Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : L'Hôpital et les formes indéterminées (201-NYA)

La règle de L'Hôpital arrive au moment où les règles de dérivation viennent d'être établies, et la première chose qu'on en fait est de s'en servir pour calculer des limites que l'algèbre ne sait pas lever. C'est aussi le moment où se prennent les mauvaises habitudes : dériver sans vérifier, dériver l'expression au lieu du haut et du bas, ou redémontrer en rond une limite déjà connue.

Cette fiche donne ce qui se perd réellement, puis les usages du chapitre à l'intérieur même du cours : croissances comparées, asymptotes obliques, prolongement dérivable et précision d'une approximation. Les exercices corrigés du même chapitre font travailler chacun de ces gestes.

Le fil du chapitre

L'Hôpital n'est pas une règle de calcul des limites, c'est un remède à une pathologie précise. Deux gestes en découlent : vérifier l'indétermination AVANT chaque dérivation, parce qu'appliquée à une limite saine la règle donne un résultat sans aucun rapport ; et se demander si la limite n'est pas, déguisée, une dérivée déjà connue, auquel cas l'appliquer serait circulaire.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les dérivées des fonctions transcendantes Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (14 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
2Calculs exponentiels et logarithmiquesSecondaire 5 SN5
3Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
4Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
5Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
6La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5
7Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5
8Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
9Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5
10Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
11Fonctions et domaine
12Limites et continuité
13La dérivée et ses règles
14Les dérivées des fonctions transcendantes

Notions couvertes

Forme indéterminée
Règle de L'Hôpital
Nombre dérivé
Forme produit
Forme différence
Formes exponentielles
Croissances comparées
Asymptote oblique
Prolongement par continuité
Approximation affine
Ordre de contact
Changement de variable

L'essentiel

La règle, ses hypothèses, et les formes qui s'y ramènent

• Les sept formes indéterminées : $\dfrac{0}{0}$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot\infty$ , $\infty-\infty$ , $0^{0}$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ . Tout le reste, y compris $\dfrac{1}{0}$ et $\dfrac{\infty}{0}$ , se conclut par substitution.
• RÈGLE. Si la forme est $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ , si $f$ et $g$ sont dérivables près de $a$ avec $g'$ non nulle, et si $\lim\dfrac{f'}{g'}$ EXISTE, alors $\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}$ . On dérive haut et bas SÉPARÉMENT.
• Produit $0\cdot\infty$ : on bascule au dénominateur le facteur dont la dérivée COMPLIQUE l'expression, et l'on garde en haut celui qu'elle simplifie. Le logarithme se simplifie, l'exponentielle et la racine non.
• Différence $\infty-\infty$ : même dénominateur, factorisation du terme dominant, ou conjugué devant une racine. On ne dérive JAMAIS terme à terme.
• Formes exponentielles : poser $y=f^{g}$ , calculer $\lim\ln y=\lim g\ln f$ , puis conclure $\lim y=e^{L}$ . La dernière étape s'oublie une fois sur trois.

Les deux limites d'une asymptote oblique sont presque toujours indéterminées : ici

a=1

par substitution, puis

b=\lim x\left(e^{1/x}-1\right)=1

Une limite du type $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est un NOMBRE DÉRIVÉ : elle se lit dans la table sans aucun calcul, et lui appliquer L'Hôpital serait circulaire quand c'est elle qui a servi à établir la dérivée employée.

Ce que la règle sert à décider dans le reste du cours

• Croissances comparées : $\ln x\ll x^{p}\ll b^{x}$ pour tous $p>0$ et $b>1$ , et entre deux exponentielles la plus grande base gagne. C'est ce qui dit si une courbe redescend vers l'axe ou file vers l'infini.
• Asymptote oblique : $a=\lim\dfrac{f(x)}{x}$ , fini et non nul, puis $b=\lim\left(f(x)-ax\right)$ , fini. Pousser d'un cran donne le CÔTÉ par lequel la courbe aborde son asymptote.
• Prolongement par continuité : on pose $f(a)=\lim f$ . La dérivabilité du prolongement se décide par une SECONDE limite, celle du taux de variation, et elle n'est pas automatique.
• Précision d'une approximation : si $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)-f'(0)x}{x^{n}}=C$ non nul, l'erreur de l'approximation affine vaut environ $Cx^{n}$ , et son SIGNE dit de quel côté de sa tangente passe la courbe.
• Trois modes d'échec de la règle : elle BOUCLE, le quotient dérivé n'a PAS de limite, ou chaque tour EMPIRE. Parades respectives : algèbre, encadrement, changement de variable $u=\dfrac{1}{x}$ .

L'exponentielle bat le cube : la courbe monte, culmine en

x=3

, puis s'écrase sur l'axe, qui est asymptote horizontale.

L'ordre de contact de deux courbes est le premier rang où leurs dérivées cessent de coïncider, et $C=\dfrac{f^{(n)}(a)-g^{(n)}(a)}{n!}$ . Le repérer par les dérivées évite de calculer la moindre limite.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer la règle sans vérifier l'indétermination

2 points, même quand le résultat tombe juste par hasard

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+3}{x+1}=\lim\dfrac{2x}{1}=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« En $1$ , la forme est $\dfrac{4}{2}$ : déterminée, donc la limite vaut $2$ par substitution. »

Pourquoi : La règle est un remède à une pathologie précise ; appliquée à une limite saine, elle donne un nombre sans aucun rapport. Ici elle tombe juste par coïncidence, mais sur $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+3}{x+3}$ elle donnerait $2$ au lieu de $1$ . Le geste correct est de SUBSTITUER d'abord, toujours.

2. Dériver l'expression au lieu du haut et du bas séparément

3 points, et une expression plus compliquée qu'au départ

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=\lim\dfrac{xe^{x}-(e^{x}-1)}{x^{2}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=\lim\dfrac{e^{x}}{1}=1$ . »

Pourquoi : La règle du quotient sert à DÉRIVER une fonction, L'Hôpital à calculer une LIMITE. Les deux énoncés parlent de « dériver un quotient », d'où la confusion, mais ils ne produisent pas la même expression. Le signal d'alarme est immédiat : si le résultat de la première étape est plus lourd que le départ, on n'a pas appliqué la bonne règle.

3. Ne pas revérifier l'indétermination au deuxième tour

2 points, et une limite déclarée inexistante alors qu'elle vaut $2$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{e^{2x}-1-2x}{x^{2}}\to\dfrac{2e^{2x}-2}{2x}\to\dfrac{2-2}{0}$ , indéfini. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{2e^{2x}-2}{2x}$ est encore $\dfrac{0}{0}$ : on redérive, $\dfrac{4e^{2x}}{2}\to 2$ . »

Pourquoi : On peut réappliquer la règle autant de fois que l'indétermination PERSISTE, à condition de le vérifier à chaque étape. Ici l'étudiant s'arrête en croyant buter sur $\dfrac{0}{0}$ , alors que c'est précisément le feu vert pour continuer. La rédaction attendue nomme la forme avant chaque dérivation.

4. Redémontrer une limite remarquable par la dérivée qu'elle a construite

2 points sur une question de démonstration, aucun sur un calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim\dfrac{\cos x}{1}=1$ , démontré. »

Ce qu'il faut écrire

« Cette limite se démontre par encadrement géométrique ; L'Hôpital la retrouve, il ne la démontre pas. »

Pourquoi : La dérivée du sinus a été établie À PARTIR de cette limite. S'en servir pour la redémontrer suppose ce qu'on veut prouver. Le résultat reste juste : c'est le raisonnement qui est circulaire. Même avertissement pour $\dfrac{e^{x}-1}{x}$ et $\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ , qui SONT les nombres dérivés ayant servi à construire la table.

5. Oublier de repasser à l'exponentielle

2 points, et un résultat sept fois trop petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln y\to 3$ , donc $\lim\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^{x}=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln y\to 3$ , donc la limite vaut $e^{3}\approx 20{,}09$ . »

Pourquoi : La méthode calcule la limite du LOGARITHME de l'expression, pas celle de l'expression. Le remède tient en deux lignes de rédaction : écrire « posons $y=\ldots$ » à la première ligne, et « donc $y\to e^{L}$ » à la dernière. L'oubli est d'autant plus facile que la variable auxiliaire disparaît souvent de la copie.

6. Croire qu'une base qui tend vers 1 donne une limite égale à 1

3 points, et un contresens sur ce qu'est une indétermination

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{x}\to 1$ , puisque la base tend vers $1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Forme $1^{\infty}$ : $\ln y=x\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\to 2$ , donc la limite vaut $e^{2}\approx 7{,}39$ . »

Pourquoi : Une base qui TEND vers $1$ n'est pas une base ÉGALE à $1$ : l'écart, si petit soit-il, est élevé à une puissance qui tend vers l'infini, et les deux tendances s'affrontent. C'est exactement ce que le mot « indéterminé » décrit. Traduction financière : un taux de cinquante pour cent composé en continu rapporte dix pour cent de plus que composé une fois l'an.

7. Dériver une différence terme à terme

3 points : la règle ne s'applique qu'à un QUOTIENT

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 1}\left(\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{x-1}\right)$ : je dérive chaque terme. »

Ce qu'il faut écrire

« Même dénominateur d'abord : $\dfrac{(x-1)-\ln x}{(x-1)\ln x}$ , puis la règle deux fois, limite $\dfrac{1}{2}$ . »

Pourquoi : L'Hôpital porte sur $\dfrac{f}{g}$ , jamais sur une somme ou une différence. Une forme $\infty-\infty$ doit donc être réécrite en quotient AVANT toute dérivation, par mise au même dénominateur, factorisation du terme dominant ou conjugué. Devant une différence contenant une racine, le conjugué se tente toujours en premier.

8. Insister quand la règle échoue

3 points, et une limite déclarée inexistante à tort

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+\cos x}{3x+\sin x}$ : le quotient dérivé oscille, donc la limite n'existe pas. »

Ce qu'il faut écrire

« La règle ne conclut pas, mais en divisant par $x$ la limite vaut $\dfrac{2}{3}$ . »

Pourquoi : La règle est une implication À SENS UNIQUE : elle affirme quelque chose SI le quotient dérivé a une limite, et ne dit rien du tout sinon. Trois modes d'échec existent, la boucle, le quotient dérivé sans limite et l'aggravation, avec leurs parades : algèbre, encadrement, changement de variable. Le signal d'alarme : si après deux tours l'expression n'est pas plus simple, ce n'est pas le bon outil.

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la forme obtenue par substitution

Le résultat de la substitution dans l'expression

Si une forme déterminée, même $\dfrac{1}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{0}$ → conclure directement, sans dériver quoi que ce soit

Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty$
Si un quotient de polynômes ou une différence de racines → ALGÈBRE d'abord : factoriser le terme dominant, ou multiplier par le conjugué

Exemple : $\lim_{x\to\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-4x}\right)=2$
Si un taux de variation, $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ → c'est $f'(a)$ : lire la table, ne pas dériver le quotient

Exemple : $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^{5}-32}{x-2}=5\times 2^{4}=80$
Si $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ véritable → L'HÔPITAL, en revérifiant la forme avant chaque tour

Exemple : $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1-2x}{x^{2}}=2$ , deux tours
Si $0\cdot\infty$ ou $\infty-\infty$ → réécrire en QUOTIENT, puis appliquer la règle

Exemple : $\lim_{x\to\infty}x\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)=1$
Si $0^{0}$ , $1^{\infty}$ ou $\infty^{0}$ → LOGARITHME : $\ln y=g\ln f$ , puis $y\to e^{L}$

Exemple : $\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{x}=e^{2}$

Deux limites de croissances comparées dispensent de tout calcul : $\lim\dfrac{(\ln x)^{n}}{x^{p}}=0$ et $\lim\dfrac{x^{p}}{b^{x}}=0$ pour $p>0$ et $b>1$ . Les reconnaître fait gagner plusieurs tours de règle à l'examen.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul de limite indéterminée

Quand l'utiliser : L'énoncé demande une limite et la substitution ne conclut pas.

1 SUBSTITUER et nommer la forme obtenue, en toutes lettres : « forme $\dfrac{0}{0}$ », « forme $1^{\infty}$ ». Sans cette ligne, la suite n'a pas de justification.
2 Choisir l'outil et le dire : algèbre, nombre dérivé, réécriture en quotient, logarithme, ou L'Hôpital.
3 À chaque application de la règle, renommer la forme AVANT de dériver, et s'arrêter dès qu'elle cesse d'être indéterminée.
4 Conclure par une phrase qui donne la limite, et pour une forme exponentielle repasser explicitement à l'exponentielle.

Phrase de conclusion

« En $0$ , le quotient est de la forme $\dfrac{0}{0}$ ; la règle de L'Hôpital donne $\dfrac{2e^{2x}-2}{2x}$ , encore de la forme $\dfrac{0}{0}$ ; une seconde application donne $\dfrac{4e^{2x}}{2}$ , qui tend vers $2$ . Donc la limite vaut $2$ . »

Le piège : Écrire une chaîne d'égalités sans jamais nommer les formes. Le correcteur ne peut pas vérifier que la règle était applicable, et il retire les points de justification même quand le résultat final est juste.

Barème : En général 1 point pour l'identification de la forme, 2 pour les applications de la règle correctement justifiées, 1 pour le calcul, 1 pour la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La substitution d'abord, toujours

Avant de sortir la règle, on remplace $x$ par $a$ et l'on regarde. Une forme déterminée se conclut immédiatement, et appliquer L'Hôpital à une limite saine donne un résultat faux.

$\dfrac{x^{2}+3}{x+1}$ en $1$ vaut $\dfrac{4}{2}$ : rien à dériver.
Le quotient dérivé doit être PLUS SIMPLE

Si l'expression obtenue après une dérivation est plus lourde qu'au départ, c'est ou bien qu'on a appliqué la règle du quotient par erreur, ou bien que L'Hôpital n'est pas le bon outil.

$\dfrac{e^{-1/x}}{x}$ devient $\dfrac{e^{-1/x}}{x^{2}}$ : changer de méthode.
L'ordre de grandeur du résultat

Une forme $1^{\infty}$ donne presque toujours une exponentielle, jamais $1$ . Une croissance comparée donne toujours $0$ ou $\infty$ , jamais un nombre intermédiaire. Un résultat qui contredit ces repères doit être refait.

$\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{x}\to e^{2}\approx 7{,}39$ , pas $1$ .
Le test numérique en trente secondes

Quand on annonce une limite en $0$ , on évalue l'expression en $x=0{,}01$ ; quand on annonce une limite en l'infini, on l'évalue en $x=1000$ . L'accord confirme, le désaccord révèle un signe ou un facteur perdu.

$\dfrac{e^{0{,}1}-1}{0{,}1}=1{,}0517$ , cohérent avec la limite $1$ et la pente $\dfrac{1}{2}$ .
Le signe de l'écart à la tangente

Quand la limite sert à comparer une courbe à sa tangente, le SIGNE du résultat dit de quel côté passe la courbe, et une puissance impaire signale une traversée, donc une inflexion.

$\dfrac{\arctan x-x}{x^{3}}\to-\dfrac{1}{3}$ : inflexion en $0$ .

L'exercice type décortiqué

Une asymptote oblique complète, du coefficient directeur au côté

Déterminer l'asymptote oblique de $f(x)=x\,e^{1/x}$ en $+\infty$ , puis dire de quel côté la courbe l'aborde.

x=4

, la courbe vaut

5{,}136

et l'asymptote

5

: l'écart de

0{,}136

est bien proche du

\dfrac{1}{2x}=0{,}125

annoncé.

Étape 1

$a=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim e^{1/x}=e^{0}=1$ .

Pourquoi

On substitue d'abord : $\dfrac{1}{x}\to 0$ , donc aucune indétermination. Sortir la règle ici serait du temps perdu.

Étape 2

$b=\lim_{x\to\infty}\left(x\,e^{1/x}-x\right)=\lim x\left(e^{1/x}-1\right)$ , forme $\infty\cdot 0$ .

Pourquoi

Une asymptote oblique demande DEUX limites, et la seconde est presque toujours indéterminée. Oublier de la calculer donne une droite de pente juste mais mal placée.

Étape 3

On pose $u=\dfrac{1}{x}\to 0^{+}$ : $b=\lim_{u\to 0}\dfrac{e^{u}-1}{u}=1$ .

Pourquoi

Le changement de variable ramène une limite en l'infini à une limite en $0$ , où la forme se lit mieux. Et l'on reconnaît ici le nombre dérivé de l'exponentielle en $0$ : aucune dérivation n'est nécessaire.

Étape 4

L'asymptote est donc $y=x+1$ .

Pourquoi

On écrit la droite en entier. Répondre « pente $1$ » sans l'ordonnée à l'origine vaut la moitié des points.

Étape 5

Écart : $f(x)-(x+1)=\dfrac{e^{u}-1-u}{u}\approx\dfrac{u}{2}=\dfrac{1}{2x}$ , positif.

Pourquoi

On pousse d'un cran, en utilisant $\dfrac{e^{u}-1-u}{u^{2}}\to\dfrac{1}{2}$ . C'est cela qui donne le CÔTÉ, information qu'un tracé faux perd.

Conclusion rédigée

« La droite $y=x+1$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$ , et la courbe passe AU-DESSUS de son asymptote, l'écart valant environ $\dfrac{1}{2x}$ , soit encore $0{,}005$ pour $x=100$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : S'arrêter à la pente sans calculer l'ordonnée à l'origine, ou trouver l'asymptote sans dire de quel côté la courbe l'aborde.

À savoir par cœur

• Sept formes indéterminées ; tout le reste se conclut par substitution.
• On dérive haut et bas SÉPARÉMENT : ce n'est pas la règle du quotient.
• On renomme la forme AVANT chaque nouvelle dérivation.
• Un taux de variation est un nombre dérivé : le lire, ne pas le dériver.
• Produit et différence se réécrivent en quotient avant toute dérivation.
• Forme exponentielle : logarithme, puis RETOUR à l'exponentielle.
• Une base qui tend vers $1$ n'est pas une base égale à $1$ .
• $\ln x\ll x^{p}\ll b^{x}$ : la hiérarchie dispense de calculer.
• Asymptote oblique : deux limites, puis un cran de plus pour le côté.
• Trois échecs possibles : boucle, pas de limite, aggravation.

Questions fréquentes

Quand a-t-on le droit d'appliquer la règle de L'Hôpital ?

Seulement si la substitution donne la forme zéro sur zéro ou infini sur infini, si les deux fonctions sont dérivables au voisinage du point, si la dérivée du dénominateur ne s'annule pas, et si le quotient des dérivées a bien une limite. Ces quatre conditions ne sont pas décoratives : appliquée à une limite qui n'était pas indéterminée, la règle donne un résultat sans aucun rapport, et quand le quotient des dérivées n'a pas de limite, elle ne dit rien du tout, ce qui ne signifie surtout pas que la limite de départ n'existe pas.

Pourquoi ne peut-on pas démontrer la limite du sinus sur x par L'Hôpital ?

Parce que ce serait circulaire. La dérivée du sinus a été établie à partir de cette limite précise, démontrée par un encadrement géométrique au chapitre des limites. Utiliser la dérivée pour redémontrer la limite revient à supposer ce qu'on veut prouver. Le résultat reste exact, c'est la démonstration qui est invalide, et un correcteur retire les points sur une question de démonstration tout en les accordant sur un simple calcul. Le même avertissement vaut pour la limite de l'exponentielle moins un sur x et pour celle du logarithme de un plus x sur x.

Comment traite-t-on une forme comme zéro puissance zéro ou un puissance infini ?

Toujours par le logarithme, en trois temps. On pose y égal à l'expression, on écrit le logarithme de y comme le produit de l'exposant par le logarithme de la base, ce qui donne une forme zéro fois l'infini déjà connue, et on la ramène à un quotient. On calcule la limite de ce logarithme, puis, et c'est l'étape qu'on oublie une fois sur trois, on repasse à l'exponentielle. Si la limite du logarithme vaut trois, celle de l'expression vaut e puissance trois, soit environ vingt, et non trois.

Que faire quand la règle tourne en rond ?

Changer d'outil, car insister ne donnera rien. Trois cas se présentent. Si le quotient dérivé redonne le quotient de départ, comme pour une racine carrée divisée par un polynôme, on factorise le terme dominant en haut et en bas. Si le quotient dérivé oscille sans converger, on simplifie l'expression ou on encadre les termes bornés. Et si chaque dérivation rend l'expression plus lourde, on pose u égal à un sur x, ce qui transforme une limite en zéro en une limite en l'infini ou l'inverse. Le signal d'alarme est simple : après deux tours, l'expression doit être plus simple qu'au départ.

À quoi sert ce chapitre dans la suite du cours ?

À quatre choses, toutes utilisées dès le chapitre du tracé de courbes. D'abord à comparer les croissances, ce qui dit si une courbe redescend vers l'axe ou file vers l'infini. Ensuite à trouver les asymptotes obliques, dont les deux limites sont presque toujours indéterminées. Puis à prolonger une fonction par continuité et à décider si le prolongement est dérivable, ce qui demande une seconde limite. Enfin à chiffrer la précision d'une approximation affine, en lisant dans une limite le premier terme négligé et son signe.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'Hôpital et formes indéterminées

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Bissection, Newton et point fixe Fiche suivante Étude de fonction et tracé de courbes

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Exercices : L'Hôpital et les formes indéterminées (201-NYA)Limites et continuité (201-NYA)Les dérivées des fonctions transcendantes (201-NYA)Le même chapitre revu en calcul intégral (201-NYB)Tous les chapitres du 201-NYA

Vous cherchez un tuteur en calcul différentiel 201-NYA à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On travaille les formes indéterminées et la rédaction attendue à l'examen, pour que les points de la démarche ne se perdent plus.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli