Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : les paramètres et les propriétés des fonctions (SN4)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les paramètres : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie de secondaire 4 et le geste précis qui l'évite.

Le chapitre a deux moitiés et l'on n'en révise souvent qu'une. Les paramètres a, b, h et k sont la première ; les propriétés, domaine, image, variation, signe et extremums, sont la seconde, et c'est elle qui est la plus payée à l'épreuve unique du Ministère, parce qu'elle se rédige.

Le fil du chapitre

Un paramètre ne change pas la fonction, il change le REPÈRE dans lequel on la lit : $h$ et $k$ déplacent l'origine, $a$ et $b$ changent les unités. C'est pourquoi $h$ semble toujours se lire à l'envers, et pourquoi une translation ne déforme jamais rien.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3

L'essentiel

Les quatre paramètres, et ce que chacun fait exactement

• Toute la famille s'écrit $f(x)=a\,g\big(b(x-h)\big)+k$ , où $g$ est la fonction de base.
• $h$ déplace HORIZONTALEMENT, $k$ VERTICALEMENT : ce sont les deux translations, et elles ne déforment rien.
• $a$ multiplie les ordonnées, $b$ divise les abscisses : ce sont les deux changements d'échelle, et ils déforment sans déplacer.
• Un paramètre absent vaut sa valeur NEUTRE : $1$ pour $a$ et $b$ , $0$ pour $h$ et $k$ . Jamais $0$ pour $b$ , qui écraserait toute la courbe sur une horizontale.

y=x^{2}

y=-2(x-3)^{2}+4

h=3

déplace de

3

vers la droite,

k=4

4

vers le haut, et

a=-2

retourne la courbe en l'étirant deux fois plus haut.

Sur la figure, le sommet passe de $(0\,;0)$ à $(3\,;4)$ : le sommet est le point qui montre $h$ et $k$ d'un seul coup.

Les propriétés, et le vocabulaire qui les nomme

• DOMAINE : les valeurs possibles de $x$ , lues horizontalement. IMAGE : les valeurs prises par la fonction, lues verticalement.
• ORDONNÉE À L'ORIGINE : $f(0)$ . ZÉROS : les $x$ où $f(x)=0$ . L'une est une valeur de $y$ , les autres des valeurs de $x$ .
• VARIATION : croissante, décroissante ou CONSTANTE, toujours en intervalles de $x$ , bornes comprises.
• SIGNE : les intervalles de $x$ où la fonction est positive, puis négative. EXTREMUMS : la valeur maximale ou minimale, et l'endroit où elle est atteinte.

Une évaluation demande ces propriétés dans cet ordre. Les donner sans les nommer ne rapporte rien : c'est le mot qui est noté, autant que le nombre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Le signe de $h$ lu à l'envers

2 points, et le sommet, l'image et la variation avec lui

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=(x-3)^{2}$ : on translate de $3$ vers la gauche »

Ce qu'il faut écrire

« $(x-3)$ s'annule en $x=3$ , donc $h=3$ et la translation est de $3$ vers la DROITE. »

Le PLUS envoie la courbe à gauche, le MOINS l'envoie à droite. Les deux sommets,

(-3\,;0)

(3\,;0)

, sont aux valeurs qui annulent chaque parenthèse.

Pourquoi : On ne déplace pas la courbe, on déplace l'origine : pour que $f$ fasse en $x=3$ ce que la base faisait en $0$ , la parenthèse doit s'annuler en $3$ . Le contrôle sans mémoire : cherchez la valeur qui ANNULE la parenthèse, c'est $h$ .

2. Le paramètre $k$ accusé de changer le domaine

1 à 2 points, et l'erreur se répète sur chaque question d'étude de fonction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y=x^{2}+3$ : le domaine devient $[3\,;+\infty[$ »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine reste $\mathbb{R}$ ; c'est l'IMAGE qui devient $[3\,;+\infty[$ . »

Pourquoi : Le domaine se lit sur l'axe des abscisses, et $k$ agit verticalement : il ne peut donc pas y toucher. Une fonction polynomiale accepte toujours tous les réels, quel que soit le jeu de paramètres.

3. L'étirement confondu avec l'écrasement

1 point, et la description reste fausse même si le graphique est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a=-3$ : la parabole est écrasée »

Ce qu'il faut écrire

« $|a|=3>1$ : la parabole est ÉTIRÉE verticalement, et retournée car $a<0$ . »

Pourquoi : Deux informations différentes sortent du même paramètre : la VALEUR ABSOLUE dit l'étirement, plus grande que $1$ , ou l'écrasement, plus petite que $1$ ; le SIGNE dit seulement le sens. Une réponse complète donne les deux.

4. L'ordre des transformations inversé

toute la question, car la règle obtenue n'est pas la bonne fonction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On ajoute $1$ puis on multiplie par $3$ : $y=3(x^{2}+1)$ »

Ce qu'il faut écrire

« $y=3x^{2}+1$ : on étire d'abord, on translate ensuite. »

Pourquoi : Dans l'écriture $a\,g(x)+k$ , le $k$ est AJOUTÉ après la multiplication : il n'est donc jamais multiplié par $a$ . Les deux règles diffèrent de $2$ pour tout $x$ , puisque $3(x^{2}+1)=3x^{2}+3$ .

5. Le palier oublié dans la variation

1 point, et c'est la question de lecture la plus fréquente de l'épreuve

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La fonction est croissante sur $[0\,;9]$ puis décroissante »

Ce qu'il faut écrire

« Croissante sur $[0\,;6]$ , CONSTANTE sur $[6\,;9]$ , décroissante sur $[9\,;12]$ . »

Trois régimes sur une seule courbe : une montée, un palier horizontal sur

[6\,;9]

, une descente. La partie négative, elle, se lit AVANT le zéro

x=2

Pourquoi : Un palier n'est ni croissant ni décroissant : il porte son propre nom. Le repérer est un réflexe de lecture, pas un calcul, et il se voit à l'horizontale parfaite du segment.

6. Le domaine du contexte remplacé par l'ensemble des réels

1 point, et souvent une réponse absurde plus loin, comme une hauteur négative

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La bougie brûle selon $H(t)=-2{,}5t+20$ , donc le domaine est $\mathbb{R}$ »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine du contexte est $[0\,;8]$ : avant $0$ elle n'est pas allumée, après $8$ elle n'existe plus. »

Pourquoi : La fonction mathématique existe partout, la situation non. Les bornes du domaine viennent toujours du texte, pas de la règle : un temps négatif, une longueur négative ou un nombre d'objets décimal n'ont pas de sens.

7. Le signe donné en valeurs de $y$ au lieu d'intervalles de $x$

1 point, et la phrase ne veut rien dire pour le correcteur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La fonction est négative de $-4$ à $0$ »

Ce qu'il faut écrire

« La fonction est négative sur $[0\,;2]$ , c'est-à-dire pendant les deux premières heures. »

Pourquoi : Le signe répond à la question « POUR QUELS $x$ ? ». Donner l'intervalle des ordonnées, c'est décrire l'image, ce qui est une autre propriété. Même remarque pour la variation : elle se donne en $x$ , toujours.

8. Croire que $b=0$ ne fait rien

la question entière, car la fonction obtenue n'est plus de la famille étudiée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $b=0$ : il n'y a pas de transformation horizontale »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $b=0$ , la fonction devient CONSTANTE : $g(0\cdot(x-h))$ ne dépend plus de $x$ . »

Pourquoi : La valeur neutre d'un paramètre multiplicatif est $1$ , jamais $0$ . Avec $b=0$ , tous les $x$ donnent la même image : la courbe s'écrase sur une droite horizontale, par exemple $y=(0\cdot x)^{2}=0$ .

Quelle méthode choisir

Lire les paramètres sur un graphique, dans l'ordre

On ne lit jamais les quatre paramètres en même temps. On suit un ordre, et chaque étape s'appuie sur la précédente.

Si la courbe a un sommet ou un point de départ visible → lire $h$ et $k$ : ce sont ses deux coordonnées

Exemple : sommet $(3\,;4)$ donne $h=3$ et $k=4$

le sommet est le point image de l'origine de la fonction de base
Si la courbe s'ouvre vers le bas, ou descend là où la base montait → $a$ est NÉGATIF

Exemple : une parabole en cloche a un $a$ négatif

le signe se décide avant le calcul de la valeur
Si un second point de la courbe est lisible → le remplacer dans la règle pour trouver $a$

Exemple : $(1\,;-4)$ dans $a(x-3)^{2}+4$ donne $4a+4=-4$ , donc $a=-2$

on prend un point à coordonnées entières, jamais un point estimé
Si la courbe est plus étroite que la base → $|a|>1$ , un étirement vertical

Exemple : $y=4x^{2}$ est quatre fois plus haute à chaque abscisse

sur une parabole, un étirement vertical peut aussi s'écrire avec $b$
Si la question porte sur une situation, pas sur une courbe → lire $k$ comme la valeur initiale et $a$ comme le taux de variation

Exemple : $H(t)=-2{,}5t+20$ : $20$ cm au départ, $-2{,}5$ cm par heure

le domaine vient alors du contexte, jamais de la règle
Si on change l'unité de la variable → c'est $b$ qui bouge, et il entre dans la puissance de la fonction

Exemple : $4{,}9t^{2}$ en secondes devient $0{,}049u^{2}$ en dixièmes de seconde

diviser la variable par $10$ divise le coefficient par $100$ au degré 2

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Décrire les transformations, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « décrivez les transformations », « à partir de la fonction de base » ou donne une règle et demande le graphique.

1 Nommer la fonction de base, avec sa règle.
2 Identifier les quatre paramètres en les écrivant, $b=1$ compris quand il est absent.
3 Décrire l'effet de $a$ : étirement ou écrasement d'un facteur $|a|$ , puis réflexion si $a<0$ .
4 Décrire les translations, avec leur SENS en toutes lettres, pas seulement leur signe.
5 Donner le sommet ou le point de départ obtenu, comme preuve que les deux translations sont bien placées.

Phrase de conclusion

« À partir de $y=x^{2}$ , on étire verticalement d'un facteur $2$ , on retourne vers le bas, puis on translate de $3$ unités vers la droite et de $4$ unités vers le haut : le sommet passe de $(0\,;0)$ à $(3\,;4)$ . »

Le piège : Écrire « translation de $-3$ » sans dire le sens. Le correcteur attend un mot, gauche ou droite, haut ou bas, parce que c'est là que se voit la compréhension.

Barème : En général 1 point par paramètre correctement décrit, et 1 point pour le sommet obtenu.

Donner les propriétés d'une fonction

Quand l'utiliser : L'énoncé énumère domaine, image, variation, signe, ou demande « toutes les propriétés ».

1 Domaine, en intervalle de $x$ , en tenant compte du contexte s'il y en a un.
2 Image, en intervalle de $y$ , bornée par l'extremum.
3 Ordonnée à l'origine et zéros, en précisant lequel est une valeur de $y$ et lesquels sont des $x$ .
4 Variation : croissance, décroissance et constance, chacune sur son intervalle, bornes comprises.
5 Signe, puis extremums, avec la valeur ET l'endroit où elle est atteinte.

Phrase de conclusion

« Le maximum est $20$ degrés, atteint sur $[6\,;9]$ ; la fonction est négative sur $[0\,;2]$ et positive sur $[2\,;12]$ . »

Le piège : Donner une liste de nombres sans les noms. Deux intervalles écrits l'un sous l'autre, sans dire lequel est le domaine et lequel est l'image, ne rapportent rien.

Barème : 1 point par propriété nommée et correctement écrite, crochets compris.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le sommet est-il à la valeur qui annule la parenthèse ?

Regardez la parenthèse, trouvez le $x$ qui l'annule, et comparez au sommet que vous avez écrit. C'est le contrôle du signe de $h$ , et il prend trois secondes.

$y=2(x+1)^{2}-4$ : la parenthèse s'annule en $x=-1$ , donc le sommet est $(-1\,;-4)$ , à gauche de l'origine.
Un point de la base, transformé, retombe-t-il sur la courbe ?

Prenez un point simple de la fonction de base, appliquez les transformations dans l'ordre, puis vérifiez avec la règle. Si les deux ne concordent pas, un paramètre est mal placé.

De $(2\,;4)$ sur $y=x^{2}$ à $f(x)=3(x-2)^{2}+1$ : l'image est $(4\,;13)$ , et $f(4)=3\times 4+1=13$ .
Le domaine est-il celui du contexte ?

Dans un problème, relisez la première phrase de l'énoncé avant d'écrire le domaine. Un temps, une longueur ou un effectif ont toujours une borne inférieure, et souvent une borne supérieure.

Une bougie de $20$ cm qui perd $2{,}5$ cm par heure : le domaine s'arrête à $t=8$ , pas à l'infini.
Chaque propriété est-elle donnée dans la bonne unité d'axe ?

Passez en revue vos réponses : domaine, zéros, variation et signe se donnent en $x$ ; image, ordonnée à l'origine et extremums se donnent en $y$ . Une inversion se repère instantanément.

« Maximum $20$ degrés atteint sur $[6\,;9]$ heures » : la valeur est en degrés, l'endroit en heures.
La description et la règle racontent-elles la même chose ?

Relisez votre phrase de description en regardant la règle. Un « vers la gauche » devant un $(x-3)$ , ou un « écrasée » devant un $a=-3$ , se voient sans aucun calcul.

Règle $y=-2(x-3)^{2}+4$ : étirée d'un facteur $2$ , retournée, $3$ à droite, $4$ en haut. Quatre mots, quatre paramètres.

L'exercice type décortiqué

D'une règle aux transformations, puis aux propriétés

Soit $f(x)=-2(x-3)^{2}+4$ , obtenue à partir de $g(x)=x^{2}$ .

Décrivez les transformations, puis donnez toutes les propriétés de $f$ .

Étape 1

On identifie les paramètres : $a=-2$ , $b=1$ , $h=3$ , $k=4$ . Le $b$ n'est pas écrit, il vaut donc $1$ .

Pourquoi

On écrit les quatre paramètres avant toute phrase. La moitié des erreurs de ce chapitre viennent d'un paramètre lu de travers, et les écrire les rend visibles.

Étape 2

Transformations : étirement vertical de facteur $2$ , réflexion par rapport à l'axe des abscisses car $a<0$ , puis translation de $3$ vers la droite et de $4$ vers le haut.

Pourquoi

L'étirement et la réflexion viennent du même paramètre mais se disent séparément : l'un est une valeur absolue, l'autre un signe. Les translations viennent en dernier, car $k$ s'ajoute après la multiplication.

Étape 3

Le sommet de $g$ est $(0\,;0)$ , donc celui de $f$ est $(3\,;4)$ . Vérification : $f(3)=-2\times 0+4=4$ .

Pourquoi

Le sommet est la preuve que $h$ et $k$ sont bien placés. Si le sommet calculé ne tombe pas sur $(h\,;k)$ , c'est un signe lu à l'envers.

Étape 4

Domaine $\mathbb{R}$ . Comme $a<0$ , le sommet est un maximum : l'image est $]-\infty\,;4]$ .

Pourquoi

L'image se déduit du sommet ET du signe de $a$ , jamais de l'un des deux seul. C'est la propriété la plus souvent fausse quand $a$ est négatif.

Étape 5

Zéros : $-2(x-3)^{2}+4=0$ donne $(x-3)^{2}=2$ , donc $x=3\pm\sqrt{2}$ , soit environ $1{,}59$ et $4{,}41$ . Ordonnée à l'origine : $f(0)=-2\times 9+4=-14$ .

Pourquoi

Les zéros sont symétriques par rapport à $x=3$ , et leur milieu le confirme. L'ordonnée à l'origine se calcule dans la règle, elle ne se lit pas sur les paramètres.

Étape 6

Variation : croissante sur $]-\infty\,;3]$ , décroissante sur $[3\,;+\infty[$ . Signe : positive sur $[1{,}59\,;4{,}41]$ , négative à l'extérieur.

Pourquoi

Avec $a<0$ la fonction monte puis descend, et elle est positive ENTRE ses zéros. Chaque propriété se déduit de ce qui précède, aucune ne se recalcule depuis la règle.

Conclusion rédigée

Sommet $(3\,;4)$ , maximum de $4$ , image $]-\infty\,;4]$ , zéros $3\pm\sqrt{2}$ , ordonnée à l'origine $-14$ .

À savoir par cœur

• $f(x)=a\,g\big(b(x-h)\big)+k$ . Valeurs neutres : $a=1$ , $b=1$ , $h=0$ , $k=0$ .
• $h$ est la valeur qui ANNULE la parenthèse : $(x-3)$ donne $h=3$ , donc $3$ vers la droite.
• $k$ déplace verticalement : il change l'image, jamais le domaine.
• $|a|>1$ étire verticalement, $|a|<1$ écrase, $a<0$ retourne. Le signe et la valeur absolue disent deux choses.
• $b$ agit sur les abscisses et à l'envers : $|b|>1$ écrase horizontalement.
• Translation : déplace sans déformer. Étirement : déforme sans déplacer.
• L'ordre compte : on étire d'abord, on translate ensuite. $3(x^{2}+1)$ n'est pas $3x^{2}+1$ .
• Domaine, zéros, variation et signe se donnent en $x$ ; image, ordonnée à l'origine et extremums en $y$ .
• Un palier est CONSTANT, ni croissant ni décroissant.
• Dans un problème, le domaine vient du contexte, et une valeur hors domaine ne s'interprète pas.

Questions fréquentes

Pourquoi le paramètre h se lit-il à l'envers ?

Parce que la forme de référence s'écrit avec un moins, x moins h. Ce qui apparaît dans la parenthèse est donc l'opposé de h : un plus trois signifie h égale moins trois, donc un déplacement vers la gauche. La façon la plus sûre de ne jamais se tromper est de chercher la valeur de x qui annule la parenthèse : c'est elle, h, et c'est là que se retrouve le sommet.

Quelle est la différence entre une translation et un étirement ?

Une translation déplace la courbe sans la déformer : elle garde exactement la même forme, la même ouverture, la même allure, et seuls ses repères changent de place. Un étirement, lui, déforme la courbe sans la déplacer : il rapproche ou éloigne tous les points d'un axe. Les paramètres h et k translatent, les paramètres a et b étirent.

Est-ce que le paramètre k change le domaine d'une fonction ?

Non. Le paramètre k déplace la courbe vers le haut ou vers le bas, donc il agit sur les ordonnées : il change l'image et les extremums, jamais le domaine. Pour une fonction polynomiale, le domaine reste l'ensemble des réels quels que soient les paramètres. Seul le contexte d'un problème, ou un paramètre horizontal appliqué à un intervalle d'étude, peut déplacer un domaine.

Comment décrire les transformations dans le bon ordre ?

On décrit d'abord ce qui déforme, ensuite ce qui déplace. Donc l'étirement vertical et la réflexion liés au paramètre a, puis le changement d'échelle horizontal lié à b, puis les deux translations h et k. La raison est dans l'écriture : le k est ajouté après la multiplication par a, il n'est donc jamais multiplié par lui, et inverser l'ordre donne une autre fonction.

Comment donner la variation d'une fonction sans perdre de points ?

En intervalles de x, avec des crochets fermés aux bornes, et en nommant les trois régimes possibles : croissante, décroissante et constante. Un palier horizontal n'est ni l'un ni l'autre des deux premiers, il est constant, et l'oublier est l'erreur de lecture la plus fréquente. Les bornes appartiennent aux deux intervalles voisins, ce qui est la convention attendue au secondaire.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les paramètres et les propriétés des fonctions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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La fonction polynomiale de degré 2 La fonction partie entière

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Fiche de révision : les paramètres et les propriétés des fonctions (SN4)

L'essentiel

Les quatre paramètres, et ce que chacun fait exactement

Les propriétés, et le vocabulaire qui les nomme

Les pièges qui coûtent des points

1. Le signe de hhh lu à l'envers

2. Le paramètre kkk accusé de changer le domaine

3. L'étirement confondu avec l'écrasement

4. L'ordre des transformations inversé

5. Le palier oublié dans la variation

6. Le domaine du contexte remplacé par l'ensemble des réels

7. Le signe donné en valeurs de yyy au lieu d'intervalles de xxx

8. Croire que b=0b=0b=0 ne fait rien

Quelle méthode choisir

Lire les paramètres sur un graphique, dans l'ordre

La rédaction attendue

Décrire les transformations, la copie attendue

Donner les propriétés d'une fonction

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

D'une règle aux transformations, puis aux propriétés

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi le paramètre h se lit-il à l'envers ?

Quelle est la différence entre une translation et un étirement ?

Est-ce que le paramètre k change le domaine d'une fonction ?

Comment décrire les transformations dans le bon ordre ?

Comment donner la variation d'une fonction sans perdre de points ?

Exercices corrigés : Les paramètres et les propriétés des fonctions

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1. Le signe de $h$ lu à l'envers

2. Le paramètre $k$ accusé de changer le domaine

7. Le signe donné en valeurs de $y$ au lieu d'intervalles de $x$

8. Croire que $b=0$ ne fait rien