puis le franchirait de nouveau vérifierait les mêmes hypothèses avec trois solutions.

e) Non, et c'est la continuité qui manque. Le forfait saute de 255 à 250 dollars en $x=50$ : aucune consommation ne fait payer 252 dollars, alors que 252 est bien compris entre les valeurs prises avant et après. Ce que l'on perd est exactement la conclusion du théorème, l'existence d'un antécédent pour chaque valeur intermédiaire. C'est le contre-exemple qu'il faut avoir en tête pour ne jamais invoquer le théorème sans vérifier son hypothèse la moins visible : une fonction définie par morceaux n'est continue que si on l'a vérifié.

a) $W(0{,}5)=\dfrac{0{,}5}{0{,}5}=1$ ; $W(0{,}8)=\dfrac{0{,}8}{0{,}2}=4$ ; $W(0{,}9)=\dfrac{0{,}9}{0{,}1}=9$ ; $W(0{,}95)=\dfrac{0{,}95}{0{,}05}=19$. Le taux d'utilisation passe de 50 % à 95 %, soit moins du double, et l'attente est multipliée par 19. Aucune intuition linéaire ne survit à ce tableau, et c'est bien pour cela qu'on le calcule.

b) Quand $\rho\to 1^{-}$, le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers $0^{+}$ : le quotient tend vers $+\infty$. La droite $\rho=1$ est une ASYMPTOTE VERTICALE. Le signe du dénominateur est ce qu'il faut soigner : il est positif tant que $\rho<1$, donc la limite est $+\infty$ et non $-\infty$. Un quotient dont le dénominateur tend vers zéro n'a de limite infinie signée que si l'on a déterminé de quel côté zéro est approché.

c) Le domaine est $[0\,;1[$ : $\rho$ est une proportion, donc positif, et $\rho=1$ est exclu par le dénominateur. En $\rho\to 0^{+}$, $W$ tend vers 0, ce qui se lit sans calcul : un guichet presque toujours libre ne fait attendre personne.

d) De $0{,}50$ à $0{,}55$ : $W$ passe de 1 à $\dfrac{0{,}55}{0{,}45}\approx 1{,}22$, soit $+0{,}22$ durée de service. De $0{,}90$ à $0{,}95$ : $W$ passe de 9 à 19, soit $+10$. Le MÊME accroissement de cinq points du taux d'utilisation coûte quarante-cinq fois plus d'attente dans le second cas. Près de l'asymptote, une petite cause produit un grand effet ; c'est la définition opératoire d'un système saturé.

e) Parce que 100 % d'utilisation signifie une attente infinie, et que le modèle le dit sans détour. Un guichet utilisé à 100 % n'a aucune marge pour absorber le moindre aléa, un usager plus long que prévu, une absence, une panne, et la file ne se résorbe jamais. C'est pourquoi les services se dimensionnent autour de 70 à 85 % d'utilisation, jamais plus : la capacité inutilisée n'est pas du gaspillage, c'est ce qui achète un temps d'attente fini. La leçon vaut pour un guichet, un service d'urgence, un réseau routier et une salle de cours, et elle tient dans une asymptote verticale.

a) FAUX. L'existence de la limite est la deuxième des trois conditions, pas les trois. L'exercice 1 en donne le contre-exemple : la limite en 2 existe et vaut 5, alors que $f(2)=3$ et que $f$ est discontinue. Énoncé correct : $f$ est continue en $a$ si $f(a)$ existe, si la limite existe, et si les deux sont égales.

b) FAUX. La forme $\dfrac{0}{0}$ est INDÉTERMINÉE : elle dit seulement que la substitution n'a pas conclu. Les quatre limites de l'exercice 2 ont toutes cette forme et toutes existent. Énoncé correct : la forme $\dfrac{0}{0}$ oblige à transformer l'expression avant de conclure, et elle indique qu'un facteur commun est disponible.

c) FAUX, et c'est l'indétermination $\infty-\infty$. L'exercice 4 montre trois comportements pour cette seule forme : $\sqrt{x^{2}+6x}-x$ tend vers 3, une différence de budgets tend vers $+\infty$, et deux fonctions identiques donneraient 0. Trois résultats pour une seule forme, donc aucun n'est le bon par défaut. Énoncé correct : $\infty-\infty$ est indéterminée et se lève par conjugué, factorisation ou mise en évidence du terme dominant.

d) FAUX. Le théorème est un théorème d'EXISTENCE : il affirme qu'une solution est là, sans la produire. L'exercice 6 le montre, on obtient un encadrement de plus en plus fin, jamais une valeur exacte. Énoncé correct : le théorème garantit l'existence d'au moins une solution, et ses applications répétées donnent un encadrement.

e) FAUX, et c'est l'erreur la plus répandue du chapitre. Une asymptote décrit un comportement à l'INFINI, pas une barrière. La fonction $f(x)=\dfrac{x-4}{x^{2}+1}$ a pour asymptote horizontale $y=0$, et elle la TRAVERSE en $x=4$ : négative avant, positive après, nulle exactement en 4. Énoncé correct : la courbe se rapproche de l'asymptote quand $x$ tend vers l'infini, et elle peut la franchir un nombre quelconque de fois avant cela.

a) $\overline{C}(n)=\dfrac{9\,500+14n}{n}=\dfrac{9\,500}{n}+14$ dollars par répondant. Le domaine est $n>0$, c'est-à-dire $]0\,;+\infty[$ : la division par $n$ exclut le zéro, et le contexte exclut déjà les valeurs négatives. La décomposition en deux termes est ce qui rend tout le reste immédiat : un terme qui s'écrase quand $n$ grandit, et un terme constant qui ne bouge jamais.

b) Quand $n\to 0^{+}$, $\dfrac{9\,500}{n}\to +\infty$, donc $\overline{C}(n)\to +\infty$ : la droite $n=0$ est une ASYMPTOTE VERTICALE. Quand $n\to +\infty$, $\dfrac{9\,500}{n}\to 0$, donc $\overline{C}(n)\to 14$ : la droite $y=14$ est une ASYMPTOTE HORIZONTALE. Les deux asymptotes racontent le même modèle par ses deux bouts, un sondage minuscule dont chaque réponse coûte une fortune, et un sondage géant dont chaque réponse coûte le prix de la collecte.

c) $\overline{C}(100)=95+14=109$ dollars ; $\overline{C}(1\,000)=9{,}5+14=23{,}50$ dollars ; $\overline{C}(5\,000)=1{,}9+14=15{,}90$ dollars. Multiplier l'échantillon par dix, de 100 à 1 000, divise le coût moyen par plus de quatre ; le multiplier encore par cinq ne gagne plus que 7,60 dollars. Le rendement de la taille s'épuise, et c'est visible dans la seule forme $\dfrac{9\,500}{n}$.

d) On résout $\dfrac{9\,500}{n}+14<20$, donc $\dfrac{9\,500}{n}<6$, et comme $n>0$ on peut multiplier sans retourner l'inégalité : $9\,500<6n$, donc $n>\dfrac{9\,500}{6}\approx 1\,583{,}3$. Il faut donc au moins 1 584 répondants. Le passage à l'entier supérieur n'est pas une coquetterie : avec 1 583 répondants, le coût moyen vaut encore 20,002 dollars.

e) Elle dit que les économies d'échelle sont RÉELLES mais BORNÉES. Chaque répondant supplémentaire dilue un peu plus le coût fixe, donc le coût moyen baisse toujours, mais il ne peut pas descendre sous le coût variable unitaire de 14 dollars, qui est le prix de la collecte elle-même. Un institut qui promettrait 12 dollars par réponse en agrandissant l'échantillon promettrait l'impossible. C'est la lecture économique d'une asymptote horizontale : elle sépare ce qu'on peut gagner par la taille de ce qui ne s'obtiendra qu'en changeant la méthode de collecte.

a) $T(0)=\dfrac{12\times 0+40}{0+5}=\dfrac{40}{5}=8$ %. $T(20)=\dfrac{12\times 20+40}{20+5}=\dfrac{280}{25}=11{,}2$ %. En vingt ans, le taux est passé de 8 % à 11,2 % : le rapport a raison de parler de croissance.

b) On isole la partie entière de la fraction : $\dfrac{12t+40}{t+5}=\dfrac{12(t+5)-60+40}{t+5}=\dfrac{12(t+5)-20}{t+5}=12-\dfrac{20}{t+5}$. Pour $t\ge 0$, $t+5$ croît, donc $\dfrac{20}{t+5}$ DÉCROÎT, donc $-\dfrac{20}{t+5}$ croît, donc $T$ croît. La fonction est bien croissante, comme le dit le rapport, et la réécriture le prouve sans dérivée. Contrôle : $T(0)=12-4=8$ et $T(20)=12-0{,}8=11{,}2$, ce qui redonne les valeurs du a).

c) Quand $t\to+\infty$, $\dfrac{20}{t+5}\to 0$, donc $T(t)\to 12$. L'asymptote horizontale est $y=12$. On pouvait aussi conclure par le rapport des coefficients dominants, $\dfrac{12}{1}=12$, les deux degrés valant 1.

d) Elle est FAUSSE. Comme $\dfrac{20}{t+5}>0$ pour tout $t\ge 0$, on a $T(t)<12$ à tout instant : le taux est majoré par 12 %, donc il ne dépassera JAMAIS 20 %, ni avant 2050 ni jamais. Le rapport a commis l'erreur de croire que croissant entraîne non borné. Une suite croissante peut parfaitement rester sous un plafond, et c'est précisément ce que l'asymptote horizontale décrit.

e) On résout $12-\dfrac{20}{t+5}>11{,}5$, donc $\dfrac{20}{t+5}<0{,}5$, donc $t+5>40$ et $t>35$ : le taux atteint exactement 11,5 % en $t=35$, soit en 2050, et ne le dépasse qu'ensuite. Pour une décision publique, la différence est radicale. Si la croissance était non bornée, le problème s'aggraverait indéfiniment et la seule question serait la vitesse d'intervention. Étant bornée, elle pose une tout autre question : le plafond de 12 % est-il acceptable, et par quel levier change-t-on le MODÈLE plutôt que sa trajectoire ? Confondre les deux mène à financer une urgence là où il fallait réformer une structure, et cela commence par une limite mal lue.