Exercice 0.1 : Trouver le sommet et les zéros d'une règle donnée : dix calculs directs

Pour chaque règle, donnez ce qui est demandé : les coordonnées $(h\,;k)$ du sommet, l'ordonnée à l'origine, les zéros ou l'extremum. Les zéros irrationnels s'arrondissent au centième.

Une seule question avant de calculer : quelle forme a-t-on sous les yeux ? La forme canonique $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ donne le sommet à la lecture et les zéros par $x=h\pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$ . La forme factorisée $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ donne les zéros, et le sommet est au milieu. La forme générale $f(x)=ax^{2}+bx+c$ donne l'ordonnée à l'origine $c$ , et le sommet par $h=-\frac{b}{2a}$ , puis $k=f(h)$ .

a) $f(x)=3(x+4)^{2}-7$ : coordonnées du sommet.
b) $g(x)=-2(x-1)^{2}+5$ : ordonnée à l'origine.
c) $f(x)=-4(x+2)(x-7)$ : les deux zéros.
d) $g(x)=\frac{1}{2}(x+5)(x-3)$ : coordonnées du sommet.
e) $f(x)=4x^{2}-20x+1$ : abscisse du sommet.
f) $g(x)=-x^{2}+6x-2$ : coordonnées du sommet.
g) $f(x)=-3(x+2)^{2}+12$ : les deux zéros.
h) $g(x)=2x^{2}-3x-4$ : les deux zéros, au centième.
i) $f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)^{2}-4$ : nombre de zéros.
j) $g(x)=-3x^{2}+12x+5$ : nature et valeur de l'extremum.

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a)

h

k

b)

Ordonnée à l'origine

c)

Zéro le plus petit

Zéro le plus grand

d)

h

k

e)

h

f)

h

k

g)

Zéro le plus petit

Zéro le plus grand

h)

Zéro le plus petit

Zéro le plus grand

i)

Nombre de zéros

j)

Nature

Valeur de l'extremum

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Réponses

a) Sommet $(-4\,;-7)$
b) $g(0)=3$
c) Zéros $-2$ et $7$
d) $h=\frac{-5+3}{2}=-1$ ; sommet $(-1\,;-8)$
e) $h=\frac{20}{8}=2{,}5$
f) Sommet $(3\,;7)$
g) $x=-2\pm 2$ : zéros $-4$ et $0$
h) $x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$ : $-0{,}85$ et $2{,}35$
i) $-\frac{k}{a}=-8<0$ : aucun zéro
j) Maximum $g(2)=17$

Le geste qui décide de tout : lire le signe de $h$ correctement. La forme s'écrit $(x-h)$ , donc $(x+4)$ cache $h=-4$ ; de même, un facteur $(x+2)$ cache le zéro $-2$ . Presque toutes les erreurs de cette liste sont des erreurs de signe à la lecture, pas de calcul.

a)

$3(x+4)^{2}-7=3(x-(-4))^{2}+(-7)$ : $h=-4$ et $k=-7$ , le sommet est $(-4\,;-7)$ . Piège : lire $h=4$ .

b)

L'ordonnée à l'origine est $g(0)=-2(0-1)^{2}+5=-2+5=3$ . Piège : répondre $k=5$ , qui est l'ordonnée du SOMMET, pas celle du point d'abscisse $0$ .

c)

Un produit est nul quand un facteur l'est : $x+2=0$ ou $x-7=0$ , donc les zéros sont $-2$ et $7$ . Le coefficient $-4$ ne change pas les zéros.

d)

Les zéros sont $-5$ et $3$ , donc $h=\frac{-5+3}{2}=-1$ . Puis $k=g(-1)=\frac{1}{2}(4)(-4)=-8$ . Le sommet est $(-1\,;-8)$ .

e)

$h=-\frac{b}{2a}=-\frac{-20}{2\times 4}=\frac{20}{8}=2{,}5$ . Piège : oublier le signe moins de la formule, ce qui donne $-2{,}5$ .

f)

$h=-\frac{6}{2\times(-1)}=3$ , puis $k=g(3)=-9+18-2=7$ . Le sommet est $(3\,;7)$ , un maximum puisque $a=-1<0$ . Piège : calculer $-x^{2}$ en $x=3$ comme $(-3)^{2}=9$ ; c'est $-(3^{2})=-9$ .

g)

$a=-3$ , $h=-2$ , $k=12$ : $-\frac{k}{a}=-\frac{12}{-3}=4$ , donc $x=-2\pm\sqrt{4}=-2\pm 2$ . Les zéros sont $-4$ et $0$ . Contrôle : $f(0)=-3(4)+12=0$ .

h)

Aucune forme ne montre les zéros : formule quadratique avec $a=2$ , $b=-3$ , $c=-4$ . $b^{2}-4ac=9+32=41$ , donc $x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$ , soit $x_{1}\approx-0{,}85$ et $x_{2}\approx 2{,}35$ . Piège : $-b=+3$ , et $-4ac=+32$ parce que $c$ est négatif.

i)

$-\frac{k}{a}=-\frac{-4}{-\frac{1}{2}}=-8<0$ : l'équation $(x+3)^{2}=-8$ est impossible, il n'y a AUCUN zéro. Contrôle : $a<0$ , la parabole s'ouvre vers le bas, et son sommet $(-3\,;-4)$ , son maximum, est déjà sous l'axe des $x$ .

j)

$h=-\frac{12}{2\times(-3)}=2$ , puis $k=g(2)=-12+24+5=17$ . Comme $a=-3<0$ , la parabole s'ouvre vers le bas : l'extremum est un MAXIMUM, qui vaut $17$ .

Contrôle : la valeur de la règle au sommet trouvé redonne $k$ , et les deux zéros trouvés annulent la règle. Pour d) : $g(-1)=-8$ , $g(-5)=0$ et $g(3)=0$ ; les deux zéros sont bien à égale distance $4$ de l'abscisse du sommet.

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Exercice 0.2 : Trouver la règle d'une fonction quadratique : dix calculs directs

Pour chaque ligne, trouvez les paramètres demandés de la règle de la fonction du second degré décrite : $a$ , $b$ , $c$ ou $k$ . Toutes les réponses sont des nombres décimaux exacts.

Une seule méthode pour les dix lignes : écrire d'abord la forme qui UTILISE les données, canonique si le sommet est donné, factorisée si les zéros le sont, générale avec trois points. Puis remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point qui reste, et isoler le paramètre inconnu. Pour passer de la forme canonique à la forme générale, on développe le carré avant de multiplier par $a$ .

a) $f(x)=ax^{2}$ passe par $(-2\,;6)$ : trouvez $a$ .
b) Le sommet est $(2\,;-5)$ et la parabole passe par $(4\,;7)$ : trouvez $a$ .
c) Le sommet est $(-3\,;0)$ et la parabole passe par $(-1\,;-6)$ : trouvez $a$ .
d) Les zéros sont $1$ et $6$ , et l'ordonnée à l'origine vaut $12$ : trouvez $a$ .
e) Les zéros sont $-4$ et $2$ , et la parabole passe par $(3\,;-14)$ : trouvez $a$ .
f) $f(x)=-2(x-4)^{2}+k$ passe par $(1\,;-11)$ : trouvez $k$ .
g) Écrivez $f(x)=3(x+2)^{2}-5$ sous la forme générale : donnez $b$ et $c$ .
h) Écrivez $f(x)=-\frac{1}{2}(x-6)^{2}+4$ sous la forme générale : donnez $b$ et $c$ .
i) La parabole passe par $(0\,;5)$ , $(1\,;3)$ et $(2\,;5)$ : donnez $a$ et $b$ .
j) La parabole passe par $(-1\,;-6)$ , $(1\,;2)$ et $(2\,;9)$ : donnez $b$ et $c$ .

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a)

a

b)

a

c)

a

d)

a

e)

a

f)

k

g)

b

c

h)

b

c

i)

a

b

j)

b

c

Voir la correction

Réponses

a) $4a=6$ : $a=1{,}5$
b) $4a-5=7$ : $a=3$
c) $4a=-6$ : $a=-1{,}5$
d) $6a=12$ : $a=2$
e) $7a=-14$ : $a=-2$
f) $-18+k=-11$ : $k=7$
g) $3x^{2}+12x+7$ : $b=12$ , $c=7$
h) $-\frac{1}{2}x^{2}+6x-14$ : $b=6$ , $c=-14$
i) $2x^{2}-4x+5$ : $a=2$ , $b=-4$
j) $x^{2}+4x-3$ : $b=4$ , $c=-3$

Le geste qui décide de tout : choisir la forme selon les données, et seulement ensuite remplacer le point. Avec le sommet $(h\,;k)$ , on écrit $a(x-h)^{2}+k$ ; avec les zéros $x_{1}$ et $x_{2}$ , on écrit $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ . Un zéro ou un $h$ négatif change de signe dans la parenthèse.

a)

$6=a(-2)^{2}=4a$ , donc $a=\frac{6}{4}=1{,}5$ . Piège : $(-2)^{2}=-4$ , ce qui donne $a=-1{,}5$ et une parabole tournée vers le bas qui ne passe pas par le point.

b)

$f(x)=a(x-2)^{2}-5$ . Le point $(4\,;7)$ donne $7=a(4-2)^{2}-5=4a-5$ , donc $4a=12$ et $a=3$ .

c)

Le sommet est sur l'axe des $x$ , donc $k=0$ : $f(x)=a(x+3)^{2}$ . Le point $(-1\,;-6)$ donne $-6=a(-1+3)^{2}=4a$ , donc $a=-1{,}5$ . Piège : écrire $(x-3)$ pour le sommet d'abscisse $-3$ .

d)

$f(x)=a(x-1)(x-6)$ . L'ordonnée à l'origine est $f(0)=a(-1)(-6)=6a=12$ , donc $a=2$ .

e)

$f(x)=a(x+4)(x-2)$ . Le point $(3\,;-14)$ donne $-14=a(7)(1)=7a$ , donc $a=-2$ . Piège : écrire $(x-4)(x+2)$ , avec les signes des zéros recopiés tels quels, ce qui donne $-14=-5a$ .

f)

$-11=-2(1-4)^{2}+k=-2(9)+k=-18+k$ , donc $k=7$ . Piège : $-2(-3)^{2}=+18$ en mettant le signe moins au carré ; c'est $-2\times 9=-18$ .

g)

$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ , donc $f(x)=3x^{2}+12x+12-5=3x^{2}+12x+7$ : $b=12$ et $c=7$ . Piège : multiplier seulement le $x^{2}$ par $3$ , ce qui donne $b=4$ .

h)

$(x-6)^{2}=x^{2}-12x+36$ , donc $f(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+6x-18+4=-\frac{1}{2}x^{2}+6x-14$ : $b=6$ et $c=-14$ . Le $-\frac{1}{2}$ multiplie les trois termes, signes compris.

i)

$(0\,;5)$ donne $c=5$ . $(1\,;3)$ donne $a+b+5=3$ , soit $a+b=-2$ . $(2\,;5)$ donne $4a+2b+5=5$ , soit $4a+2b=0$ , donc $b=-2a$ . Alors $a-2a=-2$ , $a=2$ et $b=-4$ : $f(x)=2x^{2}-4x+5$ . Les points $(0\,;5)$ et $(2\,;5)$ ont la même ordonnée, donc l'axe de symétrie est $x=1$ , et $-\frac{b}{2a}=\frac{4}{4}=1$ le confirme.

j)

Trois équations : $a-b+c=-6$ , $a+b+c=2$ et $4a+2b+c=9$ . La deuxième moins la première donne $2b=8$ , donc $b=4$ . Alors $a+c=-2$ et $4a+c=1$ ; en soustrayant, $3a=3$ , donc $a=1$ et $c=-3$ : $f(x)=x^{2}+4x-3$ .

Contrôle : la règle trouvée redonne chaque point de l'énoncé. Pour e) : $-2(3+4)(3-2)=-14$ ; pour j) : $f(-1)=1-4-3=-6$ , $f(1)=2$ et $f(2)=4+8-3=9$ .

Exercice 1 : La fonction de base et le rôle du coefficient a

La plus simple des fonctions du second degré s'écrit $f(x)=ax^{2}$ . Son sommet est à l'origine et son axe de symétrie est l'axe des ordonnées.

La figure montre trois de ces fonctions : $y=x^{2}$ , $y=2x^{2}$ et $y=-0{,}5x^{2}$ .

a) Complétez la table de valeurs des trois fonctions pour $x=-2$ , $x=-1$ , $x=0$ , $x=1$ et $x=2$ .
b) Laquelle s'ouvre vers le bas, et pourquoi ? Laquelle est la plus étroite ?
c) Le point $(2\,;8)$ appartient à laquelle des trois courbes ? Vérifiez par le calcul.
d) Une quatrième fonction $f(x)=ax^{2}$ passe par le point $(3\,;-18)$ . Déterminez $a$ .
e) Expliquez pourquoi toute fonction $f(x)=ax^{2}$ passe par l'origine et est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

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Réponses

a) $x^{2}$ : $4$ , $1$ , $0$ , $1$ , $4$ ; $2x^{2}$ : $8$ , $2$ , $0$ , $2$ , $8$ ; $-0{,}5x^{2}$ : $-2$ , $-0{,}5$ , $0$ , $-0{,}5$ , $-2$
b) $y=-0{,}5x^{2}$ s'ouvre vers le bas ; $y=2x^{2}$ est la plus étroite
c) $(2\,;8)$ appartient à $y=2x^{2}$
d) $a=-2$ , donc $f(x)=-2x^{2}$
e) $f(0)=0$ et $f(-x)=f(x)$ : passage par l'origine et symétrie

a)

Pour $y=x^{2}$ : $4$ , $1$ , $0$ , $1$ , $4$ . Pour $y=2x^{2}$ : $8$ , $2$ , $0$ , $2$ , $8$ . Pour $y=-0{,}5x^{2}$ : $-2$ , $-0{,}5$ , $0$ , $-0{,}5$ , $-2$ . Chaque ligne se lit deux fois : les valeurs en $-2$ et en $2$ sont égales, et c'est déjà la symétrie de la question e).

b)

Celle qui s'ouvre vers le bas est $y=-0{,}5x^{2}$ , parce que son $a$ est NÉGATIF : toutes ses ordonnées sont négatives ou nulles. La plus étroite est $y=2x^{2}$ , celle dont $|a|$ est le plus grand : pour la même abscisse, elle monte deux fois plus haut que $y=x^{2}$ . Retenez la formulation exacte : ce n'est pas le signe de $a$ qui décide de l'ouverture, c'est sa VALEUR ABSOLUE ; le signe, lui, décide du sens.

c)

On teste $x=2$ dans chaque règle : $2^{2}=4$ , $2\times 2^{2}=8$ , $-0{,}5\times 2^{2}=-2$ . Seule $y=2x^{2}$ donne $8$ , donc le point $(2\,;8)$ lui appartient. Un point appartient à une courbe quand ses deux coordonnées vérifient la règle : on remplace l'abscisse et on compare le résultat à l'ordonnée, on ne regarde jamais le dessin.

d)

Le point donne une équation : $-18=a\times 3^{2}$ , donc $9a=-18$ et $a=-2$ . La fonction est $f(x)=-2x^{2}$ , et elle s'ouvre vers le bas, ce que le signe de l'ordonnée annonçait déjà. Vérification : $-2\times 9=-18$ .

e)

En $x=0$ , $f(0)=a\times 0^{2}=0$ quel que soit $a$ : toutes ces paraboles passent donc par l'origine. Pour la symétrie, comparons $f(-x)$ et $f(x)$ : $f(-x)=a(-x)^{2}=ax^{2}=f(x)$ , puisque le carré efface le signe. Deux abscisses opposées donnent donc toujours la même ordonnée, ce qui est exactement la définition d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exercice 2 : Les trois formes, et ce que chacune donne gratuitement

Une même fonction du second degré s'écrit de trois façons : la forme GÉNÉRALE $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , la forme CANONIQUE $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ et la forme FACTORISÉE $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ .

On considère $f(x)=2(x-3)^{2}-8$ .

a) Donnez les coordonnées du sommet et l'équation de l'axe de symétrie, sans calcul.
b) Développez pour obtenir la forme générale, puis donnez l'ordonnée à l'origine.
c) Factorisez la forme générale obtenue, puis donnez les deux zéros.
d) Vérifiez que l'abscisse du sommet est bien au milieu des deux zéros.
e) Pour chacune des trois questions « sommet », « zéros », « ordonnée à l'origine », dites quelle forme répond immédiatement.
f) Retrouvez les zéros de $f$ sans passer par la forme générale, directement depuis la forme canonique, par la formule $x=h\pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$ . Appliquez ensuite la même formule à $g(x)=-3(x+1)^{2}-6$ : que conclure ?

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a)

h

k

b)

Coefficient de

x

Ordonnée à l'origine

c)

Zéro le plus petit

Zéro le plus grand

d)

Milieu des zéros

e)

Le sommet se lit sur

Les zéros se lisent sur

L'ordonnée à l'origine

f)

-\frac{k}{a}

pour

f

-\frac{k}{a}

pour

g

Zéros de

g

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Réponses

a) Sommet $(3\,;-8)$ , axe $x=3$
b) $f(x)=2x^{2}-12x+10$ , ordonnée à l'origine $10$
c) $f(x)=2(x-1)(x-5)$ , zéros $1$ et $5$
d) $\dfrac{1+5}{2}=3$ : c'est bien l'abscisse du sommet
e) Canonique pour le sommet, factorisée pour les zéros, générale pour l'ordonnée à l'origine
f) $f$ : $x=3\pm 2$ , zéros $1$ et $5$ ; $g$ : $-\dfrac{k}{a}=-2<0$ , aucun zéro

a)

La forme canonique $a(x-h)^{2}+k$ donne le sommet $(h\,;k)$ à la lecture : ici $h=3$ et $k=-8$ , donc le sommet est $(3\,;-8)$ et l'axe de symétrie a pour équation $x=3$ . Attention au signe de $h$ : la forme s'écrit $(x-h)$ , donc $(x-3)$ donne $h=+3$ . Avec $(x+3)$ , il aurait fallu lire $h=-3$ .

b)

On développe le carré : $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$ , donc $f(x)=2(x^{2}-6x+9)-8=2x^{2}-12x+18-8=2x^{2}-12x+10$ . L'ordonnée à l'origine est le terme constant, $c=10$ , et on le vérifie directement : $f(0)=2(0-3)^{2}-8=18-8=10$ . La forme générale donne donc gratuitement l'ordonnée à l'origine, et rien d'autre.

c)

$2x^{2}-12x+10=2(x^{2}-6x+5)=2(x-1)(x-5)$ , puisque $-1$ et $-5$ ont pour produit $5$ et pour somme $-6$ . Un produit est nul quand l'un de ses facteurs l'est, donc les zéros sont $x_{1}=1$ et $x_{2}=5$ . Vérification dans la forme de départ : $f(1)=2(1-3)^{2}-8=8-8=0$ , et $f(5)=2(5-3)^{2}-8=0$ .

d)

Le milieu de $1$ et $5$ est $\dfrac{1+5}{2}=3$ , l'abscisse du sommet trouvée en a). Ce n'est pas une coïncidence : la parabole est symétrique par rapport à son axe, donc deux points de même ordonnée, ici les deux zéros, sont à égale distance de cet axe. C'est la vérification la plus rapide du chapitre, et elle fonctionne aussi avec deux points quelconques de même ordonnée.

e)

Le sommet se lit sur la forme CANONIQUE, les zéros sur la forme FACTORISÉE, l'ordonnée à l'origine sur la forme GÉNÉRALE. Chaque forme donne une information et cache les deux autres : c'est tout le chapitre en une phrase. Avant de calculer, demandez-vous donc quelle forme répond à la question posée, puis transformez seulement si nécessaire.

f)

La formule vient de l'équation $f(x)=0$ résolue sur la forme canonique : $a(x-h)^{2}+k=0$ donne $(x-h)^{2}=-\dfrac{k}{a}$ , et un carré égal à un nombre positif ou nul donne deux valeurs opposées, $x-h=\pm\sqrt{-\dfrac{k}{a}}$ . Ici $a=2$ , $h=3$ et $k=-8$ : $-\dfrac{k}{a}=-\dfrac{-8}{2}=4$ , donc $x=3\pm\sqrt{4}=3\pm 2$ , soit $x_{1}=1$ et $x_{2}=5$ , les zéros de la question c), sans développer ni factoriser. Le $\pm$ est la moitié de la réponse : l'oublier fait perdre un zéro. Le signe moins devant $\dfrac{k}{a}$ aussi : calculer $\sqrt{\dfrac{k}{a}}=\sqrt{-4}$ ferait conclure, à tort, qu'il n'y a pas de zéro.

Pour $g$ , attention aux signes : $(x+1)$ donne $h=-1$ , avec $a=-3$ et $k=-6$ . Alors $-\dfrac{k}{a}=-\dfrac{-6}{-3}=-2<0$ : un carré n'est jamais négatif, l'équation $(x+1)^{2}=-2$ n'a pas de solution, et $g$ n'a AUCUN zéro. Contrôle par l'esquisse : $a<0$ , la parabole s'ouvre vers le bas et son sommet $(-1\,;-6)$ , qui est son maximum, est déjà sous l'axe des $x$ ; la courbe ne peut donc jamais le toucher. La règle à retenir : les zéros existent si et seulement si $-\dfrac{k}{a}\geq 0$ , c'est-à-dire si $a$ et $k$ sont de signes contraires, ou si $k=0$ , et alors $x=h$ est un zéro double. Ce raccourci est celui qu'on enseigne au secondaire au Québec ; il donne les mêmes zéros que la factorisation ou la formule quadratique, sans quitter la forme canonique.

Exercice 3 : Lire toutes les propriétés sur une parabole

La figure représente la fonction $f(x)=-(x-2)^{2}+9$ .

Les propriétés demandées sont celles que toute évaluation réclame, dans cet ordre : domaine, image, sommet, axe de symétrie, zéros, ordonnée à l'origine, variation, signe.

a) Donnez le domaine et l'image de $f$ .
b) Donnez le sommet, l'équation de l'axe de symétrie, et dites s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
c) Donnez les zéros et l'ordonnée à l'origine.
d) Donnez les intervalles de croissance et de décroissance.
e) Donnez les intervalles où $f$ est positive et où elle est négative.

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Réponses

a) Domaine $\mathbb{R}$ , image $]-\infty\,;9]$
b) Sommet $(2\,;9)$ , axe $x=2$ , maximum de $9$ atteint en $x=2$
c) Zéros $-1$ et $5$ , ordonnée à l'origine $5$
d) Croissante sur $]-\infty\,;2]$ , décroissante sur $[2\,;+\infty[$
e) Positive sur $[-1\,;5]$ , négative sur $]-\infty\,;-1]$ et $[5\,;+\infty[$

a)

Le domaine d'une fonction polynomiale est toujours $\mathbb{R}$ : aucune valeur de $x$ n'est interdite, il n'y a ni dénominateur ni racine. L'image, elle, est limitée par le sommet : comme $a=-1<0$ , la parabole s'ouvre vers le bas et ne dépasse jamais $9$ . L'image est donc $]-\infty\,;9]$ , le crochet fermé indiquant que la valeur $9$ EST atteinte, au sommet. Confondre domaine et image est l'erreur la plus fréquente ici : le domaine se lit horizontalement, l'image verticalement.

b)

La forme canonique donne le sommet $(2\,;9)$ et l'axe de symétrie $x=2$ . Comme $a<0$ , la fonction monte puis descend : le sommet est un MAXIMUM, et ce maximum vaut $9$ , atteint en $x=2$ . Deux mots à ne pas confondre dans la rédaction : le maximum est l'ordonnée $9$ , et il est atteint en $x=2$ ; écrire « le maximum est $2$ » coûte la question.

c)

Les zéros annulent $f$ : $-(x-2)^{2}+9=0$ donne $(x-2)^{2}=9$ , donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$ , c'est-à-dire $x=5$ ou $x=-1$ . L'ordonnée à l'origine est $f(0)=-(0-2)^{2}+9=-4+9=5$ . Les deux zéros sont bien symétriques par rapport à $x=2$ , puisque $\dfrac{-1+5}{2}=2$ .

d)

La fonction croît jusqu'au sommet puis décroît : elle est croissante sur $]-\infty\,;2]$ et décroissante sur $[2\,;+\infty[$ . Le sommet appartient aux deux intervalles, et on l'écrit avec des crochets fermés des deux côtés : c'est la convention attendue en secondaire 4. Une variation se donne toujours en intervalles de $x$ , jamais en valeurs de $y$ .

e)

Le signe se lit entre les zéros : la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses entre $-1$ et $5$ , en dessous à l'extérieur. Donc $f$ est positive sur $[-1\,;5]$ et négative sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[5\,;+\infty[$ . Le lien à retenir : quand $a<0$ , la fonction est positive ENTRE les zéros ; quand $a>0$ , elle l'est à l'extérieur. La figure évite d'avoir à s'en souvenir.

Exercice 4 : Reconnaître une fonction quadratique dans une table de valeurs

Une table de valeurs à pas constant trahit le degré de la fonction : les différences PREMIÈRES sont constantes pour une fonction du premier degré, et ce sont les différences SECONDES qui le sont pour une fonction du second degré.

On donne la table suivante, de pas $1$ : $f(0)=1$ , $f(1)=2$ , $f(2)=9$ , $f(3)=22$ , $f(4)=41$ , $f(5)=66$ .

a) Calculez les cinq différences premières, puis les quatre différences secondes.
b) Que peut-on conclure sur le degré de la fonction ? Déterminez le coefficient $a$ .
c) Déterminez la règle complète de $f$ sous la forme générale.
d) Prédisez $f(6)$ de deux façons : par les différences, puis par la règle.
e) La table $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ correspond-elle à une fonction du second degré ? Justifiez par le même calcul.

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Réponses

a) Premières : $1$ , $7$ , $13$ , $19$ , $25$ ; secondes : $6$ , $6$ , $6$ , $6$
b) Second degré, et $2a=6$ donne $a=3$
c) $f(x)=3x^{2}-2x+1$
d) $f(6)=97$ par les deux chemins
e) Non : les différences secondes valent $1$ , $2$ , $4$ , elles ne sont pas constantes

a)

Différences premières, chaque valeur moins la précédente : $2-1=1$ , $9-2=7$ , $22-9=13$ , $41-22=19$ , $66-41=25$ . Différences secondes, mêmes soustractions sur la ligne précédente : $7-1=6$ , $13-7=6$ , $19-13=6$ , $25-19=6$ . Elles sont toutes égales à $6$ .

b)

Des différences secondes constantes et non nulles signent une fonction du SECOND degré. Pour un pas de $1$ , ces différences valent $2a$ : de $2a=6$ on tire $a=3$ . Attention, cette relation dépend du pas : avec un pas $h$ , les différences secondes valent $2ah^{2}$ , ce qui servira à l'exercice 9 où le pas vaut $20$ .

c)

On écrit $f(x)=3x^{2}+bx+c$ . La valeur $f(0)=1$ donne directement $c=1$ , puisque $f(0)$ est toujours le terme constant. Puis $f(1)=2$ donne $3+b+1=2$ , donc $b=-2$ . La règle est $f(x)=3x^{2}-2x+1$ . Vérification sur une valeur non utilisée, $f(4)=48-8+1=41$ : c'est bien la table.

d)

Par les différences : la prochaine différence première vaut $25+6=31$ , donc $f(6)=66+31=97$ . Par la règle : $f(6)=3\times 36-12+1=108-12+1=97$ . Les deux chemins concordent, ce qui valide à la fois la règle et le raisonnement sur les différences. En évaluation, le second chemin est exigé, le premier sert de contrôle.

e)

Différences premières : $1$ , $2$ , $4$ , $8$ . Différences secondes : $1$ , $2$ , $4$ . Elles ne sont pas constantes, donc cette table ne vient PAS d'une fonction du second degré. Chaque valeur y est le double de la précédente : c'est une croissance multiplicative, et non additive. Le test des différences secondes est donc un vrai test, qui peut échouer : c'est précisément ce qui en fait un argument recevable en évaluation.

Exercice 5 : Retrouver la règle à partir de ce qui est donné

Trois situations, trois données de départ, trois formes de réponse. La règle du jeu est toujours la même : on écrit la forme qui utilise les données, puis le point restant sert à trouver $a$ .

a) Le sommet est $(-1\,;-4)$ et la parabole passe par $(1\,;4)$ . Déterminez la règle.
b) Les zéros sont $-3$ et $5$ , et la parabole passe par $(1\,;-16)$ . Déterminez la règle.
c) Que remarque-t-on sur le point $(1\,;-16)$ de la question b) ?
d) La parabole passe par $(0\,;3)$ , $(1\,;0)$ et $(2\,;1)$ . Déterminez la règle.
e) Récapitulez : quelle forme choisir selon ce que l'énoncé donne ?

Voir la correction

Réponses

a) $f(x)=2(x+1)^{2}-4$
b) $f(x)=(x+3)(x-5)=x^{2}-2x-15$
c) $1$ est le milieu de $-3$ et $5$ : le point donné était le sommet $(1\,;-16)$
d) $f(x)=2x^{2}-5x+3$
e) Sommet : canonique. Zéros : factorisée. Trois points : générale et système

a)

Le sommet est donné, donc on part de la forme canonique : $f(x)=a(x+1)^{2}-4$ , en n'oubliant pas que $h=-1$ s'écrit $(x-(-1))=(x+1)$ . Le point $(1\,;4)$ donne $4=a(1+1)^{2}-4$ , soit $4a=8$ et $a=2$ . La règle est $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ . Vérification : $2\times 4-4=4$ , l'ordonnée annoncée.

b)

Les zéros sont donnés, donc on part de la forme factorisée : $f(x)=a(x+3)(x-5)$ , encore une fois avec le changement de signe sur le zéro négatif. Le point $(1\,;-16)$ donne $-16=a(1+3)(1-5)=a\times 4\times(-4)=-16a$ , donc $a=1$ . La règle est $f(x)=(x+3)(x-5)$ , soit $x^{2}-2x-15$ sous forme générale.

c)

L'abscisse $1$ est exactement le milieu des deux zéros, $\dfrac{-3+5}{2}=1$ : le point donné était donc le SOMMET, et le sommet est $(1\,;-16)$ . On aurait pu résoudre la question par la forme canonique $f(x)=a(x-1)^{2}-16$ en utilisant un zéro comme second point : $0=a(−3−1)^{2}−16$ donne $16a=16$ et $a=1$ . Deux chemins, une seule règle : c'est le meilleur contrôle possible.

d)

Aucun sommet, aucun zéro complet : on part de la forme générale $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . Le point $(0\,;3)$ donne $c=3$ . Le point $(1\,;0)$ donne $a+b+3=0$ , donc $a+b=-3$ . Le point $(2\,;1)$ donne $4a+2b+3=1$ , donc $4a+2b=-2$ , c'est-à-dire $2a+b=-1$ . En soustrayant la première équation de la dernière : $a=2$ , puis $b=-5$ . La règle est $f(x)=2x^{2}-5x+3$ , et l'on vérifie $f(2)=8-10+3=1$ .

e)

Sommet donné, on prend la forme CANONIQUE. Deux zéros donnés, on prend la forme FACTORISÉE. Trois points quelconques, on prend la forme GÉNÉRALE et l'on résout un système. Dans les trois cas, le point qui reste sert à trouver $a$ , et il en faut toujours un de plus que les données de forme : une parabole est déterminée par trois renseignements, jamais deux.

Exercice 6 : Problème : l'arche parabolique d'un tunnel

L'entrée d'un tunnel a la forme d'une arche parabolique : elle mesure $12$ mètres de large au sol et $5$ mètres de haut en son centre.

On place l'origine au pied gauche de l'arche, l'axe des abscisses au sol, et l'on note $h(x)$ la hauteur de l'arche à $x$ mètres du pied gauche.

a) Déterminez la règle de $h$ sous forme factorisée, puis sous forme générale.
b) Quelle est la hauteur de l'arche à $2$ mètres du pied gauche ? Arrondissez au centième.
c) Un camion de $3$ mètres de haut et de $4$ mètres de large peut-il passer en restant centré ? Et un convoi de $3{,}5$ mètres de haut et de $8$ mètres de large ?
d) À quelles distances du pied gauche l'arche atteint-elle exactement $3$ mètres de haut ? Arrondissez au centième.
e) Vérifiez la symétrie de vos réponses et dites ce qu'elle garantit.

Voir la correction

Réponses

a) $h(x)=-\dfrac{5}{36}x(x-12)=-\dfrac{5}{36}x^{2}+\dfrac{5}{3}x$
b) $h(2)\approx 2{,}78$ m
c) Le camion passe ( $4{,}44$ m au bord) ; le convoi ne passe pas ( $2{,}78$ m au bord)
d) $x\approx 2{,}21$ m et $x\approx 9{,}79$ m
e) Leur milieu vaut $6$ , l'axe de l'arche : les deux solutions sont bien symétriques

a)

Les deux pieds de l'arche sont au sol, donc les zéros sont $0$ et $12$ : la forme factorisée s'impose, $h(x)=a\,x(x-12)$ . Le sommet est au milieu, en $x=6$ , et sa hauteur vaut $5$ : $5=a\times 6\times(6-12)=-36a$ , donc $a=-\dfrac{5}{36}$ . La règle est $h(x)=-\dfrac{5}{36}x(x-12)$ , soit, en développant, $h(x)=-\dfrac{5}{36}x^{2}+\dfrac{5}{3}x$ . Le signe négatif de $a$ était prévisible : une arche s'ouvre vers le bas.

b)

$h(2)=-\dfrac{5}{36}\times 2\times(2-12)=-\dfrac{5}{36}\times(-20)=\dfrac{100}{36}\approx 2{,}78$ mètre. L'arche ne monte donc que très progressivement : à $2$ mètres du bord, elle n'a pas encore atteint $3$ mètres, alors que son centre culmine à $5$ . Une parabole n'est pas un triangle, et c'est précisément ce que la question c) va exploiter.

c)

Un camion large de $4$ mètres, centré, occupe l'intervalle de $x=4$ à $x=8$ . Le point le plus critique est celui où l'arche est la plus basse sur cet intervalle, donc l'un des bords : $h(4)=-\dfrac{5}{36}\times 4\times(-8)=\dfrac{160}{36}\approx 4{,}44$ mètre. Comme $4{,}44>3$ , le camion passe. Le convoi large de $8$ mètres occupe de $x=2$ à $x=10$ , où la hauteur tombe à $2{,}78$ mètre : comme $2{,}78<3{,}5$ , il NE passe PAS. La comparaison se fait toujours au bord du véhicule, jamais au centre : c'est l'erreur qui coûte la question, car au centre l'arche fait $5$ mètres et tout semble passer.

d)

On cherche $x$ tel que $h(x)=3$ : $-\dfrac{5}{36}x(x-12)=3$ , donc $x(x-12)=-\dfrac{108}{5}=-21{,}6$ , c'est-à-dire $x^{2}-12x+21{,}6=0$ . La factorisation ne tombe pas juste, donc on emploie la formule : $x=\dfrac{12\pm\sqrt{144-86{,}4}}{2}=\dfrac{12\pm\sqrt{57{,}6}}{2}$ . Comme $\sqrt{57{,}6}\approx 7{,}59$ , on obtient $x\approx 2{,}21$ et $x\approx 9{,}79$ . L'arche dépasse donc $3$ mètres sur une largeur de $9{,}79-2{,}21\approx 7{,}59$ mètres.

e)

Les deux distances sont symétriques par rapport au centre $x=6$ : $\dfrac{2{,}21+9{,}79}{2}=6$ , et l'on vérifie de même que $h(2)=h(10)$ . Cette symétrie garantit qu'aucune solution n'a été oubliée : une hauteur comprise entre $0$ et $5$ est atteinte exactement DEUX fois, une fois de chaque côté. Une copie qui ne donne qu'une seule distance perd la moitié de la question, et le contrôle par le milieu prend trois secondes.

Exercice 7 : Problème : la gouttière pliée

On fabrique une gouttière en pliant à angle droit les deux bords d'une feuille de métal large de $30$ centimètres. Les deux rebords ont la même hauteur $x$ , en centimètres.

La figure montre la section de la gouttière, tracée pour $x=5$ .

a) Exprimez l'aire $A(x)$ de la section sous forme factorisée, puis développée. Donnez les valeurs de $x$ acceptables.
b) Déterminez la hauteur de pli qui donne la plus grande aire, et cette aire maximale.
c) Calculez $A(5)$ et $A(10)$ . Que remarquez-vous ?
d) Pour quelles hauteurs de pli l'aire vaut-elle exactement $100$ centimètres carrés ?
e) Expliquez, en une phrase sur la parabole, pourquoi la question d) a deux réponses.

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Réponses

a) $A(x)=x(30-2x)=-2x^{2}+30x$ , avec $0<x<15$
b) Pli de $7{,}5$ cm, aire maximale $112{,}5$ cm²
c) $A(5)=A(10)=100$ cm² : deux plis symétriques par rapport à $7{,}5$
d) $x=5$ cm et $x=10$ cm
e) La droite $y=100$ coupe la parabole en deux points symétriques ; seul le maximum est atteint une fois

a)

Le fond mesure $30-2x$ centimètres, puisque les deux plis prennent chacun $x$ centimètres de la largeur. La section est un rectangle de hauteur $x$ et de base $30-2x$ : $A(x)=x(30-2x)$ , soit $A(x)=-2x^{2}+30x$ sous forme développée. Les valeurs acceptables sont celles pour lesquelles les deux dimensions sont positives : $x>0$ et $30-2x>0$ , donc $0<x<15$ . Le domaine du CONTEXTE est plus petit que celui de la fonction, qui serait $\mathbb{R}$ : l'oublier coûte régulièrement un point.

b)

La forme factorisée donne les zéros $0$ et $15$ , donc l'axe de symétrie est au milieu : $x=\dfrac{0+15}{2}=7{,}5$ . Comme $a=-2<0$ , la parabole s'ouvre vers le bas et ce sommet est un MAXIMUM. L'aire maximale vaut $A(7{,}5)=7{,}5\times(30-15)=7{,}5\times 15=112{,}5$ centimètres carrés. Remarquez qu'on n'a eu besoin d'aucune formule : les deux zéros et la symétrie suffisent, et c'est toujours le chemin le plus court quand la forme factorisée est disponible.

c)

$A(5)=5\times(30-10)=5\times 20=100$ et $A(10)=10\times(30-20)=10\times 10=100$ . Les deux plis, pourtant très différents, donnent la même aire. Ce n'est pas un hasard : $5$ et $10$ sont symétriques par rapport à $7{,}5$ , puisque $\dfrac{5+10}{2}=7{,}5$ .

d)

On résout $-2x^{2}+30x=100$ , soit $-2x^{2}+30x-100=0$ , et en divisant par $-2$ : $x^{2}-15x+50=0$ . Deux nombres de produit $50$ et de somme $-15$ : $-5$ et $-10$ , donc $(x-5)(x-10)=0$ et $x=5$ ou $x=10$ . Les deux valeurs sont dans le domaine $]0\,;15[$ , donc les deux conviennent, et elles confirment la question c).

e)

Une parabole atteint deux fois toute valeur située strictement entre son extremum et l'infini du côté ouvert : la droite horizontale $y=100$ coupe la courbe en deux points, symétriques par rapport à l'axe $x=7{,}5$ . Seule l'aire maximale $112{,}5$ n'est atteinte qu'une fois, au sommet, et une aire supérieure n'est jamais atteinte. Pratiquement, le fabricant a donc le CHOIX entre deux gouttières de même capacité, l'une profonde et étroite, l'autre plate et large.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi, donnez l'énoncé correct, et appuyez-vous sur un calcul chaque fois que c'est possible.

a) « Le sommet de $f(x)=2(x+3)^{2}-5$ est le point $(3\,;-5)$ . »
b) « Une parabole a toujours deux zéros. »
c) « Si $a>0$ , la fonction du second degré admet un maximum. »
d) « L'image de $f(x)=-(x-2)^{2}+9$ est l'ensemble des réels. »
e) « Dans $f(x)=2(x-1)(x-5)$ , l'ordonnée à l'origine vaut $5$ , car $(-1)\times(-5)=5$ . »

Voir la correction

Réponses

a) Le sommet est $(-3\,;-5)$
b) Une parabole a $0$ , $1$ ou $2$ zéros
c) Si $a>0$ , le sommet est un minimum
d) L'image est $]-\infty\,;9]$ ; c'est le DOMAINE qui vaut $\mathbb{R}$
e) $f(0)=2(-1)(-5)=10$ : le facteur $a$ compte aussi

a)

Faux sur le signe de $h$ . La forme canonique s'écrit $a(x-h)^{2}+k$ : l'énoncé contient $(x+3)$ , c'est-à-dire $(x-(-3))$ , donc $h=-3$ et le sommet est $(-3\,;-5)$ . Contrôle immédiat : le sommet est le point où la parenthèse s'annule, et $(x+3)$ s'annule en $x=-3$ . C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et elle se vérifie en deux secondes.

b)

Faux : une parabole a DEUX zéros, UN seul, ou AUCUN. $f(x)=x^{2}-4$ a deux zéros, $f(x)=x^{2}$ n'en a qu'un, en $x=0$ , et $f(x)=x^{2}+1$ n'en a aucun, puisqu'un carré ajouté à $1$ ne vaut jamais $0$ . Géométriquement, tout dépend de la position du sommet par rapport à l'axe des abscisses : au-dessus, au-dessous ou dessus.

c)

Faux, c'est l'inverse. Si $a>0$ , la parabole s'ouvre vers le HAUT : elle descend, atteint son point le plus bas au sommet, puis remonte. Le sommet est donc un MINIMUM. C'est avec $a<0$ que l'on obtient un maximum. Moyen mnémotechnique honnête : $a>0$ donne un sourire, $a<0$ une moue.

d)

Faux : le domaine est l'ensemble des réels, pas l'image. Comme $a=-1<0$ , la fonction ne dépasse jamais la valeur du sommet, $9$ : son image est $]-\infty\,;9]$ . Le domaine se lit horizontalement, sur l'axe des abscisses, et l'image verticalement, sur l'axe des ordonnées. Sur une copie, les deux mots ne s'échangent pas.

e)

Faux : l'ordonnée à l'origine est $f(0)$ , et il ne faut pas oublier le facteur $a$ . $f(0)=2(0-1)(0-5)=2\times(-1)\times(-5)=10$ . L'affirmation a calculé le produit des deux parenthèses mais a laissé le $2$ de côté. La règle générale est simple : l'ordonnée à l'origine se calcule TOUJOURS en remplaçant $x$ par $0$ dans la règle, quelle que soit la forme, et jamais en lisant un morceau de l'écriture.

Exercice 9 : Problème : la distance de freinage

Un manuel de sécurité routière donne la distance de freinage $d$ , en mètres, en fonction de la vitesse $v$ , en kilomètres par heure :

$v=0$ donne $d=0$ ; $v=20$ donne $d=8$ ; $v=40$ donne $d=24$ ; $v=60$ donne $d=48$ ; $v=80$ donne $d=80$ ; $v=100$ donne $d=120$ .

La figure ci-dessous représente les six mesures de la table.

a) Calculez les différences premières, puis les différences secondes.
b) Le pas de la table vaut $20$ . Sachant que les différences secondes valent alors $2ah^{2}$ , déterminez $a$ .
c) Déterminez la règle complète de $d$ en fonction de $v$ .
d) Prédisez la distance de freinage à $120$ kilomètres par heure.
e) En passant de $40$ à $80$ kilomètres par heure, la vitesse double. La distance de freinage double-t-elle ? Expliquez à partir de la règle.

Voir la correction

Réponses

a) Premières : $8$ , $16$ , $24$ , $32$ , $40$ ; secondes : $8$ partout
b) $800a=8$ , donc $a=0{,}01$
c) $d(v)=0{,}01v^{2}+0{,}2v$
d) $d(120)=168$ m
e) Non : $24$ m contre $80$ m, soit environ $3{,}33$ fois plus, car le terme en $v^{2}$ quadruple

a)

Différences premières : $8-0=8$ , $24-8=16$ , $48-24=24$ , $80-48=32$ , $120-80=40$ . Différences secondes : $16-8=8$ , $24-16=8$ , $32-24=8$ , $40-32=8$ . Elles sont constantes, donc la distance de freinage est bien une fonction du SECOND degré de la vitesse.

b)

Le pas vaut $h=20$ , donc $2ah^{2}=2a\times 400=800a$ . En posant $800a=8$ , on obtient $a=0{,}01$ . Le piège est de reprendre la formule de l'exercice 4, où le pas valait $1$ : on aurait alors conclu $a=4$ , soit un modèle quatre cents fois trop grand. La formule à retenir est bien $2ah^{2}$ , et $h$ est le pas de la table, pas le pas de temps.

c)

On écrit $d(v)=0{,}01v^{2}+bv+c$ . La valeur $d(0)=0$ donne $c=0$ . Puis $d(20)=8$ donne $0{,}01\times 400+20b=8$ , c'est-à-dire $4+20b=8$ , donc $b=0{,}2$ . La règle est $d(v)=0{,}01v^{2}+0{,}2v$ . Vérification sur une ligne non utilisée : $d(60)=36+12=48$ , et $d(100)=100+20=120$ . Les deux tombent juste.

d)

$d(120)=0{,}01\times 14\ 400+0{,}2\times 120=144+24=168$ mètres. Par les différences, on retrouve la même chose : la prochaine différence première vaut $40+8=48$ , donc $d(120)=120+48=168$ . Presque deux cents mètres, soit la longueur de deux terrains de football : c'est ce chiffre, et non la règle, que le manuel cherche à faire retenir.

e)

Non. $d(40)=16+8=24$ mètres et $d(80)=64+16=80$ mètres : la distance est multipliée par $\dfrac{80}{24}\approx 3{,}33$ , pas par $2$ . La règle dit pourquoi : quand $v$ double, le terme $0{,}01v^{2}$ est multiplié par $4$ , car le carré de $2v$ vaut $4v^{2}$ , tandis que le terme $0{,}2v$ n'est multiplié que par $2$ . Le terme du second degré finit par écraser l'autre, et c'est exactement la raison pour laquelle une petite augmentation de vitesse coûte si cher au freinage.

Exercice 10 : Problème : combien d'arbres planter dans le verger

Un verger compte actuellement $30$ pommiers par hectare, et chacun produit $400$ pommes par saison.

L'agronome constate que chaque arbre supplémentaire planté sur le même hectare fait perdre $10$ pommes à CHACUN des arbres. On note $x$ le nombre d'arbres ajoutés.

a) Exprimez la récolte totale $R(x)$ sous forme factorisée, puis développée.
b) Calculez $R(0)$ , $R(5)$ et $R(10)$ .
c) Combien d'arbres faut-il ajouter pour obtenir la récolte maximale ? Combien d'arbres compte alors le verger, et quelle est cette récolte ?
d) À partir de combien d'arbres ajoutés la récolte devient-elle inférieure à celle de départ ?
e) Un élève affirme : « doubler le nombre d'arbres double la récolte ». Réfutez avec le cas $x=30$ .

Voir la correction

Réponses

a) $R(x)=(30+x)(400-10x)=-10x^{2}+100x+12\ 000$
b) $R(0)=12\ 000$ , $R(5)=12\ 250$ , $R(10)=12\ 000$
c) $5$ arbres à ajouter, soit $35$ arbres, pour $12\ 250$ pommes
d) À partir de $11$ arbres ajoutés
e) $R(30)=6\ 000$ pommes, la moitié de la récolte de départ

a)

Après $x$ ajouts, le verger compte $30+x$ arbres et chacun produit $400-10x$ pommes. La récolte totale est le produit : $R(x)=(30+x)(400-10x)$ . En développant : $R(x)=12\ 000-300x+400x-10x^{2}=-10x^{2}+100x+12\ 000$ . Le signe négatif du terme du second degré annonce déjà un maximum, donc l'existence d'un nombre optimal d'arbres.

b)

$R(0)=30\times 400=12\ 000$ pommes, la situation actuelle. $R(5)=35\times 350=12\ 250$ pommes. $R(10)=40\times 300=12\ 000$ pommes, soit exactement la récolte de départ. Ajouter dix arbres ne rapporte donc rien du tout, alors qu'en ajouter cinq rapporte $250$ pommes.

c)

La forme factorisée donne les zéros de $R$ : $30+x=0$ donne $x=-30$ , et $400-10x=0$ donne $x=40$ . L'axe de symétrie passe au milieu : $x=\dfrac{-30+40}{2}=5$ . Comme $a=-10<0$ , ce sommet est un maximum : il faut ajouter $5$ arbres. Le verger en compte alors $35$ , chacun produisant $350$ pommes, soit $R(5)=12\ 250$ pommes. Là encore, aucune formule n'a été nécessaire : les deux zéros et la symétrie ont suffi.

d)

On cherche quand $R(x)<12\ 000$ , donc on résout d'abord $R(x)=12\ 000$ : $-10x^{2}+100x+12\ 000=12\ 000$ donne $-10x^{2}+100x=0$ , c'est-à-dire $-10x(x-10)=0$ , donc $x=0$ ou $x=10$ . Entre ces deux valeurs la récolte est supérieure à $12\ 000$ , et au-delà de $x=10$ elle devient inférieure. Il faut donc s'arrêter avant le onzième arbre ajouté : à partir de $11$ arbres ajoutés, on récolte moins qu'en ne faisant rien.

e)

Doubler le nombre d'arbres, c'est passer de $30$ à $60$ , donc $x=30$ . Chaque arbre ne produit alors que $400-300=100$ pommes, et la récolte vaut $R(30)=60\times 100=6\ 000$ pommes : la moitié de la récolte de départ, et non le double. La récolte n'est pas proportionnelle au nombre d'arbres parce que les deux facteurs varient EN SENS CONTRAIRE : l'un monte, l'autre descend. C'est la signature d'une situation quadratique, et c'est ce qui rend l'optimum intéressant.

Exercices corrigés : la fonction polynomiale de degré 2 (math SN4, secondaire 4)

Rappel de cours

Calculs : le sommet et les zéros à calculer

Exercice 0.1 : Trouver le sommet et les zéros d'une règle donnée : dix calculs directs

Calculs : les paramètres de la règle à calculer

Exercice 0.2 : Trouver la règle d'une fonction quadratique : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : La fonction de base et le rôle du coefficient a

Exercice 2 : Les trois formes, et ce que chacune donne gratuitement

Exercice 3 : Lire toutes les propriétés sur une parabole

Exercice 4 : Reconnaître une fonction quadratique dans une table de valeurs

Exercice 5 : Retrouver la règle à partir de ce qui est donné

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Problème : l'arche parabolique d'un tunnel

Exercice 7 : Problème : la gouttière pliée

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : la distance de freinage

Exercice 10 : Problème : combien d'arbres planter dans le verger

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