Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Algèbre
Cette fiche ne refait pas le cours sur les systèmes : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode à choisir selon la FORME du système, et la rédaction qu'un correcteur attend sur un problème mis en équation.
Les systèmes sont le chapitre où les points se perdent à la fin plutôt qu'au milieu : le calcul est souvent juste, mais la réponse s'arrête à une seule inconnue, ou n'est vérifiée que dans une équation sur deux. Les deux dernières lignes d'une copie valent ici autant que les six premières.
Le fil du chapitre
Résoudre un système, c'est trouver un COUPLE, pas un nombre : une réponse qui s'arrête à , ou qui ne vérifie qu'une des deux équations, n'est pas une solution.
Deux équations qui se ressemblent ne suffisent pas à conclure : et sont la même droite, écrite deux fois. Il faut réduire avant de comparer.
Quand aucun coefficient ne vaut , la réduction est presque toujours la plus rapide : la substitution fabrique alors des fractions qui font perdre des points de calcul.
Substituer dans la parabole plutôt que dans la droite : l'inverse fabrique une équation de degré inutile.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc la solution du système est . »
Ce qu'il faut écrire
« , puis en remplaçant dans la deuxième équation, . La solution est le couple . »
Pourquoi : Un système à deux inconnues a pour solution un COUPLE : c'est un point du plan, pas un nombre. Une réponse à une seule coordonnée ne décrit aucun point.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : je multiplie la deuxième par , ce qui donne . »
Ce qu'il faut écrire
« La deuxième multipliée par donne : on multiplie TOUTE l'équation, les deux membres, sinon l'égalité est détruite. »
Pourquoi : Une équation est une balance : multiplier un seul plateau la déséquilibre. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et elle ne se voit qu'à la vérification finale.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« De je tire , que je remplace dans cette même équation : , donc , il y a une infinité de solutions. »
Ce qu'il faut écrire
« De la première, . Je remplace dans la DEUXIÈME équation, , ce qui donne , donc et . »
Pourquoi : Remplacer une expression dans l'équation qui l'a produite redonne toujours une identité vraie : on n'a rien appris. L'information du système est dans le CROISEMENT des deux lignes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les inconnues ont disparu et j'obtiens : le système n'a pas de solution. »
Ce qu'il faut écrire
« est une égalité VRAIE : les deux équations décrivent la même droite, elles sont confondues et le système a une INFINITÉ de solutions. »
Pourquoi : C'est , une égalité fausse, qui signifie qu'aucun couple ne peut satisfaire les deux lignes à la fois. Les deux cas se ressemblent sur la copie et disent l'inverse l'un de l'autre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne ou ; la solution est . »
Ce qu'il faut écrire
« Deux racines, donc DEUX points d'intersection : . »
Pourquoi : Une droite peut couper une parabole deux fois; rien dans l'énoncé ne demande de choisir. Le réflexe vient des équations du premier degré, où il n'y a jamais qu'une réponse.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Marie a ans de plus que Paul : . »
Ce qu'il faut écrire
« Marie est la plus âgée, donc : le va du côté du PLUS JEUNE pour rattraper l'autre. »
Pourquoi : L'ordre des mots de la phrase n'est pas l'ordre de l'équation. Le test qui tranche en trois secondes : si Paul a ans, Marie en a , et confirme .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« litres à pour cent à partir de solutions à et pour cent : et . »
Ce qu'il faut écrire
« La deuxième équation compare des QUANTITÉS de produit pur : . »
Pourquoi : Un pourcentage ne s'additionne pas, une quantité oui. La deuxième ligne d'un problème de mélange est toujours un bilan de la matière pure, jamais un bilan des concentrations.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« vérifie , donc c'est bien la solution du système. »
Ce qu'il faut écrire
« vérifie la première équation. Dans la seconde, donnerait : c'est vrai aussi, donc est la solution. »
Pourquoi : Le couple sort d'une manipulation qui utilise les deux lignes; une erreur en cours de route donne souvent un couple qui vérifie encore celle dont on est parti. Seule l'autre équation le démasque.
Regardez les coefficients avant de choisir. Le bon choix fait gagner deux minutes et évite les fractions.
Si les deux équations sont de la forme → comparaison : on égale directement les deux membres de droite
Exemple : et donnent , donc
Si une variable a un coefficient de ou de → substitution : on isole cette variable, puis on la remplace dans l'AUTRE équation
Exemple : donne , à porter dans la seconde
isoler la variable au coefficient évite toute fraction
Si aucun coefficient ne vaut , mais deux sont opposés → réduction directe : on additionne les deux équations telles quelles
Exemple : et s'additionnent en
Si aucun coefficient ne vaut et aucun n'est opposé → réduction après multiplication : on multiplie chaque ligne ENTIÈRE pour rendre deux coefficients opposés
Exemple : et : multiplier par et par
le plus petit commun multiple des deux coefficients donne le facteur à choisir
Si une droite et une parabole → substitution de la droite dans la parabole, puis discriminant de l'équation obtenue
Exemple : dans donne
Si un paramètre apparaît dans un coefficient → comparer les pentes : égalité des pentes puis des ordonnées à l'origine décide entre parallèles et confondues
Exemple : et sont confondues pour
Si les inconnues disparaissent toutes les deux, la méthode n'est pas en cause : c'est le système qui n'a pas de solution unique. On lit alors l'égalité restante, vraie ou fausse, et on conclut.
Mettez les deux équations sous la forme , puis comparez d'abord, ensuite.
Si les pentes sont différentes → droites sécantes, une solution unique
Exemple : et se coupent en
Si mêmes pentes, ordonnées à l'origine différentes → parallèles distinctes, aucune solution, ensemble-solution vide
Exemple : et n'ont aucun point commun
Si mêmes pentes et même → droites confondues, une infinité de solutions
Exemple : et sont la même droite
Si le produit des pentes vaut → droites perpendiculaires, donc sécantes : une solution, et l'angle droit est une information de plus
Exemple : et
Une équation de la forme n'a pas de pente : c'est une droite verticale. Elle coupe toute droite non verticale, et la comparaison des pentes ne s'y applique pas.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, sans coefficient égal à .
Phrase de conclusion
« Le couple vérifie les deux équations du système, donc . »
Le piège : Reporter la valeur trouvée dans une ligne déjà multipliée. Si cette ligne contient une erreur, la seconde inconnue en hérite et la vérification devient impossible à interpréter.
Barème : 1 point pour la multiplication correcte des deux membres, 1 pour l'addition, 1 pour la seconde inconnue, 1 pour la vérification et la phrase.
Quand l'utiliser : Un énoncé en français avec deux quantités inconnues et deux informations chiffrées.
Phrase de conclusion
« Il s'est vendu billets pour adultes et billets pour enfants, ce qui donne bien billets et dollars de recette. »
Le piège : Écrire les deux équations sur la même grandeur, par exemple deux fois le nombre total de billets. Le système devient alors indéterminé ou impossible, sans que le calcul soit en cause.
Barème : 1 point pour la définition des variables, 2 pour le système, 2 pour la résolution, 1 pour la phrase-réponse.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Substituer le couple dans les DEUX équations de départ
Reprenez les deux lignes telles qu'elles étaient écrites au début de la question, avant toute multiplication, et remplacez et par les valeurs trouvées. Les deux égalités doivent tomber juste.
Pour dans : , vrai. Dans : , vrai. Une seule des deux qui tombe juste signale une erreur après la multiplication.
Le couple a-t-il un sens dans le contexte ?
Sur un problème, les inconnues comptent des objets, des litres ou des dollars. Un nombre de billets fractionnaire ou négatif est un signal d'erreur, même quand les deux équations sont vérifiées.
Un mélange qui donnerait litres de solution à pour cent dit que les deux équations ont été écrites dans le mauvais sens, pas que le calcul est faux.
Compter les solutions attendues avant de conclure
Deux droites donnent au plus un couple; une droite et une parabole en donnent jusqu'à deux. Comparez le nombre de couples écrits au type de système avant de rendre la copie.
Un système semi-linéaire dont la copie ne porte qu'un seul couple sans avoir justifié a perdu une intersection en route.
L'ordre des coordonnées
Un couple s'écrit toujours , dans l'ordre où les variables ont été définies. Relisez la ligne de définition des variables, pas votre brouillon.
Si est le nombre d'adultes, la réponse inverse les deux populations et fausse toute la phrase de conclusion, même avec un calcul juste.
Le graphique de la calculatrice
Entrez les deux équations sous la forme en et , puis cherchez l'intersection. Sur une TI, la fonction INTERSECT du menu CALC; sur une Casio, ISCT dans le menu G-Solve.
Deux droites qui restent parallèles à l'écran confirment qu'il n'y a pas de solution, et évitent de chercher une erreur de calcul là où il n'y en a pas.
Le forfait A coûte dollars par mois, plus dollar par minute d'appel.
Le forfait B coûte dollars par mois, plus dollar par minute d'appel.
À partir de combien de minutes le forfait B devient-il plus avantageux ?
Étape 1
Soit le nombre de minutes d'appel dans le mois et le coût mensuel, en dollars. Alors et .
Pourquoi
La définition des variables avec leur unité vaut un point à elle seule, et c'est elle qui empêche de mélanger des dollars avec des minutes à la ligne suivante.
Étape 2
Le point de bascule est celui où les deux forfaits coûtent la même chose : .
Pourquoi
Les deux équations sont déjà résolues pour : la méthode de comparaison s'impose, sans isoler quoi que ce soit. Choisir la substitution ici ferait perdre deux minutes.
Étape 3
, donc et .
Pourquoi
On regroupe les termes en d'un côté et les constantes de l'autre en une seule ligne. Le passage par une fraction décimale est plus sûr que la division mentale.
Étape 4
Coût commun : dollars. Le point d'intersection est donc .
Pourquoi
On calcule la seconde coordonnée dans l'équation la plus simple, puis on écrit le COUPLE. Un système qui s'arrête à perd le point de vérification.
Étape 5
Avant minutes, le forfait A est moins cher : à minutes, et . Après minutes, c'est l'inverse : à minutes, et .
Pourquoi
L'intersection donne l'égalité, pas la réponse. La question demande un COMPARATIF, il faut donc tester un point de chaque côté pour savoir dans quel sens l'avantage bascule.
Étape 6
Vérification dans les deux équations de départ : et . Les deux donnent bien dollars.
Pourquoi
Le couple sort d'une comparaison qui a utilisé les deux lignes, donc les deux doivent le confirmer. Une seule vérification laisserait passer une erreur sur le .
Conclusion rédigée
« Les deux forfaits coûtent le même prix, dollars, pour minutes d'appel. Au-delà de minutes par mois, le forfait B devient plus avantageux. »
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « minutes » et s'arrêter là. L'énoncé demande à partir de quand B est plus avantageux, donc la réponse est un intervalle, , et non le point d'égalité lui-même, où les deux forfaits coûtent exactement la même chose.
On regarde les coefficients. Si les deux équations sont déjà écrites sous la forme y égale quelque chose, on compare les deux membres de droite. Si une variable a un coefficient de un, on l'isole et on substitue dans l'autre équation. Sinon on utilise la réduction, en multipliant chaque ligne entière pour rendre deux coefficients opposés, puis on additionne.
Que les deux équations décrivent la même droite : elles sont confondues et le système a une infinité de solutions. Il ne faut surtout pas conclure qu'il n'y en a aucune. C'est l'égalité fausse, du type zéro égale cinq, qui signale deux droites parallèles distinctes et donc un ensemble-solution vide.
Zéro, une ou deux. On substitue l'expression de la droite dans l'équation de la parabole, ce qui donne une équation du second degré, puis on calcule son discriminant. Positif, il y a deux points d'intersection donc deux couples. Nul, la droite est tangente et il n'y a qu'un point. Négatif, la droite ne touche jamais la parabole.
On définit d'abord les deux inconnues par une phrase complète, avec leur unité. On écrit ensuite une équation par information de l'énoncé, en s'assurant que les deux membres portent sur la même grandeur : le nombre total de billets dans une équation, la recette en dollars dans l'autre. Deux équations sur la même grandeur rendent le système impossible à résoudre.
Parce qu'une erreur de calcul en cours de résolution produit souvent un couple qui vérifie encore l'équation dont on est parti. Seule l'autre équation la révèle. La vérification se fait dans les deux lignes telles qu'elles étaient écrites au départ, avant toute multiplication, sinon une ligne mal transformée reste invisible.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn4-systemes-equations. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
