Exercices corrigés : la fonction polynomiale de degré 2 (math SN4, secondaire 4)

a) Pour $y=x^{2}$ : $4$, $1$, $0$, $1$, $4$. Pour $y=2x^{2}$ : $8$, $2$, $0$, $2$, $8$. Pour $y=-0{,}5x^{2}$ : $-2$, $-0{,}5$, $0$, $-0{,}5$, $-2$. Chaque ligne se lit deux fois : les valeurs en $-2$ et en $2$ sont égales, et c'est déjà la symétrie de la question e).

b) Celle qui s'ouvre vers le bas est $y=-0{,}5x^{2}$, parce que son $a$ est NÉGATIF : toutes ses ordonnées sont négatives ou nulles. La plus étroite est $y=2x^{2}$, celle dont $|a|$ est le plus grand : pour la même abscisse, elle monte deux fois plus haut que $y=x^{2}$. Retenez la formulation exacte : ce n'est pas le signe de $a$ qui décide de l'ouverture, c'est sa VALEUR ABSOLUE ; le signe, lui, décide du sens.

c) On teste $x=2$ dans chaque règle : $2^{2}=4$, $2\times 2^{2}=8$, $-0{,}5\times 2^{2}=-2$. Seule $y=2x^{2}$ donne $8$, donc le point $(2\,;8)$ lui appartient. Un point appartient à une courbe quand ses deux coordonnées vérifient la règle : on remplace l'abscisse et on compare le résultat à l'ordonnée, on ne regarde jamais le dessin.

d) Le point donne une équation : $-18=a\times 3^{2}$, donc $9a=-18$ et $a=-2$. La fonction est $f(x)=-2x^{2}$, et elle s'ouvre vers le bas, ce que le signe de l'ordonnée annonçait déjà. Vérification : $-2\times 9=-18$.

e) En $x=0$, $f(0)=a\times 0^{2}=0$ quel que soit $a$ : toutes ces paraboles passent donc par l'origine. Pour la symétrie, comparons $f(-x)$ et $f(x)$ : $f(-x)=a(-x)^{2}=ax^{2}=f(x)$, puisque le carré efface le signe. Deux abscisses opposées donnent donc toujours la même ordonnée, ce qui est exactement la définition d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

a) La forme canonique $a(x-h)^{2}+k$ donne le sommet $(h\,;k)$ à la lecture : ici $h=3$ et $k=-8$, donc le sommet est $(3\,;-8)$ et l'axe de symétrie a pour équation $x=3$. Attention au signe de $h$ : la forme s'écrit $(x-h)$, donc $(x-3)$ donne $h=+3$. Avec $(x+3)$, il aurait fallu lire $h=-3$.

b) On développe le carré : $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$, donc $f(x)=2(x^{2}-6x+9)-8=2x^{2}-12x+18-8=2x^{2}-12x+10$. L'ordonnée à l'origine est le terme constant, $c=10$, et on le vérifie directement : $f(0)=2(0-3)^{2}-8=18-8=10$. La forme générale donne donc gratuitement l'ordonnée à l'origine, et rien d'autre.

c) $2x^{2}-12x+10=2(x^{2}-6x+5)=2(x-1)(x-5)$, puisque $-1$ et $-5$ ont pour produit $5$ et pour somme $-6$. Un produit est nul quand l'un de ses facteurs l'est, donc les zéros sont $x_{1}=1$ et $x_{2}=5$. Vérification dans la forme de départ : $f(1)=2(1-3)^{2}-8=8-8=0$, et $f(5)=2(5-3)^{2}-8=0$.

d) Le milieu de $1$ et $5$ est $\dfrac{1+5}{2}=3$, l'abscisse du sommet trouvée en a). Ce n'est pas une coïncidence : la parabole est symétrique par rapport à son axe, donc deux points de même ordonnée, ici les deux zéros, sont à égale distance de cet axe. C'est la vérification la plus rapide du chapitre, et elle fonctionne aussi avec deux points quelconques de même ordonnée.

e) Le sommet se lit sur la forme CANONIQUE, les zéros sur la forme FACTORISÉE, l'ordonnée à l'origine sur la forme GÉNÉRALE. Chaque forme donne une information et cache les deux autres : c'est tout le chapitre en une phrase. Avant de calculer, demandez-vous donc quelle forme répond à la question posée, puis transformez seulement si nécessaire.

a) Le domaine d'une fonction polynomiale est toujours $\mathbb{R}$ : aucune valeur de $x$ n'est interdite, il n'y a ni dénominateur ni racine. L'image, elle, est limitée par le sommet : comme $a=-1<0$, la parabole s'ouvre vers le bas et ne dépasse jamais $9$. L'image est donc $]-\infty\,;9]$, le crochet fermé indiquant que la valeur $9$ EST atteinte, au sommet. Confondre domaine et image est l'erreur la plus fréquente ici : le domaine se lit horizontalement, l'image verticalement.

b) La forme canonique donne le sommet $(2\,;9)$ et l'axe de symétrie $x=2$. Comme $a<0$, la fonction monte puis descend : le sommet est un MAXIMUM, et ce maximum vaut $9$, atteint en $x=2$. Deux mots à ne pas confondre dans la rédaction : le maximum est l'ordonnée $9$, et il est atteint en $x=2$ ; écrire « le maximum est $2$ » coûte la question.

c) Les zéros annulent $f$ : $-(x-2)^{2}+9=0$ donne $(x-2)^{2}=9$, donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$, c'est-à-dire $x=5$ ou $x=-1$. L'ordonnée à l'origine est $f(0)=-(0-2)^{2}+9=-4+9=5$. Les deux zéros sont bien symétriques par rapport à $x=2$, puisque $\dfrac{-1+5}{2}=2$.

d) La fonction croît jusqu'au sommet puis décroît : elle est croissante sur $]-\infty\,;2]$ et décroissante sur $[2\,;+\infty[$. Le sommet appartient aux deux intervalles, et on l'écrit avec des crochets fermés des deux côtés : c'est la convention attendue en secondaire 4. Une variation se donne toujours en intervalles de $x$, jamais en valeurs de $y$.

e) Le signe se lit entre les zéros : la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses entre $-1$ et $5$, en dessous à l'extérieur. Donc $f$ est positive sur $[-1\,;5]$ et négative sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[5\,;+\infty[$. Le lien à retenir : quand $a<0$, la fonction est positive ENTRE les zéros ; quand $a>0$, elle l'est à l'extérieur. La figure évite d'avoir à s'en souvenir.

a) Différences premières, chaque valeur moins la précédente : $2-1=1$, $9-2=7$, $22-9=13$, $41-22=19$, $66-41=25$. Différences secondes, mêmes soustractions sur la ligne précédente : $7-1=6$, $13-7=6$, $19-13=6$, $25-19=6$. Elles sont toutes égales à $6$.

b) Des différences secondes constantes et non nulles signent une fonction du SECOND degré. Pour un pas de $1$, ces différences valent $2a$ : de $2a=6$ on tire $a=3$. Attention, cette relation dépend du pas : avec un pas $h$, les différences secondes valent $2ah^{2}$, ce qui servira à l'exercice 9 où le pas vaut $20$.

c) On écrit $f(x)=3x^{2}+bx+c$. La valeur $f(0)=1$ donne directement $c=1$, puisque $f(0)$ est toujours le terme constant. Puis $f(1)=2$ donne $3+b+1=2$, donc $b=-2$. La règle est $f(x)=3x^{2}-2x+1$. Vérification sur une valeur non utilisée, $f(4)=48-8+1=41$ : c'est bien la table.

d) Par les différences : la prochaine différence première vaut $25+6=31$, donc $f(6)=66+31=97$. Par la règle : $f(6)=3\times 36-12+1=108-12+1=97$. Les deux chemins concordent, ce qui valide à la fois la règle et le raisonnement sur les différences. En évaluation, le second chemin est exigé, le premier sert de contrôle.

e) Différences premières : $1$, $2$, $4$, $8$. Différences secondes : $1$, $2$, $4$. Elles ne sont pas constantes, donc cette table ne vient PAS d'une fonction du second degré. Chaque valeur y est le double de la précédente : c'est une croissance multiplicative, et non additive. Le test des différences secondes est donc un vrai test, qui peut échouer : c'est précisément ce qui en fait un argument recevable en évaluation.

a) Le sommet est donné, donc on part de la forme canonique : $f(x)=a(x+1)^{2}-4$, en n'oubliant pas que $h=-1$ s'écrit $(x-(-1))=(x+1)$. Le point $(1\,;4)$ donne $4=a(1+1)^{2}-4$, soit $4a=8$ et $a=2$. La règle est $f(x)=2(x+1)^{2}-4$. Vérification : $2\times 4-4=4$, l'ordonnée annoncée.

b) Les zéros sont donnés, donc on part de la forme factorisée : $f(x)=a(x+3)(x-5)$, encore une fois avec le changement de signe sur le zéro négatif. Le point $(1\,;-16)$ donne $-16=a(1+3)(1-5)=a\times 4\times(-4)=-16a$, donc $a=1$. La règle est $f(x)=(x+3)(x-5)$, soit $x^{2}-2x-15$ sous forme générale.

c) L'abscisse $1$ est exactement le milieu des deux zéros, $\dfrac{-3+5}{2}=1$ : le point donné était donc le SOMMET, et le sommet est $(1\,;-16)$. On aurait pu résoudre la question par la forme canonique $f(x)=a(x-1)^{2}-16$ en utilisant un zéro comme second point : $0=a(−3−1)^{2}−16$ donne $16a=16$ et $a=1$. Deux chemins, une seule règle : c'est le meilleur contrôle possible.

d) Aucun sommet, aucun zéro complet : on part de la forme générale $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Le point $(0\,;3)$ donne $c=3$. Le point $(1\,;0)$ donne $a+b+3=0$, donc $a+b=-3$. Le point $(2\,;1)$ donne $4a+2b+3=1$, donc $4a+2b=-2$, c'est-à-dire $2a+b=-1$. En soustrayant la première équation de la dernière : $a=2$, puis $b=-5$. La règle est $f(x)=2x^{2}-5x+3$, et l'on vérifie $f(2)=8-10+3=1$.

e) Sommet donné, on prend la forme CANONIQUE. Deux zéros donnés, on prend la forme FACTORISÉE. Trois points quelconques, on prend la forme GÉNÉRALE et l'on résout un système. Dans les trois cas, le point qui reste sert à trouver $a$, et il en faut toujours un de plus que les données de forme : une parabole est déterminée par trois renseignements, jamais deux.

a) Les deux pieds de l'arche sont au sol, donc les zéros sont $0$ et $12$ : la forme factorisée s'impose, $h(x)=a\,x(x-12)$. Le sommet est au milieu, en $x=6$, et sa hauteur vaut $5$ : $5=a\times 6\times(6-12)=-36a$, donc $a=-\dfrac{5}{36}$. La règle est $h(x)=-\dfrac{5}{36}x(x-12)$, soit, en développant, $h(x)=-\dfrac{5}{36}x^{2}+\dfrac{5}{3}x$. Le signe négatif de $a$ était prévisible : une arche s'ouvre vers le bas.

b) $h(2)=-\dfrac{5}{36}\times 2\times(2-12)=-\dfrac{5}{36}\times(-20)=\dfrac{100}{36}\approx 2{,}78$ mètre. L'arche ne monte donc que très progressivement : à $2$ mètres du bord, elle n'a pas encore atteint $3$ mètres, alors que son centre culmine à $5$. Une parabole n'est pas un triangle, et c'est précisément ce que la question c) va exploiter.

c) Un camion large de $4$ mètres, centré, occupe l'intervalle de $x=4$ à $x=8$. Le point le plus critique est celui où l'arche est la plus basse sur cet intervalle, donc l'un des bords : $h(4)=-\dfrac{5}{36}\times 4\times(-8)=\dfrac{160}{36}\approx 4{,}44$ mètre. Comme $4{,}44>3$, le camion passe. Le convoi large de $8$ mètres occupe de $x=2$ à $x=10$, où la hauteur tombe à $2{,}78$ mètre : comme $2{,}78<3{,}5$, il NE passe PAS. La comparaison se fait toujours au bord du véhicule, jamais au centre : c'est l'erreur qui coûte la question, car au centre l'arche fait $5$ mètres et tout semble passer.

d) On cherche $x$ tel que $h(x)=3$ : $-\dfrac{5}{36}x(x-12)=3$, donc $x(x-12)=-\dfrac{108}{5}=-21{,}6$, c'est-à-dire $x^{2}-12x+21{,}6=0$. La factorisation ne tombe pas juste, donc on emploie la formule : $x=\dfrac{12\pm\sqrt{144-86{,}4}}{2}=\dfrac{12\pm\sqrt{57{,}6}}{2}$. Comme $\sqrt{57{,}6}\approx 7{,}59$, on obtient $x\approx 2{,}21$ et $x\approx 9{,}79$. L'arche dépasse donc $3$ mètres sur une largeur de $9{,}79-2{,}21\approx 7{,}59$ mètres.

e) Les deux distances sont symétriques par rapport au centre $x=6$ : $\dfrac{2{,}21+9{,}79}{2}=6$, et l'on vérifie de même que $h(2)=h(10)$. Cette symétrie garantit qu'aucune solution n'a été oubliée : une hauteur comprise entre $0$ et $5$ est atteinte exactement DEUX fois, une fois de chaque côté. Une copie qui ne donne qu'une seule distance perd la moitié de la question, et le contrôle par le milieu prend trois secondes.

a) Le fond mesure $30-2x$ centimètres, puisque les deux plis prennent chacun $x$ centimètres de la largeur. La section est un rectangle de hauteur $x$ et de base $30-2x$ : $A(x)=x(30-2x)$, soit $A(x)=-2x^{2}+30x$ sous forme développée. Les valeurs acceptables sont celles pour lesquelles les deux dimensions sont positives : $x>0$ et $30-2x>0$, donc $0<x<15$. Le domaine du CONTEXTE est plus petit que celui de la fonction, qui serait $\mathbb{R}$ : l'oublier coûte régulièrement un point.

b) La forme factorisée donne les zéros $0$ et $15$, donc l'axe de symétrie est au milieu : $x=\dfrac{0+15}{2}=7{,}5$. Comme $a=-2<0$, la parabole s'ouvre vers le bas et ce sommet est un MAXIMUM. L'aire maximale vaut $A(7{,}5)=7{,}5\times(30-15)=7{,}5\times 15=112{,}5$ centimètres carrés. Remarquez qu'on n'a eu besoin d'aucune formule : les deux zéros et la symétrie suffisent, et c'est toujours le chemin le plus court quand la forme factorisée est disponible.

c) $A(5)=5\times(30-10)=5\times 20=100$ et $A(10)=10\times(30-20)=10\times 10=100$. Les deux plis, pourtant très différents, donnent la même aire. Ce n'est pas un hasard : $5$ et $10$ sont symétriques par rapport à $7{,}5$, puisque $\dfrac{5+10}{2}=7{,}5$.

d) On résout $-2x^{2}+30x=100$, soit $-2x^{2}+30x-100=0$, et en divisant par $-2$ : $x^{2}-15x+50=0$. Deux nombres de produit $50$ et de somme $-15$ : $-5$ et $-10$, donc $(x-5)(x-10)=0$ et $x=5$ ou $x=10$. Les deux valeurs sont dans le domaine $]0\,;15[$, donc les deux conviennent, et elles confirment la question c).

e) Une parabole atteint deux fois toute valeur située strictement entre son extremum et l'infini du côté ouvert : la droite horizontale $y=100$ coupe la courbe en deux points, symétriques par rapport à l'axe $x=7{,}5$. Seule l'aire maximale $112{,}5$ n'est atteinte qu'une fois, au sommet, et une aire supérieure n'est jamais atteinte. Pratiquement, le fabricant a donc le CHOIX entre deux gouttières de même capacité, l'une profonde et étroite, l'autre plate et large.

a) Faux sur le signe de $h$. La forme canonique s'écrit $a(x-h)^{2}+k$ : l'énoncé contient $(x+3)$, c'est-à-dire $(x-(-3))$, donc $h=-3$ et le sommet est $(-3\,;-5)$. Contrôle immédiat : le sommet est le point où la parenthèse s'annule, et $(x+3)$ s'annule en $x=-3$. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et elle se vérifie en deux secondes.

b) Faux : une parabole a DEUX zéros, UN seul, ou AUCUN. $f(x)=x^{2}-4$ a deux zéros, $f(x)=x^{2}$ n'en a qu'un, en $x=0$, et $f(x)=x^{2}+1$ n'en a aucun, puisqu'un carré ajouté à $1$ ne vaut jamais $0$. Géométriquement, tout dépend de la position du sommet par rapport à l'axe des abscisses : au-dessus, au-dessous ou dessus.

c) Faux, c'est l'inverse. Si $a>0$, la parabole s'ouvre vers le HAUT : elle descend, atteint son point le plus bas au sommet, puis remonte. Le sommet est donc un MINIMUM. C'est avec $a<0$ que l'on obtient un maximum. Moyen mnémotechnique honnête : $a>0$ donne un sourire, $a<0$ une moue.

d) Faux : le domaine est l'ensemble des réels, pas l'image. Comme $a=-1<0$, la fonction ne dépasse jamais la valeur du sommet, $9$ : son image est $]-\infty\,;9]$. Le domaine se lit horizontalement, sur l'axe des abscisses, et l'image verticalement, sur l'axe des ordonnées. Sur une copie, les deux mots ne s'échangent pas.

e) Faux : l'ordonnée à l'origine est $f(0)$, et il ne faut pas oublier le facteur $a$. $f(0)=2(0-1)(0-5)=2\times(-1)\times(-5)=10$. L'affirmation a calculé le produit des deux parenthèses mais a laissé le $2$ de côté. La règle générale est simple : l'ordonnée à l'origine se calcule TOUJOURS en remplaçant $x$ par $0$ dans la règle, quelle que soit la forme, et jamais en lisant un morceau de l'écriture.

a) Différences premières : $8-0=8$, $24-8=16$, $48-24=24$, $80-48=32$, $120-80=40$. Différences secondes : $16-8=8$, $24-16=8$, $32-24=8$, $40-32=8$. Elles sont constantes, donc la distance de freinage est bien une fonction du SECOND degré de la vitesse.

b) Le pas vaut $h=20$, donc $2ah^{2}=2a\times 400=800a$. En posant $800a=8$, on obtient $a=0{,}01$. Le piège est de reprendre la formule de l'exercice 4, où le pas valait $1$ : on aurait alors conclu $a=4$, soit un modèle quatre cents fois trop grand. La formule à retenir est bien $2ah^{2}$, et $h$ est le pas de la table, pas le pas de temps.

c) On écrit $d(v)=0{,}01v^{2}+bv+c$. La valeur $d(0)=0$ donne $c=0$. Puis $d(20)=8$ donne $0{,}01\times 400+20b=8$, c'est-à-dire $4+20b=8$, donc $b=0{,}2$. La règle est $d(v)=0{,}01v^{2}+0{,}2v$. Vérification sur une ligne non utilisée : $d(60)=36+12=48$, et $d(100)=100+20=120$. Les deux tombent juste.