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Cégep • Montréal

Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)

Le cours de calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA) est le premier cours de mathématiques du programme Sciences de la nature, et celui où beaucoup d'élèves trébuchent. Le passage de la manipulation algébrique au raisonnement sur les limites surprend presque tous les élèves qui arrivent du secondaire.

16 séries d'exercices entièrement corrigés (248 exercices), 15 fiches de révision, 3 examens blancs. Gratuit, sans compte. Le même cours en anglais.

Fonctions et limites

  1. 1 Fonctions et domaine Le chapitre d'ouverture du calcul différentiel, celui dont tout le reste du cours dépend : les trois seuls interdits qui construisent un domaine, la racine au dénominateur et son inégalité stricte, la somme de deux valeurs absolues lue comme une somme de distances, l'intersection des domaines et les zéros du dénominateur à retirer, la composition dont le domaine se construit en deux temps, les transformations du graphe et l'ordre qui les rend non commutatives, les réciproques et l'échange domaine-image, le cercle trigonométrique par angles de référence, et deux problèmes de modélisation où le domaine physique décide de la validité de la réponse. Une partie C ajoute cinq classiques : le domaine par tableau de signes, logarithme et exponentielle, les réciproques trigonométriques, la nappe qui s'étale et le tunnel en arc. En ouverture, deux exercices de calculs directs, douze domaines à écrire en intervalles puis dix composées et réciproques à évaluer. Fiche
  2. 2 Limites et continuité La lecture graphique des limites à gauche et à droite sur une fonction à saut et à trou, les indéterminations levées par factorisation et conjugué, les limites à l'infini avec asymptote horizontale, oblique et le piège des DEUX asymptotes de la racine, la continuité par raccordement et la classification des discontinuités, le théorème des valeurs intermédiaires avec bissection, et les limites trigonométriques avec le théorème du sandwich. S'y ajoutent les propriétés algébriques des limites avec leur réciproque fausse, le changement de variable dans une limite et le contre-exemple où la composée échoue, la définition formelle epsilon-delta avec deux démonstrations complètes, et le théorème des bornes atteintes dont les trois hypothèses sont montrées indispensables. Une partie C ajoute cinq classiques : les paramètres de continuité, la partie entière, les limites transcendantes, la courbe d'apprentissage et le coût de dépollution. En ouverture, deux exercices de calculs : des limites à calculer directement, douze en un point et dix à l'infini. Fiche

La dérivée

  1. 3 La dérivée et ses règles La sécante qui devient tangente et la dérivée calculée par la définition (avec conjugué pour la racine), les règles de puissance, produit et quotient démontrées puis appliquées à la tangente, la règle de chaîne des cas simples jusqu'aux emboîtements triples, les fonctions transcendantes avec la dérivation logarithmique de x puissance x, la dérivation implicite sur le cercle et le folium de Descartes, et les trois façons de perdre sa dérivée : le coin, le rebroussement et la tangente verticale. S'y ajoutent les dérivées d'ordre supérieur (le polynôme qui s'arrête, l'exponentielle qui amplifie, le sinus qui cycle), les équations de tangentes et de normales dont les deux tangentes menées d'un point extérieur, les dérivées des fonctions réciproques (arc sinus, arc tangente, et une réciproque sans forme explicite), et les démonstrations de la dérivée du sinus et de la règle du quotient avec le piège du raisonnement circulaire. Une partie C ajoute cinq classiques : les règles sur un tableau de valeurs, la tangente commune, la dérivée numérique, la trajectoire d'un ballon et le raccord de deux routes. En ouverture, deux exercices de calculs : dix calculs par le taux d'accroissement, en un point puis en général. Fiche
  2. 4 Dérivées des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques La table des six dérivées trigonométriques reconstruite à partir de deux seules, avec la tangente qui n'a jamais de tangente horizontale, puis mise au travail sur des cotangentes, sécantes et cosécantes composées (cotg et cosec des manuels québécois), un radical réécrit en puissance et le piège cos(x²) contre cos²x ; l'exponentielle de base quelconque et le facteur logarithme qu'on oublie, illustré par les trois pentes en zéro qui définissent le nombre e ; le logarithme et le domaine qui passe avant la dérivée, y compris la valeur absolue, le faux extremum de la fonction qui n'existe pas et les logarithmes trigonométriques qui se simplifient comme ln(sec x + tan x) ; les emboîtements à trois étages ; la dérivation logarithmique pour x puissance x, pour x puissance sinus et pour un quotient à trois facteurs, avec le critère qui dit quand elle est inutile. La partie B démontre les dérivées des réciproques trigonométriques par dérivation implicite, en expliquant d'où vient le signe de la racine et pourquoi arc sinus a une tangente verticale en ses bornes, avec le domaine d'arc cosinus de 3 sur x et sa valeur absolue cachée ; elle établit les fonctions hyperboliques, l'identité du cosinus hyperbolique au carré moins le sinus hyperbolique au carré, et la forme réelle d'un câble suspendu ; elle se termine par la datation au carbone 14 avec la distinction entre taux relatif et vitesse, et par le modèle logistique dont la vitesse maximale se trouve sans calculer la dérivée seconde. Une partie C ajoute cinq classiques : les tangentes issues de l'origine, les identités des réciproques, les extremums de e puissance x fois sinus x, la marée et le meilleur angle de vue. En ouverture, un exercice de calculs : douze dérivées à calculer directement, de la cotangente composée au quotient de sécantes. Fiche
  3. 5 La dérivation implicite Le principe posé sur le cercle, avec la tangente perpendiculaire au rayon et la comparaison point par point avec la méthode explicite qui, elle, doit changer de formule d'une moitié à l'autre ; les cinq structures qui laissent un y prime, du simple y au cube jusqu'à l'exponentielle d'un produit, puis la trigonométrie de y et de x plus y, et l'équation qui fixe le produit x carré y ; le folium de Descartes, ses tangentes horizontale et verticale, et la symétrie qui donne la seconde sans calcul ; la lecture des deux annulations d'un quotient, y compris le point de rebroussement où numérateur et dénominateur s'annulent ensemble ; la dérivée seconde implicite et la concavité du cercle. La partie B démontre que les hyperboles xy égale k et les courbes x carré moins y carré égale c se coupent partout à angle droit, établit la forme réduite de la tangente à une ellipse et à une hyperbole en expliquant pourquoi elle survit aux tangentes verticales, puis applique la méthode au point critique du gaz de van der Waals et à la vitesse de l'image d'une lentille mince. Une partie C ajoute cinq classiques : la lemniscate, la courbe x puissance y égale y puissance x, l'estimation par la tangente, l'isoquante de production et la réflexion dans l'ellipse. En ouverture, un exercice de calculs : onze dérivées implicites à calculer directement, des cubes aux équations trigonométriques. Fiche

Applications de la dérivée

  1. 6 Taux de variation liés Le chapitre où l'énoncé est un texte et où la difficulté est de le traduire : l'échelle qui glisse contre un mur, le ballon sphérique et l'erreur de substituer avant de dériver, le cube dont on connaît le taux du volume, le diamètre donné à la place du rayon et la citerne cylindrique qui monte à vitesse constante, le cône renversé où la similitude élimine une variable, le lampadaire et la différence entre la longueur de l'ombre et la position de son extrémité, le phare qui balaie une côte et les degrés interdits, deux voitures qui s'éloignent avec Pythagore puis la loi des cosinus, l'auge en V qui se remplit de plus en plus lentement, et l'avion dont l'angle d'élévation décroît de trente radians par heure. Une partie C ajoute cinq classiques : la corde du quai, l'ombre sur un mur, le cylindre de volume constant, le piston et la bielle, le réservoir sphérique. En ouverture, un exercice de calculs : dix relations à dériver directement par rapport au temps, du polynôme à la tangente. Fiche
  2. 7 Différentielle et approximation linéaire La différentielle dy = f'(x) dx et sa différence avec l'accroissement réel Δy, l'approximation d'une fonction par sa tangente avec le contrôle de l'erreur, la propagation des erreurs de mesure en physique et en atelier, l'amplification de l'erreur relative par les exposants, et les deux situations où l'approximation cesse d'être fiable. S'y ajoutent le tableau des cinq approximations usuelles avec leur domaine de validité (les petits angles tiennent jusqu'à quatorze degrés), l'estimation d'une variation dans une formule physique et le volume de la paroi d'un tuyau, surface fois épaisseur, la tangente comparée à l'interpolation linéaire qui donne un encadrement gratuit, et le problème inverse : quelle précision exiger de l'instrument pour garantir celle du résultat. Une partie C ajoute cinq classiques : l'angle remarquable en radians, la hauteur par visée, décibels et pH, la dilatation thermique et la distance à l'horizon. En ouverture, un exercice de calculs : dix calculs directs, de la différentielle d'un polynôme à l'estimation de sin 0,5 par la tangente en π/6. Fiche
  3. 8 Applications de la dérivée L'échelle qui glisse et le cône qui se remplit (taux liés avec la méthode en cinq étapes), l'analyse complète d'une courbe par les deux dérivées, l'optimisation de la boîte et de la canette avec la proportion h = 2r que l'industrie ignore, le théorème de Lagrange et sa preuve du lien vitesse moyenne et vitesse instantanée, la règle de L'Hôpital avec ses formes indéterminées déguisées, et la méthode de Newton qui double ses décimales à chaque tour. S'y ajoutent le mouvement rectiligne avec la distinction entre accélérer et ralentir par le signe de v fois a, les taux liés de l'ombre, de l'angle d'élévation et des deux véhicules, les conséquences du théorème des accroissements finis (dérivée nulle donc constante, et deux inégalités démontrées), et un problème de synthèse complet sur la concentration d'un médicament, du maximum à la fenêtre thérapeutique. Une partie C ajoute cinq classiques : les candidats d'un extremum absolu, le courant électrique, la lampe au-dessus de la table, la limite de Betz et la toux. Fiche
  4. 9 Le mouvement rectiligne Position, vitesse et accélération sur un même mobile suivi d'un bout à l'autre du chapitre, avec ses deux demi-tours et l'instant où il recule le plus vite ; le tableau de signes de la vitesse qui donne le sens du déplacement, et la fonction position non injective qui passe trois fois par la même valeur ; la distinction entre déplacement et distance parcourue, avec l'écart de quarante pour cent que coûte l'oubli du découpage ; le critère du produit de la vitesse par l'accélération, seul capable de dire si le mobile prend ou perd de la vitesse, démontré à partir de la dérivée de la valeur absolue ; la chute libre traitée par la parabole puis vérifiée sans le temps. La partie B lit un mouvement sur un graphe de vitesse en trapèze et en tire le poids apparent dans un ascenseur, établit le mouvement harmonique simple et son déphasage, explique pourquoi la distance de freinage suit le carré de la vitesse, et remonte enfin d'une accélération mesurée jusqu'à la position, en montrant ce qu'un capteur ne pourra jamais dire. Une partie C ajoute cinq classiques : un mouvement exponentiel, deux coureurs qui se dépassent, la lecture du graphe de position, le sprinteur de Keller et le train entre deux gares. En ouverture, un exercice de calculs : dix positions à dériver directement, du polynôme du second degré au logarithme. Fiche
  5. 10 Rolle et les accroissements finis Le théorème de Rolle avec ses trois hypothèses séparées une à une, et les trois contre-exemples qui montrent qu'aucune n'est décorative, dont la fonction inverse du carré qui satisfait l'hypothèse la plus visible et échoue sur celle qu'on oublie ; le théorème des accroissements finis, son interprétation cinématique, et la fonction auxiliaire qui le déduit de Rolle en soustrayant la corde ; les deux conséquences qui servent toute l'année, dérivée nulle donc fonction constante et deux fonctions de même dérivée, avec le piège du domaine en deux morceaux illustré sur arc tangente de x plus arc tangente de un sur x. La partie B utilise l'inégalité des accroissements finis pour encadrer une racine carrée et un logarithme avec une garantie qu'aucun affichage de calculatrice ne donne, sépare l'existence par les valeurs intermédiaires de l'unicité par Rolle, démontre la validité juridique du radar tronçon, et prouve quatre inégalités classiques sans étudier aucune fonction différence. Une partie C ajoute cinq classiques : compter les racines avec Rolle, Rolle appliqué deux fois, les formules d'addition par la dérivée nulle, le capteur de température et le théorème de Darboux. En ouverture, un exercice de calculs : dix valeurs de c à calculer directement, du trinôme au cosinus. Fiche
  6. 11 Bissection, Newton et point fixe La bissection avec son nombre d'itérations connu d'avance et la garantie qu'aucune autre méthode n'offre ; la méthode de Newton construite comme une équation de tangente résolue, la formule babylonienne retrouvée comme moyenne, et la convergence quadratique démontrée par une identité exacte où le nombre de décimales double à chaque tour ; les quatre modes d'échec, division par zéro, cycle entre deux valeurs, divergence sur la racine cubique et dégénérescence en convergence linéaire sur une racine multiple ; le tableau comparatif et la stratégie hybride des bibliothèques numériques. La partie B traite la méthode de la sécante et son ordre nombre d'or, montre sur une même équation deux réécritures de point fixe dont l'une diverge et l'autre converge en spirale, explique pourquoi Newton est le choix qui annule la dérivée de l'itération, puis reconstruit la division et la racine cubique d'un processeur et calcule le taux de rendement interne d'un placement. Une partie C ajoute cinq classiques : Newton contre le point fixe, la recherche d'un minimum, le balayage suivi de bissections, la flèche d'une ligne électrique et l'équation de Kepler. En ouverture, un exercice de calculs : dix itérations à calculer directement, de la bissection d'un polynôme à la méthode de Newton appliquée à la dérivée. Fiche
  7. 12 L'Hôpital et formes indéterminées Le chapitre tel que le calcul différentiel le rencontre, juste après la table des dérivées et juste avant le tracé de courbes. Trier une limite entre déterminée, indéterminée et nombre dérivé déguisé ; la règle de L'Hôpital avec ses hypothèses vérifiées à chaque tour, et le cercle vicieux qu'elle cache ; les formes produit et différence ramenées à un quotient ; les transcendantes au travail ; les trois formes exponentielles par le logarithme. Puis les croissances comparées qui décident de l'allure d'une courbe, les asymptotes obliques de fonctions transcendantes, cinq affirmations à corriger, le prolongement par continuité poussé jusqu'à la dérivabilité, et la chute avec frottement dont la limite sans frottement redonne la chute libre. Enfin les trois modes d'échec de la règle, le développement de poche qui donne la précision d'une approximation, l'ordre de contact de deux courbes, la chaînette contre la parabole et l'intérêt composé continu. En ouverture, un exercice de calculs : douze limites à calculer directement par la règle de L'Hôpital, des formes 0/0 aux formes 0 puissance 0. Fiche
  8. 13 Étude de fonction et tracé de courbes La question longue de l'examen 201-SN2-RE : domaine et symétries, les trois types d'asymptotes dont l'oblique par division, extremums par le test de la dérivée première, concavité et points d'inflexion par la dérivée seconde avec le contre-exemple où une dérivée seconde nulle ne suffit pas, le tableau de variation complet, et la lecture inverse où l'on reconstruit la fonction à partir du graphique de sa dérivée. S'y ajoutent les symétries et la périodicité qui réduisent le domaine d'étude (avec la dérivée d'une fonction paire montrée impaire), l'étude complète d'une exponentielle et celle d'une logarithmique reliées l'une à l'autre par un changement de variable, et le problème inverse où l'on retrouve les paramètres d'une fonction à partir de ses seules asymptotes et de son tableau. Une partie C ajoute cinq classiques : la pointe d'une valeur absolue, deux asymptotes obliques, une étude trigonométrique, le potentiel de Lennard-Jones et la distribution des vitesses d'un gaz. En ouverture, deux exercices de calculs : dix calculs directs, les asymptotes puis les nombres critiques et les points d'inflexion. Fiche
  9. 14 Optimisation appliquée La méthode en six étapes appliquée aux problèmes longs de l'examen : contrainte et fonction objectif à une seule variable, domaine physique qui n'est pas toujours fermé, justification obligatoire du maximum, clôture d'enclos et boîte sans couvercle, coût marginal et revenu en économie, temps de parcours minimal et loi de la réfraction retrouvée par le calcul. S'y ajoutent la boîte découpée dans un carton avec son nombre critique dégénéré, la fenêtre de Norman dont la relation h = r est démontrée exacte, la quantité économique de commande où coût de commande et coût de stockage s'égalisent toujours à l'optimum, et le câble sous-marin dont la condition d'optimalité redonne encore la loi de Snell-Descartes. Une partie C ajoute cinq classiques : le rectangle sous une parabole, le cône roulé dans un disque, la poutre la plus résistante, l'échelle dans un couloir en L et la vitesse de croisière d'un navire. Fiche

Intégration

  1. 15 L'intégration élémentaire Le chapitre qui ferme le cours de calcul différentiel, traité avec les seuls outils dont on dispose à ce moment de la session : ni intégrale définie, ni aire, ni théorème fondamental, seulement la table des dérivées lue à l'envers et la vérification par dérivation. La partie A installe la table renversée et sa seule case vide en n = -1, la constante C et le théorème qui la justifie, la réécriture d'un produit ou d'un quotient qu'aucune règle ne sert, les lignes transcendantes et leurs fautes de signe, puis la règle de chaîne jouée à l'envers. La partie B traite l'ajustement d'un facteur constant et la frontière qu'un x manquant fait franchir, quatre intégrales bâties sur le même trinôme et qui demandent quatre décisions différentes, cinq affirmations relevées sur des copies, et deux problèmes où l'on remonte d'une accélération ou d'une vitesse, avec une condition initiale qui n'est pas toujours donnée à l'instant zéro. En ouverture, deux exercices de calculs, des primitives à calculer directement, douze par la table et dix par substitution. Fiche

Révisions

Quand les chapitres sont faits

Une épreuve complète, en conditions d'examen. À faire une fois derrière vous les chapitres qu'elle couvre : elle mesure ce que vous savez faire sur une question jamais vue.

Examen blanc

Examen pratique 1 : fonctions, limites et continuité

Le premier examen du calcul différentiel, celui de la sixième ou septième semaine, calibré sur les sujets réellement donnés au cégep : domaine et composition, huit limites qui appellent huit techniques différentes, continuité d'une fonction définie par morceaux, continuité sur un intervalle selon ses bornes, asymptotes contre trou, et une esquisse à construire sous douze contraintes.

  • 10 exercices
  • 100 points
  • 150 minutes
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Examen blanc

Examen pratique 2 : la dérivée et ses règles

Le deuxième examen du calcul différentiel, celui de la mi-session, calibré sur les sujets réellement donnés au cégep : la dérivée par la définition, le catalogue complet des règles avec leurs pièges de constantes, les fonctions transcendantes, la dérivation implicite, les dérivées d'ordre supérieur, les tangentes, la dérivabilité lue sur un graphe et un problème de taux liés.

  • 10 exercices
  • 100 points
  • 150 minutes
Passer l'épreuve

Examen blanc

Examen final blanc : tout le 201-SN2-RE

Un examen final de 3 heures qui traverse le cours complet de calcul différentiel : limites et continuité, calcul des dérivées, étude de fonctions, approximation linéaire, optimisation, taux liés et modélisation. Contrairement aux séries par chapitre, aucune question n'annonce la méthode à employer.

  • 12 exercices
  • 100 points
  • 180 minutes
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Ce qu'il faut tenir avant

Le programme de Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA) s'appuie sur 5 chapitres venus d'avant. Ce ne sont pas des révisions de confort : chacun est le point d'appui d'un chapitre listé ci-dessus, et un élève qui décroche en cours d'année décroche presque toujours sur l'un d'eux. Tous ont leur fiche de révision, à lire d'une traite avant la rentrée.

Secondaire 5, Mathématiques

À lire sur ce niveau

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