Exercice 0.1 : Déterminer le domaine : douze calculs directs

Pour chaque fonction, déterminez le domaine et écrivez-le en notation d'intervalles. Quand le domaine est la réunion de deux intervalles, donnez l'intervalle de gauche puis celui de droite ; quand c'est $\mathbb{R}$ privé de quelques valeurs, donnez ces valeurs exclues.

Une seule méthode pour les douze lignes : repérer chacun des trois interdits présents (un dénominateur nul, une racine d'indice PAIR d'un nombre négatif, un logarithme d'un nombre qui n'est pas strictement positif), écrire la condition que chacun impose, la résoudre, puis prendre l'intersection de toutes les conditions. Une racine au dénominateur rend l'inégalité stricte ; une racine cubique n'interdit rien.

a) $f(x)=4x^{3}-x+7$
b) $f(x)=\sqrt{10-4x}$
c) $f(x)=\frac{2x-1}{x^{2}+x-12}$
d) $f(x)=\frac{x}{|x|-3}$
e) $f(x)=\sqrt[3]{\frac{x+2}{x-7}}$
f) $f(x)=\sqrt{x^{2}-2x-8}$
g) $f(x)=\frac{3}{\sqrt{12+x-x^{2}}}$
h) $f(x)=\frac{\sqrt{x+5}}{x-1}$
i) $f(x)=\ln\left(x^{2}+3x-10\right)$
j) $f(x)=\frac{1}{\ln(x+2)}$
k) $f(x)=\frac{1}{e^{2x}-4e^{x}+3}$
l) $f(x)=\arcsin(3-2x)$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/19

a)

domaine ;

b)

domaine ;

c)

valeur exclue, la plus petite

valeur exclue, la plus grande

d)

valeur exclue, la plus petite

valeur exclue, la plus grande

e)

seule valeur exclue

f)

intervalle de gauche ;

intervalle de droite ;

g)

domaine ;

h)

intervalle de gauche ;

intervalle de droite ;

i)

intervalle de gauche ;

intervalle de droite ;

j)

intervalle de gauche ;

intervalle de droite ;

k)

valeur exclue, la plus petite

valeur exclue, la plus grande

l)

domaine ;

Voir la correction

Réponses

a) $\left]-\infty\,;+\infty\right[$
b) $\left]-\infty\,;\frac{5}{2}\right]$
c) $\mathbb{R}\setminus\{-4\,;3\}$
d) $\mathbb{R}\setminus\{-3\,;3\}$
e) $\mathbb{R}\setminus\{7\}$
f) $\left]-\infty\,;-2\right]\cup\left[4\,;+\infty\right[$
g) $\left]-3\,;4\right[$
h) $\left[-5\,;1\right[\cup\left]1\,;+\infty\right[$
i) $\left]-\infty\,;-5\right[\cup\left]2\,;+\infty\right[$
j) $\left]-2\,;-1\right[\cup\left]-1\,;+\infty\right[$
k) $\mathbb{R}\setminus\{0\,;\ln 3\}$ , $\ln 3\approx 1{,}099$
l) $[1\,;2]$

Le geste qui décide de tout : écrire la CONDITION avant de la résoudre, une par interdit, et ne jamais en oublier une. $\frac{\sqrt{x+5}}{x-1}$ en porte deux, $x+5\ge 0$ et $x-1\neq 0$ ; $\frac{1}{\ln(x+2)}$ aussi, $x+2>0$ et $\ln(x+2)\neq 0$ . Le domaine est ce qui les satisfait TOUTES.

a)

Un polynôme n'a aucun interdit : $\text{dom}\,f=\mathbb{R}=\left]-\infty\,;+\infty\right[$ .

b)

$10-4x\ge 0\iff -4x\ge-10\iff x\le\frac{5}{2}$ , le sens change parce qu'on divise par $-4$ . $\text{dom}\,f=\left]-\infty\,;\frac{5}{2}\right]$ , borne comprise puisque $\sqrt{0}$ existe. Piège : garder le sens et écrire $x\ge\frac{5}{2}$ .

c)

$x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)\neq 0$ : $x\neq-4$ et $x\neq 3$ . $\text{dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{-4\,;3\}$ . Le numérateur ne joue aucun rôle.

d)

$|x|-3\neq 0\iff|x|\neq 3\iff x\neq\pm 3$ . $\text{dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{-3\,;3\}$ . Piège : n'exclure que $x=3$ , en oubliant que $|-3|=3$ aussi.

e)

Une racine CUBIQUE accepte les négatifs : seul le dénominateur compte, $x\neq 7$ . $\text{dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{7\}$ . Piège : imposer $\frac{x+2}{x-7}\ge 0$ comme pour une racine carrée, ce qui retirerait à tort tout l'intervalle $\left]-2\,;7\right[$ .

f)

$x^{2}-2x-8=(x+2)(x-4)\ge 0$ : le trinôme est positif à l'extérieur des racines. $\text{dom}\,f=\left]-\infty\,;-2\right]\cup\left[4\,;+\infty\right[$ , bornes comprises.

g)

La racine est au dénominateur : $12+x-x^{2}>0$ , STRICTEMENT. Or $12+x-x^{2}=-(x-4)(x+3)$ , positif ENTRE les racines. $\text{dom}\,f=\left]-3\,;4\right[$ . Piège : fermer les crochets, alors qu'en $-3$ et en $4$ on diviserait par $0$ .

h)

Deux conditions : $x+5\ge 0$ , soit $x\ge-5$ , et $x-1\neq 0$ , soit $x\neq 1$ . $\text{dom}\,f=\left[-5\,;1\right[\cup\left]1\,;+\infty\right[$ . Piège : oublier de retirer $1$ , qui est bien dans le domaine de la racine.

i)

$x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2)>0$ , strictement, à l'extérieur des racines. $\text{dom}\,f=\left]-\infty\,;-5\right[\cup\left]2\,;+\infty\right[$ . Piège : fermer les crochets, alors que $\ln 0$ n'existe pas.

j)

Deux conditions : $x+2>0$ , soit $x>-2$ , et $\ln(x+2)\neq 0$ , soit $x+2\neq 1$ , donc $x\neq-1$ . $\text{dom}\,f=\left]-2\,;-1\right[\cup\left]-1\,;+\infty\right[$ . Piège : écrire $\ln(x+2)\neq 0\iff x\neq-2$ , en confondant le zéro du logarithme ( $u=1$ ) et sa borne ( $u=0$ ).

k)

On pose $u=e^{x}$ : $u^{2}-4u+3=(u-1)(u-3)\neq 0$ , donc $e^{x}\neq 1$ et $e^{x}\neq 3$ , soit $x\neq 0$ et $x\neq\ln 3\approx 1{,}099$ . $\text{dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{0\,;\ln 3\}$ . Piège : répondre $x\neq 1$ et $x\neq 3$ , valeurs de $e^{x}$ et non de $x$ .

l)

$\arcsin$ n'accepte que $[-1\,;1]$ : $-1\le 3-2x\le 1\iff-4\le-2x\le-2\iff 2\ge x\ge 1$ . $\text{dom}\,f=[1\,;2]$ . Piège : diviser par $-2$ sans renverser les deux inégalités, ce qui donne l'intervalle vide $[2\,;1]$ .

Contrôle : on évalue $f$ à la machine en un point juste à l'intérieur et juste à l'extérieur de chaque borne, par exemple en $3{,}999$ et en $4{,}001$ à la ligne g) ; la machine doit répondre « erreur » exactement du côté exclu, et aux valeurs exclues elles-mêmes.

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Exercice 0.2 : Composer deux fonctions et inverser : dix calculs directs

Pour chaque ligne, calculez la valeur demandée : une composée en un point, $(f\circ g)(a)=f\left(g(a)\right)$ , ou la valeur d'une réciproque en un point, $f^{-1}(b)$ . Quand une valeur n'existe pas, dites-le.

Une composée se calcule de l'intérieur vers l'extérieur : on évalue d'abord la fonction écrite à DROITE du rond, puis on donne le résultat à celle de gauche. Pour $f^{-1}(b)$ , inutile d'écrire la formule de la réciproque : on cherche le nombre $x$ tel que $f(x)=b$ , puis on vérifie qu'il appartient au domaine de $f$ , ou à sa restriction. Si aucun $x$ ne convient, $b$ n'est pas dans l'image de $f$ et $f^{-1}(b)$ n'existe pas.

a) $f(x)=3x-1$ et $g(x)=x^{2}+2$ : $(f\circ g)(2)$ , puis $(g\circ f)(2)$ .
b) $f(x)=5-2x$ : $(f\circ f)(3)$ .
c) $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=x^{2}-7$ : $(f\circ g)(4)$ , puis $(g\circ f)(4)$ .
d) $f(x)=\frac{1}{x}$ et $g(x)=2x+3$ : $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right)$ , puis $(g\circ f)\left(\frac{1}{2}\right)$ .
e) $f(x)=|x-4|$ et $g(x)=x^{2}-3x$ : $(f\circ g)(1)$ , puis $(g\circ f)(1)$ .
f) $f(x)=4x+7$ : $f^{-1}(-5)$ .
g) $f(x)=\frac{3x+2}{x-1}$ : $f^{-1}(5)$ .
h) $f(x)=\sqrt{2x+5}$ : $f^{-1}(3)$ , puis $f^{-1}(-1)$ .
i) $f(x)=x^{2}-6$ restreinte à $\left[0\,;+\infty\right[$ : $f^{-1}(10)$ .
j) $f(x)=3\cdot 2^{x}$ : $f^{-1}(24)$ ; puis $g(x)=\ln(x-2)$ : $g^{-1}(1)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/16

a)

(f\circ g)(2)

(g\circ f)(2)

b)

(f\circ f)(3)

c)

(f\circ g)(4)

(g\circ f)(4)

d)

(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right)

(g\circ f)\left(\frac{1}{2}\right)

e)

(f\circ g)(1)

(g\circ f)(1)

f)

f^{-1}(-5)

g)

f^{-1}(5)

h)

f^{-1}(3)

f^{-1}(-1)

i)

f^{-1}(10)

j)

f^{-1}(24)

g^{-1}(1)

Voir la correction

Réponses

a) $(f\circ g)(2)=17$ ; $(g\circ f)(2)=27$
b) $(f\circ f)(3)=f(-1)=7$
c) $(f\circ g)(4)=3$ ; $(g\circ f)(4)=-3$
d) $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$ ; $(g\circ f)\left(\frac{1}{2}\right)=7$
e) $(f\circ g)(1)=6$ ; $(g\circ f)(1)=0$
f) $f^{-1}(-5)=-3$
g) $f^{-1}(5)=\frac{7}{2}$
h) $f^{-1}(3)=2$ ; $f^{-1}(-1)$ n'existe pas
i) $f^{-1}(10)=4$
j) $f^{-1}(24)=3$ ; $g^{-1}(1)=2+e\approx 4{,}718$

Le geste qui décide de tout : lire $(f\circ g)(a)$ de DROITE à GAUCHE, $g$ d'abord, et lire $f^{-1}(b)$ comme une ÉQUATION, $f(x)=b$ , jamais comme un inverse $\frac{1}{f(b)}$ . Les deux pièges du chapitre tiennent dans ces deux lectures.

a)

$(f\circ g)(2)=f\left(g(2)\right)=f(6)=17$ ; $(g\circ f)(2)=g\left(f(2)\right)=g(5)=27$ . Les deux résultats diffèrent : la composition n'est pas commutative. Piège : calculer $g$ en dernier pour $(f\circ g)$ .

b)

$(f\circ f)(3)=f\left(f(3)\right)=f(-1)=5+2=7$ . Piège : $(f\circ f)(3)$ n'est pas $\left(f(3)\right)^{2}=1$ ; on compose, on ne multiplie pas.

c)

$(f\circ g)(4)=f(16-7)=f(9)=3$ ; $(g\circ f)(4)=g(2)=4-7=-3$ .

d)

$(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right)=f(1+3)=f(4)=\frac{1}{4}$ ; $(g\circ f)\left(\frac{1}{2}\right)=g(2)=7$ .

e)

$(f\circ g)(1)=f(1-3)=f(-2)=|-6|=6$ ; $(g\circ f)(1)=g\left(|1-4|\right)=g(3)=9-9=0$ . Piège : laisser tomber la valeur absolue et répondre $-6$ .

f)

$4x+7=-5\iff 4x=-12\iff x=-3$ , donc $f^{-1}(-5)=-3$ . Contrôle : $f(-3)=-12+7=-5$ . Piège : $f^{-1}(-5)=\frac{1}{f(-5)}=-\frac{1}{13}$ , qui confond réciproque et inverse.

g)

$\frac{3x+2}{x-1}=5\iff 3x+2=5x-5\iff 7=2x\iff x=\frac{7}{2}$ , et $\frac{7}{2}\neq 1$ est dans le domaine. $f^{-1}(5)=\frac{7}{2}$ . Contrôle : $f\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{12{,}5}{2{,}5}=5$ . Piège : calculer $f(5)=\frac{17}{4}$ .

h)

$\sqrt{2x+5}=3\iff 2x+5=9\iff x=2$ , donc $f^{-1}(3)=2$ . En revanche, une racine carrée n'est jamais négative : l'image de $f$ est $\left[0\,;+\infty\right[$ , $-1$ n'y est pas, et $f^{-1}(-1)$ n'existe pas. Piège : élever au carré, $2x+5=1$ , et répondre $x=-2$ , alors que $f(-2)=1\neq-1$ .

i)

$x^{2}-6=10\iff x^{2}=16\iff x=\pm 4$ , mais la restriction impose $x\ge 0$ : $f^{-1}(10)=4$ . Piège : répondre $-4$ , ou les deux ; une réciproque donne UNE valeur, prise dans le domaine de la restriction.

j)

$3\cdot 2^{x}=24\iff 2^{x}=8\iff x=3$ , donc $f^{-1}(24)=3$ . Puis $\ln(x-2)=1\iff x-2=e\iff x=2+e\approx 4{,}718$ , donc $g^{-1}(1)=2+e$ . Piège : écrire $x-2=1$ , alors que $\ln(x-2)=1$ veut dire $x-2=e^{1}$ .

Contrôle : pour une réciproque, on remplace la valeur trouvée dans $f$ et l'on doit retrouver $b$ ; pour une composée, on refait le calcul en écrivant d'abord la formule de $f\circ g$ , par exemple $(f\circ g)(x)=3(x^{2}+2)-1=3x^{2}+5$ à la ligne a), qui donne bien $17$ en $x=2$ .

Exercice 1 : Le domaine : les trois seuls interdits

Déterminez le domaine de chacune de ces fonctions, et écrivez-le en notation d'intervalles.

a) $f(x)=\frac{x+3}{x^{2}-4}$
b) $g(x)=\sqrt{6-2x}$
c) $h(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-x-6}}{x-4}$
d) $k(x)=\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}$ . Comparez son domaine à celui de $\sqrt{9-x^{2}}$ et expliquez la différence.

Voir la correction

Réponses

a) $\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$
b) $\left]-\infty,3\right]$
c) $\left]-\infty,-2\right]\cup\left[3,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$
d) $\left]-3,3\right[$ contre $\left[-3,3\right]$ : racine au dénominateur

a)

Un quotient interdit le dénominateur nul, et c'est le seul interdit ici. $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ s'annule en $x=2$ et $x=-2$ . Donc $\text{dom}\,f=\left]-\infty,-2\right[\cup\left]-2,2\right[\cup\left]2,+\infty\right[$ , ce qui s'écrit aussi $\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$ . Le numérateur ne joue AUCUN rôle dans le domaine : une copie qui exclut $x=-3$ parce que le numérateur s'annule confond racine et valeur interdite.

b)

Une racine d'indice PAIR exige un radicande positif ou nul : $6-2x\ge 0$ , soit $x\le 3$ . Donc $\text{dom}\,g=\left]-\infty,3\right]$ . Le crochet est fermé en $3$ parce que $\sqrt{0}=0$ existe : c'est exactement la différence avec le point d).

c)

Deux interdits se cumulent. D'abord la racine : $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)\ge 0$ . Le tableau de signes du trinôme, positif à l'extérieur de ses racines, donne $x\le-2$ ou $x\ge 3$ . Ensuite le dénominateur : $x\neq 4$ . En croisant les deux conditions, $\text{dom}\,h=\left]-\infty,-2\right]\cup\left[3,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$ , avec un crochet toujours ouvert du côté de l'infini. Contrôle rapide : $h(0)$ demande $\sqrt{-6}$ , donc $0$ doit être hors du domaine ✓, et $h(5)=\frac{\sqrt{14}}{1}$ existe ✓.

d)

Ici la racine est au DÉNOMINATEUR, donc elle doit être définie ET non nulle : $9-x^{2}>0$ , inégalité STRICTE, soit $-3<x<3$ et $\text{dom}\,k=\left]-3,3\right[$ . Pour $\sqrt{9-x^{2}}$ , l'inégalité est large et le domaine est $\left[-3,3\right]$ . Les deux bornes $\pm 3$ appartiennent au second domaine et pas au premier, parce qu'y annuler le radicande donne $0$ , valeur parfaitement acceptable sous une racine mais interdite au dénominateur. C'est la distinction la plus rentable du chapitre : elle décide du domaine, donc des asymptotes verticales, donc des limites qu'il faudra calculer au chapitre suivant.

Exercice 2 : Valeur absolue et fonction définie par morceaux

Soit $f(x)=|x-1|+|x+2|$ .

a) Écrivez $f$ sans valeur absolue, sous forme d'une fonction définie par morceaux.
b) Tracez le graphe de $f$ et donnez son image.
c) Résolvez $f(x)=7$ .
d) Interprétez $f(x)$ comme une somme de distances, et expliquez d'où vient le palier.

Voir la correction

Réponses

a) $-2x-1$ si $x<-2$ ; $3$ si $-2\le x<1$ ; $2x+1$ si $x\ge 1$
b) Image $\left[3,+\infty\right[$
c) $\{-4\,;3\}$
d) Somme des distances à $1$ et à $-2$ : palier de hauteur $3$

a)

Les deux valeurs absolues changent de définition en $x=1$ et en $x=-2$ : ce sont les points de rupture, et ils découpent $\mathbb{R}$ en trois morceaux. Si $x<-2$ , alors $x-1<0$ et $x+2<0$ , donc $f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1$ . Si $-2\le x<1$ , alors $x-1<0$ mais $x+2\ge 0$ , donc $f(x)=-(x-1)+(x+2)=3$ . Si $x\ge 1$ , les deux sont positifs et $f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1$ . Le geste à retenir : on ne devine pas les signes, on place les deux points de rupture sur une droite et on lit chaque intervalle.

b)

Le graphe est formé de trois morceaux : une demi-droite de pente $-2$ jusqu'à $(-2,3)$ , un segment horizontal à hauteur $3$ entre $x=-2$ et $x=1$ , puis une demi-droite de pente $2$ à partir de $(1,3)$ . Les raccords sont continus : $-2(-2)-1=3$ et $2(1)+1=3$ . L'image est $\left[3,+\infty\right[$ : la valeur $3$ est atteinte sur tout un segment, pas en un seul point, et rien en dessous n'est atteint.

c)

On résout morceau par morceau, en vérifiant à chaque fois que la solution appartient bien au morceau. Sur $x<-2$ : $-2x-1=7$ donne $x=-4$ , qui vérifie bien $-4<-2$ ✓. Sur $-2\le x<1$ : $3=7$ est impossible, aucune solution. Sur $x\ge 1$ : $2x+1=7$ donne $x=3$ , qui vérifie $3\ge 1$ ✓. L'ensemble solution est $\{-4;3\}$ . Contrôle : $f(-4)=|-5|+|-2|=5+2=7$ ✓ et $f(3)=|2|+|5|=2+5=7$ ✓. Oublier de vérifier l'appartenance au morceau est l'erreur classique : elle produit des solutions parasites qui coûtent un point chacune.

d)

$|x-1|$ est la distance de $x$ au point $1$ , et $|x+2|=|x-(-2)|$ la distance de $x$ au point $-2$ . Donc $f(x)$ est la somme des distances de $x$ à deux points distants de $3$ . Quand $x$ est ENTRE les deux, cette somme vaut exactement l'écartement, soit $3$ , quelle que soit la position : c'est le palier. Quand $x$ sort de l'intervalle, chaque pas supplémentaire éloigne de DEUX points à la fois, d'où les pentes $\pm 2$ . Cette lecture donne le graphe et le minimum sans aucun calcul, et elle se généralise : $|x-a|+|x-b|$ a pour minimum $|b-a|$ , atteint sur tout le segment $[a,b]$ .

Exercice 3 : Opérations sur les fonctions : le domaine ne suit pas

Soit $f(x)=\sqrt{x+1}$ et $g(x)=\sqrt{4-x}$ .

a) Donnez $\text{dom}\,f$ et $\text{dom}\,g$ .
b) Donnez $\text{dom}(f+g)$ , $\text{dom}(f\cdot g)$ et $\text{dom}\left(\frac{f}{g}\right)$ , et dites précisément ce qui distingue le troisième des deux premiers.
c) Calculez $(f+g)(0)$ et $(f+g)(3)$ .
d) Montrez que $(f\cdot g)(x)=\sqrt{(x+1)(4-x)}$ et déterminez son maximum sans dériver.

Voir la correction

Réponses

a) $\left[-1,+\infty\right[$ et $\left]-\infty,4\right]$
b) $\left[-1,4\right]$ , $\left[-1,4\right]$ et $\left[-1,4\right[$
c) $(f+g)(0)=(f+g)(3)=3$
d) Maximum $\frac{5}{2}$ en $x=\frac{3}{2}$

a)

$\text{dom}\,f=\left[-1,+\infty\right[$ car $x+1\ge 0$ , et $\text{dom}\,g=\left]-\infty,4\right]$ car $4-x\ge 0$ .

b)

La règle générale : le domaine d'une somme, d'une différence ou d'un produit est l'INTERSECTION des domaines, car il faut que les deux fonctions existent. Ici $\text{dom}(f+g)=\text{dom}(f\cdot g)=\left[-1,+\infty\right[\cap\left]-\infty,4\right]=\left[-1,4\right]$ . Pour le quotient s'ajoute une condition, et une seule : le dénominateur ne doit pas s'annuler. Or $g(x)=0$ pour $x=4$ . Donc $\text{dom}\left(\frac{f}{g}\right)=\left[-1,4\right[$ . C'est le point qui coûte régulièrement un point à l'examen : on retire les zéros du DÉNOMINATEUR, jamais ceux du numérateur, et on les retire d'une intersection déjà calculée.

c)

$(f+g)(0)=\sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3$ . $(f+g)(3)=\sqrt{4}+\sqrt{1}=2+1=3$ également, ce qui n'est pas un hasard : la somme est symétrique par rapport au milieu de $\left[-1,4\right]$ , c'est-à-dire $x=1{,}5$ , puisque échanger $x+1$ et $4-x$ revient à réfléchir autour de ce point.

d)

$(f\cdot g)(x)=\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{4-x}=\sqrt{(x+1)(4-x)}$ : le produit de deux racines est la racine du produit, à condition que les deux radicandes soient positifs, ce qui est exactement le domaine trouvé au point b). Le radicande $(x+1)(4-x)=-x^{2}+3x+4$ est un trinôme de coefficient dominant négatif, donc une parabole concave, dont le sommet est en $x=-\frac{3}{2(-1)}=\frac{3}{2}$ . La racine carrée étant croissante, elle atteint son maximum au même endroit que son radicande : $(f\cdot g)\left(\frac{3}{2}\right)=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)}=\frac{5}{2}$ . Aucune dérivée n'a été nécessaire, et l'argument « la racine carrée est croissante donc elle conserve les extremums » sert tout au long du cours.

Exercice 4 : La composition, et le domaine qui n'est pas celui qu'on croit

Soit $f(x)=\frac{1}{x-2}$ et $g(x)=\sqrt{x}$ .

a) Écrivez $(f\circ g)(x)$ et donnez son domaine.
b) Écrivez $(g\circ f)(x)$ et donnez son domaine.
c) Ces deux fonctions sont-elles égales ? Appuyez-vous sur un contre-exemple chiffré.
d) Décomposez $h(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+3}}$ en une composition de trois fonctions simples.

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ , domaine $\left[0,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$
b) $\sqrt{\frac{1}{x-2}}$ , domaine $\left]2,+\infty\right[$
c) Non : $-3{,}732$ contre $1$ en $x=3$
d) $h=w\circ v\circ u$ avec $u=x^{2}+3$ , $v=\sqrt{t}$ , $w=\frac{1}{s}$

a)

$(f\circ g)(x)=f\left(\sqrt{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ . Le domaine se construit en DEUX temps, jamais en un seul. Premier temps : $x$ doit appartenir au domaine de $g$ , donc $x\ge 0$ . Second temps : $g(x)$ doit appartenir au domaine de $f$ , donc $\sqrt{x}\neq 2$ , c'est-à-dire $x\neq 4$ . Conclusion : $\text{dom}(f\circ g)=\left[0,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$ . Lire le domaine sur l'expression simplifiée $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ donnerait ici le bon résultat par chance, mais la méthode en deux temps est la seule sûre.

b)

$(g\circ f)(x)=g\left(\frac{1}{x-2}\right)=\sqrt{\frac{1}{x-2}}$ . Premier temps : $x\neq 2$ . Second temps : $\frac{1}{x-2}\ge 0$ , ce qui impose $x-2>0$ , soit $x>2$ . Conclusion : $\text{dom}(g\circ f)=\left]2,+\infty\right[$ . Les deux domaines sont donc radicalement différents, ce qui suffit déjà à conclure au point c).

c)

Non. Deux fonctions sont égales quand elles ont le même domaine ET la même valeur en chaque point, et ici la première condition tombe déjà : $0$ appartient à $\text{dom}(f\circ g)$ et pas à $\text{dom}(g\circ f)$ . Contre-exemple chiffré sur un point commun aux deux domaines, $x=3$ : $(f\circ g)(3)=\frac{1}{\sqrt{3}-2}\approx-3{,}732$ , tandis que $(g\circ f)(3)=\sqrt{\frac{1}{1}}=1$ . La composition n'est PAS commutative, et l'ordre de lecture est celui de l'intérieur vers l'extérieur : dans $f\circ g$ , c'est $g$ qui agit en premier.

d)

On lit $h$ de l'intérieur vers l'extérieur, ce qui est exactement l'ordre dans lequel une calculatrice l'évaluerait. On élève au carré et on ajoute $3$ : $u(x)=x^{2}+3$ . On prend la racine : $v(t)=\sqrt{t}$ . On inverse : $w(s)=\frac{1}{s}$ . Alors $h=w\circ v\circ u$ . Vérification en $x=1$ : $u(1)=4$ , $v(4)=2$ , $w(2)=\frac{1}{2}$ , et $h(1)=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$ ✓. Cette décomposition n'est pas un exercice gratuit : c'est exactement l'ordre dans lequel la règle de chaîne dérivera $h$ au chapitre de la dérivée, une couche après l'autre, en partant de l'extérieur.

Exercice 5 : Lire un graphe transformé

La figure montre la parabole $y=x^{2}$ et la courbe d'une fonction $g$ obtenue à partir d'elle par transformations.

a) Identifiez les transformations et donnez l'expression de $g$ .
b) Dans quel ordre faut-il appliquer les transformations de $y=-2f(x-1)+3$ ? Justifiez que l'ordre compte.
c) Si $(a,b)$ est un point du graphe de $f$ , quel point du graphe de $y=-2f(x-1)+3$ lui correspond ?
d) $f$ a pour domaine $\left[-2,6\right]$ et pour image $\left[0,5\right]$ . Donnez le domaine et l'image de $y=-2f(x-1)+3$ .

Voir la correction

Réponses

a) $g(x)=(x-1)^{2}-4$
b) Translation horizontale, étirement, réflexion, translation verticale
c) $(a+1\,;\,-2b+3)$
d) Domaine $\left[-1,7\right]$ , image $\left[-7,3\right]$

a)

Le sommet de $y=x^{2}$ est en $(0,0)$ ; celui de la seconde courbe se lit en $(1,-4)$ . Les deux courbes ont la même ouverture, donc aucun étirement vertical : il s'agit d'une translation de $1$ vers la droite et de $4$ vers le bas, soit $g(x)=(x-1)^{2}-4$ . Contrôle sur un second point : $g(3)=4-4=0$ ✓, et la courbe coupe bien l'axe des abscisses en $x=3$ , ainsi qu'en $x=-1$ .

b)

L'ordre est celui des opérations sur $x$ puis sur $y$ : d'abord la translation horizontale $x\mapsto x-1$ , ensuite l'étirement vertical de facteur $2$ , ensuite la réflexion par rapport à l'axe des abscisses, enfin la translation verticale de $+3$ . L'ordre compte parce que ces transformations ne commutent pas : réfléchir puis monter de $3$ donne $-f(x)+3$ , tandis que monter de $3$ puis réfléchir donne $-\left(f(x)+3\right)=-f(x)-3$ , deux courbes distantes de $6$ unités. La règle de lecture qui ne trompe pas : ce qui est COLLÉ à $x$ agit à l'envers et en premier, ce qui est à l'extérieur agit dans le sens naturel et en dernier.

c)

$x-1=a$ donne $x=a+1$ , et l'ordonnée devient $-2b+3$ . Le point image est donc $(a+1,\,-2b+3)$ . Le décalage se fait dans le sens OPPOSÉ à celui qui est écrit dans la parenthèse, ce qui est la source d'erreur la plus fréquente : $f(x-1)$ décale vers la DROITE.

d)

Domaine : chaque abscisse est augmentée de $1$ , donc $\left[-2+1,6+1\right]=\left[-1,7\right]$ . Image : on applique $b\mapsto-2b+3$ aux valeurs de $\left[0,5\right]$ . Comme la fonction $b\mapsto-2b+3$ est DÉCROISSANTE, elle échange les bornes : $b=0$ donne $3$ et $b=5$ donne $-7$ . L'image est donc $\left[-7,3\right]$ , et non $\left[3,-7\right]$ qui ne veut rien dire. Écrire l'intervalle image dans le mauvais ordre, ou oublier l'inversion due au coefficient négatif, coûte le point entier de la question.

Exercice 6 : Fonctions réciproques : existence, domaine et image

Soit $f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$ .

a) Donnez le domaine et l'image de $f$ .
b) Déterminez $f^{-1}$ et donnez son domaine et son image.
c) Vérifiez que $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$ sur un point choisi, puis en général.
d) Soit $g(x)=x^{2}-4x$ . Pourquoi $g$ n'admet-elle pas de réciproque sur $\mathbb{R}$ ? Donnez la réciproque de sa restriction à $\left[2,+\infty\right[$ , puis celle de sa restriction à $\left]-\infty,2\right]$ .

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Réponses

a) Domaine $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ , image $\mathbb{R}\setminus\{2\}$
b) $f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}$ , domaine $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ , image $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$
c) $f^{-1}(5)=-\frac{16}{3}$ et $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$
d) Non injective ; $2+\sqrt{x+4}$ et $2-\sqrt{x+4}$ sur $\left[-4,+\infty\right[$

a)

$\text{dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ . Pour l'image, on cherche les $y$ atteints : $y=\frac{2x-1}{x+3}$ équivaut à $y(x+3)=2x-1$ , soit $x(y-2)=-1-3y$ . Cette équation a une solution en $x$ pour tout $y\neq 2$ , et aucune pour $y=2$ puisqu'elle deviendrait $0=-7$ . Donc l'image est $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . On retrouve $2$ comme le rapport des coefficients de $x$ , ce qui est l'asymptote horizontale de cette fonction homographique.

b)

De $x(y-2)=-1-3y$ on tire $x=\frac{-1-3y}{y-2}=\frac{3y+1}{2-y}$ . Donc $f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}$ . Son domaine est l'image de $f$ , soit $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ , et son image est le domaine de $f$ , soit $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ . Cet échange n'est pas une coïncidence à vérifier au cas par cas : c'est la définition même d'une réciproque, et le citer rapporte le point de justification.

c)

En $x=5$ : $f^{-1}(5)=\frac{16}{-3}=-\frac{16}{3}$ , puis $f\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{-\frac{32}{3}-1}{-\frac{16}{3}+3}=\frac{-\frac{35}{3}}{-\frac{7}{3}}=5$ ✓. En général : $f\left(\frac{3x+1}{2-x}\right)=\frac{2\cdot\frac{3x+1}{2-x}-1}{\frac{3x+1}{2-x}+3}=\frac{\frac{6x+2-(2-x)}{2-x}}{\frac{3x+1+3(2-x)}{2-x}}=\frac{7x}{7}=x$ ✓. Multiplier haut et bas par $(2-x)$ fait disparaître l'étage de fractions en une ligne : c'est la manipulation à connaître, et elle resservira sur toutes les fonctions homographiques.

d)

$g$ n'est pas injective sur $\mathbb{R}$ : $g(0)=0$ et $g(4)=0$ , deux antécédents pour une même image, donc aucune fonction ne peut renvoyer $0$ vers les deux à la fois. Graphiquement, une horizontale coupe la parabole en deux points. En complétant le carré, $g(x)=(x-2)^{2}-4$ , ce qui donne les deux restrictions naturelles de part et d'autre du sommet $x=2$ . Sur $\left[2,+\infty\right[$ : $y=(x-2)^{2}-4$ donne $x-2=\sqrt{y+4}$ , la racine POSITIVE puisque $x\ge 2$ , d'où $g^{-1}(x)=2+\sqrt{x+4}$ , de domaine $\left[-4,+\infty\right[$ . Sur $\left]-\infty,2\right]$ : $x-2=-\sqrt{y+4}$ , d'où $g^{-1}(x)=2-\sqrt{x+4}$ , de même domaine. Le choix du signe devant la racine est TOUJOURS dicté par la restriction choisie, jamais par l'habitude.

Exercice 7 : Le cercle trigonométrique et les fonctions périodiques

Toutes les mesures d'angle sont en radians.

a) Donnez les valeurs exactes de $\sin\frac{5\pi}{6}$ , $\cos\frac{5\pi}{6}$ , $\tan\frac{7\pi}{4}$ et $\cos\frac{4\pi}{3}$ .
b) Résolvez $2\cos x=\sqrt{3}$ sur $\left[0,2\pi\right[$ .
c) Pour $h(x)=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+1$ , donnez l'amplitude, la période, le déphasage et l'image.
d) Donnez le domaine de $\tan$ et celui de $\sec$ , et dites ce que ces domaines ont en commun.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

\sin\frac{5\pi}{6}

\cos\frac{5\pi}{6}

\tan\frac{7\pi}{4}

\cos\frac{4\pi}{3}

b)

Plus petite solution (en multiples de π)

Plus grande solution (en multiples de π)

c)

Amplitude

Période (en multiples de π)

Déphasage (en multiples de π)

Image ;

d)

\tan

n'existe pas en

Le domaine de

\sec

est

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Réponses

a) $\frac{1}{2}$ ; $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $-1$ ; $-\frac{1}{2}$
b) $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{11\pi}{6}$
c) Amplitude 3, période $\pi$ , déphasage $\frac{\pi}{6}$ , image $\left[-2,4\right]$
d) $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ pour les deux

a)

On ramène chaque angle à son angle de référence et on lit le signe dans le quadrant. $\frac{5\pi}{6}$ est au deuxième quadrant, de référence $\frac{\pi}{6}$ : le sinus y est positif et le cosinus négatif, donc $\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$ et $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . $\frac{7\pi}{4}$ est au quatrième quadrant, de référence $\frac{\pi}{4}$ : la tangente y est négative, donc $\tan\frac{7\pi}{4}=-1$ . $\frac{4\pi}{3}$ est au troisième quadrant, de référence $\frac{\pi}{3}$ : le cosinus y est négatif, donc $\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ . La méthode « angle de référence puis signe du quadrant » remplace avantageusement l'apprentissage par cœur d'un tableau de vingt-quatre valeurs.

b)

$2\cos x=\sqrt{3}$ donne $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . L'angle de référence est $\frac{\pi}{6}$ , et le cosinus est positif dans les premier et quatrième quadrants. Sur $\left[0,2\pi\right[$ , les solutions sont donc $x=\frac{\pi}{6}$ et $x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$ . Ne donner qu'une solution est l'erreur la plus fréquente et coûte la moitié de la question : une équation trigonométrique a toujours deux familles de solutions par tour, sauf aux valeurs extrêmes $\pm 1$ .

c)

On lit sur la forme $a\sin\left(b(x-c)\right)+d$ . Ici $3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+1=3\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)+1$ : il faut METTRE $b$ EN FACTEUR avant de lire le déphasage, faute de quoi on annonce $\frac{\pi}{3}$ au lieu de $\frac{\pi}{6}$ . Amplitude $|a|=3$ ; période $\frac{2\pi}{|b|}=\pi$ ; déphasage $\frac{\pi}{6}$ vers la droite; décalage vertical $1$ . Comme $\sin$ parcourt $\left[-1,1\right]$ , l'image est $\left[3(-1)+1,\,3(1)+1\right]=\left[-2,4\right]$ .

d)

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ et $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ : les deux ont le même dénominateur, donc le même domaine, $\left\{x\in\mathbb{R}\;:\;x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right\}$ . Ce qu'ils ont en commun est précisément l'annulation du cosinus, qui produit une asymptote verticale à chacune de ces valeurs. Retenir ce lien évite d'apprendre deux domaines : $\tan$ , $\sec$ et leurs carrés vivent tous là où $\cos x\neq 0$ , et $\cot$ , $\csc$ là où $\sin x\neq 0$ .

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chaque affirmation est fausse. Dites en une phrase pourquoi, puis écrivez l'énoncé correct.

a) « Le domaine de $\frac{f}{g}$ est l'intersection des domaines de $f$ et de $g$ . »
b) « Le domaine de $f\circ g$ est le domaine de $g$ . »
c) « $\sqrt{x^{2}}=x$ . »
d) « Toute fonction admet une fonction réciproque, il suffit d'isoler $x$ . »
e) « Le domaine de $\sqrt{x^{2}-4}$ est $\left[2,+\infty\right[$ . »

Voir la correction

Réponses

a) Retirer les zéros de $g$
b) $x\in\text{dom}\,g$ et $g(x)\in\text{dom}\,f$
c) $\sqrt{x^{2}}=|x|$
d) Réciproque si et seulement si $f$ est injective
e) $\left]-\infty,-2\right]\cup\left[2,+\infty\right[$

a)

FAUX, il manque une condition. L'intersection garantit que les deux fonctions existent, mais un quotient exige en plus que le dénominateur ne s'annule pas. Énoncé correct : « $\text{dom}\left(\frac{f}{g}\right)=\left(\text{dom}\,f\cap\text{dom}\,g\right)\setminus\{x:g(x)=0\}$ . » Avec $f(x)=x$ et $g(x)=x-1$ , l'intersection est $\mathbb{R}$ mais le domaine du quotient est $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

b)

FAUX, il manque aussi une condition, et de l'autre côté. Il faut que $x$ soit dans $\text{dom}\,g$ ET que $g(x)$ soit dans $\text{dom}\,f$ . Énoncé correct : « $\text{dom}(f\circ g)=\left\{x\in\text{dom}\,g\;:\;g(x)\in\text{dom}\,f\right\}$ . » Avec $f(t)=\frac{1}{t-2}$ et $g(x)=\sqrt{x}$ , le domaine de $g$ est $\left[0,+\infty\right[$ mais celui de la composée exclut en plus $x=4$ .

c)

FAUX pour tout $x$ négatif. $\sqrt{4}=2$ , or $\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2\neq-2$ . Énoncé correct : « $\sqrt{x^{2}}=|x|$ . » Cette égalité est celle qui fera apparaître deux asymptotes horizontales au chapitre des limites, et l'oublier y coûte systématiquement la moitié d'une question.

d)

FAUX. Isoler $x$ ne suffit pas : encore faut-il que chaque $y$ ait UN SEUL antécédent, c'est-à-dire que $f$ soit injective. $f(x)=x^{2}$ donne $x=\pm\sqrt{y}$ , deux valeurs, donc aucune fonction. Énoncé correct : « Une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est injective; sinon on la restreint à un intervalle où elle est strictement monotone. » C'est ce qui oblige à choisir $\left[0,+\infty\right[$ pour définir la racine carrée, et $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ pour définir $\arcsin$ .

e)

FAUX, la moitié du domaine manque. $x^{2}-4\ge 0$ équivaut à $|x|\ge 2$ , donc à $x\le-2$ OU $x\ge 2$ . Énoncé correct : « $\text{dom}=\left]-\infty,-2\right]\cup\left[2,+\infty\right[$ . » Contrôle immédiat : $\sqrt{(-3)^{2}-4}=\sqrt{5}$ existe bel et bien. Un trinôme de coefficient dominant positif est positif à l'EXTÉRIEUR de ses racines, et c'est cette phrase qu'il faut se répéter avant d'écrire un intervalle.

Exercice 9 : Problème : mettre en équation et trouver le domaine physique

On découpe un carré de côté $x$ à chacun des quatre coins d'un carton rectangulaire de $30$ cm sur $40$ cm, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. La figure ci-dessous représente la situation.

a) Exprimez le volume $V$ de la boîte en fonction de $x$ , et donnez le domaine physiquement admissible.
b) Calculez $V(5)$ et $V(12)$ .
c) La formule donne $V(16)=-256$ . Que faut-il en conclure sur la formule et sur le domaine ?
d) Exprimez l'aire de carton effectivement utilisée en fonction de $x$ , et dites sur quel domaine cette seconde fonction a un sens.

Voir la correction

Réponses

a) $V(x)=x(30-2x)(40-2x)$ sur $\left]0,15\right[$
b) $3000$ cm³ et $1152$ cm³
c) $x=16$ est hors du domaine
d) $S(x)=1200-4x^{2}$ sur $\left]0,15\right[$

a)

Après découpe et pliage, la hauteur est $x$ , la longueur $40-2x$ et la largeur $30-2x$ , car on retire un carré à CHAQUE extrémité de chaque dimension. Donc $V(x)=x(30-2x)(40-2x)$ . Domaine : il faut $x>0$ pour qu'il y ait une hauteur, $30-2x>0$ soit $x<15$ , et $40-2x>0$ soit $x<20$ . La condition la plus contraignante l'emporte : $\text{dom}=\left]0,15\right[$ . La règle est générale : le domaine physique est l'intersection de TOUTES les contraintes, et c'est la plus petite qui décide.

b)

$V(5)=5\times 20\times 30=3000$ cm $^{3}$ . $V(12)=12\times 6\times 16=1152$ cm $^{3}$ . Le second est plus petit alors que la découpe est plus grande : la hauteur gagnée ne compense plus la base perdue, ce qui annonce l'existence d'un maximum entre les deux et prépare le chapitre d'optimisation.

c)

La formule reste calculable pour $x=16$ parce qu'un polynôme est défini sur $\mathbb{R}$ tout entier, mais elle donne $16\times(-2)\times 8=-256$ , un volume négatif, ce qui n'a aucun sens. Conclusion : l'expression algébrique et la fonction du problème ne sont PAS le même objet. La fonction du problème est le polynôme RESTREINT à $\left]0,15\right[$ , et c'est le domaine, pas la formule, qui porte la physique. Un correcteur d'examen retire des points à une réponse d'optimisation dont la valeur trouvée sort du domaine admissible, même si le calcul de dérivée est impeccable.

d)

L'aire utilisée est celle du carton moins les quatre carrés découpés : $S(x)=1200-4x^{2}$ . Elle a un sens sur le même domaine $\left]0,15\right[$ , auquel on peut ici adjoindre $x=0$ , qui correspond au carton intact d'aire $1200$ cm $^{2}$ mais ne donne aucune boîte. Contrôle : $S(15)=1200-900=300$ cm $^{2}$ , soit les deux grands bords de $15$ cm sur $10$ cm : c'est le cas dégénéré où la largeur $30-2x$ est nulle et où la boîte n'a plus de fond. Comparer les deux fonctions apprend une chose utile : deux quantités issues du même problème peuvent avoir des domaines très proches sans être identiques.

Exercice 10 : Problème : un tarif d'électricité défini par morceaux

Un distributeur facture les $1200$ premiers kilowattheures d'un cycle à $0{,}065$ dollars le kilowattheure, puis chaque kilowattheure suivant à $0{,}10$ dollars. On note $q$ la consommation du cycle, en kilowattheures, et $C(q)$ la facture, en dollars.

a) Écrivez $C$ sous forme d'une fonction définie par morceaux, et donnez son domaine.
b) Calculez $C(900)$ et $C(1500)$ .
c) Montrez que le graphe de $C$ ne présente aucun saut au seuil de $1200$ kWh, et dites ce que serait un tarif qui en présenterait un.
d) Un client reçoit une facture de $150$ dollars. Quelle a été sa consommation ? Formulez la question posée en termes de fonction réciproque.

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Réponses

a) $0{,}065q$ si $q\le 1200$ ; $78+0{,}10(q-1200)$ sinon ; domaine $\left[0,+\infty\right[$
b) $58{,}50$ dollars et $108$ dollars
c) $78$ des deux côtés : pas de saut
d) $C^{-1}(150)=1920$ kWh

a)

Sous le seuil, la facture est proportionnelle : $C(q)=0{,}065q$ pour $0\le q\le 1200$ . Au-delà, on paie la totalité de la première tranche, soit $0{,}065\times 1200=78$ dollars, PLUS le dépassement au tarif fort : $C(q)=78+0{,}10(q-1200)$ pour $q>1200$ . Le domaine est $\left[0,+\infty\right[$ . L'erreur classique est d'écrire $0{,}10q$ dans le second morceau, ce qui facture les $1200$ premiers kilowattheures au tarif fort et gonfle la facture de $42$ dollars : le second morceau facture le DÉPASSEMENT, d'où le $q-1200$ .

b)

$900\le 1200$ , donc on est dans le premier morceau : $C(900)=0{,}065\times 900=58{,}50$ dollars. $1500>1200$ , donc dans le second : $C(1500)=78+0{,}10\times 300=78+30=108$ dollars. Choisir le morceau AVANT de calculer, en comparant $q$ au seuil, est la totalité de la méthode.

c)

Il faut comparer les deux expressions AU seuil. Par la gauche, $0{,}065\times 1200=78$ . Par la droite, $78+0{,}10(1200-1200)=78$ . Les deux valent $78$ : les morceaux se raccordent, le graphe est continu, et c'est exactement ce qu'on attend d'un tarif honnête, où consommer un kilowattheure de plus coûte quelques centimes de plus et non plusieurs dollars d'un coup. Un tarif qui présenterait un saut serait par exemple un abonnement supplémentaire de $20$ dollars déclenché au franchissement du seuil : la facture passerait alors brutalement de $78$ à $98$ dollars, et le client aurait intérêt à consommer moins que le seuil. La lecture de ce raccord est précisément la question de continuité du chapitre suivant, ici sur un exemple où l'enjeu est concret.

d)

La question demande l'ANTÉCÉDENT de $150$ par $C$ , c'est-à-dire $C^{-1}(150)$ . Comme $150>78$ , on est dans le second morceau : $78+0{,}10(q-1200)=150$ donne $0{,}10(q-1200)=72$ , puis $q-1200=720$ et $q=1920$ kWh. Vérification : $C(1920)=78+0{,}10\times 720=150$ ✓. La réciproque complète s'écrit $C^{-1}(y)=\frac{y}{0{,}065}$ pour $0\le y\le 78$ , et $C^{-1}(y)=1200+10(y-78)$ pour $y>78$ : une fonction par morceaux a une réciproque par morceaux, et les seuils s'échangent, $1200$ en abscisse devenant $78$ en ordonnée. Cette réciproque existe parce que $C$ est strictement croissante, ce qui n'est pas un détail : un tarif dégressif non monotone n'aurait pas de réciproque.

Exercice 11 : Le tableau de signes : quand le domaine demande une inéquation

Déterminez le domaine de chacune de ces fonctions, en notation d'intervalles.

a) $f(x)=\sqrt{\frac{(x+3)(x-1)}{x-2}}$
b) $g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-5}{x+1}}$
c) $h(x)=\ln\left(|x|-1\right)$
d) $k(x)=\frac{1}{e^{x}-2}$
e) Comparez le domaine de $p(x)=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-2}$ à celui de $q(x)=\sqrt{x(x-2)}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\left[-3,1\right]\cup\left]2,+\infty\right[$
b) $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$
c) $\left]-\infty,-1\right[\cup\left]1,+\infty\right[$
d) $\mathbb{R}\setminus\{\ln 2\}$ , $\ln 2\approx 0{,}693$
e) $\left[2,+\infty\right[$ contre $\left]-\infty,0\right]\cup\left[2,+\infty\right[$

a)

Deux conditions : le radicande est positif ou nul, et le dénominateur ne s'annule pas. Le signe du quotient se lit dans un tableau à trois facteurs, dont les zéros $-3$ , $1$ et $2$ découpent $\mathbb{R}$ en quatre intervalles. Pour $x<-3$ : $\frac{(-)(-)}{(-)}$ , négatif. Pour $-3<x<1$ : $\frac{(+)(-)}{(-)}$ , positif. Pour $1<x<2$ : $\frac{(+)(+)}{(-)}$ , négatif. Pour $x>2$ : positif. Le quotient s'annule en $-3$ et en $1$ , qui sont gardés, et n'existe pas en $2$ , qui est exclu. Donc $\text{dom}\,f=\left[-3,1\right]\cup\left]2,+\infty\right[$ . Contrôle : $f(0)=\sqrt{\frac{3\times(-1)}{-2}}=\sqrt{1{,}5}$ existe, et $f(1{,}5)$ demanderait la racine de $\frac{4{,}5\times 0{,}5}{-0{,}5}=-4{,}5$ .

b)

Une racine d'indice IMPAIR accepte un radicande négatif : $\sqrt[3]{-8}=-2$ . La seule contrainte vient du dénominateur, $x\neq-1$ . Donc $\text{dom}\,g=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ . Recopier ici la condition « radicande positif » ferait perdre tout l'intervalle $\left]-1,5\right[$ , où $g$ existe pourtant.

c)

L'argument du logarithme doit être STRICTEMENT positif : $|x|-1>0$ , soit $|x|>1$ , c'est-à-dire $x<-1$ ou $x>1$ . Donc $\text{dom}\,h=\left]-\infty,-1\right[\cup\left]1,+\infty\right[$ . Les bornes sont exclues parce que $\ln 0$ n'existe pas.

d)

Le seul interdit est $e^{x}-2=0$ , soit $e^{x}=2$ et $x=\ln 2\approx 0{,}693$ . Donc $\text{dom}\,k=\mathbb{R}\setminus\{\ln 2\}$ . L'exponentielle elle-même est définie partout : ce n'est pas elle qui retire une valeur, c'est le dénominateur.

e)

Pour $p$ , chaque racine exige son propre radicande positif : $x\ge 0$ ET $x\ge 2$ , soit $\text{dom}\,p=\left[2,+\infty\right[$ . Pour $q$ , seul le PRODUIT doit être positif : $x(x-2)\ge 0$ , soit $x\le 0$ ou $x\ge 2$ , et $\text{dom}\,q=\left]-\infty,0\right]\cup\left[2,+\infty\right[$ . Les deux expressions coïncident sur $\left[2,+\infty\right[$ mais pas ailleurs : $q(-1)=\sqrt{3}$ existe alors que $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-3}$ n'a pas de sens dans $\mathbb{R}$ . L'égalité $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ne vaut que pour $a\ge 0$ et $b\ge 0$ , et « simplifier » $p$ en $q$ élargit le domaine sans prévenir.

Exercice 12 : Logarithme et exponentielle : le domaine, puis la réciproque

On considère les fonctions $u(x)=\ln(2x-6)$ , $v(x)=\ln\left(\frac{x+1}{4-x}\right)$ , $w(x)=\sqrt{\ln x}$ et $p(x)=3+e^{2x-1}$ .

a) Donnez le domaine de $u$ et celui de $v$ .
b) Donnez le domaine de $w$ .
c) Donnez le domaine et l'image de $p$ .
d) Déterminez $p^{-1}$ et donnez son domaine.
e) Résolvez exactement $p(x)=5$ , puis donnez la solution au millième.

Voir la correction

Réponses

a) $\left]3,+\infty\right[$ et $\left]-1,4\right[$
b) $\left[1,+\infty\right[$
c) Domaine $\mathbb{R}$ , image $\left]3,+\infty\right[$
d) $p^{-1}(x)=\frac{1+\ln(x-3)}{2}$ sur $\left]3,+\infty\right[$
e) $x=\frac{1+\ln 2}{2}\approx 0{,}847$

a)

Pour $u$ : $2x-6>0$ , soit $x>3$ , et $\text{dom}\,u=\left]3,+\infty\right[$ . Pour $v$ : le quotient doit être strictement positif. Le numérateur change de signe en $-1$ , le dénominateur en $4$ ; le quotient est positif entre les deux, négatif à l'extérieur, nul en $-1$ et non défini en $4$ . Donc $\text{dom}\,v=\left]-1,4\right[$ , ouvert des deux côtés : en $-1$ on aurait $\ln 0$ .

b)

Deux étages, deux conditions, dans l'ordre de l'intérieur vers l'extérieur. Le logarithme exige $x>0$ . La racine exige ensuite $\ln x\ge 0$ , soit $x\ge 1$ . La seconde condition contient la première : $\text{dom}\,w=\left[1,+\infty\right[$ . S'arrêter à $x>0$ est l'erreur typique : $w(0{,}5)$ demanderait $\sqrt{\ln 0{,}5}=\sqrt{-0{,}693}$ .

c)

L'exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ , donc $\text{dom}\,p=\mathbb{R}$ . Quand $x$ parcourt $\mathbb{R}$ , $2x-1$ aussi, et $e^{2x-1}$ prend toutes les valeurs de $\left]0,+\infty\right[$ , jamais $0$ . En ajoutant $3$ : $\text{im}\,p=\left]3,+\infty\right[$ , borne exclue. La droite $y=3$ est une asymptote horizontale que la courbe n'atteint jamais.

d)

$p$ est strictement croissante, donc injective. On isole $x$ dans $y=3+e^{2x-1}$ : $e^{2x-1}=y-3$ , possible seulement si $y>3$ , puis $2x-1=\ln(y-3)$ et $x=\frac{1+\ln(y-3)}{2}$ . Donc $p^{-1}(x)=\frac{1+\ln(x-3)}{2}$ , de domaine $\left]3,+\infty\right[$ , qui est bien l'image de $p$ : domaine et image s'échangent. Contrôle en $x=0{,}5$ : $p(0{,}5)=3+e^{0}=4$ et $p^{-1}(4)=\frac{1+\ln 1}{2}=0{,}5$ .

e)

$3+e^{2x-1}=5$ donne $e^{2x-1}=2$ , donc $2x-1=\ln 2$ et $x=\frac{1+\ln 2}{2}\approx 0{,}847$ . C'est exactement $p^{-1}(5)$ : résoudre $p(x)=5$ et évaluer la réciproque en $5$ sont une seule et même opération. Contrôle : $p(0{,}847)=3+e^{0{,}694}\approx 3+2{,}00=5$ .

Exercice 13 : Les réciproques trigonométriques : domaine, image et le piège d'arcsin(sin x)

Toutes les mesures d'angle sont en radians. On rappelle que $\arcsin$ est la réciproque de la restriction de $\sin$ à $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , $\arccos$ celle de $\cos$ restreinte à $\left[0,\pi\right]$ , et $\arctan$ celle de $\tan$ restreinte à $\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ .

a) Donnez le domaine et l'image de $\arcsin$ et de $\arccos$ .
b) Calculez $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ , $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ et $\arctan\sqrt{3}$ .
c) Donnez le domaine de $f(x)=\arcsin(2x-1)$ et celui de $g(x)=\arccos\left(1-x^{2}\right)$ .
d) Calculez $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\arcsin 0{,}3\right)$ .
e) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $\arcsin(\sin x)=x$ ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

\text{dom}\arcsin

;

Borne haute de

\text{im}\arcsin

(en multiples de π)

Borne haute de

\text{im}\arccos

(en multiples de π)

b)

\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)

(en multiples de π)

\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)

(en multiples de π)

\arctan\sqrt{3}

(en multiples de π)

c)

\text{dom}\,f

;

Borne haute de

\text{dom}\,g

d)

\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)

(en multiples de π)

\sin\left(\arcsin 0{,}3\right)

e)

Borne gauche (en multiples de π)

Borne droite (en multiples de π)

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Réponses

a) $\arcsin$ : $\left[-1,1\right]\to\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ; $\arccos$ : $\left[-1,1\right]\to\left[0,\pi\right]$
b) $-\frac{\pi}{6}$ ; $\frac{2\pi}{3}$ ; $\frac{\pi}{3}$
c) $\left[0,1\right]$ et $\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]$
d) $\frac{\pi}{6}$ et $0{,}3$
e) $x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$

a)

La réciproque échange domaine et image de la RESTRICTION. $\sin$ restreinte à $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ prend ses valeurs dans $\left[-1,1\right]$ : $\text{dom}\arcsin=\left[-1,1\right]$ et $\text{im}\arcsin=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ . De même, $\text{dom}\arccos=\left[-1,1\right]$ et $\text{im}\arccos=\left[0,\pi\right]$ . Les deux images diffèrent parce que les restrictions diffèrent : c'est la source de la moitié des erreurs du chapitre.

b)

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ est l'unique angle de $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ de sinus $-\frac{1}{2}$ : $-\frac{\pi}{6}$ . $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ est l'unique angle de $\left[0,\pi\right]$ de cosinus $-\frac{1}{2}$ : $\frac{2\pi}{3}$ , et non $-\frac{\pi}{3}$ ni $\frac{4\pi}{3}$ , qui sortent de l'image. $\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$ .

c)

L'argument d' $\arcsin$ doit être dans $\left[-1,1\right]$ : $-1\le 2x-1\le 1$ donne $0\le x\le 1$ , soit $\text{dom}\,f=\left[0,1\right]$ . Pour $g$ : $-1\le 1-x^{2}\le 1$ . L'inégalité de droite, $x^{2}\ge 0$ , est toujours vraie ; celle de gauche donne $x^{2}\le 2$ , soit $-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}$ . Donc $\text{dom}\,g=\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]$ , avec $\sqrt{2}\approx 1{,}414$ .

d)

$\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$ , et $\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$ . Donc $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}$ , et non $\frac{5\pi}{6}$ : $\arcsin$ renvoie toujours un angle de $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , et $\frac{5\pi}{6}$ n'y est pas. Dans l'autre ordre, $0{,}3$ est dans le domaine d' $\arcsin$ , et $\sin\left(\arcsin 0{,}3\right)=0{,}3$ exactement.

e)

$\arcsin(\sin x)=x$ exige d'abord que $x$ soit une valeur possible d' $\arcsin$ , donc $x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , et sur cet intervalle l'égalité est vraie puisque $\sin$ y est la fonction que l'on a inversée. Conclusion : $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ . En revanche $\sin(\arcsin x)=x$ vaut pour tout $x$ de $\left[-1,1\right]$ . La règle : $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$ sur le domaine de $f^{-1}$ , mais $f^{-1}\left(f(x)\right)=x$ seulement sur la restriction choisie.

Exercice 14 : Problème : la nappe qui s'étale, composer deux modèles

Une fuite forme à la surface d'un lac une nappe circulaire dont le rayon, en mètres, vaut $r(t)=2+3t$ , où $t$ est le temps en heures depuis la première mesure. La fuite est colmatée au bout de $8$ heures et le modèle cesse alors de s'appliquer. L'aire d'un disque de rayon $r$ est $A(r)=\pi r^{2}$ . La figure ci-dessous représente la situation.

a) Laquelle des deux composées, $A\circ r$ ou $r\circ A$ , donne l'aire de la nappe au temps $t$ ? Écrivez-la et donnez son domaine dans le contexte.
b) Calculez l'aire de la nappe au bout de $2$ heures.
c) Donnez l'image de $A\circ r$ sur son domaine.
d) À quel instant l'aire atteint-elle $400$ m $^{2}$ ?
e) Justifiez que $A\circ r$ admet une réciproque sur son domaine, écrivez-la et donnez son domaine.

Voir la correction

Réponses

a) $(A\circ r)(t)=\pi(2+3t)^{2}$ sur $\left[0,8\right]$
b) $64\pi\approx 201$ m²
c) $\left[4\pi,676\pi\right]\approx\left[12{,}57\,;\,2124\right]$
d) $t\approx 3{,}09$ h
e) $t=\frac{1}{3}\left(\sqrt{\frac{S}{\pi}}-2\right)$ sur $\left[4\pi,676\pi\right]$

a)

On connaît d'abord le rayon à l'instant $t$ , puis on en tire l'aire : $r$ agit en premier, $A$ ensuite, et c'est $A\circ r$ . $(A\circ r)(t)=\pi(2+3t)^{2}$ . L'autre composée, $r\left(A(x)\right)=2+3\pi x^{2}$ , n'a aucun sens ici : elle traiterait une aire comme un temps. Le domaine vient du contexte, pas de la formule : $t\in\left[0,8\right]$ , alors que le polynôme est défini sur $\mathbb{R}$ .

b)

$r(2)=8$ m, donc $A(8)=64\pi\approx 201$ m $^{2}$ .

c)

Sur $\left[0,8\right]$ , $r$ croît de $r(0)=2$ à $r(8)=26$ , et $A$ est croissante pour $r\ge 0$ : l'aire croît de $4\pi\approx 12{,}57$ m $^{2}$ à $676\pi\approx 2124$ m $^{2}$ . L'image est $\left[4\pi,676\pi\right]$ . Attention, l'aire ne commence pas à $0$ : à $t=0$ , la nappe a déjà $2$ m de rayon.

d)

$\pi(2+3t)^{2}=400$ donne $(2+3t)^{2}=\frac{400}{\pi}$ , et comme $2+3t>0$ , $2+3t=\sqrt{\frac{400}{\pi}}\approx 11{,}284$ . Donc $t=\frac{11{,}284-2}{3}\approx 3{,}09$ heures, soit environ $3$ h $6$ min. On ne garde que la racine positive : la racine négative donnerait un rayon négatif, et un temps négatif hors du domaine.

e)

Sur $\left[0,8\right]$ , $A\circ r$ est strictement croissante, composée de deux fonctions croissantes sur les ensembles concernés : elle est injective, donc inversible. En isolant $t$ dans $S=\pi(2+3t)^{2}$ : $t=\frac{1}{3}\left(\sqrt{\frac{S}{\pi}}-2\right)$ . Son domaine est l'image trouvée en c), $\left[4\pi,676\pi\right]\approx\left[12{,}57\,;\,2124\right]$ . Cette réciproque répond à la question pratique « combien de temps depuis la première mesure, vu la surface observée d'avion ? », et le point d) en était un cas particulier.

Exercice 15 : Problème : le tunnel en arc, transformations et gabarit

La voûte d'un tunnel a pour profil la parabole $y=6-0{,}24x^{2}$ , en mètres, où $x$ est la distance horizontale à l'axe du tunnel et où le sol est à $y=0$ . La figure montre ce profil et un camion de $3$ m de large centré dans le tunnel.

a) Donnez la largeur du tunnel au sol, puis le domaine et l'image de la fonction qui décrit la voûte.
b) Un camion de $4$ m de haut passe dans le tunnel. Quelle largeur de chaussée lui reste-t-il à cette hauteur ?
c) On refait la chaussée, qui monte de $0{,}3$ m. Écrivez la hauteur de la voûte au-dessus de la nouvelle chaussée, son domaine, et la largeur disponible à $4$ m de haut.
d) Pour élargir le tunnel, on remplace la voûte d'origine par son étirement horizontal de facteur $1{,}2$ , hauteur au centre inchangée. Écrivez le nouveau profil et sa largeur au sol.
e) Dans le tunnel d'origine, quelle est la hauteur maximale d'un camion de $3$ m de large qui roule centré ?

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Réponses

a) $10$ m ; domaine $\left[-5,5\right]$ , image $\left[0,6\right]$
b) $5{,}77$ m
c) $h(x)=5{,}7-0{,}24x^{2}$ sur $\left[-4{,}87\,;\,4{,}87\right]$ ; $5{,}32$ m
d) $y=6-\frac{x^{2}}{6}$ ; $12$ m au sol
e) $5{,}46$ m

a)

La voûte touche le sol quand $6-0{,}24x^{2}=0$ , soit $x^{2}=25$ et $x=\pm 5$ : le tunnel mesure $10$ m de large au sol. La fonction de la voûte n'a de sens physique qu'entre les deux pieds : domaine $\left[-5,5\right]$ . Sur ce domaine, la hauteur va de $0$ aux pieds à $6$ au centre : image $\left[0,6\right]$ .

b)

On cherche où la voûte est à $4$ m : $6-0{,}24x^{2}=4$ donne $x^{2}=\frac{2}{0{,}24}\approx 8{,}333$ et $x\approx\pm 2{,}887$ . La largeur disponible à cette hauteur est $2\times 2{,}887\approx 5{,}77$ m. Répondre $2{,}89$ m, la demi-largeur, est l'erreur la plus fréquente : $x$ se mesure depuis l'axe.

c)

Tout se passe comme si la voûte descendait de $0{,}3$ m : c'est une translation verticale, $h(x)=5{,}7-0{,}24x^{2}$ . Nouveau domaine : $0{,}24x^{2}\le 5{,}7$ , soit $x^{2}\le 23{,}75$ et $|x|\le 4{,}873$ , donc $\left[-4{,}87\,;\,4{,}87\right]$ au centième. Une translation VERTICALE a changé le domaine, parce que le domaine est ici défini par la condition $h\ge 0$ . À $4$ m : $0{,}24x^{2}=1{,}7$ , $x^{2}\approx 7{,}083$ , $|x|\approx 2{,}661$ , soit une largeur de $5{,}32$ m. Trente centimètres de bitume coûtent près d'un demi-mètre de largeur utile.

d)

Un étirement horizontal de facteur $1{,}2$ remplace $x$ par $\frac{x}{1{,}2}$ : $y=6-0{,}24\left(\frac{x}{1{,}2}\right)^{2}=6-\frac{0{,}24}{1{,}44}x^{2}=6-\frac{x^{2}}{6}$ . Au sol, $x^{2}=36$ et $x=\pm 6$ : la largeur passe à $12$ m, soit $10\times 1{,}2$ . Écrire $6-0{,}24(1{,}2x)^{2}$ COMPRIMERAIT le tunnel : ce qui touche $x$ agit à l'envers.

e)

Le camion occupe $x\in\left[-1{,}5\,;\,1{,}5\right]$ . La voûte étant plus basse sur les bords, c'est au bord du camion que la contrainte se lit : $6-0{,}24\times 1{,}5^{2}=6-0{,}54=5{,}46$ m. Un camion de $3$ m de large doit mesurer moins de $5{,}46$ m, et non $6$ m, hauteur qui ne vaut qu'au centre, sur une largeur nulle.

Exercices corrigés : les fonctions et leur domaine (201-SN2-RE, ancien 201-NYA)

Rappel de cours

Calculs : les domaines à déterminer

Exercice 0.1 : Déterminer le domaine : douze calculs directs

Calculs : les composées et les réciproques à évaluer

Exercice 0.2 : Composer deux fonctions et inverser : dix calculs directs

Partie A : Domaine, opérations et composition (/50)

Exercice 1 : Le domaine : les trois seuls interdits

Exercice 2 : Valeur absolue et fonction définie par morceaux

Exercice 3 : Opérations sur les fonctions : le domaine ne suit pas

Exercice 4 : La composition, et le domaine qui n'est pas celui qu'on croit

Exercice 5 : Lire un graphe transformé

Partie B : Réciproques, modèles et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Fonctions réciproques : existence, domaine et image

Exercice 7 : Le cercle trigonométrique et les fonctions périodiques

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : mettre en équation et trouver le domaine physique

Exercice 10 : Problème : un tarif d'électricité défini par morceaux

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Le tableau de signes : quand le domaine demande une inéquation

Exercice 12 : Logarithme et exponentielle : le domaine, puis la réciproque

Exercice 13 : Les réciproques trigonométriques : domaine, image et le piège d'arcsin(sin x)

Exercice 14 : Problème : la nappe qui s'étale, composer deux modèles

Exercice 15 : Problème : le tunnel en arc, transformations et gabarit

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